19
d r d

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A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento,

Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média,

A Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática Vetorialestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas um

2

Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea,

Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando

a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas numérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalar.

dando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umtratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.Nesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossamaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãoserá com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a

direção edireção edireção edireção edireção edireção edireção edireção eo sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessas

grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.

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Qual a distância entre Qual a distância entre Qual a distância entre Qual a distância entre Recife e São Luís?Recife e São Luís?Recife e São Luís?Recife e São Luís?

1S∆

2S∆rr∆ ∆S1 e ∆S2 são alguns dos

deslocamentos possíveis. Esses deslocamentos são chamados de deslocamentos escalares.

2rr

Vetor posição e vetor deslocamento rr

rr∆

3

Qual a menor distância Qual a menor distância Qual a menor distância Qual a menor distância entre Recife e São Luís?entre Recife e São Luís?entre Recife e São Luís?entre Recife e São Luís?

A menor distância entre duas posições pode ser medida pelo módulo do vetor deslocamento. Este vetor liga o ponto de partida ao ponto de chegada.

O vetor deslocamento(vetor diferença) é aquele que mostra omódulo, a direção e o sentido do menor deslocamento entre duasposições.

α 1rr

finalposiçãovetorr

inicialposiçãovetorr

rrr

2

1

12

−−

−=∆

r

r

rrr

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Resumindo...

Trajetória(+)

0

Posição inicial

Posição finalrr∆

S∆

1rr

rr

rSr∆≥∆

4

Trajetória(+)2rα

S∆rSr∆=∆

rr∆

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Velocidade Média Vetorial (Características)

S∆

escalarmédiaveloct

SVm

.∆∆=

rr∆

0

Trajetória(+)

Posição inicial

Posição finalmVr

5

escalarmédiaveloc.

vetorialmédiaveloct

rVm

.∆∆=r

r

Trajetória(+)

rt

r∆∆

= .1 Módulo :

Direção e sentido: os mesmos de

t

rVm ∆

∆=

rr

rr∆

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Exemplo 1Exemplo 1

No mapa destacamos a trajetória descrita por um automóvel em movimento entre o

Colégio São Luís e o IFPE(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco). Essa trajetória tem comprimento de 9,6 km e gastou-se aproximadamente 20 min para cumprir todo o trajeto.

a) Qual o módulo da velocidade média escalar do automóvel entre as posições A e B? b) Represente o vetor deslocamento entre as posições A e B e calcule o seu móduloc) Qual o módulo, direção e sentido da sua velocidade média vetorial?

hkmh

km

t

SVm /8,28

3

16,9 ==

∆∆=

r3

rr∆escala pela odeterminad - kmr 7,5=∆

r

hkmt

rVm /1,17

3

17,5 ==

∆∆

=r

r

mVr

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Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Um móvel percorre, no sentido anti-horário, uma trajetória circular de raio 10 m. Nos instante de t0= 0 e t1 = 3 s ele se encontra nas posições indicadas na figura. Determine sua velocidade média escalar, o módulo, a direção e o sentido da sua velocidade média vetorial . Dado cos45º=0,7

s3t =

7

45º 0t0 =

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escalar.inst.veloct

SlimV

ainstantâne

velocidade

a definiçãopor

0t ∆∆=

→∆ vetorial.inst.veloct

rlimV

por dada será vetorial

ainstantâne e velocidada então

0t ∆∆=

→∆

rr

r vr

Velocidade Instantânea Vetorial (Características)

CONSEQÜÊNCIA DO ∆t TENDER A ZERO

8

r v

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CARACTERÍSTICAS DO VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA

• Ele é sempre tangente à trajetória.• E tem sempre o sentido do movimento.

9

RESUMINDO

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Aceleração Média Vetorial (Características)

0

0Vr

vetorialmédia aceleração

DV-VV onde ,t

Va 0m

rrrrr

r ==∆∆∆=

Trajetória(+)

Vr

escalar média aceleração

V-VV onde ,t

Va 0m =∆

∆∆=

t

DVam ∆

=∆=

rr

r

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0 Trajetória

0Vr

Vr

0Vr

0VVVDrrrr

−=∆=

α

αcos.2V.V- V² V²²D 00+=

amoparalelogr do métodomar

mar

polígono do método

00

t

DVam ∆

=∆=

rr

r

velocidade de variaçãovetor

do sentido mesmo o e direção mesma

a tem médio aceleraçãovetor o assim ,.1

Vtt

Vam

rr

r ∆∆

=∆∆=

0Vr

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Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Um móvel percorre um movimento circular com velocidade escalar constante de 6 m/s. Nos instante de t0= 0 a t1 = 3 s ele descreve 1/2 da circunferência. Determine sua aceleração média vetorial.

t0= 0 0vr RESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃO

�Representar os vetores velocidade instantânea

movimento

t

DVam ∆

=∆=

rr

r

12

t1 = 3 s vr

t∆

Observe que os vetores estão em sentidos opostos. Assim o módulo do vetor variação de velocidade(vetor diferença) será calculado pelo caso particular

s/m1266Dv =+==∆rr

2

m s/m43

12a ==r

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curto. muito tempo

de intervalo num vetorial média aceleração a igual é

vetorial ainstantâne aceleração a seja, ou ,

será vetorial ainstantâne aceleração a definiçãoPor

t

V

ta

∆∆

→∆=

rr

0lim

CONSIDERAÇÕES

Vr

A aceleração vetorial sempre se encontra dentro da curva formando um ângulo com a velocidade vetorial. A direção

Aceleração Instantânea Vetorial (Características )

ar

θvelocidade vetorial. A direção depende dos módulos das velocidades inicial e final

Se 0º<θ<90º - movimento acelerado

Se θ=90º - movimento uniforme

Se 90º<θ<180º - movimento retardadoainstantâne velocidade −V

r

vetorial aceleração −ar

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Componentes da Aceleração Vetorial

Vr

θcar

tar

arca

MRUV do equações - al tangenciaceleração - at

r

a trajetórida raio o é R onde ,R

Va - centrípeta aceleração a

2

cc =− rr

vetorial aceleração da módulo a

vetorial equação

:que observamos figura Na

²²² ct

ct

aa

aaarvr

vrr

+=+=

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at aC

Quadro resumo

15

MRUMRUMRUMRU ZERO ZERO

MRUVMRUVMRUVMRUV DIF. DE ZERO

ZERO

MCUMCUMCUMCU ZERO DIF. DE ZERO

MCUVMCUVMCUVMCUV DIF. DE ZERO

DIF. DE ZERO

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Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2

Em determinado instante, o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula são representados na figura abaixo.

a) Qual a intensidade da aceleração escalar ?b) Qual o raio de curvatura R da trajetória ?

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Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3

Uma partícula P move-se em trajetória circular de centro O, tendo velocidade escalar v0 = 8,0 m/s no instante t = 0. No instante t = 1,0 s a aceleração vetorial instantânea tem módulo 20 m/s² e está representada no

desenho seguinte. Sabendo que senθ=0,60 e cosθ= 0,80; calcule:

a) o módulo da aceleração escalar em t= 1,0 s;b) o módulo da aceleração centrípeta no instante t =1,0 s;c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s;

17

c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s;d) o raio da trajetória.

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Exemplo 4 Exemplo 4 Exemplo 4 Exemplo 4

Um corpo partindo do repouso realiza movimento uniformemente variado com aceleração escalar 3 m/s² sobre uma pista circular de raio 100 m. No instante t = 10s, determine:a) o módulo da velocidade escalar do móvel;b) o módulo da sua aceleração tangencial;e) o módulo da sua aceleração centrípeta;d) o módulo da sua aceleração.

18

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Exemplo 5 Exemplo 5 Exemplo 5 Exemplo 5

Um móvel descrevendo um M.C.U.V tem, em um dado instante, velocidade de módulo v = 10 m/s e aceleração de módulo a = 8 m/s² conforme a figura abaixo.a) O movimento do móvel é acelerado ou retardado? Justifique.b) Qual é o módulo da aceleração tangencial desse móvel?e) Para o instante retratado, qual é o módulo da aceleração centrípeta?d) Qual é o raio da trajetória circular descrita pelo móvel?

19

d) Qual é o raio da trajetória circular descrita pelo móvel?