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RACIOCNIOLGICOSimplif icado

Srgio CarvalhoWeber Campos

2 edio Revista, atualizada e ampliada

2016

1

1Volume

Grficos, tabelas e outros elementos visuais para melhor aprendizado Exerccios resolvidos passo a passo (questes comentadas) Questes de concursos pblicos selecionadas para praticar Destaques coloridos para facilitar a compreenso

Inclui

Raciocionio_logico_v1_Livro.indb 3 21/09/2015 14:47:06

Os Autores

SRGIO CARVALHO Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Leciona Matemtica

(Bsica e Financeira), Estatstica (Descritiva e Inferencial) e Raciocnio Lgico em cursos

preparatrios para concursos de diversas capitais do Pas. tambm fundador do site Ol

Amigos (www.olaamigos.com.br) e autor das obras Matemtica Financeira Simplicada e

Estatstica Bsica Simplicada, pela Editora JusPodivm.

WEBER CAMPOS Engenheiro de Telecomunicaes, com graduao e mestrado

concludos no IME Instituto Militar de Engenharia. professor de Raciocnio Lgico,

Matemtica Financeira, Estatstica Descritiva e Inferencial, ministrando aulas em vrias capitais

do Brasil, e tambm no site Ol Amigos (www.olaamigos.com.br). autor, em parceria com

o Prof. Srgio Carvalho, das obras Matemtica Financeira Simplicada e Estatstica Bsica

Simplicada, pela Editora JusPodivm.


Nota dos Autores

Amigo leitor,

Aqui estamos novamente, apresentando-lhes novo fruto de nosso trabalho cotidiano de

sala de aula.

Fruto amadurecido ao longo dos anos, mediante debates, discusses, estudos, reexes

e muito aprendizado!

Apresentamos, enm, o Raciocnio Lgico Simplicado, deixando desde j explicado a

todos que a simplicao a que nos referimos diz respeito forma com que voc, nosso leitor,

entender cada assunto aqui abordado.

Como praxe em nossas obras, tambm nesta usamos de uma linguagem simples, tornando

os temas perfeitamente compreensveis para quem os estuda.

Nosso desao e por isso a demora na feitura do livro era demonstrar que todos os que

se propuserem a aprender o Raciocnio Lgico podero faz-lo de forma segura, tranquila e

denitiva.

Temas aparentemente complexos revelam-se fceis de ser compreendidos e trabalhados,

uma vez que se tornem conhecidas as tcnicas adequadas de resoluo de exerccios.

Nosso objetivo , seno outro, abrir as portas dessa disciplina para voc, tornando-o apto

a enfrentar, com segurana, quaisquer provas de concurso que exijam conhecimentos de

Raciocnio Lgico, e fazendo de voc por que no? mais um admirador e entusiasta dessa

matria to fascinante!

Um forte abrao a todos!

Os Autores


Captulo 8

Conjuntos

8.1. IntroduoDesde do incio deste Curso fazemos uso de conjuntos: no captulo inicial, vimos que a

conjuno equivale a uma interseco entre eles; a disjuno, a uma unio entre conjuntos;

a condicional representa uma relao de incluso, e a bicondicional ilustrada como uma

igualdade de conjuntos. No captulo de Diagramas Lgicos, zemos extenso uso de conjun-

tos nas resolues dos problemas. Tambm no captulo de Argumentos, para vericar se eram

vlidos ou invlidos, usamos por vezes representaes circulares.

Percebemos, assim, a importncia da teoria dos conjuntos dentro da Lgica.

Veremos, nesse estudo, dois tipos de questo de conjuntos: um mais formal, que envol-

ve operaes matemticas; outro que se baseia no uso de crculos para a representao dos

grupos.

Sobretudo para o primeiro tipo de questo, faz-se necessrio uma reviso da teoria dos

conjuntos.

8.2. Teoria dos conjuntosA seguir, veremos uma breve reviso da teoria dos conjuntos, que nos ser til para resol-

ver as questes de concursos.

8.2.1. Relaes de pertinnciaRelacionam elemento com conjunto. E a indicao de que o elemento pertence ou no

pertence a um conjunto feita pelos smbolos: (pertence) e (no pertence).

Exemplo 1: a) 2 {0, 1, 2} b) 4 {0, 1, 2}

8.2.2. Relaes de inclusoRelacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de incluso:

(est contido), (no est contido), (contm) e (no contm).


Raciocnio Lgico Simplificado Vol. 1 Srgio Carvalho e Weber Campos404

Exemplo 2: a) {2, 5} {0, 1, 2, 5} b) {2, 7} {0, 1, 2, 5} c) {0, 1, 2, 5} {2, 5} d) {0, 1, 2, 5} {2, 7}

8.2.3. SubconjuntoDiz-se que A subconjunto de B se todo elemento de A tambm elemento de B.

Exemplo 3: a) {2} subconjunto de {1, 2, 3}

b) {1, 3} subconjunto de {1, 3, 5}

8.2.4. Conjunto das Partes de um ConjuntoO conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), o conjunto cujos ele-

mentos so todos partes (subconjuntos) de A.

O nmero de partes (subconjuntos) de um conjunto A dado por 2n, em que n o n-

mero de elementos de A.

Exemplo 4: Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A.

Soluo:

Como A tem 3 elementos, P(A) ter 8 elementos (=23).

O conjunto P(A) { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, }. Onde o smbolo representa o conjunto vazio. Este sempre subconjunto de qualquer conjunto.

8.2.5. Operaes com ConjuntosConsiderando os conjuntos A, B e o conjunto-universo U, daremos a denio de cada

operao com conjuntos:

8.2.5.1. Unio ()A unio entre dois conjuntos, AB, o conjunto formado pela reunio dos elementos de

A e de B. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}.Exemplo 5: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!)A representao grca da unio entre dois conjuntos dada pelo seguinte desenho:


Captulo 8 Conjuntos 405

8.2.5.2. Interseo ()A interseco entre dois conjuntos, AB, o conjunto formado pelos elementos que so

comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AB = {x | xA e xB}.Exemplo 6: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {2} (Resposta!)A representao grca da interseco entre dois conjuntos dada pelo seguinte desenho:

8.2.5.3. Diferena ()A diferena entre dois conjuntos, B A, o conjunto formado pelos elementos de B que

no pertencem a A. Simbolicamente: B A = {x | xB e xA}.Exemplo 7: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!)

A representao grca da diferena entre dois conjuntos (B-A) dada pelo seguinte

desenho:

8.2.5.4. Complementar ( )O complementar do conjunto A, simbolizado por A, o conjunto formado pelos elemen-

tos do conjunto universo (U) que no pertencem a A. Simbolicamente: ={xU|xA}.A representao grca do complementar do conjunto A dada pelo seguinte desenho:

8.2.5.5. Diferena simtrica entre dois conjuntos (')A diferena simtrica entre dois conjuntos denida por: A'B = (AB)(AB).Exemplo 8: Considerando os conjuntos A={1, 2, 3} e B={2, 5, 8}, encontre A'B.



Soluo:

(AB) = {1, 2, 3}{2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8}(AB) = {1, 2, 3}{2, 5, 8} = {2}A'B = (AB)(AB) = {1, 2, 3, 5, 8}{2} = {1, 3, 5, 8} (Resposta!)A representao grca da diferena simtrica entre dois conjuntos (A'B) dada pelo

seguinte desenho:

8.2.5.6. Frmula da UnioExiste uma frmula que relaciona o nmero de elementos da unio, da interseco e dos

conjuntos individuais. A frmula dada por:

n(AB) = n(A) + n(B) n(AB)Se forem trs conjuntos a frmula ser:

n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) n(AB) n(AC) n(BC) + n(ABC)Exemplo 9: Calcule o nmero de elementos da unio dos conjuntos A e B a partir dos

seguintes dados: n(A) = 10, n(B) = 7, n(AB) = 5.

Soluo:

Substituiremos os dados na frmula da unio. Teremos:

n(AB) = n(A) + n(B) n(AB) = 10+7-5 n(AB) = 12 (Resposta!)

Esta no a nica maneira de se chegar resposta. Fazendo o desenho dos crculos e

escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos mesma resposta!

Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retngulo representa o conjunto-uni-

verso U e os crculos representam os conjuntos A e B.



Com base no desenho, determine:

a) O conjunto A

Soluo: A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(A) = 5

b) O conjunto B

Soluo: B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(B) = 6

c) O nmero de subconjuntos de A

Soluo: 2n = 25 = 32 subconjuntos

d) O nmero de subconjuntos de B

Soluo: 2n = 26 = 64 subconjuntos

e) A unio de A e B

Soluo: AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}f) A interseco entre A e B

Soluo: AB = {4, 5}g) A diferena A B

Soluo: A B = {1, 2, 3}

h) A diferena B A

Soluo: B A = {6, 7, 8, 9}

i) O complementar de A

Soluo: A = U A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

j) O complementar de B

Soluo: B = U B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13}

l) Diferena simtrica entre A e B

Soluo: A'B = (AB) (AB) = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}

8.3. Exerccios Resolvidos1. (Esaf) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10,

y, 6}. Sabendo que a interseco dos conjuntos A e B dada pelo conjunto {2, 9, 6},

o valor da expresso y (3x + 3) igual a:

a) -28;

b) -19;

c) 32;

d) 6;

e) 0.

Soluo: O conjunto resultante da interseco de A e B igual a: AB = {2, 9, 6}.Agora, devemos descobrir os valores de x e de y presentes nos conjuntos A e B.

Observe que o nmero 2 o primeiro elemento da interseco entre A e B. Como o n-

mero 2 faz parte da interseco, ento ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. Mas

veja que o elemento 2 no est presente no conjunto A, ento devemos fazer x igual a 2.

Acabamos, ento, de descobrir que x 2!



O nmero 9 o segundo elemento da interseco entre A e B. Como ele faz parte da interseco, ento ele tem que estar presente nos conjuntos A e B. No conjunto A temos o elemento 9, mas no conjunto B no aparece o elemento 9, ento devemos fazer y igual a 9. Acabamos de descobrir o valor de y!

Encontramos que: x = 2 e y = 9.O enunciado solicita o valor da expresso y (3 x +3), substituindo x e y por 2 e 9, res-

pectivamente, obteremos: 9 (3.2 + 3) = 9 (9) = 0 (resposta).

2. (Esaf) X e Y so dois conjuntos no vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, tambm, que o conjunto Z = XY possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o nmero de elementos do conjunto P = Y X igual a:a) 4;b) 6;c) 8;d) vazio;e) 1.

Soluo: O nmero de subconjuntos de um dado conjunto calculado por 2n, onde n o n-mero de elementos do conjunto. Como o conjunto X tem 64 subconjuntos, ento o nmero de elementos de X pode ser obtido a partir da igualdade: 2n = 64. Resolvendo, vem:

2n = 64 o 2n = 26 o n = 6 Portanto, o conjunto X tem 6 elementos. O conjunto Y tem 256 subconjuntos, ento o nmero de elementos de Y pode ser

obtido a partir da igualdade: 2n = 256. Resolvendo, vem: 2n = 256 o 2n = 28 o n = 8 Portanto, o conjunto Y tem 8 elementos. Agora, dos conjuntos X e Y sabemos que: n(X) = 6; n(Y) = 8; n(XY) = 2.

Vamos lanar esses dados no desenho dos crculos X e Y.

A quantidade 4, dentro do crculo X, foi obtida da diferena entre 6 e 2. E ela signica que h 4 elementos apenas em X. E a quantidade 6, dentro do crculo Y, foi obtida da diferena entre 8 e 2. E ela signica que h 6 elementos apenas em Y.



A questo pede o nmero de elementos do conjunto diferena Y X. A regio dos crculos correspondente a diferena Y X a regio do crculo Y que est fora da interseco. E nesta regio h 6 elementos.

Resposta: Alternativa B.

3. (Esaf) Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se que a operao < denida por A


Portanto: (A


O intervalo de interseco entre A e C est representado acima, na cor vermelha. E os

limites deste intervalo so abertos ou fechados? Como estamos interessados na interseco,

ento o limite s ser fechado se ele pertencer a ambos os conjuntos A e C. O limite inferior

1 pertence a ambos os conjuntos A e C, ento ele ser fechado (bolinha preta). O limite supe-

rior 3 est presente em C, mas no est presente em A, ento ele ser aberto (bolinha branca).

Agora, buscaremos por B (AC). Desenharemos o conjunto B e o conjunto (AC), e vericaremos a diferena entre os dois conjuntos.

B:

-1 3

(AC): 1 3

B (AC): -1 1

A diferena B (AC) corresponde ao intervalo dos elementos de B que no esto pre-sentes em (AC). A diferena entre B e (AC) est representada acima, na cor vermelha. Os limites sero abertos ou fechados? O limite inferior -1 pertence a B e no pertence a (AC), ento -1 ser fechado. O limite superior 1 pertence a B, mas como tambm pertence a (AC), ento deve ser descartado, logo o limite 1 ser aberto.

Portanto, a resposta da questo o intervalo: -1d x - 2 e o conjunto X = {x H R |- 3 d x d 3} dada por:a) {x H R | 1/3 d x d 1/3};b) {x H R | x z 3};c) {x H R | x > 3};d) {x H R | x = 3};e) {x H R | x < 3}.

Soluo: Vamos procurar a soluo da inequao: (1 - x) > - 2. Para isso, devemos isolar a

varivel x. Resolvendo, vem:

(1 - x) > - 2 o - x > - 2 1 o - x > - 3 o x < 3



Representando gracamente esta soluo da inequao, teremos:

x < 3:

3

O conjunto X, fornecido no enunciado, representado gracamente por:

X:

-3 3

A diferena entre a soluo da inequao e o conjunto X calculada a seguir.

x < 3:

3

X:

-3 3

diferena:

-3

O resultado da diferena entre os conjuntos acima ser o intervalo de valores menores

do que 3, mas que no esto presentes no intervalo -3d x d3. Esta diferena est represen-tada acima, na cor vermelha. Os limites sero abertos ou fechados? O limite superior 3

pertence a x < 3, mas como tambm pertence a X, ento deve ser descartado, logo o limite

-3 ser aberto.

Portanto, a resposta da questo o intervalo: x < 3.

Resposta: Alternativa E.

6. (Esaf) Se A = {x R | -1 < x < 1}, B = {x R | 0 d x < 2} e C = {x R | -1 d x


O conjunto B o intervalo formado pelos nmeros reais que so maiores ou iguais a 0 e

menores do que 2. Representaremos B gracamente por:

B = {x R | 0d x


Agora, buscaremos por (AB) (BC). Desenharemos o conjunto (AB) e o conjunto (BC), e vericaremos a diferena entre os dois conjuntos.

(AB): 0 1

(BC): 0 2

(AB) (BC):

A diferena (AB) (BC) corresponde ao intervalo dos elementos de (AB) que no esto presentes em (BC). Como o conjunto (AB) est contido em (BC), ento a diferena (AB) (BC) igual ao conjunto vazio.

Resposta: (AB) (BC) = (Alternativa C.)

Como acrscimo a esta questo, vamos calcular a diferena (BC) (AB). Teremos:

(BC): 0 2

(AB): 0 1

(BC) (AB): 1 2

A diferena (BC) (AB) corresponde ao intervalo dos elementos de (BC) que no es-to presentes em (AB). A diferena (BC) (AB) est representada acima, na cor vermelha. Os limites sero abertos ou fechados? O limite inferior 1 pertence a (BC), e no pertence a (AB), ento o limite 1 ser fechado (bolinha preta). O limite superior 2 no pertence a (BC), logo o limite 2 ser aberto (bolinha branca).

Portanto, a resposta para este ltimo caso o intervalo: 1d x


Soluo: Temos os seguintes dados trazidos no enunciado:

Uma empresa divide-se unicamente nos departamento A e B;

19 funcionrios trabalham em A;

13 trabalham em B;

4 funcionrios que trabalham em ambos os departamentos.

Na soluo desta questo e das prximas, consideraremos os grupos como conjuntos, em

seguida faremos os desenhos deles por meio de crculos (chamados de diagramas de Venn),

mostrando as interseces entre eles, e acrescentando as quantidades informadas no enuncia-

do. Aps isso, efetuaremos alguns desenvolvimentos aritmticos simples para encontrarmos

a soluo da questo.

Agora, deniremos os seguintes conjuntos:

A = conjuntos dos funcionrios que trabalham no departamento A.

B = conjuntos dos funcionrios que trabalham no departamento B.

Representaremos por um retngulo o conjunto universo da questo, que formado por

todos os funcionrios da empresa. E dentro dele, desenharemos os conjuntos A e B.

Funcionrios da empresa: total = n

Acrescentamos na gura acima os valores informados no enunciado, e tambm outros

que deduzimos:

1) O valor 0 fora dos crculos porque no h funcionrios nesta parte, visto que na em-

presa s h dois departamentos: A e B.

2) O nmero de funcionrios que trabalham apenas em A igual a 15 (= 19 4).

3) O nmero de funcionrios que trabalham apenas em B igual a 9 (= 13 4).

Encontraremos o total de funcionrios da empresa, por meio da soma dos valores que

esto em cada regio do desenho:

Total de funcionrios = 15 + 4 + 9 + 0 = 28

Resposta: Alternativa D.



8. (Esaf) Em uma pesquisa de mercado vericou-se que 300 pessoas no consomem

o produto A, 200 no consomem o produto B, 100 no consomem A ou B e 50 con-

somem A e B. O nmero de consumidores consultados igual a:

a) 250;

b) 350;

c) 450;

d) 550;

e) 650.

Soluo: Estabeleceremos os seguintes conjuntos:

A: conjunto dos que consomem o produto A.

B: conjunto dos que consomem o produto B.

Faremos o desenho dos dois conjuntos e anotaremos os dados fornecidos na questo:

Consumidores Consultados: n

Designamos por n o nmero de consumidores consultados. Por x, o nmero de consu-

midores consultados que gostam apenas do produto A. Por y, o nmero de consumidores

consultados que gostam apenas do produto B. O nmero 100, fora dos crculos, indica o

nmero de consumidores que no gostam dos produtos A e B.

Temos no enunciado que 300 pessoas no consomem o produto A. Da gura acima, o

nmero de consumidores consultados que no consomem o produto A dado pela soma

dos valores que esto fora do crculo A, ou seja: y + 100. Da, faremos a seguinte igualdade:

y + 100 = 300 o y = 200

Tambm, temos no enunciado que 200 pessoas no consomem o produto B. Da gura

acima, o nmero de consumidores consultados que no consomem o produto B dado pela

soma dos valores que esto fora do crculo B, ou seja: x+100. Da, faremos a seguinte igualdade:

x + 100 = 200 o x = 100



O total n de consumidores consultados igual a soma das regies do desenho:

n = x + y + 50 + 100

Substituindo x por 100 e y por 200, teremos:

n = 100 + 200 + 50 + 100 = 450 (Alternativa C).

9. (FCC) Em uma turma de 32 alunos, o nmero de alunos que praticam futebol o

triplo da quantidade de alunos que s praticam natao. Metade dos alunos dessa

turma no pratica nenhum desses dois esportes. A porcentagem dos alunos da turma

que praticam somente natao :

a) 10,0%;

b) 12,5%;

c) 17,0%;

d) 22,5%;

e) 25,0%.

Soluo: Temos os seguintes dados:

a turma tem 32 alunos;

o nmero de alunos que praticam futebol o triplo da quantidade de alunos que

s praticam natao;

metade dos alunos dessa turma no pratica nenhum desses dois esportes.

Deniremos os seguintes conjuntos:

F = conjunto dos alunos que praticam Futebol.

N = conjunto dos alunos que praticam Natao.

O conjunto universo formado pela turma de 32 alunos.

Turma de 32 alunos

Como metade dos alunos dessa turma no praticam nenhum desses esportes, ento exis-

tem 16 (= 32/2) alunos fora dos crculos.



Designamos por x o nmero de alunos que praticam apenas natao. Logo, o nmero de

alunos que praticam futebol igual a 3x.

Se somarmos a quantidade de pessoas que praticam futebol (crculo azul) com a quanti-

dade de pessoas que no praticam futebol (fora do crculo azul), o resultado deve ser igual

ao total de alunos da turma: 32 alunos. Temos que:

Pessoas que praticam futebol = 3x

Pessoas que no praticam futebol = x + 16

Somando as quantidades acima tem que dar 32, ento:

3x + (x + 16) = 32

Resolvendo, vem:

4x = 16 o x = 4 (logo, 4 praticam apenas natao!)A porcentagem dos alunos da turma que praticam apenas natao igual razo entre o

nmero de alunos que praticam apenas natao e o nmero total de alunos. Assim, teremos:

4/32 = 1/8 = 0,125 = 12,5%


10. (FCC) Para um grupo de funcionrios, uma empresa oferece cursos para somente

dois idiomas estrangeiros: ingls e espanhol. H 105 funcionrios que pretendem

estudar ingls, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultane-

amente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionrios desse grupo no pretende

estudar qualquer idioma estrangeiro, ento o nmero de elementos do grupo :

a) 245;

b) 238;

c) 231;

d) 224;

e) 217.

Soluo: De acordo com o enunciado, temos que:

105 funcionrios pretendem estudar Ingls;

118 preferem espanhol;

37 pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas;

1/7 do total de funcionrios desse grupo no pretende estudar qualquer idioma

estrangeiro.


I = conjunto dos funcionrios pretendem estudar ingls.

E = conjunto dos funcionrios pretendem estudar espanhol.



Representaremos por um retngulo o conjunto universo da questo, que formado pelo

grupo de funcionrios da empresa a quem so oferecidos os cursos. E dentro dele, desenha-

remos os conjuntos I e E.

Grupo de funcionrios da empresa: total = n


que deduzimos:

1) O nmero de funcionrios que esto apenas em I igual a 68 (= 105-37).

2) O nmero de funcionrios que esto apenas em E igual a 81 (= 118-37).

O nmero de elementos do grupo (n) igual soma dos valores que esto em cada regio

da gura acima:

n = 68 + 37 + 81 + n/7

Resolvendo, vem:

n n/7 = 68 + 37 + 81 o 6n/7 = 186 o n = 217Resposta: Alternativa E.

11. (FCC) Em uma pesquisa sobre hbitos alimentares realizada com empregados de

um Tribunal Regional, vericou-se que todos se alimentam ao menos uma vez ao

dia, e que os nicos momentos de alimentao so: manh, almoo e jantar. Alguns

dados tabelados dessa pesquisa so:

5 se alimentam apenas pela manh;

12 se alimentam apenas no jantar;

53 se alimentam no almoo;

30 se alimentam pela manh e no almoo;

28 se alimentam pela manh e no jantar;

26 se alimentam no almoo e no jantar;

18 se alimentam pela manh, no almoo e no jantar.

Dos funcionrios pesquisados, o nmero daqueles que se alimentam apenas no

almoo :

a) 80% dos que se alimentam apenas no jantar;

b) o triplo dos que se alimentam apenas pela manh;



c) a tera parte dos que fazem as trs refeies;

d) a metade dos funcionrios pesquisados;

e) 30% dos que se alimentam no almoo.

Soluo: Este tipo de questo se resolve com a ajuda de diagramas de conjuntos. Estabelece-

remos os seguintes conjuntos:

M: conjunto dos que se alimentam pela manh.

J: conjunto dos que se alimentam no jantar.

A: conjunto dos que se alimentam no almoo.

Faremos o desenho dos trs conjuntos e anotaremos os dados fornecidos na questo:

Designamos por a o nmero de pessoas que se alimentam apenas no almoo.

O nmero de pessoas que se alimentam de manh e no almoo de 30 pessoas. Destas

30 pessoas, 18 se alimentam nos trs horrios. Da, temos que 12 pessoas (= 30 18) se

alimentam apenas de manh e no almoo (e, no jantam).

O nmero de pessoas que se alimentam no jantar e no almoo de 26 pessoas. Destas

26 pessoas, 18 se alimentam nos trs horrios. Da, temos que 8 pessoas (= 26 18) se ali-

mentam apenas no jantar e no almoo (e, no se alimentam de manh).

O nmero de pessoas que se alimentam de manh e no jantar de 28 pessoas. Destas

28 pessoas, 18 se alimentam nos trs horrios. Da, temos que 10 pessoas (= 28 18) se

alimentam apenas de manh e no jantar (e, no almoam).



Acrescentando ao desenho anterior essas novas informaes, teremos:

A partir do desenho acima, podemos encontrar o nmero de pessoas que se alimentam apenas pela manh. Basta somar cada uma das pequenas regies do crculo A e igualar essa soma quantidade de elementos de A, que 53. Teremos:

a + 12 + 18 + 8 = 53

Resolvendo, vem: a = 53 38 o a = 15


12. (Esaf) Um colgio oferece a seus alunos a prtica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vlei. Sabe-se que, no atual semestre:

20 alunos praticam vlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos no praticam nem futebol nem vlei; o nmero de alunos que praticam s futebol idntico ao de alunos que praticam

s vlei; 17 alunos praticam futebol e vlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, no praticam vlei. O nmero total de alunos do colgio, no atual semestre, igual a:

a) 93;b) 110;c) 103;d) 99;e) 114;

Soluo: Estabeleceremos os seguintes conjuntos:V: conjunto dos que praticam vlei.B: conjunto dos que praticam basquete.F: conjunto dos que praticam futebol.



Faremos o desenho dos trs conjuntos e anotaremos os dados fornecidos:

Designamos por x o nmero de alunos que praticam apenas futebol. O valor x indica tambm os que praticam apenas vlei. Designamos por z, o nmero de alunos que praticam apenas basquete. E por w, o nmero de alunos que no praticam nenhum dos trs esportes.

Veja a regio de interseco de B e F: h 45 alunos que praticam futebol e basquete (no apenas futebol e basquete!). Destes 45 alunos, 30 no praticam vlei, ento teremos 15 (= 45 30) alunos praticando os trs esportes.

Veja a regio de interseco de F e V: h 17 alunos que praticam futebol e vlei (no apenas futebol e vlei!). Sabemos que 15 praticam os trs esportes. Da, 2 (= 17 15) praticam apenas vlei e futebol.

Veja a regio de interseco de B e V: h 20 alunos que praticam vlei e basquete (no apenas vlei e basquete!). Sabemos que 15 praticam os trs esportes. Da, 5 (= 20 15) praticam apenas vlei e basquete.

Substituindo esses resultados nos diagramas, teremos:



Se somarmos cada uma das pequenas regies do crculo F e igualarmos essa soma quan-

tidade de elementos de F (60), teremos a seguinte igualdade:

2 + 15 + 30 + x = 60

Resolvendo, vem: x = 13.

Se somarmos cada uma das pequenas regies do crculo B e igualarmos essa soma

quantidade de elementos de B (65), teremos a seguinte igualdade:

5 + 15 + 30 + z = 65

Resolvendo, vem: z = 15.

Ainda no usamos a informao: 21 alunos no praticam nem futebol nem vlei.

Quem so esses alunos? So todos aqueles que esto fora dos crculos do futebol e do

vlei, ou seja, so os que praticam apenas basquete ou que no praticam nenhum dos trs

esportes.

Igualaremos a quantidade de 21 alunos soma das regioes que esto fora dos crculos

do futebol e do vlei, teremos:

z + w = 21

J sabemos que z 15. O valor de w , ento:

15 + w = 21 o w = 6

Vamos atualizar o desenho:

O nmero total de alunos do colgio pode ser obtido pela soma de todas as regies que

aparecem no ltimo desenho. Em vez de somar cada pequena regio do desenho, melhor

escolhermos um dos crculos e somar a quantidade que est dentro dele com a que est fora

dele. Escolhamos o crculo vermelho (que o maior):



Dentro do crculo vermelho = 65

Fora do crculo vermelho = 13 + 2 + 13 + 6 = 34

Portanto, o total de alunos no colgio :

65 + 34 = 99


13. (FCC) Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemtica, 10 em Histria,

9 em Desenho, 7 em Matemtica e em Histria, 5 em Matemtica e Desenho, 3 em

Histria e Desenho e 2 em Matemtica, Histria e Desenho. Sejam:

v o nmero de aprovados em pelo menos uma das trs disciplinas;

w o nmero de aprovados em pelo menos duas das trs disciplinas;

x o nmero de aprovados em uma e uma s das trs disciplinas;

y o nmero de aprovados em duas e somente duas das trs disciplinas;

z o nmero dos que no foram aprovados em qualquer uma das trs disciplinas.

Os valores de v, w, x, y, z so, respectivamente:

a) 30, 17, 9, 7, 2;

b) 30, 12, 23, 3, 2;

c) 23, 12, 11, 9, 7;

d) 23, 11, 12, 9, 7;

e) 23, 11, 9, 7, 2.

Soluo: De acordo com o enunciado, temos:

30 alunos na sala;

2 alunos foram aprovados em Matemtica, Histria e Desenho;

7 em Matemtica e em Histria;

5 em Matemtica e Desenho;

3 em Histria e Desenho;

17 em Matemtica;

10 em Histria;

9 em Desenho.


M = conjunto dos alunos aprovados em Matemtica.

H = conjunto dos alunos aprovados em Histria.

D = conjunto dos alunos aprovados em Desenho.

Representaremos por um retngulo o conjunto universo da questo, que formado pelos

30 alunos que esto na sala. E dentro dele, desenharemos os conjuntos M, H e D.



Sala de 30 alunos


que deduzimos:

1) O nmero de alunos que esto apenas em M igual a 7 (= 17 (2 + 5 + 3)).

2) O nmero de alunos que esto apenas em H igual a 2 (= 10 (2 + 5 + 1)).

3) O nmero de alunos que esto apenas em D igual a 3 (= 9 (2 + 3 + 1)).

E z o nmero de alunos que esto fora dos crculos, ou seja, que no foram aprovados

em qualquer uma das trs disciplinas. Vamos encontrar o valor de z!

Sabemos que a soma das regies do desenho igual ao todo. Podemos somar as regies

da seguinte forma: (alunos que esto dentro do crculo M) + (alunos que esto fora do

crculo M). Teremos: (17) + (2 + 1 + 3 + z). O resultado (23 + z).

Igualando a soma obtida (23 + z) com o total de alunos da sala (30) formaremos a igual-

dade:

(23 + z) = 30

Resolvendo, vem: z = 30 23 o z = 7Agora, encontraremos as outras letras denidas no enunciado: v, w, x, y.

1o) v = nmero de aprovados em pelo menos uma das trs disciplinas = ?

Podemos encontrar o v atravs de duas formas diferentes:

v igual soma das pessoas de dentro dos crculos:

v = (17) + (2 + 1 + 3) = 23

v igual diferena entre o total de alunos na sala e o nmero de alunos fora dos

crculos:

v = 30 7 = 23 (deu o mesmo resultado anterior)

2o) w = nmero de aprovados em pelo menos duas das trs disciplinas = ?

Podemos encontrar o w da seguinte forma:

w = aprovados em somente 2 disciplinas + aprovados nas 3 disciplinas



De acordo com os dados presentes nos crculos, teremos:

w = (5 + 3 + 1) + (2)

Da: w = 11

3o) x = nmero de aprovados em uma e uma s das trs disciplinas = ?

Podemos encontrar o x da seguinte forma:

x = apenas em M + apenas em H + apenas em D

De acordo com os dados presentes nos crculos da gura anterior, teremos:

x = 7 + 2 + 3

Da: x = 12

4o) y = nmero de aprovados em duas e somente duas das trs disciplinas = ?

Podemos encontrar o y da seguinte forma:

y = apenas em M e H + apenas em M e D + apenas em H e D

De acordo com os dados presentes nos crculos da gura anterior, teremos:

y = 5 + 3 + 1

Da: y = 9

Pronto! Encontramos os valores de todas as letras:

v = 23, w = 11, x = 12, y = 9, z = 7


14. (FCC) Um seminrio foi constitudo de um ciclo de trs conferncias: uma de

manh, outra tarde e a terceira noite. Do total de inscritos, 144 compareceram

de manh, 168 tarde e 180 noite. Dentre os que compareceram de manh, 54

no voltaram mais para o seminrio, 16 compareceram s trs conferncias e 22

compareceram tambm tarde, mas no compareceram noite. Sabe-se tambm

que 8 pessoas compareceram tarde e noite, mas no de manh. Constatou-se que

o nmero de ausentes no seminrio foi de um oitavo do total de inscritos. Nessas

condies, verdade que:

a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferncias;

b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferncias;

c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferncias;

d) 54 pessoas inscritas no compareceram ao seminrio;

e) o nmero de inscritos no seminrio foi menor que 420.

Soluo: De acordo com o enunciado, temos:

144 compareceram de manh;

168 tarde;

180 noite;



Dentre os que compareceram de manh:

54 no voltaram mais para o seminrio;

16 compareceram s trs conferncias; e

22 compareceram tambm tarde, mas no compareceram noite.

8 pessoas compareceram tarde e noite, mas no de manh;

o nmero de ausentes no seminrio foi de um oitavo do total de inscritos.


M = conjunto das pessoas que compareceram ao seminrio de manh.

T = conjunto das pessoas que compareceram ao seminrio de tarde.

N = conjunto das pessoas que compareceram ao seminrio de noite.

Representaremos por um retngulo o conjunto universo da questo, que formado pelas

pessoas inscritas no seminrio. E dentro dele, desenharemos os conjuntos M, T e N.

Pessoas inscritas no seminrio: total = n


que deduzimos:

1) O nmero de pessoas que compareceram apenas de manh e de noite igual a 52

(= 144 (54 + 22 + 16) ).

2) O nmero de pessoas que compareceram apenas tarde igual a 122 (= 168 (16 +

22 + 8) ).

3) O nmero de pessoas que compareceram apenas noite igual a 104 (= 180 (16

+ 52 + 8) ).

O nmero de pessoas inscritas no seminrio (n) igual soma dos valores que esto em

cada regio do desenho acima. Para obter esse resultado de forma mais rpida, igualaremos o



n seguinte soma: (quantidade dentro do crculo preto) + (quantidade fora do crculo preto).

Ou seja:

n = (180) + (54 + 22 + 122 + n/8)

Resolvendo, vem:

n = 378 + n/8 o n n/8 = 378 o 7n/8 = 378 o n = 432Passemos anlise das alternativas:

Alternativa A. 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferncias.

O nmero de pessoas que compareceram a pelo menos uma das conferncias igual

diferena entre as duas quantidades abaixo:

total de inscritos = 432

nmero de pessoas inscritas que no compareceram a nenhuma conferncia = n/8

= 432/8 = 54.

Resultado: 432 54 = 378 pessoas.

Portanto, a alternativa A est errada!

Alternativa B. 282 pessoas compareceram a somente uma das conferncias.

O nmero de pessoas que compareceram a somente uma das conferncias dado pela

soma das trs quantidades abaixo:

(compareceram s pela manh) = 54

(compareceram s tarde) = 122

(compareceram s noite) = 104

Resultado: 54 + 122 + 104 = 280 pessoas

Portanto, a alternativa B est errada!

Alternativa C. 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferncias.

O nmero de pessoas que compareceram a pelo menos duas conferncias dado pela

soma das duas quantidades abaixo:

(compareceram a exatamente duas conferncias) = 22 + 52 + 8 = 82

(compareceram a exatamente trs conferncias) = 16

Resultado: 82 + 16 = 98 pessoas.

Portanto, a alternativa C est errada!

Alternativa D. 54 pessoas inscritas no compareceram ao seminrio.

O nmero de pessoas que no compareceram ao seminrio igual a:

n/8 = 432/8 = 54 pessoas.

Portanto, a alternativa D est certa!




15. (Esaf) Uma escola de idiomas oferece apenas trs cursos: um curso de alemo, um

curso de francs e um curso de ingls. A escola possui 200 alunos e cada aluno

pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos

esto matriculados no curso de alemo, 30% no curso de francs e 40% no de in-

gls. Sabendo-se que 5% dos alunos esto matriculados em todos os trs cursos, o

nmero de alunos matriculados em mais de um curso igual a:

a) 30;

b) 10;

c) 15;

d) 5;

e) 20.

Soluo:


A: conjuntos dos alunos matriculados em alemo.

F: conjuntos dos alunos matriculados em francs.

I: conjuntos dos alunos matriculados em ingls.

Temos os seguintes dados trazidos no enunciado:

A escola possui 200 alunos;

100 (= 50% x 200) alunos matriculados em alemo;

60 (= 30% x 200) alunos matriculados em francs;

80 (= 40% x 200) alunos matriculados em ingls;

10 (= 5% x 200) alunos matriculados nos trs cursos.

Desenho dos trs conjuntos:

No h alunos fora dos crculos, pois os alunos esto matriculados em pelo menos um

dos trs cursos.

Designamos por x o nmero de alunos matriculados em apenas alemo e francs. Por y,

o nmero de alunos matriculados em apenas Alemo e ingls. E por z, o nmero de alunos

matriculados em apenas Francs e ingls.



O nmero de alunos que estudam apenas Alemo igual a: 100 (x + y + 10), que sim-

plicando ca 90 x y.

O nmero de alunos que estudam apenas Francs igual a: 60 (x + z + 10), que sim-

plicando ca 50 x z.

O nmero de alunos que estudam apenas ingls igual a: 80 (y + z + 10), que simpli-

cando ca 70 y z.

Colocando esses valores no desenho anterior, teremos:

Temos que encontrar uma relao com x, y e z. Podemos obter esta relao somando o

nmero de alunos que esto presentes no desenho acima e igualando ao total de alunos for-

necido no enunciado: 200 alunos.

Podemos encontrar o total de alunos que esto no desenho acima, por meio da soma dos

valores que esto em cada regio do desenho. Mas obteremos este total mais rpido se usar-

mos o total de alunos de um dos cursos. Escolheremos o curso de Alemo! Dentro e fora do

crculo do Alemo, temos:

dentro do crculo do alemo = 100

fora do crculo do alemo = (50 x z) + z + (70 y z) + 0

Portanto, o total de alunos :

total de alunos = 100 + (50 x z) + z + (70 y z)

Sabemos que o total de alunos 200. Da, podemos estabelecer a seguinte igualdade:

100 + (50 x z) + z + (70 y z) = 200

Resolvendo, vem:

100 + 50 x z + z + 70 y z = 200

220 x y z = 200

x + y + z = 20

A questo quer o nmero de alunos matriculados em mais de um curso. Observando o

desenho dos conjuntos, percebemos que essa quantidade igual a: x + y + z + 10.

Obtemos anteriormente que a soma x + y + z igual a 20. Logo, a resposta da questo ser:

x + y + z + 10 = 20 + 10 = 30

Resposta: Alternativa A.



16. (Esaf) Em um grupo de 30 crianas, 16 tm olhos azuis e 20 estudam canto. O nmero de crianas deste grupo que tm olhos azuis e estudam canto :a) exatamente 16; d) no mximo 6;b) no mnimo 6; e) exatamente 6.c) exatamente 10;

Soluo:Formaremos dois conjuntos:1o) O conjunto das crianas de olhos azuis.2o) O conjunto das crianas que estudam canto.

Representaremos esses conjuntos por crculos, e o grupo das 30 crianas por um retn-gulo, conforme mostrado abaixo:

Grupo de 30 Crianas

Designamos por x o nmero de crianas do grupo que tm olhos azuis e estudam canto. Assim, o nmero de crianas de olhos azuis que no estudam canto igual a 16 x. E o n-mero de crianas que estudam canto e no tm olhos azuis igual a 20 x.

E designamos por z o nmero de crianas do grupo que no tm olhos azuis ou no es-tudam canto.

Somando as regies do desenho e igualando ao total, formaremos a igualdade: (16 x) + x + (20 x) + z = 30

Isolando o valor de x: x = 6 + z

O valor de x dependente do valor de z, e x ser mnimo quando z for mnimo, e x ser mximo quando z for mximo.

O menor valor que z pode assumir zero, signicando que todas as 30 crianas do grupo tm olhos azuis ou estudam canto. O valor de x correspondente a z = 0 igual a:

x = 6 + z = 6 + 0 = 6

Esse resultado signica que o nmero de crianas deste grupo que tm olhos azuis e es-tudam canto no mnimo 6.




E qual seria o valor mximo para x? Observe que dentro dos crculos temos duas diferen-as: (16 x) e (20 x). Esses valores no podem ser negativos, para tanto o valor de x no pode ser maior do que 16. Portanto, o mximo valor para x 16!

17. (FCC) Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralizao de seus currculos. Por solici-tao da diretoria, o secretrio do curso de Matemtica informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Fsica; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Qumica; 32, dos cursos de Biologia e Fsica; 23, dos cursos de Qumica e Fsica; 16, dos cursos de Biologia e Qumica; e 8 cursam disciplinas desses trs cursos. O secretrio informou, ainda, que essa distribuio inclui todos os alunos do curso de Matemtica. Com relao a essa situao, julgue o item seguinte.

item 1. De acordo com os dados da situao em apreo, as informaes do secretrio esto realmente corretas.

Soluo:O secretrio do curso de Matemtica informou que, dos 200 alunos desse curso:80 cursam disciplinas do curso de Fsica;90, do curso de Biologia;55, do curso de Qumica;32, dos cursos de Biologia e Fsica;23, dos cursos de Qumica e Fsica;16, dos cursos de Biologia e Qumica; e8 cursam disciplinas desses trs cursos.O secretrio informou, ainda, que essa distribuio inclui todos os alunos do curso de

Matemtica.Utilizaremos esses dados nos desenhos dos crculos:

200 alunos do Curso de Matemtica



Somando a quantidade de pessoas presentes em cada uma das partes do desenho, encon-

traremos a quantidade de pessoas do curso de Matemtica que tambm fazem outros cursos.

O total dado pela soma:

90 + 33 + 15 + 24 = 162 pessoas

Portanto, h 38 pessoas (= 200 162) que fazem apenas Matemtica. Estas 38 pessoas

esto fora dos trs crculos do Desenho, mas dentro do retngulo da Matemtica.

Mas o secretrio havia informado que a distribuio informada no enunciado inclua todos

os alunos do curso de Matemtica. Isso no verdade! Incluiu apenas 162 pessoas! Item errado.

8.4. Exerccios Propostos01. Dados o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {3, 4, 5, 6, 7}, julgue os

itens a seguir como Certo (C) ou Errado (E):i. ( ) 2 Aii. ( ) 2 Aiii. ( ) {3} Aiv. ( ) {3} Av. ( ) {4, 5} (A B)vi. ( ) {1, 2} P(A)vii. ( ) {1, 2} P(A)viii. ( ) A (A B)ix. ( ) A (A B)x. ( ) A B = (A B) B

02. (AOCP/2012) Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Qual das armaes verda-deira? a) (A = A) e (A = A)b) (A B A) = B c) A B l (A B = B)d) (C (A C)) e) (A B) B

03. (AOCP/2012) Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, assinale abaixo a alternativa INCORRETA. a) A (B C ) = (A B) C b) A (B C ) = (A B) C c) A (B C ) = (A B) (A C ) d) A (B C ) = (A B) (A C ) e) B (A C ) = (B A) (B C )

04. (DNIT 2013 ESAF) Uma escola oferece reforo escolar em todas as disciplinas. No ms passado, dos 100 alunos que zeram reforo escolar nessa escola, 50 zeram reforo em Matemtica, 25 zeram reforo em Portugus e 10 zeram reforo em Matemtica e Portugus. Ento, correto armar que, no ms pas-sado, desses 100 alunos, os que no zeram reforo em Matemtica e nem em Portugus igual a:a) 15b) 35F G e) 25



05. (TCE-SE Tc. de Controle Externo 2011 FCC) Duas modalidades de esporte so oferecidas para os 200 alunos de um colgio: basquete e futebol. Sabe-se que 140 alunos praticam basquete, 100 praticam futebol e 20 no praticam nenhu-ma destas modalidades. O nmero de alunos que praticam uma e somente uma destas modalidades D E F G H

06. Uma grande empresa possui 84 funcionrios e sabe-se que cada funcionrio fala pelo menos uma das lnguas entre Portugus e Ingls. Alm disso, 20% dos que falam Portugus tambm falam Ingls e 80% dos que falam Ingls tambm falam Portugus. Quantos funcionrios falam as duas lnguas?a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

07. (Departamento de Polcia Federal Administrativo 2013 Cespe) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, veri-cou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A tambm se inscreveram para o cargo B.

A respeito dessa situao hipottica, julgue o item subsecutivo.1. Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.

08. (Agente da PF 2012 Cespe) Em uma pgina da Polcia Federal, na Internet, possvel denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o trco de pessoas aliciamento de homens, mulheres e crianas para explo-rao sexual e a pornograa infantil envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explcitas, reais ou simuladas, ou exibio dos rgos genitais do menor para ns sexuais.

Com referncia a essa situao hipottica e considerando que, aps a anlise de 100 denncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como trco de pessoas e como pornograa infantil; outras 30 no se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relao a 60 dessas denncias, ha-via apenas a certeza de que se tratava de pornograa infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denncias analisadas.1. Dez denncias foram classicadas apenas como crime de trco de pessoas. 2. Os crimes de trco de pessoas foram mais denunciados que os de porno-

graa infantil.

09. Em um grupo de 35 crianas, 16 tm cabelos pretos e 24 tm menos de 7 anos. O nmero de crianas deste grupo que tm cabelos pretos e menos de 7 anos D H[DWDPHQWHE QRPtQLPRF H[DWDPHQWHG QRPi[LPRH QRPtQLPR

10. Em um grupo de 50 crianas, 16 tm cabelos pretos e 24 tm menos de 7 anos. O nmero de crianas deste grupo que tm cabelos pretos e menos de 7 anos D H[DWDPHQWHE QRPtQLPRF H[DWDPHQWHG QRPi[LPRH QRPi[LPR



11. (MPU Tcnico 2013 Cespe) Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 tcni-cos do MPU a respeito da atividade I planejamento estratgico institucional e da atividade II realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.1. Se 4 tcnicos desse grupo no gostam de nenhuma das atividades citadas,

ento mais de 25 tcnicos gostam das duas atividades. 2. A quantidade mxima de tcnicos desse grupo que no gosta de nenhuma

das duas atividades inferior a 7. 3. Infere-se dos dados que a quantidade mnima de tcnicos desse grupo que

gostam das duas atividades superior a 20.

12. (ANTT 2013 Cespe)

UHVSRVWD YLDMDGHDYLmR" YLDMDGH{QLEXV"VLP QmR

A tabela acima apresenta o resultado de uma pesquisa, da qual participaram 1.000 pessoas, a respeito do uso de meios de transporte na locomoo entre as cidades brasileiras. Com base nessa tabela, julgue os itens seguintes.1. No mximo, 50 pessoas entre as pesquisadas no utilizam nenhum dos

dois meios de transporte em suas viagens. 2. No mnimo, 650 pessoas, entre as pesquisadas, utilizam os dois meios de

transporte em suas viagens. 3. A probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso entre as participantes

da pesquisa no utilizar o avio em sua locomoo entre as cidades brasi-leiras de 15%.

13. (TRT Alagoas Tc. Jud. 2014 FCC) Dos 46 tcnicos que esto aptos para arqui-var documentos 15 deles tambm esto aptos para classicar processos e os demais esto aptos para atender ao pblico. H outros 11 tcnicos que esto aptos para atender ao pblico, mas no so capazes de arquivar documentos. Dentre esses ltimos tcnicos mencionados, 4 deles tambm so capazes de classicar processos. Sabe-se que aqueles que classicam processos so, ao todo, 27 tcnicos. Considerando que todos os tcnicos que executam essas trs tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total dea) 58.b) 65.F d) 53.e) 95.

14. (Especialista em Polticas Pblicas SP 2009 FCC) Em uma cidade em que exis-tem apenas as marcas de sabonete X, Y e Z tem-se que 10% da populao usa somente a marca X, 15% usa somente Y e 10% usa somente Z. Sabe-se tambm que 30% da populao usa as marcas X e Y, 25% usa as marcas X e Z e 20% usa as marcas Y e Z. Se qualquer habitante desta cidade usa pelo menos uma marca de sabonete, ento a porcentagem da populao que usa as trs marcas D E F G H


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