1

2 - Transformação de tensão - Cap 9

Prof. Alexandre Vieceli2015

2

Pás de turbinas mostrando níveis de tensões, através da técnica de fotoelasticidade.

3

Transformação de tensão no plano

4

O estado geral de tensão no plano em um ponto é representado por uma combinação de duas componentes de tensão normal x e y e uma componente de tensão de cisalhamento xy que agem nas 4 faces do plano.

Como fazer a transformação de tensões no caso de girar o elemento?

5

6

Estilo de problema – 9.1. O estado plano de tensão em um ponto na superfície da fuselagem do avião é representado no elemento orientado como mostra a figura. Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30° no sentido horário em relação à posição mostrada.

7

Equações Gerais da transformação de tensão no plano O EPT em um ponto é

unicamente representado por três componentes atuando em um elemento que tem uma orientação específica no ponto.

Convenção de sinais: Tensões normais positivas:

para fora das faces. Tensões de cisalhamento

positivas: para cima na face direita do elemento

8

Ambos os sistemas x-y e x’-y’ seguem a regra da mão direita.

A orientação de um plano inclinado, no qual as componentes de tensão normal e de cisalhamento devem ser determinadas, serão definidas usando um ângulo . O ângulo é medido do eixo x positivo para o eixo x’ positivo. Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos da mão direita.

9

Seccionar o elemento e isolar o segmento de reta de comprimento A (hipotenusa).

10

Componente de tensão normal e de cisalhamento: Considerar o diagrama de corpo livre resultante para o segmento, aplicando as equações de equilíbrio de força para determinar as componentes.

11

+ΣFx’ = 0; σx’ ∆A – (τxy ∆A sin θ) cos θ – (σy ∆A sin θ) sin θ – ( τxy ∆A cos θ) sin θ – (σx ∆A cos θ) cos θ = 0 σx’ = σx cos2 θ + σy sin2 θ + τxy (2 sin θ cos θ)

+ΣFy’ = 0; τx’y’ ∆A + (τxy ∆A sin θ) sin θ – (σy ∆A sin θ) cos θ – ( τxy ∆A cos θ) cos θ + (σx ∆A cos θ) sin θ = 0 τx’y’ = (σy – σx) sin θ cos θ + τxy (cos2 θ – sin2 θ)

2cos2sin2

2sin2cos22

´´

´

xyyx

yx

xyyxyx

x

12

2sin2cos22

2cos2sin2

2sin2cos22

´

´´

´

xyyxyx

y

xyyx

yx

xyyxyx

x

2sin2cos22

2sin2cos22

2sin180cos2cos180sin2sin180sin2cos180cos22

902sin902cos22

´

´

´

´

xyyxyx

y

xyyxyx

y

xyyxyx

y

xyyxyx

y

13

Continuando exemplo 9.1

2sin2cos22

2cos2sin2

2sin2cos22

´

´´

´

xyyxyx

y

xyyx

yx

xyyxyx

x

MPa 15,460sin2560cos2

5080

2

5080

MPa 8,6860cos2560sin2

5080

MPa 8,2560sin2560cos2

5080

2

5080

30502580

´

´´

´

y

yx

x

yxyx

14

Exercícios O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural é

mostrado em cada elemento. Determine as componentes de tensão que agem no plano inclinado AB para as duas ilustrações.

(1)

Obs: girar -50°

(2)

Obs: girar 60°

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9.6 – O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB.

Respostas:

x = 90 MPa

y = 50 MPa

xy = -35 MPa

x’ = 49,69 MPa

y’ = 90,3 MPa

x’y’ = -34,82 MPa

16

9.17 – Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois estados de tensão sucessivos mostrados na figura. Determine o estado de tensão resultante representado no elemento orientado como mostrado à direita.

17

Tensões principais no plano Para determinar a tensão normal máxima e mínima, faz-se a diferencial e

iguala-se a zero.

2/2tan

2/2cos

2sin

2cos2sin2

02cos22sin22

02sin2cos22

´

yx

xyp

yx

xy

xyyx

xyyx

xyyxyxx

d

d

d

d

d

d

d

d

18

Tensões principais no plano A partir das duas soluções, pode-se calcular os valores das orientações de p1 e p2

para as duas tensões principais e substituir na equação para a tensão normal.

2

2

2,1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

22

222cos

22sin

222cos

22sin

xyyxyx

xyyxyx

p

xyyx

xyp

xyyxyx

p

xyyx

xyp

19

Tensões principais no plano

20

Tensão de cisalhamento máxima no plano A orientação de um elemento, cujas faces estão sujeitas à tensão de cisalhamento

pode ser determinada derivando-se a equação abaixo e igualando-a a zero.

xy

yxs

xy

yx

xyyx

xyyx

xyyxyx

d

d

d

d

d

d

2/2tan

2/

2cos

2sin

2sin2cos2

02sin22cos22

02cos2sin2

´´

21

Tensão de cisalhamento máxima no plano Há duas raízes s1 e s2 para as duas tensões de cisalhamento. Os planos para tensão de cisalhamento máxima podem ser determinados

orientando um elemento 45° em relação à posição de um elemento que define os planos de tensão principal.

Há uma tensão normal nos planos (med) onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima.

2

22

2

yxmed

xyyx

máx

22

Exemplo 9.3 – Quando a carga de torção T é aplicada à barra da figura, ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determinar: (a) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada e (b) as tensões principais.

23

A partir da convenção de sinais:

a) A tensão máxima no plano é:

b) Para as tensões principais:

xyyx 0 0

02

2

2

2

plano nomax

yx

medxyyx

22

135,452/

2tan

2

2

2,1

12

xyyxyx

ppyx

xyp

2

1

24

Materiais dúcteis falham devido à tensão de cisalhamento. Materiais frágeis falham por conta da tensão normal.

Material frágil

Material dúctil

25

Exemplo 9.4 – Quando uma carga axial P é aplicada à barra, produz uma tensão de tração no material. Determine:

(a) as tensões principais

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.

26

Da convenção de sinais:

a) Tensão principal

Já que não atua cisalhamento neste elemento:

b) Tensão de cisalhamento máxima no plano:

0 21

0 0 xyyx

22

0

2

2

02

0

2

45,45;0

2/02/2tan

med

22

2

2

plano no max

21

yx

xyyx

ssxy

yxs

2090sin

2

02cos2sin

2''

xyyx

yx

27

Materiais dúcteis falham devido à tensão de cisalhamento. Materiais frágeis falham por conta da tensão normal.

Material frágil

Material dúctil

28

Exemplo 9.5/9.6 – O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é mostrado no elemento abaixo.

(a) Represente este estado de tensão em termos de tensões principais.

(b) Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.

29

30

31

Exercícios9.18 - A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine as tensões principais desenvolvidas na barra.

32

9.19 – Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvida no aço

Respostas:

max = 0,5MPa

med = 3,5 MPa

1 = 4 MPa

2 = 3 MPa

33

9.22/23 – O grampo de fixação força a superfície lisa contra o ponto E quando o parafuso é apertado. Se a força de tração no parafuso for 40 kN, determine as tensões principais nos quatro pontos A, B, C e D, e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos.

Respostas:Ponto A1 = 0 MPa

2 = -192 MPa

Ponto B1 = 24 MPa

2 = -24 MPa

Ponto C1 = 256 MPa

2 = 0 MPa

Ponto D1 = 0,68 MPa

2 = -154,3 MPa

34

9.30 – A viga de abas largas está sujeita às cargas mostradas. Determine a tensão principal na viga no ponto A e no ponto B. Esses pontos estão localizados na parte superior e na parte inferior da alma, respectivamente. Embora a precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para calcular a tensão de cisalhamento.

Respostas:

1,A = 150 MPa

2,A = -1,52 MPa

1,B = 1,60 MPa

2,B = -143 MPa

35

9.31 – O eixo tem diâmetro d = 30 mm e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvida em qualquer lugar na superfície do eixo. F = 1000 N; T0 = 400.000 N.mm

Resposta:

1 = 74,7 MPa

2 = -76,2 MPa

máx = 75,5 MPa

36

equações. duas as se-Somam

2sin2cos2

22cos2sin2

2sin2cos2

22sin2cos22

2cos2sin2

2sin2cos22

:quadrado ao equação cada Elevando

2cos2sin2

2sin2cos22

222

2

2''

222

22

'

2

2''

22

'

''

'

yxxyxy

yxyx

yxxyxy

yxyxx

xyyx

yx

xyyxyx

x

xyyx

yx

xyyxyx

x

Círculo de Mohr – tensão no plano Representação geométrica das equações:

37

Círculo de Mohr – tensão no plano Representação geométrica das equações:

22''

2'

2

2

2

2

2''

2

'

:Resulta

2

2

:se-Define

22

:se-Tem

R

R

yxmedx

xyyx

yxmed

xyyx

yxyx

x

38

Representação geométrica das equações:

0, em centro e

raio de círculo um representa

2

2

22''

2'

2

2

med

yxmedx

xyyxyx

med

C

RR

R

Christian Otto Mohr

1835 - 1918

Círculo de Mohr – tensão no plano

),(saber se-precisa

tegraficamen raio oobter Para

xyxA

R

Atenção: observe o sentido dos eixos e

39

Uma rotação do eixo x’ no elemento corresponderá a uma rotação 2no círculo na mesma direção.

40

Uma rotação do eixo x’ no elemento corresponderá a uma rotação 2no círculo na mesma direção.

41

Exemplo 9.4 cont. – A carga axial P produz o estado de tensão no material. Construa o círculo de Mohr.

a) Construção do círculo:

b) Tensões:

0 21

)0,(22

0

2

0 0

med

A

yx

xyyx

2

2

med

plano no max

42

Exemplo 9.3 cont. – A carga de torção T produz o estado de tensão no material. Construa o círculo de Mohr.

a) Construção do círculo:

b) Tensões:

),0(

02

0 0

A

yxmed

xyyx

0

plano nomax

med

2

1

43

Exemplo 9.9 – Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A sobre o cilindro maciço está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determine as tensões principais que agem neste ponto, construindo o círculo de Mohr.

44

a) Construção do círculo

O centro do círculo é:

Os pontos de referência A(-12,-6) e o centro C(-6, 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:

b) Tensões

MPa 62

012

med

MPa 60MPa,12 xyyx , τ σ σ

MPa 49,862

012 22

R

MPa 5,1449,86 :D Ponto

MPa 49,2649,8 :B Ponto

, :se-Tem

2

1

21

5,22

0,45612

6tan2

2

2

1

p

p

45

Exemplo 9.10 – O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre o qual ela age.

46

a) Construção do círculo

O centro do círculo é:

Os pontos de referência A(-20, 60) e o centro C(35, 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:

b) Tensões

MPa 35 MPa, 81,4:E Ponto

MPa 4,46 :D Ponto

MPa 4,116 :B Ponto

plano nomax

2

1

med

60 e 90 ,20 xyyx

MPa 4,815560 22 R

MPa 352

9020

med

3,2160

3520tan2

11

1ss

47

Exemplo 9.11 – O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento abaixo. Represente esse estado de tensão em um elemento orientado a 30° em sentido anti-horário em relação à posição mostrada.

48

a) Construção do círculo

O centro do círculo é:

Os pontos de referência A(-8, -6) e o centro C(2, 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:

b) Tensões a 30°

6 e 12 ,8 xyyx

66,11610 22 R

MPa 22

128

med

MPa 66,504,29cos66,11

MPa 20,804,29cos66,112

04,2996,3060 96,3010

6tan

''

'

1

yx

x

)(confere! MPa 66,504,29sin66,11

MPa 22,1204,29cos66,112

y'x'

'

y

49

Exemplo 9.12 – Uma força axial de 900 N e um torque de 2.500 N.mm são aplicados ao eixo de diâmetro 40 mm da figura abaixo. Determine as tensões principais em um ponto P sobre a superfície.

50

kPa 2,716MPa 7162,0

20

900

kPa 9,198MPa 1989,020

202500

2

42

A

Pσ

J

Tc

kPa 1,3582

2,7160

med

Os pontos de referência A(0; 198,9) e o centro C(358,1; 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio R = 409,7 kPa.

As tensões são:

1,292

MPa 6,51 :D Ponto

kPa 6,767 :B Ponto

2

2

1

p

51

Exercícios9.67 - Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 60° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado.

52

9.68 - Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação ao elemento mostrado.

Respostas:

x'  = 735,7 MPa; 

y' = -155,7 MPa; 

x'y' = -188 MPa.

53

9.76 - Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Respostas:

1  = 115,6 MPa; 

2 = -10,6 MPa; 

max = -63,1 MPa.

med = 52,5 MPa

s2 = 28,15°

54

9.79 – Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois estados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine o estado de tensão resultante como referência a um elemento orientado.

55

Tensão de cisalhamento máxima absoluta

É possível desenvolver equações de transformação de tensão e determinar as componentes de e em qualquer plano oblíquo do elemento.

Também pode-se determinar uma orientação sobre cujas faces ajam somente tensões principais.

56

Parte-se da condição de tensão triaxial, isto é, com a orientação principal do elemento e as tensões principais conhecidas.

57

2

2

minmaxmed

minmaxmax abs

Tensão de cisalhamento máxima absoluta

58

Tensão de cisalhamento máxima absolutaCaso particular no EPT: quando max> 0 e min < 0

Quando max> 0 e int > 0, tendo min = 0, qual o valor da abs máx ?

59

Exemplo 9.15 – O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico está sujeito ao estado plano de tensão. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.

60

a) Construção do círculo

b) Tensões

0 e 16 ,32 minintmax

MPa 162

032

2

MPa 162

032

2

minmaxmed

minmaxmax abs

61

Exercícios9.91 – A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

62

9.90 – A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

63

9.95 – O eixo maciço de diâmetro d = 50 mm está sujeito a torque, momento fletor e força de cisalhamento como mostra a figura. Determine as tensões principais que agem nos pontos A e B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Respostas:

max,A = 5,49 MPa

int,A = 0 MPa

min,A = -0,61 MPa

max abs,A = 3,05 MPa

max,B = 1,29 MPa

int,B = 0 MPa

min,B = -1,29 MPa

max abs,B = 1,29 MPa

64

9.87 – A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à força de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvido no ponto A e no ponto B. Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos.

65

Variações de tensão ao longo de uma viga prismática Em geral uma seção arbitrária a-a ao longo de um eixo, o

cisalhamento interno V e o momento M são desenvolvidos de uma distribuição de tensão de cisalhamento parabólica e distribuição de tensão normal linear.

66

Variações de tensão ao longo de uma viga prismática

67

Variações de tensão ao longo de uma viga prismática

68

69

Exemplo 9.13 – A viga mostrada na figura abaixo está sujeita ao carregamento distribuído w = 120 kN/m. Determine as tensões principais na viga no ponto P, que se encontra na parte superior da alma. Despreze o tamanho dos filetes e as concentrações de tensão neste ponto.

70

Cargas internas: a reação de apoio sobre a viga em B é determinada e o equilíbrio da viga seccionada mostrado ao lado

V = 120 – 36 = 84 kN

M = 120x0,3 – 36x0,15 = 30,6 kN.m

Componentes de tensão no ponto P:

MPa 2,3510104,67

5,710015175000.84

MPa 4,45104,67

)100(106,30

mm104,6712

2005,822

12

230175

6

6

6

4633

It

VQ

I

My

I

71

Tensões principais: pelo círculo de Mohr

O centro do círculo é:

Os pontos de referência A(-45,4; -35,2) e o centro C(-22,7; 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:

Tensões:

MPa 6,64

MPa 2,19

2

1

2,35 e 0 ,4,45 xyyx

MPa 9,417,222,35 22 R

MPa 7,222

04,45

med

6,28

2,577,22

2,35tan2

2

2

1

p

p

72

9.26 – A viga T está sujeita ao carregamento distribuído aplicado ao longo de sua linha central. Determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos.

Respostas:

1,A = 152,15MPa

2,A = 0 MPa

1,B = 0,23 MPa

2,B = -195,23 MPa