11 - Torcao Em Barras de Secao Transversal Circular Cheia Ou Vazada

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Text of 11 - Torcao Em Barras de Secao Transversal Circular Cheia Ou Vazada

 Disciplina: Disciplina: Mecnica dos Slidos 2 Mecnica dos Slidos 2 Cdigo: Cdigo: ECIV030 ECIV030Professor: Professor: Eduardo Nobre Lages Eduardo Nobre LagesUniversidade Federal de Alagoas Universidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia Centro de TecnologiaCurso de Engenharia Civil Curso de Engenharia CivilMacei/AL Macei/ALToro em Barras de Seo Toro em Barras de Seo Transversal Circular Cheia Transversal Circular Cheia ou Vazada ou VazadaEduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnsaio de Toro Ensaio de ToroConsidere a barra prismtica de seo circular constituda de um mesmo material isotrpico e elstico linear, submetida a um torsor T em uma das extremidades e engastada na outra.Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de uma seo transversal no sofrem deslocamento na direo longitudinal.Atravs de ensaios ensaios observa-se que os pontos da mesma seo transversal sofrem o mesmo giro em relao ao eixo da pea.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL( ) 0 Z , Y , X u [ ] Deslocamentos, Deslocamentos, Deformaes e Tenses Deformaes e TensesyzLxT( ) ( ) X Z Z , Y , X v ( ) ( ) X Y Z , Y , X w 111]10 0 Y0 0 ZY Z 0dXd21[ ] 111]10 0 Y0 0 ZY Z 0dXdGyz xxyxzSoluo de Coulomb (1784)Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALyzLxT[ ]111]1 0 0 Y0 0 ZY Z 0dXdGEquaes Diferenciais de Equaes Diferenciais de Equilbrio em Tenses Equilbrio em TensesSimetria ij=ji0 bZ Y Xxzxyxxx + + + OK! OK!0 bZ Y Xyzy yy xy + + + 0dXdGZ 22 0 bZ Y Xzzzyzxz + + + 0dXdGY 22(X) deveser linear(X) deveser linearOK! OK!Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversal na Seo TransversalABCDyzRAC:' R Z R0 YdXdGZxy 0xz dXdGR dXdGR DB:' 0 ZR Y RdXdGYxz 0xy dXdGR dXdGR Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversal na Seo TransversalyzRA distribuio das tenses de cisalhamento ao longo dos eixos y e z numa seo transversal qualquer s apresenta o componente ortogonal no nulo (em y xy = 0 e xz 0 e em z xy 0 e xz = 0).Pela simetria do problema, como no existe restrio ao posicionamento dos eixos y e z na seo transversal, a distribuio anterior vale para qualquer direo diagonal da seo transversal.dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR rdXdGr R r 0 Caso a seo transversal seja vazada, a distribuio da tenso de cisalhamento continua valendo s que Ri r Re.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALGJTr JTr eEquivalncia Esttica entre o Momento Equivalncia Esttica entre o Momento Torsor Torsor e as Tenses de Cisalhamento e as Tenses de CisalhamentoyzRdXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGR dXdGr R r 0 rdF T AdA r A2dAdXdGr TA2dA rdXdGdXdGJ T GJTdXd ourEduardo Nobre Lages CTEC/UFALA2dA r JMomento Polar de Inrcia Momento Polar de InrciayzR2RJ4yz ( )4i4eR R2J ReRiEduardo Nobre Lages CTEC/UFALJTr GdXdr ( ) X tdXdGJdXd ,_ ( ) X tdXdT Relao cinemtica: Relao cinemtica:Relao constitutiva: Relao constitutiva:Equivalncia esttica: Equivalncia esttica:Equaes Governantes Equaes GovernantesEquao de equilbrio: Equao de equilbrio:dXdGJ T . . . . . .. . .t(X)XEduardo Nobre Lages CTEC/UFALJTr dXdGJ TG dXdr ( ) X tdXdT Problemas Isostticos Problemas Isostticos( ) X tdXdGJdXd ,_ Problemas Hiperestticos Problemas HiperestticosEstratgias de Soluo Estratgias de SoluoEduardo Nobre Lages CTEC/UFAL Condio de contorno( ) T L T Constante de integraoBarra Prismtica Barra Prismtica sob Toro sob ToroPor se tratar de um problema isosttico isosttico, o momento torsor pode ser facilmente determinado por alguma estratgia apresentada em Teoria das Estruturas 1 Teoria das Estruturas 1 ou pela integrao da EDO. Assim,De posse do momento torsor constri-se a tenso de cisalhamento como( ) ( )R r 0 e L X 0 JTrJr X Tr , X ( ) 0 X tdXdT ( ) C X T ( ) L X 0 T X T T C Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALCondio de contornoConstante de integrao( ) C XGJTX + Barra Prismtica Barra Prismtica sob Toro sob ToroDa relao cinemtica tem-seGJTr dXd( ) XGJTX 0 C ( )GJTLL Rotao da seo final da barra: Rotao da seo final da barra:Fazendo uso da relao constitutiva tem-se( ) ( )R r 0 e L X 0 GJTrGr , Xr , X ( ) 0 0 ( )2324vc3 4vcv max c max11AA e 11rR = == = Otimizao da Seo Otimizao da Seo Transversal Transversalyzrv c/ r / R =v cA / A2rJ r A4c2c= =yz( ) ( )44v2 2v12RJ 1 R A = =RREduardo Nobre Lages CTEC/UFALA / A / r / R =22vc4 4c maxmaxv c11AA e 11rR v += == = Otimizao da Seo Otimizao da Seo Transversal Transversalyzrv cA / Acmaxvmax/ r / R =2rJ r A4c2c= =yz( ) ( )44v2 2v12RJ 1 R A = =RREduardo Nobre Lages CTEC/UFALEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploConsidere agora a barra formada por dois trechos prismticos de mesmo materialPara descrever os campos das variveis de estado do problema devemos identificar intervalos de anlise a partir dos trechos onde h mudana na descrio do momento torsor e/ou da rigidez toro GJ.TL LG, J1G, J2O problema em pauta exige a considerao de dois intervalos de anlise, por exemploL X 0 e L X 02 1 < < X1X2Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploPor se tratar de um problema isosttico:( )2 2 222C X T 0dXdT ( )1 1 111C X T 0dXdT ( )1 11 11JTr Jr X T ( )2 22 22JTr Jr X T 111GJTr G ( )1 111 11 11D XGJTXGJTdXd+ ( )2 222 22 22D XGJTXGJTdXd+ 222GJTr G ( )1222 2GJTLXGJTX + ( ) T X T1 1 ( ) T X T2 2 ( ) ( ) ( ) T L T e 0 T L T2 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 L e 0 02 1 1 ( )111 1XGJTX Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALPrincpio da Superposio Princpio da Superposio dos Efeitos dos EfeitosA rotao total da seo livre da barra do exemplo anterior, dada por( )2 12GJTLGJTLL + tambm pode ser determinada fazendo-se uso do Princpio da Princpio da Superposio dos Efeitos Superposio dos Efeitos, desde que se conhea a rotao de um trecho prismtico de mesmo material e momento torsor constante, dada porGJTL onde essa rotao diretamente proporcional ao inverso do momento polar de inrcia. Com isso0J10J12 1 + TL LrgidoG, J2TL LG, J1rgidoEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploConsidere agora a barra prismtica de mesmo material solicitada por um torsor uniformemente distribudoO problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemploL X 0 XtLG, JEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploPor se tratar de um problema isosttico:( ) ( ) X L t X T 0 ) L ( T e tdXdT ( )( ) X LJtr Jr X T ( )( ) X LGJtr Gr , X ( ) ( ) ( ) ( )2X LX 2GJ 2tX 0 0 e X LGJtdXd Rotao da seo final da barra: Rotao da seo final da barra: ( )GJ 2tLL2 Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemplo ExemploO giro total da seo livre da barra, anteriormente encontrado,( )GJ 2tLL2 tambm pode ser deduzido a partir de um arranjo onde se tem o torsor resultante do torsor distribudo posicionado no centride da figura de representao desse carregamento, ou seja,LG, JEssa concluso pode ser estendida a qualquer lei de variao do torsor distribudo, desde que esse esteja atuando num trecho prismtico de mesmo material.tLL/2Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALConsidere agora a configurao prismtica hiperesttica de mesmo material e com a considerao do torsor distribudo.O problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemploL X 0 XExemplo Hiperesttico Exemplo HiperestticoLG, JtEduardo Nobre Lages CTEC/UFALPor se tratar de um problema hiperesttico, tem-seExemplo Hiperesttico Exemplo HiperestticoGJtdXd22 1C XGJtdXd+ ( )2 12C X C XGJ 2tX + + ( ) 0 0 ( ) 0 L ( ) XGJ 2tLXGJ 2tX2+ 0 C2 GJ 2tLC1 Conhecido o campo de rotaes chega-se a qualquer outra varivel de estado de interesse manipulando adequadamente a relao cinemtica e a relao constitutiva.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALEste mesmo problema tambm poderia ser resolvido com o auxlio do mtodo das foras mtodo das foras, que visa determinar os hiperestticos hiperestticos impondo-se uma equao de compatibilidade equao de compatibilidade.Exemplo Hiperesttico Exemplo Hiperesttico+ B(TB) = 0=LG, JtLG, JtTBEduardo Nobre Lages CTEC/UFALPara quantificar a rotao na extremidade direita da barra faz-se uso do Princpio da Superposio dos Efeitos Princpio da Superposio dos Efeitos, usufruindo-se do fato de que j que se conhece o efeito de cada ao isolada, ou seja,Exemplo Hiperesttico Exemplo HiperestticoDe posse do hiperesttico o momento torsor passa a ser conhecido, podendo-se seguir o procedimento j discutido para problemas isostticos.BTBtB B + GJ 2tL2tB GJL TBTBB 2tLT B 0 Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTTConsidere o estado de tenso em um ponto material qualquer da barra sob toroTenses e Direes Principais Tenses e Direes PrincipaisJTr Para garantir a simetria do tensor de tenso, a tensode cisalhamento na direo circunferencial na face daseo transversal equilibrada pelo componente decisalhamento na direo longitudinal da face radial.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALCada ponto material encontra-se em estado de cisalhamento puro estado de cisalhamento puroTenses e Direes Principais Tenses e Direes PrincipaisAs tenses principais, de mesma intensidade em mdulo,esto inclinadas de 45 em relao ao eixo longitudinalT TEduardo Nobre Lages CTEC/UFALMateriais frgeis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular s tenses principais de trao.Tenses e Direes Principais Tenses e Direes PrincipaisMateriais dcteis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular ao eixo da barra.T TEduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnergia Especfica de Energia Especfica de Deformao DeformaoTTPara um ponto qualquer de uma seo transversal os nicos componentes no nulos dos estados de tenso e de deformao, em coordenadas cilndricas, so dados poreJTr GJTr GJTrJTr2122 2GJr T21 2U0Com isso a energia especfica de deformao dada simplesmente porque varia quadraticamente com a distncia do ponto ao centro da seo circular cheia ou vazada.Eduardo