1Apostila de Eletromagnetismo

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA – UFU FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA – FEELT Professor Ivan Nunes Santos

Apostila de

Eletromagnetismo

Uberlândia

2011

Universidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Engenharia Elétrica

Eletromagnetismo

Prof. Ivan Nunes Santos

2

SUMÁRIO GERAL

Capítulo Conteúdo Página

1 Análise Vetorial 03

2 Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico 20

3 Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 35

4 Energia Potencial e Potencial Elétrico 51

5 Condutores, Dielétricos e Capacitância 71

6 Equações de Poisson e de Laplace 96

7 Campo Magnético Estacionário 107

8 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância 132

9 Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell 157



Eletromagnetismo


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1 – ANÁLISE VETORIAL

1.1 Escalares e Vetores

O termo escalar se refere a uma grandeza cujo valor pode ser representado por um único

número real (positivo ou negativo). Exemplo de grandezas escalares: temperatura, tempo, massa,

densidade, volume, tensão (voltagem), etc.

Uma grandeza vetorial tem magnitude, direção e sentido no espaço. Exemplo de grandezas

vetoriais: força, velocidade, aceleração, etc.

Um campo também pode ser definido como escalar ou vetorial. Um exemplo de campo

escalar é a temperatura em uma tigela de sopa, por outro lado, temos que o campo gravitacional e o

magnético são exemplos de campo vetorial.

1.2 Álgebra Vetorial

A álgebra vetorial possui seu conjunto próprio de regras, do qual destacaremos algumas.

A adição vetorial segue a regra do paralelogramo, conforme figura abaixo.

A adição vetorial obedece à propriedade comutativa, ou seja, A B B A+ = +

. A adição

também obedece à propriedade associativa, ou seja, ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

.

A regra para a subtração de vetores decorre facilmente da regra para a adição, pois sempre

podemos expressa A B−

como ( )A B+ −

; o sinal, ou sentido, do segundo vetor é invertido, e este

vetor é somado ao primeiro pela regra da adição vetorial.

Vetores podem ser multiplicados por escalares. O módulo do vetor se modifica, mas sua

direção e sentido não, quando o escalar é positivo, embora ele inverta de sentido quando

multiplicado por um escalar negativo. A multiplicação de um vetor por um escalar também obedece

às propriedades associativa e distributiva da álgebra, levado a



Eletromagnetismo


4

( )( ) ( ) ( )r s A B r A B s A B

rA rB sA sB

+ + = + + +

= + + +

A divisão de um vetor por um escalar é meramente a multiplicação do vetor pelo inverso do

escalar.

A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida mais adiante ainda neste capítulo.

1.3 Sistema de Coordenadas Cartesianas

Para podermos descrever rigorosamente um vetor, alguns comprimentos, direções, ângulos,

projeções ou componentes específicos devem ser dados. Há três métodos simples de fazê-lo, os

quais serão esmiuçados neste capítulo. O mais simples destes é o sistema de coordenadas

cartesianas ou retangulares. Neste sistema estabelecem-se três eixos coordenados que formam

ângulos retos entre si, denominados de eixos x, y e z.

Na figura abaixo (a) tem-se um sistema de coordenadas cartesianas do tipo triedro direito,

em que se usando a mão direita, então o polegar, o indicador e o dedo médio podem ser

identificados, respectivamente, como os eixos x , y e z . Nesta mesma figura podemos identificar

os planos 0x = , 0y = e 0z = .

Tomando-se os ponto ( )1, 2,3P e ( )2, 2,1Q − como exemplo, poderemos identificá-los no

sistema de coordenadas cartesianas conforme figura (b) a seguir. P está, portanto, localizado no

ponto comum da interseção dos planos 1x = , 2y = e 3z = , enquanto que o ponto Q está

localizado na interseção dos planos 2x = , 2y = − e 1z = .



Eletromagnetismo


5

Podemos, conforme a figura (c) acima, deslocar um ponto ( ), ,P x y z levemente para um

ponto ( )' , ,P x dx y dy z dz+ + + adicionando-se diferenciais de comprimento. O dois pontos P e

'P formam 6 planos, conforme já falado, os quais definem um paralelepípedo retângulo cujo o

diferencial de volume é dv dx dy dz= ; as superfícies possuem áreas diferenciais dS de dx dy ,

dy dz e dz dx . E finalmente, a distância dL de P a 'P é a diagonal do paralelepípedo e possui um

comprimento de ( ) ( ) ( )2 2 2

dx dy dz+ + .

1.4 Componentes Vetoriais e Vetores Unitários

Para descrever um vetor no sistema de coordenadas cartesianas, consideremos primeiro um

vetor r

partindo da origem até um ponto P qualquer. Se as componentes vetoriais de r

são x

, y

e z

, então r x y z= + +

, conforme mostrado na figura (a) abaixo.

Observação importante: na figura a seguir, extraída do livro de Eletromagnetismo de Jr. W.

H. Hayt e J. A. Buck, a notação de vetor é dada por meio da letra em negrito, enquanto que em nosso

curso usaremos a seta sobre a letra para designação de vetor.



Eletromagnetismo


6

Contudo, o uso das componentes vetoriais da forma que foram apresentadas não é

comumente empregado. A figura (b) acima apresenta os vetores unitários fundamentais ˆxa , ˆ

ya e ˆ

za

representativos dos eixos cartesianos x, y e z, respectivamente. Considerando um vetor Pr

apontando da origem ao ponto ( )1, 2,3P , o mesmo pode ser escrito tendo por base os vetores

unitários dos eixos cartesianos: ˆ ˆ ˆ2 3P x y z

r a a a= + +

. Considerando-se um vetor Q

r

apontando da

origem ao ponto ( )2, 2,1Q − , tem-se ˆ ˆ ˆ2 2Q x y z

r a a a= − +

. Um vetor PQ

R

de origem no ponto

( )1, 2,3P e apontando para ( )2, 2,1Q − seria:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 3

ˆ ˆ ˆ4 2

PQ Q P x y z

x y z

R r r a a a

a a a

= − = − + − − + −

= − −

Os vetores em questão podem ser vistos na figura (c) anterior.

Então, qualquer vetor B

, pode ser escrito como ˆ ˆ ˆx x y y z z

B B a B a B a= + +

. E o módulo de B

,

escrito como B

, ou simplesmente B , é dado por



Eletromagnetismo


7

2 2 2

x y zB B B B= + +

Cada um dos três sistemas de coordenadas a serem discutidos tem seus três vetores

unitários fundamentais e mutuamente independentes que são usados para analisar qualquer vetor

em suas componentes vetoriais. Contudo, os vetores unitários não são limitados a esta aplicação,

todo vetor tem seu vetor unitário que é facilmente encontrado dividindo o vetor por seu módulo.

Então o vetor unitário de B

é

2 2 2ˆ

B

x y z

B Ba

B B B B= =

+ +

A notação empregada para todo vetor unitário neste curso será o acento circunflexo sobre a

letra do vetor, já no livro usa-se a letra “a” para identificar o mesmo.

Exemplo 01: Especifique o vetor unitário, em coordenadas cartesianas, dirigido da origem ao ponto

( )2, 2, 1P − − .

Exemplo 02:

Dados os pontos ( )1,2,1M − , ( )3, 3,0N − e ( )2, 3, 4P − − − , determine:

a) MN

R

;

b) MN MP

R R+

;

c) Mr

;

d) ˆMPa ;

e) 2 3P Nr r+

.

1.5 Introdução aos Campos

Um campo (escalar ou vetorial) pode ser definido matematicamente como função de um

vetor que liga uma origem arbitrária a um ponto genérico no espaço. Note que o conceito de campo

invariavelmente está relacionado a uma região.

Em geral para o campo vetorial, o módulo e a direção da função irão variar à medida que nos

movemos através da região, e o valor da função vetorial deve ser determinado utilizando-se os

valores das coordenadas do ponto em questão. Como consideramos apenas o sistema de

coordenadas cartesianas, devemos esperar que o vetor seja função das variáveis x, y e z.



Eletromagnetismo


8

Se, novamente, representarmos o vetor posição por r

, então o campo vetorial G

pode ser

expresso, em notação funcional, como ( )G r

; o campo escalar T é escrito como ( )T r

havendo

variação apenas do módulo da função.

Pode-se citar como exemplos de campo escalar o campo da temperatura de um líquido no

interior de um prato de sopa em função do vetor posição, ou ainda, o campo potencial elétrico de

uma carga pontual. Por outro lado, são exemplos de campo vetorial a velocidade da corrente de água

de um rio em função do vetor posição, o campo elétrico de uma esfera carregada e o campo

magnético de um fio conduzindo corrente contínua.

Exemplo 03:

Um campo vetorial S

é expresso em coordenadas cartesianas como

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

125ˆ ˆ ˆ1 2 1

1 2 1x y zS x a y a z a

x y z = − + − + +

− + − + +

.

a) Calcule S

no ponto ( )2,4,3P ;

b) Determine o vetor unitário que fornece a direção de S

em P ;

c) Especifique a superfície ( ), ,f x y z na qual 1S =

.

1.6 Produto Escalar

Dados dois vetores A

e B

, o produto escalar, ou produto interno, é definido como o

produto entre o módulo de A

, o módulo de B

e o cosseno do menor ângulo entre eles. Assim,

cos ABA B A B θ⋅ =

O ponto aparece entre os dois vetores e deve ser forte para dar mais ênfase, lê-se “ Aescalar

B ”. O produto escalar tem como resultado um escalar, como o próprio nome indica, e obedece à

propriedade comutativa, pois o sinal do ângulo não afeta o termo cosseno.

A B B A⋅ = ⋅

A determinação do ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional é muitas vezes um

trabalho que se prefere evitar. Por essa razão, a definição de produto escalar normalmente não é

usada em sua forma básica. Um resultado mais útil é obtido considerando-se dois vetores cujas

componentes cartesianas são dadas por ˆ ˆ ˆx x y y z zA A a A a A a= + +

e ˆ ˆ ˆx x y y z zB B a B a B a= + +

. O

produto escalar também obedece à propriedade distributiva, portanto, A B⋅

fornece uma soma de

nove termos escalares, cada um envolvendo o produto escalar de dois vetores unitários. Então,



Eletromagnetismo


9

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x x x y x y x z x z

y x y x y y y y y z y z

z x z x z y z y z z z z

A B A B a a A B a a A B a a

A B a a A B a a A B a a


⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

como o ângulo entre dois vetores unitários diferentes no sistema de coordenadas cartesianas é 90°,

temos

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0x y y x x z z x y z z y

a a a a a a a a a a a a⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Os três termos restantes envolvem o produto escalar de um vetor unitário por ele mesmo, o

que é igual à unidade, finalmente obtendo-se

x x y y z zA B A B A B A B⋅ = + +

que é uma expressão que não envolve ângulos.

O produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado de seu módulo, ou

22A A A A⋅ = =

e o produto escalar de qualquer vetor unitário por ele mesmo é igual à unidade, ou seja, ˆ ˆ 1A Aa a⋅ = .

Uma das aplicações mais importantes do produto escalar é o cálculo da componente de um

vetor dada uma certa direção. Podemos obter a componente (escalar) de B

na direção especificada

pelo vetor unitário a

como

cos cosBa BaB a B a Bθ θ⋅ = =

Neste caso é usado o termo projeção. Assim, B a⋅

é projeção de B

na direção a

, conforme

pode ser observado na figura a seguir.

Para obtermos a componente vetorial de B

na direção de a

, multiplicamos a componente

(escalar) por a

, como ilustrado na figura que se segue, ficando ( )B a a⋅

.



Eletromagnetismo


10

Exemplo 04:

Considere um campo vetorial ˆ ˆ ˆ2,5 3x y zG ya xa a= − +

e o ponto ( )4,5,2Q . Deseja-se encontrar:

a) O vetor G

no ponto Q ;

b) A componente escalar de G

no ponto Q na direção de ( )13

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2N x y za a a a= + − ;

c) A componente vetorial de de G

no ponto Q na direção de ˆNa ;

d) O ângulo Gaθ entre ( )QG r

e ˆNa .

Exemplo 05:

Os três vértices de um triângulo estão localizados em ( )6, 1,2A − , ( )2,3, 4B − − e ( )3,1,5C − .

Determine:

a) ABR

;

b) ACR

;

c) O ângulo BACθ no vétice A ;

d) A projeção de ABR

em ACR

;

e) O vetor projeção de ABR

em ACR

.

1.7 Produto Vetorial

Dados dois vetores A

e B

, definiremos agora o produto vetorial, ou produto cruzado, de A

e B

, escrito com uma cruz entre os dois vetores, como A B×

, e lido “ A vetorial B ”.

O produto vetorial A B×

é um vetor; o módulo de A B×

é igual ao produto dos módulos de

A

, B

e o seno do menor ângulo entre A

e B

; a direção de A B×

é perpendicular ao plano que

contém A

e B

e está ao longo de duas possíveis perpendiculares que estão no sentido do avanço de

um parafuso direito à medida que A

é girado para B

, conforme figura a seguir.



Eletromagnetismo


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Na forma de equação, podemos escrever

ˆN ABA B a A B senθ× =

Outra forma de determinar o sentido do vetor ˆNa é por meio da regra da mão direita. O

produto vetorial não é comutativo, já que ( )A B B A× = − ×

.

Se a definição de produto vetorial é aplicada aos vetores unitários ˆxa e ˆ

ya , encontramos

ˆ ˆ ˆx y z

a a a× = , onde cada vetor possui módulo unitário, os dois vetores são perpendiculares e a

rotação de ˆxa para ˆ

ya indica a direção positiva de z pela definição do sistema de coordenadas do

tipo triedro direito. De maneira semelhante, ˆ ˆ ˆy z x

a a a× = e ˆ ˆ ˆz x y

a a a× = .

O cálculo do produto vetorial por meio de sua definição exige mais trabalho do que o cálculo

do produto escalar, porém este trabalho pode ser evitado usando-se as componentes cartesianas

para os dois vetores A

e B

e expandindo-se o produto vetorial como a soma de nove produtos

vetoriais, cada um envolvendo dois vetores unitários.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x x x x x y x y x z x z

y x y x y y y y y z y z

z x z x z y z y z z z z

A B A B a a A B a a A B a a



× = × + × + ×

+ × + × + ×

+ × + × + ×

Já vimos que ˆ ˆ ˆx y z

a a a× = , ˆ ˆ ˆy z x

a a a× = e ˆ ˆ ˆz x y

a a a× = . Os três termos remanescentes são

iguais a zero, pois o produto vetorial de qualquer vetor por ele mesmo é igual a zero, já que o seno

do ângulo envolvido é nulo. Estes resultados podem ser combinados para se obter



Eletromagnetismo


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( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆy z z y x z x x z y x y y x zA B A B A B a A B A B a A B A B a× = − + − + −

que, escrita como um determinante, numa forma mais fácil de ser lembrada fica

ˆ ˆ ˆx y z

x y z

x y z

a a a

A B A A A

B B B

× =

Usando-se o cálculo do produto vetorial por meio desta matriz não há necessidade da

aplicação de qualquer regra adicional para se encontrar o vetor normal, uma vez que o mesmo já

será determinado pela resolução desta.

Exemplo 06:

Os três vértices de um triângulo estão localizados em ( )6, 1,2A − , ( )2,3, 4B − − e ( )3,1,5C − .

Determine:

a) AB AC

R R×

;

b) A área do triângulo; c) O vetor unitário perpenticular ao plano no qual o triângulo está localizado.

1.8 Sistema de Coordenadas Cilíndricas Circulares

O sistema de coordenadas cartesianas é, em geral, o preferido dos estudantes, contudo

existem vários problemas onde a simetria pede um tratamento mais adequado para sua resolução.

O sistema de coordenadas cilíndricas (com o objetivo de facilitar, não usaremos o termo

“circulares”, apesar de existirem outros tipos de sistemas de coordenadas cilíndricas) é uma versão

tridimensional das coordenadas polares da geometria analítica. No sistema de coordenadas polares

bidimensional, um ponto é localizado em um plano dando-se a sua distância ρ da origem e o ângulo

φ entre a linha do ponto à origem e uma linha radial arbitrária, tomada como 0φ = . Um sistema de

coordenadas tridimensionais cilíndricas circulares é obtido especificando-se a distância z do ponto a

um plano arbitrário 0z = , perpendicular à reta 0ρ = .

No sistema de coordenadas cilíndricas não mais consideraremos os três eixos como nas

coordenada cartesianas, todavia o ponto continua sendo definido pela interseção de três superfícies

mutuamente perpendiculares. Estas superfícies são: uma cilíndrica circular ( ρ = constante), uma

plana (φ =constante) e uma outra também plana ( z = constante), conforme pode ser visto na figura

(a) abaixo.



Eletromagnetismo


13

Os vetores unitários apontam na direção crescente dos valores das coordenadas e são

perpendiculares à superfície na qual esta coordenada é constante, sendo os três vetores

especificados como: aρ , aφ e ˆza . A figura (b) anterior mostra estes três vetores.

Os vetores unitários são novamente mutuamente perpendiculares, pois cada um é normal a

uma das três superfícies mutuamente perpendiculares, definindo-se, um sistema de coordenadas

cilíndricas do tipo triedro direito, no qual ˆ ˆ ˆz

a a aρ φ× = ou um sistema no qual o polegar, o indicador

e o dedo médio da mão direita apontam, respectivamente, na direção crescente de ρ , φ e z .

Um elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas pode ser obtido

aumentando-se ρ , φ e z de incrementos diferenciais dρ , dφ e dz . Os dois cilindros de raios ρ e

dρ ρ+ , os dois planos radiais nos ângulos φ e dφ φ+ e os dois planos “horizontais” nas

“elevações” z e z dz+ limitam um pequeno volume, como mostrado na figura (c) anterior. Note

que dρ e dz têm dimensões de comprimento, mas dφ não tem; dρ φ é o comprimento. O volume

aproximado da figura será dado por d d dzρ φ ρ , pois a forma do elemento de volume, por ser

muito pequeno, aproxima-se à de um paralelepípedo.

As variáveis dos sistemas de coordenadas retangular e cilíndrico são facilmente relacionadas

umas com as outras. Temos que



Eletromagnetismo


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cosx

y sen

z z

ρ φ

ρ φ

=

=

=

Do outro ponto de vista, podemos expressar as variáveis cilíndricas em temos de x , y e z

( )2 2 0

arctan

x y

y

x

z z

ρ ρ

φ

= + ≥

=

=

O valor adequado do ângulo φ é determinado por inspeção dos sinais de x e y , para

encontrar o quadrante do ângulo.

Dado o vetor cartesiano

ˆ ˆ ˆx x y y z z

A A a A a A a= + +

desejamos encontrar o mesmo vetor, porém em coordenadas cilíndricas, do tipo

ˆ ˆ ˆz z

A A a A a A aρ ρ φ φ= + +

Para determinar qualquer componente de um vetor em uma direção desejada basta fazer o

produto escalar entre o vetor e o vetor unitário na direção desejada. Assim,

ˆ

ˆ

ˆz z

A A a

A A a

A A a

ρ ρ

φ φ

= ⋅

= ⋅

= ⋅

desenvolvendo-se as equações, tem-se

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

x x y y

x x y y

z z

A A a a A a a

A A a a A a a

A A

ρ ρ ρ

φ φ φ

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

=

Analisando-se a figura abaixo, podemos identificar o ângulo entre ˆxa e aρ como sendo φ , e

assim, ˆ ˆ cosx

a aρ φ⋅ = ; já o ângulo entre ˆy

a e aρ como sendo 90º φ− e assim, ˆ ˆy

a a senρ φ⋅ = . Os

produtos escalares entre os vetores unitários estão resumidos na tabela abaixo.



Eletromagnetismo


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Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de coordenadas retangular e cilíndrico

aρ aφ ˆza

ˆxa ⋅ cosφ senφ− 0

ˆya ⋅ senφ cosφ 0

ˆza ⋅ 0 0 1

A transformação de campos vetoriais de coordenadas cartesianas para cilíndricas ou vice-

versa é efetuada usando-se as equações de transformação de escalares, mostradas anteriormente, e

os produtos escalares entre os vetores unitários dados na tabela

Exemplo 07:

Transforme o vetor (ou campo vetorial) ˆ ˆ ˆx y z

B ya xa za= − +

para coordenadas cilíndricas.

Exemplo 08: Pede-se:

a) Dê as coordenadas cartesianas do ponto ( 4,4; 115º ; 2)C zρ φ= = − = ;

b) Dê as coordenadas cílíndricas do ponto ( 3,1; 2,6; 3)D x y z= − = = − ;

c) Determine a distância entre C e D .

Exemplo 09: Pede-se:

a) Expresse o campo vetorial 2 2

ˆ ˆx y

xa yaD

x y

+=

+

em coordenadas cilíndricas e variáveis

cilíndricas;

b) Calcule D

no ponto ( )2; 0,2 ; 5zρ φ π= = = .



Eletromagnetismo


16

Exemplo 10: Tranforme para coordenadas cilíndricas:

a) ˆ ˆ ˆ10 8 6x y z

F a a a= − +

no ponto ( )10, 8,6P − ;

b) ( ) ( )ˆ ˆ2 4x y

G x y a y x a= + − −

no ponto ( ), ,P zρ φ ;

c) Determine as componentes cartesianas do vetor ˆ ˆ ˆ20 10 3z

H a a aρ φ= − +

em

( )5, 2, 1P x y z= = = − .

1.9 Sistema de Coordenadas Esféricas

A figura (a) abaixo mostra o sistema de coordenadas esféricas sobre os três eixos cartesianos.

Inicialmente, definimos a distância da origem a qualquer ponto como r . A superfície r = constante é

uma esfera.

A segunda coordenada é o ângulo θ entre o eixo z e a linha desenhada da origem ao ponto

em questão. A superfície θ = constante é um cone.



Eletromagnetismo


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A terceira coordenada é o ângulo φ , exatamente o mesmo ângulo φ das coordenadas

cilíndricas. Ele é o ângulo entre o eixo x e a projeção no plano 0z = da linha desenhada da origem

ao ponto. A superfície φ =constante é um plano que passa pelo eixo z .

Podemos novamente considerar qualquer ponto como a interseção de três superfícies

mutuamente perpendiculares – uma esfera, um cone e um plano – cada uma orientada na maneira

descrita anteriormente e mostrada na figura (b) acima.

Os três vetores unitários são ˆra , aθ e aφ . Os mesmos encontram-se mutuamente

perpendiculares e definem um sistema de coordenadas esféricas do tipo triedro direito, em que

ˆ ˆ ˆr

a a aθ φ× = . Pela regra da mão direita o polegar, o indicador e o dedo médio indicam,

respectivamente, r , θ e φ , conforme pode ser visualizado na figura (c) acima. Note que a

componente φ , diferentemente do que foi verificado nas coordenadas cilíndricas, é o 3º termo e

não o 2º.

Um elemento diferencial de volume pode ser construído em coordenadas esféricas

aumentando-se r , θ e φ por dr , dθ e dφ , como mostra a figura (d) anterior. A distância entre as

duas superfícies de raios r e r dr+ é dr ; a distância entre os cones com ângulos de geração θ e

dθ θ+ é r dθ e a distância entre os dois planos radiais de ângulos φ e dφ φ+ é calculado como

sendo r sen dθ φ . O volume aproximado do elemento será 2r sen dr d dθ θ φ .

A transformação de escalares do sistema de coordenadas esféricas para cartesianas pode ser

feita usando-se

cos

cos

x r sen

y r sen sen

z r

θ φ

θ φ

θ

=

=

=

A transformação no sentido inverso é realizada com a ajuda de

( )

( )

2 2 2

2 2 2

0

arccos 0º 180º

arctan

r x y z r

z

x y z

y

x

θ θ

φ

= + + ≥

= ≤ ≤+ +

=

A transformação dos vetores requer a determinação dos produtos vetoriais entre os vetores

unitários das coordenadas cartesianas e esféricas. Os produtos são obtidos de maneira análoga ao

exposto para as coordenadas cilíndricas. Os mesmos podem ser observados na tabela a seguir.



Eletromagnetismo


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Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de coordenadas retangular e esférico

ˆra aθ aφ

ˆxa ⋅ sen cosθ φ cos cosθ φ senφ−

ˆya ⋅ sen senθ φ cos senθ φ cosφ

ˆza ⋅ cosθ senθ− 0

Pode-se, também, transformar os escalares do sistema de coordenadas esféricas para

cilíndricas, para tanto, deve-se usar

cos

r sen

z r

ρ θ

φ φ

θ

=

=

=

A transformação no sentido inverso será

( )

( )

2 2 0

arccos 0º 180º

r z r

z

ρ

ρθ θ

φ φ

= + ≥

= ≤ ≤

=

Já a transformação dos vetores requer novamente a determinação dos produtos vetoriais

entre os vetores unitários das coordenadas cilíndricas e esféricas. Estes podem ser observados na

tabela a seguir.

Produtos escalares entre os vetores unitários dos sistemas de coordenadas cilíndrico e esférico

ˆra aθ aφ

aρ ⋅ senθ cosθ 0

aφ ⋅ 0 0 1

ˆza ⋅ cosθ senθ− 0

Exemplo 11:

Converta o campo vetorial ˆx

xzG a

y=

(variáveis e componentes) para coordenadas esféricas.



Eletromagnetismo


19

Exemplo 12:

Dados dois pontos, ( )3, 2,1A − e ( )5, 20º , 70ºB − , determine:

a) As coordenadas esféricas de A ;

b) As coordenadas cartesianas de B ;

c) A distância entre A e .B

Exemplo 13: Transforme os seguintes vetores para suas coordenadas esféricas nos pontos dados:

a) ˆ10 xa em ( )3,2,4P − ;

b) ˆ10 ya em ( )5,30º ,4Q ;

c) ˆ10 za em ( )4,110º ,120ºM .

Exemplo 14: Transforme os seguintes vetores para suas coordenads esféricas nos pontos dados:

a) ˆ15aρ em ( )1, 3,5P − ;

b) ˆ15aφ em ( )2, 10º , 3Q − − ;

c) ˆ15 za em ( )3,45º ,60ºM .



Eletromagnetismo


20

2 – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO

2.1 Lei de Coulomb

Lei de Coulomb: a força elétrica aplicada por um corpo carregado em outro, depende

diretamente do produto das intensidades das duas cargas e inversamente do quadrado de suas

distâncias, ou ainda,

1 2

2

Q QF k

R= [N]

Onde k é chamada de constante de Coulomb. Esta equação é aplicada para objetos

carregados cujo tamanho é muito menor que a distância entre estes, ou seja, somente para cargas

pontuais.

A constante k é dada por

0

1

4k

πε=

onde 0ε é chamada de constante elétrica ou constante de permissividade do ar, sendo seu valor, no

SI (Sistema Internacional), igual a

12 2 2

08,85418781762 10 /C N mε −= × ⋅

9 2 28,99 10 /k N m C= × ⋅

A lei de Coulomb é agora

1 2

2

04

Q QF

Rπε=

Para podermos representa o vetor força da lei de Coulomb, precisamos saber se a força que

atua sobre as cargas é de repulsão ou atração. Pois, como é sabido, cargas de mesmos sinais se

repelem e cargas de sinais contrários se atraem.



Eletromagnetismo


21

Na figura acima, temos o vetor 1r

localizando 1Q enquanto 2r

localiza 2Q . Então o vetor

12 2 1R r r= −

representa o segmento de reta orientado de 1Q para 2Q , como mostrado. O vetor 2F

é

a força em 2Q e é mostrado para o caso em que 1Q e 2Q possuem o mesmo sinal. A forma vetorial

da lei de Coulomb é

1 22 122

0 12

ˆ4

Q QF a

Rπε=

onde 12a = vetor unitário na direção de 12R

. Esta equação pode ser considerada uma equação

genérica, uma vez que a mesma pode ser aplicadas a qualquer tipo interação (atração ou repulsão).

Exemplo 01:

Seja uma carga pontual 4

1 3.10Q C−= localizada em ( )1,2,3M e outra 4

2 10Q C−= − em

( )2,0,5N ambas no vácuo. Encontrar a força exercida por 1Q em 2Q .

Exemplo 02:

Uma carga 20AQ Cµ= − está localizada em ( )6,4,7A − e uma carga 50BQ Cµ= está em

( )5,8, 2B − no espaço livre. Se as distâncias são dadas em metros, determine o vetor força exercida

em AQ por BQ .

2.2 Intensidade de Campo Elétrico

Se considerarmos uma carga fixa numa posição 1Q , e lentamente movermos uma segunda

carga, chamada de carga de teste tQ , em torno da primeira, notaremos que existe por toda parte

uma força nesta segunda carga; em outras palavras, esta segunda carga está mostrando a existência

de um campo de força. A força sobre ela é dada por



Eletromagnetismo


22

112

0 1

ˆ4

tt t

t

Q QF a

Rπε=

A intensidade de campo elétrico é definida pela razão da força observada nesta carga teste

tF

pela unidade da carga teste tQ . Usando a letra maiúscula E para a intensidade do campo

elétrico, temos

112

0 1

ˆ4

tt

t t

F QE a

Q Rπε= =

A intensidade do campo elétrico deve ser medida em unidades de Newton por Coulomb, ou

ainda, volts por metro conforme será visto posteriormente. Dispensando-se os índices, podemos

reescrever a equação anterior como

2

0

ˆ4

R

QE a

Rπε=

Relembrando que R é a magnitude do vetor R

, segmento de reta orientado do ponto no

qual a carga pontual Q está localizada ao ponto no qual E

é desejado, e que ˆRa é um vetor unitário

na direção de R

.

Se localizarmos Q no centro do sistema de coordenadas esféricas, o vetor unitário ˆRa então

se torna o vetor unitário radial ˆra , e R é r . Assim,

2

0

ˆ4

r

QE a

rπε=

Já se escrevermos esta expressão em coordenadas cartesianas para a carga na origem, temos

ˆ ˆ ˆx y z

R r xa ya za= = + +

e 2 2 2

ˆ ˆ ˆˆ x y z

R

xa ya zaa

x y z

+ +=

+ +; portanto,

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20

ˆ ˆ ˆ4

x y z

Q x y zE a a a

x y z x y z x y z x y zπε

= + + + + + + + + + +

Então, pode-se notar que o sistema de coordenadas esféricas, devido à simetria do problema

em questão, é o mais adequado.

Se considerarmos a carga deslocada da origem do sistema, o campo não mais possuirá

simetria esférica, e teremos que usar coordenadas cartesianas. Para uma carga Q localizada no



Eletromagnetismo


23

ponto ˆ ˆ ˆ' ' ' 'x y z

r x a y a z a= + +

, como mostrada na figura abaixo, encontramos o campo num ponto

genérico ˆ ˆ ˆx y z

r xa ya za= + +

, expressando R

como 'r r−

, e então

( ) 2

0

'

'4 '

Q r rE r

r rr rπε

−=

−−

( )( )

3

0

'

4 '

Q r rE r

r rπε

−=

−

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3/2

2 2 2

0

ˆ ˆ ˆ' ' '

4 ' ' '

x y zQ x x a y y a z z aE r

x x y y z zπε

− + − + − = − + − + −

Para o caso em que se pretende encontrar a intensidade de campo elétrico proveniente de

várias cargas pontuais, basta somar vetorialmente o campo devido a cada uma destas cargas, ou

seja,

( ) 1 21 22 2 2

0 1 0 2 0

ˆ ˆ ˆ4 4 4

nn

n

QQ QE r a a a

r r r r r rπε πε πε= + + +

− − −

A figura a seguir apresenta um exemplo da soma vetorial da intensidade de campo elétrico

total em um ponto P devido a duas cargas pontuais 1Q e 2Q .



Eletromagnetismo


24

Exemplo 03:

Determinar o campo elétrico em ( )1,1,1P causado por quatro cargas idênticas de 3 nC localizadas

em ( )1 1,1,0P , ( )2 1,1,0P − , ( )3 1, 1,0P − − e ( )4 1, 1,0P − , conforme mostrado na figura abaixo.

Exemplo 04:

Uma carga de 3 Cµ− está localizada em ( )25, 30,15A − (em cm ) e uma segunda carga de

0,5 Cµ está em ( )10,8,12B cm− . Determine o campo elétrico E

:

a) Na origem;

b) Em ( )15, 20,50P cm .

Exemplo 05:

Uma carga pontual de 100 nC está localizada em ( )1,1,3A − no espaço livre. Pede-se:

a) Encontre o lugar dos pontos ( ), ,P x y z em que 500 /xE V m= ;

b) Determine 1y se ( )12, ,3A y− pertencer a este lugar.



Eletromagnetismo


25

2.3 Campo Devido a uma Distribuição Volumétrica Contínua de

Cargas

Caso tenhamos uma distribuição de carga ao longo de um volume qualquer, podemos

representar a densidade volumétrica de carga por vρ , tendo a unidade de Coulomb por metro

cúbico (C/m3).

Uma pequena quantidade de carga Q∆ em um pequeno volume v∆ é

vQ vρ∆ = ∆

A carga total dentro de um volume finito é obtida pela integração através deste volume,

v

vol

Q dvρ= ∫

Normalmente apenas um sinal de integração é indicado, mas o diferencial dv significa

integração através de um volume, portanto, uma integração tripla.

Exemplo 06:

Determine a carga total contida no feixe de elétrons de 2 cm de comprimento da figura abaixo.



Eletromagnetismo


26

Exemplo 07: Calcule a carga total dentro de cada um dos volumes indicados:

a) 1 , , 2x y z≤ ≤ e 3 3 3

1v

x y zρ = ;

b) 0,1;0 ;2 4o zρ φ π≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ e ( )2 2sen 0,6v zρ ρ φ= ;

c) Universo e 2

2

r

v

e

rρ

−

= .

2.4 Campo de uma Linha de Cargas

Caso tenhamos uma distribuição de cargas ao longo de uma linha qualquer, podemos

representar a densidade linear de carga por Lρ , tendo a unidade de Coulomb por metro (C/m).

Consideremos uma linha reta de cargas ao longo do eixo z no sistema de coordenadas

cilíndricas (devido à simetria existente) de −∞ a ∞ , como mostra a figura a seguir. Desejamos a

intensidade do campo elétrico E

em todo e qualquer ponto resultante desta linha de cargas de

densidade uniforme Lρ .

Escolhemos um ponto ( )0, ,0P y no eixo y no qual determinaremos o campo. Aplicando-

se a equação da intensidade de campo de cargas pontuais para determinar o campo incremental em

P devido à carga incremental 'LdQ dzρ= , temos

( )3

0

'

4 '

Q r rE

r rπε

−=

−

(para carga pontual)



Eletromagnetismo


27

( )3

0

' '

4 '

Ldz r r

dEr r

ρ

πε

−=

−

(para carga incremental numa linha de cargas)

onde

ˆ ˆ

ˆ' '

y

z

r ya a

r z a

ρρ= =

=

e

ˆ ˆ' 'z

r r a z aρρ− = −

Portanto,

( )( )

3/22 2

0

ˆ ˆ' '

4 '

L zdz a z a

dEz

ρρ ρ

πε ρ

−=

+

Pode-se observar, por meio da figura, que a componente z

E

será nula devido a simetria,

restando tão somente Eρ

, então

( )3/2

2 2

0

'

4 '

L dzdE

zρ

ρ ρ

πε ρ=

+

e

( )3/2

2 2

0

'

4 '

L dzE

zρ

ρ ρ

πε ρ

∞

−∞=

+∫

Integrando a expressão, temos

2 2 20

1 '

4 '

L zE

zρ

ρρ

πε ρ ρ

∞

−∞

= +

e

02

LEρ

ρ

πε ρ=



Eletromagnetismo


28

ou, de forma vetorial:

0

ˆ2

LE aρ

ρ

πε ρ=

Esta é a resposta desejada, mas há muitas outras maneiras de obtê-la.

Devemos também examinar o fato de que nem todas as linhas de carga estão localizadas ao

longo do eixo z . Como exemplo, consideremos uma linha de cargas infinita paralela ao eixo z em

6x = , 8y = , como mostrada na figura abaixo. Desejamos determinar E

em um ponto genérico

( ), ,P x y z .

Na equação da intensidade de campo encontrada para a linha de carga infinita, substitui-se

ρ pela distância radial entre a linha de cargas e o ponto P , ( ) ( )2 2

6 8R x y= − + − e

consideramos aρ como sendo ˆRa . Assim,

( ) ( )2 2

0

ˆ

2 6 8

LRE a

x y

ρ

πε=

− + −

onde

( ) ( )

( ) ( )2 2

ˆ ˆ6 8ˆ

6 8

x y

R

x a y aa

x y

− + −=

− + −

Portanto,



Eletromagnetismo


29

( ) ( )

( ) ( )2 2

0

ˆ ˆ6 8

2 6 8

x yLx a y a

Ex y

ρ

πε

− + −=

− + −

Nota-se, novamente, que o campo não é uma função de z . De forma genérica, pode-se

escrever:

0

ˆ2

LRE a

R

ρ

πε=

Exemplo 08:

Uma linha de cargas uniforme de 16 /nC m está localizada ao longo da linha definida por 2y = − ,

5z = . Determine o campo elétrico em ( )1, 2,3P .

Exemplo 09:

Duas linhas de cargas uniformes e infinitas de 5 /nC m estão situadas ao longo dos eixos x e y no

estaço livre. Determine o campo elétricos em:

a) ( )0,0,4AP ;

b) ( )0,3, 4BP .

2.5 Campo de uma Lâmina de Cargas

Outra configuração básica é a lâmina infinita de cargas tendo uma densidade uniforme Sρ

dada em 2/C m . Esta densidade é conhecida como densidade superficial de cargas.

Coloquemos uma lâmina de cargas no plano yz , conforme figura a seguir.



Eletromagnetismo


30

Utilizaremos o campo de uma linha de cargas, para tanto, dividiremos a lâmina infinita em

faixas de larguras diferenciais, cada faixa equivalerá a uma linha de cargas, de acordo com a figura

anterior. A densidade linear de carga de cada faixa é 'L S dyρ ρ= . Aplicando-se a equação da

intensidade de campo de linha de cargas, temos

0

ˆ2

LRE a

R

ρ

πε=

(para linha de cargas)

0

'ˆ

2

SR

dydE a

R

ρ

πε=

(para linha de cargas incremental numa lâmina infinita de cargas)

sendo

ˆ

ˆ' '

x

y

r xa

r y a

=

=

ˆ ˆ' 'x y

R r r xa y a= − = −

2 2'R R x y= = +

2 2

ˆ ˆ'ˆ

'

x y

R

xa y aRa

R x y

−= =

+

Portanto,

( )( )2 2

0

ˆ ˆ' '

2 '

S x ydy xa y adE

x y

ρ

πε

−=

+

Analisando-se a simetria, tem-se que a componente y

E

será nula, restando tão somente a

componente x

E

, então

( )2 2

0

'

2 '

Sx

x dydE

x y

ρ

πε=

+

e

( )2 2

0

'

2 '

Sx

x dyE

x y

ρ

πε

∞

−∞=

+∫



Eletromagnetismo


31

Integrando pela tabela de integrais, temos

0

'

2

Sx

yE arctg

x

ρ

πε

∞

−∞

=

e

02

SxE

ρ

ε=

Se o ponto P tivesse sido escolhido no semi-eixo x negativo, então

02

SxE

ρ

ε= −

pois o campo está sempre dirigido para fora, no caso de uma superfície positivamente carregada.

Esta dificuldade no sinal é usualmente contornada especificando-se um vetor unitário ˆNa , o qual é

normal à lâmina e direcionado para fora da mesma. Então,

0

ˆ2

SNE a

ρ

ε=

Se uma segunda lâmina de cargas, tendo uma densidade de carga negativa Sρ− , estivesse

localizada no plano x a= , poderíamos determinar o campo total adicionando as contribuições de

cada lâmina. Na região x a> ,

0 0

02 2

S Sx xE E E a a

ρ ρ

ε ε+ −= + = − =

e para 0x < ,

( ) ( )0 0

02 2

S Sx xE E E a a

ρ ρ

ε ε+ −= + = − − − =

e quando 0 x a< < ,

( )0 0 02 2

S S Sx x xE E E a a a

ρ ρ ρ

ε ε ε+ −= + = − − =

Este é um resultado importante na prática, pois é o campo entre as placas paralelas de um

capacitor separadas por ar, contanto que as dimensões lineares das placas sejam bem menores que a

sua separação e também que estejamos considerando um ponto bem distante das bordas.



Eletromagnetismo


32

Exemplo 10: Três lâminas de cargas infinitas e uniformes estão localizadas no espaço livre como se segue:

23 /nC m em 4z = − ; 26 /nC m em 1z = e 28 /nC m− em 4z = . Determine o campo elétrico

resultante nos pontos:

a) ( )2,5, 5AP − ;

b) ( )4,2, 3BP − ;

c) ( )1, 5,2CP − − ;

d) ( )2, 4,5DP − .

2.6 Linhas de Força e Esboço de Campos

As linhas de força são linhas imaginárias em cada ponto do espaço sob influência de um

campo elétrico. Elas são empregadas no sentido de visualizar melhor a atuação do campo elétrico.

Por convenção, são propriedades destas linhas:

• As linhas de força começam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas.

• A tangente à linha de força passando por qualquer ponto no espaço fornece a

direção do campo elétrico naquele ponto.

• A intensidade do campo elétrico em qualquer ponto é proporcional ao número de

linhas por unidade de área transversal perpendicular às mesmas.

Contudo, se tentássemos esboçar o campo de uma carga pontual, a variação do campo para

dentro e para fora da página poderia essencialmente causar dificuldades, por esta razão, o esboço é

habitualmente limitado a campos bidimensionais, conforme exemplos abaixo.



Eletromagnetismo


33

No caso de um campo bidimensional, vamos arbitrariamente considerar 0zE = . As linhas de

força estão assim confinadas aos planos nos quais z é constante. Na figura abaixo, linhas de força

são mostradas, e as componentes xE e y

E são indicadas em um ponto genérico.

As equações das linhas de força podem ser obtidas por meio da evidente constatação que

y

x

E dy

E dx=

Como ilustração deste método considere o campo de uma linha de cargas uniforme com

distribuição linear 02Lρ πε= ,

1Ê aρ

ρ=

Em coordenadas cartesianas,

2 2 2 2ˆ ˆ

x y

x yE a a

x y x y= +

+ +



Eletromagnetismo


34

Assim, formamos a equação diferencial

y

x

Edy y

dx E x= = ou

dy dx

y x=

Portanto,

ln lny x C= + ou ln ln lny x C= +

ou ainda,

y C x=

Se desejássemos encontrar a equação de uma linha de força em particular, meramente

substituiríamos as coordenadas deste ponto em nossa equação e calcularíamos C.

Exemplo 11:

Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto ( )1,4, 2P − no campo elétrico:

a) 2

2

8 4ˆ ˆ

x y

x xE a a

y y

−= +

;

b) ( )5 ˆ ˆ2 5 1x

x yE e y x a xa = + +

.



Eletromagnetismo


35

3 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E

DIVERGÊNCIA

3.1 Densidade de Fluxo Elétrico

A figura a seguir ilustra um experimento de Faraday em que se têm duas esferas condutoras

concêntricas separadas entre si por um material dielétrico. A esfera interna é previamente carregada

com carga Q+ , posteriormente, coloca-se a esfera externa descarregada e conecta-a

momentaneamente a terra. Com isto Faraday observou que a esfera externa, que a princípio estava

descarregada, ficava carregada com carga igual em magnitude à carga da esfera interna e que isto

era verdade independente do material dielétrico que separava as duas esferas.

Ele concluiu que da esfera interna para a externa havia um certo tipo de “deslocamento” que

era independente do meio, e agora nos referimos a este “deslocamento” ou fluxo como fluxo

elétrico. O mesmo será representado por Ψ (psi) e dado, conforme experimento, por

QΨ =

O fluxo elétrico é então medido em Coulomb. Podemos observar, por meio da figura

anterior, que as trajetórias do fluxo elétrico se estendem da esfera interna para a externa e são

indicadas por linhas de força simetricamente distribuídas, desenhadas de uma esfera a outra.

A densidade de fluxo elétrico é a razão entre o fluxo elétrico e a área da superfície que o

mesmo cruza. Trata-se de uma grandeza vetorial e é representada pela letra D

. A direção de D

em

um ponto é a direção das linhas de fluxo naquele ponto, e sua magnitude é dada pelo número de

linhas de fluxo que cruzam a superfície normal a elas dividido pela área da superfície. A unidade de

D

é, naturalmente, Coulomb por metro quadrado (algumas vezes descrita como “linhas por metro

quadrado”, pois cada linha está relacionada à quantidade de carga).



Eletromagnetismo


36

Novamente, nos referindo à figura anterior, a densidade de fluxo elétrico está na direção

radial e tem um valor de

2ˆ

4r

r a

QD a

aπ==

(esfera interna)

2ˆ

4r

r b

QD a

bπ==

(esfera externa)

e para a distância radial r , onde a r b≤ ≤ ,

2ˆ

4r

QD a

rπ=

Se substituíssemos a esfera interna por uma carga pontual carregada com a mesma carga Q ,

a densidade de fluxo elétrico no ponto distando r metros desta carga pontual ainda é dada pela

equação anterior.

Como a intensidade de campo elétrico radial de uma carga pontual no espaço livre é

2

0

ˆ4

r

QE a

rπε=

podemos escrever que, no espaço livre,

0D Eε=

Embora esta expressão seja aplicável somente ao vácuo, ela não se restringe somente ao

campo de uma carga pontual, a mesma é verdadeira para qualquer configuração no espaço livre, seja

ela uma distribuição volumétrica, superficial ou linear.

Exemplo 01:

Encontrar a densidade de fluxo elétrico D

na região ao redor de uma linha de cargas uniforme de

8 /nC m situada sobre o eixo z no espaço livre.

Exemplo 02:

Calcule a densidade de fluxo elétrico D

em coordenadas retangulares no ponto ( )2, 3,6P −

produzido por:

a) uma carga pontual 55Q mC= em ( )2,3, 6M − − ;

b) uma linha de cargas uniforme de 20 /L mC mρ = no eixo x ;

c) uma densidade superficial de carga de 2120 /S

C mρ µ= no plano 5z = − .



Eletromagnetismo


37

3.2 Lei de Gauss

Imaginemos uma distribuição de carga, conforme mostrada na figura abaixo, como uma

nuvem de cargas pontuais, envolvidas por uma superfície fechada com uma forma qualquer. Se a

carga total é Q+ Coulomb, então Q Coulomb de fluxo elétrico irão atravessar a superfície, o vetor

densidade de fluxo elétrico D

terá algum valor S

D

, onde o índice S meramente nos lembra que D

deve ser calculado na superfície, e S

D

irá em geral variar em magnitude e direção de um ponto da

superfície para outro.

Especificando o elemento incremental da superfície, tal como ilustrado na figura anterior,

como sendo o vetor S∆

normal à superfície e apontando para fora da mesma, podemos então

escrever que o incremento de fluxo elétrico ( ∆Ψ ) neste elemento incremental de superfície será:

S normal SD S D S∆Ψ = ∆ = ⋅ ∆

O fluxo total que atravessa a superfície fechada é obtido adicionando-se as contribuições

diferenciais que atravessam cada elemento de superfície S∆

,

SSD dSΨ = ⋅∫

(superfície fechada)

Esta integral resultante é uma integral de superfície fechado, ou seja, é uma integral dupla da

superfície total. Tal superfície é freqüentemente chamada de superfície gaussiana. Temos, então, a

formulação matemática de Gauss, que afirma

carga envolvidaSS

D dS QΨ = ⋅ = =∫

A carga envolvida pode ser um conjunto de várias cargas pontuais, ou uma linha de cargas,

ou uma superfície de cargas, ou ainda, uma distribuição volumétrica de cargas. Como a equação da

distribuição volumétrica é uma generalização das outras expressões, podemos escrever a Lei de

Gauss em termos desta



Eletromagnetismo


38

S vS vol

D dS dvρ⋅ =∫ ∫

uma afirmativa matemática significando simplesmente que o fluxo elétrico total através de qualquer

superfície fechada é igual à carga envolvida.

Para ilustrar a aplicação da lei de Gauss, vamos conferir os resultados do experimento de

Faraday colocando uma carga pontual Q na origem do sistema de coordenadas esféricas e

escolhendo uma superfície fechada como uma esfera de raio r . Temos então

( )0 0 2

0

2

2 2 2

ˆ4

ˆ 44 4 4

S rS S S

rS S

QD dS E dS a dS

r

Q Q Qa dS dS r Q

r r r

ε επε

ππ π π

⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

e obtém um resultado que mostra que Q Coulomb de fluxo elétrico está atravessando a superfície,

como deveria ser, já que a carga envolvida é de Q Coulomb. A figura abaixo ilustra o fato de que os

vetores S

D

e dS

, neste exemplo, estão sempre na mesma direção

Já a integral de área da superfície fechada esférica é

22 2

0 04esferaS r sen d d r

φ π θ π

φ θθ θ φ π

= =

= == =∫ ∫

contudo, por ser a área de uma superfície esférica uma equação conhecida, não há necessidade de

se calcular a mesma em todos os exemplos que esta aparecer.

Vale ressaltar que para o cálculo do fluxo elétrico em uma superfície aberta pode-se usar

SS

D dSΨ = ⋅∫

(superfície aberta)



Eletromagnetismo


39

Exemplo 03:

Dada uma carga pontual de 60 Cµ localizada na origem, determine o fluxo elétrico total que passa

através:

a) da porção de uma esfera de 26r cm= limitada por 0 /2θ π< < e 0 /2φ π< < ;

b) da superfície fechada definida por 26 cmρ = e 26z cm= ± ;

c) do plano 26z cm= .

Exemplo 04:

Dada a densidade de fluxo elétrico 2 2ˆ0,3 /r

D r a nC m=

no espaço livre, determine:

a) o campo elétrico E

no ponto ( )2, 25º ,90ºP .

b) a carga total dentro da esfera 3r = .

c) o fluxo elétrico total que deixa a esfera 4r = .

Exemplo 05:

Calcule o fluxo elétrico total que deixa uma superfície cúbica formada pelos seis planos , , 5x y z = ±

se a distribuição de carga é:

a) duas cargas pontuais, uma de 0,1 Cµ em ( )1, 2,3− e outra de 17 Cµ em ( )1,2, 2− − ;

b) uma linha de cargas uniforme de /C mπ µ em 2x = − e 3y = ;

c) uma superfície de cargas uniforme de 20,1 /C mµ no plano 3y x= .

3.3 Aplicações da Lei de Gauss: Algumas Distribuições Simétricas

de Cargas

A solução da equação de Gauss é fácil se formos capazes de escolher uma superfície fechada

que satisfaça duas condições:

1. S

D

deve ser normal ou tangente à superfície fechada em qualquer ponto, de modo que

SD dS⋅

se torna SD dS⋅ ou zero, respectivamente.

2. Na parte da superfície fechada para a qual S

D dS⋅

não é zero, SD deverá ser constante.

Isto nos permite substituir o produto escalar pelo produto dos escalares SD e dS e depois

levar SD para fora da integral. A integral remanescente é, então, sobre aquela porção da superfície

fechada em que S

D

cruza normalmente, o que é simplesmente a área desta superfície.

Vamos considerar uma carga pontual Q na origem de um sistema de coordenadas esféricas

e decidir por uma superfície fechada adequada que irá satisfazer os dois requisitos listados acima. A

superfície em questão é obviamente uma superfície esférica, centrada na origem e de raio r



Eletromagnetismo


40

qualquer. S

D

é normal à superfície em qualquer ponto; SD possui o mesmo valor em todos os

pontos na superfície.

Temos, então,

22

0 0

24

S SS esfera

S Sesfera

S

Q D dS D dS

D dS D r sen d d

r D

φ π θ π

φ θθ θ φ

π

= =

= =

= ⋅ =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫

e assim 24

S

QD

rπ=

Como r pode ter qualquer valor e como S

D

está dirigido radialmente para fora,

2ˆ

4r

QD a

rπ=

2

0

ˆ4

r

QE a

rπε=

que concorda com os resultados advindos da lei de Coulomb.

Como um segundo exemplo, consideremos uma distribuição uniforme e linear de carga

situada no eixo z se estendendo de −∞ a +∞ .

Neste exemplo em questão, a superfície cilíndrica é a única superfície em que Dρ

é normal

em qualquer ponto e pode ser fechada por superfícies planas normais ao eixo z . A figura abaixo

mostra um cilindro circular reto fechado de raio ρ se estendendo de 0z = até z L= .



Eletromagnetismo


41

Aplicando-se a lei de Gauss

2

0 00 0 2

S S S S SS cilindro lateral topo base

z L

S S Slateral z

Q D dS D dS D dS D dS D dS

D dS D d dz D Lφ π

φρ φ πρ

= =

= =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

e obtemos 2

S

QD

Lπρ=

Em termos da densidade de carga: 2 2

L LS

LD

L

ρ ρ

πρ πρ= = . Resultando nos vetores,

ˆ2

LD aρ

ρ

πρ=

0

ˆ2

LE aρ

ρ

πε ρ=

Em conformidade com o resultado obtido anteriormente pela lei de Coulomb.

Um terceiro exemplo é o problema de um cabo coaxial. Suponhamos que temos dois

condutores cilíndricos coaxiais, o interno de raio a e o externo de raio b , cada um de extensão

infinita, como mostra a figura a seguir. Consideremos uma distribuição de carga Sρ na superfície

externa do condutor interno. As cargas dos dois cilindros são iguais em módulos e opostas em sinais.

Um cilindro circular reto de comprimento L e raio ρ , onde a bρ< < , é necessariamente

escolhido como a superfície gaussiana, e rapidamente temos

2SQ D Lπρ=

e obtemos 2

S

QD

Lπρ=



Eletromagnetismo


42

Em termos da densidade de carga: 2

2

S SS

aL aD

L

ρ π ρ

πρ ρ= = . Passando para densidade linear,

mais comumente usada para cabos coaxiais, temos que LQ Lρ= , então, 2 2

L LS

LD

L

ρ ρ

πρ πρ= = . Em

termos vetoriais,tem-se

ˆ2

LD aρ

ρ

πρ=

0

ˆ2

LE aρ

ρ

πε ρ=

e a solução possui uma forma idêntica àquela da linha infinita de cargas.

Caso usássemos um cilindro de raio bρ > para a superfície gaussiana, a carga total

envolvida seria então zero, já que o resultado da soma das cargas dos dois cilindros é nulo. Um

resultado idêntico seria obtido para aρ < , pois a carga do cilindro interno só existirá na superfície

do mesmo, conforme veremos em breve para o caso de materiais condutores.

Exemplo 06:

Considere um cabo coaxial de 50 cm de comprimento com raio interno de 1 mm e raio externo de

4 mm , o espaço entre os condutores é preenchido por ar. A carga total no condutor interno é

30 nC . Calcule a densidade de carga em cada condutor e, usando a lei de Gauss, a densidade de

fluxo elétrico e o campo elétrico, em toda região.

Exemplo 07:

Uma carga pontual de 0,25 Cµ está localizada na origem, e duas densidades superficiais de carga

uniformes estão localizadas como segue: uma de 22 /mC m em 1r cm= e outra de 20,6 /mC m−

em 1,8r cm= . Calcule o vetor densidade de fluxo elétrico em:

a) 0,5r cm= ;

b) 1,5r cm= ;

c) 2,5r cm= ;

d) Que densidade superficial de carga uniforme deve ser estabelecida em 3r cm= para

causar um densidade de fluxo de carga nula em 3,5r cm= ?

3.4 Aplicações da Lei de Gauss: Elemento Diferencial de Volume

Agora aplicaremos os métodos da lei de Gauss para um tipo de problema ligeiramente

diferente – um que não possui qualquer simetria. Para se contornar a problemática da ausência de

simetria, que é imprescindível para aplicação da lei de Gauss, será necessário escolher uma superfície

fechada muito pequena em que D

seja praticamente constante sobre ela e, que uma pequena



Eletromagnetismo


43

variação de D

possa ser adequadamente representada pelos dois primeiros termos da expansão de

D

em série de Taylor.

Consideremos um ponto P qualquer, mostrado na figura seguinte, localizado pelo sistema

de coordenadas cartesianas. O valor de D

neste ponto pode ser expresso em componentes

cartesianos, 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆx x y y z z

D D a D a D a= + +

.

Escolhemos como nossa superfície fechada uma pequena caixa retangular, centrada em P ,

tendo lados de comprimentos x∆ , y∆ e z∆ , e apliquemos a lei de Gauss,

SS frente atrás esquerda direita topo base

D dS Q⋅ = + + + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

onde, dividimos a integral sobre a superfície fechada em seis integrais, uma para cada face.

Consideremos a primeira destas integrais detalhadamente,

,

ˆ

frente frentefrente

frente x

x frente

D S

D y z a

D y z

= ⋅∆

= ⋅ ∆ ∆

= ∆ ∆

∫

onde devemos aproximar somente o valor de xD nesta face frontal. A face frontal está a uma

distância de / 2x∆ de P , e assim

, 0

0

taxa de variação de com 2

2

x frente x x

xx

xD D D x

DxD

x

∆= + ×

∂∆= +

∂



Eletromagnetismo


44

Temos, agora

02

xx

frente

DxD y z

x

∂∆ = + ∆ ∆

∂ ∫

Consideremos agora a integral sobre a superfície posterior,

( )

,

ˆ

atrás atrásatrás

atrás x

x atrás

D S

D y z a

D y z

= ⋅∆

= ⋅ −∆ ∆

= − ∆ ∆

∫

e, fazendo-se novamente uma aproximação,

, 02

xx atrás x

DxD D

x

∂∆= −

∂

resultando em 0

2

xx

atrás

DxD y z

x

∂∆ = − + ∆ ∆

∂ ∫

Se combinarmos estas duas integrais, temos

x

frente atrás

Dx y z

x

∂+ = ∆ ∆ ∆

∂∫ ∫

Usando-se exatamente este mesmo procedimento, encontramos que

y

direita esquerda

Dx y z

y

∂+ = ∆ ∆ ∆

∂∫ ∫

z

topo base

Dx y z

z

∂+ = ∆ ∆ ∆

∂∫ ∫

Sendo x y z v∆ ∆ ∆ = ∆ , podemos escrever:

yx zS

S

DD DD dS Q v

x y z

∂ ∂ ∂⋅ = = + + ∆

∂ ∂ ∂ ∫

A expressão é uma aproximação que se torna melhor à medida que v∆ se torna menor.

Exemplo 08:

Determine um valor aproximado para a carga total contida em um volume incremental de 9 310 m−

localizado na origem, se ( ) ( ) 2ˆ ˆ ˆsen cos 2 /x x

x y zD e y a e y a za C m− −= − +

.



Eletromagnetismo


45

Exemplo 09:

No espaço livre, 4 2 4 2 3 2ˆ ˆ ˆ8 4 16 /x y zD xyz a x z a x yz a pC m= + +

. Determinar:

a) o fluxo elétrico total que atravessa a superfície retangular 2z = , 0 2x< < , 1 3y< < na

direção ˆza ;

b) o campo elétrico em ( )2, 1,3P − ;

c) um valor aproximado para a carga total contida em uma esfera incremental localizada em

( )2, 1,3P − e tendo um volume de 12 310 m− .

3.5 Divergência

No subitem anterior, encontramos que

yx zS

S

DD DD dS Q v

x y z

∂ ∂ ∂⋅ = = + + ∆

∂ ∂ ∂ ∫

Obteremos agora a relação exata desta equação, permitindo que o elemento de volume v∆

tenda a zero. Escreveremos esta equação como

Syx SzD dSDD D Q

x y z v v

⋅∂ ∂ ∂+ + = =

∂ ∂ ∂ ∆ ∆

∫

Pode-se, assim, fazer um limite tal qual

0 0lim lim

Syx Sz

v v

D dSDD D Q

x y z v v∆ → ∆ →

⋅∂ ∂ ∂+ + = =

∂ ∂ ∂ ∆ ∆

∫

sendo que este último termo representa a densidade volumétrica de carga vρ , portanto

0lim

Syx Szv

v

D dSDD D

x y z vρ

∆ →

⋅∂ ∂ ∂+ + = =

∂ ∂ ∂ ∆

∫

Por enquanto, trabalhemos unicamente com a primeira igualdade da expressão, ou seja,

0lim

Syx Sz

v

D dSDD D

x y z v∆ →

⋅∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∆

∫

pois a equação que relaciona a densidade volumétrica será tratada na próxima seção.



Eletromagnetismo


46

A expressão anterior envolve a densidade de fluxo elétrico D

, porém a mesma poderia ser

representativa de qualquer outro campo vetorial genericamente representado pela letra A

(velocidade, aceleração, força, etc.). Podendo-se reescrevê-la como

0lim

yx Sz

v

A dSAA A

x y z v∆ →

⋅∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∆

∫

Esta operação apareceu tantas vezes em investigações físicas passadas que recebeu um

nome descritivo, divergência. A divergência de A

é definida como

0Divergência de div lim S

v

A dSA A

v∆ →

⋅= =

∆

∫

e é usualmente abreviada por div A

. Este vetor A

é membro da família dos vetores densidade de

fluxo. A seguinte interpretação física é válida:

“A divergência do vetor densidade de fluxo A

é a descarga de fluxo em uma pequena

superfície fechada por unidade de volume à medida que o volume tende a zero.”

Por exemplo, consideremos a divergência da velocidade da água em uma banheira após

termos aberto o dreno. O fluxo líquido de água através de qualquer superfície fechada situada

inteiramente dentro da água deve ser igual a zero, pois a água é essencialmente incompressível e,

conseqüentemente, a água que entra e sai de diferentes regiões da superfície fechada deve ser igual.

Portanto a divergência desta velocidade é zero.

Entretanto, se considerarmos agora a velocidade do ar em um pneu que acabou de ser

furado por um prego, percebemos que o ar se expande à medida que a pressão cai e que,

conseqüentemente, há um fluxo líquido em qualquer superfície fechada situada dentro do pneu. A

divergência desta velocidade é, portanto, maior que zero. Já na operação de enchimento do pneu, o

fluxo líquido em qualquer superfície fechada situada dentro do mesmo terá de sentido oposto ao do

procedimento anterior.

Uma divergência positiva de qualquer grandeza vetorial indica uma fonte desta grandeza

vetorial naquele ponto. De forma semelhante, uma divergência negativa indica um sorvedouro

(sumidouro). Como a divergência da velocidade da água acima é zero, não existe fonte nem

sorvedouro.

A divergência para o nosso caso específico da densidade de fluxo elétrico será

div yx z

DD DD

x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂



Eletromagnetismo


47

Esta expressão está representada em coordenadas cartesianas. Caso desejássemos escrevê-

la em coordenadas cilíndricas ou esféricas, as mesmas ficariam como se segue.

( )1 1div z

D DD D

z

φ

ρρρ ρ ρ φ

∂ ∂∂= + +

∂ ∂ ∂

coordenadas cilíndricas

( ) ( )2

2

1 1 1div

r

DD r D sen D

r r r sen r sen

φ

θθθ θ θ φ

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

coordenadas esféricas

A divergência é uma operação que resulta em um escalar, ou seja, a divergência meramente

nos diz quanto fluxo está deixando um pequeno volume em termos de “por unidade de volume”,

nenhuma direção está associada a ela.

Exemplo 10:

Determine a divergência div D

em um ponto situado na origem se o vetor densidade de fluxo é

( ) ( ) 2ˆ ˆ ˆsen cos 2 /x x

x y zD e y a e y a za C m− −= − +

.

Exemplo 11:

Determinar o valor numérico para div D

no ponto especificado para cada um dos seguintes itens

abaixo:

a) ( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 2 /x y zD xyz y a x z xy a x ya C m= − − − +

em ( )2,3, 1P − ;

b) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ2 sen sen 2 2 sen /zD z a z a z a C mρ φρ φ ρ φ ρ φ= − +

em ( )2,110º , 1P − ;

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2ˆ ˆ ˆ2 sen cos cos cos sen /rD r a r a r a C mθ φθ φ θ φ φ= + −

em ( )1,5;30º ;50ºP .

3.6 Primeira Equação de Maxwell (Eletrostática)

As expressões desenvolvidas para a divergência são as seguintes

0div lim

SS

v

D dSD

v∆ →

⋅=

∆

∫

div yx z

DD DD

x y z

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

div vD ρ=

A primeira equação é a definição da divergência; a segunda é o resultado da aplicação da

definição a um elemento diferencial de volume em coordenadas cartesianas, e a terceira é



Eletromagnetismo


48

meramente escrita usando-se de desenvolvimento matemático. Esta última equação é um resultado

do seguinte desenvolvimento

( ) Lei de GaussSS

D dS Q⋅ =∫

SS

D dS Q

v v

⋅=

∆ ∆

∫

0 0lim lim

SS

v v

D dS Q

v v∆ → ∆ →

⋅==

∆ ∆

∫

div vD ρ=

Esta é a primeira das quatro equações de Maxwell. Ela estabelece que o fluxo elétrico por

unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é exatamente igual à sua

densidade volumétrica de carga. A primeira equação de Maxwell é também descrita como a forma

diferencial da lei de Gauss. De modo recíproco, a lei de Gauss é reconhecida como a forma integral

da primeira equação de Maxwell.

A operação divergência não é limitada à densidade de fluxo elétrico; ela pode ser aplicada a

qualquer campo vetorial.

Exemplo 12: Determine uma expressão para a densidade volumétrica de carga associada com cada campo densidade de fluxo elétrico a seguir:

a) 2 2

2

2

4 2 2ˆ ˆ ˆ /x y z

xy x x yD a a a C m

z z z= + +

;

b) ( ) ( ) ( ) 2ˆ ˆ ˆsen cos sen /zD z a z a a C mρ φφ φ ρ φ= + +

;

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2ˆ ˆ ˆsen sen cos sen cos /rD a a a C mθ φθ φ θ φ φ= + +

.

3.7 O Operador Vetorial ∇

(Nabla) e o Teorema da Divergência

Definimos o operador nabla ∇

como sendo um operador vetorial, representado pela

expressão:

ˆ ˆ ˆx y za a a

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Consideremos o produto escalar dos vetores ∇

e D

,



Eletromagnetismo


49

( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x x y y z zD a a a D a D a D a

x y z

∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + + ⋅ + +

∂ ∂ ∂

yx zDD D

Dx y z

∂∂ ∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

Isto é reconhecido como a divergência de D

, de forma que temos

div yx z

DD DD D

x y z

∂∂ ∂= ∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

O uso de D∇⋅

é muito mais comum que o de div D

. A partir de agora, usaremos a notação

D∇⋅

para indicar a operação de divergência.

O operador ∇

não possui uma forma específica em outros sistemas de coordenadas. Se

considerarmos D

em coordenadas cilíndricas ou esféricas, então D∇⋅

ainda indica a divergência de

D

, conforme as expressões já definidas anteriormente, porém não temos uma fórmula para ∇

em

si nestes sistemas de coordenadas.

Iremos agora desenvolver o teorema da divergência. Este teorema se aplica a qualquer

campo vetorial para o qual existe a derivada parcial apropriada. Partindo da lei de Gauss,

SD dS Q⋅ =∫

e considerando

vvol

Q dvρ= ∫

e então substituindo vρ por sua igualdade,

vD ρ∇ ⋅ =

temos vS vol vol

D dS Q dv D dvρ⋅ = = = ∇⋅∫ ∫ ∫

A primeira e a última expressão constituem o teorema da divergência,

S volD dS Ddv⋅ = ∇⋅∫ ∫

que pode ser escrito como se segue:



Eletromagnetismo


50

“A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície

fechada é igual à integral da divergência deste campo vetorial através do volume limitado

por esta superfície fechada.”

Novamente, enfatizamos que o teorema da divergência é verdadeiro para qualquer campo

vetorial. Sua vantagem advém do fato de que ele relaciona uma tripla integração através de algum

volume com uma dupla integração sobre a superfície daquele volume.

O teorema da divergência se torna óbvio fisicamente se considerarmos o volume, tal qual

apresentado na figura acima, dividido em inúmeros pequenos compartimentos de tamanho

diferencial. A consideração de uma dessas células mostra que o fluxo que diverge desta célula entra,

ou converge, para as células adjacentes, a menos que estas contenham uma porção de superfície

externa. Em resumo, a divergência da densidade de fluxo através de um volume leva, então, ao

mesmo resultado que o determinado pelo fluxo líquido que atravessa a superfície fechada.

Exemplo 13:

Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo 2 2ˆ ˆ2 /x yD xya x a C m= +

e a a

região fechada de um paralelepípedo formado pelos planos 0 1x e= , 0 2y e= e 0 3z e= .

Exemplo 14:

Dado o campo ( ) ( ) 21 12 2

ˆ ˆ6 sen 1,5 cos /D a a C mρ φρ φ ρ φ= +

calcule ambos os lados do teorema da

divergência para a região limitada por 2ρ = , 0 eφ π= e 0 5z e= .



Eletromagnetismo


51

4 – ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO

4.1 Trabalho Empregado no Movimento de uma Carga no Interior

de um Campo Elétrico

Se tentarmos movimentar uma carga de teste contra o campo elétrico, deveremos exercer

uma força de igual módulo e sentido contrário àquela exercida pela força proveniente do campo, e

isto requer dispêndio de energia ou trabalho. Já se tentarmos movimentar a carga na direção do

campo, nosso dispêndio de energia torna-se-á negativo; não realizaremos trabalho, o campo é que

realizará.

A força aplicada à carga Q devido a existência de um campo elétrico E

é

EF QE=

A componente desta força numa direção dL

qualquer é

ˆ ÊL E L LF F a QE a= ⋅ = ⋅

onde ˆLa é o vetor unitário da direção de dL

.

A força que deve ser aplicada por um agente externo para deslocar a carga é de módulo igual

e sentido oposto, ou seja,

âplicada LF QE a= − ⋅

Já o dispêndio de energia será dado pelo produto da força aplicada pela distância de

deslocamento. Pode-se então escrever que o trabalho diferencial realizado por um agente externo

deslocando Q ao longo da direção ˆLa é

( )ˆ ˆL LdW QE a dL QE a dL QE dL= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅

onde substituímos ˆLa dL pela expressão mais simples dL

.

O trabalho necessário para deslocar a carga de uma distância finita deve ser determinado

pela integração

final

inicialW Q E dL= − ⋅∫



Eletromagnetismo


52

onde o caminho deve ser especificado antes que a integral seja calculada. Considera-se, para tanto,

que a carga está parada nas posições inicial e final.

Exemplo 01:

Dado o campo elétrico ( ) ( )2 2

2

1ˆ ˆ ˆ8 4 4 /x y zE xyza za x ya V m

z= + −

, determine a quantidade

diferencial de trabalho realizado ao deslocarmos uma carga de 6nC de uma distância de 2 mµ ,

partindo de ( )2, 2,3P − e caminhando na direção:

a) 6 3 2

ˆ ˆ ˆ ˆ7 7 7

L x y za a a a= − + + ;

b) 6 3 2

ˆ ˆ ˆ ˆ7 7 7

L x y za a a a= − − .

4.2 Integral de Linha

A expressão da integral para o trabalho é um exemplo de integral de linha, a qual, sempre

assume a forma da integral ao longo de um caminho prescrito do produto escalar entre o campo

vetorial e o vetor comprimento diferencial. Sem a utilização da análise vetorial, deveríamos escrever

final

Linicial

W Q E dL= − ∫

onde LE = componente de E

ao longo de dL

.

O procedimento da integral de linha está indicado na figura abaixo, onde foi escolhido um

caminho a partir da posição inicial B até a posição final A e selecionado um campo elétrico

uniforme. O caminho está dividido em seis segmentos.



Eletromagnetismo


53

O trabalho envolvido no deslocamento da carga Q de B para A é, então, aproximadamente

( )1 1 2 2 6 6L L LW Q E L E L E L= − ∆ + ∆ + + ∆…

ou, usando notação vetorial,

( )1 1 2 2 6 6W Q E L E L E L= − ⋅∆ + ⋅∆ + + ⋅∆

…

e, como admitimos um campo uniforme

( )1 2 6W QE L L L= − ⋅ ∆ + ∆ + + ∆

…

A soma dos segmentos dos vetores pode ser realizada pela regra do paralelogramo,

resultando justamente em um vetor dirigido do ponto inicial para o ponto final, BAL

. Portanto,

( ) uniformeBAW QE L E= − ⋅

Para este caso especial de uma intensidade de campo elétrico uniforme, devemos notar que

o trabalho envolvido no deslocamento da carga depende somente de Q , E

e BAL

. Ele não depende

do caminho escolhido para deslocar a carga, ou seja, pode-se ir de B para A em uma linha reta ou

por um caminho tortuoso que a resposta será a mesma.

Note que a expressão de dL

utiliza dos vetores de comprimentos diferenciais, os quais

encontram-se destacado a seguir.

ˆ ˆ ˆ (coordenadas cartesianas)

ˆ ˆ ˆ (coordenadas cilíndricas)

ˆ ˆ ˆ (coordenadas esféricas)

x y z

z

r

dL dxa dya dza

dL d a d a dza

dL dra rd a r sen d a

ρ φ

θ φ

ρ ρ φ

θ θ φ

= + +

= + +

= + +

Para ilustrar o cálculo da integral de linha, investigaremos os diversos caminhos que devemos

considerar próximos a uma linha infinita de cargas, conforme figura a seguir.



Eletromagnetismo


54

O campo já foi obtido anteriormente e é inteiramente na direção radial,

0

ˆ ˆ2

LE E a aρ ρ ρ

ρ

πε ρ= =

Deslocando-se uma carga positiva em torno de um caminho circular de raio 1ρ , conforme

figura (a), tem-se 1ˆdL d aφρ φ=

, o trabalho será:

2

10

0 1

2

00

ˆ ˆ 2

ˆ ˆ 02

final

inicial

L

L

W Q E dL

Q a d a

Q d a a

π

ρ φ

π

ρ φ

ρρ φ

πε ρ

ρφ

πε

= − ⋅

= − ⋅

= − ⋅ =

∫

∫

∫

Considerando-se agora um deslocamento da carga de aρ = para bρ = ao longo do

caminho radial, de acordo com figura (b) acima. Aqui, ˆdL d aρρ=

e

0

0

0

ˆ ˆ2

2

ln2

b

a

b

a

L

L

bL

a

W Q a d a

dQ

Q

ρ

ρ ρρ

ρ

ρ

ρρ

πε ρ

ρ ρ

πε ρ

ρρ

πε ρ

= − ⋅

= −

= −

∫

∫

Como bρ é maior do que aρ , percebe-se que o trabalho realizado é negativo, indicando que

a fonte externa, que está deslocando a carga, recebe energia. Já se o deslocamento fosse de bρ para

aρ , teríamos,

0

ln2

bL

a

QW

ρρ

πε ρ=

Neste caso o trabalho é positivo, o que significa que a fonte externa (ou agente externo) é

que está fornecendo energia.

Exemplo 02:

Dado o campo elétrico não-uniforme ˆ ˆ ˆ2x y z

E ya xa a= + +

, determine o trabalho realizado para

levar uma carga de 2C de ( )1,0,1B até ( )0,8;0,6;1A ao longo do arco mais curto do círculo

2 2 1x y+ = e 1z = .



Eletromagnetismo


55

Exemplo 03:

Calcule o trabalho ralizado ao deslocarmos uma carga de 4C de ( )1,0,0B até ( )0, 2,0A ao lonho

do caminho 2 2 , 0y x z= − = no campo:

a) ˆ5 /x

E a V m=

;

b) ˆ5 /x

E xa V m=

;

c) ˆ ˆ5 5 /x y

E xa ya V m= +

.

Exemplo 04:

(exemplo de campo não-conservativo) Considerando ( )ˆ5 /x

E xa V m=

, calcule o trabalho

necessário para deslocar uma carga de 3C de ( )1,3,5B até ( )2,0,3A ao longo dos segmentos de

linhas retas unindo:

a) ( )1,3,5B a ( )2,3,5 a ( )2,0,5 a ( )2,0,3A ;

b) ( )1,3,5B a ( )1,3,3 a ( )1,0,3 a ( )2,0,3A .

4.3 Definição de Diferença de Potencial e Potencial Elétrico

Define-se a diferença de potencial V como o trabalho realizado (por um agente externo) ao

deslocar uma unidade de carga positiva ( )1Q = de um ponto a outro em um campo elétrico,

Diferença de Potencialfinal

inicialV E dL= = − ⋅∫

A diferença de potencia ABV significa a diferença de potencial entre os pontos A e B , e é o

trabalho realizado ao deslocarmos uma unidade de carga de B até A . Assim,

( ) VA

ABB

V E dL= − ⋅∫

onde a unidade de medida é volts que freqüentemente é abreviado por V, trata-se, conforme

observado, de uma grandeza escalar.

No exemplo da linha de carga da última seção, encontramos que o trabalho realizado ao

levarmos a carga Q de bρ para aρ é

0

ln2

bL

a

QW

ρρ

πε ρ=

Assim, a diferença de potencial entre os pontos bρ e aρ é



Eletromagnetismo


56

0

ln2

bLab

a

WV

Q

ρρ

πε ρ= =

Já para o caso de uma carga pontual Q, a diferença de potencial entre os pontos A e B nas

distâncias radiais Ar

e Br

da mesma, escolhendo-se a origem em Q , será

2

0

ˆ ˆ4

r r r

QE E a a

rπε= =

e ˆr

dL dr a=

temos

2

0 0

1 1

4 4

A

B

A r

ABB r

A B

Q QV E dL dr

r r rπε πε

= − ⋅ = − = −

∫ ∫

Se B Ar r> , a diferença de potencial ABV é positiva, indicando que a energia é despendida

pelo agente externo ao trazer a carga positiva de Br para Ar . Isto concorda com o modelo físico que

mostra que duas cargas iguais se repelem.

Muitas vezes é conveniente falarmos em potencial, ou potencial absoluto, de um ponto em

vez de diferença de potencial entre dois pontos, mas isto significa somente que concordamos em

medir toda diferença de potencial em relação a um ponto referencial específico, o qual consideramos

ter potencial igual a zero.

O ponto de referência de zero mais universal para medidas físicas ou experimentais de

potencia é a “terra”, entendida como sendo o potencial da região da superfície da Terra. Outro

“ponto” de referência amplamente utilizado é o infinito. Este normalmente aparece em problemas

teóricos. Mais uma consideração de referencial pode ser feita para o caso de um cabo coaxial, no

qual o condutor externo é escolhido como o zero de referência para o potencial. Nota-se, portanto,

que o ponto de referência de zero pode assumir inúmeras denominações distintas dependendo da

aplicação específica em que está sendo usado.

Se o potencial num ponto A é AV e num ponto B é BV , então

AB A BV V V= −

onde necessariamente concordamos que AV e BV devem possuir o mesmo ponto de zero de

referência. Observa-se que esta notação de ABV é diferente da empregada na análise vetorial onde

AB B Ar r r= −

.



Eletromagnetismo


57

Exemplo 05:

Um campo elétrico é expresso por ( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 /x y z

E x a ya a V m= + +

. Determine:

a) MNV se ( )2,6, 1M − e ( )3, 3,2N − − ;

b) MV se 0V = em ( )4, 2, 35Q − − ;

c) NV se 2V = em ( )1,2, 4P − .

4.4 Campo Potencial de uma Carga Pontual

Na seção anterior, encontramos uma expressão para a diferença de potencial entre dois

pontos localizados em Ar r= e Br r= , imersos no campo de uma carga pontual Q localizada na

origem.

0

1 1

4AB A B

A B

QV V V

r rπε

= − = −

Considerou-se que os dois pontos pertenciam à mesma linha radial. Agora, consideraremos

dois pontos A e B com deslocamentos também nas coordenadas θ e φ , conforme figura abaixo.

O comprimento diferencial do caminho dL

possui as componentes r , θ e φ , e o campo

elétrico possui somente a componente radial. Tomando, então, o produto escalar, temos apenas

2

0 0

1 1

4 4

A A

B B

A r r

AB rB r r

A B

Q QV E dL E dr dr

r r rπε πε

= − ⋅ = − = − = −

∫ ∫ ∫

Obtemos a mesma resposta e concluímos, portanto, que a diferença de potencial entre dois

pontos em um campo de uma carga pontual depende somente da distância de cada ponto à carga e

não do caminho particular usado para deslocar uma unidade de carga de um ponto para outro.

Agora, se considerarmos 0V = no infinito, o potencial em Ar torna-se



Eletromagnetismo


58

04A

A

QV

rπε=

ou, como não há motivo para identificar este ponto com o índice A ,

04

QV

rπε=

Podemos também definir uma superfície equipotencial como sendo uma superfície

composta por todos aqueles pontos que possuem o mesmo valor de potencial. Nenhum trabalho

está envolvido no deslocamento de uma unidade de carga sobre uma superfície equipotencial, pois,

por definição, não há diferença de potencial entre dois pontos quaisquer desta superfície.

Observação: pode-se escrever, genericamente, que o trabalho para se movimentar uma

carga de um ponto inicia B até um ponto final A é

abW QV=

Exemplo 06:

Uma carga pontual de 15nC está localizada na origem do espaço livre. Calcule 1V em

( )1 2,3, 1P − − se:

a) 0V = em ( )6,5, 4 ;

b) 0V = no infinito;

c) 5V V= em ( )2,0, 4 .

4.5 Campo Potencial de um Sistema de Cargas e Propriedade

Conservativa dos Campos Potenciais

O potencial de uma carga pontual simples, identificada por 1Q e localizada em 1r

, envolve

somente a distância da carga ao ponto r

onde se procura estabelecer o valor do potencial. Para um

zero de referência no infinito, temos

( ) 1

0 14

QV r

r rπε=

−

O potencial devido a duas cargas, 1Q em 1r

e 2Q em 2r

, é função somente das distâncias de

cada uma das cargas ao ponto do campo, ou ainda,

( ) 1 2

0 1 0 24 4

Q QV r

r r r rπε πε= +

− −



Eletromagnetismo


59

Continuando a adicionar cargas, encontramos que o potencial devido a n cargas pontuais é

( ) 1 2

0 1 0 2 04 4 4

n

n

QQ QV r

r r r r r rπε πε πε= + + +

− − −

…

Se agora cada carga pontual for representada como um pequeno elemento com uma

distribuição volumétrica contínua de carga igual a v vρ ∆ , então

( )( ) ( ) ( )1 1 2 2

0 1 0 2 04 4 4

v v v n n

n

r v r v r vV r

r r r r r r

ρ ρ ρ

πε πε πε

∆ ∆ ∆= + + +

− − −

…

Fazendo o número de elementos tornar infinito, podemos obter a expressão do potencial por

meio da integral:

( )( )

0

' '

4 '

v

vol

r dvV r

r r

ρ

πε=

−∫

Esta expressão é válida para uma distribuição volumétrica de cargas. Para o caso de uma

distribuição linear ou superficial de cargas, tem-se, respectivamente,

( )( )

0

' '

4 '

L r dLV r

r r

ρ

πε=

−∫

( )( )

0

' '

4 '

S

S

r dSV r

r r

ρ

πε=

−∫

Com estas três últimas equações pode-se calcular o potencial de qualquer distribuição de

cargas. Para ilustrar o uso de uma destas integrais vamos determinar V no eixo z para uma linha de

cargas uniforme Lρ na forma de um anel com aρ = localizado no plano 0z = , como mostra a

figura a seguir.



Eletromagnetismo


60

Temos, para tal exemplo:

' 'dL d a dρ φ φ= = ; ˆzr z a=

; ˆ'r a aρ=

Então,

2 2'r r a z− = +

e

2

2 2 2 20

0 0

'

4 2

L La d aV

a z a z

π ρ φ ρ

πε ε= =

+ +∫

Para um zero de referência no infinito, podemos concluir que:

1. O potencial devido a uma única carga pontual é o trabalho realizado no

deslocamento de uma unidade de carga positiva do infinito ao ponto no qual

desejamos conhecer o potencial, sendo o trabalho independente do caminho

escolhido entre estes dois pontos.

2. O campo potencial na presença de um certo número de cargas pontuais é a soma

dos campos potenciais individuais originados de cada carga.

3. O potencial devido a um certo número de cargas pontuais ou a quaisquer

distribuições contínuas de cargas pode ser encontrado ao deslocarmos uma unidade

de carga do infinito ao ponto em questão ao longo de qualquer caminho escolhido.

Reconhecendo-se, portanto, que nenhum trabalho é realizado no deslocamento de uma

unidade de carga ao longo de qualquer caminho fechado, tem-se

0E dL⋅ =∫



Eletromagnetismo


61

Lembrando-se que a diferença de potencial é dada por: A

ABB

V E dL= − ⋅∫

.

A integral para um caminho fechado é representada por um pequeno círculo sobre o símbolo

de integral. Este símbolo é o mesmo usado para designar a superfície fechada da lei de Gauss e, aqui,

é chamada integral de linha fechada.

A equação em questão somente é verdadeira para campos estáticos, ou seja, onde E

não

varia com o tempo.

Qualquer campo que satisfaça uma equação da forma apresentada (isto é, onde a integral de

linha fechada do campo seja zero), é dito um campo conservativo. O nome surge do fato de que

nenhum trabalho é realizado (ou que a energia é conservada) em torno do caminho fechado. Um

exemplo de campo conservativo é o campo gravitacional, pois qualquer energia gasta na

movimentação (elevação) de um objeto contra o campo é exatamente recuperada quando o objeto é

retornado (abaixado) à sua posição inicial.

Exemplo 07:

Tomando-se o potencial zero no infinito como referência, determine o potencial em ( )0, 2, 2

gerado por estas configurações de carga no espaço livre:

a) linha de carga de 12 /nC m em 2,5mρ = , 0z = ;

b) carga pontual de 18nC em ( )1,2, 1− ;

c) linha de carga de 12nC em 2,5y m= , 0z = .

Exemplo 08:

Considere o campo ( ) ˆsenE aφπρ=

ao redor do caminho circular de raio 1r ρ= . Verifique se o

campo em questão é conservativo ou não.

4.6 Gradiente do Campo Potencial Elétrico

Temos agora dois métodos de determinação do potencial, um diretamente a partir da

intensidade de campo elétrico por meio de uma integral de linha e outro a partir da distribuição de

cargas em si através de uma integral de volume. Entretanto, nenhum dos métodos é muito útil na

determinação dos campos potenciais para a maioria dos problemas práticos, pois, nem a intensidade

do campo elétrico nem a distribuição de cargas são freqüentemente conhecidas.

Já estas grandezas podem ser facilmente obtidas a partir do campo potencial, e nosso

objetivo imediato será obter um método simples de determinação da intensidade de campo elétrico

a partir do potencial.

Já sabemos que



Eletromagnetismo


62

V E dL= − ⋅∫

Esta equação quando aplicada a um pequeníssimo elemento de comprimento L∆

ao longo

do qual E

é essencialmente constante, leva a uma diferença de potencial incremental V∆ ,

V E L∆ = − ⋅ ∆

Considere uma região qualquer do espaço, como mostrado na figura abaixo, na qual E

e V

variam à medida que nos movemos de um ponto a outro.

Se designarmos o ângulo entre L∆

e E

como θ , conforme figura, então

cosV E L θ∆ = − ∆

Mudando os termos de incremental para infinitesimal, temos

cosdV E dL θ= −

Destacando-se a derivada /dV dL

cosdV

EdL

θ= −

Diante destas equações pergunta-se: em que direção L∆

deve ser colocado para obter o

máximo valor de V∆ ? Lembre que E

é um valor definido no ponto e é independente da direção de

L∆

. A magnitude de L∆ é também constante. Então, obviamente, o máximo incremento positivo

do potencial máxV∆ ocorrerá quando cosθ for igual a 1− , ou seja, quando L∆

apontar na direção

oposta a E

. Para esta condição,

máx

dVE

dL=



Eletromagnetismo


63

Este pequeno exercício nos mostra duas características da relação entre E

e V em qualquer

ponto:

1. A magnitude da intensidade de campo elétrico é dada pelo máximo valor da taxa de

variação do potencial com a distância.

2. O máximo valor é obtido quando a direção do comprimento incremental é oposta a

E

ou, em outras palavras, a direção de E

é oposta à direção na qual o potencial

está aumentando mais rapidamente.

A figura abaixo mostra as superfícies equipotenciais de um determinado campo potencial.

Como já é de conhecimento de todos, o vetor E

, em qualquer ponto do espaço em que há

superfícies equipotenciais, é perpendicular à mesma (na direção do potencial decrescente). Todavia,

se L∆

estiver dirigido ao longo de uma equipotencial, V∆ será igual a zero pela nossa definição de

superfície equipotencial e, conseqüentemente,

0V E L∆ = − ⋅ ∆ =

e como nem E

nem L∆

são iguais a zero, E

deve ser perpendicular a L∆

, ou seja, perpendicular às

equipotenciais, o que reforça o que já foi dito a pouco.

Considerando-se ˆNa um vetor unitário normal à superfície equipotencial e apontando na

direção dos maiores potenciais, podemos dizer que a intensidade de campo elétrico em termos do

potencia é

ˆN

máx

dVE a

dL= −

Esta expressão mostra que a magnitude de E

é dada pela taxa de máxima variação de V e

que sua direção é normal à superfície equipotencial (na direção de potencial decrescente – devido ao

sinal negativo).



Eletromagnetismo


64

Como /máx

dV dL ocorre quando L∆

está na direção de ˆNa (normal à superfície), podemos

nos lembrar deste fato escrevendo

máx

dV dV

dL dN=

e ˆN

dVE a

dN= −

Esta equação é descritiva de um procedimento geral que aparece em outros campos da

engenharia e da física. A operação em V pela qual se obtém E

é conhecida como gradiente. O

gradiente de um campo escalar T é definido como

ˆGradiente de grad N

dTT T a

dN= =

onde ˆNa é um vetor unitário normal à superfície equipotencial e que a normal é escolhida de modo

que aponte para valores crescentes de T . Usando este novo termo,

grad E V= −

Como V é uma função unívoca de x , y , z , ou seja, o potencial é uma função singular de

um ponto ( ), ,x y z , podemos então usar a derivada total

V V VdV dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

ou seja, pode-se dizer que a variação total de potencial é a somatória das variações parciais de

potencial em cada eixo multiplicadas pelas respectivas variações lineares nos mesmos.

E temos também que

1ˆ ˆgrad N N

dV V V VE V a dx dy dz a

dN dN x y z

∂ ∂ ∂= − = − = − + +

∂ ∂ ∂

1ˆ ˆ ˆ

x x x x

V V V VE a dx dy dz a a

dx x y z x

∂ ∂ ∂ ∂= − + + = −

∂ ∂ ∂ ∂

1ˆ ˆ ˆ

y y y y


dy x y z y

∂ ∂ ∂ ∂= − + + = −

∂ ∂ ∂ ∂



Eletromagnetismo


65

1ˆ ˆ ˆ

z z z z


dz x y z z

∂ ∂ ∂ ∂= − + + = −

∂ ∂ ∂ ∂

Portanto,

x

VE

x

∂= −

∂ y

VE

y

∂= −

∂ z

VE

z

∂= −

∂

Estes resultados podem ser combinados vetorialmente para fornecer

ˆ ˆ ˆ grad x y z

V V VE a a a V

x y z

∂ ∂ ∂= − + + = −

∂ ∂ ∂

Então a expressão para o gradiente será

ˆ ˆ ˆgrad x y z

V V VV a a a

x y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

O operador vetorial ∇

(nabla) foi definido anteriormente como

ˆ ˆ ˆx y za a a

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Portanto,

ˆ ˆ ˆgrad x y z

V V VV V a a a

x y z

∂ ∂ ∂= ∇ = + +

∂ ∂ ∂

Como está evidenciado, o gradiente de um escalar (tal como o potencial) resulta em um

vetor. Retomando-se a expressão anterior, podemos escrever que

E V= −∇

O gradiente pode ser expresso em termos das derivadas parciais em outros sistemas de

coordenadas através da aplicação de sua definição, ou seja,

ˆ ˆ ˆx y z

V V VV a a a

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

coordenadas cartesianas

1ˆ ˆ ˆ

z

V V VV a a a

zρ φ

ρ ρ φ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

coordenadas cilíndricas



Eletromagnetismo


66

1 1ˆ ˆ ˆ

r

V V VV a a a

r r r senθ φ

θ θ φ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

coordenadas esféricas

Exemplo 09:

Dado o campo potencial 22 5V x y z= − e o ponto ( )4,3,6P − , determine:

a) V em P ;

b) E

em P ;

c) D

em P ;

d) vρ em P .

Exemplo 10:

Dado o campo potencial ( )2

100cos

1V V

zρ φ=

+ e o ponto ( )3,60º , 2P , determine:

a) V em P ;

b) E

em P ;

c) vρ no espaço livre.

4.7 Dipolo Elétrico

Um dipolo elétrico, ou simplesmente dipolo, é o nome dado a duas cargas pontuais de

mesma magnitude e sinais opostos, separadas por uma distância muito pequena quando comparada

com a distância ao ponto P no qual desejamos conhecer os campos potencial e elétrico, conforme

figura a seguir representada em coordenadas esféricas.

Primeiramente calcularemos o potencial V , por se tratar de uma grandeza mais simples (não

vetorial, de valor absoluto) e, posteriormente, determina-se a intensidade de campo elétrico E

por

meio da operação do gradiente.



Eletromagnetismo


67

Considerando, conforme figura anterior, a distância de Q e Q− a P como sendo 1R e 2R ,

respectivamente, de forma que o potencial total em P possa ser escrito como

2 1

0 1 2 0 1 2

1 1

4 4

R RQ QV

R R R Rπε πε

−= − =

Para um ponto distante 1 2R R≅ , o produto 1 2R R no denominador pode ser substituído por

2r , e considerando 1R e 2R paralelos, conforme figura abaixo, podemos escrever

1 2 cosR R d θ− =

O resultado final é, então,

2

0

cos

4

QdV

r

θ

πε=

Note que o plano 0z = está no potencial zero, pois 90ºθ = .

Usando a relação do gradiente em coordenadas esférica,

1 1ˆ ˆ ˆ

r

V V VE V a a a

r r r senθ φ

θ θ φ

∂ ∂ ∂= −∇ = − + +

∂ ∂ ∂

obtemos

3 3

0 0

2 cos senˆ ˆ

4 4r

Qd QdE a a

r rθ

θ θ

πε πε

= − − −

ou



Eletromagnetismo


68

( )3

0

ˆ ˆ2cos sen4

r

QdE a a

rθθ θ

πε= +

Estes são os campos distantes desejados do dipolo. O campo potencial do dipolo pode ser

simplificado fazendo-se uso do momento do dipolo. Primeiramente identifica-se o vetor

comprimento dirigido de Q− a Q+ como d

e, então, define-se o momento do dipolo como Qd

, o

qual será representado pelo símbolo p

. Assim,

p Qd=

As unidades de p

são .C m . Como ˆ cosr

d a d θ⋅ =

, temos então

2

0

ˆ

4

rp a

Vrπε

⋅=

Este resultado pode ser generalizado, para um dipolo que não tenha seu ponto central na

origem, como

2

0

1 '

'4 '

r rV p

r rr rπε

−= ⋅

−−

Exemplo 11: Um dipolo elétrico localizado na origem no espaço livre possui um momento de dipolo

( )ˆ ˆ ˆ3 2x y zp a a a nCm= − + ⋅

. Determine:

a) V em ( )2,3,4AP ;

b) V em ( )2,5;30º ;40ºBP .

Exemplo 12:

Um dipolo de momento ( )ˆ6 zp a nCm= ⋅

está localizado na origem no espaço livre. Determine:

a) V em ( )4, 20º ,0ºP ;

b) E

em P .

4.8 Densidade de Energia no Campo Eletrostático

Para determinarmos a energia potencial presente em um sistema de cargas, precisamos

determinar o trabalho realizado por um agente externo para posicionar as cargas neste sistema.



Eletromagnetismo


69

Podemos começar visualizando um universo vazio. Trazer a carga 1Q do infinito para

qualquer posição não requer trabalho, já que não há campo presente. O posicionamento de 2Q em

um ponto do campo de 1Q requer uma quantidade de trabalho dada pelo produto da carga 2Q pelo

potencial naquele ponto devido a 1Q . Representamos este potencial por 2,1

V , onde o primeiro índice

indica a localização e o segundo índice, a fonte. Então,

2 2 2,1Trabalho para posicionar Q Q V=

Do mesmo modo, podemos expressar o trabalho necessário para posicionar cada carga

adicional no campo de todas as cargas já presente:

3 3 3,1 3 3,2Trabalho para posicionar Q Q V Q V= +

4 4 4,1 4 4,2 4 4,3Trabalho para posicionar Q Q V Q V Q V= + +

e assim por diante. O trabalho total EW é obtido somando-se cada contribuição:

2 2,1 3 3,1 3 3,2 4 4,1 4 4,2 4 4,3EW Q V Q V Q V Q V Q V Q V= + + + + + +…

Observando-se a forma de um termo representativo da equação acima, podemos escrever

1 22 2,1 2 1 1 1,2

0 21 0 124 4

Q QQ V Q Q Q V

R Rπε πε= = =

Se cada termo da expressão da energia total é substituído por seu equivalente, temos

1 1,2 1 1,3 2 2,3 1 1,4 2 2,4 3 3,4EW Q V Q V Q V Q V Q V Q V= + + + + + +…

Multiplicando a expressão anterior por 2 e realizando algumas substituições por

equivalentes, pode-se chegar à seguinte simplificação

( )

( )

( )

( )

1 1,2 1,3 1,4

2 2,1 2,3 2,4

3 3,1 3,2 3,4

4 4,1 4,2 4,3

2 EW Q V V V

Q V V V

Q V V V

Q V V V

= + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + + +

…

…

…

… …

Cada soma dos potenciais em parênteses é o potencial combinado devido a todas as cargas

exceto a carga no ponto onde o potencial combinado está sendo determinado. Em outras palavras,

1,2 1,3 1,4 1V V V V+ + + =…



Eletromagnetismo


70

O potencial na localização de 1Q devido à presença de 2Q , 3Q , 4Q , …. Temos, portanto,

( )1 1 2 2 3 3 4 4

1 1

2 2E n n

n

W QV Q V Q V Q V Q V= + + + + = ∑…

Para obtermos uma expressão para a energia armazenada em uma região de distribuição de

carga contínua, cada carga é substituída por vdvρ , e o somatório se torna uma integral,

1

2E v

volW V dvρ= ∫

Usando a primeira equação de Maxwell e aplicando algumas identidades vetoriais,

( ) ( )1 1

2 2E

vol volW D V dv D V dv= ∇⋅ = − ⋅ ∇∫ ∫

Substituindo-se E V= −∇

na integral de volume,

2

0

1 1

2 2E

vol volW D E dv E dvε= ⋅ =∫ ∫

Se tomarmos a equação anterior na forma diferencial, teremos

1

2EdW D E dv= ⋅

ou ainda,

1

2

EdWD E

dv= ⋅

com isto obtemos a densidade de energia, ou joules por metro cúbico, de um campo eletrostático.

Exemplo 13: Determine a energia armazenada no espaço livre para a região 2 3mm r mm< < , 0 90ºθ< < ,

0 90ºφ< < , dado o campo potencial:

a) 200

V Vr

= ;

b) 2

300cosV V

r

θ= .



Eletromagnetismo


71

5 – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA

5.1 Corrente e Densidade de Corrente

Cargas elétricas em movimento constituem a corrente elétrica. A unidade de corrente é o

ampère (A) e tem o símbolo I e, portanto,

dQI

dt=

A corrente é, então, definida como o movimento de cargas positiva, embora a condução em

metais seja constituída pelo movimento de elétrons, trata-se de uma grandeza escalar.

Outro conceito amplamente utilizado é a densidade de corrente, que é dada pela razão da

corrente pela área da seção transversal que a mesma atravessa. A densidade de corrente é uma

grandeza vetorial, representada por J

e tem por unidade no Sistema Internacional 2/A m . O valor

absoluto da mesma pode ser escrito em um ponto infinitesimal como

dIJ

dS=

A corrente total é obtida pela integração

SI J dS= ⋅∫

O incremento de corrente I∆ que atravessa uma superfície incremental S∆ , normal à

densidade de corrente, é

NI J S∆ = ∆

Considere agora um incremento de carga Q∆ , conforme figura abaixo, movendo-se

somente no eixo x . Este incremento de carga pode ser escrito como vQ vρ∆ = ∆ . Caso este

incremento mova uma distância x∆ num intervalo de tempo t∆ , podemos ainda escrever

v vv S xQI

t t t

ρ ρ∆ ∆ ∆∆∆ = = =

∆ ∆ ∆



Eletromagnetismo


72

Se tomarmos o limite da distância em que ocorre o movimento em relação ao tempo, temos

v xI S vρ∆ = ∆

onde xv representa a componente x da velocidade v

. Em termos da densidade de corrente, temos

então,

x v xJ vρ=

e, de forma geral,

vJ vρ=

Este último resultado mostra muito claramente que carga em movimento constitui a

corrente. Denominamos este tipo de corrente de corrente de convecção, e J

é a densidade de

corrente de convecção. Note que a densidade de corrente de convecção está linearmente

relacionada à densidade de carga bem como à velocidade. A densidade de fluxo de carros de uma

secção transfersal de um túnel (carros por metro quadrado por segundo) pode ser aumentada por

meio da elevação da densidade de carros por metro cúbico presentes no túnel (provocado, por

exemplo, através do aumento do raio do túnel) ou por meio do aumento da velocidade dos carros.

Exemplo 01:

Dado o vetor densidade de corrente ( )2 2 2ˆ ˆ10 4 cos /J za a A mρ φρ ρ φ= −

, pede-se:

a) determine a densidade de corrente em ( )3,30º ,2P ;

b) determine a corrente total que flui para fora da faixa circular 3ρ = , 0 2φ π< < ,

2 2,8z< < .

5.2 Continuidade de Corrente

O princípio de conservação de carga afirma simplesmente que cargas não podem ser criadas

nem destruídas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser

simultaneamente criadas (obtidas por separação) ou destruídas (perdidas por recombinação).



Eletromagnetismo


73

A equação da continuidade segue este princípio quando consideramos qualquer região

limitada por uma superfície fechada. A corrente através da superfície fechada é

SI J dS= ⋅∫

e este fluxo para fora de cargas positivas deve ser equilibrado pela diminuição de cargas positivas (ou

aumento de cargas negativas) dentro da superfície fechada. Se a carga dentro da superfície fechada é

representada por iQ , então a taxa de decaimento é /idQ dt− e o princípio da conservação de cargas

requer que

i

S

dQI J dS

dt= ⋅ = −∫

A equação anterior é a forma integral da equação da continuidade, sendo a forma

diferencial, ou pontual, obtida usando-se o teorema da divergência para transformar a integral de

superfície em uma integral de volume:

( )S vol

J dS J dv⋅ = ∇ ⋅∫ ∫

Lembrando que J

é representativo de uma densidade que sai de uma superfície fechada

assim como D

também o é, por isso a aplicação do teorema da divergência é possível.

Em seguida, podemos usar a carga iQ envolvida pela integral de volume da densidade de

carga, tornando-se a equação

( ) iv

vol vol

dQ dJ dv I dv

dt dtρ∇⋅ = = − = −∫ ∫

Se mantivermos a superfície constante ao longo do tempo, a derivada pode aparecer dentro

da integral se tornando uma derivada parcial,

( ) v

vol volJ dv dv

t

ρ∂∇ ⋅ = −

∂∫ ∫

Como a expressão é verdadeira para um volume qualquer, porém pequeno, ela é verdadeira

para um volume incremental

( ) vJ v vt

ρ∂∇ ⋅ ∆ = − ∆

∂

a partir da qual temos a forma pontual da equação da continuidade,



Eletromagnetismo


74

vJt

ρ∂∇⋅ = −

∂

Esta equação indica que a corrente, ou a carga por segundo, que diverge de um pequeno

volume é igual à taxa de diminuição de carga por unidade de volume em cada ponto.

Exemplo 02:

Uma densidade de corrente é dada em coordenadas cilíndricas como ( )6 1,5 2ˆ10 /zJ z a A m= −

na

região 0 20 mρ µ≤ ≤ ; para 20 mρ µ> , 0J =

. Pede-se:

a) determine a corrente total que atravessa a superfície 0,1z m= na direção ˆza ;

b) se a velocidade da carga é 62 10 /m s⋅ em 0,1z m= , determine vρ neste ponto;

c) se a densidade volumétrica de carga em 0,15z m= é 32000 /C m− , determine a velocidade

da carga neste ponto.

5.3 Condutores Metálicos

Em um material sólido cristalino, como um metal ou um diamante, os elétrons com os

maiores níveis de energia, os elétrons de valência, estão situados na banda de valência. Se a banda

de valência se une suavemente com a banda de condução, então uma energia cinética adicional

pode ser dada aos elétrons de valência por um campo externo, resultando em um fluxo de elétrons.

O sólido é chamado de condutor metálico. O mesmo está ilustrado na figura (a) a seguir.

Se, contudo, existir um uma banda proibida (gap) entre a banda de valência e a banda de

condução, então o elétron não pode receber energia adicional em pequenas quantidades e o

material é um isolante. Esta estrutura está indicada em (b). Note que, se uma quantidade de energia

relativamente grande puder ser transferida para o elétron, ele pode ser suficientemente excitado

para saltar a banda proibida até a próxima banda onde a condução pode facilmente ocorrer. Aqui o

isolante é rompido.

Ocorre uma condição intermediária quando somente uma pequena região proibida separa as

duas bandas, como ilustrada em (c). Pequenas quantidades de energia na forma de calor, luz ou um

campo elétrico podem aumentar a energia dos elétrons do topo da banda preenchida e fornecer a

base para condução. Estes materiais são isolantes que dispõem de muitas propriedades dos

condutores e são chamados semicondutores.



Eletromagnetismo


75

Os elétrons de condução ou elétrons livres em um condutor se movem sob influência de um

campo elétrico. Com um campo E

, um elétron de carga Q e= − irá experimentar uma força

F eE= −

No espaço livre, o elétron aceleraria e continuamente aumentaria sua velocidade (e energia);

no material cristalino, o progresso do elétron é impedido pelas colisões contínuas com a rede de

estruturas cristalinas termicamente excitadas e uma velocidade média constante é logo atingida.

Esta velocidade é denominada velocidade de deriva e é representada por dv

e é linearmente

relacionada com a intensidade de campo elétrico e pela mobilidade do elétron em um dado material.

Designamos mobilidade pelo símbolo µ , tal que

d ev Eµ= −

onde eµ é a mobilidade de um elétron, a mesma é positiva por definição. Note que a velocidade do

elétron está em uma direção oposta à direção de E

.

Substituindo-se a velocidade de deriva na equação de densidade de corrente anteriormente

definida (v

J vρ=

), tem-se

e eJ Eρ µ= −

onde eρ é a densidade de carga de elétrons livre, um valor negativo. O valor negativo de eρ e o sinal

de menos levam a uma densidade de corrente J

que está na mesma direção da intensidade de

campo elétrico E

.

Contudo, a relação entre J

e E

para um condutor metálico é também especificada pela

condutividade σ (sigma),

J Eσ=



Eletromagnetismo


76

onde σ é medido em siemens por metro ( )/S m . Siemens ( )S é a unidade básica de condutância

no Sistema Internacional, que é o inverso da unidade básica resistência ( )Ω . Chamamos a equação

em questão de forma pontual da primeira lei de Ohm; em breve veremos uma forma mais comum da

lei de Ohm.

Da observação das equações anteriores, a condutividade pode ser expressa em termos da

densidade de carga e da mobilidade do elétron,

e eσ ρ µ= −

Condutores metálicos em geral apresentam valores de condutividade constantes, isto nos

leva a concluir que os mesmos obedecem à lei de Ohm. Como a lei de Ohm é uma relação linear,

conclui-se também que nos condutores metálicos a condutividade é constante sobre largas faixas de

densidade de corrente e intensidade de campo elétrico. A lei de Ohm e os condutores metálicos são

também descritos como isotrópicos, ou tendo as mesmas propriedades em todas as direções.

Entretanto, a condutividade é uma função da temperatura. A resistividade, que é o inverso

da condutividade e dada em ohm por metro ( )/mΩ , varia quase linearmente com a temperatura na

região da temperatura ambiente. Para alguns metais, a resistividade cai abruptamente a zero na

temperatura de poucos Kelvin; esta propriedade é denominada supercondutividade. O alumínio é

um exemplo de supercondutor.

Pela definição de mobilidade, é interessante notar que uma temperatura mais elevada

implica uma maior vibração da rede cristalina, maior impedimento de progresso dos elétrons para

uma dada intensidade de campo elétrico, menor velocidade de deriva, menor mobilidade, menor

condutividade e maior resistividade.

Agora aplicaremos a lei de Ohm na forma pontual em uma região macroscópica.

Inicialmente, vamos supor que J

e E

são uniformes, conforme mostrado pela região cilíndrica da

figura a seguir.

Pode-se então escrever

SI J dS J S= ⋅ =∫



Eletromagnetismo


77

e a a

ab ba abb b

V E dL E dL E L E L= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = ⋅∫ ∫

ou

V EL=

Assim,

I VJ E

S Lσ σ= = =

ou

LV I

Sσ=

A razão da diferença de potencial entre os dois terminais do cilindro pela corrente que entra

no terminal mais positivo é reconhecida pela teoria elementar de circuitos como a resistência do

cilindro, portanto,

V RI=

esta equação é conhecida também como primeira lei de Ohm.

Daí pode-se escrever

L LR

S S

ρ

σ= =

onde ρ , neste caso, representa a resistividade. Esta equação é conhecida como segunda lei de Ohm.

Exemplo 03:

Determinar a resistência de um fio de cobre de 1,8mm de diâmetro e 2km de comprimento.

Exemplo 04: Determine a magnitude da densidade de corrente de uma amostra de prata na qual

76,17 107 /S mσ = ⋅ e 20,0056 /e

m V sµ = ⋅ se:

a) a velocidade de deriva é 1,5 /m sµ ;

b) a intensidade de campo elétrico é 1 /mV m ;

c) a amostra é um cubo de 2,5mm de lado tendo uma tensão de 0,4mV entre faces

opostas;

d) a amostra é um cubo de 2,5mm de ladoconduzindo uma corrente total de 0,5 A .



Eletromagnetismo


78

Exemplo 05:

Um condutor de cobre tem 1,2mm de diâmetro e comprimento de 360m . Suponha que ele

conduz uma corrente dc total 50 A .

a) determine a resistência total do condutor; b) que densidade de corrente existe nele? c) qual a diferença de tensão dc entre os terminais do condutor? d) Quanta potência é dissipada pelo fio?

5.4 Propriedade dos Condutores e Condições de Fronteira

Suponhamos que repentinamente apareça uma quantidade de elétrons no interior de um

condutor. Estes começariam a se repelir, acelerando-se para distanciar um do outro. Isto ocorreria

até que os elétrons atingissem a superfície externa do condutor, região em que a distância média

entre os mesmos seria máxima. Conseqüentemente nenhuma carga permaneceria dentro deste

condutor. Assim, o resultado final de carga no interior do condutor é uma densidade de carga zero e

uma densidade superficial de carga permanece na superfície externa. Esta é uma das características

de um bom condutor.

Outra característica estabelecida para condições estáticas nas quais nenhuma corrente deve

fluir, segue a partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico dentro do condutor é igual a zero,

pois se um campo elétrico estivesse presente, os elétrons de condução se deslocariam e produziriam

uma corrente.

Resumindo: para a eletrostática nenhuma carga e nenhum campo elétrico podem existir em

qualquer ponto dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode aparecer na superfície

como uma densidade superficial de carga.

Investigaremos agora os campos elétricos externos ao condutor. Se a intensidade do campo

elétrico externo for decomposta em duas componentes, conforme ilustrado na figura a seguir, uma

tangencial e outra normal à superfície do condutor, a componente tangencia é zero, pois não há

deslocamentos das cargas na superfície do condutor, uma vez que o mesmo está sujeito a uma

condição estática.

Este campo tangencial pode ser determinado, matematicamente, aplicando-se a seguinte

equação para uma linha de carga fechada situada nas imediações da superfície do condutor:

0E dL⋅ =∫

sobre o pequeno caminho fechado abcda , conforme figura a seguir.



Eletromagnetismo


79

A integral de linha fechada deve ser dividida em quatro partes

0b c d a

a b c d+ + + =∫ ∫ ∫ ∫

Lembrando que 0E =

dentro do condutor, fazendo os comprimentos de a a b ou de c a

d serem w∆ e os de b a c ou d a a serem h∆ (conforme figura), obtemos

N, em b N, em a

1 10

2 2tE w E h E h∆ − ∆ + ∆ =

0tE =

Já a condição para o campo normal é encontrada mais prontamente considerando-se ND

em vez de NE e escolhendo-se um pequeno cilindro como superfície gaussiana, de acordo com a

figura anterior. Usaremos para tal análise, a lei de Gauss

SD dS Q⋅ =∫

Consideraremos a altura do cilindro como sendo h∆ e as áreas das faces do topo e da base

como S∆ . Faremos h∆ tender a zero. Então, integraremos sobre as três superfícies distintas

topo base lateralQ+ + =∫ ∫ ∫

e encontramos que a integral sobre a base será nula porque não existe campo nesta região, a

integral sobre a lateral também será nula pelo fato do campo tangente ser zero, ou ainda pelo fato,

de h∆ tender a zero. Assim, resta apenas a integral sobre o topo, ou seja,

N SD S Q Sρ∆ = = ∆

N SD ρ=

Estas são as duas condições de fronteira desejadas para a fronteira condutor-espaço livre,



Eletromagnetismo


80

0t tD E= =

0N N SD Eε ρ= =

Uma conseqüência importante e imediata de a intensidade de campo elétrico tangencial ser

zero é o fato de que a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.

Para resumir os princípios que aplicamos aos condutores em campos eletrostáticos,

podemos afirmar que

1. A intensidade de campo elétrico estático dentro de um condutor é zero.

2. A intensidade de campo elétrico estático na superfície de um condutor é, em qualquer

ponto, normal à superfície.

3. A superfície do condutor é uma superfície equipotencial.

Exemplo 06: Dado o potencial

( ) ( )2 2100V x y V= −

e um ponto ( )2, 1,3P − , situado na fronteira condutor-

espaço livre, determinar V , E e Sρ em P e também a

equação da superfície do condutor.

Exemplo 07:

Calcule, para o exercício anterior, a equação da linha de força que passa por P .

Exemplo 08:

Dado o campo potencial no espaço livre, ( ) ( ) ( )100senh 5 sen 5V y y V= e um ponto

( )0,1;0, 2;0,3P , determine em P :

a) V ;

b) E ;

c) Sρ , se é sabido que P pertence à superfície do condutor.



Eletromagnetismo


81

5.5 Método das Imagens

Uma característica importante do campo do dipolo que foi desenvolvido no capítulo anterior

é o plano infinito no potencial zero que existe a meio caminho entre as duas cargas. Tal plano pode

ser representado por um plano condutor extremamente fino de extensão infinita. O condutor é uma

superfície equipotencial no potencial 0V = , e a intensidade de campo elétrico é, portanto, normal à

superfície.

Assim, se substituirmos a configuração do dipolo mostrada na figura (a) abaixo por uma

carga simples e um plano condutor mostrado na figura (b), os campos na metade superior de cada

figura são os mesmos. Abaixo do plano condutor, os campos são iguais a zero, pois não

estabelecemos qualquer carga nesta região.

Com esta equivalência o contrário também é verdadeiro, ou seja, podemos considerar uma

carga simples acima de um plano perfeitamente condutor e então observamos que pode-se manter

os mesmos campos abaixo do plano removendo-o e colocando uma carga negativa em uma

localidade simétrica abaixo deste. Esta carga é chamada de imagem da carga original e tem valor

negativo. Isto é válido para qualquer configuração de cargas acima de um plano condutor aterrado

( 0V = ), conforme figura a seguir.

Como exemplo do uso das imagens, vamos determinar a densidade superficial de cargas em

( )2,5,0P no plano condutor 0z = se há uma linha de cargas de 30 /nC m localizada em 0x = ,

3z = , como mostrado na figura (a) abaixo. Removamos o plano e acrescentamos a linha de cargas



Eletromagnetismo


82

da imagem de 30 /nC m− em 0x = , 3z = − , como ilustrado na figura (b). O campo em P pode

agora ser obtido pela superposição dos campos conhecidos de uma linha de cargas.

O vetor radial da linha de cargas positiva a P é ˆ ˆ2 3x z

R a a+ = −

, enquanto ˆ ˆ2 3x z

R a a− = +

.

Assim, os campos individuais são

9

0 0

ˆ ˆ2 330 10ˆ

2 2 13 13

x zLR

a aE a

R

ρ

πε πε

−

+ +

+

−×= =

e

9

0 0

ˆ ˆ2 330 10ˆ

2 2 13 13

x zLR

a aE a

R

ρ

πε πε

−

− −

−

+− ×= =

Somando-se estes resultados, temos

9

0

ˆ180 10ˆ249 /

2 13

zz

aE a V m

πε

−− ×= = −

Exemplo 09: Um plano perfeitamente condutor está localizado no espaço livre em 4x = , e uma linha de cargas

uniforme de 40 /nC m está situada ao longo da linha 6x = , 3y = . Seja 0V = no plano condutor.

Em ( )7, 1,5P − , determine o potencial elétrico e o campo elétrico.

5.6 Semicondutores

São dois os tipos de portadores de cargas que podemos encontrar em um material

semicondutor, os elétrons e as lacunas. Os elétrons são aqueles do topo da banda de valência que

receberam energia suficiente para atravessar a relativamente pequena banda proibida até a banda

de condução. Os vazios deixados por estes elétrons representam estados de energia não preenchidos

na banda de valência que também se movem de átomo para átomo no cristal. Este vazio é chamado

lacuna, e muitas propriedades dos semicondutores podem ser descritas tratando-se a lacuna como

se ela tivesse uma carga positiva e , uma mobilidade hµ e uma massa efetiva comparável à dos

elétrons. Ambos os portadores se movem em um campo elétrico e em direções opostas; assim, cada

um contribui com uma componente da corrente total que está na mesma direção que a fornecida



Eletromagnetismo


83

pelo outro. A condutividade é, portanto, uma função tanto da concentração quanto da mobilidade

de elétrons e lacunas,

e e h hσ ρ µ ρ µ= − +

Para o silício puro, ou intrínseco, as mobilidades do elétron e da lacuna são 0,12 e 0,025,

respectivamente, enquanto que para o germânio, as mobilidade são, respectivamente, 0,36 e 0,17.

As concentrações de elétrons e de lacunas dependem fortemente da temperatura. À medida

que a temperatura aumenta, as mobilidades nos semicondutores diminuem, mas as densidades de

carga aumentam muito rapidamente. Como resultado, a condutividade aumenta quando há elevação

de temperatura e, diminui quando a temperatura é abaixada. Note que a condutividade do

semicondutor puro aumenta com o aumento da temperatura enquanto que a dos condutores

metálicos diminui com o aumento da temperatura; esta é uma das características diferentes entre

condutores metálicos e semicondutores puros.

O número de portadores de cargas e a condutividade podem aumentar consideravelmente

pela adição de pequenas quantidades de impurezas. Materiais doadores fornecem elétrons

adicionais e formam semicondutores tipo n, enquanto materiais receptores fornecem lacunas extras

e formam semicondutores tipo p. O processo é conhecido como dopagem e uma concentração de

doadores silício menor que uma parte em 710 acarreta um aumento na condutividade por um fator

de 510 .

Semicondutores puros também satisfazem a forma pontual da lei de Ohm; isto é, a

condutividade é razoavelmente constante com a densidade de corrente e com a direção da

densidade de corrente.

Exemplo 10: Dado os valores das mobilidades do elétron e da lacuna no silício em temperatura ambiental e

assumindo que as densidades de carga do elétron e da lacuna são 30,0029 /C m− e 30,0029 /C m ,

respectivamente, determine: a) a componente da condutividade devida à lacunas; b) a componente da condutividade devida aos elétrons; c) a condutividade.

5.7 Natureza dos Materiais Dielétricos

Um dielétrico em um campo elétrico pode ser visto como um arranjo de dipolos elétricos

microscópicos no espaço livre que são compostos por cargas positivas e negativas cujos centros não

são coincidentes. Estas não são cargas livres e não contribuem para o processo de condução. Ao

contrário, elas são ligadas por forças atômicas e moleculares e podem apenas mudar ligeiramente de



Eletromagnetismo


84

posição em resposta aos campos externos. Elas são chamadas cargas ligadas, em contraste com as

cargas livres que determinam condutividade.

A característica comum de todos os dielétricos, sejam eles sólidos, líquidos ou gasosos, em

forma cristalina ou não, é sua capacidade de armazenar energia elétrica. Este armazenamento faz-se

por um deslocamento das posições relativas das cargas ligadas positivas e negativas internas contra

as forças normais atômicas e moleculares.

O mecanismo atual de deslocamento das cargas difere em diversos materiais dielétricos.

Algumas moléculas são denominadas polares por terem um deslocamento permanente entre os

centros de gravidade das cargas positivas e negativas. Por outro lado, as moléculas que não sofrem

este deslocamento permanente em relação aos seus centros de gravidades são chamadas de

moléculas apolares. Ambos os tipos formam dipolos, quando aplicado um campo, que podem ser

descrito por seu momento de dipolo p

, como desenvolvido anteriormente,

p Qd=

onde Q é a positiva das duas cargas ligadas compondo o dipolo e d

é o vetor da carga negativa para

a carga positiva.

Se há n dipolos por unidade de volume e lidamos com um volume v∆ , então há n v∆

dipolos, e o momento de dipolo total é obtido pela soma vetorial,

1

n v

total i

i

p p∆

=

=∑

Se os dipolos estão alinhados na mesma direção genérica, totalp

pode ser um valor

significativo. Contudo, uma orientação aleatória pode acarretar um totalp

essencialmente nulo.

Definimos agora a polarização P

como o momento de dipolo por unidade de volume,

01

1lim

n v

iv

i

P pv

∆

∆ →=

=∆∑

com unidade de Coulomb por metro quadrado.

Vamos admitir que temos um dielétrico contendo moléculas apolares. Nenhuma molécula

possui momento de dipolo e 0P =

por todo o material. Em algum lugar no interior do dielétrico,

escolhemos um elemento incremental de superfície S∆ , como mostrado na figura a seguir, e

aplicamos um campo elétrico E

. O campo externo produz momento p Q d=

em cada molécula, tal

que p

e d

fazem um ângulo θ com S∆

, como indicado na figura.



Eletromagnetismo


85

Passemos agora a inspecionar o movimento das cargas ligadas sobre S∆ . Cada uma das

cargas associadas com a criação do dipolo deve se mover de uma distância ( )1/2 cosd θ na direção

perpendicular a S∆ . Assim, quaisquer cargas positivas inicialmente situadas abaixo da superfície

S∆ e dentro da distância ( )1/2 cosd θ da superfície devem cruzar S∆ indo para cima. Ainda,

quaisquer cargas negativas inicialmente situadas acima da superfície S∆ e dentro da distância

( )1/2 cosd θ da superfície devem cruzar S∆ indo para baixo. Portanto, como há 3 moléculas /n m ,

a carga total líquida que cruza o elemento de superfície na direção para cima (levando em

consideração as cargas positivas para cima e as negativas para baixo) é igual a

( ) ( ) ( ) ( )2 /2 cos cosnQ v nQ v nQ d S nQ d Sθ θ∆ = ∆ = ∆ = ∆ , ou ainda

bQ nQ d S∆ = ⋅ ∆

onde bQ∆ é o incremento de cargas que cruza a superfície S∆ na direção para cima, o índice b nos

lembra que estamos lidando com cargas ligadas e não cargas livres. Em termos da polarização, temos

0 01

1 1lim lim

n v

iv v

i

P p n v p n p nQ dv v

∆

∆ → ∆ →=

= = ∆ = =

∆ ∆ ∑

bQ P S∆ = ⋅∆

Se interpretarmos S∆ como um elemento de uma superfície fechada dentro do material

dielétrico, então a direção de S∆

é para fora e o aumento líquido das cargas ligadas dentro da

superfície fechada é obtido através da integral

bS

Q P dS= − ⋅∫



Eletromagnetismo


86

Portanto a carga total envolvida por uma superfície fechada de um material dielétrico será

T bQ Q Q= +

onde Q é a carga total livre envolvida pela superfície S . A lei de Gauss pode ser reescrita como se

segue

0TS

Q E dSε= ⋅∫

Combinando estas três últimas equações, obtemos uma expressão para a carga livre

envolvida,

( ) ( )0 0T bS S S

Q Q Q E dS P dS E P dSε ε= − = ⋅ − − ⋅ = + ⋅∫ ∫ ∫

Podemos definir D

em termos mais gerais do que foi definido em capítulos anteriores,

0D E Pε= +

Há, então, um termo adicional em D

que aparece quando um material polarizável está

presente. Assim,

SQ D dS= ⋅∫

onde Q é a carga livre envolvida.

O teorema da divergência pode ser escrito da mesma forma que anteriormente fora

demonstrado, ou seja,

vD ρ∇ ⋅ =

Para fazer um uso real de qualquer um destes novos conceitos, é necessário conhecer a

relação entre a intensidade de campo elétrico E

e a polarização P

resultante. Esta relação irá, é

claro, ser uma função do tipo de material, portanto vamos essencialmente limitar nossa discussão

aos materiais isotrópicos para os quais E

e P

estão linearmente relacionados. Em um material

isotrópico, os vetores são sempre paralelos, independentemente da orientação do campo. Embora a

maioria dos dielétricos usados sejam isotrópicos, cristais simples podem ser anisotrópicos. A

natureza periódica dos materiais cristalinos faz com que os momentos de dipolo estejam mais

facilmente ao longo dos eixos do cristal e não necessariamente na direção do campo aplicado.

Para um material isotrópico, a relação linear entre E

e P

é



Eletromagnetismo


87

0eP Eχ ε=

onde eχ (chi) é uma grandeza adimensional chamada susceptibilidade elétrica do material.

Usando esta relação na equação da densidade de fluxo, tem-se

( )0 0 01e eD E E Eε χ ε χ ε= + = +

A expressão dentro dos parênteses é agora definida como

1R eε χ= +

Esta é uma outra grandeza adimensional, conhecida como a permissividade relativa ou

constante dielétrica do material. Assim,

0RD Eε ε=

D Eε=

onde

0Rε ε ε=

e ε é a permissividade elétrica do material.

Materiais dielétricos anisotrópicos não podem ser descritos em termos dos parâmetros

susceptibilidade e permissividade como desenvolvido acima.

Exemplo 11: Tem-se uma lâmina de Teflon na região 0 x a≤ ≤ , as demais regiões são consideradas espaço livre.

Fora do Teflon, há um campo uniforme ( )0ˆ /ext xE E a V m=

. Encontre os valores para D

, E

e P

em qualquer ponto.

Exemplo 12:

Uma lâmina de um material dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8 e contém uma

densidade de fluxo elétrico uniforme de 28 /nC m . Se o material é sem perdas, determine:

a) E

;

b) P

;

c) o número médio de dipolos por metro cúbico se o momento de dipolo médio é 2910 C m− ⋅ .



Eletromagnetismo


88

5.8 Condições de Fronteira para Materiais Dielétricos Perfeitos

Vamos considerar a interface entre dois dielétricos com permissividades 1ε e 2ε e ocupando

as regiões 1 e 2, como mostrado na figura abaixo. Examinemos, inicialmente, as componentes

tangenciais usando

0E dL⋅ =∫

em torno de um pequeno caminho fechado à esquerda da figura, obtendo

tan 1 tan 2 0E w E w∆ − ∆ =

A pequena contribuição à integral de linha pela componente normal de E

ao longo das

seções de comprimento h∆ se torna desprezível à medida que h∆ diminui e o caminho fechado se

junta à superfície. Imediatamente, então,

tan 1 tan 2E E=

Com isto, tem-se que a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer na fronteira

separados por uma distância w∆ é a mesma imediatamente abaixo ou acima da fronteira.

Como a intensidade de campo elétrico tangencial é contínua sobre a superfície, então D

tangencial é descontínua, pois

tan 1 tan 2tan 1 tan 2

1 2

D DE E

ε ε= = =

ou

tan 1 1

tan 2 2

D

D

ε

ε=



Eletromagnetismo


89

Já para a análise das componentes normais de campo, aplica-se a lei de Gauss a um pequeno

cilindro, conforme mostrado à direita na figura. Os lados são novamente muito pequenos e o fluxo

que deixa as superfícies do topo e da base é a diferença

1 2N N SD S D S Q Sρ∆ − ∆ = ∆ = ∆

pela qual

1 2N N SD D ρ− =

Como estamos analisando a fronteira de materiais dielétricos, não é desejável que se tenha

cargas livres nesta interface. Conseqüentemente, a densidade de cargas Sρ nesta interface será zero

e

1 2N ND D=

ou seja, a componente normal de D

é contínua. Daí, segue que a componente normal de E

é

descontínua, ou seja,

1 1 2 2N NE Eε ε=

Estas condições podem ser combinadas para mostrar a mudança nos vetores D

e E

na

superfície. Considere 1D

(e 1E

) fazendo um ângulo 1θ com a normal à superfície, representado

conforme figura a seguir. Como as componentes normais de D

são contínuas,

1 1 1 2 2 2cos cosN ND D D Dθ θ= = =

A razão das componentes tangenciais é dada como

tan 1 1 1 1

tan 2 2 2 2

sen

sen

D D

D D

θ ε

θ ε= =

ou

2 1 1 1 2 2sen senD Dε θ ε θ=

e a divisão desta equação pela expressão da densidade de fluxo normal, fornece

1 1

2 2

tan

tan

θ ε

θ ε=



Eletromagnetismo


90

Na figura anterior consideramos que 1 2ε ε> , portanto, 1 2θ θ> . A direção de E

em cada

lado da fronteira é idêntica à direção de D

, pois D Eε=

.

Por meio das equações anteriormente descritas, pode-se concluir que a magnitude de D

na

região 2 é

2

2 222 1 1 1

1

cos senD Dε

θ θε

= +

e a magnitude de E

na região 2 é

2

2 212 1 1 1

2

sen cosE Eε

θ θε

= +

Estas condições de fronteira nos permitem encontrar rapidamente o campo de um lado da

fronteira se conhecermos o campo do outro lado.

Exemplo 13:

Determine os campos dentro do Teflon ( )2,1Rε = ,

dado o campo externo uniforme 0ˆ

ext xE E a=

no

espaço livre.



Eletromagnetismo


91

Exemplo 14:

Considere a região 0z < composta por um material dielétrico uniforme para o 3, 2Rε = , enquanto

que a região 0z > é caracterizada por 2Rε = . Seja ( )2

1ˆ ˆ ˆ30 50 70 /x y zD a a a nC m= − + +

e

determine:

a) 1ND

;

b) 1tD

;

c) 1

D

;

d) 1θ ;

e) 1

P

.

Exemplo 15: A partir do exercício anterior determine também:

a) 2ND

;

b) 2tD

;

c) 2

D

;

d) 2θ ;

e) 2

P

.

5.9 Capacitância

Consideremos dois condutores mergulhados em um dielétrico homogêneo, conforme figura

abaixo. O condutor 2M carrega uma carga total positiva Q e 1M carrega uma carga igual em

magnitude, só que negativa. Não há outras cargas presentes, e a carga total do sistema é zero.

Cada condutor é uma superfície equipotencial. Nota-se, também, a existência de um fluxo

elétrico dirigido de 2M para 1M . Naturalmente 2M está em um potencial mais positivo.



Eletromagnetismo


92

Designamos a diferença de potencial entre 2M e 1M por 0V . Podemos, agora, definir a

capacitância deste sistema de dois condutores como a razão entre a magnitude da carga total em

ambos os condutores e a magnitude da diferença de potencial entre os condutores,

0

QC

V=

Em termos gerais, determinamos Q aplicando-se a lei de Gauss numa superfície sobre o

condutor positivo e determinamos 0V pela equação da diferença de potencial entre dois pontos,

E dSC

E dL

ε+

−

⋅=

− ⋅

∫

∫

A capacitância é independente do potencial e da carga total, pois sua razão é constante. A

capacitância é uma função somente das dimensões físicas do sistema de condutores e da

permissividade do dielétrico homogêneo. A capacitância é medida, no Sistema Internacional, em

farads (F).

Vamos aplicar a definição de capacitância a um sistema simples de dois condutores no qual

os condutores são planos paralelos infinitos idênticos com separação d , conforme representado

pela figura a seguir. Escolhendo o plano condutor inferior em 0z = e o superior em z d= , uma

lâmina de carga superficial uniforme Sρ± em cada condutor leva a um campo uniforme

ˆSzE a

ρ

ε=

onde a permissividade do dielétrico homogêneo é ε .

Então,

ˆS zD E aε ρ= =

Vale observar, por outro lado, que a carga no plano inferior deve ser realmente positiva, já

que D

está dirigido para cima e o valor normal de D

,



Eletromagnetismo


93

N z SD D ρ= =

é igual à densidade superficial de carga ali.

A diferença de potencial entre os planos inferior e superior é

+ inferior 0

0superior

ˆ ˆS S Sz z

dV E dL a dza dz d

ρ ρ ρ

ε ε ε−= − ⋅ = − ⋅ = − =∫ ∫ ∫

Como a carga total em ambos os planos é infinita, a capacitância será infinita. Obtém-se uma

resposta mais prática considerando-se cada plano com área S , cujas dimensões lineares são muito

maiores que sua separação d . Isto nos permite escrever,

SQ Sρ=

0SV d

ρ

ε=

0

Q SC

V d

ε= =

Exemplo 16:

Calcule a capacitância de um capacitor de placas paralelas tendo como dielétrico a mica, 6Rε = ,

uma placa de área 210cm e uma separação de 0,01cm .

Exemplo 17: Determine a permissividade relativa do material dielétrico presente em um capacitor de placas paralelas se:

a) 20,12S m= , 80d mµ= , 0 12V V= e o capacitor contém 1 Jµ de energia;

b) a densidade de energia armazenada é 2100 /J m , 0 200V V= e 45d mµ= ;

c) 200 /E kV m= , 220 /S C mρ µ= e 80d mµ= .

5.10 Exemplos de Capacitância

Como um primeiro exemplo, escolhemos um cabo ou capacitor coaxial de raio interno a ,

raio externo b e comprimento L . Tem-se, conforme já calculado para uma linha infinita,

0

0

ln2

Lab

bV V

a

ρ

πε= = e LQ Lρ=



Eletromagnetismo


94

então,

0

QC

V= ⇒

( )2

ln /

LC

b a

πε=

Em seguida, consideremos um capacitor esférico formado por duas calotas esféricas

concêntricas condutoras de raio a e b , sendo b a> . Tem-se, conforme já calculado para esferas ou

cargas pontuais,

0

1 1

4ab

QV V

a bπε

= = −

e Q

então,

0

QC

V= ⇒

4

1 1C

a b

πε=

−

Se fizermos a esfera externa se tornar infinitamente grande, obtemos a capacitância de um

condutor esférico isolado,

4C aπε=

Para estudarmos o problema de múltiplos dielétricos mais detalhadamente, consideremos

um capacitor de placas paralelas de área S e espaço d entre as placas com a usual suposição de

que d é muito pequeno quando comparado com as dimensões lineares das placas. Veja a ilustração

a seguir.

Considerando a diferença de potencial 0V entre as placas. As intensidades de campo elétrico

nas duas regiões serão 1E e 2E , ambas uniformes e 0 1 1 2 2V E d E d= + . Na interface dielétrica, E é

normal e 1 2N N

D D= ou 1 1 2 2E Eε ε= . Eliminando 2E pela nossa relação de 0V , temos

( )0

1

1 2 1 2/

VE

d d ε ε=

+

e a densidade superficial de carga, portanto, tem a magnitude



Eletromagnetismo


95

01 1 1 1

1 2

1 2

S

VD E

d dρ ε

ε ε

= = =

+

⇒ 1 20 1

1 2

S

d dV ρ

ε ε

= +

Como 1 2

D D= , a magnitude da carga superficial é a mesma em cada placa. A capacitância é,

então,

0 0

S SQC

V V

ρ= = ⇒

1 2

1 21 2

1 1

1 1C

d d

C CS Sε ε

= =

++

Supondo, agora, que exista um terceiro plano condutor ao longo da interface,

encontraremos cargas superficiais em cada lado deste condutor, e as magnitudes destas cargas serão

iguais. A análise, então, será a mesma anteriormente descrita e, conseqüentemente, a capacitância

fica inalterada, desde que o condutor adicional tenha uma espessura desprezível.

Em um último exemplo, consideraremos que uma fronteira dielétrica seja posicionada

normal às duas placas condutoras e o dielétrico ocupa as áreas 1S e 2S , um ao lado do outra, então

uma diferença de potencial 0V produziria os campos 1 2 0/E E V d= = . Estes são campos tangentes

na interface (normal às placas) e devem ser iguais. Podemos escrever

01 1 1 1 1S

VD E

dρ ε ε= = = e 0

2 2 2 2 2S

VD E

dρ ε ε= = =

assim,

1 1 2 2

0 0

S SS SQC

V V

ρ ρ+= = ⇒

1 1 2 21 2

S SC C C

d

ε ε+= = +

como era de se espera.

Exemplo 18: Determine a capacitância de:

a) um cabo coaxial de 30cm de comprimento que possui um condutor interno de 0,3cm de

diâmetro, um dielétrico de polietileno ( )2,26Rε = e um condutor externo de 1,8cm de

diâmetro interno;

b) uma esfera condutora de raio de 2,5mm , coberta com uma camada de polietileno de

2mm de espessura, envolvida por uma esfera condutora de 4,5mm de raio;

c) duas placas retangulares condutoras, 1cm por 4cm , de espessura desprezível, entre as

quais há três camadas de dielétricos, 1cm por 4cm cada, de 0,1mm de espessura, tendo

constantes dielétricas 1,5 , 2,5 e 6 .



Eletromagnetismo


96

6 – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE

6.1 Equações de Poisson e de Laplace

A obtenção da equação de Poisson é extremamente simples. A partir da forma pontual da lei

de Gauss (ou divergência),

vD ρ∇ ⋅ =

da definição de D

,

D Eε=

e da relação do gradiente,

E V= −∇

por substituição, temos

( ) ( ) vD E Vε ε ρ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ − ∇ =

ou

vVρ

ε∇⋅∇ = −

para a região homogênea na qual ε é constante. Em coordenadas cartesianas,

yx zAA A

Ax y z

∂∂ ∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

ˆ ˆ ˆx y z

V V VV a a a

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

e, portanto,

2 2 2

2 2 2

V V VV

x x y y z z

V V V

x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅∇ = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂



Eletromagnetismo


97

Usualmente, a operação ∇ ⋅∇

é abreviada para 2∇ (e pronunciado “nabla dois”), e temos

2 2 22

2 2 2

vV V VV

x y z

ρ

ε

∂ ∂ ∂∇ = + + = −

∂ ∂ ∂ (coordenadas cartesianas)

que é a nossa equação de Poisson, representada em coordenadas cartesianas.

Se 0vρ = , indicando densidade volumétrica de carga zero, mas permitindo a existência de

cargas pontuais e de distribuições lineares e superficiais de carga, então

2 0V∇ =

que é a equação de Laplace. A operação 2∇ é chamada de laplaciano de V .

Em coordenadas cartesianas, a equação de Laplace é

2 2 22

2 2 20

V V VV

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + =

∂ ∂ ∂ (coordenadas cartesianas)

Para as demais coordenadas a expressão do laplaciano será

2 22

2 2 2

1 10

V V VV

zρ

ρ ρ ρ ρ φ

∂ ∂ ∂ ∂∇ = + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (coordenadas cilíndricas)

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sen 0

sen sen

V V VV r

r r r r rθ

θ θ θ θ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (coordenadas esféricas)

Para resolver estas equações laplacianas para um dado problema, outras informações são

necessárias, tais como certas condições de fronteira, conforme será visto logo a seguir.

Exemplo 01:

Calcule valores numéricos para V e vρ no ponto P no espaço livre se:

a) 2

4

1

yzV

x=

+ em ( )1,2,3P ;

b) ( )25 cos 2V ρ φ= em ( )3,60º , 2P ;

c) 2

2cosV

r

φ= em ( )0,5;45º ;60ºP .



Eletromagnetismo


98

6.2 Teorema da Unicidade

Vamos considerar que temos duas soluções para a equação de Laplace, o campo potencial 1V

e o campo potencial 2V , ambos funções genéricas das coordenadas usadas. Portanto,

2

10V∇ = e 2

20V∇ =

a partir das quais

( )2

1 2 0V V∇ − =

Cada solução também deve satisfazer as mesmas condições de fronteira, e se

representarmos os valores dos potenciais dados nas fronteiras por bV , então o valor de 1V na

fronteira 1bV e o valor de 2V na fronteira 2bV devem ser ambos idênticos a bV .

1 2b b bV V V= =

então, deveremos ter

1 2V V=

Isto é baseado no teorema da unicidade que diz que “se uma resposta satisfaz a equação de

Laplace ou a equação de Poisson e também satisfaz as condições de fronteira, então ela é uma única

solução possível”.

Exemplo 02:

Considere dois campos potenciais 1V y= e 2 senx

V y e y= + . Responda:

a) É 2

1 0V∇ = ?

b) É 2

2 0V∇ = ?

c) É 1 0V = em 0y = ?

d) É 2 0V = em 0y = ?

e) É 1V π= em y π= ?

f) É 2V π= em y π= ?

g) São 1V e 2V idênticos?

h) Por que o teorema da unicidade não se aplica?



Eletromagnetismo


99

6.3 Exemplos de Solução da Equação de Laplace

Diversos métodos foram desenvolvidos para resolver a equação diferencial parcial de

segunda ordem conhecida como equação de Laplace. O primeiro e mais simples método é aquele da

integração direta.

O método da integração direta se aplica apenas aos problemas unidimensionais ou nos quais

o campo potencial é função apenas de uma das três coordenadas. Como estamos trabalhando com

apenas três sistemas de coordenadas, pode parecer que há nove problemas a serem resolvidos, mas

um pouco de reflexão irá mostrar que o campo que varia somente com x é fundamentalmente o

mesmo que varia somente com y ou apenas com z . A rotação dos eixos não modifica o problema

físico. Na realidade, há cinco problemas a serem resolvidos, um em coordenadas cartesianas ( )x ,

dois em coordenadas cilíndricas ( ) e ρ φ e dois em coordenadas esféricas ( ) e r θ .

A. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função

apenas de x .

A equação de Laplace se reduz a

2

20

V

x

∂=

∂

e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária, já que V não é uma função de y

ou de z ,

2

20

d V

dx=

Integrando-se,

dVA V Ax B

dx= ⇒ = +

onde A e B são constantes de integração.

As superfícies equipotenciais são dadas por x = constante e são planos infinitos.

Considerando-se, como condições de fronteira, 1V V= em 1x x= e 2V V= em 2x x= . Estes valores

são então substituídos na equação anterior, fornecendo

1 2

1 2

V VA

x x

−=

− e 2 1 1 2

1 2

V x V xB

x x

−=

−



Eletromagnetismo


100

logo,

( ) ( )1 2 2 1

1 2

V x x V x xV

x x

− − −=

−

Uma resposta mais simples poderia ter sido obtida escolhendo-se condições de fronteira

mais simples. Se tivéssemos fixado 0V = em 0x = e 0V V= em x d= , então

0VA

d= e 0B =

logo,

0V xV

d=

Esta expressão é estendida para variações unidimensionais do potencial elétrico em função

apenas de y ou apenas de z.

B. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função

apenas de ρ .


10

Vρ

ρ ρ ρ

∂ ∂=

∂ ∂

e a derivada parcial pode ser substituída pela derivada ordinária,

10

d dV

d dρ

ρ ρ ρ

=

Excluindo-se 0ρ = e integrando-se,

lndV

A V A Bd

ρ ρρ

= ⇒ = +


As superfícies equipotenciais são dadas por ρ = constante e são cilindros. Escolhemos uma

diferença de potencial de 0V considerando 0V V= em aρ = e 0V = em bρ = , b a> e obtemos



Eletromagnetismo


101

( )0

ln /

VA

b a

−= e

( )0 ln

ln /

V bB

b a=

logo,

( )( )

0 ln /

ln /

V bV

b a

ρ=

C. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função

apenas de φ .


2

2 2

10

V

ρ φ

∂=

∂


2

2 2

10

d V

dρ φ=

Excluindo-se 0ρ = e integrando-se,

dVA V A B

dφ

φ= ⇒ = +


As superfícies equipotenciais são dadas por φ =constante e são planos radiais, conforme

ilustrados na figura anterior. Escolhemos uma diferença de potencial de 0V considerando 0V = em

0φ = e 0V V= em φ α= e obtemos



Eletromagnetismo


102

0VA

α= e 0B =

logo,

0VV

φ

α=

D. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função

apenas de r .


2

2

10

Vr

r r r

∂ ∂ =

∂ ∂


2

2

10

d dVr

r dr dr

=

Excluindo-se 0r = e integrando-se,

2 dV Ar A V B

dr r

−= ⇒ = +


As superfícies equipotenciais são dadas por r = constante e são esferas. Escolhemos uma

diferença de potencial de 0V considerando 0V V= em r a= e 0V = em r b= , b a> e obtemos

0

1 1

VA

b a

=

−

e 0

1 1

VB

bb a

=

−

logo,

0

1 1

1 1

r bV V

a b

−

=

−



Eletromagnetismo


103

E. Cálculo da equação de Laplace para o caso da variação do potencial elétrico em função

apenas de θ .


2

1sen 0

sen

V

rθ

θ θ θ

∂ ∂ =

∂ ∂


2

1sen 0

sen

d dV

r d dθ

θ θ θ

=

Excluindo-se 0r = , 0θ = ou π e integrando-se,

sen ln tan2

dVA V A B

d

θθ

θ

= ⇒ = +


As superfícies equipotenciais são dadas por θ = constante e são cones (com exceção de

/2θ π= que é um plano), conforme ilustrado na figura anterior. Escolhemos uma diferença de

potencial de 0V considerando 0V = em /2θ π= e 0V V= em θ α= , /2α π< e obtemos

0

ln tan2

VA

α=

e 0B =

logo,



Eletromagnetismo


104

0

ln tan2

ln tan2

V V

θ

α

=

Exemplo 03:

Determine E

em ( )3,1,2P para o campo de:

a) dois cilindros coaxiais condutores, 50V V= em 2mρ = e 20V V= em 3mρ = ;

b) dois planos radiais condutores, 50V V= em 10ºφ = e 20V V= em 30ºφ = .

6.4 Exemplo de Solução da Equação de Poisson

Para selecionar um problema que possa ilustrar a aplicação da equação de Poisson, devemos

considerar que a densidade volumétrica de carga é especificada. Contudo, este não é usualmente o

caso; de fato, ela é muitas vezes a grandeza sobre a qual procuramos alguma informação. Todavia,

para fins didáticos, vamos considerá-la conhecida.

Como exemplo, escolhemos uma junção pn entre duas metades de uma barra

semicondutora, estendendo-se na direção x . Devemos considerar que a região 0x < é do tipo p

dopada e que a região 0x > é do tipo n também dopada. O grau de dopagem é idêntico em cada

lado da junção. O gráfico a seguir mostra a relação 0/v vρ ρ ao longo da distribuição, onde vρ é a

densidade volumétrica de carga e 0vρ é a máxima densidade volumétrica de carga relacionada com

as concentrações dos aceitadores e doadores presentes no material.

Este gráfico pode ser expresso pela equação

02 sech tanhv v

x x

a aρ ρ=

onde a é uma constante que altera as características de contorno do gráfico.



Eletromagnetismo


105

São especificadas duas condições de fronteira. A primeira está relacionada ao fato que

nenhuma densidade de carga líquida e nenhum campo podem existir longe da junção, como é

sugerido na figura anterior. Assim, quando x → ±∞ , 0xE = . A segunda condição dada é que a

referência zero de potencial deve ser escolhida no centro da junção, em 0x = .

Vamos agora resolver a equação de Poisson,

2 vVρ

ε∇ = −

aplicando-se a distribuição de cargas dada,

2

0

2

2sech tanhvd V x x

dx a a

ρ

ε= −

Como pode-se notar, este é um problema unidimensional no qual variações com y e z não

estão presentes.

Integrando a primeira vez,

01

2sechv adV x

Cdx a

ρ

ε= +

Podemos obter a partir desta equação a intensidade de campo elétrico, pois tem-se, neste

caso, que ˆ ˆ ˆ0 0x y z

dVV a a a

dx∇ = + +

, então ˆx

dVE V a

dx= −∇ = −

, logo

01

2sechv

x

a xE C

a

ρ

ε= − −

Levando-se em consideração a primeira condição de fronteira, a qual diz que quando

x → ±∞ , 0xE = , encontramos 1 0C = . Portanto,

02sechv

x

a xE

a

ρ

ε= −

O gráfico representativo desta intensidade de campo elétrico é



Eletromagnetismo


106

Integrando-se novamente a expressão,

02sechv adV x

dx a

ρ

ε=

2/0

2

4arctan x av a

V e Cρ

ε= +

Aplica-se agora a segunda condição de fronteira: 0V = em 0x = , tem-se

200

2

40 arctanv a

e Cρ

ε= +

2

02

4

4

v aC

ρ π

ε= −

e, finalmente,

2/04

arctan4

x av aV e

ρ π

ε

= −

O gráfico representativo deste potencial é

A equação de Poisson pode ser aplicada a qualquer problema que envolva densidade

volumétrica de carga, tal como aqui exemplificado.

Exemplo 04:

Dada a densidade volumétrica de carga ( )7 3

02 10 /v x C mρ ε= − ⋅ no espaço livre, seja 0V = em

0x = e 2V V= em 2,5x mm= . Em 1x mm= , determine V e xE .



Eletromagnetismo


107

7 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO

8.7 Lei de Biot-Savart

O campo magnético estacionário pode ser gerado a partir de:

• um ímã permanente;

• uma corrente contínua, ou;

• um campo elétrico variando linearmente com o tempo.

Vamos ignorar o ímã permanente e deixar o campo elétrico variante no tempo para uma

discussão posterior. Nossas relações atuais dizem respeito ao campo magnético produzido por um

elemento diferencial de corrente contínua no espaço livre.

Consideremos uma corrente I fluindo em um vetor de comprimento diferencial dL de um

filamento. A lei de Biot-Savart afirma que o diferencial de intensidade de campo magnético dH

gerado por um diferencial de corrente I dL

em um ponto P posicionado pelo vetor R

em relação a

este diferencial de corrente é dado por

2 3

ˆ

4 4

RI dL a I dL RdH

R Rπ π

× ×= =

A figura a seguir ilustra a equação da lei de Biot-Savart.

A unidade da intensidade do campo magnético H

é ampère por metro ( )A/m . Sua direção

é dada pelo produto vetorial de dois vetores, conforme equação, significando que a mesma é normal

ao plano que contém o filamento diferencial e a linha desenhada a partir do filamento ao ponto P .



Eletromagnetismo


108

Ainda, de acordo com a figura anterior, considerando o elemento de corrente no ponto 1 e

descrevendo como ponto 2 o ponto P no qual o campo deve ser determinado, tem-se

1 1 122 2

12

ˆ

4

RI dL adH

Rπ

×=

Com lei de Biot-Savart, como foi até então apresentada, é impossível de se verificar

experimentalmente porque o elemento diferencial de corrente não pode ser isolado. Daí segue que

somente a forma integral da lei pode ser verificada experimentalmente,

2

ˆ

4

RI dL aH

Rπ

×= ∫

A lei de Biot-Savart também pode ser expressa em termos de fontes distribuídas, como uma

densidade de corrente J

e uma densidade superficial de corrente K

, conforme será introduzida. A

corrente superficial fluindo em uma lâmina de espessura infinitesimal tem sua densidade de corrente

J

infinita, então, usamos a densidade superficial de corrente que é medida em ampère por metro

(de largura), a qual é designada por K

. Se a densidade superficial de corrente é uniforme, a corrente

total I em qualquer largura b é

I Kb=

onde consideramos que a largura b é medida perpendicularmente à direção na qual a corrente está

fluindo, conforme ilustrado na figura a seguir. Para uma densidade superficial de corrente não-

uniforme, a integração se faz necessária,

I K db= ∫

onde db é um elemento diferencial do caminho sobre o qual a corrente está fluindo.

Assim, o elemento diferencial de corrente I dL

, onde dL

está na direção da corrente, pode

ser expresso em termos da densidade superficial de corrente K

ou da densidade corrente J

,

I dL K dS J dv= =



Eletromagnetismo


109

e formas alternativas da lei de Biot-Savart podem ser obtidas,

2

ˆ

4

R

S

K a dSH

Rπ

×= ∫

e

2

ˆ

4

R

vol

J a dvH

Rπ

×= ∫

Podemos ilustrar a aplicação da lei de Biot-Savart considerando um filamento reto

infinitamente longo, conforme mostrado na figura abaixo. Primeiramente, considera-se um

fragmento infinitesimal do filamento (Ponto 1) e em seguida integra-se.

O Ponto 2, no qual queremos determinar o campo, é, portanto, escolhido no plano 0z = . O

ponto do campo r

é, então, ˆr aρρ=

. O ponto da fonte 'r

é dado por ˆ' ' zr z a=

e, portanto,

12ˆ ˆ' ' zR r r a z aρρ= − = −

de forma que

1212

2 212

ˆ ˆ'ˆ

'

z

R

a z aRa

R z

ρρ

ρ

−= =

+

Fazendo ˆ' zdL dz a=

então

( )( )

2 3/22 2

ˆ ˆ ˆ' '

4 '

z zI dz a a z adH

z

ρρ

π ρ

× −=

+



Eletromagnetismo


110

Como a corrente está na direção dos valores de 'z , os limites da integral são −∞ e ∞ , e

temos

( )( ) ( )

2 3/2 3/22 2 2 2

ˆ ˆ ˆ' ' ˆ'

4 ' 4 '

z zI dz a a z a I dz aH

z z

ρ φρ ρ

π ρ π ρ

∞ ∞

−∞ −∞

× −= =

+ +∫ ∫

( )2 3/2

2 2

ˆ '

4 '

I a dzH

z

φρ

π ρ

∞

−∞=

+∫

22 2

ˆ '

4 '

Ia zH

z

φ

π ρ ρ

∞

−∞

=+

2ˆ

2

IH aφ

πρ=

A direção do vetor intensidade de campo magnético é circunferencial. As linhas de força são,

portanto, círculos ao redor do filamento, e o campo pode ser mapeado em uma seção transversal

como na figura abaixo. Vale ressaltar, que neste caso a corrente elétrica está está entrando na

página, o que leva a um campo magnético de sentido horário.

A comparação desta figura com o mapa do campo elétrico em relação a uma linha de cargas

infinita mostra que as linhas de força do campo magnético correspondem exatamente às superfícies

equipotenciais do campo elétrico. Esta correspondência não é acidental, porém não será ainda

explorada agora.



Eletromagnetismo


111

Exemplo 01:

Determinar H

no ponto ( )0,4;0,3;0P no

interior do campo de um filamento de corrente

de 8mA dirigida para a origem a partir do

infinito, situado no semi-eixo x positivo, e depois dirigido paro o infinito, situado no semi-eixo y positivo, conforme figura ao lado.

Exemplo 02:

Dados os seguintes valores para 1P , 2P e 1 1I L∆ , calcule 2

H∆

:

a) ( )1 0,0, 2P , ( )2 4,2,0P , ˆ2 za A mπ µ ⋅ ;

b) ( )1 0, 2,0P , ( )2 4,2,3P , ˆ2 za A mπ µ ⋅ ;

c) ( )1 1,2,3P , ( )2 3, 1,2P − − , ( )ˆ ˆ ˆ2 x y za a a A mπ µ− + + ⋅ .

Exemplo 03:

Um filamento de corrente conduzindo 15 A na direção z está situado ao longo do eixo z .

Determine H

em coordenadas cartesianas em:

a) ( )20,0, 4AP ;

b) ( )2, 4,4BP − .

8.8 Lei Circuital de Ampère

A lei circuital de Ampère vem resolver de forma muito mais simples os problemas

relacionados com campo magnético. A mesma é uma alternativa à lei de Biot-Savart. Um paralelo

que pode ser feito, é o uso da lei de Gauss como facilitadora da resolução de problemas relacionados

com campo elétrico, sendo esta uma alternativa à lei de Coulomb.

A lei circuital de Ampère afirma que a integral de linha de H

em qualquer caminho fechado

é exatamente igual à corrente contínua envolvida por este caminho,

H dL I⋅ =∫



Eletromagnetismo


112

Define-se corrente positiva aquela que flui na direção de avanço de um parafuso direito

girando na direção em que o caminho fechado é percorrido (também pode-se usar, de forma mais

simples, a regra da mão direita aprendida no ensino de segundo grau).

A figura abaixo mostra um fio circular conduzindo uma corrente contínua I , a integral de

linha de H

nos caminhos fechados indicados por a e b resultam em uma mesma resposta I ,

apesar dos integrandos serem diferentes. Já a integral no caminho fechado c , o qual passa através

do condutor, fornece uma resposta menor que I e é exatamente aquela porção da corrente total

que é envolvida pelo caminho em questão.

Outro paralelo que pode ser feito entre a lei de Gauss e lei circuital de Ampère é o fato da

primeira estar relacionada com a determinação da carga total envolvida por uma superfície fechada

(também chamada de superfície gaussiana), enquanto a segunda estar relacionada com a

determinação da corrente total envolvida por um caminho fechado (também conhecido por espira

amperiana).

Como um primeiro exemplo da aplicação da lei circuital de Ampère, consideraremos

novamente o cálculo da intensidade de campo magnético H

para uma linha infinita, conforme

figura abaixo.

Em nosso exemplo, o caminho ideal deverá ser um círculo de raio ρ centrado no condutor. A

lei circuital se torna



Eletromagnetismo


113

2 2

0 0ˆ 2H dL H d a H d H d H I

π π

φ φ φ φρ φ ρ φ ρ φ πρ⋅ = ⋅ = = = =∫ ∫ ∫ ∫

ou

2

IHφ

πρ=

que é igual a expressão já calculada através da lei de Biot-Savart.

Em um segundo exemplo, considere uma linha de transmissão coaxial infinitamente longa

conduzindo uma corrente total I uniformemente distribuída no condutor central e I− no condutor

externo. A linha é mostrada na figura abaixo. A simetria é a mesma do exemplo anterior, o que nos

possibilita o uso da expressão que foi ali encontrada.

Para o caminho circular de raio ρ , em que ρ é maior que o raio do condutor interno e

menor que o raio interno do condutor externo, tem-se

( )2

IH a bφ ρ

πρ= < <

Para o caminho circular de raio ρ menor que o raio do condutor interno, tem-se

( )2

2 22 2 2

envolvidaI I IH a

a aφ

πρ ρρ

πρ πρ π π= = = <

Se o raio ρ é maior que o raio externo do condutor externo, nenhuma corrente é envolvida,

uma vez que a somatória das correntes é zero, então

( )0H cφ ρ= >

Finalmente, se o caminho está situado dentro do condutor externo, temos



Eletromagnetismo


114

( )

2 2

2 2 2 2

2 22 2 2

envolvida

bI I

c bI I cH b c

c bφ

πρ π

π π ρρ

πρ πρ πρ

−−

− − = = = < <−

A variação da intensidade do campo magnético com o raio é mostrada na figura a seguir para

o caso de um cabo coaxial no qual 3b a= e 4c a= . É importante notar que tal cabo coaxial, mesmo

conduzindo corrente elevada, não produziria qualquer efeito notável em um circuito adjacente, uma

vez que campo externo é zero.

Como um terceiro exemplo, vamos discutir o campo magnético de uma lâmina com corrente

fluindo na direção y positiva e localizada no plano 0z = . Seja esta, uma lâmina de densidade

superficial de corrente ˆy yK K a=

, conforme mostrada na figura abaixo.

O caminho escolhido para tal problema está representado na figura como 1-1’-2’-2 composto

por segmentos de reta que são, cada um, paralelos ou perpendiculares a xH e a zH . A lei de Biot-

Savart mostra que as contribuições a zH produzidas por um par de filamentos simetricamente

localizados se cancelam, assim, zH é nulo, restando apenas xH , pois y

H está na mesma direção do

fluxo, conseqüentemente, também é nulo. A lei circuital de Ampère fornece

( )1 2x x yH L H L I K L+ − = =

ou

1 2x x yH H K− =



Eletromagnetismo


115

Se o caminho 3-3’-2’-2 for escolhido, a mesma corrente é envolvida e

3 2x x yH H K− =

e, portanto,

3 1x xH H=

e

1 2x xH H= −

pois os dois estão em sentido opostos (regra da mão direita).

Daí, segue que xH é o mesmo para todo z positivo e de igual modo, xH é o mesmo para

todo z negativo. Então, por causa da simetria, a intensidade de campo magnético em um lado da

lâmina de corrente é o negativo da do outro lado. Acima da lâmina,

( )1

02

x yH K z= >

enquanto que, abaixo,

( )1

02

x yH K z= − <

Considerando ˆNa um vetor unitário normal (para fora) da lâmina de corrente, o resultado

pode ser escrito de forma genérica para todo z como

1ˆ

2NH K a= ×

Se uma segunda lâmina de corrente fluindo na direção oposta, ˆy yK K a= −

é posicionada

em z h= , o campo na região entre as lâminas de corrente é

( )ˆ 0NH K a z h= × < <

e é zero em qualquer outro ponto,

Um quarto exemplo da aplicação da lei circuital de Ampère será demonstrado para a um

solenóide ideal (infinitamente longo) de raio e densidade de corrente uniforme , como

mostrado na figura (a) a seguir. Para tal referência,

( )0 0,H z z h= < >

a â

K aφ



Eletromagnetismo


116

Isto é verdade porque, levando-se em consideração dois lados opostos de cada espira

formadora do solenóide, o campo em seu interior é somado, enquanto que em seu exterior o campo

é disperso.

Se o solenóide tiver um comprimento finito , consistindo em espiras enroladas muito

próximas, em um filamento conduzindo uma corrente , então o campo em pontos bem dentro do

solenóide é dado aproximadamente por,

A aproximação é útil se não for aplicada em pontos mais perto do que dois raios das

extremidades abertas, nem em pontos mais próximos da superfície do solenóide que duas vezes a

separação entre as espiras.

Estas equações podem também ser encontradas através da aplicação da lei de Amperè a um

corte transvessal do solenóide.

Um quinto e último exemplo é o caso do toróide mostrado na figura abaixo. Aplicando-se a

lei circuital de Ampère chega-se, para toróide de espira, às seguintes expressões

( )â zH K a aρ= <

( )0H aρ= >

d N

I

( )ˆ ˆ ˆ bem dentro do solenóidetotala z z z

I NIH K a a a

d d= = =

N

( )ˆ bem dentro do toróide2

NIH aφ

πρ=

( )0 fora do toróideH =



Eletromagnetismo


117

Tem-se boas aproximações com as equações anteriores, contudo deve-se considerar que os

pontos avaliados estão distantes da superfície do toróide de várias vezes a separação entre as

espiras.

Exemplo 04:

Expresse o valor de em coordenadas cartesianas em no campo de:

a) um filamento de corrente de na direção em , ;

b) um cabo coaxial centrado no eixo , com , , e na

direção no condutor central;

c) três lâminas de corrente, em , em e

em .

8.9 Rotacional

Aplicaremos, agora, a lei circuital de Ampère a um perímetro de elemento diferencial de

superfície e discutiremos a terceira e última das derivadas especiais da análise vetorial, o rotacional.

Nosso objetivo imediato é obter a forma pontual da lei circuital de Ampère.

Escolhendo-se as coordenadas cartesianas e um caminho fechado incremental de lados e

. Admitimos que alguma corrente, ainda não especificada, produz um valor de referência para

no centro desse pequeno retângulo , que pode ser escrito

A integral de linha fechada de neste caminho é, então, aproximadamente, a soma dos

quatro valores de em cada lado. A figura abaixo mostra este caminho.

H

( )0;0,2;0P

2,5 A ˆza 0,1x = 0,3y =

z 0,3a = 0,5b = 0,5c = 2,5I A=

ˆza

ˆ2,7 /xa A m 0,1y = ˆ1, 4 /xa A m− 0,15y =

ˆ1,3 /xa A m− 0,25y =

x∆

y∆ H

( )0H

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ

x x y y z zH H a H a H a= + +

H

H dL⋅



Eletromagnetismo


118

Escolhemos, conforme pode ser visto, a direção de percurso como 1-2-3-4-1, que

corresponde a uma corrente na direção , e a primeira contribuição é, portanto,

Podendo ser dado em termos de mais a taxa de variação com para uma

distância do centro ao ponto médio do lado 1-2:

Assim,

Ao longo dos demais trechos do caminho temos, por meio de cálculo análogo ao anterior,

e

ˆza

( ) ,1 21 2

yH L H y−−

⋅ ∆ = ∆

,1 2yH − 0y

Hy

H x

/2x∆

( ),1 2 0 /2y

y y

HH H x

x−

∂= + ∆

∂

( ) 01 2

1

2

y

y

HH L H x y

x−

∂ ⋅ ∆ = + ∆ ∆

∂

( ) 02 3

1

2

xx

HH L H y x

y−

∂⋅∆ = − + ∆ ∆

∂

( ) 03 4

1

2

y

y

HH L H x y

x−

∂ ⋅ ∆ = − − ∆ ∆

∂

( ) 04 1

1

2

xx

HH L H y x

y−

∂⋅ ∆ = − ∆ ∆

∂



Eletromagnetismo


119

Somando-se as contribuições de todos os lados, tem-se

Assumindo-se uma densidade de corrente genérica , a corrente envolvida pelo caminho

em questão é, então , e

ou

Ao fazermos o caminho fechado reduzir-se, a expressão acima se torna mais exata, e no

limite temos a igualdade

Escolhendo-se caminhos fechados orientados perpendicularmente a cada um dos eixos

coordenados restantes, processos análogos levarão a expressões para as componentes e da

densidade de corrente,

e

Nos limites acima, vemos que uma componente da densidade de corrente é dada pelo limite

do quociente da integral de linha fechada pela área envolvida à medida que o caminho da integral

tende a zero. Esse limite está presente em outros campos da ciência e há muito tempo recebeu o

nome de rotacional. A forma matemática da definição é

y xH H

H dL x yx y

∂ ∂⋅ = − ∆ ∆

∂ ∂ ∫

J

zI J x y∆ = ∆ ∆

y xz

H HH dL x y I J x y

x y

∂ ∂⋅ = − ∆ ∆ = ∆ = ∆ ∆

∂ ∂ ∫

y xz

H dL H HJ

x y x y

⋅ ∂ ∂= − =

∆ ∆ ∂ ∂

∫

, 0lim

y xz

x y

H dL H HJ

x y x y∆ ∆ →

⋅ ∂ ∂= − =

∆ ∆ ∂ ∂

∫

x y

, 0lim

yzx

y z

H dL HHJ

y z y z∆ ∆ →

⋅ ∂∂= − =

∆ ∆ ∂ ∂

∫

, 0lim x z

yz x

H dL H HJ

z x z x∆ ∆ →

⋅ ∂ ∂= − =

∆ ∆ ∂ ∂

∫

( )0

rot limNN S

N

H dLH

S∆ →

⋅=

∆

∫



Eletromagnetismo


120

onde é a área plana envolvida pela integral de linha fechada. O índice indica que a

componente do rotacional é aquela componente que é normal à superfície envolvida pelo caminho

fechado.

O rotacional pode ser escrito em termos do operador vetorial, ou seja,

De forma geral temos que o resultado do rotacional é o próprio vetor densidade de corrente,

ou ainda,

Esta é a segunda das quatro equações de Maxwell aplicada a condições não variantes no

tempo, também conhecida como forma pontual da lei circuital de Ampère.

Em coordenadas cartesianas, considerando-se as componentes , e , o rotacional será

Este resultado de rotacional para coordenadas cartesianas pode ser escrito na forma de um

determinante,

Em coordenadas cilíndricas e esféricas o rotacional é dado, respectivamente, por

NS∆ N

rot H H= ∇×

H J∇× =

x y z

( )ˆ ˆ ˆ cartesianay yx xz z

x y z

H HH HH HH a a a

y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∇× = − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ˆ ˆ ˆx y z

x y z

a a a

Hx y z

H H H

∂ ∂ ∂∇× =

∂ ∂ ∂

( )( )

1ˆ ˆ

1 1ˆ cilíndrica

z z

z

H HH HH a a

z z

H Ha

φ ρ

ρ φ

φ ρ

ρ φ ρ

ρ

ρ ρ ρ φ

∂ ∂ ∂ ∂∇× = − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ + − ∂ ∂

( ) ( )

( )( )

sen1 1 1ˆ ˆ

sen sen

1ˆ esférica

rr

r

H r HH HH a a

r r r

r H Ha

r r

φ φθθ

θφ

θ

θ θ φ θ φ

θ

∂ ∂∂ ∂ ∇× = − + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂



Eletromagnetismo


121

É importante salientar que só existe rotacional de porque a integral dele ao longo de um

caminho fechado não é nula se houve uma corrente na região, pois . Já para o caso da

integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado, tem-se , o que nos

permite afirma que

então,

Esta é a terceira das quatro equações de Maxwell aplicada a condições não variantes no

tempo.

Como interpretação física do rotacional sugere-se que o mesmo seja testado por meio de

uma “roda propulsora de navio a vapor” bem pequena. Para testar um campo para o rotacional,

mergulhamos nossa roda propulsora em um campo, com os eixos dela alinhados com a direção da

componente do rotacional desejada, e observamos a ação do campo sobre a roda. Se nenhuma

rotação for observada significa que o rotacional é nulo; velocidades angulares elevadas significam

maiores valores do rotacional; reversão na direção de giro significa uma mudança no sinal do

rotacional. Observação: a direção do rotacional é ao longo do eixo da roda propulsora, como dada

pela regra da mão direita.

Como exemplo, considere o fluxo de água em um rio, conforme figura (a) abaixo. A

velocidade da água é praticamente zero no fundo e aumenta linearmente à medida que se aproxima

da superfície. Uma roda propulsora colocada na posição mostrada, com seu eixo perpendicular ao

papel, irá girar no sentido horário, mostrando a presença da componente do rotacional na direção da

normal para dentro da superfície da folha. Se a velocidade da água não varia se subimos ou

descemos o rio e também não mostra variação quando cruzamos o rio, então esta componente é a

única componente presente no centro da corrente em questão.

H

H dL I⋅ =∫

0E dL⋅ =∫

( )0 0

0rot lim lim

N NN S SN N

E dLE

S S∆ → ∆ →

⋅= =

∆ ∆

∫

0E∇× =



Eletromagnetismo


122

Na figura (b) acima são mostradas as linhas de força da intensidade de campo magnético em

um condutor filamentar extremamente longo. O medidor de rotacional posicionado neste campo de

linhas curvas mostra que um maior número de pás tem uma força no sentido horário exercida sobre

elas, mas que esta força é, em geral, menor que a força no sentido anti-horário exercida sobre o

menor número de pás mais próximas do fio. Então, é possível que o torque sobre a roda propulsora

seja zero. Na realidade a roda propulsora não gira neste caso, pois como obtemos

um rotacional nulo, como se segue,

Este resultado se justifica pelo fato de não haver corrente elétrica naquela posição.

Exemplo 05: Calcule o vetor densidade de corrente elétrica:

a) em coordenadas cartesianas em se ;

b) em coordenadas cilíndricas em se ;

c) em coordenadas esféricas em se .

8.10 Teorema de Stokes

Considere a princípio a superfície da figura abaixo, a qual está dividida em superfícies

incrementais de área .

( ) ˆ/2H I aφπρ=

( )1ˆ ˆ 0z

HHH a a

z

φφ

ρ

ρ

ρ ρ

∂∂∇× = − + =

∂ ∂

( )2,3,4AP2 2ˆ ˆ /y zH x za y xa A m= −

( )1,5;90º ;0,5BP ( )2

ˆcos 0,2 /H a A mρφρ

=

( )2,30º , 20ºCP1

ˆ /H a A msen

θθ

=

S

S∆



Eletromagnetismo


123

Se aplicarmos a definição de rotacional a uma dessas superfícies incrementais da figura

anterior teremos

onde novamente indica um vetor normal à superfície direcionado segundo a regra da mão direita.

O índice em indica que o caminho fechado é o perímetro de uma área incremental . Este

resultado pode também ser escrito como

ou

e, ainda

onde é um vetor unitário na direção da normal a segundo a regra da mão direita.

Agora, vamos determinar para a superfície como um todo e não apenas para

uma superfície incremental . Para tanto, basta fazer o somatório de na superfície

total . Tem-se, portanto,

onde é tomado apenas no perímetro de . Esta identidade é válida para qualquer campo

vetorial e é conhecida como teorema de Stokes.

Outra forma mais simples de se obter o teorema de Stokes para o campo magnético é

desenvolvida a seguir a partir da lei de Ampère. Temos que

e

( )S

N

H dLH

S

∆⋅= ∇×

∆

∫

N

SdL∆

S∆

( ) ˆS

N

H dLH a

S

∆⋅= ∇× ⋅

∆

∫

( ) ˆS NH dL H a S∆⋅ = ∇× ⋅ ∆∫

( )SH dL H S∆⋅ = ∇× ⋅ ∆∫

ˆNa S∆

H dL⋅∫

S

S∆ ( )H S∇ × ⋅ ∆

S

( )S

H dL H dS⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫

dL

S

H dL I⋅ =∫

SI J dS= ⋅∫



Eletromagnetismo


124

então,

Sabe-se também, do princípio de rotacional, que

fazendo-se a substituição adequada, tem-se novamente a expressão do teorema de Stokes,

Exemplo 06: Considere a porção de uma esfera mostrada na figura ao

lado. A superfície é especificada por , ,

e o caminho fechado formando seu

perímetro é composto de três arcos de círculos. Dado o

campo , calcular cada

um dos lados do teorema de Stokes.

Exemplo 07:

Calcule ambos os lados do teorema de Stokes para o campo e para o

caminho retangular ao redor da região , , . Considere a direção positiva

de sendo .

8.11 Fluxo Magnético e Densidade de Fluxo Magnético

Define-se densidade de fluxo magnético , para o espaço livre, como sendo

SH dL J dS⋅ = ⋅∫ ∫

H J∇× =

( )S

H dL H dS⋅ = ∇× ⋅∫ ∫

4r = 0 0,1θ π≤ ≤

0 0,3φ π≤ ≤

ˆ ˆ6 sen 18 sen cosH r a r aφ θφ θ φ= +

2ˆ ˆ6 3 /x yH xya y a A m= −

2 5x≤ ≤ 1 1y− ≤ ≤ 0z =

dS ˆxa

B

0B Hµ=



Eletromagnetismo


125

onde é medida em webers por metro quadrado ou, no Sistema Internacional de

Unidades, em tesla . A constante é conhecida por constante de permeabilidade magnética

do espaço livre e tem seu valor dado por

O vetor densidade de fluxo magnético pode ser comparado com o vetor densidade de

fluxo elétrico , o qual foi visto anteriormente no estudo do campo elétrico.

Uma vez conhecido o vetor densidade de fluxo magnético, é possível calcular o fluxo

magnético através da equação

a unidade de fluxo magnético é, naturalmente, weber .

Fazendo-se um paralelo com o fluxo elétrico de uma superfície fechada, que pela lei de Gauss

é

tem-se para o fluxo magnético de uma superfície fechada (aplicando-se a lei de Gauss):

O resultado é nulo porque não existe carga magnética separada, uma vez que não é possível

separar o pólo norte do pólo sul de um material magnético, diferentemente das cargas elétricas,

onde as cargas positivas e cargas negativas são facilmente separadas. Portanto, segue-se que a

aplicação da divergência para um campo magnético será

esta é a quarta e última das quatro equações de Maxwell que se aplicam a campos elétricos estáticos

e campos magnéticos estacionários.

A seguir tem-se um quadro comparativo das grandezas e teoremas relacionados à

eletrostática e à magnetostática (estudo do campo magnético estacionário).

B

( )2/Wb m

( )T 0µ

7

04 10 H/mµ π −=

B

D

( )Φ

SB dSΦ = ⋅∫

( )Wb

elétricaSD dS QΨ = ⋅ =∫

0magnéticaS

B dS QΦ = ⋅ = =∫

0B∇ ⋅ =



Eletromagnetismo


126

ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA

Lei de Coulomb:

Lei de Bio-Savart:

Densidade de Fluxo Elétrico :

Densidade de Fluxo Magnético :

Fluxo Elétrico :

Fluxo Magnético :

Lei de Gauss:

Lei Circuital de Ampère:

Lei Circuital de Ampère para o Campo Elétrico:

Lei de Gauss para o Campo Magnético:

Divergência:

(forma pontual da Lei de Gauss)

Rotacional:

(forma pontual da Lei Circuital de Ampère)

Rotacional para o Campo Elétrico:

Divergência para o Campo Magnético:

Teorema da Divergência:

Teorema de Stokes:

Exemplo 08: Determinar o fluxo magnético entre os condutores de uma linha coaxial cujo raio interno é e

externo é . A intensidade de campo magnético na região é onde .

( )2

0

ˆ V/m4

R

dQE a

Rπε= ∫

( )2

Â/m

4

RI dL aH

Rπ

×= ∫

( )D

( )2

0 C/mD Eε=

( )B

( )2

0 Wb/mB Hµ=

( )Ψ

( )SD dS CΨ = ⋅∫

( )Φ

( )S

B dS WbΦ = ⋅∫

internaSD dS Q⋅ =∫

envolvidaH dL I⋅ =∫

0E dL⋅ =∫

0S

B dS⋅ =∫

vD ρ∇⋅ =

H J∇× =

0E∇× =

0B∇ ⋅ =

( ) internavS vol vol

D dS D dv dv Qρ⋅ = ∇ ⋅ = =∫ ∫ ∫

( ) envolvidaS S

H dL H dS J dS I⋅ = ∇× ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

a

b ˆ2

IH aφ

πρ=

a bρ< <



Eletromagnetismo


127

Exemplo 09: Um condutor sólido de seção transversal circular é feito de um material homogênio não-magnético.

Seja o raio , o eixo do condutor situado sobre o eixo e a corrente total na direção é

, determine:

a) em ;

b) em ;

c) o fluxo magnético total por unidade de comprimento dentro do condutor;

d) o fluxo total para ;

e) o fluxo magnético total fora do condutor.

8.12 Potenciais Magnéticos Escalar e Vetorial

O potencial magnético escalar, que é designado por , tem algumas propriedades

semelhantes às do potencial elétrico. Escreve-se, então,

Essa definição não deve entrar em conflito com os resultados anteriores para o campo

magnético, e portanto,

Entretanto, o rotacional do gradiente de qualquer escalar é identicamente zero, uma

identidade vetorial cuja demonstração não será realizada aqui, ficando

Portanto, vemos que se for definido como o gradiente do potencial magnético escalar,

então a densidade de corrente deve ser zero através da região na qual o potencial

magnético escalar está definido. Temos, então,

A unidade de medida do potencial magnético escalar é Ampère. Esse potencial escalar

também deve satisfazer a equação de Laplace. Por isso, no espaço livre,

(4ª Equação de Maxwell)

1a mm= z ˆza

20A

Hφ 0,5mmρ =

Bφ 0,8mmρ =

0,5mmρ <

mV

mH V= −∇

( )mH J V∇× = = ∇× −∇

( ) 0mV∇ × −∇ =

H

( )0J =

( )0mH V J= −∇ =

0B∇ ⋅ =

( )0 0 0B H Hµ µ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ =



Eletromagnetismo


128

e, assim,

ou

O potencial magnético escalar , diferentemente do potencial elétrico , não é uma

função unívoca da posição. O potencial elétrico é unívoco; uma vez que estabelecido um zero de

referência, há apenas um valor de associado a cada ponto no espaço livre.

Outra diferença está no fato que o potencial eletrostático é um campo conservativo,

enquanto o potencial magnético não é conservativo. Se dermos uma volta completa ao redor de

uma linha infinita carregada teremos , já no caso do campo magnético, dando-se uma

volta completa ao redor de uma linha infinita (fio) contendo uma corrente teremos:

e se dermos duas voltas e assim por diante.

Deixaremos agora o estudo do campo potencial magnético escalar e introduziremos o

conceito do campo potencial magnético vetorial. Este campo vetorial é extremamente útil no estudo

de irradiação de antenas, de aberturas e fuga de irradiação de linhas de transmissão, de guias de

onda e de fornos de microondas. O campo potencial magnético vetorial tem a vantagem de poder

ser usado em regiões onde a densidade corrente é zero ou diferente de zero.

A escolha de um potencial magnético vetorial é indicada notando-se que

Em seguida, uma identidade vetorial mostra que a divergência do rotacional de qualquer

campo vetorial é zero. Portanto, escolheu-se

onde significa um potencial magnético vetorial e automaticamente satisfaz a condição de que a

densidade fluxo magnético deve ter divergência zero, como a operação rotacional implica uma

diferenciação em relação ao comprimento, as unidades de são webers por metro . O

campo é

( )0 0 0mH Vµ µ∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ =

( )20 0mV J∇ = =

mV V

V

V

V

mV

0E dL⋅ =∫

I H dL I⋅ =∫

2H dL I⋅ =∫

0B∇ ⋅ =

B A= ∇×

A

A

( )Wb/m

H

0H Aµ = ∇×



Eletromagnetismo


129

e

O rotacional do rotacional de um campo vetorial não é zero e é dado por uma expressão

razoavelmente complicada

Em casos específicos para os quais a forma de é conhecida, a operação rotacional pode

ser aplicada duas vezes para determinar a densidade de corrente.

Desenvolvendo a equação do potencial magnético vetorial pode ser chegar à seguinte

expressão

Notamos nesta equação que o vetor potencial magnético tem o mesmo sentido e direção

que . A equação anterior pode também ser escrita em sua forma diferencial,

até que um caminho fechado completo no qual a corrente flui seja considerado.

Para exemplificar a aplicação do conceito de potencial magnético vetorial, considere o

campo potencial magnético vetorial de um filamento diferencial posicionado na origem no espaço

livre, conforme figura a seguir. O mesmo estende-se na direção positiva, de forma que .

0

1H A

µ= ∇ ×

0

1H J A

µ∇ × = = ∇ × ∇ ×

( ) 2A A A∇×∇ × = ∇ ∇ ⋅ − ∇

A

A

0

4

I dLA

R

µ

π= ∫

I dL

0

4

I dLdA

R

µ

π=

z ˆzdL dza=



Eletromagnetismo


130

Usando-se coordenadas cilíndricas para determinar no ponto :

ou

Para encontrar a intensidade de campo magnético, devemos tomar o rotacional da equação

anterior, o que leva a

ou

que é facilmente mostrada como sendo o mesmo valor dado pela lei de Biot-Savart.

Para uma lâmina de corrente , o elemento diferencial de corrente se torna

No caso de uma corrente fluindo através de um volume com uma densidade , temos

dA

( ), , zρ φ

0

2 2

ˆ

4

zI dz adA

z

µ

π ρ=

+

0

2 24z

I dzdA

z

µ

π ρ=

+0dAρ = 0dAφ =

0 0

1 1ˆzdA

dH dA aφµ µ ρ

∂= ∇× = −

∂

( )3/2

2 2ˆ

4

I dzdH a

zφ

ρ

π ρ=

+

K

I dL K dS=

J

I dL J dv=



Eletromagnetismo


131

As expressões alternativas para são, então,

e

Fica evidente, pela observação das equações dadas, que o potencial magnético vetorial tem

seu valor de referência zero no infinito, ou seja, em , pois nenhum elemento de

corrente finito pode produzir qualquer contribuição quando .

Exemplo 10:

Sabe-se que uma lâmina de corrente, , está presente na superfície no

espaço livre. Dado , determine:

a) para ;

b) em se em e há uma barreira em ;

c) em se em e há uma barreira em ;

d) em se em e há uma barreira em ;

e) em se em e há uma barreira em .

Exemplo 11:

Tem-se que o valor de dentro de um condutor sólido não-magnético de raio conduzindo uma

corrente total na direção pode ser facilmente encontrado usando o valor conhecido de .

Sabendo-se que em , determine em:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

A

0

4S

K dSA

R

µ

π= ∫

0

4vol

J dvA

R

µ

π= ∫

0A =

R = ∞

R → ∞

ˆ2,4 /zK a A m=

1,2ρ =

( )1,5;0,6 ;1P π

H

1,2ρ >

mV P 0mV = 0φ = φ π=

mV P 0mV = 0φ = /2φ π=

mV P 0mV = φ π= 0φ =

mV P 5mV = φ π= 0,8φ π=

A

a

I ˆza H

( )0 ln 5 /2A Iµ π= aρ = A

0ρ =

0,25aρ =

0,75aρ =

aρ =



Eletromagnetismo


132

8 – FORÇAS MAGNÉTICAS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA

8.1 Força em uma Carga em Movimento

Experimentalmente, podemos verificar que uma partícula carregada movimentando-se em

um campo magnético cuja densidade de fluxo é , sofre a ação de uma força cuja magnitude é

proporcional à carga , à sua velocidade e ao próprio valor de . A direção da força é

perpendicular a e a e é dada por um vetor unitário da direção de (regra da mão

esquerda). A força pode ser, portanto, expressa como

Conforme pode ser notado, a força é normal à trajetória, por isso ela não pode alterar a

magnitude da velocidade da partícula, em outras palavras, o vetor aceleração é sempre

perpendicular ao vetor velocidade, então a energia cinética da partícula permanece inalterada, e

segue daí que o campo magnético estacionário é incapaz de transferir energia para a carga em

movimento. Por outro lado no que tange ao campo elétrico, este exerce uma força sobre a partícula

que é independente da direção em que a partícula se desloca e, portanto, acarreta uma transferência

de energia entre o campo e a partícula, a mesma é encontrada, conforme já visto, pela expressão

A força sobre uma partícula em movimento devida aos campos elétrico e magnético

combinados é facilmente obtida através da superposição, ou seja,

Esta equação é conhecida como a equação de força de Lorentz, e sua solução é necessária

para a determinação do movimento de partículas carregadas sob a ação combinada dos campos

elétrico e magnético.

Exemplo 01:

A carga pontual tem uma velocidade de na direção

. Calcule a magnitude da força exercida sobre a carga pelo campo:

a) ;

b) ;

c) e agindo juntos.

B

Q v

B

v

B

v B×

F Q v B= ×

F Q E=

( )F Q E v B= + ×

18Q nC= 65 10 /m s⋅

ˆ ˆ ˆ ˆ0,19 0, 23 0,95v x y z

a a a a= − +

ˆ ˆ ˆ3 4 6x y zB a a a mT= − + +

ˆ ˆ ˆ3 4 6 /x y zE a a a kV m= − + +

B

E



Eletromagnetismo


133

8.2 Força em um Elemento Diferencial de Corrente

A força sobre uma partícula carregada que se desloca através de um campo magnético

estacionário pode ser escrita como uma força diferencial exercida sobre um elemento diferencial de

carga,

A figura (a) a seguir mostra um diferencial de carga contido em um diferencial de fio ou tira.

Este filamento é percorrido por uma corrente , o mesmo tem largura e está submetido a uma

densidade de fluxo magnético entrando na folha. Este experimento foi primeiro implementado

por Edwin Hall em 1879, que mostrou que os elétrons de condução em movimento em um condutor

podem ser defletidos por um campo magnético. Esta constatação é conhecida por efeito Hall.

Percebe-se que ao aplicar um campo magnético, conforme figura, ocorre um acúmulo de

carga no lado direito da tira em questão. Este acúmulo de carga ao longo do lado direito da tira (e a

deficiência correspondente de carga deste sinal no lado esquerdo), produz um campo elétrico ao

longo da tira, conforme mostrado na figura (b). Este campo é conhecido por campo elétrico de Hall.

Desta forma, surge uma diferença de potencial , chamada de potencial Hall (ou tensão

Hall), ao longo deste diferencial de tira. Esta tensão é factível de medição.

À medida que os portadores de carga (de sinal positivo ou negativo) se movimentam, eles

são defletidos, neste caso, para a direita da tira pela força magnética. E à medida que as cargas se

empilham no lado direito, elas estabelecem um campo elétrico que age dentro do condutor opondo-

se ao movimento (dos portadores adicionais) para os lados. O equilíbrio é rapidamente atingido e a

dF dQ v B= ×

I w

B

HE

H HV E w=



Eletromagnetismo


134

tensão Hall atinge o seu valor máximo; o diferencial de força magnética lateral é dessa forma

equilibrado pelo diferencial de força elétrica lateral. Em termos vetoriais, o diferencial de força de

Lorentz sobre os portadores de carga é nula, ou seja,

logo,

Passaremos agora a uma análise macroscópica, fora do condutor. Vimos, em capítulos

anteriores, que a densidade de corrente de convecção em termos da velocidade e da densidade

volumétrica de carga é

O elemento diferencial de carga também pode ser expresso em termos de densidade

volumétrica de carga ,

Assim,

ou

Sabe-se também que

e, assim, para uma densidade superficial de corrente, tem-se

e para um filamento diferencial de corrente,

Integrando-se as equações anteriores, temos

( ) 0HdF dQ E v B= + × =

HE v B= − ×

vJ vρ=

( )dv

vdQ dvρ=

( )vdF dQ v B dv v Bρ= × = ×

dF J B dv= ×

J dv K dS I dL= =

dF K B dS= ×

dF I dL B= ×

volF J B dv= ×∫



Eletromagnetismo


135

e

Um resultado simples é obtido aplicando-se a equação anterior a um condutor reto em um

campo magnético uniforme,

A magnitude da força é dada pela equação familiar

onde é o ângulo entre os vetores que representam a direção do fluxo de corrente e a direção da

densidade de fluxo magnético.

Exemplo 02: Na figura ao lado tem-se uma espira quadrada posicionada no plano conduzindo uma

corrente de e imersa no campo de um

filamento infinito colocado sobre o eixo .

Calcule a força total exercida sobre a espira.

Exemplo 03:

O campo está presente no espaço livre. Determine o vetor força

exercido em um fio retilíneo conduzindo na direção , dado e:

a) ;

b) .

Exemplo 04: Na figura abaixo tem-se um semicondutor de silício tipo n, tendo uma seção transversa retangular

de por e um comprimento de . Suponha que as mobilidades dos elétrons e

das lacunas sejam, respectivamente, e , na temperatura de operação. Considere

SF K B dS= ×∫

F I dL B I B dL= × = − ×∫ ∫

F I L B= ×

senF BIL θ=

θ

0z =2mA

y

ˆ ˆ ˆ2 3 4x y zB a a a mT= − + +

12 A ÂBa ( )1,1,1A

( )2,1,1B

( )3,5,6B

0,9mm 1,1cm 1,3cm

0,13 20,03 /m Vs



Eletromagnetismo


136

e a intensidade de campo elétrico na direção do fluxo de corrente sendo de .

Determine a magnitude da: a) tensão sobre o comprimento do amostra; b) velocidade de deriva; c) força transversa por Coulomb de cargas em movimento causada por B; d) intensidade de campo elétrico transverso; e) a tensão de Hall.

8.3 Força entre Elementos Diferenciais de Corrente

O campo magnético em um ponto 2 gerado por um elemento de corrente em um ponto 1 foi

determinado no capítulo anterior como sendo

Já o diferencial de força sobre um elemento diferencial de corrente num ponto 2 foi

determinado na secção anterior como sendo

e aplicando este resultado ao nosso problema, substituímos por (a densidade de fluxo

diferencial no ponto 2 causada pelo elemento de corrente 1) e simbolizamos a quantidade diferencial

de força diferencial no elemento 2 por , que é uma diferencial dupla:

Sabe-se também que

0,07B T= 800 /V m

1 1 122 2

12

ˆ

4

RI dL adH

Rπ

×=

2 2 2dF I dL B= ×

2B

2dB

( )2d dF

( )2 2 2 2d dF I dL dB= ×

1 1 122 0 2 0 2

12

ˆ

4

RI dL adB dH

Rµ µ

π

×= =



Eletromagnetismo


137

Então, obtém-se a força entre os dois elementos diferenciais de corrente,

Conforme pode-se observar, a equação é um tanto quanto complicada. Isto deve-se ao fato

de que a força está sendo expressada de forma direta sem a determinação do campo magnético. O

conceito de campo magnético foi introduzido de modo a dividir em duas partes o problema da

determinação da interação de uma distribuição de corrente sobre uma segunda distribuição. Deve-

se, portanto, evitar formas diretas de representação de interações entre correntes em que não há o

uso do conceito intermediário de campo magnético.

Exemplo 05: Considere dois elementos diferenciais de corrente, conforme ilustrado na figura ao lado.

Sabendo-se que em

e em

, determine o diferencial de força exercido

sobre .

8.4 Força e Torque em um Circuito Fechado

Na definição de torque, ou momento, de uma força, é necessário considerar uma origem em

relação à qual o torque deve ser calculado, assim como o ponto de aplicação da força. Na figura (a) a

seguir, aplicamos uma força no ponto e estabelecemos a origem em com um braço de

alavanca se estendendo de a . A direção do vetor torque é normal tanto à força

quanto ao braço de alavanca e é orientada no sentido de avanço de um parafuso direito quando

giramos o braço de alavanca.

( ) ( )1 22 0 2 1 122

12

ˆ4

R

I Id dF dL dL a

Rµ

π= × ×

1 1ˆ3 yI dL a Am= −

( )1 5, 2,1P 2 2ˆ4

zI dL a Am= −

( )2 1,8,5P

2dL

F

P O

R

O P T

F

R



Eletromagnetismo


138

O torque, portanto, pode ser expresso pelo produto vetorial

sua unidade no Sistema Internacional de medidas é dada em .

Suponhamos agora que duas forças, em e em , com braços de alavanca e

respectivamente, se estendendo a partir de uma origem comum , como mostrado na figura (b)

anterior, sejam aplicadas a um objeto de forma fixa e que este objeto não sofra translação. Então, o

torque em relação à origem é

onde

e, portanto,

O vetor liga o ponto de aplicação de ao ponto de aplicação de e é independente

da origem dos dois vetores e . Portanto, o torque é também independente da escolha da

origem. Isto pode ser estendido para quaisquer números de forças. Observação: o ponto da

origem, em geral, é designado no eixo de rotação e no plano que contém as forças aplicadas, se as

diversas forças forem co-planares.

Uma vez feita a introdução do conceito de torque, consideremos agora o torque em uma

espira infinitesimal de corrente imersa em um campo magnético . A espira pertence ao plano ,

T R F= ×

N.m

1F

1P 2F

2P 1R

2R

O

1 1 2 2T R F R F= × + ×

1 2 0F F+ =

( )1 2 1 21 1T R R F R F= − × = ×

21R

2F

1F

1R

2R

O

B

xy



Eletromagnetismo


139

os lados da espira são paralelos aos eixos e e são de comprimento e , conforme figura

abaixo. O valor do campo magnético no centro da espira é dado por . Como a espira é de

tamanho diferencial, o valor de em todos os pontos da espira pode ser tomado como sendo ,

isto porque estamos trabalhando com dimensões infinitesimais, diferentemente do desenvolvimento

do rotacional, onde tínhamos dimensões incrementais. A força total na espira será zero, pois o

campo é o mesmo em todos os lados desta, contudo, podemos fazer um estudo do torque na

mesma, escolhendo-se, para tanto, o ponto de origem do torque no centro da espira.

Sabe-se que o infinitesimal de força em um infinitesimal de comprimento é dado por

Então, o vetor diferencial de força no lado 1 é

e considerando , pode-se escrever

Para este lado da espira, o braço da alavanca se estende da origem ao ponto médio do

lado, , e a contribuição para o torque total é

x y dx dy

0B

B

0B

dF I dL B= ×

1 0ˆ

xdF I dx a B= ×

0 0 0 0ˆ ˆ ˆ

x x y y z zB B a B a B a= + +

( )1 0 0ˆ ˆ

y z z ydF I dx B a B a= −

R

1

1ˆ

2yR dy a= −



Eletromagnetismo


140

A contribuição para o torque no lado 3 é igual à contribuição dada pela expressão anterior

e

Calculando-se o torque nos lados 2 e 4, encontramos

e o torque total é, então,

A quantidade dentro dos parênteses pode ser expressa pelo produto vetorial,

ou

onde é o vetor área da espira diferencial de corrente, conforme figura anterior, e o índice em

foi omitido.

Definimos agora o produto da corrente da espira pelo vetor área da espira como o momento

de dipolo magnético diferencial , com unidades de . Assim,

( )

1 1 1

0 0

0

1ˆ ˆ ˆ

2

1ˆ

2

y y z z y

y x

dT R dF

dy a I dx B a B a

dx dy I B a

= ×

= − × −

= −

( ) ( )

3 3 3

0 0

0 1

1ˆ ˆ ˆ

2

1ˆ

2

y y z z y

y x

dT R dF

dy a I dx B a B a

dx dy I B a dT

= ×

= × − −

= − =

1 3 0ˆ

y xdT dT dx dy I B a+ = −

2 4 0ˆ

x ydT dT dx dy I B a+ =

( )0 0ˆ ˆ

x y y xdT I dx dy B a B a= −

( )0ˆ

zdT I dx dy a B= ×

dT I dS B= ×

dS

0B

dm 2

A.m

dm I dS=



Eletromagnetismo


141

e

Estas equações desenvolvidas são válidas para espiras diferenciais de qualquer formato e não

somente para formas retangulares. O torque em uma espira circular ou triangular é também dada

em termos do vetor área da superfície ou vetor do momento de dipolo.

O torque em uma espira plana de qualquer tamanho ou formato, em um campo magnético

uniforme, é dado pela expressão

Devemos notar que o torque em uma espira de corrente sempre tende a girar a espira de

modo a alinhar o campo magnético produzido pela espira com o campo magnético do meio, ou

melhor, com o campo que está causando o torque.

Exemplo 06: Para a espira retangular da figura ao lado calcular a força resultante aplicada na mesma e o vetor torque.

Exemplo 07:

Um condutor filamentar triangular une os pontos , e . O segmento

conduz uma corrente de na direção . Está presente um campo magnético

. Determine:

a) a força sobre o segmento ; b) a força sobre a espira triangular;

c) o torque sobre a espira em relação à origem no ponto ; d) o torque sobre a espira em relação à origem no ponto .

dT dm B= ×

T I S B m B= × = ×

( )3,1,1A ( )5, 4,2B ( )1,2, 4C

AB 0,2 A ÂBa

ˆ ˆ ˆ0,2 0,1 0,3x y zB a a a T= − +

BC

A

C



Eletromagnetismo


142

8.5 Natureza dos Materiais Magnéticos

Analisaremos o modelo de um simples átomo, onde um elétron em uma órbita é análogo a

uma pequena espira de corrente (na qual a corrente tem direção oposta à do deslocamento do

elétron) e, como tal, experimenta um torque quando sujeito a um campo magnético externo, torque

este tendendo a alinhar o campo magnético produzido pelo elétron em órbita com o campo

magnético externo.

Um segundo momento é atribuído ao spin do elétron. Um elétron pode ter um momento

magnético de spin de ; os sinais de mais e de menos indicam que alinhamentos

aditivos ou subtrativos ao campo magnético externo são possíveis.

Uma terceira contribuição para o momento de um átomo é causada pelo spin do núcleo.

Embora este fator forneça um efeito desprezível sobre as propriedades magnéticas dos materiais, ele

é a base do procedimento de mapeamento com ressonância magnética nuclear atualmente

fornecido por muitos hospitais.

Assim, cada átomo contém muitas componentes diferentes do momento, e a sua

combinação determina as características magnéticas do material e permite sua classificação

magnética geral. Descreveremos, de modo breve, seis diferentes tipos de material, a saber:

• Diamagnético;

• Paramagnético;

• Ferromagnético;

• Antiferromagnético;

• Ferrimagnético;

• Superparamagnético.

O material diamagnético é aquele em que os átomos constituintes do material possuem

pequenos campos magnéticos produzidos pela movimentação dos elétrons em suas órbitas os quais

combinam com os campos produzidos pelos spins dos elétrons para produzir um campo líquido nulo.

Note que estamos considerando aqui os campos produzidos pelo movimento do elétron em si na

ausência de qualquer campo magnético externo; podemos também descrever este material como

aquele em que o momento magnético permanente de cada átomo é zero. Neste material um

campo magnético externo não produz nenhum torque no átomo, nenhum realinhamento dos

campos dos dipolos, e conseqüentemente um campo magnético interno será igual ao mesmo campo

aplicado. Exemplos de materiais diamagnéticos: bismuto metálico, hidrogênio, hélio, cloreto de

sódio, cobre, ouro, silício, germânio, grafite e enxofre.

No material paramagnético os efeitos do spin do elétron e do movimento orbital não se

cancelam em cada átomo. O átomo como um todo tem um pequeno momento magnético, mas a

orientação aleatória dos átomos em uma grande amostra produz um momento magnético médio

zero. O material não apresenta efeitos magnéticos na ausência de um campo externo. Porém,

24 29.10 A.m−±

0m



Eletromagnetismo


143

quando um campo externo é aplicado, há um pequeno torque em cada momento atômico, e estes

momentos tendem a se alinhar com o campo externo. Este alinhamento age de modo a aumentar o

valor de dentro do material em relação ao valor fora do material. Exemplo de materiais

paramagnéticos: potássio, oxigênio, tungstênio, cloreto de érbio, óxido de neodímio e óxido de ítrio.

No material ferromagnético cada átomo tem um momento de dipolo relativamente grande,

causado principalmente pelos momentos de spin dos elétrons. Forças atômicas fazem com que estes

momentos se alinhem de modo paralelo em regiões contendo um grande número de átomos. Estas

regiões são chamadas domínios, e podem ter uma grande variedade de forma e tamanho,

dependendo do material e da história magnética da amostra. Materiais ferromagnéticos virgens

terão domínios com fortes momentos magnéticos; os momentos dos domínios, contudo, mudam de

direção de domínio para domínio, causando um efeito global de cancelamento e o material como um

todo não tem momento magnético. Porém, quando da aplicação de um campo magnético externo,

aqueles domínios que têm momentos na direção do campo aplicado aumentam seu tamanho às

custas dos seus vizinhos e o campo magnético interno aumenta grandemente em relação ao campo

externo. Quando o campo externo é removido, um alinhamento do domínio completamente

aleatório não é usualmente atingido e um campo de dipolo residual, ou remanescente, permanece

na estrutura macroscópica. Este fato do momento magnético do material ser diferente depois de o

campo haver sido removido, ou o fato de o estado magnético do material ser função de sua história

magnética, é conhecido por histerese magnética e será mais bem detalhada em capítulos seguintes.

Exemplos de materiais ferromagnéticos: ferro, níquel e cobalto, contudo, perdem esta característica

em temperaturas superiores à temperatura Curie (770°C). Também tem-se como exemplo as ligas:

alumínio-níquel-cobalto, bismuto-magnésio e cobre-magnésio-estanho.

O material antiferromagnético é dotado de átomos com momentos de dipolos fortes,

causado principalmente pelos momentos de spin dos elétrons. Todavia as forças entre átomos

adjacentes fazem com que os momentos atômicos se alinhem de modo antiparalelo. O momento

magnético líquido é zero, e os materiais são afetados apenas um pouco pela presença de campo

magnético externo. O antiferromagnetismo está presente somente em temperaturas relativamente

baixas, bem abaixo da temperatura ambiente. O efeito não tem importância para a engenharia no

presente. Exemplos de material antiferromagnético: óxido de magnésio, óxido de níquel, sulfeto de

ferro e cloreto de cobalto.

O material ferrimagnético é também dotado de átomos com momentos de dipolos fortes,

causado principalmente pelos momentos de spin dos elétrons. Este material apresenta também um

alinhamento antiparalelo dos momentos atômicos adjacente, mas os momentos não são iguais.

Ocorre então uma grande resposta a um campo magnético externo, embora não tão grande como a

dos materiais ferromagnéticos. O grupo mais importante dos materiais ferrimagnéticos são as

ferritas, nas quais a condutividade é baixa, várias ordens de magnitude menor que a dos

semicondutores. O fato de estas substâncias terem maior resistência elétrica que os materiais

ferromagnéticos resulta em correntes induzidas muito menores no material quando campos

alternados são aplicados, como, por exemplo, nos núcleos do transformadores que operam em altas

freqüências. Estas correntes reduzidas levam a menores perdas ôhmicas no núcleo do

B



Eletromagnetismo


144

transformador. Exemplos de materiais ferrimagnéticos: magnetita, óxido de ferro, ferrita de níquel-

zinco e ferrita de níquel. O ferrimagnetismo também desaparece acima da temperatura Curie.

O material superparamagnético é também dotado de átomos com momentos de dipolos

fortes, causado principalmente pelos momentos de spin dos elétrons. Este material é composto de

uma combinação de partículas ferromagnéticas em uma matriz não-ferromagnética. Embora existam

domínios dentro das partículas individuais, os limites dos domínios não podem penetrar no material

da matriz até a partícula adjacente. Exemplo de material superparamagnético: fita magnética usada

nos gravadores de áudio e vídeo.

A tabela a seguir traz uma síntese dos seis diferentes tipos de materiais acima apresentados.

8.6 Magnetização e Permeabilidade

Faremos agora uma descrição de materiais magnéticos em uma base mais quantitativa,

mostrando como os dipolos magnéticos agem como fontes distribuídas de campo magnético. O

resultado será uma equação que parece muito com a lei circuital de Ampère, .

Entretanto, a corrente será o movimento das cargas ligadas (elétrons em órbita, spin dos elétrons e

spin nuclear), e o campo, que tem dimensões de , será chamado de magnetização . A corrente

produzida pelas cargas ligadas é chamada de corrente ligada ou mais comumente chamada por

corrente de magnetização.

Esta corrente ligada , circula ao redor de um caminho fechado, limitando uma área

diferencial , o que estabelece um momento de dipolo , sendo

Se existe dipolos magnéticos por unidade de volume e considerando um volume ,

então o momento de dipolo magnético total é determinado pela soma vetorial

H dL I⋅ =∫

H

M

( )bI

bI

dS

m

bm I dS=

n v∆



Eletromagnetismo


145

Cada um dos pode ser diferente. A seguir, definimos a magnetização como o

momento de dipolo magnético por unidade de volume,

e observamos que suas unidades devem ser as mesmas de , uma vez que é dado em

e em .

A figura abaixo mostra diversos momentos magnéticos que fazem um ângulo com o

elemento do caminho , cada momento consiste em uma corrente ligada circulando em torno

de uma área . O elemento é uma pequena porção de um caminho fechado.

Considerando-se um pequeno volume de dimensões e , ou volume de ,

dentro do qual há dipolos magnéticos. Ao mudar de uma orientação aleatória para este

alinhamento parcial, a corrente ligada que atravessa a superfície limitada pelo caminho aumenta em

para cada um dos dipolos. Assim,

e dentro de um contorno totalmente fechado,

Esta equação tem alguma semelhança com a lei circuital de Ampère, e podemos agora

generalizar a relação entre e de modo a aplicá-la a qualquer meio além do espaço livre. Assim

sendo, vamos escrever a lei circuital de Ampère em termos da corrente total, ligada mais livre,

1

n v

total i

i

m m∆

=

=∑

im

M

01

1lim

n v

iv

i

M mv

∆

∆ →=

=∆∑

H

( )A/m im

2A.m v∆ 3m

m

θ

dL

bI

dS

dL

dS

dL

dS dL⋅

n dS dL⋅

bI n dS dL⋅

b bdI n I dS dL M dL= ⋅ = ⋅

bI M dL= ⋅∫

B

H

0

T

BdL I

µ⋅ =∫



Eletromagnetismo


146

onde

e é a corrente total livre envolvida pelo caminho fechado. Note que a corrente livre aparece sem

índice, uma vez que ela é o tipo mais importante de corrente.

Combinando essas três últimas equações, obtemos uma expressão para a corrente livre

envolvida,

Vale ressaltar que a lei circuital de Ampère continua sendo escrita em termos da corrente

livre,

Então, podemos definir em termos de e :

esta relação é comumente escrita de um modo que evita frações e sinais de menos:

A relação entre , e pode ser simplificada para um meio linear isotrópico, onde a

susceptibilidade magnética é definida como

Assim sendo, temos

onde

é definida como a permeabilidade relativa . Em seguida, definimos a permeabilidade :

T bI I I= +

I

0 0

T b

B BI I I dL M dL M dL

µ µ

= − = ⋅ − ⋅ = − ⋅

∫ ∫ ∫

I H dL= ⋅∫

H

B

M

0

BH M

µ= −

( )0B H Mµ= +

B

H

M

mχ

mM Hχ=

( )0

0

m

R

B H H

H

µ χ

µ µ

= +

=

1R mµ χ= +

Rµ µ



Eletromagnetismo


147

e isto nos permite escrever a relação simples entre e ,

Materiais magnéticos anisotrópicos não podem ser descritos em termos dos parâmetros

susceptibilidade e permeabilidade como desenvolvido acima.

Exemplo 08:

Dado um material ferrita que operando de forma linear com . Considere e

calcule os valores de , e .

Exemplo 09: Determine a magnetização em um material magnético onde:

a) e ;

b) e há átomos por metro quadrado e cada átomo tem momento de dipolo

de ;

c) e .

Exemplo 10:

A magnetização em um material magnético para qual é dada em uma certa região como

. Em , determine a magnitude de:

a) ;

b) ;

c) .

8.7 Condições de Fronteira Magnéticas

A figura abaixo mostra a fronteira entre dois materiais lineares, homogêneos e isotrópicos

com permeabilidades e . A condição de fronteira para componentes normais é determinada

permitindo-se que a superfície corte uma pequena superfície gaussiana cilíndrica. Aplicando a lei de

Gauss para o campo magnético a partir da equação já conhecida

encontramos que

0 Rµ µ µ=

B

H

B Hµ=

0,05B T= 50Rµ =

mχ M H

51,8.10 /H mµ −= 120 /H A m=

22Rµ = 288,3.10

27 24,5.10 .Am−

300B Tµ= 15mχ =

8mχ =2 ˆ150 /

xz a A m 4z cm=

TJ

J

bJ

1µ 2µ

0S

B dS⋅ =∫



Eletromagnetismo


148

uma vez que a altura do cilindro é considerada próxima a zero e, conseqüentemente, sua área lateral

fica sendo nula.

Assim,

então,

A componente normal de é continua, mas a componente normal de é descontínua. Já

a relação entre as componentes normais de , para esse caso de materiais magnéticos lineares,

pode ser escrita

Um segundo passo, que já é de praxe no estudo das condições de fronteira, é a aplicação da

integral de linha do campo (neste caso, lei circuital de Ampère)

que é aplicada ao redor de um pequeno caminho fechado pertencente a um plano normal à

superfície da fronteira, como mostrada à direita da figura anterior. Considerando a fronteira

1 20

N NB S B S∆ − ∆ =

2 1N NB B=

12 1

2

N NH Hµ

µ=

B

H

M

1 2 11 12 2 2 2 1 2 1

2 2 1 1 2

N mN m N m N m N

m m

MM H H M

χ µµ µχ χ χ

µ µ χ χ µ

= = = =

H dL I⋅ =∫



Eletromagnetismo


149

conduzindo uma corrente superficial cuja componente normal ao plano do caminho fechado é

e fazendo a integral no caminho com sentido horário, temos

ou

De forma genérica, usando o produto vetorial para identificar as componentes tangenciais,

onde é o vetor unitário normal à fronteira dirigido da região 1 para a região 2.

Para a componente tangencial , temos

A condição de fronteira para a componente tangencial da magnetização é, portanto,

As três últimas condições de contorno para componentes tangenciais serão mais simples se a

densidade superficial de corrente for zero. Esta é uma densidade de cargas livres e deverá ser zero se

nenhum dos dois materiais for condutor.

Exemplo 11:

Em uma dada região 1, onde , tem-se , enquanto que para

. Considere em a densidade superficial de corrente . Estabelecendo um

campo na região 1, calcule o valor do campo na região 2.

Exemplo 12:

Considere a permissividade sendo na região A onde e na região B onde

. Se há uma densidade superficial de corrente em e se

, determine:

a) ;

b) ;

K

K

1 2t tH L H L K L∆ − ∆ = ∆

1 2t tH H K− =

( )1 2 12ˆ

NH H a K− × =

12ˆ

Na

B

1 2

1 2

t tB BK

µ µ− =

22 1 2

1

mt t m

m

M M Kχ

χχ

= −

0z > 1 4 /H mµ µ µ= = 2 7 /H mµ µ=

0z < 0z = ˆ80 /x

K a A m=

ˆ ˆ ˆ2 3x y zB a a a mT= − +

5 /H mµ 0x < 20 /H mµ

0x > ˆ ˆ150 200 /y zK a a A m= −

0x =

ˆ ˆ ˆ300 400 500 /A x y zH a a a A m= − +

tAH

nAH



Eletromagnetismo


150

c) ;

d) .

8.8 Circuito Magnético

O estudo de circuito magnético será realizado a partir de um quadro comparativo com

circuitos elétricos resistivos de corrente contínua.

CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO

Relação do Potencial Elétrico com a Intensidade de Campo Elétrico:

Relação do Potencial Magnético com a Intensidade de Campo Magnético:

Diferença de Potencial Elétrico:

Diferença de Potencial Magnético (Força Magnetomotriz - fmm):

= “ampère-espiras”

Corrente Elétrica Total:

Fluxo Magnético Total:

Densidade de Corrente Elétrico:

(Forma pontual da lei de Ohm)

Densidade de Fluxo Magnético:

Resistência Elétrica:

ou

Relutância Magnética:

ou

Integral de Linha do Campo Elétrico:

(Lei de Kirchhoff das Tensões)

Integral de Linha do Campo Magnético:

tBH

nBH

( )V/mE V= −∇

( )A/mmH V= −∇

( )VB

ABA

V E dL= ⋅∫

( )A ou A.eB

mABA

V H dL= ⋅∫

A.e

( )AS

I J dS= ⋅∫

( )WbS

B dSΦ = ⋅∫

( )2C/mJ Eσ=

( )2Wb/m ou TB Hµ=

( )V

RI

= Ω

dR

Sσ=

( )A.e/WbmVℜ =

Φ

d

Sµℜ =

0E dL⋅ =∫

totalH dL I NI⋅ = =∫



Eletromagnetismo


151

Neste quadro anterior tem-se a definição de relutância magnética como a relação entre

força magnetomotriz e o fluxo magnético total . Outra observação a ser feita é relativa à

última linha da tabela, onde a integral de linha do campo magnético é igual à corrente total, que

pode ser considerada como fluindo através de um enrolamento de espiras.

A equação para relutância só pode ser aplicada em material magnético homogêneo

linear isotrópico de comprimento e de seção reta uniforme , porém o único material com estas

especificações que aplicaremos esta relação em nosso curso será o ar.

A principal diferença entre análise de circuitos elétricos e análise de circuitos magnéticos está

na natureza não-linear das porções ferromagnéticas nesta última. Quando materiais ferromagnéticos

estão presentes no circuito a relação entre e deixa de ser linear.

Consideremos uma amostra de material ferromagnético completamente desmagnetizada;

tanto quanto inicialmente são zero. Quando começamos a aplicar uma força magnetomotriz

(fmm), a densidade de fluxo também cresce, mas não linearmente, como mostram os dados

experimentais da figura a seguir.

Depois de atingir um valor de cerca de , a densidade de fluxo cresce mais

suavemente e começa a saturar quando é de várias centenas de . Tendo atingido uma

saturação parcial, passemos a outra figura que se segue abaixo, onde podemos continuar nossa

experiência a partir do ponto com a redução de .

ℜ

( )mV ( )Φ

I N

d

Sµℜ =

d S

B H

B H

H 100 A.e/m

H A.e/m

x H



Eletromagnetismo


152

Ao reduzimos , os efeitos da histerese começam a aparecer e não conseguimos voltar pela

nossa curva original. Mesmo depois de ser zero (em ), há densidade de fluxo

remanescente. Quando é invertido e então trazido de volta a zero e o ciclo completo traçado

diversas vezes, obtém-se o chamado laço de histerese. A fmm necessária para reduzir a densidade

de fluxo a zero é identificada por , a “força” coerciva. Conforme pode ser observado, para

menores valores máximos de , menores laços de histerese serão obtidos.

Exemplo 13: Dado o circuito magnético da figura ao lado, considere

no ponto médio da

perna esquerda e determine:

a) ;

b) ;

c) a corrente necessária em um enrolamento de 1300 espiras na perna esquerda.

H

HrB B=

H

cH

H

0,6B T=

,m arV

,m açoV



Eletromagnetismo


153

Exemplo 14: A curva de magnetização para um determinado material sob condições normais de operação pode

ser aproximada pela expressão . Se um circuito magnético contém

de comprimento deste material, assim como de gap de ar, suponha uma seção

reta uniforme de e determine a fmm total necessária para produzir um fluxo de:

a) ;

b) .

8.9 Energia Potencial e Forças em Materiais Magnéticos

A expressão geral para a energia em um campo eletrostático foi introduzida em capítulos

anteriores como

onde se supõe uma relação linear entre e .

Usando os conceitos vistos para campo magnético, podemos desenvolver uma expressão de

energia por métodos semelhantes àqueles usados na obtenção da relação de energia eletrostática. A

energia total armazenada em um campo magnético estacionário em que está linearmente

relacionado com é

Considerando , temos as fórmulas equivalentes

ou

Suponha que temos um solenóide longo com um núcleo de aço-silício. Esse solenóide,

quando percorrido por uma corrente, gera nesse núcleo uma densidade de fluxo magnético chamada

. Se aplicarmos uma força mecânica para separar duas seções do núcleo enquanto

( )( )/320/160 0, 25 HB H e

−= +

12cm 0, 25mm22,5cm

10 Wbµ

100 Wbµ

1

2E

volW D E dv= ⋅∫

D

E

B

H

1

2H

volW B H dv= ⋅∫

B Hµ=

21

2H

volW H dvµ= ∫

21

2H

vol

BW dv

µ= ∫

açoB F



Eletromagnetismo


154

mantemos a densidade fluxo constante, estaremos aplicando uma força sobre uma distância .

Realiza-se assim, um trabalho , então

onde é a área da seção reta do núcleo. Assim,

Observa-se que o trabalho aparece como a energia armazenada no gap de ar que criamos. O

núcleo não sofre variação alguma de campo ou energia.

Exemplo 15: Relacionado ao exercício exemplo 13 responda:

a) que força está sendo exercida nas faces em contato do circuito? b) está a força tentando abrir ou fechar o gap de ar?

8.10 Indutância e Indutância Mútua

A indutância é o último dos três parâmetros familiares da teoria de circuitos a ser definido.

Como um prelúdio para definir a indutância, precisamos introduzir o conceito de enlaces de fluxo

(também chamado de fluxo concatenado). Consideremos um toróide de espiras no qual uma

corrente produz um fluxo total . Devemos admitir que este fluxo envolve cada uma das

espiras e também que cada uma das espiras envolve o fluxo total . O enlace de fluxo é definido

pelo produto . A figura a seguir mostra uma porção de uma bobina com seus enlaces de fluxo

parciais.

dL

F dL

2

0

1

2

aço

H

BdW F dL S dL

µ= =

S

2

02

açoB S

Fµ

=

N

I Φ N

N Φ

N Φ



Eletromagnetismo


155

A auto-indutância, ou indutância própria, ou simplesmente indutância é definida como a

relação entre o total de enlaces de fluxo e a corrente que eles envolvem,

Esta definição é aplicável somente a meios magnéticos lineares, de modo que o fluxo seja

proporcional à corrente. Se materiais ferromagnéticos estão presentes, não há uma definição única

para indutância que seja útil em todos os casos. A unidade de indutância é henry .

Uma outra definição equivalente para indutância pode ser feita usando um ponto de vista de

energia,

onde é a corrente total fluindo em um caminho fechado e é a energia no campo magnético

produzida pela corrente. Obs.: no livro texto foi feita a demonstração da equivalência entre estas

duas últimas equações.

No interior de qualquer condutor também contém fluxo magnético, e este fluxo envolve uma

fração variável da corrente total, dependendo de sua localização. Estes enlaces de fluxo levam a uma

indutância interna, que deve ser combinada com a indutância externa para obter a indutância total.

A indutância interna por metro de um longo fio reto de seção reta circular de raio e distribuição

uniforme de corrente uniforme é

Quando têm-se dois circuitos em um mesmo arranjo magnético, usualmente, define-se uma

indutância comum entre os mesmos, a qual é chamada de indutância mútua. A indutância mútua

entre os circuito 1 e 2, , em termos dos enlaces de fluxo mútuos (fluxos comuns aos dois

circuito) pode ser escrita como

onde significa fluxo produzido por que envolve o caminho da corrente filamentar e é

o número de espiras do circuito 2.

A troca dos índices não muda os lados direito e esquerdo da equação anterior, portanto,

NL

I

Φ=

( )H

2

2 HWL

I=

IHW

a

( ),int H/m8

aLµ

π=

12M

2 1212

1

NM

I

Φ=

12Φ 1I 2I 2N

12 21M M=



Eletromagnetismo


156

A indutância mútua também é medida em henrys, e devemos nos referir ao contexto para

conseguir diferençá-la da magnetização.

Exemplo 16:

Calcule as auto-indutâncias e as indutâncias mútuas entre dois solenóides coaxiais de raios e ,

, conduzindo correntes e com e espiras/m, respectivamente.

Exemplo 17: Calcule a auto-indutância de:

a) um cabo coaxial de com e , preenchido com um material para

o qual ;

b) uma bobina toroidal de 500 espiras, enrolada na forma de uma fibra de vidro de

de seção transversa quadrada e um raio interno de ;

c) um solenóide com 500 espiras em torno de um núcleo cilíndrico de de raio no qual

para e para , o comprimento do solenóide

é .

Exemplo 18:

Um solenóide tem de comprimento, de diâmetro e contém 1500 espiras. O núcleo

cilíndrico tem um diâmetro de e uma permeabilidade relativa de 75. Esta bobina é coaxial

com um segundo solenóide, també com de comprimento, mas com de diâmetro e

1200 espiras. Calcule:

a) para o solenóide interno;

b) para o solenóide externo;

c) entre os dois solenóides.

1R 2R

2 1R R> 1I 2I 1n 2n

3,5m 0,8a mm= 4b mm=

50Rµ =

2,5 2,5x cm 2cm

2cm

50Rµ = 0 0,5cmρ< < 1Rµ = 0,5 2cmρ< <

50cm

50cm 2cm

2cm

50cm 3cm

L

L

M



Eletromagnetismo


157

9 – CAMPOS VARIANTES NO TEMPO E EQUAÇÕES DE MAXWELL

9.1 Lei de Faraday

A figura abaixo mostra uma espira como uma parte de um circuito que contém um

amperímetro. Esse é um dos experimentos de Faraday.

Ao se empurrar um ímã em forma de barra em direção à espira, o ponteiro do amperímetro

deflete, mostrando que uma corrente fluiu pela espira. Se o ímã for mantido estacionário em relação

à espira, o ponteiro do amperímetro não deflete. Ao mover-se o ímã para longe da espira, o ponteiro

do amperímetro deflete novamente, mas em sentido oposto. Se for utilizado o outro lado (pólo) do

ímã, o experimento funciona como descrito anteriormente, mas o sentido das deflexões do ponteiro

é invertido. Quanto mais rápido o ímã se move, maior é a leitura no mostrador.

A corrente que surge neste experimento é chamada de corrente induzida e diz-se que é

formada a partir de uma força eletromotriz induzida – fem.

A figura que se segue mostra um aparato de outro experimento de Faraday.

As espiras são posicionadas próximas e em repouso uma em relação à outra. Quando

fechamos a chave S, formando assim uma corrente contínua na espira à direita, o ponteiro do



Eletromagnetismo


158

mostrador da espira à esquerda deflete momentaneamente. Quando abrimos a chave,

interrompendo a corrente, o ponteiro deflete mais uma vez momentaneamente, mas no sentido

oposto. Este experimento mostra que existe uma fem induzida na espira esquerda da figura sempre

que a corrente na espira à direita se altera.

Um aspecto característico desses dois experimentos é o movimento ou a variação. É o

movimento do ímã ou a variação da corrente que é responsável pelos efeitos de fems induzidas.

Como podemos perceber, por meio dos experimentos de Faraday, é a variação do fluxo

magnético na espira que induz uma fem na mesma. Faraday tornou esta afirmação quantitativa por

meio de uma equação, que é conhecida como lei de Faraday, a qual estabelece que

Esta equação exige um caminho fechado, embora não necessariamente um caminho fechado

condutor; o caminho fechado, por exemplo, pode incluir um capacitor ou pode ser uma linha

puramente imaginária no espaço. O fluxo magnético é o fluxo que atravessa a superfície cujo

perímetro é o caminho fechado e é a taxa de variação temporal deste fluxo. O sinal de menos

advém da chamada lei de Lenz que afirma que a tensão induzida age de modo a produzir um fluxo de

oposição à variação.

Um valor de diferente de zero pode ser resultado de qualquer uma das seguintes

situações:

• Um fluxo variável no tempo através de um caminho fechado estacionário.

• Movimento relativo entre um fluxo estacionário e um caminho fechado.

• Uma combinação das duas situações anteriores.

Se o caminho fechado for constituído por espiras condutoras filamentares, pode-se

escrever

Força eletromotriz, ao longo de um caminho fechado, foi definida em capítulos anteriores

como sendo

Na eletrostática, esta integral de linha leva a uma diferença de potencial resultante nula.

Contudo, agora, considerando-se campos variantes no tempo, o resultado é uma fem ou uma tensão

induzida.

( )Vd

femdt

Φ= −

/d dtΦ

/d dtΦ

N

dfem N

dt

Φ= −

fem E dL= ⋅∫



Eletromagnetismo


159

Para se chegar a uma equação que relaciona de forma direta esta variação de campo

magnético com o surgimento do campo elétrico, primeiramente, substitui-se a equação de definição

de na equação da lei de Faraday e, posteriormente, passar-se o termo da derivada para dentro da

integral, tornando-se, assim, uma derivada parcial da densidade de fluxo magnético . Isto só pode

ser feito porque a única grandeza variante no tempo dentro da integral é a densidade de fluxo

magnético, ou seja,

aplicando-se o teorema de Stokes à integral de linha fechada do campo elétrico, temos

e, por último, igualando-se esta duas equações acima, encontramos

Esta é uma das quatro equações de Maxwell quando escritas na forma diferencial, ou

pontual (forma esta em que elas são comumente usadas), para campos variantes no tempo.

Um exemplo ilustrativo da aplicação da lei de Faraday no caso de uma densidade de fluxo

magnético constante e um caminho em movimento é mostrado na figura abaixo, na qual há uma

barra movendo-se para a direita com velocidade em um circuito que é completado por dois trilhos

e um voltímetro.

Considere a posição da barra dada por , o fluxo que atravessa a superfície dentro do

caminho fechado em qualquer tempo é dado por

Φ

B

( )S S

d d Bfem B dS dS

dt dt t

Φ ∂= − = − ⋅ = − ⋅

∂∫ ∫

( )S

fem E dL E dS= ⋅ = ∇ × ⋅∫ ∫

BE

t

∂∇× = −

∂

B

v

y

t



Eletromagnetismo


160

Fazendo-se a substituição na equação da lei de Faraday, tem-se

onde a fem está em função da velocidade, podendo então se notar que, tendo um campo

estacionário e um distância constante, a tensão gerada será apenas função da intensidade da

velocidade. Quanto maior a velocidade maior será a fem gerada e se invertemos o sentido de ,

haverá também uma inversão no sinal da fem medida.

Exemplo 01:

Dentro de uma certa região, e . Se

:

a) use para determinar ;

b) determine o fluxo magnético total que passa através da superfície , ,

, em ;

c) determine o valor da integral de linha fechada de em torno do perímetro da superfície dada.

Exemplo 02:

Tem-se uma barra deslizante, tal como foi exemplificada no texto, com , e

. Seja em . Determine:

a) ;

b) ;

c) ;

d) em .

9.2 Corrente de Deslocamento

Voltemos agora nossa atenção para o campo elétrico variante no tempo. Devemos,

primeiramente, observar a forma pontual da lei circuital de Ampère aplicada a campos magnéticos

estacionários,

BydΦ =

( )d d dy

fem Byd B d Bvddt dt dt

Φ= − = − = − = −

d

v

1110 /F mε −= 510 /H mµ −=

( ) ( )4 5 32.10 cos 10 sen 10x

B t y T− −=

EH

tε

∂∇× =

∂

E

0x = 0 40y m< <

0 2z m< < 1t sµ=

E

7d cm= ˆ0,3 zB a T=

20ˆ0,1 /y

yv a e m s=

0y = 0t =

( )0v t =

( )0,1y t =

( )0,1v t =

12V 0,1t =

H J∇ × =



Eletromagnetismo


161

Esta equação é inadequada para condições de campo magnético variante no tempo,

conforme será constatado a seguir.

Tomando-se a divergência em cada lado da equação anterior tem-se

pois a divergência de qualquer rotacional é zero. Contudo, temos que a equação da continuidade de

corrente afirma que

Portanto, a afirmativa acima de que só será verdadeira se . Esta é uma

limitação que deve ser corrigida para o caso de campos variantes no tempo – onde . Para

tal, suponhamos que adicionemos um termo desconhecido na equação em questão,

Mais uma vez, tomando-se a divergência, temos

Assim,

Substituindo-se por ,

pela qual obtemos a solução mais simples para ,

Portanto, a lei circuital de Ampère na forma pontual se torna

( )0

H J

J

∇ ⋅ ∇× = ∇ ⋅

= ∇ ⋅

vJt

ρ∂∇⋅ = −

∂

0J∇ ⋅ =

/ 0v tρ∂ ∂ =

/ 0v tρ∂ ∂ ≠

G

H J G∇× = +

( ) ( )0

H J G J G

J G

∇ ⋅ ∇× = ∇ ⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ ⋅

= ∇ ⋅ + ∇ ⋅

v

G J

Gt

ρ

∇ ⋅ = −∇ ⋅

∂∇ ⋅ =

∂

vρ D∇ ⋅

( ) DG D

t t

∂ ∂∇ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅

∂ ∂

G

DG

t

∂=

∂



Eletromagnetismo


162

O termo adicional tem dimensões de densidade de corrente (ampères por metro

quadrado). Como ele é resultado de uma densidade de fluxo elétrico variante no tempo, Maxwell o

denominou de densidade de corrente de deslocamento. Geralmente, denotamo-lo por :

Em um meio não-condutor no qual nenhuma densidade volumétrica de cargas esteja

presente, e, então,

Note a simetria existente com a equação para campo elétrico

A corrente total de deslocamento que atravessa qualquer superfície dada é expressa pela

integral de superfície,

e podemos obter a versão variante no tempo da lei circuital de Ampère integrando sobre a superfície

a equação

e aplicando o teorema de Stokes,

DH J

t

∂∇× = +

∂

/D t∂ ∂

dJ

d

d

H J J

DJ

t

∇× = +

∂=

∂

0J =

( )0D

H Jt

∂∇× = =

∂

BE

t

∂∇× = −

∂

d dS S

DI J dS dS

t

∂= ⋅ = ⋅

∂∫ ∫

S

( ) dS S S

DH J

t

DH dS J dS dS I I

t

∂∇× = +

∂

∂∇× ⋅ = ⋅ + ⋅ = +

∂∫ ∫ ∫

dS

DH dL I I I dS

t

∂⋅ = + = + ⋅

∂∫ ∫



Eletromagnetismo


163

Para ilustrar a natureza física desta composição de correntes, ou seja, corrente de condução

e corrente de deslocamento, observe a figura a seguir. A figura (a) mostra um capacitor circular de

placas paralelas. Uma corrente entra pela placa da esquerda e uma corrente igual deixa a placa

da direita. Uma espira amperiana envolve o fio nesta figura (a) e forma o contorno da superfície que

é atravessada pelo fio. A corrente no fio estabelece um campo magnético, cuja densidade de fluxo é

indicada na figura por . Pode-se escrever para este caminho fechado que

ou seja, que a integral de linha do campo magnético no caminho fechado é igual à corrente de

condução do fio.

Na figura (b), manteve-se a mesma espira, mas estendendo-a para o espaço entre as placas

do capacitor. Sabe-se que no espaço entre as placas do capacitor não existe corrente nenhuma de

condução porque nenhum fio condutor está presente interligando as superfícies do capacitor e,

conseqüentemente, se usássemos a equação anterior teríamos resposta zero para a integral de linha,

o que não é experimentalmente verdadeiro. Neste espaço entre placas, o campo elétrico é muito

mais intenso que o campo magnético, a corrente de condução não existe, contudo tem-se aí a

chamada corrente de deslocamento e podemos escrever

esta corrente de deslocamento, neste exemplo, possui o mesmo valor da corrente de condução.

Para algumas regiões, a corrente é quase toda de condução, mas para aquelas superfícies

que passam entre as placas do capacitor a corrente de condução é zero e é a corrente de

deslocamento que é igual à integral de linha de .

I I

B

H dL I⋅ =∫

dH dL I⋅ =∫

H



Eletromagnetismo


164

A corrente de deslocamento está associada aos campos elétricos variantes no tempo e,

portanto, existe em todos os condutores imperfeitos, conduzindo uma corrente de condução

variante no tempo. Por isso, introduzimos um pequeno erro quando desprezamos a corrente de

deslocamento em todas as superfícies que não passam entre as placas. Nestes espaços o campo

magnético é muito mais intenso que o campo elétrico, o qual se encontra confinado no fio, o que nos

leva a uma corrente de deslocamento irrelevante.

Exemplo 03: Determine a amplitude da densidade da corrente de deslocamento:

a) próximo à antena de um carro onde a intensidade de campo magnético de um sinal FM é 0,15 cos3,123. 10 /;

b) no espaço livre, em um ponto no interior de um transformador de distribuição de grande

potência onde 0,8 cos1,257. 10 3. 10 ! "#$%;

c) no interior de um capacitor de grande potência preenchido com óleo, no qual &' 5 e

( 0,9 cos*1,257. 10 +3. 10 ,√5./ "# 01/;

d) em um condutor metálico em 60 HZ se & &2 , 3 32 , 4 5,8. 1056/ e 7 sin377 117,1, "# 0/:.

9.3 Equações de Maxwell na Forma Pontual

Uma vez encontradas as equações de Maxwell para campos variantes no tempo (as mesmas

são também válidas para campos estacionários), iremos aqui destacá-las em suas formas pontuais.

Equações de Maxwell na Forma Pontual

1ª

2ª

3ª

4ª

A primeira equação foi desenvolvida a partir da lei de Faraday e relaciona variações de

campo magnético com surgimento de campo elétrico. A segunda equação é a forma pontual da lei

circuital de Ampère contemplando campos variantes e estacionários, a mesma introduz o conceito

de corrente de deslocamento. A terceira e quarta equações permanecem inalteradas quando sujeitas

BE

t

∂∇× = −

∂

DH J

t

∂∇× = +

∂

vD ρ∇ ⋅ =

0B∇ ⋅ =



Eletromagnetismo


165

a campos variantes no tempo. A terceira equação é a divergência do campo elétrico, a qual resulta

em uma densidade de cargas elétricas que pode ser positiva ou negativa. A quarta equação trata-se

da divergência aplicada ao campo magnético, como não existem “cargas magnéticas” separadas, ou

pólos, a densidade de “cargas magnéticas”, se assim pode dizer, sempre será zero.

Estas quatro equações formam a base de toda a teoria eletromagnética. Elas são equações

diferenciais parciais e relacionam os campos elétricos e magnéticos um com o outro e às suas fontes,

densidades de carga e de corrente. As equações auxiliares são apresentadas no quadro abaixo.

Equações Auxiliares

Relaciona e

Relaciona e

Densidade de Corrente de Condução

Densidade de Corrente de Convecção

Polarização

Magnetização

Força de Lorentz escrita na forma

pontual em por unidade de volume.

Os potenciais e não foram incluídos acima porque não são estritamente necessários,

embora sejam extremamente úteis.

Exemplo 04: Seja 3 10;/, & 4. 10=>/, 4 0 e ?@ 0. Determine k (incluindo as unidades) de forma que cada um dos seguintes pares de campos satisfaça as equações de Maxwell:

a) A 6"# 2"#$ C 2"#DEF/:, G!"# C 10"#$ 25,"#D/;

b) ( 20 G"# 1/, 2 C 2. 10 "#D/.

D Eε=

D

E

B Hµ=

B

H

J Eσ=

vJ vρ=

0D E Pε= +

0eP Eχ ε=

( )0B H Mµ= +

mM Hχ=

( )vf E v Bρ= + ×

V A



Eletromagnetismo


166

9.4 Equações de Maxwell na Forma Integral

Uma equação na forma diferencial, tal como foi tratada na seção anterior, sempre

representa uma teoria. Não são capazes de lidar com grandezas físicas macroscópicas. Já as formas

integrais das equações de Maxwell são usualmente mais fáceis de serem reconhecidas em termos

das leis experimentais, portanto, vamos reunir, agora, estas formas integrais das equações de

Maxwell anteriormente apresentadas.

Equações de Maxwell na Forma Integral

1ª

2ª

3ª

4ª

A primeira equação na forma integral é encontrada integrando-se a primeira equação na

forma pontual sobre uma superfície e aplicando o teorema de Stokes. Esta é a equação da lei de

Faraday. A segunda equação advém do mesmo processo aplicado na primeira. Ela representa a lei

circuital de Ampère. A terceira e quarta equações representam a lei de Gauss para campos elétricos

e magnéticos, respectivamente, e são obtidas integrando-se as formas pontuais através de um

volume e usando o teorema da divergência. O quadro abaixo relaciona os dois principais teoremas

do eletromagnetismo.

Teoremas do Eletromagnetismo

Teorema da Divergência

Teorema de Stokes

S

BE dL dS

t

∂⋅ = − ⋅

∂∫ ∫

S

DH dL I dS

t

∂⋅ = + ⋅

∂∫ ∫

vS vol

D dS dvρ⋅ =∫ ∫

0S

B dS⋅ =∫

( )S vol

D dS D dv⋅ = ∇ ⋅∫ ∫

( )S

H dL H dS⋅ = ∇× ⋅∫ ∫



Eletromagnetismo


167

As quatro equações integrais nos permitem encontrar as condições de fronteira para os

campos elétrico e magnético. A tabela abaixo traz uma síntese destas condições de fronteira, já

estudadas, para materiais perfeitos.

Condições de Fronteira

Para Campo Elétrico

Para Campo Magnético

Exemplo 05: O vetor unitário 0,46"# C 0,6"#$ 0,48"#D está dirigido da região 2 &': 2, 3': 3, 4: 0 para

a região 1 &'H 4, 3'H 2, 4H 0. Se +"# 2"#$ C 3"#D.sen300% no ponto P na região

1 adjacente à fronteira, determine a amplitude em P de:

a) JH;

b) KH;

c) J:;

d) :.

Exemplo 06: A superfície 0 é um plano perfeitamente condutor, enquanto que a região L 0 tem &' 5,

3' 3 e 4 0. Seja ( 20 cos2. 10 2,58,"#D1/ para M 0 e determine em 6EN: a) ?O em P2; 0; 0,3; b) em P;

c) R em P.

tan1 tan2E E=

1 2N N vD D ρ− =

tan1 tan2H H K− =

1 2N NB B=

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1Apostila de Eletromagnetismo