Nmeros complexos

Nmeros negativosOs nmeros negativos tem raiz quadrada?

Conjuntos numricosJ estudamos em anos anteriores as diferentes categorias numricas. Veja um resumoO conjunto dos nmeros Naturais surgiu da necessidade de contar. o conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}Mais tarde surgiram os nmeros negativos 1, 2, 3, etc. O conjunto dos naturais acrescentados dos inteiros negativos, constitui o conjunto dos nmeros Inteiros, representado por = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conjuntos numricosJ estudamos em anos anteriores as diferentes categorias numricas. Veja um resumoA necessidade de dividir o inteiro em partes, fez surgirem os nmeros racionais, assim definidos = {x/x = p/q com p, q inteiros e q 0}A resoluo de certos problemas geomtricos, levou ao surgimento dos nmeros irracionais. So exemplos de irracionais o nmero e razes no-exatas:

Conjuntos numricosJ estudamos em anos anteriores as diferentes categorias numricas. Veja um resumoA reunio dos nmeros racionais com os irracionais deu origem ao conjunto dos nmeros reais. = {irracionais}At por volta do sculo XV, s se conheciam os nmeros reais. Eles eram considerados suficientes para a resoluo de problemas de medida.

Nmeros imaginrios Em 1545 o matemtico Girolamo Cardano, em seu livro Ars Magna (A grande Arte), propunha o seguinte problema Dividir 10 em duas partes cujo produto seja igual a 40.A soluo dessa questo equivale a resoluo da equao de 2 grau x2 10x + 40 = 0. Resolvendo-a, chegamos aos dois nmeros:

Nmeros imaginrios A princpio, os matemticos consideravam que tais nmeros (como 15) eram inteis ou que simplesmente, eles no existiam.Em meados do sculo XVII, Descartes j aceitava esses nmeros. Ele os chamava de imaginrios, ao formular conceitos sobre razes de equaes algbricas.

Nmeros imaginrios No sculo XVIII, os trabalhos de DAlembert e Euler j consideravam a importncia dos nmeros imaginrios. Criaram uma teoria mais completa a respeito deles e de suas relaes com as equaes.S a partir do sculo XIX, quando Gauss divulgou sua representao geomtrica, que os complexos, que incluem os reais e os imaginrios, passaram a ser aceitos e usados sem restries.

A unidade imaginria Chama-se unidade imaginria o nmero representado por i, assim definido:i2 = 1 Note que i no real, pois no existe nmero real cujo quadrado seja negativo.A partir dessa definio, toda equao de 2. grau ter sempre duas razes, ainda que seu discriminante seja negativo.

A unidade imaginria e a equao de 2. grau Usando a definio da unidade imaginria i, resolver as equaes de 2. grau x2 + 9 = 0 e x2 6x + 13 = 0.1 equao:x2 + 9 = 0 x2 = 9 x = 9i2 x = 3i ou x = 3i x2 = 9.(1) x2 = 9.i2S = {3i, 3i}

A unidade imaginria e a equao de 2. grau Usando a definio da unidade imaginria i, resolver as equaes de 2. grau x2 + 9 = 0 e x2 6x + 13 = 0.2 equao:x2 6x + 13 = 0 = (6)2 4 . 1 . 13= 36 52= 16= 16i22a b x = 26 16i2 = 26 4i= x = 3 + 2i ou x = 3 2i

O conjunto dos nmeros complexos

O conjunto dos nmeros complexos Os nmeros 3 + 2i, 3 2i, 3i e 3i. Todos eles podem ser escrito na forma a + bi, VejaNmeros como esses so chamados de nmeros complexos. 0 3i 3i0 + 3i3i3 2i3 2i3 + 2i3 + 2ia + biNmeroa e b .i a unidade imaginria

O conjunto dos nmeros complexos Chama-se nmero complexo na forma algbrica, todo nmero escrito na formaz = a + bi

sendo a e b reais quaisquer e i a unidade imaginria.O nmero a a parte real de z e o nmero b a parte imaginria de z. Em smbolos:Re(z) = a e Im(z) = b

Analisando diferentes nmeros complexos

Exemplo Identificar a parte real e a parte imaginria dos nmeros complexos z1 = 3 + 0i, z2 = 5 2i e z3 = 0 + 4i. No complexo z1 = 3 + 0i, temos a = Re(z1) = 3b = Im(z1) = 0 z1 = 3 real(b = 0)

Exemplo Identificar a parte real e a parte imaginria dos nmeros complexos z1 = 3 + 0i, z2 = 5 2i e z3 = 0 + 4i. No complexo z2 = 5 2i, temos a = Re(z2) = 5b = Im(z2) = 2 z2 imaginrio(b 0)

Exemplo Identificar a parte real e a parte imaginria dos nmeros complexos z1 = 3 + 0i, z2 = 5 2i e z3 = 0 + 4i. No complexo z3 = 0 + 4i, temos a = Re(z3) = 0b = Im(z3) = 4 z3 imaginrio puro(a = 0 e b 0)

O conjunto dos nmeros complexos Pela definio os nmeros reais passa a ser um caso particular dos nmeros complexos. Assim o conjunto dos nmeros complexos, representado por , reunio dos nmeros reais com os nmeros imaginrios.

O conjunto dos nmeros complexos O diagrama abaixo mostra a relao entre os diferentes conjuntos numricosNaturaisInteiros negativosRacionais no-inteirosirracionaisimaginrios

Exemplos Suponha que k seja uma constante real. Considere o nmero complexo z = (k 3) + (k + 2)i.a) qual a parte real de z?b) e a parte imaginria de z?c) se z real, qual o valo de k? Nesse caso qual o valor de z?d) se z imaginrio puro, qual o valo de k? Nesse caso qual o valor de z?e) para algum valo de k, z = 0?Re(z) = k 3.Im(z) = k + 2.k = 2 e z = 5.k = 3 e z = 5i.No.

Exemplos Analise se cada uma das afirmativas a seguir VERDADEIRA (V) OU FALSA (F).( ) Todo nmero complexo real ou imaginrio.( ) Todo nmero real complexo.( ) Todo nmero complexo real.( ) A interseo do conjunto dos nmeros reais com o conjunto dos nmeros imaginrios o conjunto vazio.VVFV

Exemplos Considere o complexo z = (1 p) + (p2 9)i, em que p uma constante real. Se z real positivo. Calcule p e z.Se z real positivo, ento Im(z) = 0 e Re(z) > 0.Re(z) = 1 pIm(z) = p2 9 1 p > 0 p > 1 p < 1 p2 9 = 0 p2 = 9 p = 3 Como p < 1 p = 3.

Igualdade e operaes com complexos

Igualdade de complexos Dois nmeros complexos s so iguais se tm mesma parte real e mesma parte imaginria.Em smbolos, se z1 = a + bi e z2 = c + di so nmeros complexos,z1 = z2 a = cb = d

Exemplos Se x e y so nmeros reais, sob que condies os complexos (x 1) + (y + 2)i e 3 5i so iguais?Igualando os complexos, temos(x 1) + (y + 2)i = 3 5i x 1 = 3 x = 4 y + 2 = 5 y = 7

Exemplos Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?Igualando os complexos, temos(m 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)im 5 = n + 3n = 2m + 1 m 5 = 2m + 1 + 3 m = 9 m = 9 n = 2(9) + 1 n = 17

Oposto e conjugado de complexos Chama-se oposto ou simtrico de um complexo z o complexo indicado por z, assim definido.z = a + bi z = (a + bi) = a bi Exemplosz1 = 3 i z1 = 3 + i z2 = 2 5i z2 = 2 + 5i z3 = 2i z3 = 2i

Oposto e conjugado de complexos Chama-se conjugado de um complexo z o complexo indicado por z (z barra), assim definido.z = a + bi z = a + bi = a bi Exemplosz1 = 3 i z1 = 3 + i z2 = 2 5i z2 = 2 + 5i z3 = 2i z3 = 2i

Adio, subtrao e multiplicaode complexos Definem-se, no conjunto dos complexos, as operaes de adio, subtrao e multiplicao.Na prtica, operamos com os complexos como se fossem expresses de 1 grau de varivel i. Na multiplicao, aplicamos a definio i2 = 1.

Exemplos Dados os nmeros complexos v = 3 i , w = 5 + 2i e z = 1 + 5i, calcular v + w, v z e w.(z).

Clculo de v + w.v + w = (3 i) + (5 2i)= (3 + 5) + (1 2)i= 8 3i

Exemplos Dados os nmeros complexos v = 3 i , w = 5 + 2i e z = 1 + 5i, calcular v + w, v z e w.(z).

Clculo de v z.v z = (3 i) (1 + 5i)= 3 i + 1 5i= (3 + 1) + (1 5)i= 4 6i

Exemplos Dados os nmeros complexos v = 3 i , w = 5 + 2i e z = 1 + 5i, calcular v + w, v z e w.(z).

Clculo de w.(z).w.(z) = (5 + 2i).(1 5i)= 5 25i + 2i 10i2= 5 25i + 2i 10(1)= 5 23i + 10= 15 23i

Exemplos Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z + 5z = 7 + 6i.

Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos2z + 5z = 7 + 6i2(a + bi) + 5(a bi) = 7 + 6i2a + 2bi + 5a 5bi = 7 + 6i7a 3bi = 7 + 6i7a = 73b = 6a = 1 e b = 2z = 1 2i

Exemplos Obter o complexo z que, multiplicado por 2 i, resulta 8 + i.

z.(2 i) = 8 + iFazendo z = a + bi, com a e b reais, temos(a + bi).(2 i) = 8 + i2a ai + 2bi bi2= 8 + i2a ai + 2bi + b= 8 + i2a + b + (2b a)i= 8 + i2a + b = 82b a = 1

Exemplos Obter o complexo z que, multiplicado por 2 i, resulta 8 + i.

Resolvendo o sistema, chegamos a2a + b = 82b a = 1x (2)2a + b = 84b 2a = 2+5b = 10b = 22a + 2 = 8a = 3z = a + biz = 3 + 2i

Diviso de complexos A diviso a operao inversa da multiplicao de complexos.Se z1, z2 e z3 so trs complexos, com z2 0, definimos a diviso da seguinte maneira:

Diviso de complexos No problema resolvido anteriormente vimos que8 + i2 i = 3 + 2i(3 + 2i).(2 i) = 8 + i8 + i3 + 2i = 2 i(3 + 2i).(2 i) = 8 + i

Diviso de complexos Na prtica o quociente de dois complexos pode ser obtido de outra forma.Multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do denominador. Veja

Exemplos Efetue as divises indicadas abaixo.

8 + i2 i a)(8 + i).(2 + i)(2 i).(2 + i) ==16 + 8i + 2i + i222 i2 =16 + 8i + 2i 14 (1) =15 + 10i5= 3 + 2i

Exemplos Efetue as divises indicadas abaixo.

8 + i3 + 2i b)(8 + i).(3 2i)(3 + 2i).(3 2i) ==24 16i + 3i 2i232 4i2 =24 16i + 3i + 29 + 4 =26 13i13= 2 i

Inverso de um complexoSe z um complexo no-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z1 e assim definido.Exemploz = i z1 =1i(1) . (i)(i) . (i) ==ii2 =i1 = i

Potncias daunidade imaginria

Potncias da unidade imaginria Para as potncias do tipo in da unidade imaginria i, n natural, valem as definies.i0 = 1 i1 = i i2 = 1 Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciao em .

Potncias da unidade imaginria Acompanhe a seqncia. i0 = 1 i1 = i i2 = 1 i3 = i2. i= (1). i= i i4 = i2. i2= (1).(1) = 1 i5 = i4. i= (1). i= i i6 = i4. i2= 1.(1)= 1 i7 = i4. i3= 1.(i)= i......................................

Potncias da unidade imaginria Qualquer potncia de in, n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras.i0 = 1 i1 = i i2 = 1 i3 = i O valor de in o mesmo de iR, sendo R o resto da diviso de n por 4.

Exemplos Calcular i42 + i37.

13791024442i42 = i2 = 1i37 = i1 = ii42 + i 37 = 1 + i

Exemplos Calcular i4n 2.

i4n 2 =i4ni2 =(i4)n1 =1n1 = 1i4n 2 = 1

Potenciao de complexos (expoente natural)

Potenciao de complexos Se n um nmero natural e z um complexo qualquer, a potncia zn , por definio, o produto de n fatores iguais a z.

Exemplos (3+i)0 = 1 (5 + 2i)1 = 5 + 2i (2 3i)2 = 4 12i + 9i2= 4 12i 9= 5 12i (1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3= 1 + 3i 3 i = 3 + 2i

Exemplos Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i)2 seja imaginrio puro.z = (k + 2i)2 = k2 + 4ki + 4i2= k2 4 + 4ki z imaginrio puro, devemos terRe(z) = 0Im(z) 0 k2 4 = 04k 0 k = 2

Potenciao de complexos (expoente inteiro negativo)

Potenciao de complexos A partir do conceito de inverso de um nmero complexo, podemos calcular uma potncia com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z 0 e n um nmero natural, define-se:

Exemplos Sendo z = 1 i, calcular z2.

z1 =1z =11 i =Primeiro vamos calcular z1; depois z2.1 + i12 i2 =1 + i2 z2 = (z1)2=1 + i2 2=1 + 2i + i24 =1 + 2i 14 z2 = (z1)2=2i4 =i2 1 + i(1 i).(1 + i) =