1.Fundamentos da Física I - Mecânica

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FUNDAMENTOS DE FSICA I


Wagner Corradi Rodrigo Dias Trsia Wanderson Silva de Oliveira Srgio Luiz Arajo Vieira Maria Carolina Nemes Karla Balzuweit

FUNDAMENTOS DE FSICA I

Belo Horizonte Editora UFMG

2010


2010, Os Autores 2010, Editora UFMG

Este livro ou parte dele no pode ser reproduzido por qualquer meio sem a autorizao escrita do Editor. Fundamentos de Fsica I / Wagner Corradi ...[et al.]

- Belo Horizonte ; Editora UFMG, 2008

p. Il (Educao a Distncia) Inclui referncias. ISBN:

1. Fsica. 2. Mecnica. 3. Gravitao I. Corradi, Wagner II. Srie. CDD: CDU:

Elaborada pela CCQC Central de Controle de Qualidade da Catalogao da Biblioteca Universitria da UFMG

Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educao a Distncia do MEC.

EDITORAO DE TEXTO REVISO E NORMALIZAO DE TEXTO REVISO DE PROVAS PRODUO GRFICA E FORMATAO PROJETO GRFICO E CAPA

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Sumrio

INFORMAES GERAIS 1. FUNDAMENTOS DE FSICA I NA MODALIDADE DE ENSINO A DISTNCIA 11 UNIDADE 1 UM CONVITE COMPREENSO DA NATUREZA 13 AULA 1 A FSICA E A COMPREENSO DA NATUREZA A1.1 ALGUMAS RAZES PARA NO SE ESQUECER DA FSICA 15 A1.2 A FSICA E A COMPREENSO DA NATUREZA 17 A1.3 A COMPREENSO DA NATUREZA E A EXPERIMENTAO 20 A1.4 GRANDEZAS FSICAS, PADRES E UNIDADES 26 A1.5 O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 28 A1.6 ANLISE DIMENSIONAL, CONVERSO DE UNIDADES E ORDEM DE GRANDEZA 33 A1.7 TRABALHANDO COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E INCERTEZAS NAS MEDIDAS 37 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 50 UNIDADE 2 MOVIMENTO EM UMA DIMENSO 52 AULA 2 CINEMTICA A2.1 POSIO, DESLOCAMENTO E DISTNCIA PERCORRIDA 54 A2.2 VELOCIDADE MDIA, VELOCIDADE INSTANTNEA E VELOCIDADE DE PERCURSO 57 A2.3 MOVIMENTO COM VELOCIDADE CONSTANTE 63 EXERCCIOS DE FIXAO 71 AULA 3 ACELERAO 73 A3.1 ACELERAO MDIA E ACELERAO INSTANTNEA 73 A3.2 MOVIMENTO COM ACELERAO CONSTANTE 75 EXERCCIOS DE FIXAO 83 AULA 4 QUEDA LIVRE 85 A4.1 QUEDA LIVRE 85 EXERCCIOS DE FIXAO 93 AULA 5 APLICAES DA CINEMTICA 95 A5.1 APLICAES DO MOVIMENTO RETLINEO UNIFORME 95 AULA 6 VELOCIDADE RELATIVA E ACELERAO VARIVEL 110 A6.1 VELOCIDADE RELATIVA EM UMA DIMENSO 110 A6.2 VELOCIDADE E ACELERAO: CASOS GERAIS 116 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 124 UNIDADE 3 MOVIMENTO EM DUAS E TRS DIMENSES 128 AULA 7 VETORES POSIO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE 130 A7.1 COMPONENTES DE VETORES E VETORES UNITRIOS 130 A7.2 VETORES POSIO E DESLOCAMENTO 133


A7.3 PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR 135 A7.4 VETORES VELOCIDADE MDIA E VELOCIDADE INSTANTNEA 137 EXERCCIOS DE FIXAO 143 AULA 8 VETOR ACELERAO 145 A8.1 VETORES ACELERAO MDIA E ACELERAO INSTANTNEA 145 EXERCCIOS DE FIXAO 151 AULA 9 MOVIMENTO CIRCULAR E MOVIMENTO DE PROJTEIS 153 A9.1 MOVIMENTO CIRCULAR 153 A9.2 MOVIMENTO DE PROJTEIS 159 EXERCCIOS DE FIXAO 170 AULA 10 VELOCIDADE RELATIVA 172 A10.1 VELOCIDADE RELATIVA EM DUAS E EM TRS DIMENSES 172 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 175 UNIDADE 4 LEIS DE NEWTON 180 AULA 11 PRIMEIRA LEI DE NEWTON 182 \A11.1 MECNICA CLSSICA 182 A11.2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON 183 A11.3 O CONCEITO DE FORA 183 A11.4 O CONCEITO DE MASSA 185 A11.5 FORA RESULTANTE 188 EXERCCIOS DE FIXAO 193 AULA 12 SEGUNDA LEI DE NEWTON 194 A12.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON 194 A12.2 A FORA PESO 198 EXERCCIOS DE FIXAO 203 AULA 13 TERCEIRA LEI DE NEWTON 205 A13.1 ENTENDENDO A TERCEIRA LEI DE NEWTON 205 A13.2 FORA DE REAO NORMAL 211 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 213 UNIDADE 5 APLICAO DAS LEIS DE NEWTON 216 AULA 14 APLICAES DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 218 A14.1 MTODOS DE RESOLUO DOS PROBLEMAS DA DINMICA 218 A14.2 ROLDANAS 221 A14.3 PLANO INCLINADO 226 A14.4 A FORA ELSTICA 231 EXERCCIOS DE FIXAO 235 AULA 15 FORAS DE ATRITO 236 A15.1 ATRITO 236 EXERCCIOS DE FIXAO 244 AULA 16 LEIS DE NEWTON EM REFERENCIAIS ACELERADOS 246 A16.1 ELEVADORES EM MOVIMENTO 246 A16.2 FORAS NO MOVIMENTO CIRCULAR 248 A16.3 AS FORAS FUNDAMENTAIS 251 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 253


UNIDADE 6 ENERGIA E TRABALHO 256 AULA 17 TRABALHO DE UMA FORA 258 A17.1 PRINCPIO DA CONSERVAO DA ENERGIA 258 A17.2 TRABALHO 258 A17.3 MASSA E ENERGIA 264 EXERCCIOS DE FIXAO 266 AULA 18 TRABALHO, ENERGIA CINTICA E TRABALHO DE FORAS

VARIVEIS 267

A18.1 TRABALHO E ENERGIA CINTICA 267 A18.2 TRABALHO E ENERGIA COM FORAS VARIVEIS 268 EXERCCIOS DE FIXAO 271 AULA 19 POTNCIA 273 A19.1 POTNCIA MDIA E POTNCIA INSTANTNEA 273 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 275 UNIDADE 7 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAO DA ENERGIA 277 AULA 20 FORAS CONSERVATIVAS E NO CONSERVATIVAS 279 A20.1 UTILIDADE DO TEOREMA TRABALHO-ENERGIA 279 A20.2 FORAS CONSERVATIVAS 280 A20.3 FORAS NO CONSERVATIVAS OU DISSIPATIVAS 283 EXERCCIOS DE FIXAO 286 AULA 21 ENERGIA POTENCIAL 288 A21.1 DEFINIO DE ENERGIA POTENCIAL 288 A21.2 RELAO ENTRE FORA E ENERGIA POTENCIAL 294 A21.3 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL E FORAS CONSERVATIVAS 294 EXERCCIOS DE FIXAO 300 AULA 22 CONSERVAO DA ENERGIA 302 A22.1 CONSERVAO DA ENERGIA MECNICA 302 A22.2 CONSERVAO DA ENERGIA E FORAS DISSIPATIVAS 307 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 311 UNIDADE 8 SISTEMAS DE PARTCULAS 316 AULA 23 CENTRO DE MASSA 318 A23.1 APLICAO DO CONCEITO DE CENTRO DE MASSA 318 A23.2 DEFINIO DO CENTRO DE MASSA 318 A23.3 CENTRO DE MASSA DE CORPOS RGIDOS OU MEIOS CONTNUOS 321 A23.4 PROPRIEDADES DO CENTRO DE MASSA 323 EXERCCIOS DE FIXAO 330 AULA 24 O MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 333 A24.1 AVALIANDO O MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 333 EXERCCIOS DE FIXAO 340 AULA 25 MOMENTUM LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTCULAS 342 A25.1 MOMENTUM LINEAR 342 A25.2 CONSERVAO DO MOMENTUM LINEAR 344 A25.3 SISTEMAS COM MASSA VARIVEL 349


EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 355 UNIDADE 9 FORAS IMPULSIVAS E COLISES 358 AULA 26 IMPULSO E MOMENTUM LINEAR 360 A26.1 RELACIONANDO IMPULSO E MOMENTUM LINEAR 360 A26.2 COLISES 361 A26.3 COLISES ELSTICAS 364 A26.4 COLISES ELSTICAS UNIDIMENSIONAIS 366 A26.5 COLISES COMPLETAMENTE INELSTICAS 369 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 374 UNIDADE 10 CINEMTICA DA ROTAO 377 AULA 27 MOVIMENTO DE ROTAO 379 A27.1 TRANSLAO, ROTAO E REVOLUO DE UM CORPO RGIDO 379 A27.2 CINEMTICA ROTACIONAL 380 A27.3 RELAO ENTRE GRANDEZAS LINEARES E ANGULARES NA ROTAO 384 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 392 UNIDADE 11 DINMICA DA ROTAO 395 AULA 28 TORQUE 397 A28.1 TORQUE OU MOMENTO DE UMA FORA 397 A28.2 MOMENTO DE INRCIA 400 A28.3 MOMENTO DE INRCIA DE UM CORPO RGIDO 403 A28.4 PROPRIEDADES DO MOMENTO DE INRCIA 405 EXERCCIOS DE FIXAO 412 AULA 29 DINMICA DE UM CORPO RGIDO 413 A29.1 MOVIMENTO DE ROTAO 413 A29.2 ROTAO E TRANSLAO SIMULTNEAS 416 EXERCCIOS DE FIXAO 423 AULA 30 MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RGIDO 424 A30.1 MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RGIDO 424 A30.2 ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO 428 A30.3 O ESTABELECIMENTO DO ROLAMENTO 433 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 437 UNIDADE 12 LEIS DE CONSERVAO PARA SISTEMAS DE PARTCULAS 441 AULA 31 CONSERVAO DA ENERGIA EM SISTEMAS DE PARTCULAS 443 A31.1 ENERGIA CINTICA E POTENCIAL NA ROTAO 443 A31.2 ENERGIA CINTICA PARA UM SISTEMA DE PARTCULAS 443 A31.3 TRABALHO E POTNCIA NA ROTAO 446 A31.4 CONSERVAO DA ENERGIA EM SISTEMAS DE PARTCULAS 450 EXERCCIOS DE FIXAO 455 AULA 32 MOMENTUM ANGULAR DE UMA PARTCULA 456 A32.1 MOMENTUM ANGULAR 456 A32.2 MOMENTUM ANGULAR RELATIVO A UM EIXO 458 EXERCCIOS DE FIXAO 461 AULA 33 MOMENTUM ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTCULAS 463


A33.1 MOMENTUM ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTCULAS 463 A33.2 MOMENTUM ANGULAR DE UM CORPO RGIDO 465 EXERCCIOS DE FIXAO 471 AULA 34 CONSERVAO DO MOMENTUM ANGULAR 472 A34.1 CONSERVAO DO MOMENTUM ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTCULAS 472 A34.2 O PIO SIMTRICO 480 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 488 UNIDADE 13 EQUILBRIO DE CORPOS RGIDOS 490 AULA 35 AS EQUAES DE EQUILBIRIO 491 A35.1 VETORES LIVRES E VETORES DESLIZANTES 493 A35.2 EQUILBRIO ESTTICO DE CORPOS RGIDOS 493 A35.3 CENTRO DE GRAVIDADE 501 A35.4 ALAVANCAS 503 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 511 UNIDADE 14 GRAVITACO 514 AULA 36 LEI DA GRAVITAO 516 A36.1 A LEI DE GRAVITAO UNIVERSAL 516 A36.2 A MEDIDA DA CONSTANTE DE GRAVITAO UNIVERSAL 520 EXERCCIOS DE FIXAO 524 AULA 37 A FORA DA GRAVIDADE E A TERRA 525 A37.1 A FORA GRAVITACIONAL EXERCIDA POR UMA DISTRIBUIO ESFRICA DE MASSAS 525 A37.2 A FORA GRAVITACIONAL PRXIMO SUPERFCIE DA TERRA 529 A37.3 O CAMPO GRAVITACIONAL 533 EXERCCIOS DE FIXAO 538 AULA 38 O MOVIMENTO PLANETRIO 539 A33.1 AS LEIS DE KEPLER 539 EXERCCIOS DE FIXAO 551 AULA 39 A ENERGIA GRAVITACIONAL 552 A39.1 A ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL 552 A39.2 A CONSERVAO DA ENERGIA GRAVITACIONAL 555 A39.3 A ENERGIA NO MOVIMENTO PLANETRIO 558 A39.4 VELOCIDADE DE ESCAPE 559 A39.5 O POTENCIAL GRAVITACIONAL 560 EXERCCIOS DE FIXAO E PROBLEMAS DA UNIDADE 567 APNDICES 570 A DEFINIES DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 571 B CONSTANTES NUMRICAS 573 C FATORES DE CONVERSO DE UNIDADES 575 D RELAES MATEMTICAS 576 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 580


Prefcio

A elaborao deste livro nasceu da necessidade de se produzir um material didtico adequado ao Ensino a Distncia (EAD) das disciplinas de Fsica Bsica na Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Ele foi construdo a partir de um conjunto de textos que vm sendo utilizados e aprimorados durante vrios anos no projeto-piloto de EAD do Departamento de Fsica da UFMG.

Acreditamos que para se fazer EAD no basta disponibilizar o material na internet, em um stio muito colorido e com vrias animaes. preciso que se tenha um material impresso de boa qualidade, com uma organizao adequada, concatenao e seqncia lgica das idias, numa linguagem coerente e acessvel ao estudante. Sem isso, quase impossvel aprender fsica estudando de maneira autnoma.

H ainda a necessidade de se fornecer acesso ao material didtico independente da disponibilidade de um computador, j que nem sempre o acesso aos recursos computacionais possvel. Mesmo quando h essa disponibilidade, difcil aprender fsica na frente do computador apenas lendo os textos durante horas e clicando nos links

disponveis.

A utilizao de um livro voltado para o ensino presencial requer um professor que pondere a linguagem do material, acrescente toda a sua experincia, e modere o ritmo de estudo em sala de aula. Sem essa interveno voc no teria como saber, de antemo, qual ritmo de estudos deveria seguir em cada captulo ou seo do livro. J no EAD, o livro deve suprir a falta do professor, agindo como um roteiro de estudo. Para tanto, ele deve ser dividido em aulas, que contenham uma maior sub-diviso do contedo. No fundo, uma tentativa de se colocar no papel o que o professor faria na sala de aula.

Mas, lembre-se: esse livro no deve ser a sua nica referncia bibliogrfica. O material j consagrado no ensino presencial uma fonte imprescindvel para o completo aprendizado de fsica bsica, mesmo porque, inegvel a forte influncia destes textos na estrutura e organizao desta obra.

Os tpicos aqui apresentados seguem a forma histrica. A fsica moderna introduzida ao longo do texto sempre que possvel ou conveniente. O nvel matemtico leva


em conta que o aluno j fez ou est fazendo um curso introdutrio de clculo. Durante o desenvolvimento das equaes bsicas todos os passos so mostrados, e a matemtica introduzida medida que se faz necessria.

O trabalho de elaborao, adequao e preparao dos manuscritos e figuras que deram origem a este livro de responsabilidade dos autores da presente obra. Grande parte deste esforo contou com a colaborao imprescindvel dos estudantes de Graduao e Ps-Graduao do DF/UFMG, em particular Marcelo ngelo Diniz Alessio, Alexandre Ferreira de Freitas Lages e Gustavo Henrique Reis de Arajo Lima. Um agradecimento especial para Hugo Jos da Silva Barbosa, de onze anos de idade, que desenhou a maioria das figuras do livro. Agradecemos ainda o suporte de nossos familiares, dos vrios colegas do DF/UFMG e da Editora UFMG.

Os Autores


Informaes Gerais

1. FUNDAMENTOS DE FSICA NA MODALIDADE DE ENSINO A

DISTNCIA

Nesta disciplina as atividades so propostas em vrias unidades, divididas em

aulas, conforme mostra a tabela abaixo. No incio de toda aula voc encontrar os

objetivos. Eles querem dizer: Ao final desta aula voc dever ser capaz de....

Certifique-se de ter atingido todos eles antes de passar para a prxima aula.

As atividades ao longo do livro devem ser resolvidas no espao em branco

disponvel ao lado do texto. As solues de quase todas as atividades propostas esto

no final de cada aula. Evite pular diretamente para as solues, ou estar fadado ao

insucesso. H tambm um conjunto de questes tericas, uma lista de exerccios de

fixao e uma lista de problemas.

Os exerccios de fixao so considerados apenas a primeira parte do

aprendizado, pois, voc deve entender bem os conceitos e princpios bsicos antes de

passar para a resoluo dos problemas. Para obter sucesso nas avaliaes

importante resolver os problemas propostos. Neles voc aplicar o que aprendeu em

situaes mais elaboradas que exigiro uma estratgia adequada para sua soluo. Os

UNIDADES

1. A Fsica e o Comportamento da Natureza

8. Sistemas de Partculas

2. Movimento em uma dimenso 9. Foras Impulsivas e Colises

3. Movimento em duas e trs dimenses

10. Cinemtica da Rotao

4. Leis de Newton 11. Dinmica de Corpo Rgido

5. Aplicaes das Leis de Newton 12. Leis de Conservao para Sistemas de Partculas

6. Energia e Trabalho 13. Equilbrio de Corpos Rgidos

7. Energia Potencial e Conservao da Energia

14. Gravitao


itens Pense e Responda, propositalmente, no tem resposta. Eles tm a inteno de

fazer voc pensar um pouco mais sobre o assunto.

Lembre-se que o estudo autnomo exige maior perseverana e tanta dedicao

quanto em um curso presencial. Siga o cronograma da forma mais fiel possvel, para

evitar atropelos. No ler as aulas e no fazer as atividades propostas enganar a si

mesmo.

Descubra seu ritmo de estudo e faa apenas o nmero de disciplinas que lhe

permita ter bom rendimento. Lembre-se que a Universidade permite um tempo de

integralizao curricular bem maior que os tradicionais quatro anos, caso seja

necessrio.

Ao longo dos vrios anos de prtica de ensino, curiosamente, chegamos trs

ensinamentos que sintetizam bem as situaes vividas pela maioria dos professores e

estudantes de fsica. So eles:

1. Ningum ensina o que no sabe;

2. S se aprende o que se quer;

3. Roda de carro apertada que canta.

Sem saber o contedo no possvel ensinar a ningum, no mximo, repassar

o conhecimento. Depois, de nada adianta ter um timo professor se no houver

interesse e vontade de aprender por parte do estudante. Por ltimo, mas no menos

importante, cada um sabe de seus problemas e de suas dificuldades, mas no h

conquistas sem esforo.

Sucesso!!!

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UNIDADE 1

UM CONVITE COMPREENSO DA NATUREZA

Esta unidade tem a inteno de convid-lo para uma jornada rumo compreenso da

natureza. Portanto, sinta-se convidado!



AULA 1 - A FSICA E A COMPREENSO DA NATUREZA

OBJETIVOS (AO FINAL DESTA AULA VOC DEVER SER CAPAZ DE...)

DISCUTIR COM SEUS COLEGAS ALGUNS ASPECTOS HISTRICOS DA MECNICA NEWTONIANA

RECONHECER OS LIMITES DE VALIDADE DAS TEORIAS FSICAS E AS SIMPLIFICAES ENVOLVIDAS

DESCREVER O QUE SO AS GRANDEZAS FSICAS, SEUS PADRES E SUAS UNIDADES

ENTENDER O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES E A NOTAO CIENTFICA

FAZER ANLISE DIMENSIONAL, CONVERSO DE UNIDADES E ESTIMAR ORDEM DE GRANDEZA

OPERAR COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E EXPRESSAR A INCERTEZA DE UMA MEDIDA

DISTINGUIR ENTRE PRECISO E EXATIDO DE UMA MEDIDA E CALCULAR O VALOR MAIS PROVVEL

1.1 ALGUMAS RAZES PARA NO SE ESQUECER DA FSICA

Quase todo livro de fsica que conhecemos comea com um discurso sobre o quanto a fsica

bela e importante. Quanto a isto no restam dvidas. Mas se a fsica assim to bacana e to

fundamental porque ser que as pessoas sempre nos dizem, educadamente, que no gostam

muito da fsica. Normalmente a razo desse desencanto conseqncia da dificuldade com a

linguagem empregada (no caso, a matemtica), e no com a fsica propriamente dita. Outras

vezes o problema no com a matemtica, mas com o entendimento dos conceitos. Tambm,

no para menos, voc deve se lembrar de ter passado horas discutindo sobre um determinado

assunto, escrevendo frmulas e mais frmulas no quadro, sem, contudo, ter feito o mais simples

dos experimentos para observar o que acontece.

Por exemplo, voc entende que velocidade mdia o deslocamento durante um dado

intervalo de tempo, sabe escrever que vm = x/t, sabe que depende da direo e do sentido,

mas no compreende exatamente o que isto significa. Faa ento o seguinte experimento:

Escolha um local em sua casa que esteja ligado ao seu quarto por uma linha reta. Experimente

andar do seu quarto at esse local, contando o nmero de passos e cronometrando o tempo gasto

no percurso. Calcule agora sua velocidade mdia.


No nosso caso, para ir do quarto para o banheiro, foram percorridos 10 passos durante um

intervalo de tempo de 10 segundos. Logo, a velocidade mdia foi de 1 passo por segundo. Mas,

velocidade uma grandeza vetorial. Quer dizer, depende da direo e do sentido. Como assim?

Se o objetivo fosse tomar um banho, andar 1 passo por segundo na direo quarto-cozinha no

serviria. Tambm no adiantaria estar na direo correta, quarto-banheiro, seria preciso andar no

sentido correto: do quarto para o banheiro.

Como pode ver, para aprender fsica preciso vivenciar a fsica. E com esse intuito

que gostaramos de lhe convidar para uma jornada fascinante rumo ao entendimento do

comportamento da natureza e, conseqentemente, da prpria fsica. Mesmo porque voc j

vivencia a fsica em seu dia-a-dia. Vamos lembrar algumas situaes em que isto ocorre.

Imagine como seria comprar uma cala ou um sapato se em cada lugar que voc chegasse o

nmero 37 dependesse do tamanho do p do prefeito? Como seriam as relaes comerciais entre

os pases? E a comparao entre os trabalhos cientficos? Pois , o Sistema Internacional de

Unidades estabelece os padres de comprimento, tempo e massa que permitem uma

uniformizao das medies em todo o mundo.

Ser que voc conseguiria chegar a tempo em seu trabalho sem levar em conta o tempo

necessrio para o deslocamento de sua casa at o local de trabalho? E sem levar em conta a

velocidade mdia dos automveis no horrio de pico do trnsito em sua cidade? Voc j

experimentou descer de um nibus em movimento? Por sua prpria experincia, j sabe que sua

velocidade relativa ao cho maior, portanto, precisar aumentar o ritmo de sua passada

quando colocar o p no cho ou acabar caindo.

Seria possvel andar se no houvesse atrito? Experimente correr de meias sobre um cho

bem encerado e depois sobre um piso bem grosso. Percebeu como a rugosidade do piso interfere?

Tente agora abrir a porta de sua casa empurrando prximo maaneta e depois prximo

dobradia? Qual o jeito mais fcil? Aplicar uma fora mais longe do ponto de rotao gera maior

torque, portanto, menor fora para se realizar o mesmo movimento.

mais fcil frear um carro ou um caminho andando mesma velocidade? Todo mundo

sabe que o carro. Isso mesmo, precisa se fazer menos fora para frear o objeto com menor

momentum ou quantidade de movimento.

Uma brincadeira que sempre fazemos com os alunos novatos no laboratrio pedir a eles

que fervam um pouco de gua at 110 0C. Depois de um bom tempo fervendo a gua eles voltam

dizendo: Professor, o termmetro no passa de 1000C !!!!. Pior seria ter de tomar remdio para

febre toda vez que algum resolvesse medir sua temperatura com a mo.

Voc j viu um ovo que tenha espatifado no cho, espontaneamente, fazer o movimento

inverso e voltar, inteirinho, para cima da mesa? Voc j vivenciou uma situao em que todo o ar


da sala, sozinho, resolve ficar num s canto? Pois , como a probabilidade de certos eventos

ocorrerem infinitamente pequena, os fenmenos naturais ocorrem de forma irreversvel, como

se existisse uma linha do tempo. Como os fsicos costumam dizer, a entropia, grandeza fsica

que tenta mensurar essas probabilidades, sempre aumenta em processos naturais.

Poderamos continuar por vrias pginas, mas j foi suficiente. Reforamos ento nosso

convite para que voc continue a sua leitura desta aula, cujo objetivo apresentar alguns

aspectos do contexto histrico e das questes e ferramentas que levaram os cientistas

construo desta to bem sucedida teoria, que a Mecnica Newtoniana. Esse, certamente, o

ponto de partida para que voc aprecie mais a fsica e deseje aprofundar ainda mais seus estudos.

Nossa idia ilustrar, com situaes reais vividas pelos estudiosos, como importante

aprender com cuidado a usar ferramentas que parecem, primeira vista, to longe dos objetivos

finais. Por exemplo, por que foi crucial para o entendimento da rbita dos planetas em torno do

Sol o conhecimento dos algarismos significativos, unidades e dimenses? Como tentaremos expor

a seguir, utilizando o episdio da verificao da rbita de Marte, por Kepler, a partir das

observaes de Tycho Brahe, foi absolutamente fundamental conhecer a preciso da medida. Fez

a diferena entre a previso de uma rbita circular e elptica. Mas vamos mais para trs na

Histria.

1.2 A FSICA E A COMPREENSO DA NATUREZA

A compreenso da Natureza, em especial durante os primrdios da civilizao foi fortemente

impulsionada pelas necessidades materiais e sociais do Homem. Dada a escassez de informaes

da poca, o que faremos a seguir oferecer nossa prpria viso de como teria sido o despertar da

curiosidade pelo desenvolvimento de objetos e/ou idias mais abstratas do que as oferecidas pela

prpria Natureza na poca.

Uma ilustrao possvel o que aconteceu na regio da Mesopotmia entre o Rio Eufrates e

o Rio Tigre. Devido fertilidade da regio entre esses rios, foram surgindo pequenas aldeias em

suas margens e o Homem comeou a deixar de ser nmade, exigindo dele uma convivncia

social. Em primeiro lugar foi preciso aprender a plantar e a criar rebanhos. Para inventariar seus

bens a memria, certamente, deixou de ser eficiente, levando inveno de smbolos gravados

em blocos de barro, que representavam os bens tanto em qualidade como em quantidade. Essa

necessidade concreta deu origem escrita cuneiforme.

A proximidade e a convivncia social deram origem troca de mercadorias entre indivduos.

Surge ento a necessidade de um sistema contbil, bem como o estabelecimento de regras


regulamentando o princpio de trocas. Se um dono de rebanho quisesse adquirir dois bois, teria

que dar quantas ovelhas? Um boi muito grande e gordo equivaleria quantos bois magros? Eis a

um importante problema que impulsionou a matemtica, e a necessidade de contar e enumerar

os objetos d origem Aritmtica. O estudo do peso, volume e densidade dos corpos passa a ser

importante no comrcio, dado que vrias mercadorias so assim avaliadas.

a economia tambm a grande geradora da necessidade de conhecimento da lgebra! Na

Babilnia, por exemplo, a exponenciao j era conhecida e utilizada para o clculo de juros. A

Geometria, ramo mais antigo da matemtica, tem sua origem provavelmente situada no perodo

neoltico. no Antigo Egito e Mesopotmia, porm, onde ela tem o seu maior desenvolvimento.

Por qu? fcil imaginar: surge a necessidade de se medir distncias, arcos e ngulos com o

objetivo de demarcao de territrios, por exemplo. Posteriormente, a medio de ngulos se

estendeu para a Astronomia.

A Mecnica surgiu de forma bastante anloga e natural quando o Homem comeou a

acompanhar o movimento dos astros. Inclusive, do ponto de vista social, comeava a ficar

importante estabelecer o tempo: o dia, a noite, o frio, o calor, as enchentes, as secas, as mars,

as fases lunares e as estaes; que se repetem regularmente e acabaram por fazer parte do

cotidiano coletivo.

Surgiu assim, aos poucos, a necessidade de se elaborar um calendrio que disciplinasse no

apenas o trabalho coletivo como a semeadura, a colheita e a estocagem dos alimentos, mas

tambm a organizao das atividades religiosas e ldicas.

Enfim, com a construo das primeiras cidades da Mesopotmia e do Egito, e com a

necessidade de se deslocar grandes volumes de massa para a construo de templos, palcios e

sepulcros, surgiram as primeiras mquinas simples como alavancas e planos inclinados, cuja

utilizao e descrio do origem ao termo MECNICA, em grego.

1.2.1 O COMPORTAMENTO DA NATUREZA: A FSICA E A MATEMTICA

A fsica a Cincia que procura compreender e

descrever as leis que regem o comportamento da

Natureza. A construo da maior parte das Teorias

Fsicas, dentre elas a Mecnica, segue o seguinte

padro esquemtico:


FENMENOS

A maior parte dos fenmenos caractersticos da Mecnica Newtoniana visvel a olho nu e

assim que o Homem comeou a viver em agrupamentos a observao sistemtica de alguns

fenmenos, como discutimos, foi essencial para a sobrevivncia do grupo.

Muito mais tarde, a curiosidade sobre os planetas e suas rbitas levou Tycho Brahe,

aristocrata de muitas posses, a fazer um mapa do movimento de todos os corpos celestes que

conseguia observar com seu telescpio. Extremamente perfeccionista e meticuloso, seus nmeros

referentes posio de objetos celestes tinha uma incrvel preciso, limitada apenas pelo aparato

experimental. No que se refere, por exemplo, rbita de Marte, a preciso angular era de 1. O

que quer dizer isto? Quer dizer que, at esse limite, uma descrio terica daquelas observaes

deve ser condizente com esses dados.

LEIS EMPRICAS

Devido a problemas poltico-religiosos Johannes Kepler foi obrigado a deixar a Itlia e

recebeu um auxlio para trabalhar com Tycho Brahe, na descrio analtica da rbita de Marte.

Nesta altura da Histria, a influncia das idias de perfeio na Religio e nas Cincias, advinda

de Plato, ainda estavam impregnadas nas mentes mais iluminadas e um dos smbolos dessa

perfeio era o crculo. Por isso, Kepler passou cinco anos de sua vida tentando ajustar crculos

nos dado observacionais de Tycho Brahe.

Mas dentro da preciso dos dados isto era impossvel. At um grau de preciso os

algarismos que localizavam as rbitas eram todos significativos de modo que deveriam pertencer

curva de Kepler.

Aps cinco anos tentando a perfeio, Kepler descobriu (muito por causa da crena

inabalvel nos dados do colega) que as rbitas eram elpticas, contendo o Sol num dos focos. De

repente, aquela mirade de nmeros obtidos por Tycho Brahe comeavam a se unificar em torno

de algumas leis: A rbita de todos os planetas se d num plano; Os planetas percorrem reas

iguais (a partir do Sol at o planeta em movimento) em intervalos de tempo iguais; E, por ltimo,

h uma relao universal entre o semi-eixo maior da rbita e o perodo da mesma. Como vimos

ento, Kepler conseguiu reduzir os incontveis pontos observados por Tycho Brahe trs leis

empricas rigorosamente obedecidas.

E porque isso ainda no uma teoria? Porque falta descobrir qual a causa fundamental

que provoca esse comportamento regular no movimento no movimento dos planetas. Isto s iria

acontecer mais tarde, atravs dos trabalhos de Isaac Newton.


TEORIA

A Teoria da Gravitao de Newton ser abordada mais adiante, quando poderemos avaliar

sua capacidade de explicar a essncia dos fenmenos do nosso dia a dia, utilizando um pequeno

nmero de grandezas fsicas. importante ressaltar que ela no explica tudo.

Para a descrio apropriada dos movimentos em altas velocidades (prximas velocidade

da luz) precisaremos da Teoria da Relatividade Restrita. Isto porque, na Teoria de Newton, no h

um limite superior para a velocidade dos corpos, o que incompatvel com a experimentao. A

Teoria de Newton tambm no leva em conta fenmenos na escala atmica, para os quais a

prpria noo de trajetrias fica comprometida. No caso teremos de recorrer Mecnica Quntica.

Ento, importante saber que mesmo as teorias mais consagradas tem seu limite de

validade. A unificao de todas as teorias em todas as escalas um sonho dos fsicos e norteia

muitas pesquisas atuais.

Outro aspecto importante que as teorias nos permitem fazer previses. Por exemplo,

com a Lei da Gravitao de Newton, que descreve a interao gravitacional entre os corpos,

podemos explicar desde o movimento de um carro at a translao dos planetas. Por si s isso j

seria algo de muita valia. Contudo, voc ainda pode fazer mais e desenvolver tecnologia. Por

exemplo, com um pouco de engenhosidade voc ser capaz de colocar um satlite em rbita em

torno da Terra. Agora, nem preciso dizer o quanto voc j deve ter se beneficiado da tecnologia

de comunicao via satlite.

1.3 A COMPREENSO DA NATUREZA E A EXPERIMENTAO

O trabalho de Tycho Brahe e Kepler foram, sem dvida, fundamentais para Newton. Porm,

muito antes de Newton formular sua teoria, Galileu j havia descoberto importantes propriedades

do movimento, sem, no entanto, se preocupar com o porqu das coisas serem do jeito que ele

observava.

Galileu resolveu quantificar a queda dos corpos. Ele no estava interessado, como Newton,

em porque os corpos caiam como caiam, mas queria responder, por exemplo, a questes como:

Quais so as propriedades essenciais para a descrio da queda dos corpos? Ser que o

movimento depende da massa? Da forma do objeto? Do seu tamanho? Da sua cor? claro que,

dentro deste contexto, isto pode parecer quase uma brincadeira, mas o sucesso das idias de um

cientista depende fundamentalmente de se descobrir quais so as propriedades cruciais para

aquele dado fenmeno. O que, freqentemente, est longe de ser uma tarefa simples e direta.


Se voc tivesse de analisar um dado fenmeno e considerasse todos os fatores envolvidos,

desde os mais significativos at os menos relevantes, tudo de uma s vez, no conseguiria

estud-lo. Desse modo, a anlise inicial do problema fica relativamente simples e lhe permite

avaliar como esses outros diversos fatores afetam o experimento em questo. Contudo, voc

deve ter o cuidado de no desconsiderar fatores demais; geralmente utiliza-se o bom senso para

avaliar quais fatores so significativos e quais podem ser desprezados na anlise de um

determinado problema.

1.3.1 ENTENDENDO UM EXPERIMENTO

Vamos tentar fazer, esquematicamente, o que Galileu fez para quantificar a queda dos

corpos. Execute a Atividade 1.1, como indicado abaixo.

ATIVIDADE 1.1

Para que voc possa ter uma idia do trabalho de um fsico vamos escolher um tema bem

simples: o tempo de queda dos corpos. Pode parecer meio sem sentido, mas imagine que voc

esteja passando tranquilamente por uma rua, quando um vaso de flores cai da sacada de um

prdio na direo de sua cabea. Ser que saber sobre o tempo de queda dos corpos seria til

nesse momento? E se fosse um piano?

Para comear estamos lhe propondo deixar cair da mesma altura diferentes objetos, para

que esses experimentos lhe forneam a base para formular hipteses acerca do que foi

observado. Finalmente voc poder tirar concluses a partir de suas hipteses, refinar suas idias,

e certamente poder perceber algo que identifique um comportamento geral da natureza.

Vai aqui uma sugesto inicial: o tempo de queda dos corpos depende do seu peso?

MATERIAIS UTILIZADOS

Um livro, folhas de papel e uma bolinha de gude (ou algo similar como uma borracha ou

uma pedra).

PROCEDIMENTOS

a) Deixe cair da mesma altura uma bolinha de gude e uma folha de papel (sem dobrar, na

horizontal e segura por uma das extremidades). Qual chega ao cho primeiro? Faa suposies

razoveis do por qu.

b) Amasse bem a folha fazendo uma bola de papel e repita o item a. Qual chega ao cho

primeiro, a bolinha de gude ou a bolinha de papel?


c) Confronte as observaes dos itens a e b, e faa algumas suposies acerca do que

aconteceu.

d) Solte agora a bolinha de papel e a bolinha de gude de alturas prximas de 1m e 2m.

Repita esse procedimento vrias vezes para ambas as alturas. Observe atentamente o que

ocorreu. Isso poder lhe ajudar a descartar algumas hipteses e refinar outras.

e) Escreva suas hipteses sobre o tempo de queda dos corpos.

f) Solte agora da mesma altura e ao mesmo tempo uma folha de papel e um livro. Voc j

sabe qual dos dois chegar ao cho primeiro? Explique!

g) Coloque ento a folha sob o livro (ou seja, embaixo do livro) e antes de solt-los diga o

que vai ocorrer. Por qu?

h) Com base nas suas hipteses feitas para o tempo de queda dos corpos at o momento, o

que voc acha que ir ocorrer se colocar a folha de papel sobre o livro e solt-los de certa altura.

i) Faa ento o experimento, colocando uma folha de papel em cima do livro e soltando-os

de uma altura qualquer. Sua previso est de acordo com o que voc observou?

j) Levando em considerao tudo o que foi feito o que voc pode dizer sobre o tempo de

queda dos objetos?

Galileu afirmava que todos os corpos caem com a mesma acelerao e isso significa que o

tempo de queda desses corpos no depende do peso (figura 1.1). Pela afirmao de Galileu,

soltando uma pedra e uma pena da mesma altura, as duas deveriam chegar juntas ao cho. Isso

verdade sempre que possvel desprezar os efeitos da resistncia do ar, caso contrrio essa

afirmao falsa. Uma pedra e uma pena soltas da mesma altura no chegam ao cho ao mesmo

tempo, pois a resistncia do ar mais significativa sobre a pena, retardando seu movimento (e

no por que a pedra mais pesada que a pena).


Figura 1.1: Tempo de queda dos corpos. (acima) Um pequeno objeto e uma folha de papel (sem dobrar, na

horizontal e segura por uma de suas extremidades) so soltos ao mesmo tempo por Hugo. Na linha de

baixo a situao se repete, mas a folha agora foi amassada na forma de uma bola. A seqncia de fotos

tem um intervalo de 0,03s entre cada exposio. Pelas idias de Galileu, em uma regio onde a resistncia

do ar fosse desprezvel, a folha (aberta ou amassada) e o objeto chegariam ao cho no mesmo instante de

tempo.

Como j foi dito, voc deve estar ciente de que toda teoria fsica tem um limite de

aplicao ou limite de validade, onde fora desse limite ela no pode ser aplicada diretamente.

Isso se deve ao fato das leis e princpios fsicos serem baseados em modelos. Um modelo fsico

utilizado na tentativa de tornar a compreenso de um dado fenmeno mais clara e sua anlise

mais simples.

Por exemplo, quando voc diz que o tempo de queda de um corpo no depende do peso do

corpo, voc est utilizando um modelo no qual desprezou a resistncia do ar (veja a Atividade

1.1). Mas voc sabe que, no entanto, soltando uma bolinha de gude e uma folha de papel da

mesma altura, a bolinha de gude cai primeiro. Sabe tambm que se a folha de papel for

amassada, fazendo uma bolinha de papel, as duas bolinhas chegaro praticamente juntas ao

cho, quando soltas de uma pequena altura.

Obviamente o uso de modelos no tira a importncia das teorias fsicas, ao contrrio, isso

mostra um grande avano no pensamento humano. Aristteles foi um dos maiores pensadores da

humanidade e no conseguiu definir de forma precisa o movimento por no abstrair algumas

idias importantes. Ele no acreditava na existncia do vcuo e por isso no concebia o

movimento dos corpos sem a resistncia do ar. Galileu foi o primeiro a dar esse grande passo.

Segundo Galileu, se pudssemos remover todo o ar de uma sala, por exemplo, e

deixssemos cair em seu interior uma pena e uma pedra, elas cairiam simultaneamente. (veja a

figura 1.2). Ao contrrio de Aristteles, Galileu props um modelo onde os corpos caiam sem a

resistncia do ar e esse era o limite de validade de sua teoria.

Desse modo Galileu fez da Fsica uma Cincia Experimental. A ltima palavra sempre da

Natureza. Qualquer teoria, independentemente da quantidade de dados que tenha sido capaz de

descrever, se falhar em explicar um nico experimento, dentro da preciso dos aparelhos de

medida, deve ser revista.


Saiba Mais

Filosofo grego, Aristteles foi um dos maiores pensadores da

humanidade. Escreveu sobre vrios temas em tica, lgica, poltica,

psicologia, filosofia natural, poesia, retrica e outras.

Aristteles escreveu sua teoria do movimento, classificando-o

em dois tipos: o movimento natural e o movimento violento. Em sua

teoria, os princpios vlidos aqui na Terra no eram vlidos para os

corpos celestes.

Segundo ele, os corpos se moviam pela tendncia natural em

alcanar seu lugar apropriado (movimento natural) ou devido a um

agente que o forasse a se mover, como o vento e a ao humana

(movimento violento).

Aristteles (384-322 a.C)

Qualquer corpo na Terra era constitudo de certa proporo dos quatro elementos: gua,

terra, ar e fogo. Uma pedra, por exemplo, apresentava em sua constituio uma maior proporo

de terra e o seu lugar apropriado era ento a terra. A fumaa tinha em sua constituio uma

proporo maior de ar e por isso se esforava para alcanar o cu que era o seu lugar apropriado.

Um lquido tinha uma tendncia maior de se escoar em direo ao seu lugar apropriado que era a

gua e assim por diante.

A partir dessas idias conclua que a velocidade de queda dos corpos deveria ser

proporcional aos seus pesos. Se a pedra possui em sua constituio uma proporo maior de

terra, ela tem uma tendncia maior de ir para o seu lugar apropriado (a terra) que uma pena.

Ento a pedra se esfora mais para ir em direo Terra, ou seja, sua velocidade de queda ser

sempre maior que a da pena.

O movimento violento era o movimento originado devido a agentes que interagiam com

esses corpos, puxando-os ou empurrando-os. Para ele, um corpo s poderia estar se movendo

devido ao movimento natural ou devido a uma fora imprimida a ele, caso contrrio, ele estaria

em repouso. Se voc empurrar um livro, por exemplo, ele pra logo que voc deixa de empurr-

lo. Para Aristteles o livro s poderia se mover se algum fizesse fora continuamente sobre ele.

Com essas duas definies de movimento, Aristteles explicava de maneira satisfatria o

movimento dos corpos na poca em que viveu e suas idias perduraram por cerca de 2000 anos

quando Galileu props de forma clara outra teoria para o movimento criticando a viso aristotlica

com base na experimentao.


Saiba Mais

Fsico, matemtico, astrnomo e filsofo italiano, Galileu

contribuiu de forma significativa para o desenvolvimento da teoria

sobre o movimento, concluda posteriormente por Isaac Newton.

Ele foi o primeiro a refutar as idias aristotlicas sustentando

suas afirmaes em observaes e experimentao.

Diz a lenda que ele soltou diferentes objetos da Torre inclinada de

Pisa e comparou os tempos de queda, chegando concluso de que o

tempo de queda no depende do peso. No h confirmao dos

historiadores sobre essa passagem e por isso ela contada como uma

lenda.

Galileu Galilei (1564-1642)

Alm disso, estudou o movimento com acelerao dos corpos utilizando seus famosos planos

inclinados. Melhorou o telescpio que foi utilizado para o estudo dos corpos celestes o que lhe

rendeu vrias descobertas importantes como as manchas solares, quatro das luas de Jpiter, os

anis de Saturno.

Devido a sua forte defesa da experimentao, Galileu considerado por muitos como o pai

do desenvolvimento da metodologia cientfica.

Como voc j percebeu a fsica muito mais que uma coleo de dados e leis. Ela nossa

incessante busca pela compreenso da Natureza. Diz a lenda que ao descobrir a soluo para um

problema, enquanto tomava seu banho, Arquimedes saiu nu pelas ruas gritando: Eureka! Eureka!

(Encontrei! Encontrei!). Ns temos certeza que medida que voc prosseguir em seus estudos vai

se sentir do mesmo jeito que Arquimedes. S no precisa sair correndo sem roupa por a.

ATIVIDADE 1.2

Escolha algum assunto de seu interesse em fsica e discuta os limites de validade da teoria

vigente. Compartilhe os detalhes com seus colegas no frum de discusso da primeira aula.


1.3.2 DEFINIO DE PARTCULA

Ao descrever o movimento de um carro ao longo de uma trajetria retilnea, ou de um

caminho se movendo ao longo de uma curva ou um avio se movendo em uma trajetria

qualquer em trs dimenses, mais simples e conveniente trat-los como se fossem partculas.

Em todas essas situaes as suas dimenses no esto sendo levadas em conta e os mesmos

tratados como se toda a sua massa estivesse concentrada em um nico ponto.

bvio que, em alguns casos, no se pode desprezar as dimenses dos corpos e trat-los

como se fossem partculas. Em particular, quando se tratar dos conceitos relacionados rotao

dos corpos rgidos. Um corpo rgido pode ser imaginado como uma coleo muito grande de

partculas com posies fixas umas em relao s outras. Nesse caso, considera-se as dimenses

do corpo, desprezando, no entanto, as possveis deformaes que ele possa sofrer.

Perceba ento que um corpo rgido tambm uma idealizao. Voc sabe que sua borracha

no um corpo rgido porque quando a puxa ou a aperta ela aumenta ou diminui o seu tamanho

e, sendo assim, a posio de uma partcula da borracha em relao outra muda. Uma mesa, um

tijolo, um pedao de ao e enfim qualquer objeto sofre deformaes quando voc os comprime ou

estica. Algumas deformaes so grandes e por isso so visveis como o da sua borracha ou a de

um elstico. Outras deformaes so muito pequenas e imperceptveis ao nosso olho como a de

uma viga de ao sujeita uma dada variao de temperatura. Da mesma forma um lquido ou um

gs no pode ser considerado um corpo rgido. O estudo da elasticidade dos materiais ser

abordado na Mecnica dos Slidos e o estudo dos lquidos e gases na Mecnica dos Fluidos.

ATIVIDADE 1.3

Identifique outras situaes em fsica onde normalmente se usa um modelo idealizado e discuta

as conseqncias das simplificaes envolvidas.

1.4 GRANDEZAS FSICAS, PADRES E UNIDADES

Qualquer quantidade utilizada para descrever um dado fenmeno fsico denominada uma

grandeza fsica. Voc sabe dizer qual a sua massa e altura? Eu tenho 80 kg e 1,70m. Ento,

massa e comprimento so duas grandezas fsicas que descrevem as caractersticas de qualquer

pessoa.


1.4.1 GRANDEZAS FSICAS DIRETAS E INDIRETAS

Algumas grandezas fsicas podem ser medidas diretamente, como o

deslocamento que voc faz quando vai de seu quarto para a sala de sua

casa, bem como o intervalo de tempo que dura a sua caminhada neste

percurso. Basta utilizar uma trena (figura 1.2) e um relgio.

Outras grandezas fsicas so obtidas indiretamente, como, por

exemplo, a velocidade desenvolvida por voc durante esse percurso. Para

isso, basta dividir o deslocamento pelo intervalo de tempo, medidos

anteriormente. Veja ento que a velocidade uma grandeza fsica que

depende de outras duas grandezas, o deslocamento e o tempo e por isso

ela dita uma grandeza fsica indireta.

Figura 1.2: a trena

um aparelho porttil

para a medio de

comprimento.

1.4.2 GRANDEZAS FSICAS ESCALARES E VETORIAIS

Certas grandezas fsicas como o comprimento, volume, temperatura e presso ficam

completamente determinadas quando se especifica um nmero e a unidade correspondente. Por

exemplo: a temperatura do planeta elevou-se cerca de 0,5C devido ao aquecimento global, uma

jovem modelo morreu com 38kg devido a uma anorexia nervosa, o porta-malas de um carro

popular tem um volume de 285llll. Todas essas grandezas fsicas so descritas por um nmero

seguido de uma unidade - a unidade de volume utilizada foi o litro [l], a unidade de massa foi o

quilograma [kg] e a unidade de temperatura foi o grau Celsius [C]. As grandezas descritas por

um nmero e uma unidade, apenas, so denominadas grandezas escalares.

Existem grandezas fsicas que, alm de um nmero e a unidade correspondente, necessitam

da especificao da direo e do sentido; elas so chamadas grandezas vetoriais. A velocidade

de um avio a jato de 900km/h do sul para o norte. O deslocamento de um aluno dentro da sala

de aula foi de 3,2m da porta para o fundo da sala. Todos esses exemplos so de grandezas

vetoriais onde se especifica uma intensidade ou mdulo (900km/h e 3,2m), uma direo (sul-

norte, porta-fundo da sala) e um sentido (de sul para norte, da porta para o fundo da sala).

1.4.3 PADRES E UNIDADES

Quando se especifica as grandezas fsicas, sejam elas escalares ou vetoriais, utiliza-se

sempre um conjunto de unidades, como o metro, o quilograma, o segundo e outras. Isso

significa que quando se mede uma grandeza fsica diretamente a comparamos com um padro

pr-estabelecido.

Voc pode medir o comprimento de uma porta e dizer que ela possui 2,12m. Isso significa

que a porta 2,12 vezes maior que uma barra que, por conveno, lhe foi atribuda 1m. Ento,


para qualquer medida de comprimento, utilizamos como padro essa barra comparando seu

comprimento com o de outros objetos que queremos especificar o seu tamanho (o padro de

comprimento que era baseado no comprimento de uma barra adotada como padro, foi

modificado para maior preciso das medidas. Atualmente a unidade de comprimento baseada na

velocidade da luz).

Essa comparao, usando um padro para uma dada unidade, feita de modo anlogo para

todas as outras grandezas fsicas diretas. Por isso, desejvel que todas as pessoas as conheam

e as utilizem no apenas no trabalho cientfico, mas tambm nas relaes cotidianas. Imagine se

cada pas tivesse seu prprio sistema de medidas, ou melhor, se em cada regio de um

determinado pas como o Brasil houvessem sistemas de medidas baseados em unidades

arbitrarias, tais como o palmo, o p e outras. Como seriam as relaes comerciais entre essas

diferentes regies e pases?

Pense como seria se voc quisesse comprar 1m de elstico e o comerciante medisse o

comprimento pelo palmo de sua mo. Nos Estados Unidos, por exemplo, uma unidade de

comprimento muito utilizada o p (1m=3,281ft) e uma unidade de massa tambm muito

utilizada a oz (l-se ona e 1kg aproximadamente igual a 35 oz). Observe ento que

existindo vrios sistemas de unidades, as relaes cientficas e comerciais entre paises podem

ficar prejudicadas, trazendo vrios inconvenientes.

ATIVIDADE 1.4

Voc conhece alguma situao onde a falta de um padro prejudicou as relaes comerciais do

Brasil? Compartilhe com seus colegas alguma experincia que voc j tenha vivido onde a falta

de um padro tambm tenha lhe causado algum inconveniente.

1.5 O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Em cincia no diferente. Para que as medidas realizadas sejam precisas e aceitveis em

qualquer parte do planeta, definiu-se um conjunto de unidades padronizadas a serem utilizadas

em todos os lugares. Esse sistema de unidades conhecido, hoje, como Sistema Internacional

de Unidades, abreviado por SI (do francs Le Systme International d Units).

O SI surgiu da necessidade de acabar com os inconvenientes causados pela utilizao

arbitrria de vrias unidades de medidas. Nesse sistema so definidas duas classes de unidades,

as unidades base e as unidades derivadas, que so unidades formadas pela combinao de


unidades base. A Tabela 1.1 mostra as unidades bases do SI, as grandezas fsicas

correspondentes e os smbolos utilizados. Na Tabela 1.2 voc pode ver alguns exemplos de

unidades derivadas do Sl.

Tabela 1.1: Unidades Base do SI Tabela 1.2: Algumas Unidades Derivadas do SI

Grandeza Unidades Base do SI

Nome Smbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma kg

Tempo Segundo s

Corrente Eltrica Ampre A

Temperatura Kelvin K

Quantidade de Matria Mole mol

Intensidade Luminosa Candela Cd

Grandeza

Unidades Derivada do SI

Nome Smbolo

Velocidade Metro por segundo m/s

Acelerao

Metro por segundo ao

quadrado m/s2

Massa especfica

Quilograma por metro

cbico kg/m3

Freqncia Hertz s-1

Fora Newton m. kg .s-2

Carga eltrica Coulomb s. A

Fora eletromotriz Volt m2. kg . s-3. A-1

No Apndice A voc encontrar as definies das unidades bsicas, e uma lista mais extensa

de unidades derivadas do SI. Voc poder conhecer mais sobre o SI no stio eletrnico do Inmetro

(Instituto Nacional de Metrologia, Normalizao e Qualidade Industrial). Acesse o link:

www.inmetro.gov.br. Procure a seo sobre Unidades Legais de Medida.

1.5.1 NOTAO CIENTFICA: OPERANDO COM POTNCIAS DE DEZ

Utiliza-se potncia de 10 para representar nmeros muito grandes ou muito pequenos.

Nessa notao cientfica o nmero escrito como um produto de um nmero entre 1 e 10 e

uma potncia de dez com o expoente adequado. Um carro, por exemplo, tem 1500kg e

representamos sua massa por 3105,1 x kg. A freqncia de operao dos telefones celulares no

Brasil situa-se entre 9000 hertz (Hz) e 000.000.000.300 Hz e representamos essas grandezas

por 3109x Hz e 11103x Hz. Expoentes negativos so utilizados quando os nmeros tm mdulo menor que um. Por exemplo, o dimetro do ncleo atmico da ordem de 10-15 m.

Por convenincia, em 1991, a 19 Conferncia Geral de Pesos e Medidas (CGPM)

recomendou a utilizao de prefixos para a representao das unidades. A Tabela 1.3 mostra os

prefixos para os fatores correspondentes e os smbolos utilizados. Sendo assim as grandezas


fsicas mencionadas acima podem ser escritas de uma forma mais compacta, como 9 kHz e 300

GHz. No caso do ncleo atmico seria 1 fm.

Tabela 1.3: prefixos utilizados para as unidades do SI.

Fator Prefixo Smbolo Fator Prefixo Smbolo

1024 iota Y 10-24 iocto y

1021 zeta Z 10-21 zepto z

1018 exa E 10-18 ato a

1015 peta P 10-15 femto f

1012 tera T 10-12 pico p

109 giga G 10-9 nano n

106 mega M 10-6 micro 103 quilo k 10-3 mili m

102 hecto h 10-2 centi c

101 deca da 10-1 deci d

Com o avano da cincia e da tecnologia, as definies das unidades de medida evoluram.

As redefinies das unidades de comprimento e tempo, por exemplo, foram necessrias devido

necessidade de maior preciso nas medidas realizadas.

1.5.2 UNIDADE DE TEMPO O PADRO DO SEGUNDO

De 1889 a 1967 o segundo era definido como uma frao do dia solar mdio, ou seja,

igual a 864001 desse dia. Sabemos que os perodos de durao dos dias variam de milsimos

de segundos ao longo dos meses, devido s irregularidades no perodo de rotao da Terra.

Alguns dias podem ter um perodo de durao maior, outros um perodo menor e por isso os

astrnomos eram os responsveis pela definio do dia solar mdio. Observe ento que a

preciso das medidas realizadas baseadas nesse padro de tempo era limitada.

Em 1967 a 13 CGPM substituiu a definio do segundo baseada em um padro atmico,

a partir da freqncia da radiao emitida por um istopo do tomo de Csio:

O segundo a durao de 9.192.631.770 perodos da radiao correspondente

transio entre os nveis hiperfinos do estado fundamental do Csio 133.


A partir desse padro, utilizado atualmente, feita a

padronizao e calibrao dos relgios e aparelhos de medidas de

tempo. No Brasil a manuteno de padres para medies do

tempo responsabilidade do Observatrio Nacional (ON), no

estado do Rio de Janeiro.

Voc pode conhecer mais sobre o Observatrio Nacional e

ajustar seu relgio diretamente do relgio de Csio (Hora Legal

Brasileira) visitando o stio eletrnico: http://www.on.br.

Figura 1.3: relgio atmico

de csio instalado no ON.

PENSE E RESPONDA: Qual a freqncia da radiao tomada como padro para a definio do

segundo?

1.5.3 UNIDADE DE COMPRIMENTO O PADRO DO METRO

Assim como o segundo, a definio do metro sofreu vrias

mudanas com o objetivo de se adequar necessidade de medidas

cada vez mais precisas devido ao avano da cincia e tecnologia.

De 1889 a 1960 o metro era definido com base na distncia

entre o plo norte e a linha do equador. O metro era a dcima

milionsima parte dessa distncia definida como 107m. A partir

dessa definio certa barra de platina-irdio foi convencionada

como tendo 1m (figura 1.4). Cpias dessa barra foram enviadas

como padres secundrios a vrios laboratrios para padronizao

e calibrao em diversas partes do planeta .

Figura 1.4: Barra de platina e

irdio, a qual foi atribudo um

comprimento de 1m igual a

10-7 m a distncia entre o

plo norte e a linha do

equador.

Em 1960, devido a uma maior preciso, o padro do metro foi substitudo por um padro atmico.

Nesse ano o metro foi definido a partir do o comprimento de onda, no vcuo, de determinada luz

vermelho-alaranjada emitida por tomos de criptnio (86Kr). Com essa nova definio o metro

passou a ser igual a 1.650.763,73 comprimentos de onda dessa luz.

Em 1983 nem mesmo o padro atmico era satisfatrio e a definio do metro sofreu uma

mudana radical. Com a definio da velocidade da luz no vcuo como smc /458.792.299= , o metro foi redefinido para se ajustar a essa definio. Atualmente definido do seguinte modo:


o metro o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vcuo durante um

intervalo de tempo igual a 1/299.792.458 do segundo.

Em 1s a luz percorre uma distncia igual a 299792458m.

Em 1/299.792.458 do segundo a luz

percorre uma distncia igual a 1m.

1.5.4 UNIDADE DE MASSA - O PADRO DO QUILOGRAMA

O quilograma definido como a massa de um cilindro

de platina e irdio, chamado Quilograma Prottipo Padro,

mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, em

Svres, na Frana. Ento 1 kg igual a massa desse cilindro

(figura 1.5).

Cpias do Quilograma Padro foram enviadas para

laboratrios em vrios paises como padres secundrios para

a padronizao e calibrao. A cpia brasileira, denominada

Quilograma Prottipo N 66, mantida no Laboratrio de

Massa (LAMAS) do Inmetro, rgo responsvel pela

padronizao e calibrao do padro de massa em nosso

pas.

At o momento no existe um padro de massa mais

preciso e confivel que o atual. Esse o nico padro que

define uma unidade Base do SI por comparao com um

objeto. Todas as outras unidades Base podem ser medidas

por qualquer laboratrio habilitado do planeta, enquanto que

para a calibrao de massa deve ser feita uma comparao

com o prottipo internacional na Frana.

Figura 1.5: Quilograma Prottipo

Padro. Esse cilindro mantido no

Bureau Internacional de Pesos e

Medidas em uma dupla campnula

de vidro sob condies especiais.

Existe um padro de massa muito utilizado na escala atmica, conhecido como massa

atmica (u). A tabela 4 mostra algumas massas atmicas de certos tomos. Foi convencionado

para esse padro que o tomo de carbono (12C) tem exatamente 12 unidades de massa atmica,

de modo que a massa atmica dos outros tomos dada em relao ela. A relao entre o

padro atmico e o padro do Quilograma a seguinte:

( ) Kgxumau 2710000000083,0660538782,111 ==


Tabela 1.4: massa atmica de alguns istopos.

ISTOPO MASSA ATMICA RELATIVA INCERTEZA

12C 12,000 000 0 (exata) 1H 1,007825032 0,000000004

23Na 22,98976967 0,00000023 27Al 26,98153844 0,00000014 40Ca 39,9625912 0,0000003 54Fe 53,9396148 0,0000014 63Cu 62,9296011 0,00000015 107Ag 106,905093 0,000006 197Au 196,966552 0,000003

ATIVIDADE 1.5

Escreva em uma tabela com pelo menos cinco valores de comprimento, massa e tempo para

grandezas fsicas das mais variadas dimenses. Por exemplo, qual o dimetro de um prton, o

tamanho, massa e idade da Terra, a distncia da Terra ao quasar mais distante, a massa de um

eltron e a de uma galxia, a idade mdia de seus colegas.

1.6 ANLISE DIMENSIONAL, CONVERSO DE UNIDADES E ORDEM DE

GRANDEZA

1.6.1 ANLISE DIMENSIONAL

Como foi dito anteriormente, a linguagem da fsica a matemtica. Ela nos permite

expressar as idias e as relaes entre as grandezas fsicas de maneira mais clara, objetiva,

compacta e sem ambigidades. Independentemente da unidade, a dimenso de uma grandeza

fsica indica a sua natureza. No importa se a distncia entre sua casa e a Universidade dada

em quilmetros ou em metros, ela continua a ser uma distncia. Nessa caso dizemos que a sua

dimenso o comprimento. Para indicar a dimenso de uma dada grandeza usa-se o smbolo [],

de modo que uma dimenso de distncia dada por [C] enquanto que uma dimenso de tempo

dada por [T].


Com isto voc tem uma ferramenta poderosa em mos, a anlise dimensional. Imagine

que voc queira saber quais as grandezas envolvidas na velocidade de propagao v de uma onda

em uma corda. Depois de um pouco de pensamento imagina que vai depender da tenso F que

voc faz para esticar a corda (tente enviar um pulso atravs de uma corda relaxada) e da

densidade linear de massa (j que mais fcil enviar um pulso numa linha de costura que numa corda de amarrar navio, e o que interessa a quantidade de massa por unidade de comprimento

da corda e no o tamanho da mesma).

Quais sero ento os expoentes a e b das grandezas F e , se em sua hiptese:

[v]=[F]a[]b .

Tendo em vista as dimenses das grandezas envolvidas podemos escrever que:

[C/T]=[MC/T2]a[M/C]b

[C/T]=[MaCa/T2a][Mb/Cb]

Separando as grandezas podemos escrever que:

M0=Ma Mb = Ma+b C1=Ca/Cb = Ca-b T-1=T-2a

Tal que: a+b=0 a-b=1 -1 =-2a

Donde podemos concluir imediatamente que a = 1/2 e a = -b = -1/2. Portanto,

[v]=[F]1/2[]-1/2.

Tal que

v=(F/)1/2.


ATIVIDADE 1.6

Suponha que voc queira obter a expresso para a posio x em funo do tempo t para um carro

que se move com acelerao constante a, que comea a andar do repouso a partir de um instante

de tempo t=0s. Obtenha, por anlise dimensional, os valores dos expoentes da acelerao e do

tempo.

1.6.2 CONVERSO DE UNIDADES

Toda equao cientfica deve possuir uma coerncia dimensional, ou seja, deve-se operar

com essas equaes mantendo uma coerncia com as unidades das grandezas envolvidas. Voc

pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir unidades, desde que elas sejam correspondentes

no faz sentido somar laranjas com mas e isso tambm valido para as grandezas fsicas. Voc

somar dois ou mais termos de uma equao somente se eles possurem a mesma unidade, e o

mesmo vale para operaes com multiplicao, diviso, etc.

Veja alguns exemplos:

a) Coloca-se em um recipiente trs quantidades diferentes de gua: 10l, 500ml e 47ml.

Qual ser a quantidade final em litros?

Somando essas quantidades obtemos:

10l+500ml+47ml

10l+547ml

Como 1ml=10-3l

547ml=0,547l. Ento

10l+0,547l=10,547l

b) A letra grega pode representar a massa especifica de uma dada substncia, m a sua massa e V o volume que ela ocupa no espao. A densidade de qualquer substncia dada pela razo entre a massa e o volume:

Vm

=

1 quilograma (kg) de gua por exemplo, em certas condies, ocupa um volume igual a

3310 m , o que equivale a 1 litro. A densidade da gua ento dada por:


33101

m

kg

=

33101

mkg

xgua = ou =gua 1kg/l

Ento voc pode determinar a massa de qualquer poro de gua sabendo o volume que ela

ocupa, pois

Vm =

No exemplo acima, se um recipiente contem 400ml de gua qual a massa dessa

quantidade? Devemos fazer inicialmente uma converso de unidades, pois sabemos que

1 l de gua possui 1kg de gua

1ml=10-3l. Logo

400ml=400x10-3l

=4x10-1l.

Como Vm =

ll

11041m = xxkg

kgkgx 4,0104m 1 == ou g400m =

Ou seja, 400 g de gua ocupam um volume de 400ml.

ATIVIDADE 1.7

Se um carro est andando a 100 km/h qual ser sua velocidade em metros por segundo (m/s) e

em milhas/horas (mi/h)? Um motorista dirigindo a 100 mi/h seria multado nas estradas

brasileiras?

1.6.3 ESTIMATIVAS E ORDEM DE GRANDEZA

Ordem de grandeza de uma certa quantidade a potncia de dez do nmero que descreve

a quantidade. Se uma quantidade aumenta duas ordens de grandeza dizemos que ela 100

vezes maior que a outra, ou seja, 102 vezes maior que a outra. Por exemplo, a espessura da


banda de rodagem de um pneu deve ser da ordem de 1 cm. Certamente 10 cm muito grande

(uma ordem de grandeza maior) enquanto 1 mm (uma ordem de grandeza menor) parece muito

pouco.

Com isto voc acaba de descobrir outra ferramenta muito poderosa: a capacidade de

estimar o valor de uma grandeza fsica. Por exemplo, estime a espessura de um pneu de

borracha que foi gasta aps ele percorrer 1 km sabendo que um pneu capaz de rodar

tipicamente 50.000 km. Se a espessura da borracha for da ordem de 1 cm o pneu sofrer um

desgaste de 1cm/50.000km, o que corresponde a 0,2 x 10-6 cm/km. Portanto ao rodar 1 km ter

gasto aproximadamente 0,2 m.

ATIVIDADE 1.8

a) Estime quantos fios de cabelo h em sua cabea.

b) Certa vez um aluno mediu o volume de uma caneta e achou 1 milho de m3. Ele argumentou

que esse seria um erro bobo. Descubra as dimenses de cubo com esse volume. Ser que ele

tinha razo?

1.7 TRABALHANDO COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E INCERTEZAS NAS

MEDIDAS

Uma caracterstica bela e desejvel de toda teoria em fsica que ela possa ser confirmada

em qualquer lugar do planeta e extrapolando em qualquer parte do Universo. Por isso foi

necessria a padronizao e a adoo de um sistema de unidades internacional que serve de base

para as nossas medidas. Veja a partir de agora como expressar as medidas de grandezas fsicas,

sejam elas determinadas atravs de experimentos com instrumentos simples ou em laboratrios

com instrumentos muito mais sofisticados e precisos.

1.7.1 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Qualquer medida de uma grandeza fsica deve ser expressa por um nmero que nos permita

inferir sua intensidade e uma unidade que caracterize a sua natureza.

ATIVIDADE 1.9

Utilize uma rgua milimetrada (rgua comum) para medir o comprimento de uma folha de

papel A4. O seu resultado ser utilizado ao longo desta seo.


Trs alunos mediram o comprimento de uma mesma folha de papel expressando suas

medidas da seguinte forma:

Joo: 30 cm

Maria: 29,7cm

Z: 29,69cm

Observe que cada um expressou sua medida com um nmero diferente de algarismos

significativos. Um algarismo significativo um nmero que expressa a medida de forma

confivel. Joo expressou sua medida com dois algarismos significativos, Maria com trs

algarismos significativos e Z com quatro. Perceba que o nmero de algarismos significativos

revela a qualidade de uma medida a medida de Z melhor que as de Joo e Maria, ou, em

outras palavras, ela a mais precisa.

A preciso de uma medida expressa pelo nmero de algarismos significativos.

Quanto maior o nmero de algarismos significativos, maior a preciso de uma medida.

A medida feita por Joo apresenta dois algarismos significativos onde o dgito 3 dito

correto e o algarismo 0 dito duvidoso ou incerto. Na medida de Maria os algarismos 2 e 9

so corretos enquanto que o dgito 7 o duvidoso. De modo semelhante, a medida de Z

apresenta trs algarismos corretos (os dgitos 2, 9 e 6) e o ultimo dgito 9 o algarismo duvidoso.

O ultimo algarismo dito duvidoso porque nele que est a incerteza da medida realizada.

Em qualquer medida esto envolvidos erros ou incertezas devido ao processo de

medio, limitao dos aparelhos de medida e capacidade da pessoa que faz a

medio.

Observe atentamente a figura 1.6 ( esquerda). Medindo o comprimento de uma caneta utilizando

uma fita mtrica voc sabe (com certeza) que ela possui 14,5 cm. Na verdade, seu comprimento

um pouco maior que 14,5cm. Ento podemos dizer que ela possui 14,7cm. Outra pessoa que

fizesse essa medida poderia dizer que seu comprimento no de 14,7cm, mas de 14,6cm ou

ainda 14,8cm. Utilizando essa fita mtrica podemos ter certeza sobre meio centmetro (14,5cm),


mas no sobre a casa dos milmetros e por isso o ltimo digito dessa medida o algarismo

duvidoso.

A figura 1.6 ( direita) mostra a medida da

caneta quando se utiliza uma rgua

milimetrada. Agora pode-se ter certeza sobre a

casa dos milmetros pois a menor diviso (ou

graduao) da rgua utilizada de 1mm.

Portanto esse o menor valor que ela capaz

de medir com confiana. Ento pode se dizer

que a caneta possui (com certeza) 14,7cm,

sendo um pouco maior que isso sua medida

portanto 14,78cm. Nesse caso o ltimo dgito

(8) que o algarismo duvidoso, conforme

estimamos pela figura.

Figura 1.6a: ( esquerda) medida de uma caneta com

uma fita mtrica. 1.6b: ( direita) medida da mesma

caneta com uma rgua milimetrada ou uma trena.

Utilizando outros aparelhos como micrmetros e paqumetros

voc pode aumentar a preciso das medidas de comprimento

realizadas, ou seja, diminuir as incertezas dessas medidas. (Figura

1.7).

Na maioria das vezes a incerteza vem expressa explicitamente

com a medida. Quando isso no ocorre, geralmente se atribui uma

incerteza de 1 unidade, para mais ou para menos, na casa do

algarismo duvidoso.

Figura 1.7: Paqumetro e

Micrmetro

Por exemplo: em uma ficha de diagnstico, um mdico coloca a temperatura de sua

paciente como 36,7C. Entenda ento que essa medida no deve ser menor que 36,6C nem

maior que 36,8C, ou de modo alternativo, expressa-se (36,7 0,1)C. O ultimo dgito (o

algarismo 7 o duvidoso) e portanto a incerteza de 1 unidade cabe a ele. Outra forma de


representar uma medida e sua incerteza colocar a incerteza (ou desvio) entre parntesis como

36,7(0,1)C.

Atividade 1.10

Qual das trs alunos, Joo, Maria ou Z, fez a medida mais precisa? Expresse agora as

medidas que voc fez, com as respectivas incertezas, e compare os resultados.

1.7.2 INCERTEZAS EM MEDIDAS DIRETAS

A menor graduao de um instrumento utilizado para uma medio representa o menor

valor que ele capaz de medir com confiana. Enquanto a preciso de uma fita mtrica de

centmetros, a preciso de uma rgua comum de milmetros.

Medindo, por exemplo, o dimetro de uma moeda, Z obteve 2,7cm com uma fita mtrica

enquanto Joo obteve 2,72cm utilizando uma trena. As duas medidas esto expressas

corretamente! Como a menor graduao da fita mtrica utilizada por Z de 1cm a sua preciso

pode ser expressa com uma preciso de centmetros, sendo a casa dos milmetros incerta por

isso o algarismo 7 duvidoso. A menor diviso de uma trena de 1mm e por isso temos uma

confiana na casa dos milmetros sendo a casa dos dcimos de milmetros incerta.

Observe que se Z expressasse sua medida do dimetro da moeda como 2,70cm ela estaria

incorreta uma vez que apresenta uma preciso maior que a do aparelho de medida utilizado.

Numericamente pode se dizer que 2,7 = 2,70 mas cientificamente no!

2,7cm 2,70cm

comum adotar-se a metade da menor diviso de um instrumento como incerteza de uma

medida direta. Sendo assim as incertezas das medidas feitas com a fita mtrica e trena so de

0,5cm e 0,5mm (0,05cm), respectivamente. As medidas de Z e de Joo podem ser expressas da

seguinte maneira:

Z: (2,7 0,5)cm

Joo: (2,72 0,05)cm

Isso significa que o dimetro da moeda no deve ser menor que 2,2cm nem maior 3,2cm de

acordo com a medida de Z. Pela medida de Joo sabe-se que seu dimetro est entre 2,67cm e

2,77cm. Voc consegue perceber ento porque a medida de Joo a mais precisa?


PENSE E RESPONDA:

Utilize o bom senso quando adotar a conveno da metade da menor graduao como

incerteza de um aparelho de medida. Suponha que voc queira medir o comprimento do

quarteiro em que mora utilizando uma rgua milimetrada de 30cm. Voc deveria adotar a

incerteza de sua medida como 0,05mm? Justifique a sua resposta!

A incerteza de aparelhos digitais geralmente vem

indicada nos manuais de uso por um erro percentual (ou

erro fracionrio). Um voltmetro, por exemplo, mede a

diferena de potencial (ou voltagem) nos terminais de uma

fonte (figura 1.7). No manual do aparelho da figura indicado

um erro de 1%. Isso significa que quando voc for medir a

voltagem de uma bateria de automvel, dever expressar seu

valor da seguinte maneira:

Bateria: 12 V 1% ou (12,0 0,1)V

j que 1% de 12V igual a 0,1V.

IR V

Figura 1.7: um voltmetro mede a

diferena de potencial (ddp) ou

voltagem entre os terminais de

uma bateria, como a bateria de um

carro, de um celular ou de uma

pilha.

Atividade 1.11

Mea o dimetro de uma moeda de 5 centavos e expresse o resultado com o nmero correto de

algarismos significativos. Faa o mesmo para uma moeda de 1 real. Indique o algarismo duvidoso

e a incerteza correspondente em ambos os casos.

1.7.3 INCERTEZA EM MEDIDAS INDIRETAS

Considere o seguinte exemplo: Para determinar o valor correto do nmero pi , Maria mede o

permetro P e o dimetro D de uma moeda de 1 Real com uma rgua milimetrada:

cmP 55,8=

cmD 72,2=


Ela sabe que o nmero pi igual razo entre o comprimento e o dimetro da moeda,

cm

cm

DP

72,255,8

==pi .

Utilizando uma calculadora ela obtm

143382352,3=pi .

O valor de obtido no est correto, pois ele tem 10 algarismos significativos, ou seja, o

resultado apresenta uma preciso muito maior que a do instrumento de medida utilizado.

O nmero de algarismos significativos define a preciso de uma medida, portanto

quando voc for expressar seus resultados atente para esse fato. As calculadoras

simples fornecem seus resultados com at 10 algarismos o que obviamente no

corresponde a um resultado com o nmero correto de algarismos significativos. Voc

dever avaliar quantos algarismos utilizar.

REGRAS PARA OPERAES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

A seguir veremos algumas regras que so teis para a determinao do nmero de

algarismos significativos que deve ser expresso em uma medida indireta.

1. quando voc multiplica ou divide nmeros, o nmero de algarismos

significativos do resultado no deve ser maior que o menor nmero de algarismos

significativos envolvido na operao.

Exemplos:

a) Maria deve expressar o nmero pi por

b) No produto ( ) ( ) ( ) 9,4cm 3,1415cm x1,11cmx 2,7cm = o menor fator possui dois significativos e, portanto, o resultado tambm deve possuir dois algarismos significativos.

c) No quociente mm 55,1

023,214,3

=

14,372,255,8

===

cm

cm

DP

pi


como o numerador possui o menor nmero de algarismos significativos, o resultado da diviso

ter o seu mesmo nmero de significativos, portanto trs significativos.

d) Observe o produto 23,12)5,1()2,8( dmdmxdm = .

Um pouco de raciocnio levar a concluso que neste caso coube o bom senso.

2. Ao somar ou subtrair nmeros atente para a posio da vrgula. Neste caso

NO IMPORTANTE o nmero de algarismos significativos das parcelas. O nmero de

algarismos significativos da soma ou diferena deve ocupar a mesma posio do

algarismo duvidoso dos nmeros que esto sendo somados ou subtrados.

Exemplos:

a) Na soma 2,2 + 1,53 = 3,73. Como o menor nmero de significativos dois, o resultado

da operao fica 3,7. Observe que nesse caso foi feito um arredondamento e no um

truncamento!

b) Calcule 2,2 x 103 4,33. mais fcil colocar na mesma escala, tal que usando potncias

de dez, ficaria 2,2 x 103 0,00433 x 103 = 2,19633 x 103. Ou seja, 2196,33.

3. A representao de alguns nmeros no informa nada sobre o nmero de

algarismos significativos. O nmero 1000 um bom exemplo. Para no ser ambguo

sempre que possvel escreva os nmeros em notao cientfica. Desse modo voc

poder expressar quo preciso o resultado assinalado.

3101x 1 algarismo significativo

3100,1 x 2 algarismos significativos

31000,1 x 3 algarismos significativos

4. Os dgitos zero esquerda no so significativos em nmeros entre 0 e 1.

Exemplos:


a) 0,02 1 algarismo significativo

b) 0,003 1 algarismo significativo

c) 0,030 2 algarismos significativos

d) 0,030314 5 algarismos significativos

e) 2,0003 5 algarismos significativos

Escreva os nmeros acima em potncia de 10 e voc ter certeza sobre o nmero de

algarismos significativos e que os dgitos zero esquerda no so algarismos significativos para

nmeros entre 0 e 1:

a) 2x10-2 1 algarismo significativo

b) 3x10-3 1 algarismo significativo

c) 3,0x10-2 2 algarismos significativos

d) 3,0314x10-2 5 algarismos significativos

Sempre que possvel expresse seus resultados em potncia de 10

Anteriormente foi dito que a preciso de uma medida estava associada ao nmero de

algarismos significativos expressos. Em outras palavras, quanto mais precisa a medida menor era

a sua incerteza. Veja os exemplos descritos a seguir:

1 Medida: (9,78 0,02) m/s2

2 Medida: (9,7893 0,0003) m/s2

3 Medida: (9,7893745 0,0000004) m/s2

A 3 Medida mais precisa que 2 Medida que mais precisa que a 1.


1.7.4 A DIFERENA ENTRE PRECISO E EXATIDO

A EXATIDO ou ACURCIA o grau de aproximao do valor medido com o valor real de

uma grandeza fsica. Quanto menor a diferena entre o valor medido e o valor real, mais acurada

(ou exata) a medida realizada. A PRECISO revela a incerteza associada com a medida em

questo.

Se voc possui 1,70m de altura e dois processos diferentes de medida lhe fornecem 1,71m e

1,752m, o primeiro deles fornece uma medida mais acurada (ou exata) que a do segundo

mtodo. Embora esse segundo mtodo fornea uma medida mais precisa (com uma incerteza

menor), a diferena entre o esse valor e o valor real de sua altura consideravelmente maior

comparado ao valor da medida feita pelo primeiro mtodo.

Na prtica, em laboratrios, fazemos vrias medidas e adotamos como VALOR MAIS

PROVVEL de uma medida, a mdia entre todas as medidas realizadas.

Para um conjunto de medidas, a distino entre preciso e

acurcia facilmente exemplificada atravs da Fig. 1.8 que

mostra de maneira esquemtica um conjunto de pontos que

representam as medidas realizadas em um experimento e o valor

mais provvel da grandeza fsica em questo (representado por

um quadrado central).

Note que na Fig. 1.8a, a diferena entre o valor de uma

medida e outro relativamente pequena isso significa que o

desvio, ou seja, a incerteza da medida pequena. Os dados

apresentam boa preciso, pois encontram-se bem agrupados,

mas a acurcia ruim pois na mdia (a mdia representada

por um tringulo) eles se encontram afastados do valor mais

provvel.

Na Fig. 1.8b, a diferena entre o valor de uma medida e

outro pode se relativamente pequena, mas para a maioria dos

pontos essa diferena grande o que significa que a incerteza

grande. Os dados agora apresentam preciso ruim, pois

encontram-se espalhados em torno do valor mdio. Observe, no

entanto que a acurcia boa, pois a mdia encontra-se perto do

valor mais provvel.

Figura 1.8a: uma medida com

boa preciso mas com

acurcia ruim.

Figura 1.8b: uma media com

boa acurcia mas pouca

preciso.


VALOR MAIS PROVVEL DE UMA MEDIDA

Para que voc possa compreender melhor sobre o valor mais provvel, considere o seguinte

exemplo:

Um aluno quer determinar a altura de um muro e dispe apenas de um cronmetro para

isso. Ele conseguir medir a altura do muro? A resposta sim, mas no diretamente j que

cronmetro s mede intervalos de tempo; sua medida ser portanto, indireta. Utilizando a relao

22

1 gth = ,

onde h a altura do muro, g a acelerao da gravidade e

t o tempo necessrio para que um objeto solto do topo do

muro chegue sua base esse aluno poder calcular a altura

do muro. Soltando uma pedra do alto do muro ele verifica

que ela gasta 1,03s para chegar ao cho.

Em seguida ele repete o procedimento e verifica em seu cronmetro que ela gastou 1,19s.

Os diferentes valores de tempo obtidos refletem a dificuldade intrnseca do ato de medir. Qual das

duas medidas ele deve utilizar?

Nenhuma delas! Ele deve utilizar o valor mais provvel, que obtido fazendo-se uma mdia

das medidas. A preciso do cronmetro de centsimo de segundo. Esse aluno deve ento fazer

um conjunto de medidas para tornar o resultado mais preciso. Veja as medidas na tabela abaixo.

Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tempo (s) 0,99s 1,12s 0,97s 0,95s 0,99s 1,11s 1,02s 0,94s 0,89s

O valor mais provvel do tempo de queda pt a mdia dessas 9 medidas de tempo.

( )9

89,094,002,111,199,095,097,012,199,0 st p

++++++++=

st p 95,0=


A rigor, esse aluno tambm dever determinar a incerteza pelas medidas realizadas. Em

suas prticas de laboratrio voc dever aprender como obter as incertezas das medidas

realizadas de diferentes maneiras. No caso das medidas de tempo realizadas pelo aluno, a

incerteza t medida pela mdia dos valores absolutos das diferenas entre o valor mais provvel e cada valor individual das medidas:

989,095,094,095,002,195,011,195,099,095,095,095,097,095,012,195,099,095,0 ++++++++

=t

st 08,0=

Logo o valor mais provvel das medidas de tempo realizadas

( )st p 08,095,0 = Esse deve ser o tempo utilizado para a determinao da altura do muro.

ATIVIDADE 1.12

Suponha que voc queria confirmar se realmente possvel obter a altura de um muro

utilizando a relao 221 gth = . Ento faa um conjunto de medidas de tempo de queda de uma

pedra do muro de sua casa.

Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tempo (s)

a) Determine o valor mais provvel do tempo de queda da pedra.

b) Calcule a incerteza do valor mais provvel.

c) Utilize ento a relao 221 gth = para determinar a altura do muro.

d) Expresse seu resultado com o nmero correto de algarismos significativos.

PENSE E RESPONDA: Como voc calcularia a incerteza h na altura do muro?


RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS

ATIVIDADE 1.1

O tempo de queda no depende do peso. Veja tambm a figura 1.1.

ATIVIDADE 1.2

Por exemplo, a teoria da relatividade. Ela nos diz que para velocidades prximas da velocidade da

luz a fsica clssica no prev os resultados corretos. De acordo com as observaes h uma

velocidade limite para os objetos, no caso, a velocidade da luz c = 3x 108 m/s. A fsica clssica

no impe nenhum limite para a velocidade dos corpos, enquanto a relatividade prev

corretamente que h uma velocidade limite.

ATIVIDADE 1.3

Por exemplo, no estudo das propriedades dos gases. Utiliza-se um modelo de gs ideal, onde as

partculas so consideradas sem dimenso, no interagem entre si, exceto durante as colises, a

quantidade de partculas por unidade de volume baixa. A descrio dos gases ideais falha

quando a presso bastante alta ou a temperatura bastante baixa, quando a Equao de van

der Waals fornece bons resultados.

ATIVIDADE 1.4

Por exemplo, na venda de sapatos e roupas para o exterior. Cada fbrica utilizava um padro para

os tamanhos P,M e G.

ATIVIDADE 1.5

Busque nas referncias bibliogrficas indicadas pelas tabelas de ordens de grandeza. H uma

tambm no Apndice B.


ATIVIDADE 1.6

Nesse caso se a posio x depende da acelerao a e do intervalo de tempo t, podemos dizer que

[C] = [A]e[T]f. Mas [C] = [C/T2]e[T]f = [C]e[T]f-2e. Levando em conta os expoentes temos que

e=1 e f - 2e=0. Como f=2 podemos escrever que x=at2. Observe que a anlise dimensional no

consegue prever as constantes corretamente. Uma anlise apropriada mostrar que x = at2.

ATIVIDADE 1.7

Para converter de km/h para m/s temos de achar o fator de converso. No caso 1 km/h = 1000

km/3600s = 0,28 m/s. Logo, um carro andando a 100 km/h teria uma velocidade em m/s dada

por 100 * (1 km/h) = 100 * (0,28m/s) = 28 m/s. Sabe-se que 1 mi = 1,61 km ou 1 km = 0,62

mi. A converso mais simples: 100 * (1 km/h) = 100 * (0,62 mi/h) = 62 mi/h. Sim, seria

multado, pois estaria andando a 161 km/h.

ATIVIDADE 1.8

a) Estime o dimetro de um fio de cabelo e calcule a rea dele. Imagine o tamanho da superfcie

de seu couro cabeludo. Divida a rea do couro cabeludo pela rea de um cabelo. Pode se levar em

conta que h uma separao entre os fios de cabelos para adequar mais o seu resultado.

b) Um cubo desse volume teria um lado de 100 m. Imagine um prdio com essas dimenses.

ATIVIDADE 1.9

Nossa medida foi C = 29,69 0,05 cm.

ATIV

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1.Fundamentos da Física I - Mecânica