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Curso Matemática Para Concursos II – Módulo X

LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br, quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais problemas.

1

Módulo X

Querido aluno(a)!!!

É o que deseja a equipe

www.somaticaeducar.com.br



2

Exercícios

1) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:

Um elemento é escolhido as acaso. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de ser homem?

b) Qual a probabilidade de ser adulto?

c) Qual a probabilidade de menor e mulher?

d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade

de ser homem?

e) Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?

2) Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São

retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a

probabilidade de ambas serem boas.

3) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:

a) a soma ser menor que 4

b) a soma ser 9

c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo

4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2,

3,..., 50. Qual a probabilidade de:



3

a) o número ser divisível por 5

b) terminar em 3

c) ser primo

d) ser divisível por 6 ou por 8

5) Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma

bola ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja:

a) par

b) ímpar

c) par e maior que 10

d) primo e maior que 3

e) múltiplo de 3 e 5

6) Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Extraindo-se duas

bolas, calcule a probabilidade de serem:

a) uma de cada cor

b) ambas da mesma cor

7) Resolver o exercício anterior admitindo que as duas bolas são

extraídas uma a uma com reposição.

8) Três lâmpadas são escolhidas aleatoriamente dentre 15 lâmpadas,

das quais 5 são defeituosas. Encontre a probabilidade de que:

a) nenhuma seja defeituosa;

b) exatamente uma defeituosa

c) pelo menos uma seja defeituosa.



4

9) Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa. Se duas

peças são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de uma

ser parafuso e a outra ser porca.

10) Num lote de 12 peças, 4 são peças defeituosas. Três peças são

retiradas ao acaso, uma após a outra. Encontre a probabilidade de

todas as três peças serem não-defeituosas.

11) Uma classe tem 12 meninos e 4 meninas. Se três estudantes são

selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de serem todos

meninos?

12) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos

graves. Uma peça é escolhida aleatoriamente. Calcule a probabilidade

de que:

a) ela não tenha defeitos graves

b) ela não tenha defeitos

c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves.

13) São dadas três caixas, como segue:

A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas

A caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa

A caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.

Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada,

também aleatoriamente. Qual a probabilidade dela ser defeituosa?

14) Três máquinas A, B e C, produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente

do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de produção



5

defeituosas destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é

selecionada ao acaso, ache a probabilidade dela ser defeituosa.

15) Três departamentos A, B e C de uma escola têm, respectivamente, a

seguinte composição: 2 doutores, 3 mestres e 4 especialistas; 3

doutores, 2 mestres e 2 especialistas; 4 doutores, 1 mestre e 1

especialista. Escolhe-se um departamento ao acaso e sorteiam-se dois

professores. Se os professores são um especialista e um doutor, qual

a probabilidade que tenham vindo o departamento A?

16) Uma urna contem 12 bolas; 5 brancas, 4 vermelhas e 3 pretas. Outra

contém 18 bolas; 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é

retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de que as duas bolas

sejam de mesma cor?

17) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 brancas. Foram

extraídas 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de terem sido

duas bolas pretas e uma vermelha?

18) Uma caixa A contém 8 peças, das quais 3 são defeituosas e uma caixa

B contém 5 peças, das quais 2 são defeituosas. Uma peça é retirada

aleatoriamente de cada caixa:

I) Qual a probabilidade p de que ambas as peças não sejam

defeituosas?

II) Qual a probabilidade p de que uma peça seja defeituosa e a outra

não?

III) Se uma peça é defeituosa e a outra não, qual é a probabilidade p

de que a peça defeituosa venha da caixa A?



6

19) Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais do que

1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Se

um estudante é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de

altura, qual a probabilidade de que o estudante seja mulher?

20) Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10%

do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças

defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é

sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade

de que a peça tenha vindo da máquina B?



7

Probabilidades

Solução de Exercícios

1.

a) ( ) 10 /15 0,67P A = = ou 67% . A probabilidade de ser homem é de 67%

b) ( ) 7 /15 0, 47P A = = ou 47% . A probabilidade de ser adulto é de 47%

c) P ( m e M )=3/15 0, 20= ou 20% . A probabilidade de ser menor e mulher

é de 20%.

d) ( ) ( )( )

5515/ 0,71

7 715

P H AP H A

P A

∩= = = = ou 71% . A probabilidade de ser

homem, sabendo que é adulto é de 71%.

e) ( ) ( )( )

3315/ 0,60

5 515

P m MP m M

P M

∩= = = = ou 60% . A probabilidade de ser

menor, dado que é mulher é de 60%.

2.



8

3.

a) 3/ 36 0,08P = = ou 8% .

b) 4 / 36 0,11P = = ou 11% .

c) 15 / 36 0,42P = = ou 42% .

A probabilidade da soma ser menor do que 4 é de 8%. Da soma ser 9 é

de 11% e do primeiro resultado ser maior do que o segundo é de 42%.

4.

a) { }5,10,15, 20, 25,30,35, 40, 45,50A =

10 / 50 1/ 5 0,20p = = = ou 20% . A probabilidade do número ser divisível

por 5 é de 20%.

b) { }3,13, 23,33, 43B =

5 / 50 1/10 0,10p = = = ou 10% . A probabilidade de terminar em 3 é de

10%.

c) { }2,3,5,7,11,13,17,19, 23, 29,31,37,41,43,47C =

15 / 50 0,30p = = ou 30% . A probabilidade do número ser primo é de 30%.



9

d) { }6,8,12,16,18,24,30,32,36, 40, 42, 48D =

12 / 50 0,24p = = ou 24% . A probabilidade do número ser divisível por 6 ou

por 8 é de 24%.

5.

a) { }2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24A =

12 / 25 0,48p = = ou 48% . A probabilidade do número ser par é de 48%.

b) { }1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25B =

13/ 25 0,52p = = ou 52% . A probabilidade do número ser ímpar é de 52%.

c) { }12,14,16,18, 20, 22, 24C =

7 / 25 0, 28p = = ou 28% . A probabilidade do número ser par e maior do

que 10 é 28%.

d) { }5,7,11,13,17,19,23D =

7 / 25 / 0,28p = ou 28% . A probabilidade do número ser primo e maior do

que 3 é 28%.

e) { }15E =



10

1/ 25 0,04p = = ou 4% . A probabilidade do número ser múltiplo de 3 e 5 é

4%.

6.

a) BP ou 3 2 3

2 0,605 7 5

PB = ⋅ ⋅ = = ou 60%

b) BB ou ( ) ( ) 3 2 2 1 40, 40

5 4 5 4 10PP P BB P PP= + = ⋅ + ⋅ = = ou 40%

A probabilidade de ser uma de cada cor é de 60%. A probabilidade de

serem ambas da mesma cor é de 40%.

7.

a) 3 2 12

2 0, 485 5 25

p = ⋅ ⋅ = = ou 48%

b) 3 3 2 2 9 4 13

0,525 5 5 5 25 25

p+= ⋅ + ⋅ = = = ou 52%

A probabilidade de ser uma de cada cor é de 48%. A probabilidade de

serem ambas da mesma cor é de 52%.

8.



11

a) p (nenhuma defeituosa) = ( ) 10 9 8 240, 26

15 14 13 91p ppp= = ⋅ ⋅ = = ou 26%

b) p (uma defeituosa) = ( ) ( ) ( )P dpp P pdp P ppd+ +

5 10 9 453 0, 49

15 14 13 91p = ⋅ ⋅ ⋅ = = ou 49%

c) P (pelo menos uma defeituosa) = P (1 defeituosa) + P (2 defeituosas)

P+ (3 defeituosas) = 1 P− (nenhuma defeituosa) = 1 P− (ppp)

24 67

1 0,73691 91

= − = = ou 74%

A probabilidade de que nenhuma seja defeituosa é de 26%. A

probabilidade de exatamente uma ser defeituosa é de 49%. A

probabilidade de que pelo menos uma seja defeituosa é de 74%.

9.

P (1 parafuso e 1 porca) = P ( Pa Po ) = P (1˚ parafuso e 2ª porca)

P+ (1ª porca 2˚ parafuso) = 2 P⋅ (1˚ parafuso 2 ª porca) = 3 3 18

26 5 30

⋅ ⋅ = =

0,60= ou 60% . A probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca é de

60%.

10.



12

P (3 não defeituosas) = P (3 perfeitas) = ( )P ppp = 8 7 6 140, 25

12 11 10 55⋅ ⋅ = =

ou 25% .

A probabilidade de todas as três peças serem defeituosas é de 25%.

11.

P ( Mo Mo Mo ) 12 11 10 11

0,39 39%16 15 14 28

= ⋅ ⋅ = = =

A probabilidade de serem todos meninos é de 39%.

12.

a) P (não ter defeitos graves) = P (Ser boa ou apenas defeituosa) =

( ) ( ) ( ) 10 4 14 7

16 16 16 8P B D P B P D∪ = + = + = = = 0,88 ou 88%

b) P (não ter defeitos) = P (ser boa) = 10 5

0,6216 8

= = ou 62%

c) P (ou seja boa ou tenha defeitos graves) = ( ) ( )P B Dg P B∪ = +

( ) 10 2 12 30,75

16 16 16 4P Dg = + = = = ou 75%



13

A probabilidade de que a peça não tenha defeitos graves é de 88%. A

probabilidade de que a peça não tenha nenhum defeito é de 62%. A

probabilidade de que ou ela seja boa ou tenha defeitos graves é de 75%.

13.

P (defeituosa) = ( ) 1 4 1 1 1 5

3 10 3 6 3 8P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

1 4 1 3 1 1130,314

3 10 6 8 3 120 = + + = ⋅ =

ou 31, 4 ou 31%

A probabilidade de que a lâmpada seja defeituosa é de 31%.

14.

( ) 0,50 0,03 0,30 0,04 0,20 0,05 0,037P D = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ou 4%

A probabilidade da peça ser defeituosa é de 4%.



14

15.

( ) ( )( )/

P A EDP A ED

P ED

∩= ; ( ) 2

1 2 1 1 80,01097

3 9 3 4 27P A ED∩ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ;

( ) 2 2 2

1 2 1 4 1 3 1 2 1 4 1 1 8 6 4

3 9 3 9 3 7 3 7 3 6 3 6 27 21 18P ED = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + + =

( ) 0,01097 0,0136 0,01234 0,0369249P ED = + + =

( ) 0,01097/ 0,2971

0,03692P A ED = = ou 30%

A probabilidade de que os dois professores tenham vindo do

departamento A é de 30%.



15

16.

P (duas da mesma cor) = P ( BB ou VV ou PP ) = ( ) ( )P BB P VV+

( ) 5 5 4 6 3 7 25 24 21 70

12 18 12 18 12 18 12 18 216P PP

+ ++ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = =⋅

0,324 ou 32%

A probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor é de 32%.

17.

P (duas pretas e uma vermelha) = P ( PPV ou PVP ou VPP ) =

( ) 5 5 3 93 3 0,225

10 10 10 10P PPV= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ou 22%

A probabilidade de terem sido extraídas duas bolas pretas e uma

vermelha é de 22%.



16

18.

Ι . P (não defeituosas) = ( ) 5 30,375

8 5P PP = ⋅ = ou 38% . A probabilidade de

que ambas as peças sejam não defeituosas é de 38%.

ΙΙ . P (uma defeituosa e outra perfeita) = P ( DP ou PD ) = 3 3 5 2

8 5 8 5⋅ + ⋅ =

9 10 19

0, 47540 40

+ = = ou 48% . A probabilidade de que uma peça seja

defeituosa e a outra não é de 48%.

ΙΙΙ .

P (uma peça ser defeituosa e vir da caixa A sabendo que a outra é

perfeita) = ( )/P DA DP



17

( ) ( )( )

3 39 40 98 5 0, 474

19 40 19 1940

P DA DPP DA DP

P DP

⋅∩∩ = = = ⋅ = = ou 47%

A probabilidade de que, se uma peça é defeituosa e a outra não, a peça

defeituosa tenha vindo da caixa A é de 47%.

19.

P (ser mulher sabendo que tem + de 1,80m) = ( )/ 1,80P M + =

( )( )

1,80

1,80

P M

P

∩ ++

( ) 0,04 0,02 0,0008/ 1,80 0,21

0,60 0,05 0, 40 0,02 0,038P M

⋅+ = = =⋅ + ⋅

ou 21% . A

probabilidade de que o estudante seja mulher, com mais de 1,80m de

altura, é de 21%.

20.

P (Ter vindo da máquina B sabendo que é defeituosa) = ( )/P B D =

( )( )

P B D

P D

∩



18

( ) ( )( )

0,05 0,05 0,025 25/

0, 40 0,03 0,50 0,050 0,10 0,02 0,039 39

P B DP B D

P D

∩ ⋅= = = = =⋅ + ⋅ + ⋅

0,641 ou 64% .

A probabilidade de que a peça, sendo defeituosa, tenha vindo da máquina

B é de 64%.

- os exercícios n 0 01 ao n 0 20, tem como Fonte Bibliográfica:Gonçalves, Cristi na

F. Fidelis. Estatística – Londrina: Ed. UEL, 2002.

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