8/20/2019 1ª-missão sinais e sistemas

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Feita algumas medições na rede elétrica da industria, se obteve, em um dado

momento, o sinal indicado na Figura 1.

Decompondo o sinal encontrado da Figura 1, têm-se os sinais conforme

ilustrado na Figura 2.

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  Descrevendo as equações analíticas para os quatro sinais indicados na

Figura 2.

1)

 

2) )

3)  

4)  

  Provando analiticamente que o sinal da Figura 1 é a soma daqueles

indicados na Figura 2:

Usando a identidade trigonométrica:

( )

 

Temos que

, onde

 

Como  é uma função par, temos que .

 

 Aplicando novamente a identidade da soma dos senos

 

 

O resultado  é um produto de funções trigonométricas, cada uma com uma

velocidade angular diferente, mas todas são múltiplas de . Como  corresponde ao maior período e as outras frequências angulares

implicam em períodos menores. Além disso o período de   é múltiplo dos

demais períodos

, faz com que a   seja a

frequência angular de   pois

  é o menor tempo no qual todos períodos

tenham feitos um numero inteiro de ciclos.

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  Foi simulado o resultado no Matlab utilizando o seguinte código

implementado:

Fs=6300; 

Ts=1/Fs; S1=105; S2=35; S3=21; S4=15; F1=1/(S1*Ts); F2=1/(S2*Ts); F3=1/(S3*Ts); F4=1/(S4*Ts); t=linspace(0,0.0167,121); x1=sin(2*pi*F1*t); x2=sin(2*pi*F2*t); x3=sin(2*pi*F3*t); 

x4=sin(2*pi*F4*t); 

subplot(4,1,1); stem(t,x1); xlabel('tempo (s)'); ylabel('100 x V'); title({'Sinal 1'}); 

subplot(4,1,2); stem(t,x2,'r'); xlabel('tempo (s)'); ylabel('100 x V'); title({'Sinal 2'}); 

subplot(4,1,3); stem(t,x3,'k'); xlabel('tempo (s)'); ylabel('100 x V'); title({'Sinal 3'}); 

subplot(4,1,4); stem(t,x4,'m'); xlabel('tempo (s)'); ylabel('100 x V'); 

title({'Sinal 4'}); 

x5=x1+x2+x3+x4; x6=4.*cos(-120.*pi.*t).*cos(-240.*pi.*t).*sin(480.*pi.*t);  

figure; subplot(2,1,1) stem(t,x5); xlabel('tempo (s)'); ylabel('100 x V'); title({'Soma de sinais'}); 

subplot(2,1,2) stem(t,x6,'g'); 

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xlabel('tempo (s)'); ylabel('100 x V'); title({'Soma de Funções Seno(Questão

2)f(x)=4*cos(120pi*t)*cos(240pi*t)*sin(480pi*t)' }); 

scrsz = get(0,'ScreenSize'); 

figure1 = figure('Position',[0 scrsz(4)/4 scrsz(3)/2 scrsz(4)/2]); figure2 = figure('Position',[scrsz(3)/2 scrsz(4)/4 scrsz(3)/2

scrsz(4)/2]); 

for i=0:0.1:50 y1 = sin(2*pi*60*t+i*pi);

y2 = sin(2*pi*180*t+i*pi);

y3 = sin(2*pi*300*t+i*pi);

y4 = sin(2*pi*420*t+i*pi);

figure(figure1) subplot (4,1,1); stem(t,y1); 

xlabel('tempo (s)'); ylabel('x 100V'); title({'Sinal 1'}); 

subplot(4,1,2); stem(t,y2,'r'); 

xlabel('tempo (s)'); ylabel('x 100V'); title({'Sinal 2'}); 

subplot(4,1,3); 

stem(t,y3,'k'); xlabel('tempo (s)') ylabel('x 100V'); title({'Sinal 3'}); 

subplot(4,1,4); stem(t,y4,'m'); xlabel('tempo (s)'); 

ylabel(' x 100V'); title({'Sinal 4'}); 

y5 = y1+y2+y3+y4; figure(figure2) 

stem(t,y5) xlabel('tempo (s)') ylabel(' x 100V') title({'Soma dos sinais'}); 

pause(0.02) end 

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  Analisando a Tabela 1, que contêm a relação dos equipamentos da

indústria e suas respectivas frequências de operação, pôde-se comparar às

frequências encontradas na Figura 2 e associar cada equipamento com as

possíveis frequências presentes nos sinais da Figura 2.

1)   – 60 Hz

2) )  – 180 Hz - Equipamento C

3)   – 300 Hz - Equipamento D

4)   – 420 Hz - Equipamento G