1.Equações do Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos · 3 1.Equações do Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos ... Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos

Modelo de Estado de Sistemas Lineares Contínuos

J. Miranda Lemos IST-DEEC Área Científica de Sistemas Decisão e Controlo

3

1.Equações do Modelo de Estado de

Sistemas Lineares Contínuos

Objectivo:

Mostrar que há um conjunto diversificado de sistemas que podem ser

modelados através das equações de estado.



4

Exemplo: Suspensão magnética simples

u

y

Um modelo para o movimento da suspensão magnética é obtido a partir da lei

de Newton:

aplicadasforçasdt

ydm

2

2



5

aplicadasforçasdt

ydm

2

2

As forças aplicadas são o peso P e a força electromagética. Admite-se que esta se

decompõe em duas parcelas, uma que compensa o peso e a outra que é proporcional

ao sinal u . Admitindo 1m e a constante de proporcionalidade entre u e a força

igual a 1, vem o modelo simplificado

udt

yd

2

2

O modelo é descrito por uma equação diferencial de 2ª ordem.



6

Não é surpreendente que a suspensão magnética seja descrita por uma

equação diferencial de segunda ordem.

De facto, para conhecermos o movimento da esfera precisamos de duas

variáveis: A sua posição e a sua velocidade.

Isso sugere que o modelo da suspensão seja descrito por duas equações

diferenciais de primeira ordem, nestas variáveis, em vez de uma única

equação diferencial de segunda ordem.



7

Tomem-se como variáveis a posição

)()(1 tytx

e a velocidade

)()(2 tytx

Com estas variáveis, a esfera pode ser descrita pelo seguinte sistema de

duas equações diferenciais de primeira ordem:

udt

dx

xdt

dx

2

21



8

O sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem

udt

dx

xdt

dx

2

21

é equivalente à equação diferencial de 2ª ordem

udt

yd

2

2

Em ambos os casos devem ser especificadas duas condições iniciais.



9

Podemos descrever o sistema de equações diferenciais

udt

dx

xdt

dx

2

21

na forma matricial equivalente

ux

x

x

x

1

0

00

10

2

1

2

1

2

101

x

xy

que constitui o modelo de estado da esfera, sendo o vector

2

1

x

x o estado do

sistema.



10

Forma padrão do modelo de estado da suspensão magnética

ux

x

x

x

1

0

00

10

2

1

2

1

2

101

x

xy

Definam-se as matrizes

00

10A

1

0B

01C 0D

O modelo de estado escreve-se na forma padrão

buAxx

DuCxy

Em todos os casos que vamos considerar 0D (sistemas com mais pólos que

zeros).



11

O espaço de estados da suspensão magnética

A vantagem de considerarmos o modelo de estado é podermos imaginar a

sua evolução em termos geométricos no espaço das variáveis

2

1

x

x .

A este espaço chama-se espaço de estados.



12

A evolução das variáveis de estado pode ser pensada como trajectórias no

espaço

2

1

x

x .

Por exemplo, se o estado da esfera estiver no ponto A do espaço de estados,

ele vai inicialmente alterar-se no sentido da seta:



13

Exemplo: Circuito eléctrico

2

2

1

2122

1

2111

R

v

R

vv

dt

dvC

R

vvi

dt

dvC u



14

2

2

1

2122

1

2111

R

v

R

vv

dt

dvC

R

vvi

dt

dvC u

Definindo:

221212

1111

111

11

RCRCRC

RCRCA

0

11CB

10C 0D uiu

2

1

v

vx

2vy

O modelo de estado do circuito pode escrever-se na forma padrão:

DuCxy

BuAxx



15

Servomotor DC com controlo pela armadura

Binário do motor:

)()(')( titKtT

Sendo o fluxo criado pelo circuito de campo constante,

)()( tKitT

Tensão aos terminais do rótor

bKe



16

Circuito do rótor do motor:

ueiRdt

diL

Movimento do rótor do motor:

)(tTdt

dJ



17

Tomem-se como variáveis de estado do motor:

ix

xx

2

1

obtêm-se as equações de estado, tomando como saída a velocidade :

u

L

x

L

R

L

KJ

K

Jxb

1

0

xy 01

Se quiséssemos modelar a posição, necessitaríamos de uma variável de

estado adicional.



18

Modelo de estado – caso geral

Equação de estado (eq. diferencial, relaciona a entrada u com o estado x ):

)()()( tButAxtx

Condição inicial no estado

0)0( xx

Equação de saída (eq. algébrica, relaciona o estado x com a saída y ):

)()()( tDutCxty

Dimensões:

pmn RtyRtuRtx )(,)(,)( mpDnpCmnBnnA

Normalmente iremos considerar 1,1,0 pmD .



19

Diagrama de blocos do modelo de estado



20

Escolha das variáveis de estado

As variáveis de estado constituem um conjunto de variáveis que, dadas

condições iniciais, podem ser conhecidas para qualquer instante futuro, por

integração das equações de estado.

As variáveis de estado estão muitas vezes associadas aos elementos que

armazenam energia (por exemplo, na escolha feita para o motor DC), mas

isso não é necessariamente assim, embora a energia possa ser uma ajuda

importante para estabelecer o modelo de estado e projectar o controlo.

As variáveis de estado não são únicas, nem têm de ser em número mínimo.

Estes pontos serão discutidos posteriormente.



21

Plano de estado

Para um sistema com duas variáveis de estado, o espaço de estado reduz-se

a um plano, denominado plano de estado.

Exemplo

dx

dtx

dx

dtx x

12

21 22 2

com condição inicial x x1 20 1 0 1( ) ( ) . A solução no tempo e a

correspondente órbita no espaço (plano) de estado mostram-se na figura

seguinte.



22

0 2 4 6 8 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Resposta no tempo Trajectória correspondente

no plano de estado

t1

t2

t1

t2

t



23

2.Conversão entre o modelo de estado e a

função de transferência

Objectivo:

Após estudar este módulo, o aluno deverá ser capaz de obter as matrizes que

definem o modelo de estado dada uma função de transferência e vice-versa.



24

Obtenção da função de transferência a partir do modelo de estado

)()(

)()()(

tCxty

tbutAxtx

Tome-se a transformada de Laplace com condições iniciais nulas:

)()(

)()()(

sCXsY

sbUsAXssX

)()()()( uTLsUxTLsX

Daqui vem

)()()( sbUsXAsI )()()( 1 sbUAsIsX

ou seja

)()()( 1 sUbAsICsY



25

)()()( 1 sUbAsICsY

A função de transferência vem pois dada por

bAsICsG 1)()(

Dado que

)det(

)()( 1

AsI

AsIadjAsI

a função de transferência escreve-se

)det(

)()(

AsI

bAsIadjCsG



26

Nota sobre Álgebra Linear – Adjunta de uma matriz

A adjunta de uma matriz

ij

mM é dada por

TijMMadj )(

em que ijM é o co-factor do elemento ijm , ou seja, é dada pelo determinante

da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j , multiplicado por

ji1 .

Exemplo:

ac

bd

dc

baadj



27

Adjunta de uma matriz – Exemplo

160

005

321

M

10630

1515

0160

10150

6116

3050

)(

T

Madj

Para verificar o resultado, observe-se que

3

10630

1515

0160

160

005

321

80

1

)det(

)(I

M

MadjM

Referência: G. Strang, Linear Algebra and its Applications, 2ª ed., p 170.



28

Pólos e zeros

)det(

)()(

AsI

bAsIadjCsG

Os pólos são as raízes do polinómio característico da matriz A , dado por

)det( AsI

Os zeros são as raízes do polinómio

bAsIadjC )(



29

Função de transferência a partir do modelo de estado – Exemplo

01

65A

0

1b

10C

s

sAsI

1

65

51

6

6)5(

11

s

s

ssAsI

)3)(2(

1

0

1

51

610

6)5(

1)(

sss

s

sssG



30

Obtenção do modelo de estado – Sistemas sem zeros

Dada a função de transferência apenas com pólos:

32

2

1

3

0)(asasas

bsG

Pretende-se obter um modelo de estado que a represente.

Repare-se que este modelo de estado não é único.

Vamos começar por introduzir um tipo de variáveis de estado denominadas

variáveis de fase, em que o vector de estado é dado pela saída e pelas suas

1n primeiras derivadas. Neste exemplo, 3n .



31

Obtenção da equação diferencial:

32

2

1

3

0)(asasas

bsG

)()()()()( 032

2

1

3 sUbsYassYasYsasYs

Daqui vem a equação diferencial:

)()()()()( 0321 tubtyatyatyaty



32

)()()()()( 0321 tubtyatyatyaty

Variáveis de estado (saída e derivadas até à ordem 21n ):

23

12

1

xyx

xyx

yx

A equação diferencial escreve-se

)(01322313 tubxaxaxax



33

O modelo de estado fica:

21 xx

32 xx

)(01322313 tubxaxaxax

ou, em termos matriciais:

u

b

x

aaa

x

0123

0

0

100

010

xy 001



34

A matriz da dinâmica

123

100

010

aaa

tem uma estrutura com propriedades suficientemente importantes para

merecer um nome. Diz-se na forma companheira.

Consiste numa identidade de ordem 1n no canto superior direito, tendo ao

lado uma coluna de zeros e em baixo uma linha com os coeficientes do

polinómio característico da matriz (denominador da função de transferência).



35

Nota sobre Álgebra Linear – Polinómio Característico de uma matriz

O polinómio característico de uma matriz quadrada A é dado por

)det( AsI

Para matrizes na forma companheira o polinómio característico pode ser

escrito por inspecção.

Posteriormente ver-se-á que as raízes do polinómio característico,

denominadas valores próprios da matriz, têm uma importante interpretação

geométrica. Já vimos que correspondem aos pólos da função de

transferência, pelo que determinam a resposta no tempo do sistema.



36

Sistemas com zeros

32

2

1

3

10)(asasas

bsbsG

Se aplicarmos a técnica anterior, surge uma derivada da entrada, o que causa

uma dificuldade.

Uma possibilidade (há mais!) é “partir” o sistema nos zeros e nos pólos,

tomando como variáveis de estado a saída do bloco dos pólos e as suas duas

primeiras derivadas.



37

Tem-se o diagrama de blocos:

A equação da dinâmica mantem-se.

A equação de saída é alterada:

11201110 xbxbxbxby

xbby 001

32

2

1

3

1

asasas 10 bsb

U 1X Y



38

3.Mudanças de Coordenadas

Objectivo:

Dado um modelo de estado e uma transformação linear das

variáveis de estado, calcular as equações do modelo de estado

nas novas coordenadas.



39

Transformação de coordenadas no modelo de estado

Considere o modelo de estado com equações

)()()( tbutAxtx

)()( tCxty

É feita uma transformação de coordenadas

)()( tTxtz

em que T é uma matriz quadrada invertível.

Qual o modelo de estado verificado pelo vector )(tz ?

Sugestão: Derive )()( tTxtz



40

)()( tTxtz

Derivando:

)()( txTtz

Usando o modelo de estado de )(tx :

))()(()( tbutAxTtz

Usando a transformação inversa

))()()( 1 tTbutzTATtz

)()()( 1 txCTtCxty



41

Transformação de coordenadas no modelo de estado

Dado o modelo de estado com equações

)()()( tbutAxtx )()( tCxty

é feita uma transformação de coordenadas

)()( tTxtz

em que T é uma matriz quadrada invertível.

Nas novas coordenadas as equações de estado são

)()()( tutztz )()( tHxty

1 TATE 1 CTH



42

4.A equação homogénea

Objectivo:

Apresentar a estrutura da solução da equação homogénea.



43

A equação homogénea

A equação

)()( tAxtx 0)0( xx

denomina-se equação homogénea.

A solução desta equação desempenha um papel fundamental na solução da

equação de estado.

A estrutura da solução depende dos valores próprios e dos vectores próprios

da matriz da dinâmica, A .



44

Interpretação da solução da equação no espaço de estado

Equação homogénea:

)()( tAxtx

Aproximando a derivada por diferenças finitas:

h

khxhkxtx

)())1(()(

A equação pode aproximar-se pela equação de diferenças

)()())1(( khAxhkhxhkx



45


x1

x2 x

0

x(h)

x(2h)

hAx0

hAx(h)



46


No espaço de estados, a solução pode assim ser interpretada do seguinte

modo:

Começamos com uma condição inicial 0x no instante 0k .

Para obter o novo ponto no instante hk somamos ao vector 0x um

vector um vector proporcional a 0Ax (mais exactamente 0hAx ). Obtém-se

um ponto 0)( hAxhx .

O processo é em seguida iterado.



47

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x 2

O campo de vectores pode ser traçado no MATLAB com a função quiver.

Em cada ponto x do

espaço de estados a

função Ax define um

vector (campo de

vectores) que indica qual

a direcção seguida nesse

ponto pela solução da

equação diferencial.



48

-10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

x1

x 2

x0

xA

xB

v0

vA

vB

Partindo do ponto 0x ,

a solução avança

(localmente) na

direcção 00 Axv .

Em cada ponto a

trajectória é tangente

ao campo de vectores

nesse ponto.



49

-10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

x1

x 2

Se começarmos com outra

condição inicial, obtemos

uma outra trajectória. A figura

mostra duas trajectórias

geradas a partir de duas

condições iniciais dfiferentes.



50

-10 -5 0 5 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x1

x 2

Começando de várias

condições iniciais (há

infinitas!) obtém-se o

chamado retrato de fase

do sistema, que aqui se

mostra sobreposto ao

campo de vectores que

define a equação

diferencial.



51

Nota sobre álgebra linear: Valores próprios e vectores próprios

Dada uma matriz A quadrada nn , os vectores próprios iv satisfazem

iii vAv

em que i é o correspondente valor próprio.

Há, no máximo, n vectores próprios linearmente independentes (mas pode

haver menos).

Aos vectores próprios também se dá o nomde vectores modo.



52

Determinação dos vectores próprios e dos valores próprios

Como

iii vAv

os vectores próprios satisfazem o sistema de equações algébrico

0)( ii vIA

Para que este sistema tenha soluções não triviais 0iv , ele tem de ser

indeterminado, pelo que os valores próprios i devem satisfazer a equação

polinomial:

0)det( IA i



53

Para calcular os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz A

quadrada nn deve pois proceder-se do seguinte modo:

a) Calcular os valores próprios resolvendo a equação polinomial:

0)det( IA i

b) Para cada um dos valores próprios i obter os valores próprios

correspondentes resolvendo o sistema

0)( ii vIA

Como este sistema é indeterminado, a sua solução é obtida a menos de uma

constante de normalização, que pode ser escolhida como fôr conveniente.



54

Cálculo dos valores e vectores próprios – Exemplo

32

54A

32

54IA

Polinómio característico da matriz:

0)det( IA

)2)(1(210)3)(4(32

542

Os valores próprios são as raízes deste polinómio:

21 21



55

Vectores próprios:

11

0

0

22

55)(

2,1

1,1

11v

vvIA

A solução é qualquer múltiplo de

1

11v

22

0

0

52

52)(

2,2

1,2

22v

vvIA

A solução é qualquer múltiplo de

2

52v



56

Diagonalização de matrizes

Hipótese: A matriz A tem n vectores próprios linearmente independentes.

Matriz modal (as colunas são os vectores próprios):

nvvM 1

Matriz diagonal dos valores próprios

),,( 1 ndiag

Atenção: Nem todas as matrizes verificam esta hipótese.



57

Como, para cada par vector próprio/valor próprio

iii vAv

vem

MAM

ou seja, a matriz A admite a seguinte decomposição:

1 MMA

Tem-se ainda, multiplicando à direita por M e à esquerda por 1M :

AMM 1



58

Solução da equação homogénea por diagonalização

Válida quando a matriz da dinâmica tem n vectores próprios linearmente

independentes.

)()( tAxtx 0)0( xx

Faz-se uma transformação de variáveis associada à matriz modal:

xMz 1 ou Mzx

Nas coordenadas z a dinâmica fica

zAMzMAxMxMz 111

Ou seja, as componentes de z ficam desacopladas, pelo que as equações

podem ser resolvidas separadamente!



59

zz

Esta equação matricial corresponde ao sistema de equações diferenciais:

nnn zz

zz

111

Como as equações estão separadas, podem ser resolvidas separadamente:

t

nn

t

nektz

ektz

)(

)( 1

11

Os ik são constantes que

dependem das condições

iniciais



60

Estrutura da resposta nas coordenadas x :

t

t

n

ek

ek

vvMzx

2

1

2

1

1

ou seja:

t

nn

t nevkevkx

1

11

A cada um dos termos

t

iiev

dá-se o nome de modo do sistema. A resposta do sistema é uma combinação

linear dos modos em que os coeficientes dcependem das condições iniciais.



61

Exemplo

A resposta no tempo do sistema homogéneo

)()( tAxtx

com

32

54A

5

8)0(x

é da forma (ver exemplo anterior sobre valores e vectores próprios):

tt ekektx 2

2

1

12

5

1

1)(



62

Determinação das constantes 1k e 2k a partir das condições iniciais:

Para 0t :

212

5

1

1

5

8kk

Este sistema pode ser escrito na forma

5

8

21

51

2

1

k

k

1,3 21 kk



63

5.A matriz de transição

Objectivo:

A solução da equação homogénea como uma transformação do estado

associada à matriz de transição.

Principais propriedades da matriz de transição



64

A série de Peano-Baker e a matriz de transição

Axx 00)( xtx

Tem por solução

)(),()( 00 txtttx

em que a matriz ),( 0tt , denominada matriz de transição, é dada pela série

que converge uniformemente e que define a matriz exponencial:

3

0

32

0

2

0

)(

0 )(!3

1)(

!2

1)(),( 0 ttAttAttAIett

ttA



65

Cálculo da matriz de transição com a Transformada de Laplace

Axx 0)0( xx

Tomando transformada de Laplace:

AXxsX 0

0)( xXAsI

0

1)( xAsIX

0

11 )()( xAsITLtx

Conclusão:

11

0 )(),( AsITLtt



66

Exemplo: Cálculo da matriz de transição pela transformada de Laplace

Considere um sistema cuja matriz da dinâmica é dada por

14

11A

Determine a matriz de transição recorrendo à transformada de Laplace.

Solução:

11

0 )(),( AsITLtt

14

11

s

sAsI

)1)(3()det( ssAsI



67

)1)(3(

1

)1)(3(

4

)1)(3(

1

)1)(3(

1

)( 1

ss

s

ss

ssss

s

AsI

1

1

3

1

2

1

13)1)(3(

1

sss

B

s

A

ss

s 2

1

13

13

A 2

1

4

2

B

tt eett 3

22112

1)()(

1

1

3

1

4

1

13)1)(3(

1

sss

B

s

A

ss 4

1A 4

1B

tt eet 3

124

1)(

tt eet 3

21 )(



68

tttt

tttt

eeee

eeeet

33

33

2

14

1

2

1

)0,(

Fim do exemplo



69

Cálculo da matriz de transição a partir da exponencial de A

3

0

32

0

2

00 )(!3

1)(

!2

1)(),( ttAttAttAItt

Esta série é reconhecida como a série da exponencial de uma matriz. Assim:

)(

00),(

ttAett

Repare-se que

)(),( 00 tttt

Atenção: Estas propriedades aplicam-se apenas a sistemas invariantes no

tempo, em que a matriz A é constante.



70

Equação diferencial verificada pela matriz de transição

A matriz de transição verifica

),(),( 00 ttAttdt

d

Itt ),( 00

Estas propriedades são consequência de

)(),()( 00 txtttx

e da unicidade da solução da equação homogénea com condições iniciais

dadas.



71

Invertibilidade da matriz de transição

Teorema de Abel-Jacobi-Liouville (caso particular):

trAttttAee

)()( 00det

em que o traço de A , representado por trA , é a soma dos elementos da

diagonal.

Daqui conclui-se que a matriz de transição é sempre invertível pois o seu

determinante nunca se anula.



72

Semigrupo

),(),(),( 011202 tttttt 210 ,, ttt

)( 0tx

)( 1tx

)( 2tx

),( 02 tt

),( 12 tt

),( 01 tt



73

Demonstração da propriedade de semigrupo

)(),()( 0022 txtttx

Por outro lado,

)(),(),()(),()( 001121122 txtttttxtttx

Assim:

)(),(),()(),( 00112002 txtttttxtt

Como esta igualdade se verifica )( 0tx :

),(),(),( 011202 tttttt



74

Inversa da matriz de transição

),(),( 00

1 tttt Rtt 0,

Demonstração:

A matriz inversa ),( 0

1 tt existe sempre (Teorema de Abel-Jacobi-Liouville).

Itttttt ),(),(),( 00

Consequência: Reversibilidade no tempo

)(),()( 00 txtttx

Podemos recuperar a condição inicial a partir do estado actual.

Nem sempre é válida para sistemas discretos!



75

Continuidade

A matriz de transição

),( 0tt

é uma função contínua em t e 0t .

Demonstração: Omitida. É uma consequência do teorema de existência e

unicidade de solução de quações diferenciais.



76

Mudança de Coordenadas

Dado o SLIT representado pelo modelo de estado:

)()( tAxtx 00)( xtx

em que a matriz de transição é ),( 0ttA ,

)(),()( 00 txtttx A

Faz-se uma mudança de coordenadas:

)()( tTxtz

em que T é uma matriz constante e invertível.

Qual é a matriz de transição no novo sistema de coordenadas?



77

)()( tTxtz

Derivando

)()()()( 1 tzTATtTAxtxTtz

Qual a matriz de transição associada a 1TAT ? Chamemos-lhe 1

TAT

)(),()(),()()( 0

1

000 tzTttTtxttTtTxtz AA

Conclusão:

11

TT ATAT



78

Frequências naturais numa transformação de coordenadas

Considere o SLIT representado pelo modelo de estado:

)()( tAxtx 00)( xtx

Faz-se uma mudança de coordenadas:

)()( tTxtz

em que T é uma matriz constante e invertível.

Mostre que realizações de estado semelhantes têm as mesmas frequências

naturais (valores próprios da matriz da dinâmica).

Sugestão: Calcule os valores próprios da matriz da dinâmica nas

coordenadas z.



79

Nas novas coordenadas a dinâmica é

)()( 1 tzTATtz

O polinómio característico de 1TAT é

11 )(det)det( TAsITTATsI

)det(

1)det()det()det()det()det( 1

TAsITTAsIT

)det( AsI



80

Cálculo de Ate por diagonalização

Caso em que há n vectores próprios linearmente independentes

Sendo Axx então )0()( xetx At

Havendo n vectores próprios linearmente independentes, a matriz modal M é

invertível.

nvvM ||1 ),,( 1 ndiag 1 MMA

Mudança de coordenadas:

)()( tMztx

)()()()()( 111 tztAMzMtAxMtxMtz



81

Nas coordenadas z:

)()( tztz

Sendo diagonal, é fácil somar a série que define a sua exponencial:

t

t

t

ne

e

ttIe

0

0

!2

1

1

22

)0()0()()( 1xMMezMetMztx tt

1 MMee tAt



82

A

Ate

te

Transformação de coordenadas

Transformação

inversa

? Trivial

AMM 1

1 MMee tAt



83

Os dois diagramas são

equivalentes se a matriz A tiver

n vectores próprios

linearmente independentes



84

Exemplo – Cálculo da matriz de transição por diagonalização

Dada a matriz da dinâmica

14

11A

determine a correspondente matriz de transição por diagonalização.

1)()(

000),(

MMeettttttA

A



85

Polinómio característico da matriz A:

)1)(3()21)(21(4)1(14

11)det( 2

AI

Os valores próprios são as raízes do polinómio característico:

31 21

Cálculo dos vectores próprios:

0

0

14

11

2

1

i

i

v

v

Como a carecterística desta matriz é 1 para 21, , apenas se considera uma

das equações:

ii vv 21)1(



86

ii vv 21)1(

Faça-se a normalização

11 iv

Vectores próprios:

2

11v

2

12v

Matriz modal:

22

11M

12

12

4

11M



87

12

12

224

1

4

1

12

12

0

0

22

113

3

3

1

tt

tt

t

t

tAt

ee

ee

e

eMMee

tttt

tttt

At

eeee

eeeee

33

33

2244

22

4

1

Fim do exemplo



88

6.Sistemas não homogéneos

Objectivo:

Cálculo da resposta no tempo de um SLIT não homogéneo descrito pelo

modelo de estado.



89

Sistemas não homogéneos (caso contínuo)

No caso de sistemas não homogéneos a solução obtém-se da solução da

equação homogénea tendo em conta a entrada e recorrendo ao Princípio de

Sobreposição.

Sendo o sistema descrito pela equação de estado

)()()( tbutAxtx

a evolução temporal do estado vem dado por

t

t

tAttAdbuexetx

0

0 )()( )(

0

)(

Regime

livre

Regime forçado



90

7.Modelo de estado de sistemas discretos

Objectivo:

Estudo muito abreviado da resposta no tempo de sistemas discretos

representados pelo modelo de estado.



91

Equação homogénea (sistemas discretos)

00 )()()1( xkxkAxkx

Uma vez mais o estado no instante k está relacionado com o estado no

instante kk 0 por um operador matricial linear (matriz de transição de

estado):

)()( 00 kxAkx

kk



92

Não invertibilidade da matriz de transição no caso discreto

Uma diferença com consequências do caso discreto em relação ao contínuo é

que, no caso discreto, a matriz de transição pode não ser invertível (ao

contrário dos sistemas contínuos em que a matriz de transição é sempre

invertível). Se a matriz A fôr singular as suas potências também o serão.

Isto sognifica que há sistemas discretos para os quais, sabendo o estado no

instante k , não podemos inferir qual a condição inicial de onde ele partiu, ao

contrário dos sistemas contínuos em que isso é sempre possível.



93

Solução da equação não homogénea (caso discreto)

11

0

0

0 )()(k

kj

jkkkjbuAxAkx

Com condições iniciais nulas:

)1()1()0()( 21 kbubuAbuAkx kk

Este resultado pode ser facilmente demonstrado através do Princípio de

Sobreposição.

Regime livre Regime forçado



94

Conhecida a sequência de entrada e a condição inicial do estado, as

expressões anteriores permitem calcular o estado no final do intervalo de

tempo (quer em tempo contínuo, quer discreto).

Pode naturalmente pensar-se no problema inverso. Este será estudado

posteriormente.

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