1º Condição de Treliça Isostática

7/22/2019 1º Condição de Treliça Isostática

http://slidepdf.com/reader/full/1o-condicao-de-trelica-isostatica 1/53

1º Condição de Treliça Isostática:

2 . n = b + ? Sendo

2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Por convenção usaremos: no sentido horário no sentido anti-horário+ -

ΣM = 0 (Momento fletor)

3º Métodos dos Nós

Quando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos osresultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.

Importante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças dasreações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que

possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.

Calma, nos exercicios verá que é fácil.

n = nº de nós b = quantidade de barras ? = nº de reações (Verticais e

Por Convenção os sinais das forças das barras são: +

2 TRAÇÃO

- COMPRESSÃO

Treliça Esquemática

Exercícios

1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.



12 = 12 OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.6 = 9+3

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)HE = 0 VA+VE = 50+100+50 VA.4-50.4-100.2 = 0VA+VE = 200 KN VA = 400÷4100+VE = 200 KN VA = 100 KN

2º Passo Reações de Apoio VE = 200-100 VE = 100 KN

3º Passo Método dos Nós Decomposição das forças

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0VA+NAB = 0 NAF = 0

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-50-NBA-NBF.cos45° = 0 NBC+NBF.sen45° = 0-50-(-100)-NBF.cos45° = 0 NBC+70,7.sen45° = 0-NBF = -50÷cos45° NBC = - 50 KN



Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0



NCF = -100 KN -(-50)+NCD = 0 Nó “F” Forças Verticais (V)

Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0-100+70,7.sen45°+NFD.sen45° = 0 -70,7.cos45°+70,7.cos45°-0+NFE

NFD = 50÷sen45° NFE = 0 KN

50 NBC

5 NDF

Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)



ΣFV = 0 ΣFH = 0 NED+100 = 0 0-HE = 0 NED = -100 KN HE = 0 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-50-NDF.sen45°-NDE = 0 -NDC-NDF.cos45° = 0-50-50+100 = 0 50-50 = 0

0 = 0 0 = 0 NBC -50 COMPRESSÃO

NAB -100 COMPRESSÃO NED -100 COMPRESSÃO NAF 0 - NEF 0 - NDC -50 COMPRESSÃO NBF70,7 TRAÇÃO NDF 70,7 TRAÇÃO

NCF -100 COMPRESSÃO


10 = 10 OK


ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)HA+HB = 40 VB = 20 KN -HA.2+20.4+40.1 = 060+HB = 40 -HA.2+120 = 0HB = 40-60 HA = 120÷2HB = -20 KN HA = 60 KN

2º Passo Reações de Apoio


Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0



20-NBA-2,36.sen26,57° = 0 -20+NBC.cos26,57° = NBA = 10 KN NBC = 20÷cos26,57° Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

10+NAC.sen26,57° = 0 60+(- NAC = -10÷sen26,57° NAE+60-20 = 0 NAC = -2,36 KN NAE = -40 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NEC = 0 -NEA+NED =

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0 NCB.sen26,57°-NCA.sen26,57°-NCE-NCD.sen26,57°=0 -40-NCB.cos26,57°-2,36.sen26,57°-(-2,36).sen26,57°-0-NCD.sen26,57°=0 -40-2,36.cos26,57°-(-10+10-NCD.sen26,57°=0 -40-

NCD = 20÷sen26,57° 0 = 0



Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-20+4,7.sen26,57° = 0 -4,7.cos26,57°-(-40) =



-20+20 = 0 -40+40 = 00 = 0 0 = 0

NAB 10 TRAÇÃO NBC 2,36 TRAÇÃO NAC -2,36 COMPRESSÃO NAE -40 COMPRESSÃO NEC 0 - NED -40 COMPRESSÃO NCD 4,7 TRAÇÃO


16 = 16 OK

1º Passo Condição de Isostática 2.n = b+ν 2.8 = 13+3 2º Passo Reações de Apoio

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)HA = 0 VA+VB = 2+2+2 -VB.16+2.12+2.8+2.4=0


Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0





N13.sen36,87°+3 = 0 0+(- N13 = -3÷sen36,87° N12 = 4 t Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

N23 = 0 -N21+N24 = 0 Nó “3” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-

N12 HA

HA N13

-2- N34.sen36,87°-0-(-5).sen36,87°+N35.sen36,87° = 0 +N34.cos36,87°-(--N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0 +N34.cos36,87°+N35.cos36,87°+4(-N34+N35).sen36,87° = -1 (+N34+N35).cos36,87° = -4

N34-N35 = 1÷sen36,87° N34+N35 = -4÷cos36,87°

N34-N35 = 1,67 ”1” N34+N35 = -5Sistema de Equações Substituindo na equação





“1” N34-N35 = 1,67 N34+N35 = -5“2” N34+N35 = -5 -1,67+N35 = -52N34 = -3,3 N35 = -5+1,67

N34 = -3,3÷2 N35 = -3,3 t Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0 -

-2- (-3,3).sen36,87°-(-3,3).sen36,87°-N54 = 0 -(--2+2+2-N54 = 0 2,6+N57.cos36,87°

N54 = 2 t N57 = - Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

N43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0 -N42+N46-+(-1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0 -(+4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(--1+2+N47.sen36,87° = 0 N46-4+1,34-1,34 = 0

N47 = -1÷sen36,87° N46 = 4 t





Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela.

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO


14 = 14 OK


ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)HA+HB =0 VB = 0 -HA.3+2.6+2.4+2.2=0HA = -HB HA = 24÷3HB = -8 t HA = 8 t

2º Passo Reações de Apoio


Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0

6-N51-8,94.sen26,57° = 0 -8+N56.cos26,57° =-N51+6-4 = 0 N56 =



N51 = 2 t N56 = 8,94 t

N56 HB

VB HB N56


N15+N16.sen45° = 02+N16.sen45° = 0 8+N12+(-

N16 = -2÷sen45° N12+8-2 = 0 N16 = -2,83 t N12 = - 6 t Nó “6” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0



-2+8,94.sen26,57°-(-2,83).sen45°-N62-6,7.sen26,57°=0 -8,94.cos26,57°-(--2+4+2-3-N62 = 0 -8+2+N67.cos26,57° = 0 N62 = 1 t N67 = Nó “2” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0



N26+N27.sen26,57° = 0 -N21+N23+N27.cos26,57° =1+N27.sen26,57° = 0 -(-6)+N23+(-

HA HA N12

N27 = -1÷sen26,57° N23+6-2 = 0 N27 = -2,23 t N23 = -4 t


N37 = 0 -N32+N34 = 0

Nó “7” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-2+N76.sen26,57°-N72.sen26,57°-N73-N74.sen26,57°=0 -N76.cos26,57°-



-2+6,7.sen26,57°-(-2,23).sen26,57°-0-N74.sen26,57°=0 -6,7.cos26,57°-(--2+3+1-N74.sen26,57° = 0 -6+2+4 = 0

N74 = 2÷sen26,57° 0 = 0

Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-2+N47.sen26,57° = 0 -N43-N47.cos26,57° =-2+4,47.sen26,57° = 0 -(-4)-4,47.cos26,57° = 0-2+2 = 0 +4-4 = 00 = 0 0 = 0

BARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (t) ESFORÇO





N51 2 TRAÇÃO N56 8,94 TRAÇÃO N16 -2,83 COMPRESSÃO N12 -6 COMPRESSÃO N62 1 TRAÇÃO N67 6,7 TRAÇÃO N27 -2,23 COMPRESSÃO N23 -4 COMPRESSÃO N37 0 - N34 -4 COMPRESSÃO N74 4,47 TRAÇÃO


10 = 10 OK


ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento

2º Passo Reações de Apoio fletor)

HA = 0 VA+VB = 10+20 -

VA+17,5 = 30 VB = 42÷2,4VA = 30-17,5 VB = 17,5 KN

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0VA+NAC.sen53,13° = 0

3º Passo Método dos Nós HA+NAE+NAC.cos53,13° = 0

12,5+NAC.sen53,13° = 0 0+NAE+(-

NAC = -12,5÷sen53,13° NAE = 9,38 KN NAC = -15,63 KN



Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 --10-(-15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0 -(--10+12,50-NCE.sen53,13° = 0 9,38+NCD+1,8

NCE = 2,5÷sen53,13° NCD = -1,26 Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0 NEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -NEA+NEB+NED.cos53,13°-3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0 -9,38+NEB+(-3,13).cos53,13°-

NED = -2,5÷sen53,13° NEB-9,38-1,8-1,8 = NED = -3,13 KN NEB = 13,14 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -NDE.cos53,13°-





-20-(-3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0 -(-3,13).cos53,13°-(-1,26)+(--20+2,50-NDB.sen53,13° = 0 1,8+12,26-13,13

NDB = -17,50÷sen53,13° 0 = 0 Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 017,5+(-21,8).sen53,13° = 0 -(-21,8).cos53,13°-0 = 0 0 = 0

NDB NDE 20 20

NAC -15,63 COMPRESSÃO NAE 9,38 TRAÇÃO NCE 3,13 TRAÇÃO NCD -1,26 COMPRESSÃO NED-3,13 COMPRESSÃO NEB 13,14 TRAÇÃO NDB -21,8 COMPRESSÃO


1º Passo Condição de Isostática

10 = 10 OK ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento


HA+HB = 0 VA = 225 -HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0HB = -HA HB = 360÷0,9HA = - 400 KN HB = 400 KN

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0 NBA = 0 HB+NBD = 0

3º Passo Método dos Nós 400+NBD = 0 NBD = -400 KN



Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0VA-NAB-NAD.sen36,87° = 0 -225-0-NAD.sen36,87° = 0 -

NAD = 225÷sen36,87° NAC = 100 KN NAC = 375 KN Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0 NDA.sen36,87°+NDC = 0 -NDA.cos36,87°-NDB+NDE = 0375.sen36,87°+NDC = 0 -375.cos36,87°-(-400)+NDE = 0

NDC = -225 KN -300+400+NDE = 0 Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-150-NCD-NCE.sen36,87°=0 -NCA+NCE.cos36,87°=0-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0 -100+125.cos36,87° = 0-150+225-NCE.sen36,87° = 0 -



NCE = 75÷sen36,87° 0 = 0 Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

75 75 NEC NEC

-75+NEC.sen36,87° = 0 -NEC.cos36,87°-NED = 0-75+125.sen36,87° = 0 -125.cos36,87°-(-100) = 0-75+75 = 0 -100+100 = 00 = 0 0 = 0

NBA 0 - NBD -400 COMPRESSÃO NAD 375 TRAÇÃO NAC 100 TRAÇÃO NDC -225 COMPRESSÃO NDE -100 COMPRESSÃO NCE 125 TRAÇÃO




16 = 16 OK




HE = 0 VA+VE = 8 VA.4a-4.3a-4.1a = 04+VE = 8 VA.4a-12a-4a = 0VE = 8-4 VA = 16a÷4aVE = 4 KN VA = 4 KN

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0VA+NAB.sen30° = 0 NAB.cos30°+NAF

3º Passo Método dos Nós = 0

4+NAB.sen30° = 0 +(-8)cos30°+NAF NAB = -4÷sen30° NAF = 6,9 KN NAB = -8 KN Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFB-4 = 0 -NFA+NFG = 0 NFB = 4 KN -6,9+NFG = 0 Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NBC.sen30°-NBA.sen30°-NBF-NBG.sen30° = 0 -



NBC.sen30°-(-8).sen30°-4-NBG.sen30° = 0 -(- NBC.sen30°-NBG.sen30°+4-4 = 0 NBC.sen30°-NBG.sen30° = 0(NBC-NBG).sen30° = 0

NBC-NBG = 0÷sen30° NBC+NBG = - NBC-NBG = 0 ”1” NBC+NBG = -8

Sistema de Equações Substituindo na equação

4 NFA NFA NFG

“1” NBC-NBG = 0 NBC-NBG = 0



“2” NBC+NBG= -8 -4 - NBG = 02NBC = -8 NBG = -4 KN

NBC = -8÷2

27 NBC = -4 KN

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0-NCB.sen30°-NCD.sen30°-NCG = 0 --(-4).sen30°-(-4).sen30°-NCG = 0 -(-4).cos30°+NCD.cos30° =2 + 2- NCG = 0 3,5+NCD.cos30°

NCG = 4 KN NCD = -

NCD = -4 KN

Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NGB.sen30°+NGC+NGD.sen30° = 0 -NGB.cos30°+NGD.cos30°-

NGF+NGH = 0

-4.sen30°+4+NGD.sen30° = 0 -(-4).cos30°+(-4).cos30°- NGD = -2÷sen30 +3,5-3,5- NGD = -4 KN NGH = 6,9

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, De E não precisam ser calculadas.

NAB = NED -8 COMPRESSÃO NAF = NEH 6,9 TRAÇÃO NFG = NHG 6,9 TRAÇÃO NFB = NHD 4TRAÇÃO NBC = NDC -4 COMPRESSÃO NBG = NDG -4 COMPRESSÃO NCG 4 TRAÇÃO




20 = 20 OK




HJ = 0 VF+VJ = 2000 VF.4a-400.4a-400.3a-1000+VJ = 2000 VF = 4000a÷4aVJ = 2000-1000 VF = 1000 N





Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-400-NAF = 0 NAB = 0

NAF = -400 N Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFB.sen45°+NFA+VF = 0 NFB.cos45° +

3º Passo Método dos Nós NFG = 0

NFB.sen45°+(-400)+1000 = 0 - NFB = -600÷sen45° NFG = 600 N NFB = -848,5 N Nó “G” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NGB = 0 -NGF+NGH = 0

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0 -NBA+NBC-NBF.cos45°+NBH.cos45°-400-(-848,5).sen45°-0-NBH.sen45°=0 -0+NBC-(--400+600-NBH.sen45°=0 NBC+600+200 =

NBH = 200÷sen45° NBC = -800 N

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-400-NCH=0 -NCB+NCD = 0

NCH = -400 N -(-800)+NCD=0

Por simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D,

I, E e J não precisam ser calculadas.

NAB = NED 0 -

NCB NCNCB NC 40



NAF = NEJ -400 COMPRESSÃO NFB = NJD -848,5 COMPRESSÃO NFG = NJI 600 TRAÇÃO NGB = NID 0 - NGH = NIH 600 TRAÇÃO NBH = NDH 282,8 TRAÇÃO NBC = NDC -800 COMPRESSÃO NCH -400 COMPRESSÃO


12 = 12 OK




HE = 18 KN VE+VF = 0 VE.3,6-9.5,4-9.2,7 =HF = 0 VE = -VF VE.3,6-48,6-24,3 = 0VF = -20,25 KN VE = 72,9÷3,6

Por se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como as forçasexternas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KNenquanto a HF não é solicitada.

Os cálculos mostrarão essa teoria.

Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0



NAC = 0 -9+NAB = 0

3º Passo Método dos Nós NAB = 9 KN

Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0-NBD-NBC.sen36,87°=0 -NBA-NBC = 0

-NBD-(-1,25).sen36,87°=0 -NBA-NBC.cos36,87°=0-NBD+6,75=0 -9-NBC.cos36,87°

NBD = 6,75 KN NBC = -9÷cos36,87°

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NCA-NCE+NCB.sen36,87° = 0 -0-NCE+(-1,25).sen36,87° = 0 -9+(-

NCE = -6,75 KN -9-9+NCD =

NCD = 18 KN

NA 9 NAB NAB

NA 9

Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NDB-NDE.sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-NDC = 06,75-(-2,5).sen36,87°-NDF=0 -NDE.cos36,87°-18 =06,75+13,5-NDF=0 NDE = -18÷cos36,87°

NDF = 20,25 KN NDE = -2,5 KN Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0VE+NEC+NED.sen36,87° = 0 HE+NED.cos36,87° = 020,25+(-6,75)+(-2,5).sen36,87° = 0 HE+(-



20,25-6,75-13,5 = 0 HE = 18 KN Ok 0 = 0

Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFD-VF = 0 -HF = 020,25-20,25 = 0 HF = 0 Ok

HE confirmada

0 = 0

NAB 9 TRAÇÃO NAC 0 - NCE -6,75 COMPRESSÃO NCD 18 TRAÇÃO NBD 6,75 TRAÇÃO NBC-1,25 COMPRESSÃO NDF 20,25 TRAÇÃO NDE -2,5 COMPRESSÃO

HF confirmada




12 = 12 OK




HC+HF = 0 VC = 100 KN HF.4,5-100.7,2 =HF = -HC HF = 720÷4,5HC = -160 KN HF = 160 KN

Nó “D” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

3º Passo Método dos Nós

ΣFV = 0 ΣFH = 0 NDA-100 = 0 NDE = 0



NDA = 100 KN Nó “A” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NAB.sen22,62°-NAD-NAE.sen22,62° = 0 NAB.sen22,62°-100-NAE.sen22,62° = 0 (NAB+NAE).cos22,62°(NAB-NAE).sen22,62° = 100 NAB+NAE =

NAB-NAE = 100÷sen22,62°

NAB-NAE = 260 ”1” NAB+NAE = 0

Sistema de Equações Substituindo na equação“1” NAB-NAE = 260 NAB+NAE = 0“2” NAB+NAE= 0 130+NAE = 02NAB = 260 NAE = -130 KN

NAB = 260÷2

NAB = 130 KN

Nó “E” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)

ΣFV = 0 ΣFH = 0 NEB+NEA.sen22,62° = 0 NEF-NED- NEB+(-130).sen22,62° = 0 NEF-0-(- NEB = 50 KN NEF = -120



Nó “F” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

NFC+NFB.sen39,81° = 0 -NFE-HF- NFC+(-52).sen39,81° = 0 -(-120)-160-



NFC = 3,3 KN NFB = -40÷cos39,81° Nó “B” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0+NBC.sen22,62°-NBA.sen22,62°-NBE-NBF.sen39,81°=0 -173.sen22,62°-130.sen22,62°-50-(-52).sen39,81°=0 -130.cos22,62°+NBC.cos22,62°+(-6,5-50-50+3,5=0 NBC.cos22,62°-120-400=0 NBC = 160÷cos22,62°

Nó “C” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV= 0 ΣFH = 0VC-NCF-NCB.sen22,62°=0 -NCB.cos22,62°+HC = 0100-(+3,3)-(+173).sen22,62°=0 -(+173).c os22,62°+160 = 0100-3,3-6,7=0 -160+160 = 00=0 0 = 0





NDA 100 TRAÇÃO NDE 0 - NAE -130 COMPRESSÃO NAB 130 TRAÇÃO NEB 50 TRAÇÃO NEF-120 COMPRESSÃO NFC 3,3 TRAÇÃO NFB -52 COMPRESSÃO NBC 173 TRAÇÃO


20 = 20 OK




HA = 0 VA+VB = 30 KN -VB.10+15.6+15.3 = 0VA+13,5 = 30 VB = 135÷10VA = 30-13,5 VB = 13,5 KN

Nó “1” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0VA+N12.sen45° = 0

3º Passo Método dos Nós HA+N13+N12.cos45° = 0

16,5+N12.sen45° = 0 0+N13+(-



N12 = -16,5÷sen45° N13 = 16,3 kN


N32 = 0 - Nó “4” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

N42 = 0 -




-15-N21.sen45°-N23.sen71,57°-N24.sen71,57°-N25.sen45°=0 -N21.cos45°--15-(-23).sen45°-0-0-N25.sen45°=0 -(-23).cos45°-

N25 = 1,62÷sen45° N26+16,26+1,62 = 0 N25 = 2,29 KN N26 = -17,8 KN




-15-N65 = 0 -N62+N67 = 0 N65 = -15 KN -(-17,8)+N67 = 0 Nó “5” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0

N52.sen45°+N56+N57.sen45° = 0 -N52.cos45°-

2,29.sen45°+(-15)+N57.sen45° = 0 -2,29.cos45°- N57.sen45°+1,62-15 = 0 N58-1,62-16,3+13,36 N57 = 13,38÷sen45° N58 = 4,5 KN Nó “8” Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)ΣFV = 0 ΣFH = 0



N87 = 0 -


N97.sen71,57°+VB = 0 -N97.cos71,57°-N98+N910 N97.sen71,57°+13,5 = 0 -(-14,23).cos71,57°- N97 = -13,5÷sen71,57° N910 = 0


ΣFV = 0 ΣFH = 0 N107 = 0 -N107-N109 = 0


VB VB N98

ΣFV = 0 ΣFH = 0-N75.sen45°-N78.sen71,57°-N79.sen71,57°-N710.sen45° = 0 -N76-N75.cos45°--18,9.sen45°-0-(-14,23).sen71,57°-0=0 -(-17,8)-(+18,9).cos45°-0+(--13,5+13,5 = 0 17,8-13,36-4,5 = 00 = 0 0 = 0





TEMA I: TRELIÇAS

São estruturas formadas por barras ligadas por articulações as quais trabalham predominantemente sob aação de forças normais.

Ex.:

Hipóteses admitidas nos processos de cálculo:

a) As barras se ligam aos nós através de articulações perfeitas;

b) As cargas e as reações de vínculo aplicam-se apenas nos nós das treliças;

c) O eixo das barras coincidem com as retas que unem os nós.

Exercícios: Calcule os esforços normais nas barras das treliças

1.-



Exercício 1



1) M(A) = 0 =8.3.a/2 – R C.2.a

R C = 6 kN

2) FV = 0 = R A – 8 + R C

R A = 2 kN

3) FH = 0 = HA

4) Nó A:

a) 2 + FAD.sen 60° = 0 FAD = - 2,30 kN

b) FAD.cos 60° + FAB = 0 FAB = 1,15 kN

5) Nó D:

a) 2,30.cos 30° – FDB.cos 30° = 0 FDB = 2,30 kN

b) 2,30.cos 60° + FDB.sen 30° + FDE = 0 FDB = -2,30 kN

6) Nó E: a) 2,30 – FEB.cos 60° + FEC.cos 60° = 0

FEC - FEB = -4,60

b)-8 – FEB.cos 30° – FEC.cos 30° = 0

- FEC - FEB= 9,25

De (a) e (b) FEB = -2,30 kN e FEC = -6,90 kN

7) Nó C:

6,90.cos60° - FCB =0 FCB = 3,45 kN

8) Nó B: (verificação)a) FH = -1,15 – 2,30.cos 60° - 2,30.cos60° + 3,45 = 0

b) FV = 2,30.sen 60° - 2,30.sen 60° = 0



PROCESSO DE RITTER

Cortar a estrutura em apenas três barras não concorrentes, não concorrentes, não paralelas e calcular asforças necessárias para equilibrar os cortes.

EXEMPLO

FV =0 = FBD. cos 30° – 8 + 6FBD = 2,30

Exercício 2

1) Nó A: a) FAB = 0 b) 2.P + FAF = 0 FAF = -2.P

2) Nó F: a) 2.P – FFB.cos 45° = 0 FFB = 2,8 P b) FFG + FFB.cos 45° = 0



3)

a) M(G) = 0 = 2.P.a – FBC.a

FBC = 2.P

b) FV = 0 = 2.P – P – FGC.cos 45°

FGC = 1,4 P

c) FH = 0 = FBC + FGH + FGC.cos45°

FGH = -3.P

4) Nó B:

FBC = 0 = - P + 2,8 P.cos45° + FBG

FBG = -P

Exercício 3



1) FV = 0 = VF – 12 VF = 12kN

2) MF = 0 = -HA.6 – 12.8

HA = -16 kN

3) FH = 0 = HA + HF HF =16 kN

N ( kN )

1 +16

2 +16

3 0

4 0

5 0

6 -20

7 0

8 0

9 -20

4) Nó A:

a) N3 = 0

b) N1 = 16

5) Nó F:

a) 16 – N9.cos θ = 0 N9 = -20

b) 12 + N8 + N9.sen θ = 0 N8 = 0

6) Nó D:

a) N4.sen θ = 0 N4 = 0

b) N4.cos θ + N7 = 0 N7 = 0



7) Nó B: a) N2 – 16 = 0 N2 = +16 b) N5 = 0

8) Nó E:

a) N6 = -20

9) Verificação no nó C:

a) –12 + 20.sen θ = 0 OK!

b) – 16 + 20.cos θ = 0 OK!

Extra

1) M(A) = 0 = -120.1,75 – 120.14,25 – 120.6 + R B.16 R B = 165 kN

2) FV = 0 = R A – 120 –120 + R B R A = 75 kN



3)

a) M(I) = 0 = 120.6,25 – 120.6 – 75,8

+ N8.6

N8 = 95 kN

4) M(A) = 0 = -120.1,75 – N6.6 N6 = - 35 kN

5) FH = 0 = -120 + N8 + N6 + N7.cos θ N7 = 75 kN

Documents

1º Condição de Treliça Isostática