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9/10/2011
1
Estatística Estatística ExperimentalExperimental
Teste F Teste F Teste t de STUDENTTeste t de STUDENT
Cap. 7, 8 e 9 – Callegari-Jacques, S. M. Bioestatística: Princípios e Aplicações, 2003.Apostila: Regazzi, A. J., Curso de iniciação à estatística.
Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de OliveiraAGR/ICET/CUA/UFMTAGR/ICET/CUA/UFMT
Teste de Comparação de Variâncias de Duas Populaçõe s
Seja U e V variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Qui-quadrado com n1 e n2 graus de liberdade, respectivamente.
Denomina F a variável aleatória definida pelo quociente:
Considerando duas amostras de tamanhos nx e ny das variáveis aleatórias
normais X e Y, respectivamente, pode-se demonstrar que:
tem distribuição F, de Fisher-Snedecor, com n1 = (nx-1) e n2=(ny-1) graus de liberdade.
2
1
nV
nU
F =
2
2
y
x
s
sF =
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2
Teste F
Teste F– H’0: σσσσ2
X = σσσσ2 Y contra
– H’a : σσσσ2 X < σσσσ2
Y , ouσσσσ2
X > σσσσ2Y , ou
σσσσ2 X ≠ σσσσ2
Y
Estatística F é calculada, do seguinte modo .ObserveObserve que,que, colocandocolocando aa maiormaior variânciavariância nono numerador,numerador,FFcalccalc éé sempresempre >>11.. AssimAssim ,, nesteneste curso,curso, iremosiremos adotaradotar aaTabelaTabela unilateralunilateral parapara F>F>11.. (de(de modomodo queque temostemos H’a :σσσσ2
X > σσσσ2Y )
O valor crítico de F depende do nível de significância usado (α)e do número de graus de liberdade (n – 1) de cada amostra,sendo indicado por: F
α; glN;glD,– Onde– glN ; graus de liberdade da variância do numerador– glD graus de liberdade da variância do denominador
2menor
2maior
s
sF =calc
Teste F
Teste F
Exercícios4.1. Na Aplicação de dois métodos X e Y, obteve-se os resultados
fornecidos abaixo. Testar a hipótese de igualdade das variâncias, ao nível de 5% de probabilidade.
Método s 2 n
X 40 11
Y 16 19
0
calc%5
22220
seRejeita
;50,2F 2,41; )18 ,10(
: vs:
:Re
H
F
HH
sposta
yxayx
−==
>= σσσσ
F tabelado = Fα(gl numerador ; gl denominador )
DECISÃO
Fcalculado >Ftabelado : Rejeita-se H 0
Fcalculado <Ftabelado : Não se Rejeita H 0
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Distribuição t de Student1. Introdução
(Relação entre o teste Z e t)Teste de hipótese z
Objetivo: comparar uma média amostral (x) com uma média populacional conhecida (µ).
O que era necessário para o teste?Cálculo do erro padrão da média (σx)
Obtido através desvio padrão da população (σ)
Quando não se conhece o valor σσσσ ?Temos a estimativa do erro padrão, s(x), através dos dados amostrais:
( )n
Xσσ =
( )n
Xs
s =
Distribuição t de Student1. Introdução
(Relação entre o teste Z e t)
v = graus de liberdade
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Teste de Hipótese de uma Média Populacional
2. Teste t para uma média- Situação de uso:
Quando X é Normalmente distribuída com variância desconhecida . (Obs: X- Variável aleatória)
Tendo uma amostra aleatória de tamanho n de determinada população, (X1, X2,..., Xn independentes), então:
tem distribuição t de Student com n-1 graus de libe rdade.
Desenvolvendo a fórmula, temos:
( )Xs
- X
µ=t ( )X
- X σ
µ=Zcompare
n
s- X
µ=t
Testes de Hipóteses ( teste t )
Desse modo podemos testar:– H0: µµµµ = µµµµ0 contra– Ha : µµµµ < µµµµ0 , ou
µµµµ > µµµµ0 , ouµµµµ ≠ µµµµ0
em que usaremos a estatística t, dada anteriormente
DECISÃOTeste bilateral– Se | t | ≥ tTAB → rejeita-se H0
Teste unilateral à direita– Se t ≥ tTAB → rejeita-se H0
Teste unilateral à esquerda– Se t ≤ -tTAB → rejeita-se H0
Observação:| t | : Valor calculado em módulo de ttTAB : Valor tabelado de t a um nível α de probabilidade (“valor de t crítico” )
Ou simplesmente se | t | ≥≥≥≥ tTAB
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Testes de Hipóteses ( teste t )
Observação: O valor de tTAB é obtido em Tabelas apropriadas:
Tabela bilateral Teste bilateral: entrar com α
Teste unilateral: entrar com 2 α
Tabela unilateral Teste bilateral: entrar com α/2Teste unilateral: entrar com α
Exercício
Determinada firma desejava comprar cabos tendo recebido dofabricante a informação de que a tensão média é de 8000kgf.Efetuou-se um ensaio em 6 cabos e obteve a tensão média deruptura 7750 kgf, com desvio padrão de 145 kgf. Efetuar umteste unilateral para analisar se a afirmação do fabricante éverdadeira ao nível de 5% de probabilidade.
Resposta: H0: µµµµ = 8000 kgf vs H a: µµµµ < 8000 kgf -t 5% = -2,015; t calc= -4,22; Conclusão: Rejeita-se H 0 a 5% de probabilidade pelo teste t, ou seja, a afirmação da empresa não é verdadeira.
Teste t para duas médias
3. Teste para o caso de duas amostras independentes(Teste t para duas médias)
���� Quando se aplica:- muitos problemas aparecem quando se deseja testarhipóteses sobre médias de diferentes populações.Quando as variâncias das populações são substituídas pelasvariâncias das amostras, isto é s 2 em lugar de σσσσ2, o teste Zpassa ao teste t, onde em função das variâncias das populaçõe sserem ou não iguais entre si, teremos dois casos a seremconsiderados.
Sejam X e Y normalmente distribuídas, sendo suas va riâncias desconhecidas
Desejamos testar:– H0: µµµµX = µµµµY contra– Ha : µµµµX < µµµµY , ou
µµµµX > µµµµY , ouµµµµX ≠ µµµµY
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Teste t para duas médias (Estudo da variância amostral)
Antes devemos testar– H’0: σσσσ2
X = σσσσ2 Y contra
– H’a : σσσσ2 X < σσσσ2
Y , ouσσσσ2
X > σσσσ2Y , ou
σσσσ2 X ≠ σσσσ2
Y
Estatística F é calculada, do seguinte modo .ObserveObserve que,que, colocandocolocando aa maiormaior variânciavariância nono numerador,numerador,FFcalccalc éé sempresempre >>11.. AssimAssim ,, nesteneste curso,curso, iremosiremos adotaradotar aaTabelaTabela unilateralunilateral parapara F>F>11.. (de(de modomodo queque temostemos H’a :σσσσ2
X > σσσσ2Y )
O valor crítico de F depende do nível de significância usado (α)e do número de graus de liberdade (n – 1) de cada amostra,sendo indicado por: F
α; glN;glD,– Onde– glN ; graus de liberdade da variância do numerador– glD graus de liberdade da variância do numerador
2menor
2maior
s
sF =calc
Teste F
Teste t para duas médias (CASO A)
A seguir utilizaremos para o teste, a variável aleatória
Que tem distribuição t destudent com ( nx + ny -2 )graus de liberdade.
+
=
yx nns
t11
Y- X
2
CASO A: Se H’0 não for rejeitada, vamos admitir que asvariâncias são iguais e que, conseqüentemente, os valoresassumidos por s2
x e s2y serão estimativas de um mesmo valor
σ2 que é a variância (comum) de ambas as populações. Sendoassim, vamos combinar s2
x e s2y a fim de obter um melhor
estimador para σ2.
De modo que s2 = variância comum (estimador para σ2)
2nn
1)s-(n1)s-(ns
yx
2yy
2xx2
−++
=
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Teste t para duas médias (CASO B)
CASO B: Se H’0 for rejeitada, vamos admitir que as variânciasnão são iguais, portanto não tem sentido combinarmos s2
x es2
y.Neste caso, utilizaremos para o nosso teste, a variávelaleatória:
que segue, aproximadamente, adistribuição t de student com n* grausde liberdade, onde:
+
=
y
y
x
x
n
s
n
st
22
Y- X
2222
222
11
*
−
+−
+
=
y
y
y
x
x
x
y
y
x
x
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
n
Teste t para duas médias (CASO B)
CASO B: calculo de n* mais conveniente
( )
11
* 22
2
−+
−
+=
y
y
x
x
yx
n
w
n
w
wwn Em que: em cada amostra
n
sw
2
=
Exercício 1
Suponhamos que duas técnicas de memorização X e Y deverãoser comparadas, medindo-se a eficiência pelo tempo exigido paradecorar certo tipo de material. O mesmo material foi apresen tado anx=18 e ny = 13 pessoas que o decoraram através das técnicas X eY, respectivamente. Verificar se há diferença significati va entre asduas técnicas de memorização, adotando-se α=5%. Os resultadosforam:
13 18
min15s min12
17min min2022
y22
==
==
==
yx
x
nn
s
YX
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Teste t para duas médias (CASO B)
Exercício 2
Desejando-se saber de duas rações alimentares X e Y paradeterminada raça de suínos são equivalentes, ou se a ração X éSuperior à ração Y no sentido de causar um maior aumento depeso, através de sorteios, foi dada a ração X à 11 animais e aração Y a 19 outros animais. (alfa=5%)
19 11
16s 40
63kg 6622
y22
==
==
==
yx
x
nn
kgkgs
YkgX
+
=
y
y
x
x
n
s
n
st
22
Y- X
Formulário
( )
11
*22
2
−+
−
+=
y
y
x
x
yx
n
w
n
w
wwn
n
sw
2
=
Teste t para dados emparelhados
4. Teste para o caso de dados emparelhados
���� Quando se aplica:- Os resultados de duas amostras constituem dadosemparelhados quando estão relacionados dois a dois segundocritério que introduz uma influência marcante entre os dive rsospares, que supomos, influir igualmente sobre os valores decada par. Por exemplo, medidas sobre o mesmo indivíduo,antes e depois da aplicação de algum medicamento ou umaração, etc.
Sejam p. ex:X1i: o peso de um determinado animal i antes de receber a raçãoX2i: o peso de um determinado animal i depois que recebeu a raçãod i = X2i - X1i
Tomando n animais nestas condições, podemos montar a seguinte tabela:
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Teste t para dados emparelhados
4. Teste para o caso de dados emparelhados
Nº X1i X2i d i = X2i - X1i
1 X11 X21 d1
2 X12 X22 d2
... ... ... ...
n X1n X2n dn
Neste teste estaremos testando a
hipótese de que a diferença entre as
médias das duas populações
emparelhadas seja igual a um certo valor
∆, o que equivale a testar a hipótese de
que a média de todas as diferenças, D ,
seja igual a ∆.
Dn
dd
n
ii
deestimador um é,1∑
==
p. ex: ∆ = 0,
as hipóteses seriam:
≠><
=
0D
ou 0D
ou 0,D
:
0D :0
aH
H
A estatística do teste é:
( )ds
Ddt
−=
Sob H0: D=0, teremos:
( )ds
dt =
Teste t para dados emparelhados
4. Teste para o caso de dados emparelhados
A estatística do teste é:
( )n
dsd
t =
Em que: ( )n
dsds
)(=Deduzindo a fórmula
( )
( )
( ) ( )n
dsdds
n
ds
n
dd
nn
dd
n
dSQDdds
)(ˆ
)()(ˆˆ
11
)()(ˆ)(
2
222
2
2
22
==
==
−
−=
−==
∑ ∑
σ
σσ
σ
DECISÃO
Note que ao trabalharmos com as n diferenças di, o problema será testar uma única média (como no 1º exemplo deste Capítulo) pela comparação do t de student calculado com o valor tabelado obtido em tabelas em função do α e n – 1 graus de liberdade.
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Teste t para dados emparelhadosExercício
A tabela abaixo mostra uma seqüência de observações sobre os valores das pressões de sete indivíduos antes e depois da aplicação de um medicamento que tem por finalidade o abaixamento de pressão. Verificar se o medicamento teve efeito significativo ao nível de 1% de probabilidade
IndividuoPressão
Antes (X 1i)Depois
(X2i)
1 1,1 0
2 3,9 1,2
3 3,1 2,1
4 5,3 2,1
5 5,3 3,4
6 3,4 2,2
7 5,0 3,2
Quadro complementar
d i = X2i - X1i d2
ΣΣΣΣ d i = ΣΣΣΣd2 =
Teste t para dados emparelhadosExercício
A tabela abaixo mostra uma seqüência de observações sobre os valores das pressões de sete indivíduos antes e depois da aplicação de um medicamento que tem por finalidade o abaixamento de pressão. Verificar se o medicamento teve efeito significativo ao nível de 1% de probabilidade
0
1%
calc
0
seRejeita
3,143- (6)t-
;795,5t
0D : 0D :
:Resposta
H
;
HvsH a
−=
−=<=
( )
( ) ( )n
dsdds
nn
dd
ds
)(ˆ
1)(
2
2
2
2
==
−
−=∑ ∑
σ
( )n
dsDd
t−=Formulário: