Universidade Federal Rural de Pernambuco – DECON – Curso de Economia

1ª V. A. Econometria II 09/10/2015 Profa. Ana Paula Amazonas Soares

Leia com atenção!! A resolução por hora apresentada leva em consideração a matéria apresentada na

apostila. É claro que esta não será imposta como resposta necessária e sim como um indicativo de resposta. Como a nota é comparativa, quem mais se aproximar da

resposta por hora apresentada, terá a maior nota.

1. (1 ponto) Explique a metodologia de suavização exponencial simples.

Nesta metodologia a nova série – suavizada – é uma combinação linear apenas dos valores passados da

série. A nova série tem como ponto de partida o ponto inicial da série e a partir deste ponto é aplicada uma

combinação linear entre os valores atuais da série e o valor passado da suavização. A combinação entre os

dois é dada por uma constante – 0 < � < 1 – que define a ponderação dada ao valor presente da série e o eu

complemento (1-A) pondera o valor passado da suavização.

Desta forma, temos que �� = ��� + (1 − �)�� � onde t=2, 3, ..., T e �� = �� pois o ponto de partida da

suavização é o ponto inicial da série.

Substituindo-se iterativamente os valores passados da série até o valor mais atual da série no tempo, tem-se

que: �� = ���� = ��� + (1 − �)�� = ��� + (1 − �)���� = ��� + (1 − �)�� = ��� + (1 − �)���� + (1 − �)��� = ��� + (1 − �)��� + (1 − �)����� = ��� + (1 − �)�� = ��� + (1 − �)���� + (1 − �)��� + (1 − �)���� = ��� + (1 − �)��� + (1 − �)���� + (1 − �)����� = ��� + (1 − �)�� = ��� + (1 − �)���� + (1 − �)��� + (1 − �)���� + (1 − �)���� = ��� + (1 − �)��� + (1 − �)���� + (1 − �)���� + (1 − �)���⋮�� = ��� + (1 − �)�� � = Ay� + (1 − A)�Ay� � + (1 − A)Ay� � +⋯+ (1 − A)� �y�� = ��� + (1 − �)��� � + (1 − �)���� � +⋯+ (1 − �)� ���� + (1 − �)� ���

Observe que a suavização é uma ponderação dos valores passados que decrescem exponencialmente a uma

razão de (1-A). Daí a suavização ser chamada de Suavização Exponencial Linear. Para realizar previsões com

esta metodologia temos que o valor imediatamente posterior é a estimativa da suavização no tempo

imediatamente anterior que leva em consideração todos os valores passados da série - ����� = ��. 2. (1 ponto) Prove que o passeio aleatório é não estacionário considerando que o erro é normalmente

distribuído com média zero, variância �� e covariância nula.

Este clássico processo não estacionário é chamado de Passeio Aleatório. Este tem as seguintes

características: (i) há um ponto inicial, ou seja, partimos sempre de um local; (ii) a distância entre um ponto

no caminho e outro ponto é constante, ou seja, a variância entre dois pontos consecutivos no tempo é

constante; e (iii) A direção de um ponto no caminho para o próximo é escolhido aleatoriamente, e nenhuma

direção é mais provável do que outra, ou seja, podemos ir em qualquer direção, todas tem a mesma chance

de acontecer. Em termos genéricos, seria traçar um caminho no qual necessitamos estar em um ponto inicial,

e próximo passo que vamos dar pode ser em qualquer direção e o passo que damos não pode ser maior nem

menor que nossa passada, temos que manter a passada constante.

Formalmente, o modelo a ser estimado terá apenas o último passo como referência (modelos

autorregressivos), onde o passeio aleatório em que a determinação de hoje é função exata do que aconteceu

ontem mais um erro do tipo ruído branco. Ou seja, �� = �� � + ��, no qual o erro é iid e suas características

são: �(��) = = 0, !"#(��) = !"#(�� %) = ��e &'((��, �� %) = 0, ∀� > 0

O primeiro passo é substituir iterativamente suas observações passadas até o ponto inicial (�,), desta feita,

encontramos que o termo atual é função de todos os erros passados mais o ponto inicial. Da seguinte forma: �� = �� � + ��, porém �� � = �� � + �� � �� = �� � + �� � + ��, recursivamente �� � = �� � + �� � �� = �� � + �� � + �� � + ��, da mesma forma �� � = �� � + �� � e assim por diante até que: �� = �, + �� + �� +⋯+ ��. Ou em termos de somatório: �� = ∑ �./.0� + �,

Para garantir que a série seja estacionária é necessário que suas características, tais como média e variância

sejam constantes ao longo do tempo bem como a covariância entre 2 observações dependa apenas da

distância (s) entre elas. Supondo que a primeira observação é nula (por simplicidade), e utilizando-se do

recurso acima, no qual a série pode ser representada pela soma de todos os erros passados, pode-se provar

que sua média é constante e nula porque a esperança da soma dos erros é a soma das esperanças, e cada

esperança do erro é nula e, portanto, a média é constante e igual a zero �(��) = �(∑ �.�.0� ) = �(��) + ⋯+�(��) = 0

A variância da série será, então, a esperança da soma de todos os erros elevada ao quadrado, da seguinte

maneira: !"#(��) = ��(�� + �� +⋯+ ��)�� = ��(�� + �� +⋯+ ��)(�� + �� +⋯+ ��)� = �(��� + ���� +⋯+���). O que significa que existem termos desta esperança em que os erros do mesmo tempo estão ao quadrado e

vários termos em que temos multiplicações de erros em tempos distintos, como pode ser visto abaixo:

!"#(��) = �(���) + �(����) + ⋯+ �(����) + �(����) + �(���) +⋯+ �(���� �) + �(���) Como os erros são independentes e identicamente distribuídos (iid) e são ruído branco, ou seja, a covariância

para tempos distintos é nula (&'((��, �� %) = �(���� %) = 0, ∀� > 0) e sua variância é comum a todos os

tempos (!"#(��) = !"#(�� %) = ��). Então, a variância da série será a soma das esperanças dos termos de

erros quadrados (que são de mesmo tempo) e que representam a variância do erro. Tal soma deverá ser igual

à soma do número de vezes em que a variância ocorre. O que implica que a variância do PE é igual ao

número de vezes que a variância do erro ocorre, ou seja, quantas vezes (número de observações)

multiplicado pela variância do erro:

!"#(��) = �� + 0 +⋯+ 0 + �� +⋯+ 0 + �� = 1�� Como se pode observar, a variância da série depende do número t de observações, portanto, não é constante,

a dispersão irá depender da longevidade da série.

Para calcular a covariância entre dois pontos da série, é necessário realizar a esperança entre os dois pontos,

e esta deverá depender apenas da distância entre estes dois pontos. &'((��, �� %) = 2(3) = ��(��)(�� %)� substituindo, tem-se: �(∑ �.�.0� , ∑ �.� %.0� ) = ��(�� + �� +⋯+ ε� 5 + ��)(�� + �� +⋯+ �� %)�= �6∑ �.�� %.0� + 17#8'3�.9':;7< ≠ >? + ����(�� +⋯+ �� %)�

Por fim, &'((��, �� %) = 2(3) = (t − s)σ�

3. (1 ponto) Considerando que uma série determinística foi estimada através da metodologia de Winter,

qual seria a fórmula para determinar a suavização no tempo t+1?

Inicialmente o aluno deve apresentar a metodologia, pois é nela que estão as bases para definir o próximo

passo. Então, abaixo está a metodologia.

A obtenção da suavização nesta metodologia prevê que a série apresenta, além da tendência, sazonalidade,

ou seja, a série demonstra um processo repetitivo ao longo de um determinado intervalo de tempo

(amplitude – L). Esta amplitude deve indicar quantas observações devem compor a base de referência para

que o movimento esteja se repetindo, porque as estimativas da suavização só podem ser estimadas após uma

amplitude inteira. Portanto, sua ordem é : = C + 1, da mesma forma que a última será de ordem : = 1, ou

seja, serão perdidas L observações. Por exemplo, se a série apresenta uma amplitude de um ano, ou seja,

doze meses, doze observações serão perdidas.

As equações que determinam a suavização e a tendência aditiva são semelhantes ao processo de suavização

exponencial linear simples. Entretanto, a ponderação da suavização deve considerar não apenas a

observação atual, mas sim seu valor atual corrigido os efeitos da sazonalidade. Neste caso, a sazonalidade é

considerada um processo multiplicativo e, sendo assim, descontar seus efeitos significa dividir o valor atual

pela passada última sazonalidade para este mesmo tempo. A sazonalidade (SE)é descrita também como um

processo ponderativo entre o valor atual (yE) corrigido pela sazonalidade (FE G) e o valor da passada última

suavização e tendência, respectivamente (SE � + TDE �). Suas equações para determinação da suavização,

tendência e sazonalidade são respectivamente:

SE = AJyE FE GK L + (1 − A)(SE � + TDE �) (1)TDE = B(SE − SE �) + (1 − B)TDE � (2)FE = CJyE SEK L + (1 − C)FE G (3)

.

Os pontos iniciais para as determinações são: (i) suavização é SE � = yE �, (ii) tendência TDE � = 0 e (iii)

sazonalidade F� = F� = ⋯ = FG = 1. Para realizar estimativas futuras (n+m), o que de fato, está sendo

solicitado na questão é o último ponto da suavização adicionando-se a tendência e corrigindo pela

sazonalidade: yE�QR = (SE +mTDE)FE G�Q.

4. (1 ponto) Descreva o teste de Dickey e Fuller Aumentado.

Considerando apenas as três hipóteses apresentadas abaixo, estas podem ser, em termo de equação o

seguinte:

� Passeio aleatório simples: ∆�� = U�� � + ∑ V.�� .�� + ��W.0�

� Passeio aleatório com constante: ∆�� = X + U�� � + ∑ V.�� .�� + ��W.0�

� Passeio aleatório com constante e tendência: ∆�� = X + U�� � + ∑ V.�� .�� + Y1 + ��W.0�

O teste é aplicado para todos os parâmetros simultaneamente, que são a constante, os coeficientes dos

termos autorregressivos e o coeficiente da tendência. A estatística do teste para o conjunto dos parâmetros é:

Z. = (�[�\ − �[�]\)# . (_ − `)�[�]\

SQE é a soma dos quadrados dos erros cujo sobrescrito determina se a equação é restrita (r), ou seja,

retiradas as variáveis em questão, ou não (nr); T é o número de observações úteis; k número de parâmetros

estimados; r é o número de restrições acerca dos parâmetros a serem testados.

As hipóteses nulas dos testes e as estatísticas do teste Z. são respectivamente:

� a,: U = 0 Z�

� a,: U = X = 0 Z�

� a,: U = X = Y = 0 Z�

A estatística limite é obtida na tabela F de Snedecor. A hipótese nula será aceita para pequenos valores da

estatística do teste:. Z. ≤ d(\,/ e,]íghijh%.k].l.mâ]m.o)

5. (1 ponto) Considere as duas séries temporais exibidas no Gráfico1 ao lado. Como você diferenciaria

uma da outra no que diz respeito a escolher entre as metodologias de extrapolação simples e os métodos

de suavização exponencial linear. Justifique sua resposta.

Esta questão pode, aparentemente, levantar dúvidas sobre qual dos gráficos deveriam ser analisados.

Entretanto, este está em destaque abaixo. Ainda, se dúvidas ainda perdurarem quanto à referência entre os

dois gráficos apresentados, o aluno deveria apresentar uma referência, como esquerdo e direito, 1 e 2, A e

B. Ou seja, faz parte de resolução a compreensão e a solução dos dilemas.

Assim, farei referência ao primeiro/esquerdo gráfico como gA e o segundo/direito com gB.

O gB apresenta nitidamente sazonalidade e tendência, portanto, deveria se utilizar a metodologia de SEL. Já

o gA apresenta tendência e facilmente se ajustaria uma equação exponencial para melhor descrever seu

caminho, ou seja, extrapolação simples.

6. (1 ponto) Considerando a série do Gráfico 2, qual metodologia determinística você escolheria?

Justifique sua resposta.

Neste, a sazonalidade e a tendência são claramente observáveis. Ainda, há um número grande de

observações, o que caracteriza ainda mais a sazonalidade. Portanto, não se deve utilizar a extrapolação

simples. Há, claramente, uma tendência crescente. Ainda, há uma grande queda na série o que indica uma

quebra estrutural, mas seu crescimento não foi abalado.

O aluno poderá escolher entre a Decomposição da série se justificar a presença de ciclos econômicos, que

seriam os pequenos desvios de seu caminho de longo prazo (tendência). Ou pode simplesmente afirmar que

a melhor metodologia é a de Winter, pois apresenta tendência e sazonalidade.

7. Considerando a mesma série do Gráfico 2, qual seria a melhor abordagem para determinar se a mesma é

estacionária (1 ponto)?

Determinar se a série é estacionária quando se tem a presença de sazonalidade e tendência não se enquadra

facilmente em um teste de raiz unitária, o mais sensato a fazer é aplicar o teste para diferença entre médiase

o teste para diferença entre variâncias, tendo como referência a série completa e calculando a amostra com

parte dela.

Porém, o aluno deveria expor o teste de Dickey e Fuller Aumentado, já explicado na questão anterior, e

afirmar que não há sazonalidade e que a série segue um passeio aleatório com constante e tendência ∆�� = X + U�� � + ∑ V.�� .�� + Y1 + ��W.0� . Cuja hipótese nula neste caso é a de que a,: U = X = Y = 0 a

estatística limite é Z� ≤ d(�,/ �,�%) e a estatística do teste é Z� = (qrst qrsut)� . (/ �)qrsut. A hipótese nula será aceita para pequenos valores da estatística do teste.

8. (1,5 ponto) Qual a variância e qual a correlação &'##(��,�� %) para s=1,2 e 3, de um processo

estocástico estacionário de médias móveis de ordem 1, ou simplesmente um MA(1) do tipo:

�� = �� − v�� �, onde �� é um ruído branco?

O aluno deverá apresentar os cálculos para variância e covariância para o processo e em seguida

apresentar a covariância para s=1, 2 e 3. Considerando a série �� = �� − v�� � e que sua média é nula,

porque a esperança do erro (ruído branco) é nula. A variância é dada por: Var(y�) = γ(0) = E(y�)�= E�(ε� − θε� �)�� = E(ε�� − 2θε�ε� � + θ�ε� �� ) =

= E(ε��) − 2θE(ε�ε� �) + θ�E(ε� �� ) = σ� − 2θ. 0 + θ�σ� = σ�(1 + θ�) !�}(��) = ��(1 + v�)

Covariância é dada por: &'((��, �� %) = ��(��)(�� %)� = ��(ℰ� − vℰ� �)(ℰ� % − vℰ� % �)� = �(ℰ�ℰ� % − vℰ�ℰ� % � − vℰ� �ℰ� % + v�ℰ� �ℰ� % �) = = �(ℰ�ℰ� %) − v�(ℰ�ℰ� % �) − v�(ℰ�ℰ� %) + v��(ℰ�ℰ� % �) Considerando que � > 0, pois � = 0 é variância, pode-se calcular a covariância para:

3 = 1���&'((��, �� %) = �(ℰ�ℰ� %) − v�(ℰ�ℰ� % �) − v�(ℰ� �ℰ� %) + v��(ℰ� �ℰ� % �)= �(ℰ�ℰ� �) − v�(ℰ�ℰ� �) − v�(ℰ� �ℰ� �) + v��(ℰ� �ℰ� �)= 0 − 0 − 0�� + 0&'((��, �� �) = −v��

�

� = 2���&'((��, �� %) = �(ℰ�ℰ� %) − v�(ℰ�ℰ� % �) − v�(ℰ� �ℰ� %) + v��(ℰ� �ℰ� % �)&'((��, �� �) = �(ℰ�ℰ� �) − v�(ℰ�ℰ� �) − v�(ℰ� �ℰ� �) + v��(ℰ� �ℰ� �)0 − 0 − 0 + 0&'((��, �� �) = 0

�. � = 3 também será nula. Portanto, pode-se afirmar que &'((��, �� %) = �−v��37� = 1037� > 1 �

9. (1 ponto) Considerando o consumo de combustível em PE, Gráfico 3, qual metodologia que você

utilizaria para realizar previsão e descreva sua metodologia.

O aluno pode escolher a metodologia que desejar, contanto que a descreva em detalhes. Importante lembrar

que não se observa sazonalidade, mas ela tbm pode existir, dado que a série é longeva. Que há tendência no

final da série e no começo, portanto, não deve utilizar a extrapolação simples porque há uma área com

tendência nula que não se enquadraria bem na equação matemática.