UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

PR-REITORIA DE GRADUAO

CENTRO DE CINCIA E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL

EDNELSON OLIVEIRA SANTOS

NELSON POERSCHKE

PATRICK MATOS MANDULO

RAFAEL JOS CAMELO DE SOUZA

WELLINGTON KENNEDY GOMES DA SILVA

TYAGO S RODRIGUES

Fsica Experimental I

Medidas e Erros

Relatrio

Boa Vista

2013

SUMRIO

1. INTRODUO ................................................................................................... 03 2. OBJETIVO .......................................................................................................... 04 3. RESUMO ............................................................................................................. 05

4. FUNDAMENTAO TERICA ....................................................................... 06 5. MATERIAL UTILIZADO .................................................................................. 08 6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS .......................................................... 08 7. RESULTADOS .................................................................................................... 10 8. APRESENTAO DOS CLCULOS ............................................................... 16

CONCLUSO ...................................................................................................... 22

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................ 23

3

1 INTRODUO

Ao estudar um dado fenmeno fsico natural nos interessa entender como certas propriedades ou grandezas associadas aos corpos e seus aspectos participam desse fenmeno. Assim sendo, para a compreenso de certo acontecimento, na natureza est implcito que devemos avaliar quantitativamente uma ou mais grandezas fsicas e, portanto, utilizar e realizar medidas fsicas.

Nesta experincia, realizamos medidas dos lados de uma face de um paraleleppedo (representado por uma mesa de madeira) utilizando uma rgua milimetrada; do dimetro externo e do dimetro interno de um cilindro de metal; e do dimetro e da massa de uma esfera de metal utilizando o paqumetro e a balana, respectivamente.

A rgua milimetrada: instrumento de madeira, marfim, celuloide ou metal, de superfcie plana e arestas retilneas, prprio para traar linhas retas e medir pequenas distncias. Onde, perto da sua borda h uma escala, nesse caso em milmetros, e apresentando incerteza de 1 mm.

O paqumetro: (do grego: paqui (espessura) e metro (medida)) um instrumento usado para medir as dimenses lineares internas, externas e de profundidade de uma pea. Consiste em uma rgua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. Segundo a literatura, desenvolvido por um francs chamado Pierre Vierner (1580-1637), o qual inventou o mtodo de subdividir em partes menores uma determinada diviso. Mais preciso que a rgua com uma incerteza, nesse caso, de 0,05 mm.

A balana analtica mecnica tem passado por uma grande revoluo nas ltimas dcadas, e usada para se obter massas com alta exatido. A primeira balana analtica de um prato apareceu no mercado em 1946. A velocidade e convenincia de se pesar com ela era muito superior tradicional de dois pratos. Consequentemente, esta nova balana passou a ser usada na maioria dos laboratrios. Neste experimento sua incerteza de 0,01g.

Alm das medidas de incertezas, o clculo da densidade (relao entre a massa de uma substncia e o volume que ela ocupa) de total importncia para a anlise do experimento.

Nossa experincia foi realizada, em 20 de dezembro de 2012, no Laboratrio de Fsica da UFRR.

4

2 OBJETIVO

Os objetivos deste experimento so:

- aprender a usar rgua milimetrada, o paqumetro e a balana analtica mecnica;

- calcular a rea, o volume e a densidade dos objetos utilizados na experincia (esfera, paraleleppedo e cilindro com furo;

- levantar as possveis fontes de erro numa medida;

- discutir a preciso dos diferentes instrumentos de medida; e

- calcular a propagao de erros nas medidas indiretas.

5

3. RESUMO

Com o intuito de se medir corretamente as grandezas fsicas usando instrumentos de medidas e algumas frmulas matemticas, este experimento utiliza das medidas primrias, ou diretas, para se encontrar as grandezas fsicas indiretas, ou derivadas.

Das medidas diretas foram determinados os desvios a partir das incertezas geradas pelo equipamento utilizado. E para as derivadas, as incertezas foram calculadas atravs da equao da propagao de incertezas.

As medidas diretas foram realizadas com o uso da rgua, paqumetro e balana analtica mecnica. As grandezas derivadas, como a rea, o volume e a densidade, foram conceituadas atravs das suas definies matemticas.

Foi possvel concluir que, apesar de pequena, a incerteza gera certo constrangimento quanto aos resultados finais.

Notaes utilizadas:

dimetro

raio

volume

volume da esfera

volume do cilindro

densidade

massa

desvio/incertezas absolutos;

considerado 3,14;

rea da superfcie;

mdia aritmtica simples

nmero de elementos da amostra

valores da varivel x

varincia

desvio padro

6

4. FUNDAMENTAO TERICA

Como tudo o que nos rodeia provido de alguma medida fsica; desde a Antiguidade que se busca mtodos para defini-las. Porm, hoje a questo no s defini-las, mas sim obter um valor prximo do valor terico ou real.

Por mais simples que parea, o ato de medir as grandezas fsicas no algo to simples. Ele est condicionado a muitos fatores, como a preciso dos instrumentos e a habilidade do manipulador, paralaxe, entre outros.

Para a determinao dos valores mdios (mdia aritmtica) utilizamos a seguinte equao:

=

Para determinao da varincia das medidas, foi utilizada a seguinte equao:

= ( )

Para determinao do erro padro amostral, foi utilizada a seguinte equao:

=

Para o clculo do desvio padro mdio, utilizamos:

Para o clculo da incerteza padro, utilizamos:

= +

Com as medidas dos lados de uma face do paraleleppedo (um retngulo) foi possvel chegar ao valor de sua rea, por meio da relao:

=

A propagao de incerteza no clculo da rea do retngulo se d conforme a equao:

= +

Com os dimetros medidos, na esfera e no cilindro foi possvel chegar ao valor dos raios, conforme a relao:

= 2 =

Para o clculo do volume da esfera:

7

=

A propagao de incerteza no clculo do volume da esfera se d conforme a equao:

=

J para conceituarmos a densidade da esfera, obedece-se a equao:

=

e a propagao da incerteza

= =

= + +

Para o clculo do volume do cilindro com um furo no centro calculamos o volume considerando, primeiramente, o raio do cilindro externo e deste total subtramos o volume do cilindro interno.

= ( = ) ( = )

A propagao de incerteza no clculo do volume do cilindro se d conforme a equao:

= +

8

5. MATERIAL UTILIZADO

Para este procedimento, foram utilizados os seguintes materiais:

- rgua milimetrada;

- paqumetro;

- balana analtica mecnica;

- paraleleppedo (uma mesa);

- esfera; e

- cilindro perfurado longitudinalmente.

6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

a. Generalidades

- Para o paraleleppedo (mesa) foram realizadas cinco medidas em cada lado da face superior, cuja rea ser calculada.

- Para o cilindro mediu-se cinco vezes seu dimetro externo, seu dimetro interno e sua altura.

- Para a esfera mediu-se cinco vezes seu dimetro e sua massa.

A partir dos dados coletados, calculou-se o valor mdio, o desvio padro, o desvio padro da mdia (a incerteza tipo A, A ). Em todas as medies, a incerteza tipo B, B , foi considerada como sendo a preciso do aparelho de medida e ser explicitada na tabela fornecida a seguir. Ento, determinou-se a incerteza combinada, C , para cada grandeza.

Com isto, pode-se determinar um bom valor para as medidas de cada grandeza e, atravs do conceito de propagao de incertezas, pode-se tambm calcular as incertezas relacionadas rea da face do paralelogramo e aos volumes da casca cilndrica bem como o da esfera. Em seguida, calculou-se a incerteza relativa de cada medida de volume. Isso muito til por permitir ter uma boa noo da real qualidade das medies efetuadas.

b. Procedimentos detalhados

No laboratrio.

1 passo - medir a largura e o comprimento do tampo da mesa.

Aferir a rgua com uma medida conhecida e anotar no Caderno de Laboratrio a eventual discrepncia.

9

Com a rgua milimetrada de acrlico de 50 cm medir cinco vezes a largura e cinco vezes o comprimento do tampo da mesa anotando cada medida no Caderno de Laboratrio.

2 passo - medir os dimetros externo e interno e a altura do cilindro.

Aferir o paqumetro, fechando-o totalmente e verificando se suas escalas esto zeradas e, eventualmente, anotar as discrepncias no Caderno de Laboratrio.

Utilizando o paqumetro medir cinco vezes o dimetro externo, cinco vezes o dimetro interno e cinco vezes a altura do cilindro anotando as medidas no Caderno de Laboratrio.

3 passo - medir o dimetro da esfera.

Utilizando o paqumetro medir cinco vezes o dimetro da esfera anotando as medidas no Caderno de Laboratrio.

4 passo medir a massa da esfera.

Aferir a balana analtica mecnica verificando se suas escalas esto zeradas e realizar a regulagem necessria para zer-las.

Medir cinco vezes a massa da esfera anotando no Caderno de Laboratrio os valores obtidos.

10

7. RESULTADOS

INCERTEZA RESIDUAL PRECISO DOS INSTRUMENTOS

Rgua milimetrada

1

Paqumetro

0,05

Balana analtica mecnica

0,01

TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA A MESA

Instrumento: rgua milimetrada Medida Largura (mm) Comprimento (mm)

1 788 1 1801 1 2 787 1 1799 1 3 788 1 1800 1 4 787 1 1800 1 5 788 1 1799 1

TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA A ESFERA DE AO

Instrumentos: paqumetro e balana analtica mecnica Medida Dimetro (mm) Massa (g)

1 17,95 0,05 23,85 0,01 2 18,00 0,05 23,83 0,01 3 17,95 0,05 23,85 0,01 4 17,95 0,05 23,84 0,01 5 18,00 0,05 23,85 0,01

11

TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA O CILINDRO COM FURO

Instrumentos: paqumetro e balana analtica mecnica

Medida Dimetro externo (mm) Dimetro

interno (mm) Altura (mm) Massa (g)

1 33,95 0,05 3,25 6,65 49,91 0,01 2 34,00 0,05 3,20 6,65 49,89 0,01 3 33,95 0,05 3,30 6,70 49,91 0,01 4 33,95 0,05 3,20 6,60 49,90 0,01 5 33,90 0,05 3,15 6,60 49,91 0,01

DETERMINAO DOS VALORES MDIOS (atravs da mdia aritmtica) DAS MEDIDAS REALIZADAS

Objeto Largura (mm) Comprimento (mm) Mesa 787,6 mm 1 1799,8

Objeto Dimetro (mm) Massa (g) Esfera 17,97 0,05 23,844 0,01

Objeto Dimetro externo (mm) Dimetro

interno (mm) Altura (mm Massa (g)

Cilindro 33,95 0,05 3,22 0,05 6,64 0,05 49,904 0,01

DETERMINAO DA VARINCIA DAS MEDIDAS REALIZADAS Objeto Largura Comprimento Mesa 0,3 0,7

Objeto Dimetro Massa Esfera 0,00075 0,00008

Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa

Cilindro 0,00125 0,00325 0,00175 0,00008

12

DETERMINAO DO DESVIO PADRO DAS VARINCIAS ENCONTRADAS EM CADA DIMENSO

Objeto Largura Comprimento Mesa 0,547722557 0,836660026

Objeto Dimetro Massa Esfera 0,027386127 0,008944271914

Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa

Cilindro 0,035355339 0,057008771 0,041833001 0,008944271914

DETERMINAO DO DESVIO PADRO MDIO DAS MEDIDAS ( ) Objeto Largura Comprimento

Mesa 0,244948974 0,374165738

Objeto Dimetro Massa Esfera 0,012247448 0,004000069

Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa

Cilindro 0,015005532 0,025495097 0,018708286 0,004000069

DETERMINAO DA INCERTEZA PADRO Objeto Largura Comprimento

Mesa 1,029563 1,0677078

Objeto Dimetro Massa Esfera 0,05147814 0,010345142

13

Objeto Dimetro externo Dimetro interno Altura Massa

Cilindro 0,052203122 0,05612486 0,05338539 0,010770585

DETERMINAO DOS RAIOS A PARTIR DO DIMETRO MDIO Objeto Raio (mm) Esfera 8,985

Objeto Raio do cilindro (mm) Raio do furo (mm)

Cilindro 16,975 1,61

MESA

DETERMINAO DA REA DA MESA

= = 1799,8 787,6 = 1417522,48

DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DA REA DA MESA

= + ,

= ,,

+ ,,

, = 0,0000003519 + 0,0000017088

= (0,0000003519 + 0,0000017088). (1417522,48 ) = 2034,87

0,144% de erro

ESFERA

DETERMINAO DO VOLUME DA ESFERA

= = . 8,985 = 3038,39 mm

= 3038,39 mm

DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DO VOLUME DA ESFERA

= ,

= ,,

14

,= 8,206 10

= 8,206 10 . (3038,39 mm ) = 8,70399

0,286%

DETERMINAO DA DENSIDADE DA ESFERA

= = ,,

= .1000 = 7,84758

= 7,84758

DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DA DENSIDADE DA ESFERA

= + ,

= ,,

+ ,,

= (0,000008206 + 0,00000018824). (7,84758 ) = 0,00227

0,29%

CILINDRO

DETERMINAO DO VOLUME DO CILINDRO

= ( = ) ( = )

= ( 16,975 . 6,64) ( 1,61 . 6,64) = 5956,80

= 5956,80

DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DO VOLUME DO CILINDRO

= + +

5956,80 =0,06101561

16,975 +0,05338539

6,64 +0,02806243

1,61

= (0,00001292 + 0,00006464 + 0,00204128). (5956,80 ) = 274,197

4,6031%

15

DETERMINAO DA DENSIDADE DO CILINDRO

= = ,,

= .1000 = 8,3776

= 8,3776

DETERMINAO DA PROPAGAO DO ERRO DA DENSIDADE DO CILINDRO

= + ,

= ,,

+ ,,

= (0,0021188 + 0,00021583). (8,3776 ) = 0,4047

4,832%

16

8. APRESENTAO DOS CLCULOS.

DETERMINAO DA VARINCIA DAS MEDIDAS REALIZADAS

Medida Largura (mm) Comprimento (mm)

1 788 1 1801 1 2 787 1 1799 1 3 788 1 1800 1 4 787 1 1800 1 5 788 1 1799 1

Determinao da varincia na medida da largura da mesa

= ( )

Determinao da varincia na medida do comprimento da mesa

= ( )

xi Fi xiFi

=14

65

=6

20

= 3101570 ( )

= 3101570

= =

= 0,3

787 2 1574 1238738

788 3 2364 1862832

5 3938 3101570

xi Fi xiFi

=14

145

=1420

= 16196403 ( )

= 16196403

= =

= 0,7

1799 2 3598 6472802

1800 2 3600 6480000

1801 1 1801 3243601

5 8999 16196403

17

Determinao da varincia na medida do dimetro da esfera

Medida Dimetro (mm) Massa (g) 1 17,95 0,05 23,85 0,01 2 18,00 0,05 23,83 0,01 3 17,95 0,05 23,85 0,01 4 17,95 0,05 23,84 0,01 5 18,00 0,05 23,85 0,01

= ( )

Determinao da varincia na medida da massa da esfera

= ( )

xi Fi xiFi

=14

0,0155

=0,015

20

= 1614,6075 ( , )

= 1614,6075 ,

= , , = ,

= 0,00075

17,95 3 53,85 966,6075

18 2 36 648

5 89,85 1614,6075

xi Fi xiFi

=14

0,00165

=0,0016

20

= 2842,682 ( , )

= 2842,682 ,

= , , = ,

= 0,00008

23,83 1 23,83 567,8689

23,84 1 23,84 568,3456

23,85 3 71,55 1706,4675

5 119,22 2842,682

18

Determinao da varincia na medida do dimetro externo do cilindro

Medida Dimetro externo (mm) Dimetro

interno (mm) Altura (mm) Massa (g)

1 33,95 0,05 3,25 6,65 49,91 0,01 2 34,00 0,05 3,20 6,65 49,89 0,01 3 33,95 0,05 3,30 6,70 49,91 0,01 4 33,95 0,05 3,20 6,60 49,90 0,01 5 33,90 0,05 3,15 6,60 49,91 0,01

= ( )

Determinao da varincia na medida do dimetro interno do cilindro

= ( )

xi Fi xiFi

=14

0,0155

=0,025

20

= 5763,0175 ( , )

= 5763,0175 ,

= , , = ,

= 0,00125

33,90 1 33,90 1149,21

33,95 3 101,85 3457,8075

34,00 1 34,00 1156

5 169,75 5763,0175

xi Fi xiFi

=14

0,0155

=0,025

20

= 51,855 ( , )

= 51,855 ,

= , , = ,

= 0,00325

3,15 1 3,15 9,9225

3,20 2 6,40 20,48

3,25 1 3,25 10,5625

3,30 1 3,30 10,89

5 16,1 51,855

19

Determinao da varincia na medida da altura do cilindro

= ( )

Determinao da varincia na medida da massa do cilindro

= ( )

xi Fi xiFi

=14

0,0155

=0,035

20

= 220,445 ( , )

= 220,445 ,

= , , = ,

= 0,00175

6,60 2 13,2 87,12

6,65 2 13,3 88,445

6,70 1 6,7 44,89

5 33,2 220,445

xi Fi xiFi

=14

0,0155

=0,0016

20

= 12452,0464 ( , )

= 12452,0464 ,

= , , = ,

= 0,00008

49,89 1 49,89 2489,0121

49,90 1 49,90 2490,01

49,91 3 149,73 7473,0243

5 249,52 12452,0464

20

DETERMINAO DO DESVIO PADRO DAS VARINCIAS ENCONTRADAS EM CADA DIMENSO

Objeto Largura Comprimento

Mesa = 0,3 = 0,7

Objeto Dimetro Massa

Esfera = 0,00075 = 0,00008

Objeto Dimetro externo Dimetro interno

Altura Massa

Cilindro = 0,00125 = 0,00325 = 0,00175 = 0,00008

DETERMINAO DO DESVIO PADRO MDIO DAS MEDIDAS Objeto Largura Comprimento

Mesa 0,547722557

5

0,8366600265

Objeto Dimetro Massa Esfera

0,0273861275

0,008944271914

5

Objeto Dimetro externo Dimetro interno Massa

Cilindro 0,035355339

5

0,0570087715

0,008944271914

5

Altura

0,041833001

5

21

DETERMINAO DA INCERTEZA PADRO Objeto Largura Comprimento

Mesa = 0,244948974 + 1

= 1,06 = 1,029563

= 0,374165738 + 1 = 1,13999999 = 1,0677078

Objeto Dimetro Massa Esfera

= 0,012247448 + 0,05

= 0,002649999 = 0,05147814

= 0,0026499 + 0,01

= 0,00010702197 0,010345142

Objeto Cilindro

Dimetro externo

= 0,015005532 + 0,05

= 0,002725165991 = 0,052203122

Dimetro interno

= 0,025495097 + 0,05

= 0,00314999997 = 0,05612486

Massa = 0,004000069 + 0,01

= 0,000116000552 = 0,010770585

Altura = 0,018708286 + 0,05

= 0,002849999965 = 0,05338539

22

CONCLUSO

Apesar de se parecer simples, o ato de medir envolve diversas condies. Pode ser observado que a qualidade do instrumento utilizado influi muito no resultado da experincia.

Para medir adequadamente algum objeto necessrio atentar com o grau de preciso do instrumento utilizado. Observar se o meio ambiente no vai interferir na obteno do resultado. Alm de assumir o erro na hora de manusear os equipamentos, o que vem afetar o resultado do experimento.

O mtodo cientfico empregado nesse experimento bem claro e relativamente simples, mas no pode ser ignorado, pois traz maior preciso na coleta dos valores.

Na medio do furo do cilindro houve alguma dificuldade pois o instrumento utilizado (paqumetro) no era o mais adequado para a realizao daquela medida, fato comprovado nos resultados e na disparidade que ocorreu no volume e, consequentemente, na densidade do cilindro.

A rgua milimetrada mostrou-se eficaz para realizar a medida a ela atribuda, mas quando se tratar de medio que exija um maior grau de preciso, ela no deve ser usada. A medio foi prejudicada, ainda, porque a rgua no era menor que o tamanho do objeto, o que demandou medidas continuadas com marcao de incio e fim e contagem de quantas rguas foram medidas. Para qualquer trabalho que exija alta preciso o instrumento no pode ter dimenso menor que o objeto a ser medido.

Os resultados foram satisfatrios e condizem com a realidade. Os erros so explicados pela falta de experincia no manuseio dos instrumentos, caso que dever ser minimizado com o decorrer das novas experincias a serem realizadas.

23

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ABNT: NBR 14724: - Apresentao de trabalhos acadmicos - 2005.

MACEDO, Zlia S.; MAIA, Ana F.; VALERIO, Mrio E. G.; Apostila de Laboratrio de

Fsica A; UFS; 2009.

MARTINS, Gilberto de Andrade e DONAIRE, Denis Princpios de Estatstica Editora

Atlas S.A, - 4 Edio So Paulo 2006.

MORAES, Leandro Relatrio UFAM 2012

RASCHNY, J. R. Aspectos Elementares; Uso em um laboratrio de Fsica Bsica; 2008.

S, Renato Laureano Apostila de erros e medidas para experimental I. UFRR 2012.

S, Renato Laureano Guia de experimento: medidas e erros. UFRR 2012.

S, Renato Laureano Modelo de relatrio de atividades experimentais. UFRR 2012.

SUAIDE, Alexandre Introduo s Medidas em Fsica Apostila Departamento de Fsica

da USP - 2005