2° Bimestre Matemática By:Patrick

Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 2

1

Páginas 4-6

1. Trata-se de verificar se há proporcionalidade direta ou não entre vários pares de

grandezas, expressando algebricamente tal fato e indicando o valor da constante de

proporcionalidade, quando possível.

a) A altura a de uma pessoa é uma função de sua idade t, mas não é diretamente

proporcional a t. De fato, não é verdade que, sempre que a idade de uma pessoa

dobra, sua altura também dobra; não é verdade que, se a idade triplica, a altura

aumenta proporcionalmente, triplicando. Se houvesse proporcionalidade entre a e t,

imagine a altura de uma pessoa aos 10 anos, sabendo que aos 2 anos ela tinha 90 cm

de altura...

b) A massa m de uma pessoa é uma função de sua idade t, mas não é diretamente

proporcional a t. Se houvesse proporcionalidade direta, uma criança com 1 ano e

10 kg teria quantos quilos aos 15 anos?

c) O perímetro p de um quadrado é uma função de seu lado a.

No caso, p = f(a) = 4a. Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta

proporcionalmente. O perímetro p é diretamente proporcional ao lado a, sendo a

constante de proporcionalidade igual a 4.

d) A diagonal d de um quadrado é uma função do lado a; ela é diretamente

proporcional ao lado a. Temos, nesse caso, d = a 2 . A constante de

proporcionalidade é k = 2 .

e) O comprimento C de uma circunferência é uma função do diâmetro d; no caso,

C é diretamente proporcional a d, e temos C = f(d) = d, ou seja, a constante de

proporcionalidade é k = . Também podemos escrever C = 2r, em que r é o raio da

circunferência.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA: MÚLTIPLOS EXEMPLOS


2

2. De acordo com as tabelas, pode-se afirmar, então, que:

a) Há proporcionalidade direta; a produção de automóveis cresce simultaneamente

à produção de tratores; ela é diretamente proporcional à produção de tratores.

b) Não há proporcionalidade nem direta nem inversa; a área destinada à agricultura

cresce juntamente com a área destinada à pecuária, mas não proporcionalmente.

c) Não há proporcionalidade nem direta nem inversa. Não é verdade que, se o PIB

aumenta, então o IDH aumenta; também não é verdade que, se o PIB diminui, então

o IDH diminui.

d) Não há proporcionalidade nem direta nem inversa; mesmo sem haver

proporcionalidade, quando o índice de analfabetismo diminui, a expectativa de vida

aumenta.

3. Com base no fato de que os R$ 400 mil serão divididos em partes iguais entre os

n ganhadores, concluímos que a cada um deles corresponderá um valor x, sendo

n. x = 400 000, ou seja, n e x são inversamente proporcionais: n

nfx000400

)( .

nn 11 22 33 44 55 88 1100 2200

xx 400 000 200 000 133 333,33 100 000 80 000 50 000 40 000 20 000

4. Afirma-se que, para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, ou seja,

de área 25 m2, um jardineiro cobrou R$ 20,00, ou seja, ele cobrou R$ 0,80 por m2.

Mantida essa proporção, para cortar a grama de um canteiro com 15 m de lado, ou

seja, com área 225 m2, ele deverá cobrar 225 . 0,80, ou seja, R$ 180,00. Outra

maneira de encaminhar a solução é a seguinte: a quantia a ser cobrada é diretamente

proporcional à área do canteiro e não ao seu lado. Se o lado triplicou, a área tornou-

se nove vezes maior e a quantia a ser paga deverá ser nove vezes maior. Faça a figura

de um quadrado com lado x (e área x2) e de outro com lado 3x para mostrar que a

área do maior é 9x2.


3

Páginas 6-7

1. Os pares de grandezas x e y são diretamente proporcionais, com constante de

proporcionalidade igual a 7, enquanto os pares y e z e x e z são grandezas

inversamente proporcionais, com constantes iguais a 2 100 e 300, respectivamente.

2. Notamos que a distância vertical d que a pedra percorre não é diretamente

proporcional ao tempo t de queda, mas sim ao quadrado de t: d = kt2.

a) É dado que para t = 1, então d = 4,9 m, ou seja, substituindo os valores de t e de

d, temos k = 4,9.

b) Para calcular a distância vertical percorrida após 5 s, basta substituir t por 5,

obtendo-se d = 4,9 . 52, ou seja, d = 122,5 m.

c) Substituindo-se d por 49, obtemos o tempo que a pedra levará para cair 49 m:

49 = 4,9t2, ou seja, t = 10 3,16 s.

Páginas 8-9

1.

a)

0 1 2 3 4 6

P 0 2,50 5,00 7,50 10,00 15,00

b) R$ 25,00.


4

c)

15 16

P 37,50 40,00

A diferença será de R$ 2,50.

d)

P= 2,5 P = f( ) = 2,5 . ; portanto, k = 2,5.

e)

Páginas 9 - 10

1. Dada uma função y = f(x), o conjunto de pontos (x; y) do plano cartesiano, tal que

y = f(x), constitui o gráfico da função. No caso das grandezas diretamente

proporcionais, sendo x

y = constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, então o gráfico

correspondente é uma reta passando pela origem do sistema de coordenadas:


5

2. Fixada a temperatura T, a pressão P e o volume V de um gás variam segundo a

expressão P.V = k (k é uma constante). O gráfico de P em função de V é uma

hipérbole e é muito fácil de se encontrar outros exemplos desse gráfico em livros de

Química:

Páginas 10-12

1. Esse é mais um exemplo de uma situação em que a proporcionalidade direta existe

apenas no cálculo da parcela variável da corrida de táxi, existindo outra parcela fixa,

independentemente dos quilômetros rodados. Temos, no caso, P = 15 + 0,8.x (P em

reais e x em km; R$ 0,80 é o custo de cada quilômetro rodado).


6

a) Uma corrida de 12 km, ou seja, para x = 12, resulta P = 15 + 0,8 . 12 =

= R$ 24,60.

b) A diferença entre o custo de uma corrida de 20 km e o de uma de 21 km é o

custo de 1 km rodado, ou seja, é R$ 0,80.

c) O gráfico de P em função de x é uma reta com inclinação 0,8, cortando o eixo

vertical (OP) no ponto de ordenada 15.

2. Nesse caso, temos uma variação proporcional em uma grandeza decrescente: se o

consumo diário é sempre 0,5 kg por dia, então a massa de gás consumida é

diretamente proporcional ao número de dias, e a massa restante no botijão é a

diferença entre o valor inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou seja, m = 13 – 0,5t

(t em dias).

a) O número x de dias necessários para consumir 6 kg de gás é tal que 0,5 . x = 6,

ou seja, x = 12 dias.

b) A massa de gás que resta em um botijão após dez dias de uso é

m = 13 – 0,5 . 10 = 8 kg.

c) O gráfico de m em função de t é uma reta cortando o eixo Om no ponto de

ordenada 13 e decrescendo a uma taxa de 0,5 kg por dia:


7

Páginas 12-14

1.

a) Da observação direta do gráfico conclui-se que o nível mínimo da água

armazenada foi de 10 m; o máximo foi de 100 m.

b) Analogamente, observamos que o nível de 40 m foi atingido duas vezes no ano;

já o nível de 95 m foi atingido seis vezes ao longo do ano.

2. Para esvaziar um reservatório de 20 000 L, se o consumo diário for de x litros por dia,

serão necessários N dias, sendo N . x = 20 000, ou seja, N e x são inversamente

proporcionais.

a) Para x1 = 500, o número de dias N1 é tal que N1 . 500 = 20 000, ou seja, N1 = 40

dias. Analogamente, para x2 = 800, o número de dias N2 é tal que N2 . 800 = 20 000,

ou seja, N2 = 25 dias.

b) O gráfico de N em função de x é uma curva que representa o fato de que, quanto

maior o valor de N, menor o de x, mantendo-se a proporção inversa (N . x = 20 000).

Essa curva é a hipérbole mostrada a seguir:


8

3.

a) Se x e y são diretamente proporcionais, significa que y = kx. Com o ponto

(4, 12) temos 12 = 4k; portanto, k = 3. Logo, a expressão que relaciona x e y será

y = 3x.

b)

c) f(–2) = – 6.


9

Páginas 15-22

1.

Reta A

Como a reta A passa pela origem, o coeficiente b é igual a 0. Todos os seus pontos

(x; y) são tais que x

y é igual a 2 (há proporcionalidade direta entre y e x). Segue,

portanto, que y = 2x, ou seja, f(x) = 2x (a = 2 e b = 0).

Reta B

Observando as retas A e B, percebemos que elas são paralelas, ou seja, o coeficiente

a é comum a ambas. Como B corta o eixo y no ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou

seja, f(x) = 2x + 2 no caso da reta B.

Reta C

Observando as retas A e C, percebemos que elas são paralelas, ou seja, a inclinação é

a mesma, igual a 2 em ambas. Como a reta C corta o eixo y no ponto de ordenada 4,

o valor de b é 4 e temos f(x) = 2x + 4 para a reta C.

Reta D

Trata-se do caso em que o coeficiente a é igual a 0; como o valor de b é 4, então

temos a função constante e igual a 4: f(x) = 4.

Reta E

A reta E corta o eixo y no ponto de ordenada 4; logo, b = 4. Temos, então,

f(x) = ax + 4. Como a reta passa pelo ponto (3; 0), temos f(3) = 0, ou seja,

0 = a . 3 + 4. Daí, obtemos a = 3

4. Logo, f(x) = 4

3

4

x .


FUNÇÕES DE 1º GRAU: SIGNIFICADO, GRÁFICOS, CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, TAXAS


10

2.

a) O custo quando a empresa não está produzindo é chamado pelos economistas de

custo fixo. Mesmo sem produzir e vender, uma empresa tem custos fixos de aluguel

e impostos. No caso da empresa analisada no problema, seu custo fixo é de 500 reais.

b) O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada 500, o que significa dizer que

b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500.

Usando o fato de que, para x = 10, o valor de C é 520, temos: 520 = a.10 + 500.

Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500.

Como x é o total de litros de xampu produzidos pela empresa, essa função só faz

sentido para x 0. Matematicamente, o valor de x pode ser tão grande quanto se

quiser. Naturalmente, as condições reais de produção podem impor outros limites ao

valor de x.

c) C(1 500) = 2 . 1 500 + 500; C(1 500) = 3 500; logo, C(1 500) = R$ 3 500.

d) Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500, de onde segue que x = 4 750 L.

e) Pelo gráfico, vemos que a cada 10 L gastam-se 20 reais a mais; portanto, a cada

1 L gastam-se 2 reais a mais (esse valor é a inclinação da reta que é o gráfico).

3.

a) CF = 2 000, isto é, y = 2000.

b) CV(x) = 0,05.x, isto é, y = 0,05x.

c) C(x) = 0,05x + 2 000 ou C(x) = 2000 + 0,05x, isto é, y = 2000 + 0,05x.

d)


11

4. Como as funções são do tipo f(x) = mx, basta substituir um par de valores de x e de

y = f(x) nessa equação para determinar o valor de m.

Em A, temos:

4 = m.(3), ou seja, m = 3

4 .

Em B, temos:

4 = m . 2, ou seja, m = 2.

Em C, temos:

4 = m . 5, ou seja, m = 5

4.

5.

a) Quando m > 0, quanto maior o seu valor, mais “em pé” estará a reta.

b) Se m > 0, a reta estará inclinada para a direita (função crescente); se m < 0, a

reta estará inclinada para a esquerda (função decrescente).

6.

a) Sendo x o valor gasto com comida e observando-se que acrescentar 10% a um

valor equivale a multiplicá-lo por 1,1, o valor y a ser pago será y = 1,1x + 10.

b) O gráfico será uma reta que corta o eixo y no ponto de ordenada 10 e que tem

inclinação igual a 1,1; para x = 10, o valor de y correspondente será 21:


12

7. A empresa Negócios da China S.A. tem um custo diário de R$ 200,00 com salários e

manutenção. Cada produto fabricado custa R$ 2,00 e é vendido a R$ 5,00. Desse

modo teremos:

a) O custo diário C é função do custo fixo, Cf = 200, e do custo variável, Cv = 2x.

Logo, a expressão do custo total será C = 2x + 200.

b) A receita corresponderá à expressão R = 5x.

c)

d) Nesta situação, teremos R = C, logo 5x = 2x + 200, portanto x = 66,6. Deste

modo, devem ser vendidos 67 produtos para a empresa estar em equilíbrio.

Professor, vale a pena discutir com a turma o valor 66,66 de unidades produzidas,

afinal, como interpretar essa quantidade de unidades? Ocorre que, na construção do

gráfico, admitimos as grandezas envolvidas como números reais, o que nos dá uma

imagem contínua dos gráficos. Esse número, 66,6, servirá como um valor ainda a ser

interpretado pelo analista de produção.

8.

a) A leitura imediata no gráfico fornece o valor do tributo y = 200 reais.

b) Não, porque o tributo 500 reais está indicado no gráfico com o sinal de “bola

aberta”, o que significa não ter nenhum correspondente em x (área da propriedade).

c) Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500), temos:


13

y = mx + n.

Para x = 800, temos y = 200, ou seja, 200 = m . 800 + n.

Para x = 3 800, calculemos como se tivéssemos y = 500 (mesmo sabendo que o

intervalo é aberto), apenas para ter a equação da reta: 500 = 3 800 . m + n.

Resolvendo o sistema, temos: m = 0,1 e n = 120.

A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para 800 ≤ x < 3 800).

Desafio!

Página 22

Observando o gráfico, pode-se confirmar essa intenção. Para isso, pode-se analisar o

gráfico e concluir que a taxa de crescimento para terrenos maiores do que 3 800 m2

1200

200

80030004

8000001 é maior do que nos intervalos anteriores. Nos terrenos com

área menor que 800 m2, a taxa é 0 (não há cobrança de impostos) e, para as áreas entre

800 e 3 800 m2, a taxa é: 1,00003

300

8008003

200500

.

Páginas 23-26

1.

Para as questões (a) e (b), temos o seguinte esquema:


14

Os segmentos que determinam as temperaturas nas diferentes escalas representam a

mesma parte do intervalo entre a temperatura de fusão do gelo e a de ebulição da

água, ou seja, temos a proporção:

32212

32

0100

0

273373

273

FCK

.

De tal proporção, concluímos que:

180

32

100100

273

FCK.

Ou seja,

K = C + 273;

F = 1,8C + 32.

c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e então C = 35.

d) Uma temperatura de K = 300 corresponde a C = 27. Calculando em Fahrenheit,

obtemos: F = 1,8 . 27 + 32, ou seja, F = 80,6.

2. A taxa de crescimento é a razão entre a variação na produção e a variação no tempo,

o que representa o aumento da produção por ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e

2005 foi igual a 6145

535596

m milhões de barris.

Se essa taxa permanecer constante, ou seja, se o gráfico continuar sendo a mesma

reta, no período de 2005-2006 o aumento da produção será de 61 milhões de barris, e

a produção estimada será de 596 + 61 = 657 milhões de barris.

3.

a) Sendo o perímetro igual à soma dos comprimentos de todos os lados da folha,

temos: 2.(2x + 4) + 2x + 2x + 2.(x + 10) +2x 64.

Daí, segue que 4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x 64,

ou seja, 12x 6428, o que acarreta que x 3.

Portanto, x deve ser maior ou igual a 3 metros.


15

b) Analogamente, temos:

2(x + 2x + 4 + x) < 2x + 2(x + 10)

2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x + 20

4x < 12, ou seja, x < 3.

Portanto, x deve ser maior que 0 e menor que 3 metros.

4.

3020,30

2010,10

100,

)(

tt

t

tt

tV


16

Páginas 28-35

1. Respostas (a),( b),(c) e (d):

Respostas (e), (f), (g) e (h):


FUNÇÕES DE 2º GRAU: SIGNIFICADO, GRÁFICOS, INTERSEÇÕES COM OS EIXOS, VÉRTICES, SINAIS


17

Desafio!

Página29

Afirmar que o gráfico apresenta um “bico” na origem significaria dizer que existe

uma reta inclinada em relação ao eixo de x, de forma que o gráfico de f(x) = x2 estaria

situado acima de tal reta para todos os valores de x, mesmo os mais próximos de 0,

conforme pode ser verificado na figura abaixo.

Tal reta tangente seria o gráfico de uma função do tipo y = mx, m > 0.

Teríamos, então, x2 ≥ mx para todo x ≥ 0.

Ocorre, no entanto, que, se x2 ≥ mx, então, x2 – mx ≥ 0, ou seja, x(x–m) ≥ 0 para todo x.

Mas, nota-se que, para valores de x entre 0 e m, os valores do produto x(x – m) são

negativos, ou seja, x2 < mx, o que significa dizer que o gráfico de f(x) = x2 situa-se

abaixo do gráfico de y = mx.

Em outras palavras, para cada valor de m > 0, por menor que seja, o gráfico de f(x) = x2

situa-se abaixo do gráfico de y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por exemplo,

mesmo se considerarmos a reta y = 0,001x, para valores de x entre 0 e 0,001, o gráfico

de f(x) = x2 situa-se abaixo dessa reta. Conclui-se, então, que não existe reta y = mx tal

que, para todo x, o gráfico de f(x) = x2 situe-se acima da reta; e é exatamente isso que

significa dizer que o gráfico não tem um “bico” na origem.


18

Página 31

2. Respostas (a), (b), (c) e (d):

a) Vértice: (0, 1) b) Vértice: (0, 3) c) Vértice: (0; -1) d) Vértice: (0, –3).

Respostas (e), (f) e (g):


19

e) Vértice: (0, 1) f) Vértice: (0, –5) g) Vértice: (0, 7)


a) Vértice: (–1; 0) b) Vértice: (–3; 0) c) Vértice: (1; 0) d) Vértice: (3; 0)

Respostas (e), (f) e (g):


20

e) Vértice: (5, 0) f) Vértice: (–3, 0) g) Vértice: (1, 0)


a) Vértice: (–1, 1) b) Vértice: (–3, -1) c) Vértice: (1, –1) d) Vértice; (3, 2)


21

Páginas 35-36

1.

a) Coordenadas do vértice: (–3; 2

1 ).

Ponto de mínimo: x = –3.

Mínimo valor da função: 2

1 .

b) Coordenadas do vértice: (2; 2

5 ).

Ponto de máximo: 2.

Máximo valor da função: 2

5 .

c) Coordenadas do vértice: (1; 2).

Ponto de mínimo: 1.

Mínimo valor da função: 2.

d) Coordenadas do vértice: (4

3;

2

1 ).

Ponto de mínimo: 2

1.

Mínimo valor da função: 4

3 .

e) Coordenadas do vértice: (4; 0).

Ponto de mínimo: 4.

Mínimo valor da função: 0.

f) Coordenadas do vértice: (0; 2).

Ponto de máximo: 0.

Máximo valor da função: 2.


22

Páginas 37-41

1.

a) No gráfico (I), para x = 1, temos y = f(1) = –3.

b) No gráfico (II), para x = 3, temos y = f(3) = 15.

c) Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os seguintes valores:

Vale a pena comentar com os alunos os resultados obtidos, que refletem a ideia de

simetria na parábola.

2.

a) Em razão da simetria do gráfico, concluímos que o vértice é o ponto médio do

segmento do eixo x entre 0 e 4, ou seja, no vértice temos x = 2. O valor de y

correspondente é f(2) = –22 + 4 . 2 = 4. Logo, o vértice é o ponto V, de coordenadas

(2; 4).

b) Para x = 1, temos f(1) = 3, ou seja, m = 3. Como vemos que o valor de f(n)

também é igual a 3, então n é o simétrico do ponto x = 1 em relação ao vértice x = 2,

ou seja, a distância de n até o 2 é igual à distância de 1 até o 2, ou seja, n = 3. De

fato, podemos verificar que f(3) = 3.

3.

• No Gráfico 1, podemos identificar os pontos (0; 0), (2; –4) e (4; 0) pertencentes

à parábola. Temos que a é positivo e c vale 0, pois o ponto (0; 0) pertence ao

gráfico. Substituindo os valores de x e y na forma geral y = ax2 + bx, obtemos:

– 4 = a . 22 + b . 2 e 0 = a . 42 + b . 4.

Daí, resolvendo o sistema 2a + b = –2 e 4a + b = 0, encontramos

Função I

y = x2 – 4

x 2 –2 4 –4 ou 4 – 5 5 ou –5

y 0 0 12 12 21 21

Função II

y = x2 + 2x

x –3 1 6 171 –5 721

y 3 3 48 16 15 27


23

a = 1 e b = – 4. Portanto, a função que corresponde ao Gráfico 1 é

f(x) xx 42 .

• No Gráfico 2, podemos identificar os pontos (–4; 0), (0; 8) e (2; 0) pertencentes

à parábola. Além disso, podemos concluir que a é negativo e que o valor de y

para x = 0 é 8, ou seja, c = 8. Substituindo os outros valores de x e y

correspondentes aos pontos (–4; 0) e (2; 0) na expressão geral

82 bxaxy , obtemos as seguintes equações:

0 = a . (–4)2 + b . (–4) + 8.

0 = a . 22 + b . 2 + 8.

Resolvendo o sistema

8416

824

ba

ba , obtemos a = –1 e b = –2.

Portanto, a função que corresponde ao Gráfico 2 é 82)( 2 xxxf .

• No Gráfico 3, podemos identificar os pontos (–3; 8), (0; 2) e (1; 4) pertencentes

à parábola. Pelo gráfico, podemos concluir que a é positivo e c vale 2, pois

o ponto (0; 2) pertence ao gráfico. Substituindo os valores de x e y

correspondentes aos outros dois pontos na expressão geral 22 bxaxy ,

obtemos as seguintes equações:

8 = a . (–3)2 + b . (–3) + 2.

4 = a . 12 + b . 1 + 2.

Resolvendo o sistema

2

639

ba

ba, obtemos: a = 1 e b = 1.

Portanto, a função que corresponde ao Gráfico 3 é 2)( 2 xxxf .

4.

a) Já vimos que a abscissa xv do vértice da parábola é igual a a

b

2

.

Temos xv = 23.2

12

. Calculando yv, obtemos: yv = f(xv) = f(–2) = –1 < 0.

Como a = 3 > 0 e yv < 0, então a equação tem duas raízes reais distintas.

b) Temos xv = 23.2

12 . Calculando yv, obtemos: yv = f(xv) = f(2) = 3 > 0.

Como a = 3 > 0 e yv > 0, então a equação não tem raízes reais.


24

c) Temos xv = – 4 e yv = f(– 4) = 37 > 0; como a = –2 < 0, segue que a e yv têm

sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.

d) Temos xv =2

5 e yv = f(

2

5) =

2

1 < 0; como a = –2 < 0, segue que a e yv têm

sinais iguais e a equação não tem raízes reais.

e) Temos xv = 22

5 e yv = f(

22

5) =

44

3 < 0; como a = 11 > 0 , segue que a e yv

têm sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.

f) Temos xv = 2

3 e yv = f(

2

3) = 0; como yv = 0, segue que a equação tem duas

raízes iguais.

5. Nesse caso, o aluno pode adotar diferentes formas para encontrar as raízes das

equações, entre elas o método de Bhaskara. Aqui são privilegiadas soluções que

exploram o conteúdo aprendido nesta Situação de Aprendizagem.

a) Calculando os valores de xv e yv, temos:

xv = 26

12

2

a

b; yv = f(–2) = 3.( –2)2 + 12.( –2) + 11 = –1.

Como a = 3 > 0 e yv = –1 < 0, conclui-se que a equação tem duas raízes distintas.

As raízes são x1 = xv –a

yv e x2 = xv +

a

yv; substituindo os valores de yv e a,

obtemos: x1 = –2 – 3

1 e x2 = –2 +

3

1.

O sinal de f(x) = 3x2 + 12x + 11 é positivo (igual ao de a) para valores de x fora do

intervalo das raízes, ou seja, para x > –2 + 3

1 ou para x < –2 –

3

1; é negativo

(contrário ao de a) para valores de x no intervalo das raízes, ou seja, para

–2 – 3

1 < x < –2 +

3

1.

b) Analogamente, temos xv = 2

3 e yv = f(

2

3) = 0; logo, as duas raízes são iguais a

xv = 2

3.


25

Sobre o sinal, f(x) = –4x2 + 12x – 9 é sempre menor ou igual a 0, pois a < 0; somente

temos f(x) = 0 para x = xv = 2

3.

c) Calculando xv e yv, obtemos xv = 2

5 e yv = f(

2

5) =

2

1 < 0.

Como a = –2, a razão a

yv é negativa e a equação não tem raízes reais.

Como a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, a função f(x) = –2x2 + 10x –13 tem

sempre o mesmo sinal, que é o sinal de a (negativo), qualquer que seja o valor de x.

Páginas 42-44

1.

a) Para determinar a expressão algébrica da função R(q), sabendo-se que a curva é

uma parábola, escrevemos R(q) = aq2 + bq, pois o valor correspondente de c é 0, uma

vez que a curva corta o eixo vertical na origem. Como R(16) = 0, concluímos que a .

162 + b . 16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0.

Em razão da simetria da parábola, concluímos que o valor de q no vértice é o ponto

médio do segmento de 0 a 16, ou seja, é igual a 8. Como vemos que R(8) = 64, temos

a . 82 + b . 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.

Resolvendo o sistema formado pelas equações 16a + b = 0 e 8a + b = 8, obtemos

a = –1 e b = 16, ou seja, R(q) = –q2 + 16q.

b) A observação direta do gráfico nos mostra que o rendimento máximo é igual a

R$ 64 000,00.

c) O valor de q que conduz ao rendimento bruto máximo é q = 8, ou seja, é a

produção de 8 mil unidades.

d) O rendimento bruto para q = 15 é igual a R(15) = –(15)2 + 16 . 15 = 15, ou seja,

é R$ 15 000,00. Para q = 20, no entanto, temos R(20) = –202 + 16 . 20 = –80, ou seja,

é negativa, o que significa que a produção dará prejuízo de R$ 80 000,00.

Esse resultado pode surpreender os alunos, pois não é intuitivo supor que para uma

produção maior se obtenha lucro negativo. Contudo, isso deve-se a uma questão de

ordem econômica. Se a empresa possui uma estrutura produtiva montada para


26

determinado nível de produção, a partir de certo ponto passa a haver ineficiência

produtiva devido a alguns fatores: alto custo de horas extras pagas, espaço físico

limitado para um número de trabalhadores, desgaste excessivo de máquinas, etc. Por

essa razão, a função que representa o lucro é decrescente a partir de determinado

nível de produção, correspondente, no caso, ao vértice da parábola.

2. Para os itens desta atividade, o aluno poderá aplicar a fórmula das coordenadas dos

vértices ou comparar a função a uma equivalente escrita na forma f(x) = (x –xv)2 + yv,

solução que foi privilegiada aqui.

a) Basta observar as coordenadas dos vértices dados na função. Assim, o valor

mínimo é 100; ponto de mínimo é x = 12.

b) Pode-se escrever a função como f(x) = –(x – 0)2 + 10. Daí, encontra-se o valor

máximo de 10; o ponto de máximo é x = 0.

c) Pode-se verificar que f(x) = (x + 3)2. Logo, o valor mínimo da função é 0 e o

ponto de mínimo é x = –3.

d) Pode-se escrever f(x) = 3(x2 + 10x + 25) = 3(x + 5)2. Logo, o valor mínimo é 0 e

o ponto de mínimo é x = –5.

e) Pode-se escrever f(x) = –x2 + 10x –25 + 25, ou seja, f(x) = –(x – 5)2 + 25. Logo,

o valor máximo é 25 e o ponto de máximo é x = 5.

f) Pode-se escrever f(x) = x2 + 8x + 16 + 5, ou seja, f(x) = (x + 4)2 + 5. Logo, o

valor mínimo é 5 e o ponto de mínimo é x = – 4.


27

Páginas 46-52

1.

a) A pergunta pode ser formulada assim: qual o valor de q correspondente ao

mínimo valor da função C(q)?

A função C(q) é de 2o grau, traduzindo algum tipo de proporcionalidade direta entre

uma grandeza e o quadrado de outra.

Seu gráfico é uma parábola cujo vértice encontra-se no ponto qv = 5002

)0001(

.

O nível de produção que corresponde ao custo mínimo é, pois, q = 500. O valor do

custo mínimo é C(500) = 5002 – 1 000 . 500 + 800 000 = R$ 550 000,00.

b) O gráfico de C(q) é uma parábola com a concavidade para cima, cortando o eixo

C no ponto de ordenada 800 000, e com vértice no ponto (500; 550 000):

c) O custo inicial C(0) = 800 000 corresponde ao custo fixo, independentemente de

se iniciar a produção (aluguéis, equipamentos, salários, etc.).

d) No modelo de produção suposto, o custo de R$ 800 000,00 corresponde a dois

níveis de produção. Para determiná-los, basta resolver a equação C(q) = 800 000, ou

seja, q2 – 1 000q + 800 000 = 800 000, de onde obtemos q = 0 ou q = 1 000.


PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE 2º GRAU EM MÚLTIPLOS CONTEXTOS; PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS


28

e) De fato, do ponto de vista do custo, dois níveis de produção simétricos em

relação ao vértice da parábola, como são 300 e 700, correspondem ao mesmo custo;

no caso, C(300) = C(700) = 590 000. Entretanto, do ponto de vista do rendimento

bruto, certamente é preferível o nível de produção maior.

2.

a) Chamando um dos lados de x, o outro será 40 – x e a área do retângulo será igual

a A(x) = x . (40 – x).

Buscamos o valor de x para que a área A(x) atinja o valor máximo. A(x) é uma

função de 2o grau: A(x) = x . (40 – x) = –x2 + 40x. Seu gráfico é uma parábola com a

concavidade voltada para baixo. As raízes da equação de 2o grau A(x) = 0 são x = 0

ou x = 40.

O vértice da parábola é o ponto onde xv = 20, ponto médio do segmento determinado

pelas raízes (o vértice também poderia ter sido obtido por meio da expressão

xv = 202

40

2

a

b). Os lados do retângulo de área máxima serão, portanto, 20 e

40 –20, ou seja, o retângulo de área máxima é um quadrado de lado 20.

b) O valor máximo de A(x) é A(xv) = – (20)2 + 40 . 20 = 400 m2.

3.

a) Sendo o comprimento dos três lados do muro igual a 36 m, se um dos lados é x,

o outro será 36 – 2x, e a área do retângulo será A(x) = x . (36 – 2x).

b) O gráfico de A(x) é uma parábola com a concavidade para baixo, tendo como

raízes da equação de 2o grau correspondente os valores 0 e 18.


29

c) O valor máximo da área A ocorre para x = 9 (ponto médio do segmento entre as

raízes); a área máxima é igual a A(9) = 36 . 9 – 2 . 92 = 162 m2 e as dimensões são

9 m e 18 m.

4.

a) Nossa incógnita é o valor x de dias, contados a partir de hoje, após os quais o

bezerro deve ser vendido de modo a gerar o maior retorno y possível, em reais.

Para encontrar o valor de y, devemos multiplicar o peso p (massa) em kg do bezerro

pelo valor v pago por kg: y = p . v. O enunciado informa que o peso p aumenta 2 kg

por dia, a partir do valor inicial 200 kg, ou seja, p = 200 + 2x, onde x é o número de

dias decorridos até a venda.

O valor v de cada kg, no entanto, decresce à razão de R$ 0,40 por dia, a partir do

valor inicial 50 kg. Temos, então, que v = 50 – 0,40x.

Logo, o valor arrecadado será igual a y = p . v, ou seja,

y = (200 + 2x) . (50 – 0,40x) = –0,80x2 + 20x + 10 000.

O valor a ser arrecadado é, portanto, uma função de 2o grau:

f(x) = –0,80x2 + 20x + 10 000.

Determinar a melhor data para vender o bezerro corresponde a buscar o valor de x

para o qual f(x) assume seu valor máximo.

De fato, a função tem o coeficiente a negativo (a = – 0,80) e, portanto, apresenta um

valor máximo. Tal valor máximo ocorre exatamente no vértice do gráfico de f(x).

Calculando o valor de xv, obtemos: xv = 5,1260,1

20

2

a

b. Concluímos, então,

que, mantidas as condições atuais, a melhor data para vender o bezerro é daqui a 12,5

dias, ou seja, entre o 12o e o 13o dia.

b) O valor a ser arrecadado com a venda é:

f(12,5) = – 0,80 . 12,52 + 20 . 12,5 + 10 000, ou seja, é igual a R$ 10 125,00.


30

c) O gráfico de f(x) é mostrado a seguir: trata-se de uma parábola com a

concavidade para baixo, tendo como vértice o ponto (12,5; 10 125).

d) O valor arrecadado pelo criador será 0 quando tivermos:

– 0,80x2 + 20x + 10 000 = 0.

Procurando as raízes dessa equação, encontramos:

x = xv ± a

yv= 12,5 ±

80,0

12510

= 12,5 ± 25,65612 = 12,5 ±112,5.

Uma das raízes é negativa e não faz sentido para o problema; a outra, positiva, é

igual a 12,5 + 112,5 = 125 dias.

Uma maneira mais simples de responder a esta questão teria sido aproveitar a forma

fatorada da equação de 2o grau, pois se sabia, desde o início, que:

(200 + 2x) . (50 – 0,40x) = – 0,80x2 + 20x + 10 000.

Logo, para obter as raízes, bastaria igualar a 0 os fatores do primeiro membro,

obtendo-se x = –100, que não faz sentido no problema, e x = 12540,0

50 , que é a

solução anteriormente encontrada.

5.

a) y = x(120 – x) = –x2 + 120x.

b) Devemos fazer –x2 + 120x = 40x, isto é, –x2 + 80x = 0 e, portanto, x = 0 ou

x = 80. Como y = 40x, y = 40 . 80 = 3 200. Logo, o míssil interceptará o foguete a

3 200 metros de altura.


31

Páginas 52-55

1.

a) Sabemos que o valor de N para t = 0 é 2 000 e para t = 2 é 2 100. Com base

nessas informações, podemos calcular os coeficientes k e L:

N(0) = k . (0 – 6)2 + L = 2 000.

N(2) = k . (2 – 6)2 + L = 2 100.

Concluímos, então, que 36k + L = 2 000 e 16k + L = 2 100.

Daí, segue que k = –5 e L = 2 180.

Temos, portanto, N(t) = –5 . (t – 6)2 + 2 180.

b) O gráfico de N(t) é o mostrado abaixo:

c) Como se pode depreender da expressão N(t) e do gráfico, o valor máximo para

N é 2 180.

d) O número de doentes cairá a 0 quando tivermos N(t) = 0, ou seja, quando

– 5(t – 6)2 + 2 180 = 0.

Calculando o valor de t, obtemos:

(t – 6)2 = 436 t – 6 20,9 t 26,9 semanas

(este valor substitui o ponto de interrogação do gráfico; o outro valor possível para t

é negativo e não faz sentido para o problema em questão).


32

2.

a) Para L = 100 mil habitantes, a função que expressa a velocidade de crescimento

populacional é V = f(N) = k . N . (100 000 – N).

Como se sabe que V = 900 para N = 10 000, resulta que:

900 = k . 10 000 . (100 000 – 10 000), ou seja, k = 10–6.

Temos, então, para a função V = f(N):

V = f(N) = 10–6 . N . (100 000 – N) ou, ainda, V = f(N) = –10–6 . N2 + 10–1 . N.

b) Para responder à pergunta, basta determinar as raízes da equação f(N) = 0.

Encontramos, então, N = 0 ou N = 100 000.

c) Como f(N) é uma função de 2o grau com o coeficiente de N2 negativo, a

parábola que é o gráfico de f(N) tem a concavidade voltada para baixo. Segue que o

sinal de f(N) é positivo (contrário ao do coeficiente de N2) no intervalo entre as

raízes (0 < N < 100 000) e é negativo para N > 100 000 (N < 0 não faz sentido no

problema). Portanto, a velocidade V de crescimento será positiva (a população

cresce) para uma população menor que 100 mil habitantes. A partir desse limite, a

velocidade de crescimento passará a ser negativa (a população decresce).

d) A velocidade de crescimento é máxima no vértice da parábola que é o gráfico de

f(N). Temos Nv = 0005010.2

106

1

.

e) O gráfico de V = f(N) é apresentado a seguir.

3. Com os dados do problema podemos escrever que Rt = R1 + R2, o que nos permite

concluir que Rt= 0,7t2 + 4,2t + 304. Observando que o coeficiente de t2 é positivo,


33

concluímos que a concavidade da parábola, que representa essa interdependência, é

para cima e, portanto, a função admitirá um valor de mínimo. Contudo, encontrando

os valores das coordenadas do vértice dessa parábola, observamos que o valor da

abscissa é negativo, xv = – 3, o que não é possível, pois ela refere-se à grandeza

tempo. Construindo o gráfico correspondente, encontramos:

Desse modo, o valor mínimo da receita não está no vértice, mas no ponto de

interseção da parábola com o eixo y, isto é, (0, 304).

A resposta para a questão é, portanto, que a receita total terá um valor mínimo no

tempo 0 (zero) e esse valor será igual a R$ 304,00.

O professor também pode comentar com os alunos que o fato de a parábola crescer a

taxas crescentes não significa que a receita das lojas será infinita, uma vez que devem

ser considerados vários fatores que limitam esse crescimento em uma situação de

contexto. O fato importante aqui é que o domínio da função em uma situação real difere

do contexto puramente matemático.

Documents

2° Bimestre Matemática By:Patrick