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Mecânica & Ondas
Relatividade de Einstein
J. Seixas
© J. Seixas (DFIST) 2001
© J. Seixas (DFIST) 2001
Interferómetros• As diferenças de fase
podem ser usadas para medir distâncias com grande precisão porque pequeníssimas distâncias se convertem em distâncias angulares mais facilmente mensuráveis. Precisão depende do tamanho do caminho óptico
• Primeiro exemplo: Interferómetro de Michelson
© J. Seixas (DFIST) 2001
Interferómetros• Interferómetro de
Michelson:
dll’
,...2,1,0cos2
cos2sincos2
coscos' 2
mmd
ddddll
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Interferómetros• Interferómetro de
Fabry-Perot
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• Onde se propaga a luz?• Como diferem a luz e o som?• Como varia a velocidade da luz com a velocidade do observador?• A experiência de Michelson-Moreley.• Dificuldades com o grupo de Galileu. • Então e o éter?
© J. Seixas (DFIST) 2001
Diferenças de tempo = Diferença de fase
Interferómetro: Medida extremamente precisa
© J. Seixas (DFIST) 2001
Detalhes...
cc
V
V
d
d
2
2
2
222221 212
1
12cV
cd
cVc
d
Vc
d
Vc
dT
2
2
2
22 12
1
12cV
cd
cVc
dVcd
VcdT
Ach so!
Vêlocidade da luz sêrr independente da vêlocidade do observadorr!
Mas experimentalmente não se observa diferença!
© J. Seixas (DFIST) 2001
1'e
3'e
2'e
constV Referencia
l S’
1e
2e
3eReferencia
l S
Leis da Física devem sêrr as mesmas parra tôdos os rêfêrrênciais de inêrrcia! (Mêcânica ê Êlêctromagnetismo)
© J. Seixas (DFIST) 2001
d
1'e
3'e
2'e
Referencial S’
cd
cd
cdt 2'
dl l
Vt
1e
2e
3eReferencial
S
222
21 ldVt
222
21
21
21
cttcVt
2
2
1
'
cV
tt
V
© J. Seixas (DFIST) 2001
Exemplo:Uma partícula tem uma vida média em repouso de 1.53×10-6 s. Estas partículas encontram-se facilmente nos raios cósmicos com velocidades da ordem de 0.992 c. Em quanto tempo percorrem a distância de 1920 m do ponto de vista do referencial próprio do muão?
Resposta:
O tempo que um demora apercorrer 1920 m é (no referencial do laboratório)
sc
t 61045.6992.0
1920
No referencial próprio do isto corresponde a
st 5
2
6
101.5992.01
1045.6
ee
© J. Seixas (DFIST) 2001
1'e
3'e
2'e
Referencial S’
l
clt
2 tcl 2
1e
2e
3eReferencial
S
l
V
1Vt2Vt
cVtl
t 11
cVtl
t 22
21 ttt
22
2Vcclt
2
2
12cVctl
Dilatação do tempo 2
2
1cVll
© J. Seixas (DFIST) 2001
r
vt)k(xx' bx)a(tt'
A
O grupo de Lorentz
1e
2e
3e
Referencial S
'r
Referencial S’
1'e
3'e
2'e constv
222 tcr
222 tcr
22222 tczyx 22222 t'cz'y'x'
zz'yy'
vt
O ponto x’ = 0 de S’ corresponde ao ponto x = vt de S
Galileu:k = a = 1 b = 0
?OOO O
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22222222222 xb2xbttaczytv2xvtxk
Usando as novas relações entre x, x’,t e t´ 22
2
2222222222222 tc
cvkazyxtcbavk2xcabk
1 cabk 2222 0cbavk 222 1cvka 2
222
Resolvemos este sistema de 3 equações para obter k, a e b
2
2
cv1
1ak
2
2
cvb
vt)k(xx' bx)a(tt'
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2
2
2
2
2
cv1
xcvt
t
zzyy
cv1
vtxx
Grupo deLorentz
© J. Seixas (DFIST) 2001
Invariantes
A distância
é um invariante
22BA rrs
A distância
é um invariante 222222
BABABABA ttczzyyxxs
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1e
2e
3e
Referencial S
1'e
3'e
2'e
constV Referencia
l S’
vv ?
v
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dtdzvdt
dyvdtdxv zyx
Como abordar o problema:v ?
tdzdvtd
ydvtdxdv zyx
v
2
2
2
2
2
cV1
xcVt
t
zzyy
cV1
Vtxx
dt
cV1
c vV1
cV1
dxcVdt
td
dzzddyyd
dt
cV1
Vv
cV1
dtVdxxd
2
2
2x
2
2
2
2
2x
2
2
Dividir
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2x
2
2
z
z
2x
2
2
y
y
2x
xx
cVv1
cV1v
tdzdv
cVv1
cV1v
tdyd
v
cVv1
Vvtdxdv
Adição de velocidades
? cVx cVx OK!
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E as acelerações?
2
2
2
2
3
2
23
2
2
1
1
1
1
cVa
a
cVa
a
cVv
cV
atddt
dtvd
tdvd
a
dtdv
adtdv
adtdv
a
zz
yy
x
xxx
x
zz
yy
xx
2
2
2
22
2
1cVcaVa
a
23
2
2
1
cV
aa
aV ||aV
© J. Seixas (DFIST) 2001
Exemplo 2:Um foguete tem um comprimento L=600m medida em repouso na Terra. Ele move-se directamente para longe da Terra com uma velocidade constante. Um sinal radar é enviado da Terra e reflecte-se em instrumentos colocados na cauda e no nariz do foguete. O sinal reflectido da cauda é detectado na Terra 200 s depois da emissão e o que vem do nariz 17.410-6 tarde. Calcule a distância e velocidade do foguete em relação à Terra.
Resposta:1ª parte: A velocidade do impulso é 3108
R
2R200 103 8 m103R 10
m21017.4 103 6-8 3106121
.
VtL s108.721017.4t 6
6
186
3ms102.31
108.7600102.61V
V~c!!
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Lorentz:
0.77cVβ
ctVtβ1L 2
0.9
1Lct
1Lct
β 2
2
A distância R tem o mesmo valor, claro!
Do cálculo anterior:
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Exemplo 1:A vida média de um + no seu referencial próprio é 2.510-8 s. Num feixe de mesões + com a velocidade 0.99 c, qual é a distância média que percorrem no laboratório antes de decair? Qual seria essa distância se os efeitos relativistas não existissem?
Resposta:No referencial do +:•formação do + : (x’,y’,z’,t’)=(0,0,0,0)•desintegração do + : (0,0,0,t’=2.5 10-8 )
No referencial do laboratório:•formação do + : (xi,yi,zi,ti)•desintegração do + : (xf,yf,zf,tf)
Grupo de Lorentz
O + está em repouso
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2
2
2
2
2
cV1
xcVt
t
zzyy
cV1
tVxx
O
OAtenção à velocidade relativa!
0t0z0y0x
i
i
i
i
2
2f
f
f
2
2f
cV1
tt
0z0y
cV1
tVx
2
2if
cV1
tVxx
2
2if
cV1
ttt
Dilatação do tempo!
52.7mxx 12 7.43mxx 12 Não relativista:
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• Numa experiência de colisão π->protão produz-se um K0 que decai ao fim de 10-1 em 2 mesões π de carga oposta. Se a velocidade do K0 for 2.24x10-1m/s determine a sua vida média em repouso.
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Energia-Momento em Relatividade
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O momento linear relativista• Vamos partir directamente da conservação do
momento porque as simetrias básicas do espaço-tempo se mantêm.
AA
B
A
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O momento linear relativista
AA
B
A
ddymp
dtdymp
B
B
Logo devagar. mentesuficiente mova seB que em lreferencia um escolher basta :próprio tempodo próximo
mentearbitraria posto ser pode tempoo mas
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O momento linear relativista
AA
B
A
2/122/122 //1
/
/ cdtdr
dtdrmcdrdt
drmddrmrmp
yy
pp
A
A
A
AA
ABAB
ByA
Logo,is.referencia os todosem mesmo o é próprio tempoo Mas
B. de visto A de movimento o que mesmo o é A de vistoB de movimento o que pensar basta assim, é que ver Para
e e momento do oconservaçã Por
© J. Seixas (DFIST) 2001
O momento linear relativista
AA
B
A
21
mvp
© J. Seixas (DFIST) 2001
• A posição no espaço-tempo é determinada por 4 componentes que variam consoante o referencial escolhido. No entanto o quadri-vector posição está bem definido e o seu módulo é invariante para todos os observadores. As posições das extremidades do 4-vector não mudam por se mudar de referencial.
• Esperamos o mesmo da energia e do momento.
O quadri-vector Energia-Momento
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• Consideremos o 4-vector (dt, dx,dy,dz)
• O 4-vector tangente à linha de universo é (dt/dτ, dx/dτ,dy/dτ,dz/dτ)
• Multipliquemos este vector por m. Temos
O quadri-vector Energia-Momento
vmvmp
mccmddtmp
2
2
2
20
1
1
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O quadri-vector Energia-Momento
pcE
mcE
cmcpE
pmvp
p
)repouso! em estar pode (não massa sem corpo um Para repouso em corpo um Para
massa! a éque norma uma tem momento-energia orquadrivect O
que se-Reparecorpo. do energia a é Logo, 0v quando
prática) (aula disso Alémenergia. de dimensões tem
!
.2/1
2
4222
020
0
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