14 - Antnio Galrinho de Geometria Descritiva -Antnio Galrinho Sombras II 2 Sombras de slidos no espao Aqui mostra-se como surgem as sombras prpria e projectada por um cone

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  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 1

    14

    SOMBRAS II

    Neste captulo mostra-se como se determinam sombras prprias e projecta-

    das de slidos sobre os planos de projeco, nomeadamente de pirmides,

    prismas, cones e cilindros.

    Sumrio:

    2. Sombras de slidos no espao

    3 e 4. Sombras de pirmides

    5 e 6. Sombras de prismas

    7, 8 e 9. Sombras de cones

    10 e 11. Sombras de cilindros

    12 e 13. Exerccios

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 2

    Sombras de slidos no espao

    Aqui mostra-se como surgem as sombras prpria e projectada por um cone nos planos de projec-

    o. Compreendendo esta situao, facilmente se compreendem outras envolvendo outros slidos.

    Sombras prpria e projectada por um cone de revoluo com base horizontal

    Como a base do slido paralela ao PHP, determinam-se em primeiro lugar as sombras da base e do vrtice nesse plano. A sombra da base, com centro em OS1, liga-se a VV1 atravs das tangentes [TS1VV1] e [TS1VV1]. Essas tangentes do origem aos pontos de quebra QS e QS que, unidos sombra real do vrtice, VS2, permi-tem determinar a sombra projectada pelo cone no PFP. Para determinar a sombra prpria traam-se os raios [OT] e [OT], paralelos respectivamente a [OS1TS1] e [OS1TS1]. As geratrizes [TV] e [TV] separam a zona iluminada do cone da zona em sombra prpria, pelo que se designam separatrizes. Aqui, como nas pginas seguintes, fazem-se tracejados finos para indicar as manchas de sombra: 45ad no PFP; 45ad no PHP e horizontais na sombra prpria. Uma situao idntica a esta surge representada em projeces na pgina 7.

    OS1

    l

    0

    0

    T

    QS

    V

    O

    T

    TS1

    TS1

    Vv1

    VS2

    QS

    x

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 3

    Sombras de pirmides

    Observa-se aqui como se determinam sombras projectadas e sombras prprias de pirmides. Nesta

    pgina exemplifica-se com pirmides de bases frontais.

    Sombras de uma pirmide regular com a base no PFP

    Estando a base no PFP, a sua sombra situa-se a, pelo que basta determinar a sombra do vrtice principal. Determina-se tambm a sombra virtual desse vrti-ce por se encontrar no plano da base e assim se poder unir a ela. A sombra prpria limitada pelas ares-tas [BV] e [DV], as mesmas cujas som-bras limitam a mancha que se projecta nos planos de projeco.

    Sombras de uma pirmide oblqua com a base frontal

    Aqui foram determinadas as sombras reais dos vrtices da base, assim como ambas as sombras do vrtice principal. As sombras dos vrtices das bases que se unem s sombras do vrtice principal so aquelas que permitem a maior abertura de ngulo a partir deste. A sombra de C no se indica por se situar no interior da mancha de sombra projectada. As arestas [BV] e [DV] limitam a sombra prpria. De notar que nesta situao a sombra prpria no visvel em projeco hori-zontal.

    A1

    B1

    C1 D1

    B2BS2

    C2

    V2

    V1

    x

    l2

    l1

    VV2 VS1

    QS

    QS

    A2AS2

    D2DS2

    V1

    A1D1DS1 B1C1 E1F1

    V2

    A2

    B2

    C2

    D2

    E2

    F2 AS2

    FS2 BS2

    VS1 VV2

    ES1

    QS QS

    x

    l2

    l1

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 4

    Aqui observa-se mais uma situao que envolve a determinao das sombras prpria e projectada

    por uma pirmide nos planos de projeco.

    Sombras de uma pirmide regular com a base horizontal

    Aqui foi utilizado um processo que no se aplicou na pgina anterior. Comeou por se determinar as separatri-zes, que so as arestas [AV] e [DV], com recurso ao raio de luz r que contm o vrtice e cruza o plano da base no ponto R. A partir desse ponto foram traadas as tangentes t e t que contm os pontos A e D. Deste modo fica-se a saber que o ponto E, situado no espao interior dessas tangentes, no se utiliza nas determinao das sombra projectada, pois a sua sombra ficaria no interior dessa mancha. Para determinar os pontos de quebra faz-se recurso das sombras virtuais dos pontos V e B. De notar que a sombra prpria fica invisvel em projec-o horizontal, uma vez que a pirmide est invertida.

    A2 B2 C2 D2 E2

    V2

    V1

    A1

    B1

    C1 D1

    E1

    x

    l2

    l1

    VV2 VS1

    AS1

    BS2 BV1

    CS2 DS2 r2

    r1

    R2

    R1

    t1

    t1

    QS

    QS

    (f)t2t2

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 5

    Sombras de prismas

    Aqui observa-se como se determinam sombras projectadas e sombras prprias de prismas. Nesta

    pgina exemplifica-se com prismas rectos.

    Sombras de um prisma regular com as bases horizontais

    Tambm aqui no h necessidade de determinar sombras virtuais, dado que as arestas laterais so verticais. De notar que o segmento de recta [HS1QS] paralelo a [H1L1], o que permite determinar o ponto de quebra da direita. As arestas [HH] e [JJ] so as sepa-ratrizes da sombra prpria.

    Sombras de um prisma recto com uma base no PFP

    As arestas laterais so de topo, pelo que as suas sombras projectadas no PFP fazem 45ad e as projectadas no PHP so perpendiculares ao eixo x, no havendo necessidade de recorrer a sombras virtuais. As arestas [FF] e [GG] so as separatrizes da sombra prpria que, neste caso, no visvel em nenhu-ma das projeces.

    K1K1

    H2 I2 J2

    L1L1

    H1H1 I1I1

    J1J1

    H2 J2 I2

    L2

    L2 K2

    K2

    x

    l2

    l1 JS1

    IS1 HS1

    HS1

    LS2

    KS2

    JS2

    QS QS

    E1 D1

    D2D2DS2

    F1

    G1

    E2E2

    F2F2FS2

    G2G2GS2

    G1 D1 F1 E1

    x

    l2

    l1 FS1

    GS1

    ES1

    QS

    QS

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 6

    Nesta pgina observa-se como se determinam as sombras prpria e projectada de mais dois pris-

    mas, o segundo com as bases de perfil.

    Sombras de um prisma oblquo com as bases de perfil

    Aqui recorreu-se s sombras virtuais de dois pontos para determinar os pontos de quebra. No se indica a sombra projectada pelo ponto E, uma vez que fica no interior da man-cha projectada pelo slido. A sombra prpria limitada pelas separatrizes [DD] e [FF], no sendo visvel em nenhuma das projeces.

    Sombras de um prisma oblquo com as bases frontais

    Aqui no foi feito uso de sombras virtuais, j que se tirou proveito de paralelismos. Determina-se o ponto de quebra da esquerda uma vez que [A2C2] paralelo a [A2SQS], e o da direita porque [AS1QS] paralelo a [CS1CS1]. No se indica a sombra projectada pelo ponto B, uma vez que esta fica no interior da mancha da sombra projectada pelo slido. A sombra prpria limitada pelas arestas [AA] e [CC].

    E1

    D1

    F1

    F2

    D2

    E2

    E1

    D1

    F1FS1

    F2

    D2

    E2

    x

    l2

    l1

    ES1

    DS2 DV1

    DS2

    FS1

    QS

    QS

    DV1

    A2

    B2 C2

    C1 B1

    A1

    A2

    B2

    C2

    B1 A1 C1

    x

    l2

    l1

    BS1

    CS1

    CS1 AS1

    AS2

    QS QS

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 7

    Sombras de cones

    Nesta pgina observa-se como se determinam as sombras prpria e projectada de dois cones com

    bases horizontais, sendo um recto e outro oblquo.

    Sombras de um cone de revoluo com a base no PHP

    A base do cone situa-se no PHP, por isso coincide com a sua sombra real. Determi-nando a sombra virtual do vrtice, liga-se sombra da base nos pontos de tangn-cia T e T. Os pontos de quebra fazem a ligao sombra real do vrtice. nos pontos de tangncia que nascem as separatrizes que limitam a sombra pr-pria. A sombra prpria limitada pelas separa-trizes [TV] e [TV].

    Sombras de um cone oblquo com a base horizontal

    Determina-se a sombra da base e as sombras real e virtual do vrtice. A sombra projectada determina-se de modo idntico ao do exerccio anterior. Para determinar as projeces dos pontos de tangncia, T e T, traa-ram-se dois raios nas projeces da base paralelos aos da sombra, pois aqui as circunferncias no coincidem.

    x

    l2

    l1

    A1 B1

    A2 B2

    V2

    V1O1OS1

    O2

    VV1 VS2

    T1TS1

    T1TS1

    T2

    T2

    QS

    QS

    x

    l2

    l1

    VV1 VS2

    QS

    QS

    B1

    B2 A2

    A1 O1

    O2 T2

    T1

    T1

    T2

    TS1

    TS1

    V2

    V1

    OS1

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 8

    Aqui mostra-se como se determinam as sombra de um cone em posio invertida.

    Sombras de um cone de revoluo com a base frontal

    Determina-se a sombra do vrtice e a sombra da base no plano em relao ao qual esta paralela, ou seja o PFP. A determinao dos pontos de tangncia e dos pontos de quebra faz-se como nos casos da pgina ante-rior. Aqui toda a sombra real da base elptica, sendo utilizados os pontos 1, 2 e B para a determinar. A sombra prpria limitada pelas separatrizes [TV] e [TV].

    A2 B2

    A1 T1 T1 B1

    O2V2

    O112 21

    22 12

    T2

    T2

    V1

    BS1

    2S1 1S1

    TS1

    TS1 TV2

    TV2

    QS QS

    x

    l2

    l1

    VS2

    OV1

  • Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Sombras II - 9

    Nesta pgina mostra-se como se determinam as sombras de um cone com a base de perfil.

    Sombras de um cone oblquo com a base