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Modelagem Estatística

Testes de Hipóteses

2/48Testes de Hipóteses

População

Conjectura (hipótese) sobre o comportamento de variáveis

Amostra

Resultados reais obtidos

Decisão sobre a admissibilidade da hipótese

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Exemplos de Hipóteses

A propaganda produz um efeito positivo nas vendas.

Um método de treinamento tende a aumentar a produtividade dos funcionários.

Dois métodos de treinamento produzem resultados diferentes.

4/48

Hipóteses de um Teste

Ho - Hipótese Nula

H1 - Hipótese Alternativa

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Hipóteses de um Teste

Ho - Hipótese Nula - hipótese que será

suposta inicialmente como verdadeira.

É, basicamente, a negação do que o pesquisador deseja provar.

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Hipóteses de um Teste

H1 - Hipótese Alternativa - hipótese que será aceita, se os dados mostrarem evidências suficientes para a rejeição da hipótese nula.

Geralmente, é a própria hipótese da pesquisa.

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Exemplo

Ho: Em média, as vendas não aumentam com a introdução da propaganda.

H1: Em média, as vendas aumentam com a introdução da propaganda.

Ho: Em média, a produtividade não cresce com o treinamento.

H1: Em média, a produtividade cresce com o treinamento.

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Exemplo

Suspeita-se que uma moeda, utilizada em jogo de azar, seja viciada, isto é, que a probabilidade de sair “cara” seja diferente de 50%.

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Hipóteses

Ho: p = 0,5 (a probabilidade é 50%)

H1: p = 0,5 (a probabilidade não é 50%)

p - probabilidade de cara.

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Amostra

Para se tomar a decisão de se aceitar, ou não, que a moeda seja honesta, tomou-se uma amostra com 10 lançamentos e observou-se o número de caras.

(variável X - estatística do teste).

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ValorEsperado

Qual é o valor esperado para o número

de caras (variável X - estatística do teste)

se a probabilidade for realmente 50%?

5 caras

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Resultado da amostra

Valor esperado se a probabilidade for realmente 50%: 5 caras.

Situação 1: Valor obtido: X = 10 caras. Qual seria a conclusão?

Situação 2: Valor obtido: X = 7 caras. Qual seria a conclusão?

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Desvio Observado

Valor esperado seHo for verdadeira

Valor observadona amostra

Desvioocorreu porque Ho é falsa ?

ocorreu por acaso? (Ho verdadeira)

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Distribuição de Referência

Todo teste está associado a uma distribuição de probabilidades, usada para se verificar a adequação de Ho com o resultado observado na amostra.

No exemplo da moeda, a distribuição é binomial (n=10 e p=0,5).

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Exemplo

Distribuição

(n=10,

p=0,5).

X0.001 0.01

0.044

0.117

0.205

0.246

0.205

0.117

0.044

0.01 0.001

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16/48Probabilidade

de Significância

(ps)

Probabilidade da estatística do teste acusar um resultado tão (ou mais) distante do esperado quanto o resultado ocorrido na amostra observada.

Pode ser compreendida como a probabili-dade do desvio observado ter ocorrido por acaso se a hipótese nula for verdadeira.

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Desvio Observado

Valor esperado seHo for verdadeira

Valor observadona amostra

Desvioocorreu porque Ho é falsa ?

ocorreu por acaso? (Ho verdadeira)

18/48

Situação 1

A amostra apresentou 10 caras.

Se p = 0,5, a probabilidade da amostra apresentar X = 10 (ou X=0) caras é:

19/48

Situação 1

ps = 0,002 ou 0,2%

X0.001 0.01

0.044

0.117

0.205

0.246

0.205

0.117

0.044

0.01 0.001

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20/48

Conclusão...

ps = 0,2% (probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso)

Qual seria a conclusão?

Rejeita-se Ho, ou seja, não se admite que o desvio tenha ocorrido por acaso.

21/48

Situação 2

A amostra apresentou 7 caras.

Se p = 0,5, a probabilidade da amostra apresentar X = 7 ou mais (ou X=3 ou menos) caras é:

22/48

Situação 2

ps = 0,344 ou 34,4%

X0.001 0.01

0.044

0.117

0.205

0.246

0.205

0.117

0.044

0.0100.001

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

23/48

Conclusão...

ps = 34,4% (probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso)

Qual seria a conclusão?

Aceita-se Ho,ou seja, não se pode afirmar que o desvio não tenha ocorrido por acaso.

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Decisão

Se a probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso for considerável (ps alta), não há evidências para se rejeitar Ho. Aceita-se Ho.

Quando a probabilidade do desvio ter ocorrido por acaso for considerada pequena (ps baixa), há evidências para a rejeição de Ho. Rejeita-se Ho.

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Nível de Significância

()

O nível de significância () é o limite para a probabilidade de significância a partir do qual se passa a rejeitar a hipótese nula do teste.

Representa a probabilidade tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira.

Os valores mais comuns para o nível de significância são 5%, 10% e 1%.

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A hipótese nula pode ou não ser impugnada pelos resultados de um experimento. Ela nunca pode ser provada, mas pode ser desaprovada no curso da experimentação.

R. A. Fisher

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Exercício 1

Exercícios 1, 2 e 4, pg. 208.

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Testes Bilaterais

O teste bilateral é empregado quando se deseja detectar variações no parâmetro, tanto para mais quanto para menos.

Num teste bilateral, a hipótese alternativa (H1) diz que o parâmetro é diferente do valor estipulado na hipótese nula.

29/48

Testes Bilaterais

No exemplo discutido, o teste é bilateral, pois se deseja detectar variações na probabilidade de sair cara tanto para mais quanto para menos, isto é, rejeita-se Ho quando se achar que a probabilidade de sair cara é diferente de 50%.

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Testes Bilaterais

HIPÓTESES

Ho: p = 0,5

H1: p = 0,5

31/48

Testes Bilaterais

A probabilidade de significância é calculada assim:

X

ps / 2ps / 2

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Testes Unilaterais

O teste unilateral é empregado quando se deseja detectar se um padrão mínimo foi atingido (unilateral à esquerda) ou se um limite máximo não foi excedido (unilateral à direita).

33/48

Testes Unilaterais

Num teste unilateral, a hipótese alternativa (H1) diz que o parâmetro é maior (unilateral à direita) ou menor (unilateral à esquerda) do que o valor estipulado na hipótese nula.

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Testes Unilaterais

No exemplo discutido, caso se desejasse testar apenas a possibilidade da probabilidade de cara ser maior que 50%, ter-se-ia um teste unilateral à direita. A rejeição de Ho dar-se-ia somente quando se achasse que a probabilidade fosse maior que 0,5.

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Testes Unilaterais

HIPÓTESES (unilateral à direita)

Ho: p = 0,5

H1: p > 0,5

36/48

Testes Unilaterais

A probabilidade de significância seria calculada assim:

X

ps

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Testes Unilaterais

No exemplo discutido, caso se desejasse testar apenas a possibilidade da probabilidade ser menor que 50%, ter-se-ia um teste unilateral à esquerda. A rejeição de Ho dar-se-ia somente quando se achasse que a probabilidade fosse menor que 0,5.

38/48

Testes Unilaterais

HIPÓTESES (unilateral à esquerda)

Ho: p = 0,5

H1: p < 0,5

39/48

Testes Unilaterais

A probabilidade de significância seria calculada assim:

X

ps

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Exercício

Para cada um dos exemplos de hipóteses a seguir, indique qual abordagem (unilateral ou bilateral) é a mais adequada.

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Exercício

A propaganda produz um efeito positivo nas vendas.

Um método de treinamento tende a aumentar a produtividade dos funcionários.

Dois métodos de treinamento tendem a produzir resultados diferentes na produtividade.

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Exercício 2

Exercícios 8, 10 e 11, pg 211.

43/48Testes

O que é preciso saber?

1. Hipóteses (para que serve o teste?)

2. Estatística do Teste (qual é a variável aleatória que é utilizada?)

3. Distribuição de Referência (qual modelo probabilístico deve ser empregado?)

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Teste para a Proporção

Hipótese nula: Ho: p = po

Distribuição de referência: Normal (válido quando a amostra for grande).

Estatística: )1.(.

.

00

0

ppn

pnyz

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Teste para a Proporção

Estatística: )1.(.

.

00

0

ppn

pnyz

n

interessedeatributoocomelementosdenúmero

n

yp ˆ

y’ = y – 0,5 se y > n.p0; ou

y’ = y + 0,5 se y < n.p0 (correção de continuidade)

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Hipótese nula: Ho: =

Distribuição de referência: t de Student, com (n-1) graus de liberdade (válido quando a amostra for grande ou a população tiver

distribuição normal).

Estatística:

Teste paraa Média

t =(X - n

S

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Estatística:

Teste paraa Média

X - média observada na amostraS - desvio padrão da amostrao - média considerada na hipótese nulan - tamanho da amostra

t =(X - n

S

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RealidadeHo verdadeira Ho falsa

AceitarHo

RejeitarHo

Decisão

Tipos de Erros

O KE r r o

T i p o II( )

E r r oT i p o I

( )O K