2 ANO - Áreas Figuras Planas - 2007(2)

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Estudo de Polgonos

Prof. Jorge

Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela de 18 m. o fundo uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura.18 m x

Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionrio do clube abriu o registro e comeou a ench-la. A gua jorrava a uma vazo de 4 litros por segundo.

Prof. Jorge

Enchendo a piscina O grfico a seguir mostra o nvel x da gua, em metros, na parte mais funda, em funo do volume V de gua despejada, em litros.Qual a profundidade da piscina na parte mais rasa? E na parte mais funda? Qual a capacidade da piscina, em litros?C

x (m) 1,8

0,8

0

43.200

Em quanto tempo a V ( L) piscina ficar cheia?

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Polgonos convexos

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Definio A figura a seguir mostra um conjunto de segmentos consecutivos e no-colineares AB, BC, CD, DE, EF, FA, contidos num mesmo plano. Chama-se polgono unio de todos esses segmentos e dos pontos da regio interior. B C

A F

D

E

Prof. Jorge

Elementos A figura abaixo, temos o polgono ABCDEF. Nele, destacamos: Os vrtices A, B, C, D, E e F. B

C

Os ngulos internos A, B, C, D, E e F. D Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

A F E

A diagonal BD. ngulo externo relativo ao vrtice A.

Prof. Jorge

Nomenclatura Os polgonos recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de seus lados. n 3 4 5 6 7 8 Polgono tringulo quadriltero pentgono hexgono heptgono octgono n 9 10 11 12 15 20 Polgono enegono decgono undecgono dodecgono pentadecgono icosgono

Prof. Jorge

Polgono regular Chama-se polgono regular qualquer polgono que tem todos os lados congruentes e todos os ngulos internos congruentes. B C

A

D

F

E

Os ngulos A = B = C = D = E = F. Os lados AB = AC = CD = DE = EF = FA.

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ngulos internos no polgono regular.

Prof. Jorge

Soma dos ngulos internos A soma dos ngulos internos de um polgono convexo com n lados dado por Si = (n 2).180.

A4 A3 Si = (n 2).180 A5 A1 An

A2

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ngulo interno do polgono regular No polgono regular, os n ngulos so congruentes. Chamando de i a medida de cada um deles, temos B i A i i F i E i i D i = (n 2).180 n

C

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ngulo interno e externo Medidas dos ngulos internos e externos de alguns polgonos regulares. polgono Tringulo Quadriltero Pentgono Hexgono Decgono Icosgono 100 lados Prof. Jorge ngulo interno 60 90 108 120 144 162 176,4 ngulo externo 120 90 72 60 36 18 3,6

Exemplo Num decgono regular, cada lado mede 3 cm, Calcular seu permetro e a medida de cada um de seus ngulos internos. Decgono regular tem 10 lados (n = 10). P = 10 . 3 cm = 30 cm S = (n 2).180o = (10 2).180 = 8. 180 = 1440 i= 1440 = 144 10

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rea de polgonos

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Definio de rea A rea de um figura plana fechada a medida da extenso de sua superfcie. A unidade fundamental de medida de reas o metro quadrado (m2). A rea de 1 m2 a rea de um quadrado cujo lado mede 1 m.Quantos m2 tem 1 km2

1 m2 1m

1m

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rea do quadrado

L

A = L2

L

Prof. Jorge

Exemplo Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja rea mede 18 cm2.

A = L2 L2 = 18 D L D2 = L2 + L2 L D = 32.2 D = 6 cm

L = 32

D = L2

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rea do retngulo

Altura (h)

Base (b) A=b.h

Prof. Jorge

Exemplo Calcular o permetro de um retngulo de 18 m2 de rea, sabendo que um de seus lados o dobro do outro.

A = 18 x 2x

x.2x = 18 x2 = 9

2x2 = 18 x=3

Os lados medem 3 m e 6 m. P = 2.3 + 2.6 = 18 m

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rea do Paralelogramo

h base (b) A=b.h

Prof. Jorge

Exemplo Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ngulo de 60. Obter a sua rea.

460

h 6

sen 60 =

h 4

h = 4. sen 60 = 4. A = 123

3 2

h = 3 2

A = b . h = 6. 23

Prof. Jorge

rea do Losango

L

L d1 . d2 2

d2 L L

A=

d1

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Exemplo O permetro de um losango 52 cm e a menor de suas diagonais mede 10 cm. Achar sua rea. x 5 y P = 4.x 4.x = 52 x = 13

x2 = 52 + y2

132 = 25 + y2

y2 = 169 25

y2 = 144 y = 12 A= Prof. Jorge d1 . d2 2 = 10 . 24 2 A = 120 cm2

rea do Trapziobase (b1)

h

base (b2)

A=

(b1 + b2).h 2

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Exemplo Uma caixa de papelo tem altura constante, e as duas bases tm forma de trapzios issceles congruentes. As medidas, em centmetros, so as da figura. Obter a rea total externa da caixa.27 10

6

15

Prof. Jorge

Exemplo Uma caixa de papelo tem altura constante, e as duas bases tm forma de trapzios issceles congruentes. As medidas, em centmetros, so as da figura. Obter a rea total externa da caixa. Clculo da altura do trapzio27 6 10 15 6

h2 + 62 = 102 h2 + 36 = 100

h15

h

10

h2 = 100 36 h2 = 64 h=8

Prof. Jorge

Exemplo Uma caixa de papelo tem altura constante, e as duas bases tm forma de trapzios issceles congruentes. As medidas, em centmetros, so as da figura. Obter a rea total externa da caixa. rea do trapzio27 6 10 15 6

A=10

(15 + 27).8 2

815

8

A = 168

Prof. Jorge

Exemplo Uma caixa de papelo tem altura constante, e as duas bases tm forma de trapzios issceles congruentes. As medidas, em centmetros, so as da figura. Obter a rea total externa da caixa.27 6 10 15

rea da face da frente: rea da face de trs: rea das faces laterais:

A = 15 . 6 = 90 A = 27 . 6 = 162 A = 2. 10 . 6 = 120

Prof. Jorge

Exemplo Uma caixa de papelo tem altura constante, e as duas bases tm forma de trapzios issceles congruentes. As medidas, em centmetros, so as da figura. Obter a rea total externa da caixa.27 6 10 15

rea total da superfcie da caixa: A = 336 + 90 + 162 + 120 = 708 cm2.

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rea do Tringulo

h

base (b)

b.h A= 2

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Exemplo Calcular a rea de um tringulo cujos lados medem 10 cm, 10 cm e 16 cm.

10

h8 8

10

h2 + 82 = 102 h2 + 64 = 100 h2 = 36 h=6

b.h A= 2

16 . 6 = 2

= 48 cm2.

Prof. Jorge

rea do Tringulo Eqiltero

L h

L L3 h= 2

L L23 A= 4

Prof. Jorge

Exemplo Calcular a rea de um tringulo eqiltero cujo permetro 18 cm.

P = 18

3L = 18 L = 6 cm 623 = 4 A = 93 cm2

L23 A= 4

Prof. Jorge

rea do Hexgono regularL L L

L L 3L23 A= 2

L

Prof. Jorge

Exemplo Achar a rea do hexgono regular em que cada aptema mede 6 cm. x/2 6 x 12 x = 3 4

tg 30 =O x 6 x/2

3 3

=

3x23 A= 2

3.48.3 = 2

= 30

A = 723 cm2

Prof. Jorge

rea do tringulo em funo da medida de dois de seus lados e do ngulo compreendido por esses lados

c

sen = h

h c

h = c. sen b

b.h A= 2

A=

b . c. sen 2

Prof. Jorge

Exemplo Num hexgono regular ABCDEF, a diagonal AC mede 6 cm. Calcular a rea do hexgono.B 6 A D C

F

E

Prof. Jorge

Exemplo Na figura, ABCE um quadrado, CDE um tringulo retngulo em D e ABF um tringulo eqiltero. Obter a rea da regio sombreada.D 23 E F 2 C

A

B

Prof. Jorge

Exemplo (UEMS) Une-se um dos vrtices de um quadrado aos pontos mdios dos lados que no contm esse vrtice, obtendo-se um tringulo issceles, como mostra a figura abaixo. A rea desse tringulo, em relao rea do quadrado, :a) 0,355 b) 0,365 c) 0,375 d) 0,385 e) 0,395

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