107484 Controle de Processos - Aula: graus de liberdade, vari ......4 Lineariza¸cão de processos multivariáveis 5 Espaço de estados E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos

ENE0004 – Controle de Processos

Aula: graus de liberdade, variáveis de desvio e linearização

Prof. Eduardo Stockler Tognetti

Departamento de Engenharia ElétricaUniversidade de Braśılia – UnB

1o Semestre 2020

E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos

Sumário

1 Graus de liberdade

2 Linearização de sistemas com uma variável

3 Variáveis de desvio

4 Linearização de processos multivariáveis

5 Espaço de estados


Análise de graus de liberdade

Os graus de liberdade de um processo são as variáveis independentes que devemser especificadas para definir o processo completamente (resposta do conjunto deequações que representam a dinâmica do sistema).

O controle do processo nos pontos fixos especificados só é obtido se, e somentese, todos os graus de liberdade tiverem sido especificados.

Graus de liberdade

no. graus de liberdade = no. vars. independentes - no. eqs. independentes

Nf = NV − NE

Casos

1 Nf = 0: processo exatamente especificado

2 Nf > 0: processo sub-especificado (infinitas soluções)

3 Nf < 0: processo super-especificado (sem solução)


Análise de graus de liberdade

Observações:

Determinação incorreta se informações relevantes forem desprezadas ouequações redundantes inclúıda.

Lei de controle introduz equação adicional entre as variáveis medidas emanipuladas e reduz por 1 os graus de liberdade do processo.

Manipulação dos graus de liberdade

Em geral Nf > 0. Há duas formas de se diminuir Nf (aumentar NE ):

1 Ambiente externo (variáveis de distúrbio): d(t) = g(t)

Nf = Nf0 − Nd , Nd : no. vars. distúrbio

2 Objetivos (leis) de controle (variáveis manipuladas): mv(t) = g(yi )

Nf = Nf0 − Nmv , Nmv : no. vars. manipuladas

Graus de liberdade de controle (Nfc ): variáveis que podem ser controladas deforma independente Nfc = Nf − Nd .

Usualmente, mas não sempre, Nfc = Nmv


Balanço de energia em sistemas abertos

Exemplo: Tanque com aquecimento

Equações diferenciais que descrevem o processo:

d

dth(t) =

1

A(fe(t)− f (t))

d

dtT (t) =

fe(t)

Ah(t)(Te(t)− T (t)) + Q̇(t)

ρcpAh(t)

Análise dos graus de liberdade

Número de equações: NE = 2

Número de variáveis: NV = 6 h(t),T (t) (vars. de estado/ sáıdas)fe(t), f (t), Te(t), Q̇(t) (entradas)

Graus de liberdade: Nf = 4

Para determinar precisamente h(t) e T (t) ⇒ Nf = 0Atribuindo como distúrbio: fe(t), Te(t) (espec. pela unidade precedente)

Atribuindo como variável manipulada: f (t), Q̇(t) (leis de controle)

Por exemplo, f (t) poderia ser utilizado para controlar h(t) e Q̇(t) paracontrolar T (t).


Sumário







Sistema linear

Um sistema é dito linear se satisfaz as propriedades:

1 Aditividade:L[u1 + u2] = L[u1] + L[u2]

2 Homogeneidade:L[ku] = kL[u]

L[·]: operador matemático que representa o sistemau: entradak : escalar

Prinćıpio da superposição

L[k1u1 + k2u2] = k1L[u1] + k2L[u2]

Um sistema que não verifique qualquer uma destas propriedades é dito não-linear


Sistema linear

x

g(x)

(0, 0)

Curva linear

x

g(x)

Curva não-linear

Funções lineares:

g(x) = ax

g(x , u) = ax + bu

Funções não-lineares:

g(x) = ax + b (função afim)

g(x) =1

x+ ax

g(x) = ax2

g(x , u) = xu + u


Linearização de sistemas com uma variável

Linearização de g(x) no ponto x0:

linha tangente

g(x)

x0x

x̄ x∗

g(x0) g(x) ≃ g(x0) +(∂g

∂x

)

x0

(x − x0)

Problema: x∗ 6= 0 (função afim)x0 : ponto de linearização

x̄ : ponto em que g(x̄) = 0 (pto. eq.)

x∗ : cruzamento da reta tang. c/ g(x) = 0

Necessário deslocar reta tangente para a origem mudança de variávelx̃ , x − x∗



Em sistemas dinâmicos usualmente deseja-se linearizar a dinâmica em torno doponto de equiĺıbrio, ou seja, um ponto x̄ tal que g(x̄) = 0 ( d

dtx(t) = g(x) = 0)

g(x)

xx̄

g(x) ≃(∂g

∂x

)

x̄

(x − x̄)

g(x)

x̃0

g(x) ≃(∂g

∂x

)

x̄︸︷︷︸

cte.

x̃

O ponto de equiĺıbrio é o ponto em que o sistema pode operar em regimepermanente (ponto de operação)

Nesse caso: x0 = x̄ = x∗

Necessário ainda mudança de variável x̃ , x − x̄ para deslocar reta tangentepara a origem



Seja o processodx

dt= g(x)

Ponto de linearização: x0

Expansão da função não-linear g(x) em série de Taylor em torno de x0:

g(x) = g(x0) +

(dg

dx

)

x0

(x − x0)+(d2g

dx2

)

x0

(x − x0)22!

+· · ·+(dng

∂xn

)

x0

(x − x0)nn!

Negligenciando termos de ordem maior ou igual a dois

g(x) ≃ g(x0) +(dg

dx

)

x0

(x − x0) =(dg

dx

)

x0

x + (termos constantes)

A equação ainda não é linear devido a presença de termos constantes.

A aproximação é exata somente no ponto de linearização (x0).


Sumário







Variáveis de desvio

Seja o valor em regime permanente x̄ que pode ser determinado por

dx

dt= 0 ⇔ g(x̄) = 0 (1)

Considere x̄ o ponto de linearização do sistema ẋ = g(x), ou seja, x0 = x̄ .

Então, em x̄ tem-se

dx

dt= g(x̄) +

(dg

dx

)

x̄

(x − x̄) (2)

Considere a definição da variável de desvio abaixo.

Variável de desvio

x̃ , x − x̄

A variável de desvio descreve a magnitude do deslocamento do sistema doponto de operação desejado.



Observe que

dx

dt=

d(x − x̄)dt

=dx̃

dt, pois

dx̄

dt= 0

Da definição da variável de desvio e g(x̄) = 0,

dx

dt= g(x̄)︸︷︷︸

=0

+

(dg

dx

)

x̄

(x − x̄)︸︷︷︸

x̃

tem-se o seguinte sistema linear

dx̃

dt=

(dg

dx

)

x̄

x̃

Obs.: O mesmo resultado é obtido subtraindo (1) de (2).



Exemplo:

Seja ddtx(t) = g(x), g(x) = x2 − 9. Linearização em x0 = 2:

g(x) ≃ g(x0)+(dg

dx

)

x0

(x−x0) = −5+4(x−2) = 4x−13 Não é linear! (3)

Achando o ponto de equiĺıbrio x̄ ∈ {x : g(x) = 0}:d

dtx(t) = 0 ⇔ g(x̄) = x̄2 − 9 = 0 ⇒ x̄ = 3

Linearização em x0 = x̄ = 3:

g(x) ≃ g(x0)+(∂g

∂x

)

x0

(x−x0) = 0+6(x − 3) = 6x−18 Não é linear! (4)

Definindo a variável de desvio x̃ , x − 3, tem-se g(x) ≃ 6x̃ . Observe qued

dtx̃(t) =

d

dt(x(t)− 3) = d

dtx(t)− d

dt3 =

d

dtx(t) = g(x)

∴d

dtx̃(t) = 6x̃ Eq. diferencial linear!



Exemplo:

Observe que ambas as equações (3) e (4), ou seja,

g(x) ≃ 4x − 13, x em torno de x0 = 2e

g(x) ≃ 6x − 18, x em torno de x0 = x̄ = 3

podem ser transformadas de afim para linear introduzindo variáveis de desvio. Con-tudo, em sistemas dinâmicos faz mais sentido obter o comportamento linear noponto de operação em regime permanente, ou seja, no ponto de equiĺıbrio (ẋ = 0).



Exemplo: dinâmica do ńıvel de um tanque

fe

f (t)

Assuma fe constante

Adh(t)

dt= fe − f (t) dh(t)

dt=

fe

A− f (t)

A

Se f (t) = αh(t) (α constante):

dh(t)

dt= g(h), g(h) =

fe

A− αh(t)

A(sist. afim)

Se f (t) = β√

h(t):

g(h) =fe

A− β

√h(t)

A(sist. não-linear)



Expandindo g(h) em série de Taylor em torno de h0: g(h) = 1/A(fe −β√

h(t)):

g(h) ≈ g(h0) + dg(h)dh

(h(t)− h0)

g(h) ≈(fe

A− β

√h0

A

)

− β2A

√h0

(h(t)− h0)

Logo, o sistema resultante é afim devido a presença de termos constantes

dh(t)

dt=

fe

A− β

√h0

A︸︷︷︸

termo constante

− β2A

√h0

h(t)− h0

︸︷︷︸

termo constante



Observe que o resultado seria o mesmo expandindo-se apenas o termo não linearβ√

h(t) em torno de h0

β√

h(t) = β√h0 +

(

d(β√

h(t))

dh

)

h(t)=h0

(h(t)− h0) + · · ·

β√

h(t) ≈ β√h0 +

β

2√h0

(h(t)− h0)

e substituindo no sistema não-linear

Adh(t)

dt= fe −

(

β√h0 +

β

2√h0

h(t)− β2√h0

h0

)

dh(t)

dt=

(fe

A− β

√h0

A+

β

2A√h0

h0

)

︸︷︷︸

termo constante

− β2A

√h0

h(t)



Considere agora a linearização em torno do ponto de operação em regime per-manente h̄ determinado por

g(h̄) = 0 ⇔ fe − β√

h̄ = 0 (5)

Definindo a variável de desvio h̃(t) = h(t)− h̄, tem-se

dh̃(t)

dt= g(h̄)︸︷︷︸

=0

+dg(h̄)

dh(h(t)− h̄) = dg(h̄)

dhh̃(t) = − β

2A√h̄h̃(t) (6)

Portanto o sistema linear é dado por

dh̃(t)

dt= − β

2A√h̄h̃(t)



Resumo: Caso monovariável

Sistema não-linear:dx

dt= g(x), x ∈ R

Ponto de operação em regime permanente: x̄ g(x̄) = 0

Ponto de linearização: x0

Expansão truncada em Taylor em torno de x0:

dx

dt= g(x0) +

(dg

dx

)

x0

(x − x0)︸︷︷︸

x̃

Se x0 = x̄ ⇒ g(x0) = 0 ⇒dx̃

dt=

(dg

dx

)

x0

x̃


Sumário







Linearização de processos multivariáveis

Caso multivariável

dx

dt= g(x), x ∈ Rn

g(x) =

g1(x)...

gn(x)

, x =

x1...xn

Exemplo: x ∈ R2

dx1

dt= g1(x1, x2)

dx2

dt= g2(x1, x2)



Linearizando em torno de x0 =

[x10x20

]

:

g1(x1, x2) = g1(x10, x20) +

(∂g1∂x1

)

x0

(x1 − x10)

+

(∂g1∂x2

)

x0

(x2 − x20) +(∂2g1∂x21

)

x0

(x1 − x10)22!

+

(∂2g1∂x22

)

x0

(x2 − x20)22!

+

(∂2g1

∂x1, ∂x2

)

x0

(x1 − x10)(x2 − x20) + · · ·

Idem para g2(x1, x2).

Seja o sistema em estado estacionário (regime permanente)

{

g1(x̄1, x̄2) = 0

g2(x̄1, x̄2) = 0



Considerando o ponto de linearização como sendo o ponto de operação x̄ , ou seja,

x10 = x̄1 e x20 = x̄2

e definindo x̃1 = x1 − x̄1 e x̃2 = x2 − x̄2, tem-se o sistema linear

dx̃1

dt=

(∂g1∂x1

)

x̄

x̃1 +

(∂g1∂x2

)

x̄

x̃2

dx̃2

dt=

(∂g2∂x1

)

x̄

x̃1 +

(∂g2∂x2

)

x̄

x̃2

ou na forma matricial

dx̃

dt= Ax̃ , A =

[∂g

∂x

]

x̄

=

(∂g1∂x1

)

x̄

(∂g1∂x2

)

x̄(∂g2∂x1

)

x̄

(∂g2∂x2

)

x̄

︸︷︷︸

matriz Jacobiana

, x̃ =

[x̃1x̃2

]



Exemplo: dinâmica de ńıvel de um tanque com fluxo de

entrada variável

Seja fe(t) variável,

dh(t)

dt= g(h, fe), g(h, fe) = 1/A(fe(t)− β

√

h(t)) (7)

Em regime permanente g(h̄, f̄e) = f̄e − β√

h̄ = 0 (8)

Sistema linearizado, em que h̃(t) = h(t)− h̄ e f̃e(t) = fe(t)− f̄ed h̃(t)

dt= g(h̄, f̄e) +

∂g(h, fe)

∂fe(fe(t)− f̄e) +

∂g(h, fe)

∂h(h(t)− h̄) (9)

Como g(h̄, f̄e) = 0, tem-se o sistema linear

dh̃(t)

dt=

1

Af̃e(t)− β

2A√h̄h̃(t) (10)


Exemplo

Seja o sistema não-linear

dx1

dt= g1(x1, x2,m1,m2, d1)

dx2

dt= g2(x1, x2,m1,m2, d2)

Assumindo que o ponto de linearização p0 = (x10, x20,m10,m20, d10, d20) corres-ponde ao ponto de estado estacionário p̄ = (x̄1, x̄2, m̄1, m̄2, d̄1, d̄2) e definindo asvariáveis de desvio, tem-se o sistema linearizado

dx̃1

dt= a11x̃1 + a12x̃2 + b11m̃1 + b12m̃2 + e1d̃1

dx̃2

dt= a21x̃1 + a22x̃2 + b21m̃1 + b22m̃2 + e2d̃2

em que aij =

(∂gi∂xj

)

p̄

, bij =

(∂gi∂mj

)

p̄

, ei =

(∂gi∂di

)

p̄


Sumário







Representação em espaço de estados

Para o exemplo anterior considere ainda que as variáveis medidas são represen-tadas por y , as manipuladas por m e os distúrbios por d e os estados por x ,

dx1

dt= g1(x1, x2,m1,m2, d1)

dx2

dt= g2(x1, x2,m1,m2, d2)

y = s(x1, x2,m1,m2, d2)

Sistema linearizado na representação espaço de estados em torno de p̄ = (x̄ , ū, w̄)com x̄ = (x̄1, x̄2), ū = (m̄1, m̄2) e w̄ = (d̄1, d̄2):

[dx̃1/dtdx̃2/dt

]

︸︷︷︸

˙̃x

=

[a11 a12a21 a22

]

︸︷︷︸

A

[x̃1x̃2

]

︸︷︷︸

x̃

+

[b11 b12b21 b22

]

︸︷︷︸

B

[m̃1m̃2

]

︸︷︷︸

ũ

+

[e1e2

]

︸︷︷︸

E

[d̃1

d̃2

]

︸︷︷︸

w̃

Em que

x̃ =

[x1 − x̄1x2 − x̄2

]

, ũ =

[m1 − m̄1m2 − m̄2

]

, w̃ =

[d1 − d̄1d2 − d̄2

]


Representação em espaço de estados

Em forma compacta

˙̃x = Ax̃ + Bũ + Ew̃

ỹ = Cx̃ + Dũ + Fw̃

em que as matrizes jacobianas são dadas por

A =

[∂g

∂x

]

p̄

, B =

[∂g

∂u

]

p̄

, E =

[∂g

∂w

]

p̄

, C =

[∂s

∂x

]

p̄

, D =

[∂s

∂u

]

p̄

, F =

[∂s

∂w

]

p̄

Pode-se também considerar

˙̃x = Ax̃ +[

B E][

ũ

w̃

]

ỹ = Cx̃ +[

D F][

ũ

w̃

] ⇒{˙̃x = Ax̃ + B̂û

ỹ = Cx̃ + D̂û


Resposta no espaço de estados

Seja um sistema linear invariante no tempo{

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)x0 = x(0)

A sáıda do sistema para uma condição inicial x(0) e uma entrada u(t) é dadapor

x(t) = eAtx(0) +

∫ t

0

eA(t−τ)

Bu(τ )dτ

y(t) = Cx(t) + Du(t)

A resposta de um sistema com entrada nula ẋ(t) = Ax(t) para uma condiçãoinicial x(0) é dada por

x(t) = eAtx(0)

A exponencial de matriz eAt tem termos que são combinações lineares de seusautovalores e respectivas derivadas. Se A tem um autovalor λ1 com ı́ndice n1,então as entradas de eAt são combinações lineares de {eλ1t , teλ1t , · · · , tn1−1eλ1t}.


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