Elementos de um sistema mecacircnico

Prof Jorge Formiga

Aula 2

jorgeformigaetepedubr

Objetivos

-Conhecer os elementos de um sistema

mecacircnico bem como entender o

funcionamento e associaccedilatildeo deles em

diferentes modelos

3

Elementos do sistema mecacircnico

molas

Linear

Natildeo-linear

massas amortecedores

viscoso

seco

estrutural

Introduccedilatildeo

k

m

c

x(t)

y(t)

m massa do veiacuteculokg

k rigidez elaacutesticaNm

c constante amortecimento Nms)

x(t) deslocamento vertical do cmm

y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom

Lembre-se

Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade

4

5

Classificaccedilatildeo

Linear

Natildeo linear

Mola linear

Mola natildeo-linear macia

Mola natildeo-linear dura F

0

x

Rigidez

Experimental

Teoacuterica

ou

k = Fx -gt longitudinal

k= Tθ -gt torccedilatildeo

UnidadesNm e Nmrad

Molas

6

Exemplo Barra de traccedilatildeo

Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma

deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento

L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua

rigidez

F

L

E A

Sabemos que

e

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

Objetivos

-Conhecer os elementos de um sistema

mecacircnico bem como entender o

funcionamento e associaccedilatildeo deles em

diferentes modelos

3

Elementos do sistema mecacircnico

molas

Linear

Natildeo-linear

massas amortecedores

viscoso

seco

estrutural

Introduccedilatildeo

k

m

c

x(t)

y(t)

m massa do veiacuteculokg

k rigidez elaacutesticaNm

c constante amortecimento Nms)

x(t) deslocamento vertical do cmm

y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom

Lembre-se

Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade

4

5

Classificaccedilatildeo

Linear

Natildeo linear

Mola linear

Mola natildeo-linear macia

Mola natildeo-linear dura F

0

x

Rigidez

Experimental

Teoacuterica

ou

k = Fx -gt longitudinal

k= Tθ -gt torccedilatildeo

UnidadesNm e Nmrad

Molas

6

Exemplo Barra de traccedilatildeo

Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma

deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento

L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua

rigidez

F

L

E A

Sabemos que

e

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

3

Elementos do sistema mecacircnico

molas

Linear

Natildeo-linear

massas amortecedores

viscoso

seco

estrutural

Introduccedilatildeo

k

m

c

x(t)

y(t)

m massa do veiacuteculokg

k rigidez elaacutesticaNm

c constante amortecimento Nms)

x(t) deslocamento vertical do cmm

y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom

Lembre-se

Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade

4

5

Classificaccedilatildeo

Linear

Natildeo linear

Mola linear

Mola natildeo-linear macia

Mola natildeo-linear dura F

0

x

Rigidez

Experimental

Teoacuterica

ou

k = Fx -gt longitudinal

k= Tθ -gt torccedilatildeo

UnidadesNm e Nmrad

Molas

6

Exemplo Barra de traccedilatildeo

Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma

deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento

L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua

rigidez

F

L

E A

Sabemos que

e

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

k

m

c

x(t)

y(t)

m massa do veiacuteculokg

k rigidez elaacutesticaNm

c constante amortecimento Nms)

x(t) deslocamento vertical do cmm

y(t) excitaccedilatildeo em deslocamentom

Lembre-se

Suspensatildeo de um veiacuteculo modelado a 1 grau de liberdade

4

5

Classificaccedilatildeo

Linear

Natildeo linear

Mola linear

Mola natildeo-linear macia

Mola natildeo-linear dura F

0

x

Rigidez

Experimental

Teoacuterica

ou

k = Fx -gt longitudinal

k= Tθ -gt torccedilatildeo

UnidadesNm e Nmrad

Molas

6

Exemplo Barra de traccedilatildeo

Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma

deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento

L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua

rigidez

F

L

E A

Sabemos que

e

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

5

Classificaccedilatildeo

Linear

Natildeo linear

Mola linear

Mola natildeo-linear macia

Mola natildeo-linear dura F

0

x

Rigidez

Experimental

Teoacuterica

ou

k = Fx -gt longitudinal

k= Tθ -gt torccedilatildeo

UnidadesNm e Nmrad

Molas

6

Exemplo Barra de traccedilatildeo

Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma

deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento

L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua

rigidez

F

L

E A

Sabemos que

e

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

6

Exemplo Barra de traccedilatildeo

Seja por exemplo uma barra submetida agrave traccedilatildeo F apresentando uma

deformaccedilatildeo x conforme fig 22 A mola tem seccedilatildeo constante A comprimento

L e moacutedulo de elasticidade longitudinal (Moacutedulo de Young) E Calcular a sua

rigidez

F

L

E A

Sabemos que

e

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

7

Exemplo Barra de torccedilatildeo

Deduzir uma expressatildeo para a rigidez de uma mola do

tipo barra de torccedilatildeo de comprimento L momento de

ineacutercia polar constante Ip moacutedulo de elasticidade

transversal G submetida a um torque T

Sabemos que

Conclusatildeo A rigidez natildeo depende

da forccedila

e

Caacutelculo da rigidez

8

associaccedilatildeo

paralelo seacuterie inclinada

k = k1 cos2 α 1 keq = 1k1 + 1k2++kn keq = k1 + k2++kn

Associaccedilatildeo de molas

9

Exemplo

O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo

ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola

em paralelo Determine a constante elaacutestica

equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs

molas helicoidais for fabricada em accedilo com

moacutedulo de elasticidade transversal G=80

109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro

meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do

arame d=2 cm

Sabemos que para uma mola temos

Para o conjunto de molas em paralelo

Associaccedilatildeo de molas

10

Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo

mostrado na figura baixo

Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2

11

Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3

Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo

12

amortecedor

viscoso

Ocorre entre

soacutelido e fluido

viscoso

Unidade do c Nms

Unidade do c

Nmsrad

Seco

(constante ou

Coulomb)

Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo

estrutural

Atrito interno entre

moleacuteculas

Amortecedores Forccedilas de viscosidade

13

Associaccedilotildees de Amortecedores

bullassociaccedilatildeo seacuterie

bullassociaccedilatildeo paralela

bullassociaccedilatildeo inclinada

Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou

inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as

molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo

dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

9

Exemplo

O sistema de suspensatildeo de um vagatildeo

ferroviaacuterio de carga possui um sistema de mola

em paralelo Determine a constante elaacutestica

equivalente da suspensatildeo se cada uma das trecircs

molas helicoidais for fabricada em accedilo com

moacutedulo de elasticidade transversal G=80

109Nm2 e tiver cinco espiras efetivas diacircmetro

meacutedio do enrolamento D=20 cm diacircmetro do

arame d=2 cm

Sabemos que para uma mola temos

Para o conjunto de molas em paralelo

Associaccedilatildeo de molas

10

Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo

mostrado na figura baixo

Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2

11

Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3

Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo

12

amortecedor

viscoso

Ocorre entre

soacutelido e fluido

viscoso

Unidade do c Nms

Unidade do c

Nmsrad

Seco

(constante ou

Coulomb)

Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo

estrutural

Atrito interno entre

moleacuteculas

Amortecedores Forccedilas de viscosidade

13

Associaccedilotildees de Amortecedores

bullassociaccedilatildeo seacuterie

bullassociaccedilatildeo paralela

bullassociaccedilatildeo inclinada

Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou

inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as

molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo

dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

10

Exemplo Determine a constante elaacutestica torcional do eixo de heacutelice em accedilo

mostrado na figura baixo

Calculando k para barra do ponto 1 ateacute 2

11

Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3

Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo

12

amortecedor

viscoso

Ocorre entre

soacutelido e fluido

viscoso

Unidade do c Nms

Unidade do c

Nmsrad

Seco

(constante ou

Coulomb)

Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo

estrutural

Atrito interno entre

moleacuteculas

Amortecedores Forccedilas de viscosidade

13

Associaccedilotildees de Amortecedores

bullassociaccedilatildeo seacuterie

bullassociaccedilatildeo paralela

bullassociaccedilatildeo inclinada

Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou

inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as

molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo

dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

11

Calculando k para barra do ponto 2 ateacute 3

Jaacute que as molas estatildeo em seacuterie entatildeo

12

amortecedor

viscoso

Ocorre entre

soacutelido e fluido

viscoso

Unidade do c Nms

Unidade do c

Nmsrad

Seco

(constante ou

Coulomb)

Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo

estrutural

Atrito interno entre

moleacuteculas

Amortecedores Forccedilas de viscosidade

13

Associaccedilotildees de Amortecedores

bullassociaccedilatildeo seacuterie

bullassociaccedilatildeo paralela

bullassociaccedilatildeo inclinada

Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou

inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as

molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo

dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

12

amortecedor

viscoso

Ocorre entre

soacutelido e fluido

viscoso

Unidade do c Nms

Unidade do c

Nmsrad

Seco

(constante ou

Coulomb)

Ocorre entre dois soacutelidos sem lubrificaccedilatildeo

estrutural

Atrito interno entre

moleacuteculas

Amortecedores Forccedilas de viscosidade

13

Associaccedilotildees de Amortecedores

bullassociaccedilatildeo seacuterie

bullassociaccedilatildeo paralela

bullassociaccedilatildeo inclinada

Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou

inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as

molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo

dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

13

Associaccedilotildees de Amortecedores

bullassociaccedilatildeo seacuterie

bullassociaccedilatildeo paralela

bullassociaccedilatildeo inclinada

Os amortecedores podem estar dispostos em seacuterie em paralelo articulados ou

inclinados Podemos demonstrar de maneira semelhante agrave que foi feita para as

molas que os coeficientes de amortecimento viscoso equivalentes satildeo

dados por foacutermulas anaacutelogas agraves das rigidezes equivalentes das molas isto eacute

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

14

Exemplo Amortecedor de ecircmbolo

Coeficiente de amortecimento

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

15

Exemplo Fresadora horizontal

Se o centro de massa

estiver no centro da

fresadora o coeficiente

de amortecimento e a

rigidez equivalente seraacute

dada respectivamente

por

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

16

No nosso sistema padratildeo a massa (ou a ineacutercia) eacute considerada como

um corpo riacutegido podendo ganhar ou perder energia cineacutetica

conforme sua velocidade aumente ou diminua Os problemas que

normalmente surgem satildeo

(1) existem vaacuterias massas no sistema e haacute necessidade de se encontrar uma

massa equivalente de modo a se obter o sistema padratildeo com apenas uma

massa

(2) existem vaacuterios eixos ligados entre si por engrenagens correias ou correntes etc e

haacute necessidade de reduzir o sistema original a um sistema padratildeo constando de

apenas um eixo de rigidez amortecimento e ineacutercia equivalente isto eacute haacute

necessidade de transferir rigidez amortecimentos e ineacutercias de um eixo para outro

Elemento de massa ou ineacutercia

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

17

Princiacutepio da Energia Cineacutetica

A energia cineacutetica de um sistema massa-mola translacional eacute dada pela

expressatildeo

No caso de um sistema torcional a energia cineacutetica eacute dada por

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

18

Exemplo -Massa de translaccedilatildeo ligada por uma barra riacutegida

Considere as massas ligadas a uma barra riacutegida articulada em uma

extremidade como mostrado na figura abaixo (a) Podemos supor que a

massa equivalente estaacute localizada em qualquer ponto ao longo da

barra Para sermos especiacuteficos supomos que a localizaccedilatildeo da massa

equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 ( ) e

m3 ( ) podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 ( )

se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para barra como

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

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Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

Exerciacutecios para o ED

19

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

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Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

Determine a constante da mola equivalente no sistema abaixo

Exerciacutecio 0

20

b)

a)

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

bull Apostila do curso de fundamentos de vibraccedilotildees do professor Dr Newton Sure Soeiro

bull Apostila do curso de vibraccedilotildees mecacircnicas do Prof Dr Samuel da Silva do Centro de

Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

A lanccedila AB do guindaste mostrado na figura abaixo eacute uma barra de accedilo

uniforme de comprimento de 10 m e aacuterea da seccedilatildeo transversal de 2500

mm2 Um peso W eacute suspenso enquanto o guindaste permanece

estacionaacuterio O cabo CDEBF eacute feito de accedilo e tem uma aacuterea de seccedilatildeo

transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a

constante elaacutestica equivalente do sistema na direccedilatildeo vertical

Resposta 2643106 Nm

21

Exerciacutecio 1

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

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Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

22

2-Um eixo de heacutelice composto fabricado em accedilo e

alumiacutenio eacute mostrado abaixo

Dados

Gaccedil=80 109 Nm2

Gal=26 109 Nm2

k=Gπ(D4-d4)(32 L)

(a)Determine a constante torcional do eixo

(b) Determine a constante torcional do eixo composto quando o diacircmetro

interno do tubo de alumiacutenio for 5cm em vez de 10cm

Resposta

Exerciacutecio 2- Rao pag41

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

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Referecircncias

Exerciacutecio 3-

Resposta

Novo ponto da

forccedila aplicada

23

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

bull Rao S S Vibraccedilotildees mecacircnicas Satildeo Paulo-SP Pearson Prentice Hall 2008

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Engenharia e ciecircncias Exatas da Universidade Estadual do Paranaacute

Referecircncias

24

Exerciacutecio 4-

Resolva o exemplo 6 (paacuteg 18) considerando o ponto B como ponto da

massa equivalente

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

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Referecircncias

25

Exerciacutecio 5- Massa de translaccedilatildeo e rotacional acoplada(Rao

paacuteg16)

Seja o sistema pinhatildeo-cremalheira da figura abaixo em que o pinhatildeo de

momento de ineacutercia J0 gira com velocidade angular acionando a

cremalheira de massa m a uma velocidade linear Achar

(a) massa equivalente translacional meq

(b) massa equivalente rotacional Jeq

Respostas

a)

b)

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

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amortecimento

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Referecircncias

Exerciacutecio 6 Determine uma uacutenica constante de amortecimento equivalente para

os casos abaixo

Quando os trecircs amortecedores estatildeo em paralelo

resposta ceq=c1+c2+c3 Quando os trecircs amortecedores estatildeo em seacuterie

respostaceq=(c1c2c3)(c2c3+c1c3+c1c2) Quando os trecircs amortecedores estatildeo conectados a uma barra riacutegida

(Figura abaixo)e o amortecedor equivalente estaacute no ponto c1

respostaCeq=c1+c12(l2l1)+c3(l3l1)

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

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amortecimento

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Referecircncias

Exerciacutecio 7- Determine a constante elaacutestica da barra bimetaacutelica

mostrada na figura abaixo

Sugestatildeo utilize

resposta58 109 Nm

Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

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Um tabor de iccedilamento equipado com um cabo de accedilo eacute

montado na extremidade de uma viga em balanccedilo como

mostrado na figura abaixo Determine a cosntante elaacutestica

equivalente do sistema quando o comprimento de

suspensatildeo do cabo eacute L e sua frequencia natural de

oscilaccedilatildeo Admita que o diacircmetro efetivo da seccedilatildeo

transversal do cabo eacute d e que o moacutedulo de Yong da viga e

do cabo eacute E Dica I=(112)ab3

Exerciacutecio 8

Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

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Kplaca=EAt34b3

Kcabo=EAl

resposta

Exerciacutecio 9 Verificou-se que um mancal que pode ser aproximado com duas placas

planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

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planas separadas por uma fina peliacutecula de lubrificante oferece uma

resistecircncia de 400N quando eacute usado oacuteleo SAE30 como lubrificante e a

velocidade relativa entre as placas eacute 10 ms Se a aacuterea das placas (A) for 01

m2 determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do

oacuteleo seja 50μ reyn(librasforccedilasegundopolegada quadrada) ou 120641=03445

Pas(Pascal segundo-SI)

Dica

F=cv

e

C=120641Ah

Resposta0861mm

Exerciacutecio 10 Projete uma mola helicoidal de compressatildeo em accedilo que satisfaccedila os seguintes

requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

amortecimento

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requesitos

- rigidez da mola kgt=8000Nmm

- Frequecircncia natural fundamental de vibraccedilatildeo fgt=04 Hz

-Indice da mola (Dd)gt=6 -Nuacutemeros de espiras ativas N gt=10

Obs a rigidez e a frequecircncia natural fundamental da mola satildeo dadas por

Onde G= moacutedulo de elasticidade transversal

D= diacircmetro do enrolamento

D=diacircmetro do arame

W= peso da mola

g= constante gravitacional

119896 =1198661198894

81198633119873 119891 =

1

2 119896 119892

119882

Anexo 2 Modulo de Elasticidade E(Young) moacutedulo de elasticidade

transversal G e coeficiente de Poisson ע

Anexo 1

Anexo 2 Coeficientes de

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transversal G e coeficiente de Poisson ע

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amortecimento

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amortecimento

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amortecimento

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