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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA. . CÁLCULO NUMÉRICO PROF. RUBENS VILHENA 2013

149009814 Calculo Numerico Uab

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA.

.

CÁLCULO NUMÉRICO

PROF. RUBENS VILHENA

2013

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2

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO

UNIDADE 1

APRESENTAÇÃO

1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS

1.1. INTRODUÇÃO

1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM

1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO

1.4. MUDANÇA DE BASE

1.5. ATIVIDADES

2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO

2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES

2.3. TEOREMA DE BOLZANO

2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES

2.5. MÉTODO GRÁFICO

2.6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES

2.7 ATIVIDADES DE AVALIAÇÃO

2.8. MÉTODO DA BISSEÇÃO

2.9. ATIVIDADES COMPLEMENTARES

2.10. ATIVIDADES DE AVALIAÇÃO

2.11. MÉTODO DAS CORDAS

2.12. ATIVIDADES COMPLEMENTARES

2.13. ATIVIDADES DE AVALIAÇÃO

2.14. MÉTODO DE NEWTON

2.15. ATIVIDADES COMPLEMENTARES

2.16. ATIVIDADES DE AVALIAÇÃO

2.17. COMPARAÇÂO DOS MÉTODOS: BISSEÇÃO, CORDAS E NEWTON

3. INTERPOLAÇÃO LINEAR

3.1. INTRODUÇÃO

3.2. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

3.3. INTERPOLAÇÃO LINEAR

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3

3.4. INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA

3.5. ERRO DE TRUNCAMENTO

3.6. TEOREMA DE ROLLE

3.7. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE

3.8. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS

4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

4.1. INTRODUÇÃO

4.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS

4.3. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON

4.4. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON

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4

1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS

1.1. INTRODUÇÃO

A solução de muitos problemas passa pela modelagem matemática, para isto devem ser representado por uma fórmula ou procedimento matemático, que expressam as características principais deste problema. A seqüência lógica da solução de um problema, segue o diagrama a baixo.

É importante ressaltar, que em certas situações a solução estimada, pelos métodos numéricos, se afasta da verdadeira solução do problema. Isto ocorre devido a presença de fontes de erro que podem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resolução do problema. 1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM

Os erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos alguma variável presente no problema. 1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO Nesta fase, o erro é gerado no momento que se fazer os cálculos na calculadora ou computador devido aos processos de arredondamentos. 1.4. MUDANÇA DE BASE Todo número na base dez pode ser decomposta da seguinte forma

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 10.a...10.a10.a10.a10.a10.a...10.a10.a

ia é 0 ou 1

m,n números inteiros, com 0n e 0m

Exemplo: 3210123 10*610*010*410*210*510*010*8406,8052

De forma semelhante. um número na base 2 pode ser escrito por:

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 2.a...2.a2.a2.a2.a2.a...2.a2.a

Exemplo: 3210123 2.12.02.12.12.12.02.1101,1011

Para transformar um número inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o método de divisões sucessivas, que consiste em dividir o número por 2, a seguir dividi-se por 2 o quociente encontrado e assim o processo é repetido até que o último quociente seja igual a 1 . O número binário será, então,

Problema

Modelo

Matemático

Solução

Modelagem

Resolução

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5

formado pela concatenação do último quociente com os restos das divisões lidos em sentido inverso ao que foram obtidos, ou seja,

N 2

r1 q1 2

r2 Q2 2

R3 q3

qn-1 2

rn-1 1

1231n10 r.r.r.....r.1N

Para transformar números fracionários da base 10 para a base 2, utiliza-se o método das multiplicações sucessivas, que consiste em:

1º Passo – multiplicar o numero fracionários por 2;

2º Passo – deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base 2 e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero.

Exemplo: transforme 101875,0 para a base 2

logo 210 0011,01875,0

Exemplo: transforme 1025,13 para a base 2

13 2

1 6 2

0 3 2

1 1

1310 = 11012

0,2510 = 0,012

logo 210 01,110125,13

De maneira geral, o número x em uma base é representado por:

0,1875

2

0,3750

0,375

2

0,750

0,75

2

1,50

0,50

2

1,00

0,25

2

0,50

0,50

2

1,00

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6

exp

tt

33

221 .

d...

dddx

id são os números inteiros contidos no intervalo id0 , t,...,2,1i

exp representa o expoente de e assume valores entre SexpI ,

S,I os limites inferior e superior, respectivamente, para a variação do expoente

tt

33

221 d

...ddd

é chamado de mantissa e é a parte do número que representa seus

dígitos significativos e t é o número de dígitos significativos do sistema de representação, comumente chamado de precisão da máquina.

Exemplo:

Sistema decimal

0

3210 10.10

7

10

5

10

3357,0

2

543210 10.10

7

10

5

10

3

10

9

10

2357,29

Obs: a mantissa é um número entre 0 e 1.

Sistema binário

5

54322 2.2

1

2

0

2

0

2

1

2

111001

5

7654322 2.2

1

2

0

2

1

2

0

2

0

2

1

2

101,11001

Saiba que cada dígito do computador é chamado de bit. Apresentaremos abaixo uma maquina fictícia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da mantissa e outro bit para o sinal do expoente.

Para você entender melhor faremos um exemplo numérico.

Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha 2 , 10t ,

15I e 15S , o número 25 na base decimal é representado por

1015210 2.11001,02.11001,01100125

1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

Observe que utilizamos bit = 0 para positivo e bit = 1 para negativo.

Mantissa Expoente

Sin

al d

a

Man

tiss

a

Sin

al d

o

Expoen

te

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7

Um parâmetro muito utilizado para avaliar a precisão de um determinado sistema de representação é o número de casas decimais exatas da mantissa e que este valor é dado pelo valor

decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de maior significado, logo: t

PRECISÃO

1

EXERCÍCIO (01) Os números a seguir estão na base 2, escreva-os na base 10.

(a) 211011 (b) 2111100 (c) 2100111

(d) 201111, (e) 21110, (f) 2001110,

(02) Os números a seguir estão na base 10, escreva-os na base 2.

(a) 1015 (b) 1012 (c) 1036

(d) 106215, (e) 102510, (f) 1012530,

(03) Considere uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha 2 ,

10t , 15I e 15S .Represente nesta máquina os números :

(a) 1035 (b) 1028,

(c) 1024 (d) 1064,

2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO

Os métodos numéricos são usados na busca das raízes das equações, ou os zeros reais de f(x). Em geral, os métodos, utilizados apresentam duas fases distintas: Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes Está fase consiste em obter um intervalo que contém a raiz da função f(x) = 0, e em seguida iremos para a segunda fase. Fase II – Refinamento Nesta fase definimos a precisão que desejamos da nossa resposta e escolhemos as aproximações iniciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida melhoramos, sucessivamente, a aproximação da raiz da função f(x) = 0, até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão pré-fixada. 2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES

Os métodos numéricos utilizados para calcular raízes da equação f(x) = 0, só calculam uma raiz de cada vez. Esta é a razão porque devemos determinar um intervalo para cada raiz que desejamos calcular. Teorema

“Se uma função contínua )x(f assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do intervalo [ a

, b ] , isto é, 0)b(f.)a(f , então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação 0)x(f , em

outras palavras haverá no mínimo um número , pertencente ao intervalo aberto )b,a( ,

)b,a( , tal que, 0)(f ”

Exemplo:

Neste exemplo apresentamos uma função )x(f que possui dentro do intervalo ]b,a[ três raízes:

1 , 2 e 3 . Isto é, são três valores de x , para os quais a função )x(f tem imagem igual a zero, isto

é: 01 )(f , 02 )(f e 03 )(f .

y

x 1 a

b

2

3 0

f(x) Se a função possui imagem

zero nos pontos 1 , 2 e 3 ,

o gráfico da função )x(f ,

nestes pontos, intercepta o eixo dos x.

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8

Observe no exemplo que 0)a(f e 0)b(f , logo o produto 0)b(f.)a(f

Observe que toda vez que dentro de um intervalo ]b,a[ , tivermos 0)b(f.)a(f , significa

que neste intervalo temos pelo menos uma raiz da função )x(f , como vemos na figura a seguir.

0)a(f 0)a(f

0)b(f 0)b(f

logo 0)b(f.)a(f logo 0)b(f.)a(f

Quando uma função não possui raízes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f

0)a(f 0)a(f

0)b(f 0)b(f

logo 0)b(f.)a(f logo 0)b(f.)a(f

2.3. TEOREMA DE BOLZANO

Seja 0)x(P uma equação algébrica com coeficientes reais e )b,a(x .

Se 0)b(P.)a(P , então existem um número ímpar de raízes reais no intervalo )b,a( .

y

x

a

b 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1

a

b 0

f(x)

y

x 1

a b 2 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1 a b 2 0

f(x) f(b)

f(a)

a

y

x

b

0

f(x) f(b)

f(a)

y

x

a b

0

f(x) f(b)

f(a)

Quando uma função possui um número par de raízes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f

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9

Se 0)b(P.)a(P , então existem um número par de raízes reais no intervalo )b,a( ou

não existem raízes reais no intervalo )b,a( .

2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES Saiba que a determinação do número de raízes de funções transcendentes é quase impossível, pois algumas equações podem ter um número infinito de raízes. Função Seno Função Cosseno

Função Tangente Função Exponencial

2.5. MÉTODO GRÁFICO

Lembre que uma raiz de uma equação 0)x(f é um ponto onde a função )x(f toca o eixo

dos x . Outra forma de identificarmos as raízes da equação é substituir )x(h)x(g)x(f , onde

0 )x(h)x(g . As raízes de 0)x(f corresponderam a interseção das funções )x(g e )x(h .

Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a função 1072 xx)x(f que possui raízes

2 e 5. Se fizermos )x(h)x(g)x(f , onde 2x)x(g e 107 x)x(h temos a interseção de

)x(g com )x(h acontece em 2 e 5.

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10

Exercício

(01) Dada a função xsenx.)x(f 220 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos

uma de suas raízes pelo método gráfico.

(02) Dada a função xx)x(f 42 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos uma de

suas raízes pelo método gráfico.

(03) Dada a função xcosx)x(f 2 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos uma de

suas raízes pelo método gráfico.

(04) Dada a função xsenx)x(f 3 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos uma de

suas raízes pelo método gráfico. 2.6. MÉTODO DA BISSEÇÃO

Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo ]b,a[ ,

isto é, devemos utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a raiz para em seguida isolá-la

pelo intervalo )b,a( , onde esta raiz pertença a este intervalo. Para utilizarmos o método das

bisseção é necessários que a função )x(f seja uma continua no intervalo ]b,a[ e que

0)b(f.)a(f .

Para aplicamos o método da bisseção devemos dividir o intervalo ]b,a[ ao meio, obtendo

assim ox , com isto temos agora dois intervalos ]x,a[ o e ]b,x[ o

1072 xx)x(f

2x)x(g

107 x)x(h

y

x a

b ox

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11

Se 0)x(f o , então, ox ; Caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais

oposto nos pontos extremos, ou seja se

0)x(f.)a(f o implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ o .

0)b(f.)x(f o implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ o .

A partir daí construiremos um novo intervalo ]b,a[ 11

O novo intervalo ]b,a[ 11 que contém é dividido ao meio e obtém-se 1x onde se

011 )x(f.)a(f implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ 11 .

011 )b(f.)x(f implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ 11 .

O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a tolerância desejada. Tolerância () é um valor que o calculista define. A partir da tolerância, definimos o critério de parada, onde se para de refinar a solução e se aceita o valor aproximado calculado. A tolerância , é muitas vezes avaliada por um dos três critérios abaixo:

E|)x(f| n

E|xx| nn 1

E|x|

|xx|

n

nn 1

Exemplo:

(01) Calcular a raiz da equação 32 x)x(f com 010,E .

Solução Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu gráfico.

y

x 1a

1b

1x

Raiz procurada Intervalo de busca

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12

A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo

N an bn xn f (xn) E

0 1 2 3 4 5 6 7

1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.5000 -0.7500 0.5000 1.5000 2.0000 1.7500 0.0625 0.2500 1.5000 1.7500 1.6250 -0.3594 0.1250 1.6250 1.7500 1.6875 -0.1523 0.0625 1.6875 1.7500 1.7188 -0.0459 0.0313 1.7188 1.7500 1.7344 0.0081 0.0156 1.7188 1.7344 1.7266 -0.0190 0.0078

Construção da tabela

1ª linha: Na iteração inicial ( N = 0 ) temos ][]ba[ oo 31 sendo o ponto médio 2ox .

2ª linha: ( N = 1 ) Como 0)x(f.)a(f oo , substituímos oxb 1 , logo ][]ba[ 2111 sendo

o ponto médio 511 ,x .

3ª linha: ( N = 2 ) Como 011 )b(f.)x(f , substituímos 12 xa , logo ],[]ba[ 25122 sendo

o ponto médio 7512 ,x .

.........................................................................................................

8ª linha: ( N = 7 ) Como 066 )x(f.)a(f , substituímos 67 xa , logo

][]ba[ 1.7344 1.718877 sendo o ponto médio 1.72667 x ( E0.0078 ).

Como o erro é menor que tolerância então a aproximação final é 1,7266x .

Exercício

(01) Calcular a raiz da equação xlnx)x(f 2 com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equação 423 xx)x(f com 010,E .

(03) Calcular a raiz da equação 102 2 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )

(04) Calcular a raiz da equação 52 3 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 30 )

(05) Calcular a raiz da equação 32 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )

(06) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 53 )

(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 ) 2.7. MÉTODO DAS CORDAS

Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo ]b,a[ ,

isto é, devemos, novamente, utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a raiz para em

seguida isolá-la pelo intervalo ]b,a[ , onde esta raiz pertença a este intervalo )b,a( . No método

das cordas, ao invés de se dividir o intervalo ]ba[ ao meio, ele é dividido em partes proporcionais

à razão )b(f/)a(f . A fórmula de recorrência para a aproximação da raiz enésima é

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13

2h

y

x b

1xa

Corda

f(a)

f(b)

2x

cx)c(f)x(f

)x(fxx n

n

nnn

1 , onde ...,,,n 210 ,

onde o ponto fixado c (ou “ a ” ou “b ”) é aquele no qual o sinal da função )x(f coincide com o

sinal da segunda derivada )x(''f , ou seja 0)c(f.)c(''f .

E|x|

|xx|

n

nn 1

Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém , como mostra a figura a

seguir, ]bx[ou]xa[ 11 , obtém-se uma nova aproximação 2x da raiz pela aproximação

apresentada acima

y

x b

oxa 1x

1h

f(a)

f(b)

A existência da corda da origem a dois triângulos semelhantes, que permitem estabelecer a seguinte relação:

)a(f)b(f

ab

)a(f

h

1

esta relação nos conduz a uma valor aproximado da raiz

11 hax

)ab()a(f)b(f

)a(fax

1

y

x b

oxa 1x

1h

Corda

f(a)

f(b)

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14

Nas figuras a seguir, como no método das cordas é escolhido o extremos do intervalo ]b,a[ que

deve ser igual ao valor ox .

Exemplo:

(01) Calcular a raiz da equação 32 x)x(f com 010,E .

Solução Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu gráfico.

y

x

b

oxa

1x

1h

f(b)

f(a)

y

x

f(a)

f(b)

oxb

a

1x

1h

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

bc

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

ac

y

x b

oxa

1x

1h

f(a)

f(b)

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

bc

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

ac

y

x

1x

1h

f(b)

f(a)

oxb

a

Raiz procurada Intervalo de busca

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15

A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo

N an bn xn f (xn) E

0 1 2 3 4

1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.5000 1.0000 1.5000 1.5000 -0.7500 0.3000 1.0000 1.8000 1.8000 0.2400 0.0857 1.0000 1.7143 1.7143 -0.0612 0.0226 1.0000 1.7368 1.7368 0.0166 0.0061

Construção da tabela

Como 2)x(''f 023 )(''f e 06333 2 )(f

logo 033 )(f.)(''f de onde temos que 1 ac

usando a fórmula de recorrência cx)c(f)x(f

)x(fxx n

n

nnn

1 temos que

30 bx

1.500011

00

001

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.50 1.0

1.800011

11

112

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.80 1.0

1.714311

22

223

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.7143 1.0

1.736811

33

334

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.7368 1.0

Como o erro é menor que tolerância ( E0.0061 ) então a aproximação final é 1,7368x .

Exercício

(01) Calcular a raiz da equação xlnx)x(f 2 com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equação 423 xx)x(f com 010,E .

(03) Calcular a raiz da equação 102 2 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )

(04) Calcular a raiz da equação 52 3 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 21 )

(05) Calcular a raiz da equação 32 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )

(06) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 53 )

(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )

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16

2.8. MÉTODO DE NEWTON Semelhantes aos métodos da bisseção e da corda, devemos primeiro isolar a raiz que

desejamos procurar dentro de um intervalo ]b,a[ utilizando para isto o método gráfico. Para

utilizarmos o método de Newton é necessários que a função )x(f seja uma continua no intervalo

]b,a[ e que o seu único zero neste intervalo; as derivada )x('f ])x('f[ 0 e )x(''f devem

também ser contínuas.

Para se encontrar a expressão para o cálculo da aproximação nx para a raiz devemos fazer

uma expansão em série de Taylor para 0)x(f , de onde temos )xx)(x('f)x(f)x(f nnn se

fizermos 01 )x(f)x(f n , obteremos a seguinte expressão 01 )xx)(x('f)x(f nnnn ,

isolando o termo 1nx na temos

)x('f

)x(fxx

n

nnn 1 .

onde 1nx é uma aproximação de .

Exemplo:

(01) Calcular a raiz da equação 32 x)x(f com 010,E .

Solução

y

x 1x 0xb

f(a)

f(b)

2x

a

0)x(''f

0)x('f

0xb

y

x 1x

f(b)

f(a)

b

0xa

2x

0)x(''f

0)x('f

0xa

y

x 0xb

b a

1x

f(b)

f(a)

2x

0)x(''f

0)x('f

0xb

y

x

f(a)

f(b)

b

oxa 1x

2x

0)x(''f

0)x('f

0xa

Page 17: 149009814 Calculo Numerico Uab

17

Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu gráfico.

A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo

N an bn xn f (xn) E

0 1 2 3

1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.2500 1.0000 1.7500 1.7500 0.0625 0.0179 1.0000 1.7321 1.7321 0.0003 0.0001

Observe a construção da tabela:

Como x)x('f 2 063 )('f e como 02 )x(''f logo temos

30 bx

usando a expressão )x('f

)x(fxx

n

nnn 1 , temos a seguinte recorrência

.000020

001

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 2.0 1.0

.750011

112

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 1.75 1.0

1.73212

223

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 1.7321 1.0

Como o erro é menor que tolerância ( E0.0001 ) então a aproximação final é 1,7321x .

Exercício

(01) Calcular a raiz da equação xlnx)x(f 2 com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equação 423 xx)x(f com 010,E .

(03) Calcular a raiz da equação 102 2 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )

(04) Calcular a raiz da equação 52 3 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 21 )

(05) Calcular a raiz da equação 32 x)x(f com 010,E utilizando o método da bisseção.

(Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )

(06) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 53 )

Raiz procurada Intervalo de busca

Page 18: 149009814 Calculo Numerico Uab

18

(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )

3. INTERPOLAÇÃO LINEAR 3.1. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

Seja a função )x(fy , cujos valores estão em uma tabela. Se desejarmos determinar )x(f

sendo:

(a) )x,x(x n0 e ixx onde n,...,,,i 210

(b) )x,x(x n0

O item (a) representa um problema de interpolação, isto é, x está dentro do intervalo amostrado, logo devemos calcular um polinômio interpolador, que é uma aproximação da função tabelada.

O item (b) representa um problema de extrapolação, isto é, x está fora do intervalo amostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolação neste capítulo. 4.2. INTERPOLAÇÃO LINEAR Exemplo - Na tabela está a produção seguir está assinalado o número de habitantes de uma cidade A em quatro censos.

Tabela 1

ANO 1950 1960

Nº de Habitantes 352.724 683.908

Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1955. Solução Neste caso, o polinômio interpolador terá grau 1, isto é, será da forma

011 axa)x(P

Para se determinar os coeficientes, 0a e 1a devemos fazer

101111

000101

yaxa)x(P

yaxa)x(P

1011

0001

yaxa

yaxa

Para 19500 x e 352.724y 0 temos que

724.352a1950a 01

Para 1960x1 e 683.908y1 temos que

683.908a1960a 01

Com isto temos o seguinte sistemas

683.908a1960a

724.352a1950a

01

01

onde 33118,40a1 e 64228156a0 logo teremos

64228156x33118,40)x(P1

como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em 1955x , temos

518.31664228156195533118,40)x(P1 habitantes

3.3. INTERPOLAÇÃO QUADRATICA Exemplo - Na tabela a seguir está assinalado o número de habitantes de uma cidade A em quatro censos.

Tabela 1

ANO 1950 1960 1970

Nº de Habitantes 877500 901600 925900

Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1965.

Page 19: 149009814 Calculo Numerico Uab

19

Solução Neste caso, o polinômio interpolador será de 2º grau, isto é, será da forma

012

22 axaxa)x(P

Para se determinar os coeficientes, 0a , 1a e 2a devemos fazer

202122222

101121212

000120202

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

2021222

1011212

0001202

yaxaxa

yaxaxa

yaxaxa

Para o problema em questão temos:

925900aa1950a1970

901600aa1950a1960

877500aa1950a1950

0122

0122

0122

cuja solução, através de escalonamento ensinado no capítulo anterior é

25.2a

1500a

1a

0

1

2

logo teremos

25.2x1500x)x(P 22

como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em 1965x , temos

91372525.2196515001965)1965(P 22 habitantes

3.4. ERRO DE TRUNCAMENTO

Para que você entenda o erro de truncamento, observe o gráfico mostrado a figura a seguir.

Figura. )x(f é a função tabelada e )x(P1 um polinômio interpolador de 1º grau. Podemos observar

que, neste caso, )x(P1 não aproxima bem a solução.

O erro de truncamento cometido no ponto x é dado pela fórmula

A)xx()xx()x(E 10T ,

onde A é uma constante a determinar, como a função erro de truncamento.

No calculo de A , utilizaremos a função auxiliar )t(G definida por:

)t(E)t(P)t(f)t(G T1 .

3.5. TEOREMA DE ROLLE

Se a função )x(f é contínua no intervalo ]b,a[ e diferenciável no intervalo )b,a( e )b(f)a(f ,

então, existe um )b,a( , tal que 0)('f

0x 1x

0y

1y )x(P1

)x(f

x

Valor Aproximado

Valor real

Page 20: 149009814 Calculo Numerico Uab

20

3.6. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE

As interpolações apresentadas anteriormente (interpolação linear e quadrática) são casos

particulares da interpolação de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinômio interpolador )x(P

de grau menor ou igual a n , sendo dado para isto, 1n pontos distintos. Teorema

Sejam )y,x( ii , 1n,n,...,2,1,0i pontos distintos, isto é, ji xx para ji . Existe

um único polinômio )x(P de grau não maior que n , tal que ii y)x(p , para todo i . O polinômio

)x(P pode ser escrito na forma:

nn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P

ou da seguinte forma

n

0i

iin xa)x(P

Observe que )x(P é, no máximo, de grau n , se 0an . Para determinar o polinômio )x(P

devemos conhecer os valores n210 a,...,a,a,a . Como )x(P contém os pontos )y,x( ii

podemos escrever ii y)x(p , da seguinte forma

S:

nnnn

3n3

2n2n10

2n2n

323

222210

1n1n

313

212110

0n0n

303

202010

yxa...xaxaxaa

..............................................................

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

A solução do sistema S são os valores n210 a,...,a,a,a , com os quais determinamos o polinômio

nn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P .

Para verificarmos que tal polinômio é único, basta calcularmos o determinante da matriz A

(matriz dos coeficientes) e verificar que ele é diferente de zero.

2n

2nn

21

211

n0

200

x...xx1

...............

x...xx1

x...xx1

A

Observe que a matriz A , tem a forma da matriz de Vandermonte, também conhecida

como matriz das potências. Seu determinante, segundo a Álgebra Linear, é dado pela expressão:

ji

ji )xx()Adet( , com ji xx

Sabemos que 0)Adet( , logo isto prova que )x(P é único.

Obtenção da Fórmula Para que você entenda a interpolação de Lagrange é necessário que compreender como é obtida a fórmula de recorrência deste método.

O teorema fundamental da Álgebra garante que podemos escrever o polinômio )x(P da

seguinte forma

)xx(...)xx()xx()xx()xx()x(P n3210

Page 21: 149009814 Calculo Numerico Uab

21

onde n3210 x,...,x,x,x,x são as raízes do polinômio )x(P . Montaremos agora, uma seqüência

de polinômios auxiliares da seguinte forma

1º polinômio: se retirarmos )xx( 0 obteremos o polinômio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3210

2º polinômio: se retirarmos )xx( 1 obteremos o polinômio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3201

3º polinômio: se retirarmos )xx( 2 obteremos o polinômio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3102

Seguindo este raciocínio obteremos os polinômios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 . Estes

polinômios podem ser escritos na forma sintética:

n

ij0j

ji )xx()x(p , )n,...,3,2,1,0i(

Tais polinômios possuem as seguintes propriedades

(a) 0)x(p ii , para todo i.

(b) 0)x(p ji , para todo ij .

e são conhecidos como polinômios de Lagrange. O polinômio )x(P pode ser escrito como uma

combinação linear dos polinômios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 , da seguinte forma:

)x(pb...)x(pb)x(pb)x(pb)x(P nn221100

ou

n

0iii )x(pb)x(P

Mas, como 0)x(p ji , para todo ij e 0)x(p ii , para todo i, temos que

)x(pb)x(P nnnnn

logo

)x(p

)x(Pb

nn

nnn

e como iin y)x(P , teremos

)x(p

yb

ii

ii

substituindo este valor no somatório será

n

0ii

ii

i )x(p)x(p

y)x(P

de onde teremos

n

0i ii

ii

)x(p

)x(py)x(P

como

n

ij0j

ji )xx()x(p então

Page 22: 149009814 Calculo Numerico Uab

22

n

0i

n

ij0j ji

ji

)xx(

)xx(y)x(P

denominada de fórmula de interpolação de Lagrange. Exemplo - A partir das informações existentes na tabela, determine:

i ix iy

0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.5

0.000 2.008 4.064 5.125

(a) O polinômio interpolador de Lagrange

(b) )3.0(P

Solução (a) Como temos 4 pontos, o polinômio interpolador será de grau 3, logo

3

0i

3

ij0j ji

ji3

)xx(

)xx(y)x(P , ou seja

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y)x(P

231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

substituindo os valores da tabela, teremos

)4.05.0()2.05.0()0.05.0(

)4.0x()2.0x()0.0x(125.5

)5.04.0()2.04.0()0.04.0(

)5.0x()2.0x()0.0x(064.4

)5.02.0()4.02.0()0.02.0(

)5.0x()4.0x()0.0x(008.2

)5.00.0()4.00.0()2.00.0(

)5.0x()4.0x()2.0x(000.0)x(P3

simplificando a expressão, temos o seguinte polinômio interpolador

x10x)x(P 33

(b) 027.33.0103.0)3.0(P 33

Page 23: 149009814 Calculo Numerico Uab

23

Exercício (01) A partir das informações existentes na tabela, determine:

I ix iy

0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.6

0.0000 1.0400 2.1600 3.3600

(a) O polinômio interpolador de Lagrange

(b) )3.0(P

(02) A partir das informações existentes na tabela, determine:

I ix iy

0 1 2 3

0.1 0.3 0.5 0.7

0.1010 0.3270 0.6250 1.0430

(a) O polinômio interpolador de Lagrange

(b) ).(P 40

(03) A partir das informações existentes na tabela, determine:

I ix iy

0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.6

0.0000 0.4080 0.8640 1.4160

(a) O polinômio interpolador de Lagrange

(b) ).(P 50

(04) A partir das informações existentes na tabela, determine:

I ix iy

0 1 2 3

0.1 0.3 0.5 0.7

0.0110 0.1170 0.3750 0.8330

(a) O polinômio interpolador de Lagrange

(b) ).(P 60

3.7. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Conceito de Diferenças Divididas

Seja )x(fy uma função que contém n pontos distintos )y,x( ii , onde n,...,2,1,0i .

Representaremos diferença divididas, por ][f . Definiremos diferença dividida de ordem zero a

própria função, isto é,

1110 y)x(f]x[f .

A diferença dividida de 1ª ordem para os argumentos 0x e 1x é uma aproximação da 1ª

derivada, isto é,

01

0110

1

xx

)x(f)x(f]x,x[f

,

Page 24: 149009814 Calculo Numerico Uab

24

onde temos a seguinte propriedade ]x,x[f]x,x[f 1001 . Considerando )x(fy ii , podemos

escrever as diferenças divididas de 1º ordem, de forma geral, por:

i1i

i1i1ii

1

xx

yy]x,x[f

.

A diferença dividida de 2ª ordem para os argumentos 0x , 1x e 2x é dada por:

02

101

211

2102

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

.

A diferença dividida de 3ª ordem para os argumentos 0x , 1x , 2x e 3x é dada por:

03

2102

3212

32103

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f

.

Genericamente, a diferença dividida de ordem n é dada por:

ini

1ni2i1ii1n

ni2i1i1n

ni2i1iin

xx

]x,...,x,x,x[f]x,...,x,x[f]x,...,x,x,x[f

.

Exemplo - Dada a função tabelada calcule a diferença dividida de segunda ordem.

i ix iy

0 1 2

0.3 1.5 2.1

3.09 17.25 25.41

Solução Devemos calcular as diferenças divididas de primeira ordem

80.113.05.1

09.325.17

xx

yy]x,x[f

01

0110

1

60.135.11.2

25.1741.25

xx

yy]x,x[f

12

1221

1

com todas as diferenças divididas de primeira ordem calculadas, vamos então calcular a de segunda ordem

0.13.01.2

80.1160.13

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

02

101

211

2102

Para facilitar os procedimentos numéricos e organizar os nossos cálculos colocaremos na própria tabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma:

i ix iy ]x,x[f 1ii1

]x,x,x[f 2102

0 0.3 3.09 ]x,x[f 101 ]x,x,x[f 210

2

1 1.5 17.25 ]x,x[f 211

2 2.1 25.41

Fazendo a substituição numérica temos:

i ix iy ]x,x[f 1ii1

]x,x,x[f 2102

0 0.3 3.09 11.80 1.00

1 1.5 17.25 13.60

2 2.1 25.41

A fórmula de recorrência de interpola, de Newton com diferenças dividida, depende do número de pontos existente na tabela. 1º Caso: Existem só dois pontos na tabela

Page 25: 149009814 Calculo Numerico Uab

25

A fórmula, de interpolação, é obtida a partir da expressão de diferença divididas de primeira ordem,

10

10

01

0110

1

xx

)x(f)x(f

xx

)x(f)x(f]x,x[f

onde isolando )x(f , para obter a fórmula de interpolação:

]x,x[f)xx()x(f)x(f 101

1010

assumiremos 0xx , onde x é qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ 10 .

2º Caso: Existem só três pontos na tabela

A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença divididas de segunda ordem,

20

211

101

02

101

211

2102

xx

]x,x[f]x,x[f

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

onde isolando ]x,x[f 211 , obtemos:

]x,x,x[f)xx(]x,x[f]x,x[f 2102

20211

101

Substituindo na primeira fórmula de interpolação, temos

]}x,x,x[f)xx(]x,x[f{)xx()x(f)x(f 2102

20211

1010

que pode ser escrita por

]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx()x(f)x(f 2102

2010211

1010

que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x é qualquer valor

dentro do intervalo ]x,x[ 20 .

3º Caso: Existem só quatro pontos na tabela

A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença divididas de terceira ordem,

30

3212

2102

03

2102

3212

32103

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f

onde isolamos ]x,x,x[f 2102 , para obter:

]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f]x,x,x[f 32103

303212

2102

Substituindo na segunda fórmula de interpolação, temos

}]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f{)xx)(xx(

]x,x[f)xx()x(f)x(f

32103

303212

2010

211

1010

que pode ser expresso por:

]x,x,x,x[f)xx)(xx)(xx(]x,x,x[f)xx)(xx(

]x,x[f)xx()x(f)x(f

32103

3020103212

2010

211

1010

que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x é qualquer valor

dentro do intervalo ]x,x[ 30 .

4º Caso: Generalização para n pontos na tabela

Para uma tabela de n pontos, a fórmula de interpolação pode ser expressa, segundo o mesmo raciocínio, por:

Page 26: 149009814 Calculo Numerico Uab

26

n

0i

1i

0jji0

i10 )xx(]x,...,x[f)x(f)x(f

onde assumiremos 0xx , onde x é qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ n0 .

Exemplo - Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

i ix iy

0 0.0 1.008

1 0.2 1.064

2 0.3 1.125

3 0.5 1.343 4 0.6 1.512

Solução

I ix ][fyi ][f1 ][f 2 ][f3 ][f 4

0 0.0000 1.0080 0.2800 1.1000 1.0000 -0.0000 1 0.2000 1.0640 0.6100 1.6000 1.0000 0.0000 2 0.3000 1.1250 1.0900 2.0000 0.0000 0.0000 3 0.5000 1.3430 1.6900 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.6000 1.5120 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Utilizamos os valores em azul no momento as substituição

][f)x4.0)(x4.0)(x4.0)(x4.0(][f)x4.0)(x4.0)(x4.0(

][f)x4.0)(x4.0(][f)x4.0(][f)4.0(f

43210

3210

210

10

2160.1)4.0(f

Exercício

(01) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

I ix iy

0 0.0 0.0000 1 0.2 0.0480

2 0.4 0.2240

3 0.6 0.5760

4 0.8 1.1520

(02) Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

I ix iy

0 0.1 0.1010

1 0.3 0.3270

2 0.5 0.6250

3 0.7 1.0430 4 0.9 1.6290

Page 27: 149009814 Calculo Numerico Uab

27

(03) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

i ix iy

0 0.0 0.1000

1 0.2 0.1080

2 0.4 0.1640

3 0.6 0.3160 4 0.8 0.6120

4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Se a função )x(f é contínua em um intervalo ]b,a[ e sua primitiva )x(F é conhecida, então

a área é calculada pela integral definida desta função no intervalo definido e é dada por:

)a(F)b(Fdx)x(fb

a ,

onde )x(f)x('F .

6.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Neste método, substituímos a rachurada que se deseja calcular pela área de um trapézio como ilustra a figura a seguir.

Figura – (a) Área rachurada compreendida pela função )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 .

(b) Trapézio utilizado para aproximar a área rachurada do item (a). O trapézio utilizado para aproximar a área rachurada é determinado, utilizando os dois pontos do intervalo, onde passamos uma reta. Da geometria sabemos que a área deste trapézio é dada por:

)x(f)x(fh

A 102

.

A diferença entre a integral exata de )x(f (área sob a curva )x(f ) e a integral aproximada (área

do trapézio) é denominada de erro de integração. Uma forma de se melhorar o resultado estimado, isto é, diminuir a diferença entre o resultado

estimado e o exato na regra do trapézio é subdividir o intervalo ]xx[ 10 em n intervalos de

amplitude h e em cada intervalo aplica-se a regra dos trapézios.

x0 x0 x1 x1

f(x) f(x) f(x0)

f(x1) f(x1)

f(x0)

x

y

x

y

h h

(a) (b)

a = x0 b= xn

f(x)

x

y

h

x1

h

x2

h

x3

h

x4

h

xn-1

Page 28: 149009814 Calculo Numerico Uab

28

Figura – Área compreendida pela função )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 é aproximada

pela soma de n áreas dos trapézios de mesma base compreendidos no intervalo ]xx[ 10 .

Desta forma, a área aproximada é calculada pela expressão:

)yy(h

...)yy(h

)yy(h

A nn 12110222

,

Que pode ser simplificado para

)yy...yyy(h

A nn 1310 2222

.

Onde iE é o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios no intervalo cujos extremos são ix

e 1ix , ou seja,

)(''fh

E i 12

3 ;

Com isto o erro total cometido é a soma dos erros cometidos em cada intervalo, logo

1

1

3

12

n

ii )(''f

hE ,

e pela continuidade de )(''f , existe n em ba , tal que:

)(''fn

)ab(E i

2

3

12

, onde ba .

Exemplo – Calcule a área entre o gráfico 24 ttv e o eixo do x , dentro do intervalo ][ 40 .

A precisão do valor aproximado depende do número n de trapézios, observe

Resolução analítica:

40

32

4

0

2

324 )

tt(dt)tt(A

)*()*(A3

002

3

442

32

32 666710

3

32.A

Aproximação para n = 2

)yyy(h

A 321 22

8A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

2.6667E

Aproximação para n = 4

)yyyyy(h

A 54321 2222

10A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

0.6667E

Page 29: 149009814 Calculo Numerico Uab

29

Figura 5 – Mostrando a aproximação pela regra dos trapézios para diferentes valores de n. Com

t)t('v 24 , e como 2)t(''v , logo 20 )(''f em todas as expressões, onde 40 .

Exercício

(01) Dada a função 2x)x(f calcular o valor da integral 3

0dx)x(fI , usando a regra dos

trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.

(02) Dada a função xln)x(f calcular o valor da integral 4

2dx)x(fI , usando a regra dos

trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.

(03) Dada a função 3x)x(f calcular o valor da integral 3

0dx)x(fI , usando a regra dos

trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.

(04) Dada a função xe)x(f calcular o valor da integral 4

2dx)x(fI , usando a regra dos

trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.

Utilizamos uma aproximação de primeira ordem do polinômio interpolador de Gregory-

Newton )x(Pn para representar a função )x(f .

02

03

02

00

1

121

3

21

2

1

y*!)n(

)nz(*...*)z)(z(z

...y*!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzy)x(Pn

Isto é, utilizamos na regra do trapézio, utilizamos 002 yzy)x(P (n = 1), para aproximar

)x(f , com isto a integral passou a ser determinada por

b

a

b

a

dxyzydx)x(fI 00

Como h

xxz 0 dzhdx ,

e considerando 0xa e 1xb , temos que

para ax 000

h

xxz ,

Aproximação para n = 6

)yyyyyyy(h

A 7654321 222222

370410.A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

0.2963E

Aproximação para n = 30

654810.A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

0.0119E

Page 30: 149009814 Calculo Numerico Uab

30

para bx 101

h

xxz

substituindo os limes na integral temos

1

0

0

2

0

1

0

00002

y

zyzhdzhyzydxyzyI

b

a

0

2

00

2

02

00

2

11 yy*hyy*hI

00

2

1yyhI

)yy(yhI 00

2

1

2

0yyhI , foi esta a expressão utilizada no método dos trapézios.

4.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON A vantagem, de revermos o método dos trapézios usando o polinômio interpolador de Gregory-

Newton ( )x(Pn ) e que na primeira regra de Simpson, utilizamos uma aproximação de 2ª ordem

deste polinômio, isto é, faremos: 02

002

1y*

!

)z(zyzy)x(f

, onde

h

xxz 0 .

Com isto o valor da integral ser:

b

a

b

a

dxy*!

)z(zyzydx)x(fI 0

200

2

1

Como h

xxz 0 dzhdx ,

Para se aproximar a função )x(f por um polinômio do 2º grau, serão necessários 3 pontos: 0x , 1x

e 2x (Figura).

Figura – Gráfico de )x(f juntamente com a aproximação de segunda ordem )x(P2 .

Considerando 0xa e 2xb , temos que :

ax 0

h

aaz ,

x0 x1

f(x)

f(x0) f(x2)

x

y

h h x2

f(x1)

P2(x)

Page 31: 149009814 Calculo Numerico Uab

31

bx 2

h

abz

Com isto, a integral será resolvida da seguinte forma

2

0

02

002

1dzhy*

!

)z(zyzydx)x(fI

b

a

Cujo resultado é:

0

200

3

122 yyyhI

Como babemos que

01202

010

2 yyyy

yyy, então com a substituição teremos

210 43

yyyh

I que é denominado de 1ª regra de Simpson.

2

0yyhI , foi esta a expressão utilizada no método dos trapézios.

Para diminuir o erro, isto é, a diferença do valor estimado e do valor real, devemos subdividir o intervalo de integração, da mesma forma que fizemos no método dos trapézios, com isto, a

integral b

a

dx)x(fI , será aplicada em cada dupla de intervalos da seguinte forma:

ervalointsubúltimo

nnn

ervalointsubºervalointsubº

yyyh

...yyyh

yyyh

I 12

2

432

1

210 43

43

43

O erro total cometido será a soma dos erros cometidos em cada aplicação da 1ª regra de Simpson nas duplas de subintervalos e são determinados por:

)(fn

)ab(E )IV(

4

5

180

, onde ba .

Exemplo 1. Calcule o valor da integral

1

0 21 x

dx, com 410 .

Solução

Figura – Gráfico da função 21

1

x)x(f

, onde a área rachurada é

1

0 21 x

dx.

Devemos definir qual dever ser o número n de subintervalos devemos usar, para isto utilizaremos a nossa fórmula do erro total

)(fn

)ab(E )IV(

4

5

180

, onde ba .

Como 21

1

x)x(f

, então temos que

Page 32: 149009814 Calculo Numerico Uab

32

52

4

42

2

32 1

384

1

288

1

24

x

x

x

x

x

)x(f IV

, onde 10

Sabemos que o maior erro total será obtido quando 0x , logo 24max

IV )x(f , e considerando

410 , então temos:

4

4

5

1024180

01

*n

)( 44 10

180

24n 0426.n

Isto é, devemos escolher um número de subintervalos maior que 7, e escolheremos para este caso

8n . O valor da aproximação foi obtido, para 8n , a partir da tabela a seguir.

i xi yi ci

0 0.0000 1.0000 1 0.1250 0.9846 2 0.2500 0.9412 3 0.3750 0.8767 4 0.5000 0.8000 5 0.6250 0.7191 6 0.7500 0.6400 7 0.8750 0.5664 8 1.0000 0.5000

1 4 2 4 2 4 2 4 1

Tabela - ci são os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximação do valor da integral. Para calcularmos o valor da integral pela seguinte expressão

8765432101

0 24242424

1

1yyyyyyyyy

hx

dx

Substituindo os valores da tabela teremos 785401

1

0 2.

x

dx

Exercício

(01) Calcule o valor da integral

1

0 221 x

dx, com 410 , usando a primeira regra de Simpson.

(02) Calcule o valor da integral 2

11 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de

Simpson.

(03) Calcule o valor da integral

1

0 321 x

dx, com 410 , usando a primeira regra de Simpson.

(04) Calcule o valor da integral 2

1

21 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de

Simpson. 4.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON

Na segunda regra de Simpson utilizamos uma aproximação de terceira ordem no polinômio

interpolador de Gregory-Newton ( )x(Pn ) o que resulta na expressão :

Page 33: 149009814 Calculo Numerico Uab

33

03

02

003

21

2

1y*

!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzy)x(Pn

, onde

h

xxz 0 .

Com isto o valor da integral ser:

b

a

b

a

dxy*!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzydx)x(fI 0

30

200

3

21

2

1

como h

xxz 0 dzhdx ,

Desta forma a solução da integral é:

3210 338

3yyyy

hI

O erro total neste método é dado pela expressão

)(fx

E IV 80

3 5 , ba .

Para diminuir o erro quando o intervalo não for muito pequeno, devemos subdividir o intervalo de integração da seguinte forma:

ervalointsubúltimo

nnnn

ervalointsubºervalointsubº

yyyyh

...yyyyh

yyyyh

I 123

2

6543

1

3210 338

333

8

333

8

3

Exemplo 1 – Calcule o valor da integral

4

1

3 dx)exln(I x

Solução Calcular esta integral significa determinar a área compreendida entre o gráfico e o eixo x,

como mostra a Figura 8. O valor da integral é obtido pela seguinte expressão:

98765432104

1

3 332332338

3yyyyyyyyyy

hdx)exln( x

Os valores de ny,...,y,y,y 210 são obtidos na tabela a seguir,

O valor da aproximação foi obtido, para 9n , a partir da tabela a seguir.

I xi yi ci

0 1.0000 1.3133 1 1.3333 1.8187 2 1.6667 2.2950 3 2.0000 2.7337 4 2.3333 3.1362 5 2.6667 3.5072 6 3.0000 3.8520 7 3.3333 4.1754 8 3.6667 4.4821 9 4.0000 4.7757

1 3 3 2 3 3 2 3 3 1

Tabela - ci são os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximação do valor da integral.

Substituindo os valores da tabela teremos 9.6880dx)exln( x 4

1

3

Page 34: 149009814 Calculo Numerico Uab

34

Exercício

(01) Calcule o valor da integral

1

0 221 x

dx, com 410 , usando a segunda regra de Simpson.

(02) Calcule o valor da integral 2

11 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de

Simpson.

(03) Calcule o valor da integral

1

0 321 x

dx, com 410 , usando a segunda regra de Simpson.

(04) Calcule o valor da integral 2

1

21 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de

Simpson. QUESTÕES COMPLEMENTARES 1) Na tabela abaixo, d é a distancia, em metros, que uma bala percorre ao longo de um cano de canhão em t segundos. Encontrar a distancia percorrida pela bala 5 segundos após ter sido disparada.

Tempo de disparo(s) 0 2 4 6 8

Distancia percorrida ao longo do cano. 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

2)Durante três dias consecutivos foram tomadas as temperaturas ( em º C) numa região de uma cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Determinar, usando todos os dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas.

Hora 1º dia 2º dia 3º dia

6 18 17 18

8 20 20 21

10 24 25 22

12 28 27 23

3) Determinar, usando todos os valores das tabelas abaixo o valor de F(G(0,25)) .

4) ( altitude de 2890m), sabendo que O ponto de ebulição da água varia com a altitude, conforme mostra a tabela abaixo.

a) Determinar, usando os cinco primeiros pontos da tabela, o ponto de ebulição da água em um local que possui altitude de 1000m.

b) Determinar, usando os cinco pontos mais próximos de 2890, o ponto de ebulição da água em um local que possui altitude de 2890m.

Altitude(m) Ponto de ebulição da água ( º C)

850 97,18

950 96,84

1050 96,51

1150 96,18

1250 95,84

- -

X G(x)

0 1,001

0,2 1,083

0,4 1,645

0,6 3,167

0,8 6,1293

X F(x)

1 0

1,1 0,21

1,3 0,69

1,6 1,56

2 3

Page 35: 149009814 Calculo Numerico Uab

35

- -

- -

2600 91,34

2700 91,01

2800 90,67

2900 90,34

3000 90

5) A velocidade do som na água varia com a temperatura, usando os valores da tabela abaixo, determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100ºC.

Temperatura ( ºC ) Velocidade (m/s)

86 1552

93,3 1548

98,9 1544

104,4 1538

110 1532

6) Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distancia percorrida em alguns pontos entre as duas cidades. Determinar: a) Qual foi aproximadamente a distancia percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?

b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?

TEMPO (em minuto) DISTANCIA ( em metro)

0 0,00

10 8,00

30 27,00

60 58

90 100

120 145

140 160

7) A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso, para homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma temperatura ambiente média de 20ºC.

Peso ( kg) Cota de calorias ( em kcal)

Idade (em anos) homens. Idade (em anos) mulheres.

25 45 65 25 45 65

40 - - - 1750 1650 1400

50 2500 2350 1950 2050 1950 1600

60 2850 2700 2250 2350 2200 1850

70 3200 3000 2550 2600 2450 2050

80 3550 3350 2800 - - -

Determine a cota aproximada de calorias para um homem de:

a) 30 anos que pesa 70 quilogramas; b) 45 anos que pesa 62 quilogramas; c) 50 anos que pesa 78 quilogramas.

Determine a cota aproximada de calorias para uma mulher de: a) 25 anos que pesa 46 quilogramas; b) 30 anos que pesa 50 quilogramas; c) 52 anos que pesa 62 quilogramas.

Page 36: 149009814 Calculo Numerico Uab

36

8) O gráfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma qualidade física. Estime as coordenadas-y dos pontos dos gráficos e exprime a área da região sombreada usando ( com n = 6 ). (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson. 9) Um lago artificial tem a forma da figura, com mensurações eqüidistantes de 5 m. Usa a regra do trapézio para estimar a área da superfície do lago.

10) Um aspecto importante na administração de água é a obtenção de dados confiáveis de sobre o fluxo de corrente, que é o número de metros cúbicos que passam por uma seção transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste calculo é a determinação da velocidade média a uma distância x metros da margem do rio. Se k é uma profundidade da corrente em um ponto a x metros da margem e v(y) é a velocidade (em m/s) a uma profundidade y metros (ver figura), então

k

x dyyvk

v0

)(1

com o método dos seis pontos, fazem-se as leituras da velocidade na superfície, nas profundidades

0,2k, 0,4K, 0,6k e 0,8k e próximo do leito do rio.Usa-se então a regra do trapézio para estimar xv

com os dados da tabela

Y (m) 0 0,2k 0,4k 0,6k 0,8k k

V(y) (m/s) 0,28 0,23 0,19 0,17 0,13 0,02

BIBLIOGRAFIA DEMIDOVICH. B. P. e MARON, L. A. “Cálculo Numérico Fundamental” –Madri: Paraninfo .

1977. DORN. W. S. e CRAKEN. D. D. Mc, “Cálculo Numérico com Estudos de Casos em Fortran ZV

/– São Paulo : Ed. da Universidade de São Paulo – 1978. RUGGIEIRO. M. A. G., e LOPES V. L. de R. “Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e

Computacionais– São Paulo : Ed. McGraw - Hill. 1988. MORAES. D. C., MARTINS J. M. “Calculo Numérico Computacional: Teoria e Prática; Algaritmo

em Pseudo – Linguagem, Indicação de Software Matemático”– São Paulo: Atlas 1989.

6 m 6 m 8 m 10 m 9 m

9 m

7 m 7 m

5 m

k

x m L m

0,2k