1º Exame de Mecânica Aplicada II - Autenticação · A barra AB roda com uma velocidade angular constante de 10 rad/s no sentido horário. Por sua vez, a extremidade da barra esbelta

MEAer / MEMEc / LEAN Ano Lectivo de 2015/2016

Instituto Superior Técnico 04 de Junho de 2016

1º Exame de Mecânica Aplicada II

Este exame é constituído por 4 perguntas e tem a duração de três horas.

Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios.

Responda a cada pergunta em folhas separadas.

Pergunta 1 (5 Val.)

A barra AB roda com uma velocidade angular constante de 10 rad/s no sentido horário. Por sua vez, a

extremidade da barra esbelta BC, com uma massa de 8 kg, desliza livremente sobre a superfície horizontal ao

longo do eixo x. Para o instante representado na figura:

a) Determine a velocidade angular da barra

BC. [1,5 Val.]

b) Determine a aceleração angular da barra

BC. [2 Val.]

c) Determine a resultante das forças e dos

momentos (em torno do respetivo centro

de massa) que produzem o movimento

da barra BC. [1,5 Val.]

Pergunta 2 (5 Val.)

Uma barra esbelta, com um comprimento 𝐿 = 0,91 m e peso de 45,5 N,

roda desde a posição vertical até atingir a horizontal, onde ocorre o

impacto com a protuberância B, a qual se encontra à distância 𝑏 = 0,31 m

do ponto de articulação A, tal como ilustrado na figura. Sabendo que a

barra parte do repouso, que o coeficiente de restituição é 𝑒 = 0,6 e que o

impacto tem a duração 𝑡2 − 𝑡1 = 0,1 s:

a) Determine a expressão que permite calcular a velocidade angular 𝜔

da barra imediatamente antes do impacto. [2 Val.]

b) Determine, na forma mais simplificada, a expressão que relaciona a

velocidade angular 𝜔′ da barra imediatamente após o impacto com a

velocidade 𝜔 referida na alínea anterior. [1,5 Val.]

c) Calcule o valor (médio) da força exercida na barra, em consequência do impacto em B. [1,5 Val.]

Pergunta 3 (5 Val.)

Considere a aeronave de asa fixa com rotores de inclinação variável

ilustrada na figura. A descolagem vertical inicia-se com 𝜽 = 0º,

variando este ângulo, com uma taxa ��, até cerca de 90º para voo

horizontal. Os raios de giração de cada rotor em relação aos seus

eixos principais de inércia são dados por 𝒌𝒙′, 𝒌𝒚′ e 𝒌𝒛′. Sabendo que

os rotores permanecem a rodar com uma velocidade angular

constante N, para um dado valor de 𝜽:

a) Represente o referencial (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) em rotação nos eixos do rotor

A e indique a velocidade angular deste referencial. [0,5 Val.]

b) Determine a velocidade e a aceleração angulares, respetivamente

�� e 𝛼 , do rotor A. [1 Val.]



c) Determine o momento angular 𝐻𝐴 , em relação ao centro de massa do rotor A. [1,5 Val.]

d) Determine a taxa de variação de momento angular, em relação ao centro de massa do rotor A. [1 Val.]

e) Discuta, justificando analiticamente, a magnitude e o sentido da reação dinâmica da aeronave em termos

de guinada (rotação em torno do eixo z da aeronave) e rolamento (rotação em torno do eixo x da

aeronave), em virtude da variação do momento angular dos rotores. [1 Val.]

Pergunta 4 (5 Val.)

As coordenadas esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜑) podem ser definidas em ℝ3 por: {𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin𝜑𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

.

a) Determine a matriz da transformação inversa. [0,5 Val.]

b) Determine a base natural de (𝑟, 𝜃, 𝜑). [0,5 Val.]

c) Determine as matrizes da métrica covariante e contravariante. [1 Val.]

d) Mostre que Γ𝜃𝜃𝑟 = −𝑟, Γ𝜃𝜃

𝜃 = 0 e Γ𝜃𝜃𝜑

= 0. [1 Val.]

e) Sendo que uma partícula tem velocidade �� = 2 𝑒𝜃 , determine as componentes físicas da aceleração

em coordenadas esféricas. [2 Val.] ________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________

Formulário

Barra esbelta: 𝐼 =𝑚𝐿2

3 𝐼 =

𝑚𝐿2

12

_______________________________________________________________________________________

Relações fundamentais da dinâmica:

∑𝐹 = 𝑚𝑎𝐺

∑𝑀𝐺 = 𝐻𝐺

_______________________________________________________________________________________

Lei de transformação tensorial:

𝑇𝑗1′⋯

𝑗𝑞′

𝑖1′⋯

𝑖𝑝′

= |𝑋|𝑘 𝑋𝑖1

𝑖1′

⋯𝑋𝑖𝑝

𝑖𝑝′

𝑋𝑗1′

𝑗1 ⋯𝑋𝑗𝑞′

𝑗𝑞 𝑇𝑗1⋯𝑗𝑞

𝑖1⋯𝑖𝑝 , 𝑋 ≡ det (𝑋𝑖𝑖′)

Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais:

Γ𝑗𝑘𝑖 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑗 ≠ 𝑘, 𝑖 ≠ 𝑘

Γ𝑖𝑗𝑖 =

1

2𝑔𝑖𝑖 𝜕𝑔𝑖𝑖

𝜕𝑥𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗

Γ𝑗𝑗𝑖 = −

1

2𝑔𝑖𝑖 𝜕𝑔𝑗𝑗

𝜕𝑥𝑖 , 𝑖 ≠ 𝑗

Γ𝑖𝑖𝑖 =

1

2𝑔𝑖𝑖 𝜕𝑔𝑖𝑖

𝜕𝑥𝑖 , para todos os índices iguais.

Aceleração em coordenadas curvilíneas:

𝑎𝑖 = ��𝑖 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑣𝑗𝑣𝑘



Resolução

Pergunta 1

a)

Velocidade do ponto B, notando que o ponto A se encontra no eixo de rotação:

Velocidade da extremidade C, usando o ponto B como referência:

Como a extremidade C desliza ao longo do eixo x, a componente da respetiva velocidade segundo o eixo y

(versor j) tem de ser nula, logo:

b)

Aceleração do ponto B, notando adicionalmente que a barra AB roda com velocidade angular constante:

Aceleração do ponto C, usando o ponto B como referência:

Como a extremidade C desliza ao longo do eixo x, também a componente da respetiva aceleração segundo o

eixo y (versor j) tem de ser nula, logo:

c)

De modo a aplicar as equações do movimento à barra esbelta BC, é necessário determinar ainda a aceleração

do respetivo centro de massa:

As resultantes da força, F, e do momento em torno do centro de massa, M, que produzem as acelerações,

respetivamente lineares e angulares, anteriormente determinadas são dadas pelas seguintes relações:



Pergunta 2

a)

Usando o princípio do trabalho e energia, calcula-se a variação de energia cinética, notando que a barra parte

do repouso:

O trabalho das forças exteriores (conservativas) é simplesmente dado pela variação do potencial gravítico:

Sendo 𝜔 a velocidade angular da barra imediatamente antes do impacto, a energia cinética correspondente é:

Substituindo e resolvendo para obter a expressão que dá a velocidade angular pretendida:

onde o sinal negativo indica o sentido horário de rotação.

b)

Da definição do coeficiente de restituição, tem-se:

Como a protuberância B permanece estacionária, resulta:

As velocidades no ponto de barra que sofre o impacto (à distância b da articulação), respetivamente antes e

após o impacto, obtêm-se da cinemática:

Substituindo, resulta a expressão que relaciona as velocidades angulares da barra antes e após o impacto:

c)

Aplicando o princípio do impulso e da quantidade de movimento (angular) ao impacto da barra, obtém-se:

onde se substituem as expressões anteriormente obtidas para as velocidades angulares, resultando:

Da expressão anterior calcula-se o valor da força (média) exercida na barra pela protuberância B, ou seja:



Pergunta 3





Pergunta 4



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