1 a prova de Introdução à Análise – PUC-Rio – 06/09/11 Nome: 1. [1 1 / 2 pt] Sejam A, B ⊂ R conjuntos não-vazios limitados superiormente. Suponha que para todo a ∈ A existe algum b ∈ B tal que b ≥ a. Prove que sup A ≤ sup B. 2. [1 1 / 2 pt] Prove que se (x n ) é uma sequência convergente então lim |x n+1 - x n | =0. 3. Diga se cada aﬁrmação é VERDADEIRA ou FALSA, provando ou dando contra- exemplo: (a) [1 1 / 2 pt] Se X ⊂ R é um conjunto inﬁnito não-enumerável então X contém algum intervalo [a, b] com a<b. (b) [1 1 / 2 pt] Se a sequência (x n ) é limitada e lim y n =0 então lim x n y n =0. (c) [1 1 / 2 pt] Se lim y n =0 e lim x n y n =0 então a sequência (x n ) é limitada. 4. (a) [1 1 / 2 pt] Prove a seguinte “desigualdade de Bernoulli melhorada”: n ∈ N,x ≥ 0 ⇒ (1 + x) n ≥ 1+ nx + n(n - 1) 2 x 2 . (b) [1 1 / 2 pt] Use o item (a) para provar que: lim n→∞ n 2 n =0. Atenção: Não vale usar ne- nhuma propriedade de limite além das que foram provadas em aula! • Lápis é permitido. • Você pode fazer as questões em qualquer ordem (indicando claramente qual questão está fazendo). É boa ideia começar pelas questões mais fáceis. • Escreva as demonstrações em detalhe. Em cada passo lógico, indique o que está sendo usado (Ex: “como . . . e . . . , temos . . . ; em particular . . . ”) • Você pode usar resultados provados em aula (exceto quando se trata do enunciado do problema). • Total: 10 1 2 pt. • Tempo: 2 h.

1a prova de Introdução à Análise – PUC-Rio

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06/09/11

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1a prova de Introduo Anlise PUC-Rio 06/09/11

Nome:

1. [11/2 pt] Sejam A, B R conjuntos no-vazios limitados superiormente. Suponhaque para todo a A existe algum b B tal que b a. Prove que supA supB.

2. [1 1/2 pt] Prove que se (xn) uma sequncia convergente ento lim |xn+1 xn| = 0.

3. Diga se cada afirmao VERDADEIRA ou FALSA, provando ou dando contra-exemplo:

(a) [11/2 pt] SeX R um conjunto infinito no-enumervel ento X contm algumintervalo [a, b] com a < b.

(b) [11/2 pt] Se a sequncia (xn) limitada e lim yn = 0 ento lim xnyn = 0.

(c) [11/2 pt] Se lim yn = 0 e lim xnyn = 0 ento a sequncia (xn) limitada.

4. (a) [11/2 pt] Prove a seguinte desigualdade de Bernoulli melhorada:

n N, x 0 (1 + x)n 1 + nx+n(n 1)

2x2 .

(b) [11/2 pt] Use o item (a) para provar que: limn

n

2n= 0. Ateno: No vale usar ne-

nhuma propriedade de limite alm das que foram provadas em aula!

Lpis permitido.

Voc pode fazer as questes em qualquer ordem (indicando claramente qual questoest fazendo). boa ideia comear pelas questes mais fceis.

Escreva as demonstraes em detalhe. Em cada passo lgico, indique o que estsendo usado (Ex: como . . . e . . . , temos . . . ; em particular . . . )

Voc pode usar resultados provados em aula (exceto quando se trata do enunciadodo problema).

Total: 1012pt.

Tempo: 2 h.