11. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB …civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano5/de/acetatos/capitulo_11.pdf · entre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez (no eixo de simetria)

FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 91

11.1 MODELOS DE ANÁLISE

Vigas e pilares Elementos de barra com 6 g.l. por nó

Lajes e paredes Elementos finitos de laje e casca

• Modelo Espacial (3D) da Estrutura (Método “exacto” – padrão)

• Elevado nº de g.l. e dificuldade de analisar e sistematizar resultados

SIM

PLI

• Nº razoável (baixo) de g.l. (3 x Nº de pisos)

• Consideração de comportamento 3D

• Análise e sistematização de resultados mais fácil (por pórtico)

Associação de sub-estruturas planas de contraventamento (pórticos e/ou paredes) numa só direcção

Compatibilização pelo piso rígido, apenas segundo o deslocamentohorizontal do plano

• Associação plana (estrutura comboio)

• Facilidade de utilização com um programa de pórticos planos

• Consideração de comportamento numa só direcção

• Facilidade de análise e sistematização de resultados (por pórtico)

11. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB ACÇÕES HORIZONTAIS

1111. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB . ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB ACÇÕES HORIZONTAISACÇÕES HORIZONTAIS

FIC

AÇ

ÃO

• Modelo de 3 g.l. por piso

Associação de sub-estruturas planas de contraventamento (pórticos e/ou paredes) em qualquer direcção

Compatibilização pelo piso rígido, segundo 3 deslocamentos horizontais (X, Y e rotação)


11.2 ANÁLISE PLANA DE ESTRUTURAS PÓRTICO-PAREDE SOB ACÇÕES ESTÁTICAS HORIZONTAIS

11.2.1 Notação de forças globais e locais

∑=

=n

ij

pi

pi fF

H3

iH T i

2H

1H

3HT3 =

T2 = H3 + 2H

2+ H1 3H=T H1+

SOB O PISO

ALÇADO

PLANTA

NO PISO

1

2

+

NO PISO SOB O PISO

f3

=3F

p

pf

pf

p pf3

3fpp

F =2pf2

2fp

1 =Fp pf3 + + pf1

LOCAL (Piso i)

(Pórtico p)

GLOBAL (Piso i)

∑=

=n

ijji HT

ptiR = forças de corte sob o piso i (ou na base), no grupo de

pórticos iguais de tipo pt, devido apenas ao movimento de translação.

piI = força de corte sob o piso i (ou na base), no pórtico p,

devido apenas ao movimento de translação.


11.2.2 Estruturas simétricas com solicitação simétrica

• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bielas rígidas)

• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez dos pórticos

• Não há torção global

• Pisos rígidos no próprio plano

Deslocamentos horizontais iguaisnos pórticos e nas paredes (compatibilização de deformadas)

H

1

2

3

4

5

6

PLANTA

• Modelação

CORTEPISOS

5

4

3

2

1

0

BIELAS AXIALMENTE

RÍGIDAS

H5

3H

1H

4xPT1 2xPT2

EA ≅ ∞

EI ≅ 0

EA = 1000 EAvig

EI = EIvig / 1000Exemplo:

• 4 pórticos “simples” (1,2,5,6) PT1

• 2 pórticos “mistos” (3,4) PT2

ATT:

A deformabilidade axial das vigas pode introduzir erros.

Para os evitar, incrementá-la, condicionando as dimensões das secções.


• A modelação adoptada permite obter directamente as forças de corte , para cada grupo de pórticos pt sob o piso i, através da soma dos esforços transversos dos correspondentes pilares/paredes que suportam esse piso.

ptiR

4xPT1

H1

H3

H5

2xPT2

4H

2H

R11

2R1

1R3

1R4

1R5

RT1

2

3

4

5R2

R2

R2

2R

1R2

T2R

• Para cada pórtico p, as forças de corte sob o piso i, obtêm-se dos anteriores dividindo pelo número de pórticos do grupo em que aquele se insere.

piI

==→

====→

2/2PT

4/1PT243

16521

iii

iiiii

RII

RIIII

• Para cada pórtico p, as forças no piso obtêm-se das anteriores por equilíbrio, subtraindo as forças de corte em entre-pisos sucessivos, i.e.:

pif

pi

pi

pi IIf −= +1

Claro que também pode ser feito logo ao nível das forças (e ) e depois dividido pelo número de pórticos do grupo.

ptiR pt

iR 1+


• Se a rigidez for uniforme em altura, a obtenção daquelas forças no piso pode ser feita pela relação da rigidez na base, i.e., pela razão dos cortes basais nos vários pórticos.

Designando por a fracção de corte basal total que é equilibrada pelos pórticos de tipo pt, i.e.

pif

ptr

b

ptTpt

RRr =

então as forças de corte sob o piso i, assim como as forças no mesmo piso, num dado pórtico p, vêm dadas por

pt

ptip

ipt

ptip

i NrHf

NrTI ×=×= ;

em que é o número de pórticos do tipo pt e é a força global de corte sob o piso i.

ptN iT

piI

• Se a rigidez variar em altura para troços (conjuntos de pisos) este processo pode ser adoptado apenas nos troços em que a rigidez semantém. Nos pisos com transição de rigidez, as forças de corte e de piso têm de ser obtidas atendendo a essa variação de rigidez.p

if


11.2.3 Estruturas simétricas com solicitação não-simétrica



• Correcção de efeitos devido à torção global resultante da excentricidade entre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez (no eixo de simetria)

i) Só translação (e = 0)

• Modelação (“em comboio”)

4

5

6

H

PLANTA

1

2

3

CR

e

4xPT1

H1

H3

H5

2xPT2

4H

2H

R11

2R1

1R3

1R4

1R5

RT1

2

3

4

5R2

R2

R2

2R

1R2

T2R

a) obtenção de esforços de corte entre pisos e na base, para cada grupo de pórticos tipo:

0

1

2

3

4

5PISOS CORTE

=

=⇒

basalcorte

pisodoabaixocorte1PT

1

1

T

i

R

iR

=

=⇒

basalcorte

pisoosobcorte2PT

2

2

T

i

R

iR

b) Repartição pelos pórticos de cada grupo

==→

====→

2/2PT

4/1PT243

16521

iii

iiiii

RII

RIIII • 4 pórticos “simples” (1,2,5,6) PT1

• 2 pórticos “mistos” (3,4) PT2


ii) Correcção com efeito da torção (H.e)

• As forças obtidas para cada pórtico p abaixo do piso i (devidas só à translação) dão uma medida da rigidez desse pórtico ao nível desse piso (porque foram obtidos por imposição de iguais deslocamentos de piso).

• Podem assim ser usadas como “rigidez” para quantificar o efeito da rotação!!

piI

4

6

5

RC

3

2

1

4I

5I

3

2

1I

I

I

6I 6

5

∆I1

2

3

4

∆I

∆I

∆I

∆I

∆I

5

1d

d6

d2

d4

3d

H d

e

CRu

θ

Pd

θ

Pδ =u+θ dP

Pk ~ PI

u = TRANSLACÇÃO ROTAÇÃO = θ

• Admite-se por simplicidade, a situação em que a rigidez é uniforme em altura, e trabalha-se então ao nível da base (se não for, há que atender às variações de rigidez).

∑=p

pIH


Só devido à rotação (θ) provocada pelo momento (H.e), i.e. para translação nula (u = 0), vem, em cada pórtico:

( ) pp

pp

ppp dIdIkI ⋅⋅=⋅=⋅=∆ θαθαδ

pp IK ~ pp d⋅+= θδ 0

pp IK ⋅=⇔ α

Por equilíbrio tem-se:

( )

( )∑

∑ ∑=

=⋅=⋅∆=⋅

pp

p

p pp

pp

p

dI

dIdIeH

2

2

θα

θα ( ) ( )∑

⋅=∴

pp

pdIeH

2θα

donde:

pp

pp

pp dI

dIeHI ⋅⋅⋅=∆

∑ 2

A força total em cada pórtico vem então

pp

pp

ppppp dI

dIeHIIIF ⋅⋅⋅+=∆+=

∑ 2

⋅

+×=⇔∑∑

p

pp

pp

p

pp ddI

IeIF 21

∑=p

pIHou seja, atendendo a que

Designando por

( )∑∑

⋅

+=

pp

pp

pp

p

dI

Ide

21ξ

o factor de agravamento devido à excentricidade das forças horizontais, e sendo uniforme a rigidez em altura, pode obter-se directamente as forças ao nível do piso i através da força global nesse piso, segundo a expressão:

p

pt

pt

ip

i NRHf ξ××=

factor de repartição para o pórtico p.


11.2.4 Estruturas não-simétricas com solicitação qualquer (simétrica ou não)



• Determinação da posição do centro de rigidez

• Correcção de efeitos devido à torção global resultante da excentricidade entre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez

i) Só translação (e = 0)

0

H

x

4

5

3

PLANTA

1

2

PT1

H

PT2

PT2

PT1

PT1

x+

• Modelação (“em comboio”)

5H

4H

3H

2H

1H

3xPT1R1

T2xPT2

TR2

0

1

2

3

4

5PISOS CORTE

=→

==→32

541

2PT

1PT

ii

iii

II

III

obtenção de esforços de corte entre pisos e na base, nos pórticos tipo e repartição pelos pórticos de cada grupo como no caso das estruturas simétricas

• 3 pórticos PT1 (1,4,5)

• 2 pórticos PT2 (2,3)

==→===→

2/23/1

232

1541

iii

iiii

RIIPTRIIIPT


ii) Obtenção da posição do centro de rigidez

• Com base nas forças que são uma medida da rigidez do pórtico psob o piso i.

• O centro de rigidez encontra-se na linha de acção da resultante dessas forças.

piI

4

I

(+)d

PT15

PT1

PT2

PT2

PT1

0

2

1

3

RC

+x

4

x5

x4

x3

1x

2x

Cx

I 5

4I

I 3

I 2

I1

R

∑∑ ⋅=⋅p

pp

p

pC xIIx

R

∑∑ ⋅

=

p

pp

pp

C I

xIx

R

iii) Correcção com efeito de torção

Redefinição prévia de coordenadas, agora em relação ao centro de rigidez:

RCpp xxd −=• De cada pórtico

• Dos pontos de aplicação das forças totais (H):(excentricidade)

RCH xxe −=

p/ piso

Aplicação directa da expressão já atrás obtida:

⋅

⋅+×=∑∑

p

pp

pp

p

pp ddI

IeIF 21 força de corte sob o piso i

ou da sua equivalente para as forças ao nível do piso.pif


11.3 ANÁLISE SÍSMICA PLANA DE ESTRUTURAS PÓRTICO / PAREDE

Baseada no Método de Rayleigh

11.3.1 Estruturas simétricas (em termos de rigidez e massa)

i) Modelação “em comboio” e cálculo para a totalidade das cargas gravíticas Gi em cada piso. Obtém-se os deslocamentos de piso di.

ii) Cálculo da frequência e das acelerações espectrais regulamentares

),(max21

2 III aaaii

ii SSSdGdG

gf =→=∑∑

π ... ASR

iia

i dGg

wSfη2

2

=iii) Determinação das forças sísmicas

iv) Cálculo da associação de pórticos para as forças sísmicas fi :

- os esforços obtidos são os devidos à acção sísmica e

- os deslocamentos devem ser multiplicados por η.

v) Os esforços e deslocamentos finais obtêm-se multiplicando os anteriores pelo factor correctivo de torção

(válido se a rigidez for uniformemente distribuída em planta)a

x6.01+=ξ


11.3.2 Estruturas não-simétricas (em termos de rigidez e/ou massa)

1ª Fase: Como nas estruturas simétricas – só translação

i) Modelação “em comboio” e cálculo para a totalidade das cargas gravíticas Gi em cada piso. Obtém-se os deslocamentos de piso di.

ii) Cálculo da frequência (estando-se a desprezar o efeito de torção na determinação da frequência) e da aceleração espectral regulamentar Sa .

iii) Determinação das forças sísmicas globais fi

iv) Cálculo da associação de pórticos para as forças sísmicas globais fi

2ª Fase: Correcção com o efeito de torção

v) Cálculo da rigidez relativa dos pórticos e do centro de rigidez, com base nos resultados da análise para as forças sísmicas globais fi

vi) Correcção da excentricidade relativa ao centro de rigidez com asexcentricidades definidas no Art.º 32.2 do RSA

aeabe

i

ii

05.005.05.0

2

1

=+=

a

bi

CRie2i 1ie

Cgi

iFiCRG bxxii=−=

p

pp

pp

p

ddI

Ie

∑∑⋅

+ 2.1v) Agravamentos das forças nos pórticos pelo factor

sendo conforme o que for mais gravoso para o elemento considerado, mas considerando em todos os pisos simultaneamente.

iGiG exeexeii 21 ou −=+=

ii ee 21 ou


11.4 ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DE EDIFÍCIOS

- MODELO DE 3 GRAUS DE LIBERDADE POR PISO

vi

ui

iθ

yz

x

RIGIDEZ INFINITA NO PLANO

3 graus de liberdade / piso

11.4.1 ANÁLISE ESTÁTICA.

DESLOCAMENTOS, FORÇAS E EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

iuiv

iθ

− Deslocamento do andar i na direcção x

− Deslocamento do andar i na direcção y

− Rotação do andar i

[ ]nnnT vuvuvua θθθ ...222111~

=

[ ]nynxnyxyxT MFFMFFMFFF ...222111~

=

~K ( )nn 33 ×• Matriz de rigidez

~~~FaK =


11.4.1.1 Matriz de Rigidez e Vector Solicitação Global

A matriz de rigidez da estrutura global é devida:

- aos pórticos e paredes que só têm rigidez no seu plano e

- às caixas de escadas, que têm rigidez nos 2 planos e rigidez à torção

i) Contribuição da rigidez dos pórticos e paredes nos seus planos

A matriz de rigidez pode ser obtida:~ pK

d iQ i − Pela via Directa (impondo deslocamentos unitários num dos andares e zero nos outros)

− Através da matriz de flexibilidade

(impondo forças unitárias sucessivamente em cada andar).

~~~QdK p =

Uma força f na direcção do pórtico é equivalente a:

na direcção xαcosfy

xα

ρ0

f. ρ

f sen α

f

f cos α

na direcção yαsenf

momento em relação a Oρf

e corresponde ao sub-vector:

321

~

sen

cos

t

f

⋅

ρ

α

αOXY é o referencial global da estrutura.


Também ao nível dos deslocamentos se tem:

iiii vud θραα ++= sencosy

xα

θi

ui

iv

di

[ ]iiiT

ivua θ=

~

~~ iT

i atd =

~~

~~~

aT

QdK

T

p

↑

=

⋅⋅ ~~ TT

~~~~~~QTaTKT T

p =

~~~aTd T=

=

~

~2

~1

~

ma

a

a

aM

~~~ pGp FaK =

Contribuição da rigidez do pórtico p para a matriz de rigidez global

Contribuição da solicitação no pórtico p para a solicitação global.

=

~~

~

~~

0

0

T

T

T

T

t

t

t

T

e definindo o seguinte sub-vector:

vem

Ou seja, em termos dos vectores relativos a todos os pisos

Pelo que a relação de rigidez local se pode transformar do seguinte modo

}com

⇔

Relativamente à rigidez de translação, as paredes dos núcleos de caixa de escadas e/ou elevadores também podem (geralmente, devem) entrar deste modo, especialmente quando se encontram ligadas a outros elementos verticais através de vigas com rigidez à flexão significativa.


ii) Contribuição da rigidez à torção dos núcleos

Se forem núcleos abertos, essa rigidez é praticamente desprezável.

Se forem fechados ou ligados por padieiras com rigidez elevada pode usar-se a teoria de Sain-Venant para estimar a rigidez de torção

( )vEGGIM tt +== 12//θ

Procura-se substituir a zona das aberturas por uma parede mais delgada devidamente calibrada para ter uma espessura que garanta ao conjunto uma rigidez equivalente à do núcleo com as aberturas.

s

++⋅

=

cN

N

GAl

IIhIl

EIlhG

ls

22

12

2A espessura da parede fictícia pode ser estimada por

− Vão da viga padieiral

− Distância entre meios pisos vizinhosh

− Área reduzida de corte da viga padieiracA

− Momento de inércia da parcela da parede vertical do núcleo que está ligada à padieira.

NI

o que permite calcular o momento de inércia de torção It e a respectiva rigidez de torção GIt.

Estes termos de rigidez de torção são adicionados aos termos da diagonal principal da matriz global correspondentes a cada piso da estrutura.


11.4.1.2 Resposta Global e Repartição pelos Elementos Estruturais

~~~FaK =

permite obter os deslocamentos globais que, depois, ao nível de cada piso permitem calcular os locais de cada pórtico ou parede dados por

~a

A resolução do sistema de equações global

As forças que provocam os deslocamentos nos pórticos são:

~~ iT

i atd =

~d

~~~dKQ p ⋅=

que aplicadas no pórtico inicial permite a sua resolução em conjunto com outras acções.

11.4.2 ANÁLISE DINÂMICA

11.4.2.1 Matriz de massa

Ao nível de cada piso

x

y

0

G

−

−=

pGG

G

G

i

Imxmymxmmym

M 00

As várias sub-matrizes de cada piso são espalhadas na matriz de massa global ao longo da diagonal principal de blocos de 3x3.

11.4.2.2 Determinação de frequências, modos de vibração, etc.

Da forma habitual usando a matriz de rigidez e massa com 3g.l./piso.


11.4.2.3 Factores de participação modal

Para cada modo de vibração gnYgynXg

xnnnnnnn LuLuLywywy θξ θ &&&&&&&&& ++=++ 22

[ ]~~~~~

/....001001 nTn

TTn

xn MML φφφ=

[ ]~~~~~

/....010010 nTn

TTn

yn MML φφφ=

[ ]~~~~~

/....100100 nTn

TTnn MML φφφθ =

11.4.2.4 Espectros de resposta

Máxima coordenada modal n relativa à direcção de vibração j ( j= x,y,θ):

jn

jdnj LSy

n⋅= 222 ;; nadn

Ya

Ydn

Xa

Xd wSSwSSwSS

nnnnnn

θθ ===

deslocamento espectral para o modo n e devido à direcção j

( )∑∑ ⋅⋅=n j

jn

jdini LSQQ

n

2

max

Recorrendo à combinação quadrática simples (CQS), a resposta máxima vem

valor da quantidade genérica Qi para a configuração do modo n

ou usando uma combinação quadrática completa (CQC)

( ) ( )∑∑∑∑ ===j

jd

jninin

j

jd

jmimim

m ninimmni nm

SLQqSLQqqqQ 22 ;;max

ρ

Valor máximo da contribuição do m-ésimomodo para a i-ésima resposta

( )( ) ( ) ( ) m

n

nmnm

nmnmmn w

wrc/rrrr

rr=

++++−

+= ;

4141

8222222

2/3

ξξξξξξξξ

ρ

− valores regulamentares de aceleração espectral (modo n)nnn aYa

Xa SSS ==

cwS

Sn

aa

n

n 22=θ − aceleração espectral de rotação (modo n)

− velocidade de propagação do movimento sísmicoc


Este processo de combinação de respostas corresponde a:

C.Q.S.DIRECÇÕES DA ACÇÃO

POR MODO

C.Q.C.CONTRIBUIÇÕES MODAIS

SEGUIDA DE:

C.Q.S.COMBINAÇÃO QUADRÁTICA SIMPLES

C.Q.C.COMBINAÇÃO QUADRÁTICA COMPLETA

Alternativamente pode-se (deve-se) usar outra sequência:

C.Q.S.CONTRIBUIÇÕES TOTAIS

POR DIRECÇÃO

SEGUIDA DE:C.Q.C.

CONTRIBUIÇÕES MODAIS POR DIRECÇÃO

ou seja, para a resposta genérica :iQ

( ) ( )∑∑= =

⋅=N

n

N

m

jninmn

jmim

ji yQyQQ

1 1max

ρ

( ) ( ) ( )222

maxmaxmaxmax θ

iYi

Xii QQQq ++=

!! SINAIS !!

Máximo por direcção da acção

θ,,YXj =

Este processo (C.Q.C. → C.Q.S.) é mais correcto:

• atende à “eventual dependência entre modos (sinais; ρmm);

• preserva a “independência” entre efeitos de direcções de acção distintas;

• … dá resultados mais realistas!!

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