11. AmpOp - Integ e Difer

6669 – CIRCUITOS ELETRÔNICOS I

Departamento de Engenharia Química

Universidade Estadual de Maringá

Rubens Zenko Sakiyama [email protected]

Resposta em frequência das redes CTS (com constante de tempo simples)

Curvas de Bode para rede passa-baixas

Curvas de Bode para rede passa-altas

Integradores e Diferenciadores

• Aplicações com Amp Op -> resistores na malha de realimentação -> operação independente da frequência.

• Exceção: utilização de capacitor para minimizar o efeito das imperfeições cc dos Amp Ops.

• Utilização de capacitores juntamente com resistores nas malhas de realimentação e de entrada dos Amp Ops: integradores e diferenciadores

A configuração inversora com impedâncias generalizadas

• Trocando-se s por jw, obtém-se a função de transferência em regime permanente senoidal.

)(

)(

)(

)(

1

2

sZ

sZ

sV

sV

i

O

• Configuração inversora de malha fechada: trocar R1 e R2 por Z1(s) e Z2(s).

Exemplo 2.6 – pág 67 (Sedra/Smith)

Para o circuito abaixo, obtenha a expressão da função de transferência VO(s)/Vi(s). Mostre que a função de transferência obtida é semelhante àquela obtida para o circuito passa-baixas CTS. Expressando a função de transferência na forma padrão, obtenha a expressão do ganho cc e a frequência de corte (ou de 3 dB).

Projete um circuito de forma a ter ganho cc de 40 dB, frequência de corte de 1 kHz e resistência de entrada de 1 kW. Em que frequência o ganho torna-se unitário? Qual a fase do sinal de saída nessa frequência?

)(

)(

)(

)(

1

2

sZ

sZ

sV

sV

i

O

11 RZ

2

22

1||

sCRZ

12

2

1

1

)(

)(

RsCR

RsV

sV

i

O

Exemplo 2.6

Função de transferência de 1ª ordem

• Ganho cc finito (-R2/R1) para s = 0.

• Ganho zero para frequências infinitas.

• Corresponde à função de transferência de uma rede passa-baixas com constante de tempo simples (CTS)

22

1

2

1)(

)(

RsC

R

R

sV

sV

i

O

1

2

R

RK

22

0

1

RCw

Ganho:

Frequência de corte:

Constante de tempo da rede CTS: 22RC

Para R1 = 1 kW, e ganho cc de 40dB (100V/V) -> R2 = 100 kW.

Exemplo 2.6

Para fo = 1 kHz

3

2

3

10.100.

110.2

C C2 = 1,59 nF

Como o ganho decresce a uma taxa de -20dB/década, alcançará 0 dB após duas décadas, isto é, em f = 100.f0 = 100 kHz.

Nessa frequência, que é muito maior que f0 a fase é aproximadamente -90o.

A esse valor, devemos adicionar 180o em razão da natureza inversora do amplificador.

Portanto, para 100 kHz, o desvio total da fase será -270o, ou seja, 90o.

Exemplo 2.6

O circuito integrador inversor

Realiza a operação matemática de integração.

R

tvti I )()(1

A corrente i1 flui através do capacitor C, resultando em carga que se acumula em C.

Se o circuito começa a operar em um instante t = 0, então em um instante arbitrário, a corrente i(t) terá depositado em C uma carga igual a

t

dtti0

1 )(


t

c dttiC

tv0

1 )(1

)(A tensão no capacitor mudará de

Se a tensão inicial no capacitor (em t = 0) for indicada por VC, então

t

Cc dttiC

Vtv0

1 )(1

)(

A tensão de saída vO(t) é igual a –vC(t), logo:

C

t

IO VdttvCR

tv 0 )(1

)(

Portanto, esse circuito fornece uma tensão de saída que é proporcional à integral temporal da entrada, em que VC é a condição inicial de integração e CR é a constante de tempo de integração.


Este circuito é conhecido como integrador Miller em homenagem a seu inventor. A operação do circuito integrador inversor pode ser descrita no domínio da frequência, substituindo Z1(s) = R e Z2(s) = 1/sC:

sCRsV

sV

i

O 1

)(

)(


Em regime permanente senoidal, s = jw:

CRjjV

jV

i

O

ww

w 1

)(

)(

Módulo:

Fase:

CRV

V

i

O

w

1

O90


Se w dobra, o módulo da função de transferência cai a metade (6 dB).

CRV

V

i

O

w

1

A linha dB x w intercepta a linha de 0 dB em: conhecida como frequência do integrador.

CR

1int w

O circuito integrador inversor • O integrador comporta-se como uma rede passa-

baixas com frequência de corte nula.

• Em w = 0, o ganho da função de transferência é infinito (em cc o Amp Op está operando em malha aberta).

• Qualquer componente cc muito pequeno no sinal de entrada produzirá teoricamente uma saída infinita .

• Na prática, ocorrerá a saturação na saída do Amp Op.

• Portanto, o circuito integrador sofrerá efeitos danosos em virtude da presença de corrente ou tensão de offset cc na entrada do Amp Op.

Efeito da tensão de offset cc na entrada VOS

• Se no instante t = 0 a tensão no capacitor seja zero, a tensão de saída em função do tempo será dada por:

• vo aumenta linearmente com o tempo até o Amp Op saturar.

tCR

VVv OS

OSO

Efeito da corrente de offset cc na entrada VOS

• Uma resistência R foi adicionada no terminal de entrada positivo do Amp Op.

• A corrente de offset IOS fluirá através de C e provocará uma variação linear com o tempo em v0 até que o Amp Op sature.


• O problema cc do circuito integrador pode ser atenuado conectando-se um resistor RF em paralelo com o capacitor C do integrador.

Este resistor proporciona um caminho cc pelo qual as correntes cc (VOS/R) e IOS possam circular, resultando em um vO com uma componente cc de: em vez de crescer linearmente.

FOSF

OS RIR

RV

1

O circuito integrador inversor • Para manter uma tensão de offset cc pequena na saída,

RF deveria ser um valor baixo.

• Mas quanto menor o valor de RF, menos ideal se torna o circuito integrador.

F

F

I

O

sCR

RR

sV

sV

1

/

)(

)(

• Portanto, na hora de selecionar RF, o projetista terá o compromisso entre o desempenho cc e o desempenho de sinal.

Exemplo 2.7 – pág 70 (Sedra/Smith)

Ache o sinal de saía produzido por um integrador Miller em resposta a um pulso de entrada com amplitude de 1 V e largura de 1 ms. Seja R = 10 kW e C = 10 nF. Se o capacitor C estiver em paralelo com um resistor de 1 MW, como se modificará a resposta de saída? O Amp Op satura em ±13V.

Em resposta ao pulso com 1 V de amplitude e 1 ms de largura e considerando a tensão inicial do capacitor igual a zero::

Exemplo 2.7

t

O dtCR

tv0

.11

)( mst 10

Para C = 10 nF e R = 10 kW, CR = 0,1 ms, e:

ttvO 10)( mst 10

O pulso de 1 V resulta em uma corrente constante (1 V/ 10 kW = 0,1 mA) através do capacitor.

Essa corrente constante carrega o capacitor provocando um aumento linear na tensão em seus terminais até o tempo de 1 ms, duração do pulso do sinal de entrada.

Caso o pulso tivesse uma duração maior, a tensão no capacitor continuaria a aumentar linearmente até atingir a tensão de saturação do Amp Op (-13V).

Exemplo 2.7

RF = 1MW em paralelo com o capacitor

Exemplo 2.7

O pulso de 1 V resulta em uma corrente constante (1 V/ 10 kW = 0,1 mA) através da rede composta pelo capacitor em paralelo com o resistor RF.

Exemplo 2.7

FCR

t

OOOO evvvtv

.)0()()()(

VIRv FO 10010.110.1,0)(63

Onde: VvO 0)0(

O sinal de saída será uma exponencial tendendo a -100 V com uma constante de tempo de CRF = 10 ms.

101100)(

t

O etv mst 10

Exemplo 2.7

A exponencial será interrompida no tempo t = 1 ms e a tensão de saída neste momento será:

VemsvO 5,91100)1( 10

1

Os integradores podem ser empregados para geração de ondas triangulares a partir de onda quadrada aplicada à sua entrada.

Exercício 2.27 – pág 72 (Sedra/Smith)

Considere uma onda quadrada simétrica de 20V pico a pico, com valor médio nulo e 2 ms de período aplicada em um integrador Miller. Calcule o valor da constante de tempo CR, tal que a onda triangular na saída tenha uma tensão de 20 V pico a pico.

Resposta: 0,5 ms


Utilizando um Amp Op ideal, projete um integrador inversor com uma resistência de entrada de 10 kW e uma constante de tempo de integração de 10-3 s. Qual é o valor do módulo do ganho e o ângulo de fase desse circuito em 10 rad/s? E em 1 rad/s? Qual é a frequência na qual o valor do ganho é unitário?

Resposta: R = 10kW, C = 0,1 mF;

em w = 10 rad/s: |VO/Vi| = 100 V/V e = +90o;

em w = 1 rad/s: |VO/Vi| = 1.000 V/V e = +90o;

1.000 rad/s


Considere um integrador Miller com constante de tempo de 1 ms e uma resistência de entrada de 10 kW. Suponha que o Amp Op tenha VOS = 2 mV e a tensão de saturação de saída seja ±12 V. (a) Supondo que, ao ser ligada a fonte de alimentação, a tensão no capacitor seja zero, quanto tempo leva para o amplificador saturar? (b) Determine o maior valor possível para o resistor de realimentação RF de modo que o sinal de saída possa variar dentro de pelo menos ±10 V. Qual a frequência de corte da rede CTS resultante?

Resposta: (a) 6 s; (b) 10 MW, 0,16 Hz

O circuito diferenciador com Amp Op

Intercambiando a posição do capacitor com a do resistor no circuito integrador:

que realiza a função matemática de diferenciação.

O circuito diferenciador com Amp Op • Seja uma entrada vI(t)

• Esta tensão aparecerá sobre o capacitor C.

• A corrente através de C será:

dt

dvCI I

C

dt

tdvCRtv I

O

)()(

• que também fluirá sobre o resistor de realimentação.

• Portanto, a tensão na saída será:

O circuito diferenciador com Amp Op • A função de transferência no domínio da frequência

será:

• Em regime permanente senoidal:

sCRsV

sV

I

O )(

)(

CRjsV

sV

I

O w)(

)(

Módulo: Fase:

CRV

V

I

O wO

90

O circuito diferenciador com Amp Op • Diagrama de Bode para o circuito diferenciador:

Para um aumento de uma oitava em w, o módulo do ganho dobra de valor (aumenta 6 dB).

• Quando w = 1/CR, o ganho é unitário (0dB) e o produto CR é constante de tempo do circuito diferenciador.

O circuito diferenciador com Amp Op • A resposta em frequência de um circuito

diferenciador pode ser entendida como um filtro passa-altas CTS e frequência de corte infinita.

• As características deste circuito se apresenta como um “ampliador de ruídos”, pois mudanças bruscas na entrada provocam grandes variações na saída.

• Por esta razão e devido a problemas de estabilidade estes circuitos são geralmente evitados na prática.

• Para minimizar estes efeitos, pode-ser utilizar resistores de pequeno valor em série com o capacitor, descaracterizando o circuito de um diferenciador ideal.


Projete um diferenciador que tenha uma constante de tempo de 10-2 s e uma capacitância de entrada de 0,01 mF. Qual é o módulo e qual é a fase do ganho desse circuito em 10 rad/s e em 103 rad/s? A fim de limitar o ganho de alta frequência do circuito diferenciador em 100, um resistor é associado em série com o capacitor. Obtenha o valor do resistor necessário.

Resposta: C = 0,01 mF; R = 1 MW;

em w = 10 rad/s: |VO/Vi| = 0,1 V/V e = -90o;

em w = 1.000 rad/s: |VO/Vi| = 10 V/V e = -90o;

10 kW.

Lista de Exercícios

2.1

2.5

2.6

2.8

2.14

2.15

2.18

2.19

2.21

2.26

2.29

2.34

2.37

2.38

2.44

2.46

2.48

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