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Frmulas Matemt icas*

Equao do Segulldo Grau

SellX~ + b-x + c= O.

Teorema Binomial

nx 11(1! - 1 )x l (1+.1)""'" 1+ -+ + ... 1 ! 2:!

(J." < 1)

Produtos de Velores

S..:ja (J o menor do .. dois ngulos entre e b. Nei>se ca~o,

ii I; = b ii = a,b~ + a,h + (Lb = llhL"O'.)(J

I' , , )( b = -b )( = la. a, a,

b, b, b,

'Ia. a, I b, b. == (a,b, - b,a,)I + (a,b~ - b"u.)J + (a,h, - b.a,)k

' Xb = abscn6

Ide"tidades Trigonomtricas

'iCncr M:n{3;. 2sen ~ (cr .:!: (3)cos~(l;;;; (3)

'Um~ lisla mal' wmplcta ~'I noApClldke E.

Prefixos do SI Falor Prefixo Smbolo

10" yOHa Y I ()21 1etta Z

IO I~ cxa E JOI~ peta P

IOI~ tera T 10' giga G 1ft Illcga M 10' qui lo k 10' heclo h 10' deca d,

Deri",adas e Integrais

d -;J; scnx - cos x

d -cosx - -senx dx

d -~=r' dx

J'>Cnxdx = - cosx

fCOSXdX ",,~J1X fr'dx =e'

f dx ~ rr-:----, = ln(x + "r + 11 -) 'Ir + u-J (xl: d;2)Y2 J (Xl +~2)3f2 x

Regra de Cramer

Um si .. tema de duas equac!. com dua.') incgn itas x c .l',

a1x + hl)' = CI e lI:1" + b~\' = el'

tem como solues

I" ~I e, Clb:z - CPI x- la, b, Q1bl a,l> ,

a, b, ,

a, e'l a, e, II IC1 - UzCl y- = la, ~I Qlb:z - ath! . a,

Fator Prefixo Smbolo 10- 1 dci d \0-2 centi c 10- 3 mili m 10 ' micro

" 10-9 nano n lO-I] pico P 10- 15 remiu f 10 UI ,no , 10-11 lcplO Z 10-"4 )'OClo y

Fundamentos de Fsica

-

VOLUME 2

530 H155f v.2 8. ad. v.2/ FE

GRAVITAAO, ONDAS E TERMODI NM ICA

I I I II I ~NC~MP - FE - BIBLIOTECA I

. ,c . ~n~~",~ ; 1807 = : GjWlLEY :

; 2007 ; ,

D uzentos anos de tradio produzindo. publicando e come rcializando livros. Este o va lor da marca Wiley que, desde sua fundao. em l807.acompanha as mudanas polticas. sociais e econmicas ocorridas em todo o mundo.

Renomada pcla divulgao das mais recentes teorias e tcnicas acadmicas nas reas cien tfica, tecnolgica e de engenharia. a editora norte-ame ricana promove. assim. o intercmbio e o debate globais.

A tradicional parceria da LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A.. edi tora integran te do GEN I Grupo Editorial Nacional. com a John Wiley & Sons. lnc . responde. em parte, por esse sucesso no Brasil. uma vez que traz para O mercado conceitos tcnico-cientficos de ponta essenciais para a formao das futuras ge raes de profissionais e pesquisadores.

HALLI DAY /RESNICK

Fundamentos de Fsica

Traduo e Reviso Tcnica Ron.ldo Srgio de Bi.si, Ph.D.

Jearl Walker Cleveland State Unive rsity

Professor1itular do Instituto Militar de Engenharia ~ IME

.*. @;n LTC

VOLUME 2

j ,UNICAMP - FE - BIBLIOTECj

Os autores e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crdi to a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer materia l utili/_ado neste livro. dispondo--

~ a possfveis acertos caso. inadvertid'lInente. a identificao de algum dele, tenha ,ido omitida.

No responsabilidade da editora nem do~ autores evenruais dano-. ou perda, a pessoas ou ben~ que tenham origem no uso dest:! publil.:ao.

FUN DAMEI\'TALS OF PHYSICS Eighth Edition Volume I Copyright O 200R John Wi1ey & Sons, Inc. AI! Righb Reserved. This Iranslalion pub li ~ hed under Iicense.

Direitos exclusivos para a I(ngua por1uguc~ Copyright C 2009 by LTC - Lhros Tknicose Cientfkos Editora S.A. Uma edilora integrante do GEN I Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. proibida a duplicao ou reproduo deste \olume. no todo 0\1 cm parte. sob quaisquer fonnas ou por quaisquer meios (elelInico. mCl.:lnico. gra\'ao. fotocpia. distribuio na internet ou outros), ioem permiss

Volume 1 Captulo 1 Medio ', Captulo 2 Movimento Retilneo Capitulo 3 Vetares Captulo 4 Movimento em Duas e Trs

Dimenses Captulo 5 Fora e Movimento - I Capitulo 6 Fora e Movimento - II Captulo 7 Energia Cintica e Trabalho Captulo 8 Energia Potencial e Conservao

da Energia Capitulo 9 Centro de Massa e Momento

Linear Captulo 10 Rotao Captulo 11 Rolamento, Torque e Momento

Angular

Volume 2

Captu lo 12 Equilbrio e Elasticidade Captulo 13 Gravitao Captulo 14 Fluidos Captulo 15 Oscilaes Captulo 16 Ondas - I Ca pitulo 17 Ondas - II Capitulo 18 Temperatura, Calor e Primeira Lei

da Termodinmica Captulo 19 A Teoria Cintica dos Gases Capitulo 20 Entropia e a Segunda Lei da

Termodinmica

, .

ri r

Volume 3

Captulo 21 Cargas Eltricas Captulo 22 Campos Eltricos Captulo 23 Lei de Gauss Captulo 24 Potencial Eltrico Captulo 25 Capacitncia Capitulo 26 Corrente e Resistncia Captulo 27 Circuitos Captulo 28 Campos Magnticos Captulo 29 Campos Magnticos Produzidos

por Correntes Captulo 30 Induo e Indutncia Capitulo 31 Oscilaes Eletromagnticas e

Corrente Alternada Captulo 32 Equaes de Maxwell; Magnetismo

da Matria

Volume 4 Captulo 33 Ondas Eletromagnticas Captulo 34 Imagens Cap tulo 35 Interferncia Captulo 36 Difrao Captu lo 37 Relatividade Cap tulo 38 Ftons e Ondas de Matria Capitulo 39 Mais Ondas de Matria Captulo 40 Tudo sobre os tomos Captulo 41 Conduo de Eletricidade nos

Slidos Captulo 42 Fsica Nuclear Captulo 43 Energia Nuclear Captulo 44 Quarks, Lptons e o Big Bang

Apndices/Respostas dos Testes e das Perguntas e Problemas Impares/fndice

VOLUME 2

iI'~ Equilbrio e Elasticidade 1 p, r que a pequena inclinao da torre de Pisa coloca a

)'1struo em risco? 12-' O que t. Fsica? 2 122 Equilbrio 2 12-3 As Condies de Equilbrio 3 12-4 O Centro de Gravidade 5 12-5 Alguns Exemplos de Equilbrio Esttico 6 12-6 Estruturas Indeterminadas 11 127 Elasticidade 12 Reviso e Resumo 16 Perguntas 16 I Problemas 17

OO Gravitao 27 Qual o monstro que esta escondido no centro da

'8 Lctea? 13-' O que t Fsica? 28 13-2 A Lei da Gravitao de Newton 28 13-3 Gravitao e o Princpio de Superposio 30 13-4 A Gravitao nas Proximidades da

Superfcie da Terra 32 13-5 A Gravitao no Interior da Terra 35 13-6 Energia Potencial Gravitacional 36 13-7 Planetas e Satlites: As Leis de Kepler 40 138 Satlites: rbitas e Energia 43 13-9 Einstein e a Gravitao 45 Reviso e Resumo 47 Perguntas 48/ Problemas 49

i!:1 Fluidos 57 Como um surfista surfa? 14-1 O que t Fsica? 58 14-2 O que t. um Fluido? 58 14-3 Massa Especfica e Presso 58 14-4 Fluidos em Repouso 61 14-5 Medindo a Presso 63 14-6 O Princpio de Pascal 64 14-7 O Princpio de Arquimedes 66

14-8 Fluidos Ideais em Movimento 69 14-9 A Equao de Continuidade 70 14-10 A Equao de Bernoulli 72 Reviso e Resumo 76 Perguntas 77 / Problemas 78

lil:l Oscilaes 86 Como possvel atenuar as oscilaes inofensivas, mas desagradveis, que o vento produz em um edifcIo muito alto? 15-1 O que t. Fsica? 87 15-2 Movimento Harmnico Simples 87 15-3 A lei do Movimento Harmnico Simples 90 15-4 A Energia do Movimento Harmnico Simples 93 15-5 Um Osci lador Harmnico Simples Angular 94 15-6 Pndulos 9S 15-7 Movimento Harmnico Simples e Movimento

Circular Uniforme 99 15-8 Movimento Harmnico Simples Amortecido 101 15-9 Oscilaes Foradas e Ressonncia 103 Reviso e Resumo 104 Perguntas 105/ Problemas 106

m Ondas - I 115 o que provoca as oscilaes. s vezes perigosas, de passarelas e pistas de dana? 16-1 O que t Fsica? 116 16-2 Tipos de Ondas 116 16-3 Ondas Transversais e longitudinais 116 16-4 Comprimento de Onda e Freqncia 118 16-5 A Velocidade de uma Onda Progressiva 121 16-6 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada 124 16-7 Energia e Potncia de uma Onda Progressiva

em uma Corda 126 16-8 A Equao de Onda 128 16-9 O Princpio da Superposio de Ondas 129 16-10 Interferncia de Ondas 130 16-11 Fasores 132

_ Sumrio

16-12 Ondas Estacionarias 134 16-13 Ondas Estacionarias e Ressonncia 136 Reviso e Resumo 139 Perguntas 140 1 Problemas 141

ilr) Ondas - II 149 o que produz um eco musical nas escadas de uma pirmide dos maias? 171 O que t. Fsica? 150 17-2 Ondas Sonoras 150 17-3 AVeloeidade do Som 150 17-4 Ondas Sonoras Progressivas 153 17-5 Interferncia 156 17-6 Intensidade e Nvel Sonoro 158 17-7 Fontes de Sons Musicais 161 17-8 Batimentos 164 17-9 O Efeito Doppler 165 17-10 Ve locidades Supersnicas, Ondas de Choque 169 Reviso e Resumo 170 Perguntas 171/ Problemas 172

ii:) Temperatura. Calor e Primeira Lei da Termodinmica 182

Como um besouro e capaz de detectar um incndio na floresta a uma grande distncia sem usar a viso nem o olfato? 18-1 Oquet:Fsica? 183 18-2 Temperatura 183 18-3 18-4

A Lei Zero da Termodinmica 183 Medindo a Tempe ratura 184

18-5 As Escalas Celsius e Fahrenheit 186 18-6 Dilatao Trmica 188 18-7 Temperatura e Calor 190 18-8 A Absoro de Calor por Slidos e Lquidos 191 18-9 Calor e Trabalho 195 18-10 A Primeira Lei da Termodinmica 196 18-11 Alguns Casos Especiais da Primeira Lei da

Termodinmica 198 18-12 Mecanismos de Transferncia de Calor 200 Reviso e Resumo 204 Perguntas 205/ Problemas 207

iL"l A Teoria Cintica dos Gases 215 o que produz a nvoa que aparece no ar quando uma garrafa de bebida gasosa aberta? 19-1 Oquet:Fsica? 216 19-2 o Nmero de Avogadro 216

19-3 19-4

19-5

Gases Ideais 217 Presso, Temperatura e Velocidade Mdia Quadrtica 220 Energia Cintica de Translao 222

19-6 Livre Caminho Mdio" 223 19-7 A Distribuio de Velocidades das Molculas 225 19-8 Os Calores Especficos Molares de um

Gs Ideal 228 19-9 Graus de liberdade e Calores Especficos

Molares 232 19-10 Efeitos Qunticos 235 19-11 A Expanso Adiabtica de um Gs Ideal 235 Reviso e Resumo 239 Perguntas 240/ Problemas 241

f'~.] Entropia e a Segunda Lei da Termodinmica 247

Qual a relao entre um elstico esticado e o sentido do tempo? 20-1 O que t Fsica? 248 20-2 Processos Irreversveis e Entropia 248 20-3 Variao de Entropia 249 20-4 A Segunda Lei da Termodinmica 253 20-5 Entropia no Mundo Real: Mquinas Trmicas 255 20-6 Entropia no Mundo Real: Refrigeradores 259 20-7 A Eficincia de Mquinas Trmicas Reais 261 20-8 Uma Viso Estatstica da Entropia 262 Reviso e Resumo 266 Perguntas 267 I Problemas 268

_ Ap ndices 273 A ('I Sistema Internacional de Unidades (SI) 273 B A,gumas Constantes Fundamentais da Fsica 275 C Alguns Dados Astronmicos 276 D Fatores de Converso 277 E Frmulas Matemticas 281 F Propriedades dos Elementos 284 G Tabela Peridica dos Elementos 287

Respostas dos Testes (T) e das Perguntas (P) e Problemas 1m pares (PR) 288

Indice 291

Tambrndo:signado caminho mdio livre. (N.E.)

Diverso com um grande desafio. assim que venho enca~ rando a fsica desde o dia cm que Sharon. uma das al unas do curso que eu estava min istrando como aluno de doutorado. me pe rguntou de repente:

- O que isso tem a ver com !l minha vida? Respond i pronta men te:

- Sharon. isso fsica! Tem tudo a ver com a sua vida!

A moa me pediu um exemplo. Dei tratos bola, mas no consegui encontrar nen hum. Naquela noite criei O Circo Voador da F'ica para Sharon. mas tambm para mim, porque percebi que o problema de Sharon tambm era meu. Tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de fsica escritos com a mel hor das intenes, mas alguma coisa ~tava faltando. A fsica o assunto mai s interessante do mu ndo porque descreve o modo como o mundo funciona. mas no havia nos livros qualquer ligao com o mundo ruI. A diverso estava faltando.

Procurei incluir muita fsica do mundo real neste livro. hgando-o nova edio de O Circo Voador da Fsica. Boa pane dos assuntos vem das minhas aulas. onde posso jul-gar. pelas expresses e comentrios dos alunos. quais so os assuntos e apresentaes que funcionam. As notas que IOme i a respeito de meus sucessos e fracassos aj udaram a e;tabelecer as bases para este livro. Minha mensagem aqui l a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia cm que Sharon fez aque le comentrio:

- Sim. voc pode usar os conceitos

Pr ' i aos professores um instrumento atravs do qual possam ensi-nar os alunos a estudar assuntos cientficos. identificar con-ceitos fundamentais. pensar a respeito de questes cientficas e resolver problemas quantitativos.. Esse processo no fcil. nem para os alunos nem para os professores. a verdade. o curso associado a este livro pode ser um dos mais difceis do currculo. Enlretanto. pode ser tambm um dos mais interessantes. pois revela os mecanismos fundamentais do mundo. responsveis por todas as aplicaes cientficas e de engenharia.

Muitos usurios da sti ma edio (professores e alunos) enviaram comentrios e sugestcs para aperfeioar o livro. Esses melhoramentos foram incorporados exposio e aos problemas desta edio. Ns (o autor Jcarl Walker e a edi-tora John Wiley & Sons) vemos este lj vro como um projeto permanente, e gostaramos de cont ar com uma maior par-ticipao dos l ei t ore~. Sinta-se vontade para enviar suges-tes, eorrees e comentrios positivos ou negativos para a LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A .. uma editora integrante do GEN I Grupo Editorial Nacional. no endereo elet rnico www.ltceditora.com.br.Talveznoseja possve l responder a todas as sugestes. mas lemos e coa-. side ramos cada uma delas.

Principais Mudanas de Contedo Tpicos do Circo Voador foram introd,PtldQS vrias formas: em textos de abertura dos captulos:. em exemplos e em problemas. Isso foi fei to com dois objelivos: (I) tornar

o assunto mais interessante e divertido: bsicos da fsica para chegar a con-duses vlidas a respeito do mundo real. e nesse entendimento do mundo

Movim~nto. em D~as ..... e Tres Dlmensoes -.:

(2) mostrar ao aluno que o mundo que nos cerca pode ser exami nado e com-preendido usando os princpios funda-mentais da fsica. real que cst a diverso.

TIve muitos objetivos ao cscrever este r.TO. mas o principal foi proporcionar

~'~"_iolo ........... _ ... ~/.~d. _ , .. _ .", ... , ... " 0010. 1'00; ... ,,"K.

~ lU ... 2.

II -!; ,

f\ .... ~ 11. .-i

_ Prefcio

Os assuntos que tambm so discut idos em O Circo Voador ela Fsica esto indicados pelo desenho de um biplano. A bibliografia do Circo Voador (mais de 10.000 ~ referncias a revistas cientficas e de engenharia) pode ser encontrada no site bttp:l/www.f1yingcircusofphys-ics.com. A le i da gravi tao de NeMon. a lei de Coulomb e a lei de Biot-Savart so agora ;:Iprescntadas na notao de vetares unitrios. A maior parte dos textos de abertura dos captulos (exem-plos de fsica aplicada que tm por objetivo despenar o interesse do lei tor pelo assunto que ser discutido no capi-tulo) nova e foi extrada de anigos cientficos em \ril .... campos de pesquisa. Milhares de problemas no final dos captulos foram refor-mulados para tornar mais claros lanlo os enunciados como as respostas.

Caractersticas dos Captulos

bsico. um mtodo que nos prepara para resolver muitos outros problemas. No comeamos sacando do bolso uma equao para uma simples substituio de nmeros, um mtodo que no nos prepara para nada." As Tticas para a soluo de problemas so instrues para ajudar os alunos principiantes a resolver problemas e evitar os erros maIS comuns. A Re'~ e Resu..o um breve sumrio do captulo que contem, concelhio!. essenciais. mas no substitui a leitura dt.1 capitulo. As ru, se pareem com os testes e requerem racio-cmio e enteudimeoto, em \'ez de clculos. As resposras das pnvumas lMparn nro no final do U"ro. eh ProbIrrr u e;.to agrupados por secs e possuem uma indicao do g.rau de dificuldade. As respostas dos proble-mas mpares esujo no final do livro. Smbolos. O quadro a segulr.que repetido no incio de cada lista de problemas. mostra os smbolos usados neste livro.

Textos de abertura. Uma sit uao curiosa descrita no incio de cada captulo e

. - ... o nu'"4JfO de pontoi 'noa o gr .. " de diflO.lld.de do ~

explicada em algum ponto do texto para motivar o estu-dante a ler o captulo. Esses textos. que constituem uma das caractersticas trad icionais de Fwulameflfos de Fsica. so baseados em pesquisas recen tes publicadas em revistas de cincia. engen haria. medicina e dire ito. O que Fsica? O corpo de cada captulo agora comea com essa pergunta e com uma resposta que diz respeito ao assun to do captulo. (Um bombeiro hidrulico uma ve ... me pergunlou: "Em que voc trabalha ?" Respondi: "SOU pro-fessor de fsica." O bombeiro pensou por a lguns instantes e depois me perguntou: "O que fsica?" A profisso do bombeiro dependia inteiramente da fsica. ainda que ele no soubesse o que fsica. Muitos eSlUdantes de fsica introdutria no sabem o que fsica , mas supem que ela irrelevante para a carreira que escolheram.) Os Testes so pontos inte rmedirios em que se pergunta ao estudante: "Voc capaz de responder a essa pergunta usando um raciocnio baseado no texto ou no exe mplo que acaba de ler?" Se a resposta negativa. o estudante deve voltar e rever o que j leu antes de prosseguir no captulo. Veja, por exemplo. O Teste I da Seo 4-3. do Captulo 4. e o Teste 2 da Seo 11 -4. do Captulo II. As respostas de rotlo~' os restes esro no firllll do livro. Os Exemplos foram escolhidos para mostrar que os proble-mas de fsica devem se r resolvidos usando o raciocnio e no simplesmente introduzindo nmeros em uma equao. sem nen huma preocupao com o seu significado. Os exemplos com a indicao "Aumente sua capacidade'" so. em geral. mais longos e apresentam mais comentrios. As Idias-chave dos exemplos mostram ao estudante quais so os conceitos bsicos necessrios para resolver um pro-blema. O que quere mos dizer com essas idias-chave O seguinte: "Vamos comear a soluo usando este conceito

Problemas adicionais. Esses problemas no esto classifica-dos. de modo que cabe ao estuda nte dete rminar a que parte do captulo se refere cacla problema.

Caractersticas Adicionais Raciocnio versus aplicao de rrmulas. Um dos princi-pais objetivos deste livro ensinar os estudantes a usar o raciocnio para resolver problemas. desde os princpios bsi-cos at a soluo fi nal. Embora tenh am sido includos (de propsito) a lguns problemas que envolve m a simples apli-cao de frmulas. a maioria dos problemas exige algum tipo de raciocnio. Captulos de tamanho razovel. Para no acabar escrevendo um livro suficientemente grosso para deter uma bala (e a maioria dos estudantes). procurei manter os captulos com um tamanho razovel. Explico o su ficiente para colocar o estudante no caminho certo. mas no tanto que o estudante no precise ana lisar e combinar idias. Afinal de contas. o estudante ainda vai ter necessidade de analisar e combinar id ias muit o depois de ler este li vro e completar O curso. Uso de calculadoras grfi cas. Quando os clculos vetoriais de um exemplo podem ser fe itos diretamente da tela de uma calculadora grfica esse fato indicado na soluao do exem plo. mas aprese ntada a soluo tradicional atravs de componentes. Q uando os clculos vetoriais no podem ser feitos diretamentc na tela o motivo explicado. G rlficos como enigmas. Estes so problemas nos quais se fornece um grfico e pede-se um resultado que exige muito mais do q ue simplesmente ler um dado em um grfico. Na verdade. a soluo exige uma compreenso do significado fsico do problema e dos princpios que esto por trs das equaes associadas. Esses problemas se parecem com enig-

mas de Sherlock Holmes. j que cabe ao estudante deter-minar quais so os dados importantes. Veja, por exemplo, o problema 50 do Captulo 4, o problema 12 do Captulo 5 e o problema 22 do Captulo 9. Problemas de fsica aplicada. baseados em pesquisas publi-cadas,aparecem em muitos lugares. como os textos de aber-tura dos captulos. os exemplos e os problemas. Veja, por exemplo. o texto de abertura do Captulo 4, o Exemplo 4-8. da Seo 4-6. e o problema 62 do Captulo 11. Tambm exis-lem sries de problemas encadeados. como os problemas 2. 39 e 61 do Captulo 6. Problemas com situaes inusitadas_ Aqui est um desses problemas,escolhido entre as centenas que existem nl' livro: o problema 69 do Captulo 5 se baseia na histria vc!'d"Jeira de como o vo 143 da Air Canada ficou sem combustvel a 7.9 km de altitude porque a tripulao e o pessoal de terra no usaram as unidades corretas para a quantidade de com-bustvel nos tanques (uma lio importante para os estudan-tes que costumam "misturar"" unidades).

Para o Pnofessor Os professores que adotarem o livro podem solicitar LTC materiais suplementares de apoio pedaggico, em ingls. O pedido deve ser encaminhado a: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Uma editora integrante do GEN I Grupo Editorial Nacional AlC Editorial Tcnico Travessa do Ouvidor. 11 Rio de Janeiro, RJ - CEP 20040-040 Te\.: 21-3970-9480 Fax: 21 -2221-3202 IIc@grupogen.com.br. \\'ww.ltceditora.com.br

Agradecimentos Muitas pessoas contriburam para este livro. 1. Richard Christman, da U.S. Coast Guard Academy. mais uma vez criou muitos suplementos valiosos; suas recomendaes para este livro foram inestimveis. Sen-Ben Uao, do Lawrence Livermore National Laboratory, James Whitenton. da Southern Polytechnic State University, e Jerry Shi, do Pasadena City College, foram responsveis pela tarefa her-ctilea de resolver todos os problemas do livro. Na John Wiley o livro foi apoiado por Stuart Johnson,o editor que supervi-sionou todo o projeto. Tom Kulesa.que coordenou o estado-da -arte do pacote de mdia, e Geraldine Osnato. que geren-ciou uma superequipe para produzir um impressionante pacote de suplementos. Agradecemos a Elizabeth Swain. edi tora de produo, por ter juntado todas as partes durante o complexo processo de produo. Agradecemos tambm a Maddy Lesure, pelo seu projeto grfico tanto do texto quanto da produo da capa: Lee Goldstein. que foi res-ponsvel pela diagramao; Helen Walden, pela edio dos

ri ginais;Anna Melhorn.que cuidou das ilustraes: e Lil ian

Prefcio _

Brady, que se encarregou da reviso. Hilary Newman foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes. Tanto a editora John Wiley & Sons, lnc. como Jearl Walker gostariam de agradecer s seguintes pessoas por comen-trios e idias a respeito da 7. edio: Richard \Voodard, University of Florida; David Wick, Clarkson University; Patrick Rapp, University of Puerto Rico em Mayagez:Nora Thornber. Raritan Valley Community College; Laurence I. Gould, University of Hartford: Greg Childers, Cal.ifornia State University cm FuJlerton: Asha Khakpour, California State University em Fullerton; Jae F. McCullough, Cabrillo College. Finalmente. nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional, e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos.

Maris A. Abolins Michigan SUl/e Univeniry Edward Adelson Ohio Stare Universily Nural Akchurin Texas Tech Barbara Andereck Ohio Wesleyan University Mark Arnett Kirkwood Community College Amn Bansil Northeastern University Richard Barbcr Santa Clara Universi/y Neil Basecu Westchesrer Community College Anand Balra Howard University Richard Bane Florida JnternationaJ University Michael E. Browne Universily of Idaho Timothy J. Burns Leeward Communi/y College Joseph Buschi Manhattan College Philip A. Casabella Rensselaer Polytechnic Instilute Randall Caton Christopher Newpof/ College Roger Clapp Universily of Suuth Flurida W. RConkie Queen's University Remllc Crawford Univeniry of Massachusetts-Dartmouth

Mike Crivcllo San Diego S/ate Unh'ersity Robert N. Oavie, le. Sr. Petersburg Junior Cullege Cheryl K. Odiai Clendale Community Cullege Eric R. Oictz California Sra/e University em Chico N. John OiNardo Drexe/ University Eugene Dunnam University of Florida Robert Endorf University of Cincinnali F. Paul Esposito University of Cincinna/i Jerry Finkelstein San Jose Sta/e University Robert H. Good California S/ale University-IJayward John B. Gruber San Jose S/ate Unil'ersity Ann Hanks American River College Randy Harris University of California-Davis Samuel Harris Pllrdlle University Harold B. Hart Western Illinois Unil'ersity Rebecca Hartzler Seattle Central Comlllllnily College John Hubisz North Carolina Stare Universily Jocy Huslon Michigan S/ate Unlw!Ji/y

_ Prefcio

David Ingram Ohio Ulliversity Shaw" Jackson

Uniw~rsily o/Tu/sa Hector Jimcncz Unh'ersi/y ui PI/friO Rico Sudhakar B. Joshi York University Leonard M. Kahn University af Rhode Islalld Leonard Klcinrnan

Uni~'e,sily o/Texas em AI/still Craig Klclzing Unil't'rsity o[ Iowa Arthur Z. Kovacs Raches/er Inslitwe ofTechllOlogy Kennelh Krane Ofegol! State U"iver.,-ity Priscilla UM DicklSOII College Edbcrtho Leal PofytecJmic Un'ersity o[ PI/eno Rico Vern Lindberg Raches/e' Institllle ofTeclm%gy Peler Loly Vnivels;ry of Manitoba Andrcas Mandclis Universi/y ojToromo Robert R. Marchini Memphis S/ate Un-ersity Paul Marquard Cuspar College David Marx lI/itlOis S{me Unil'ersity James H. McGuire TII/ane Unirersi/y

Comentrios e Sugestes

David M. McKinstry EuslI:m Washitlgtol/ U"j"ersity Eugene Mosca Ullited 5ta/es Naw.l1 Acodem)' James Napolitano T(ensse!aer Polylechllic InstiUlle MichaelO'Shea Kallsas SlOte Universu)' Patrick Papin San Diego Stote Uni"er$ltl" Kiumars Parvin San Jose 5tofe Unil'ersit) Robert Pelcovils Brown Unersity Oren P. QuiSI SOI/th Dakota 5/11/1' University Joe Redish Ullil'ersity of Marylmul TImolhy M. Ritter U"il'f:rlity of North Caro/iI/a em Pembroke Gerardo A. Rodriguez Skidmore College John Rosendahl Ullilersity of Cali/omill em Irville Todd RuskeJJ CoTorado ScllOol of Mines Michael Schalz Georgia fllStitme of Teclmology DarreU Seeley Milwollkee Sc/lOol of Engil/ee';II8 Brucc Ame Sherwood Nortli Carolina SWte Ulliversi/y Russ L. Spencer Brigham YOIlIIg Ulliverly

Paul Stanley Beloit College Harold Stokes Brigham YoulIg U"iversity Michael G. Strauss U"iversity of Oklahoma Jay D. Stricb Vil/anovII Unirersity Dan Styer Ober/III College Michael Tammaro Universiry of Rllode Is/alld Marshall Thomsen Eostem Michigml Unirersity DavidToot AI/red Univerl"ity Tung Tsang Howard Univenity J. S. Turner Unil'ersiry ofTexas em Ausrin T. S. Venkataraman Drexel Ulli~'ersity Gianrranco Vidali SyraC/lse Unhersity Fred Wang Prairie View A & M Robert C. Wcbb Texas A & M University William M. Whclan Ryenoll Poly/echllic University George Williams University of Urah David WoJfe Unirersity of New Mexico

A~saf dos melhores esfor~os dos autores.. do tradutor, do editor e dos revisores, inevitvel que surjam erros no texto. Assim. so bem-vindas as comunicaes de usurios sobre correes ou sugesles referentes ao contedo ou ao n"et ped.1g6gico que auxiliem o aprimoramento de edies fUfur,15. Encorajamos os comentrios dos lei/ores que podem ser encaminhados LTC - Li vros Tcnicos e Cientficos Editora S.A.. uma editora integrante do GEN , Grupo Editorial Nacional. no endereo: Travessa do Ouvidor. 11 - Rio de Janeiro. RJ - CEP 2

Equilbrio e Elasticidade

A famosa torre de Pisa, na Itlia, comeou a se inclinar para o sul durante a construo, que levou dois sculos. A inclinao aumentou com o tempo. mas com a velocidade de tartaruga de 0,001" por ano. Recentemente, quando a inclinao chegou a 5,5, o acesso torre foi vedado aos turistas porque as autoridades temiam que ela desabasse. Entretanto, para que a torre desabasse no seria necessrio que uma reta vertical traada a partir do centro de massa passasse fora da base da torre? IS50 no acontecer no futuro prximo.

Sendo assim, qual era o

riSCO que a torre estava correndo?

A resposta est neste captu lo.

1

... Captulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

FIG. 121 Uma pedra em equilbrio. Embora a sustentao parea precria, a pedra est em equilbrio esttico. (Symon LobsanglPllOfis/ Jupiler Images Corp.)

12-1 O QUE FSICA? As obras civis devem ser estveis, apesar das foras que atuam sobre elas. Um edi-fcio, por exemplo, deve ser estvel apesar da fora da gravidade e do vento, e uma ponte deve ser estvel apesar da fora da gravidade e dos repetidos solavancos que ela recebe de carros e caminhes.

Um dos interesses da fsica conhecer o que faz com que um objeto permanea estvel na presena de foras. Neste captulo. examinamos os dois aspectos princi-pais da estabilidade: o equilbrio de foras e larques que agem sobre objclos rgi-dos e a elasticidade de objetos no-rgidos. uma propriedade que determina o modo como esses objetos se deformam. Quando esta fsica feita corretam ente ela as-sunto de artigos publicados em revistas de fsica e de engenharia: quando feita in-corretamente, assunto de manchetes de jornal e pendncias judiciais.

12-2 I Equilbrio Considere os seguintes objetos: (1) um livro em repouso sobre uma mesa, (2) um disco de metal deslizando com velocidade constante em uma superfcie sem atrito, (3) as ps de um ventilador de telO girando e (4) a roda de uma bicicleta que se move em uma estrada retilnea com velocidade constante. Para cada um desses ob-jetos. 1. O momento linear P de seu centro de massa constante. 2, O momento angular L em relao ao centro de massa. ou em relao a qualquer

outro ponto, tambm constante.

Dizemos que esses objetos esto em equilbrio. Os dois requisitos para o equilbrio so, portanto,

P = constante e L = constante. (12-1) Nosso interesse neste captulo so as situaes nas quais as constantes na Eq.

12-1 so nulas, ou seja. estamos interessados prindpalmente em objetos que no se movem, nem em translao nem em rotao. no sistema de referncia em que esto sendo observados. Dizemos que esses objetos esto em equilbrio esttico. Dos qua-tro objetos mencionados no incio desta seo apenas um, o livro em repouso sobre a mesa,est em equilbrio esttico.

A pedra da Fig. 12-1 outro exemplo de um objeto que, pelo menos no mo-mento em que [ai fotografado, est em equilbrio esttico. Ela compartilha esta propriedade com um nmero incontvel de outras estruturas. como catedrais, casas, mesas de jantar e postos de gasolina, que permanecem em repouso por um tempo indefinido.

Como foi discutido na Seo 8-6, se um corpo retorna ao mesmo estado de equi" lbrio esttico aps ter sido deslocado pela ao de uma fora dizemos que o corpo est em equilbrio esttico estvel. Um exemplo uma bola de gude colocada no fundo de uma vasilha cncava. Por outro lado, se uma pequena fora suficiente para deslocar o corpo de forma permanente, dizemos que o corpo est em equihbrio esttico instvel.

Suponha, por exemplo, que equilibramos uma pea de domin com o centro de massa na vertical em relao a uma aresta de apoio, com_o na Fig. 12-2a. O torque em relao aresta de apoio devid~ fora gravitacional F8 que age sobre o domin zero porque a linha de ao de Fg passa pela aresta. Assim, o domin est em equil-brio. Evidentemente. mesmo uma pe_quena fora suficiente para romper este equi-lbrio. Quando a linha de ao de Fg desloc~da para um dos lados da aresta de apoio (como na Fig. 12-2b), o torque devido a FI faz o domin girar at atingir uma posio de equihbrio diferente da anterior. Assim, o domin da Fig. 12-2a est em uma situao de equilbrio esttico instvel.

CM

I"

,

Aresta de apoio

Ib'

i I n

h ,

__ Captulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

.- 1. A soma vetoria l de IOdas as roras externas que agem sobre O corpo deve ser nula. 2. A soma vctoriu] de lodos os torques externos que agem sobre o corpo. medidos em

relao a qualqm!r ponto, deve ser nula.

Estes requisitos.obviamente, valem para o equilbrio e!,t~co. Entretan lo,eles valem tambm para O caso de equilbrio mais geral no qual P e L so constantes. mas dife-rentes de zero.

As Eqs. 12-3 e 12-5. como equaes vetoriais, so equivalentes, cada uma. a trs equaes independentes, uma para cada eixo do sistema de coordenadas:

Equilbrio de foras

Fro..., = O F,. ... y = O

F~=O

Equilbrio de lorques

rr~u "" O 1-., "" O TIno: "" O

(12-6)

Vamos simplificar o problema considerando apenas situaes nas quais as for-as que agem sobre o corpo esto no plano xy. Isso signi1ica dizer que os torques que agem sobre o corpo tendem a provocar rotaes apenas em torno de direes paralelas ao eixo z. Com esta suposio, eliminamos uma eq uao de fora e duas equaes de torque das Eqs.126, ficando com

Frn.x::: O (equilfbrio de foras) , (12-7)

Fres.y::: O (equillbrio de foras) , (12-8)

(equilbrio de [orques). (12-9)

onde Trtl,Z o torque resultan te que as foras externas produzem em relao ao eixo :: ou em relao a qualquer eixo paralelo ao eixo z.

Um disco metlico que desliza sobre o gelo com velocidade constante satisfaz as Eqs. 127, 128 e 129 e est. portanto. em equilbrio. mqs no em equilbrio est tico. Para que o equilbrio seja estt ico o momento linear P do disco deve ser no s6 constan te. mas tambm igual a zero; o disco deve estar em repouso em relao ao gelo. Assim, existe um outro req uisito para O equi lbrio esttico:

.- J . O momento linear P do corpo deve ser nulo.

~STE1 A figura mostra seis~vistas superiores de uma barra uniforme sobre a qual duas ou mais foras atuam perpendicularmente maior dimenso da barra. Se OS mdulos das fo ras so ajustados adeq uadamente (mas mantidos diferentes de zero), em que situaes a barra pode estar em equil brio esttico?

(')~ (b) F

12-4 I O Centro de Gravidade A fora gravitacional que age sobre um corpo a soma vetoria! das foras gravita-cionais que agem sobre todos os elementos (tomos) do corpo. Em vez de conside-rar todos esses elementos. podemos dizer que

..... A fora gravitacional F, age efetivamente sobre um nico ponlO de um corpo. o cha-mado centro de gravid.llde (CG) do corpo.

A palavra "efetivamente" significa que se as fo ras q'!c agem sobre os elementos do corpo fossem de alguma forma desligadas e a fora F, aplicada ao centro de gravi-dade fosse ligada. a fora resultante e O Iorque resultante (em relao a qualquer ponto) que agem sobre o corpo no mudariam.

At agora, supusemos que a fora gravitacional F, aplicada ao centro de massa (CM) do corpo. ISlo equivale a supor que o centro de gravidade coLncide com o centro de massa. Lembre-se de que para um corpo de massa M a fora Fr igual a Mg. onde g a acelerao que a fora produziria se o corpo estivesse em queda livre. Na demonstrao que se segue, mostramos que

... Se g a mesma para todos os elementos de um corpo, o centro de gravidade (CO) do corpo coincide com seu centro de massa (CM).

Isto aproximadamente ve rdadeiro para objetos comuns porque g varia apenas li-geiramente com a altitude. Assim, para objetos como um rato ou um boi podemos supor que a fora gravitacional age no centro de massa. Aps a demonstrao a se-guir. passaremos a usar esta hiptese.

Demonstrao Primei ro. vamos considerar os elementos do corpo. A Fig. 12-4(1 mostra um corpo de massa M e um de seus elementos, de massa m,. Uma fora gravitacional Fp age sobre cada elemento e igual a m~, . O ndice de g, significa que g/ a acelerao da gravidade na posio do elemento i (e la pode ser diferente para outros e1emenlos) .

. Na Fig. 12-4a, cada fora Fr;; produz um torque rj sobre o elemento em relao ongem 0, com brao de alavanca Xi' Usando a Eq. 10-41 (r"" r.J..F), podemos escre-ver o Iorque ri na forma

r, "" XiF,r (12-10) O torque resultante sobre lodos os elementos do corpo , portanto,

rres "" I 'i = Ix,F,i' (12-11) Em seguid_a, consideramos o corpo como um todo. A Fig. 12-4b mostra a fora

gravitacional F~ atuando no centro de gravidade do corpo. Esta fora produz um Iorque r sobre o corpo em relao a 0, com uma brao de alavanca Xcc;- Usando no-vamente a Eq. lO-41. podemos escrever este torque como

r=xCGF,. (12-12) Como a (ora gravi!acional Fr a que o corpo est submetido igual soma das for-as gravitacionais Fil que agem sobre todos os seus elementos, podemos substituir Fx por IF,i na Eq.12-l2 e escrever

(12-13) Acontece que o Iorque produzido pela aplicao_da fora Fr ao centro de gravi-

dade igual ao Iorque resultante de todas as foras Fil aplicadas a todos os e lemen-tos do corpo. (Foi assim que definimos o centro de gravidade.) Assim, rna Eq. 12-13 igual a Tr~. na Eq. 12-11. Combinando essas duas equacs, podemos escrever

12-4 I O Centro de Gravidade _

,

m. , v- Linha r ok ;oio

O,L ___ ~.~,--' Brao dt ala\'al1Cll:

c.) ,

CG

F , ,~)--.5"--' O :.cr. Linha

Brao de dt ao ala'

__ Captulo 12 I Equilibrio e Elasticidade

Substituindo FK1 por miEi, obtemos

XeG 'I.migi = 'lx,migi' (12-14) Vamos agora usar uma id i a~chave: Se as aceleraesg, para lodos os elementos 5

Clculos: As}oras normais exercidas p_elas balanas sobre a viga so F. do lado esquerdo e FJ do lado direito. As leituras das balanas que desejamos determinar so igu~ i s aos mdulos dessas foras. A fora gravita -cional F g,~'rll a que a viga es t submetida est aplicada ao seu centro de ma~sa e igual a mij. Analogamente. a fora gravitacional F tibloco a que o bloco es t submetido est aplicada ao seu centro de massa e igual a Mg. Para simplificar a Fig. 12-5b, o bloco fo i r~presentado por um ponto dentro dos limites da viga e Fg.blocO foi desenhada ~om a origem nesse ponto. (Este deslocamento do vetar F g.bloco ao longo_de sua linha de ao no altera o torque produzido por F S.bloco cm relaiio a qualquer eixo perpen-dicular figura.)

Como as foras no possuem componentes x. a Eq. 12-7 (F",u = O) no fornece nenhuma informao. No caso das componentes y, a Eq. 12-8 (Frn,y = O) nos d

F. + Fd - Mg - mg = O. (12-18) Como esta equao contm duas incgni tas.. as foras

Ft e FJ precisamos usar tambm a Eq. 12-9. a equao de eq uilbrio dos lorques. Podemos aplic-Ia a qualquer eixo de rotao perpendicular ao plano da Fig. 12-5. Vamos escol her um eixo de rotao passando peja extremidade esquerda da viga. Vamos usar tambm nossa regra geral para atribuir sinais aos lorques: se um torque tende a [a-7er um corpo inicialmente em repouso girar no sentido horrio. o Iorque negativo: se o Iorque tende a fazer o corpo girar no senti anti-horrio, o torque positivo. Finalmente. vamos escrever os torqu_es na fo rma rl.F, on-de o brao de ala~anca ' .1 O para F . Ll4 para Mg, L/2 paramgeLparaFd .

Podemos agora escrever a equao do eq uilfbrio (rtes.~ = O) como

(O)(F,) - (L/4)(Mg) - (LI2)(mg) + (L)(F,) ~ O. o que nos d

FJ = t Mg + +mg ~ t(2.7 kg)(9.8 01/,' )+ r {l,8 kg)(9.8 mi,') ~ 15.44N - 15N. (Resposta)

E:l(plicitando Ft na Eq. 12- 18 e substituindo os valores co-nhecidos. obtemos

a Fig. 12-00 uma escada de comprimento L = 12 m e ..assa m = 45 kg est encostada em um muro liso (sem

~to). A extremidade superior da escada est a uma al -lUa h = 9.3 m acima do piso onde a extremidade inferior

o;U apoiada (existe atrito entre a escada e o piso). O cen -ue de massa da escada est a uma distncia Ll3 da extre-mIdade inferior. Um bombeiro de massa M = 72 kg sobe Da escada at que seu centro de massa esteja a uma distn-C1J L/2 da cxtremid

~ lptulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

Clculos: Na Fig. 126b o bombeiro est representado por um ponto dentro dos limites da escada. A fora gravitacio-nal a que o bombeiro est submetido foi representada pelo vetar equivalente Mg. que foi deslocado ao longo de sua linba de ao para que a origem coincidisse com o ponto que representa O bombeiro. (O deslocamento no altera o Iorque produzido por Mg em relao a qualquer eixo per-pendicular figura .)

Como no h atrito e ntre a escada e o muro. a nica for~ exercida pejo muro sobre a escada a fora horizon-tal F",. A fora Fp exercida R.clo piso sobre a escada tem uma componente horizontal FpA' que ~ uma fora de atrito esttica, e uma componente vertical Fpf' que uma fora normal.

Para aplicar as equaes de equilbrio, vamos come-ar com a Eq. 12-9 (rrn,: = O), Para escolher um eixo em relao ao qual vamos ~alculi'r os torques, note que temos foras desconhecidas (F", c Fp ) nl!.s duas extremidades da escada. Para eliminar, digamos, Fp dos clculos, coloca-mos o eixo no ponto O. perpendicular figura. Colocamos tambm a origem de um sistema de coordenadas xy em O. Podemos calcular os torques em relao a O usando qual-quer uma das Eqs.IO-39 a 10-41. mas a Eq.1O-41 (r = r1.F) a mais fcil de usar neste caso.

Para detenninar O brao de alavanca r 1. de Fm dese-nhamos a linha de ao deste vetar (reta horizontal trace-jada da Fig. 12-6b): r 1. a distncia perpendicular entre O e a linha de ao. a Fig. 12-6b r 1. est sobre o eixo y e igual altura II. Tambm desenhamos linhas de ao para Mg e mg, e constatamos que os braos de alavanca das duas for-as esto sobre o eixo x, Para a distncia a mostrada na Fig. 12-00, os braos de alavanca so a/2 (o bombeiro est no ponto mdio da escada) e al3 (o CM da escada est a um tero de seu comprimento a partir da extremiduje infe-rior), respectivamente. Os braos de alavanca de Fp.< e Fp> so nulos.

Com os torques escritos na forma rl.F. a equao de equilbrio 'r,CI,: "" O assume a forma

- (h)(F.) + (al2)(Mg) + (a/3)(mg)

Sem alnto

Bombeiro

(.)

., , ,

Lo , IF I , ,,",

J

(b) FIG. 126 (a) Um bombeiro sobe metade de uma escada que est apoiada em uma parede sem atrito. O piso abaixo da escada tem atrito. (b) Diagrama de corpo livre, mostrando as foras que agem sobre o sistema bombeiro + escada. A origem O de um sistema de coordenadas colocada no ponto de aplicao da fora desconhecida P, (cujas componentes F'A e F,., aparecem na figura).

Assim, a Eq. 12-19 nos d F ""ga(M2+m3)

h

= (9.8 m s' )(7.58 m)(72 2 kg +45 3 kg) 9,3m

"" 407 N '" 410 N. (Resposta) Agora precisamos usar as equaes de equilbrio de

foras. A equao F,~s.x = O nos d F", - Fp" = 0,

+ (O)(Fp,,) + (O)(Fpy) = O. (12-19) e portanto Fp" = F", = 410 N. (Resposta) (Lembre-se da nossa regra: Um torque positivo corresponde A equao Fru,y = O nos d a uma rotao no sen tido anti-horrio,e um torque negativo Fp> - Mg - mg "" O, corresponde a uma rotao no sentido anti-horrio.)

Usando o teorema de Pitgoras. descobrimos que e portanto Fpy = (M + m)g = (72 kg + 45 kg)(9.8 m/s2) a=Je - 11 2 =758m.

Exemplo lfJI A Fig, 12-7a mostra um cofre. de massa M = 430 kg, pen-durado por uma corda presa a uma lana de guindaste de dimenses ti = 1,9 m e b "" 2.5 m. A lana composta por uma viga articulada e um cabo horizontal. A viga. feita de material uniforme, tem uma massa m de 85 kg: as massas do cabo t: da corda so desprezveis.

= 1146,6N-IIOON, (Resposta)

(a) Qual a tenso T tlIDo do cabo? Em outras palavras,qua1 o mdulo da fora Tr..oo exercida pelo cabo sobre a viga?

O sistema neste caso apenas a viga, e as foras sobre ele esto mostradas no diagrama de corpo

livre da Fig. l2-7b . A fora exercida pelo cabo T cabo' A fo ra gravitacional a que a viga est submetida est apli-cada ao cen tro de massa (situado no cen tro da viga), e foi representada pela fo ra equivalente mg. A componcnje vertical da fora que a dobradi,! exerce sobre a viga F~, e a componente horizontal F h' A fora exercida pela corda que sustenta o cofre j rorrJ.J' Como} viga. a corda e o cofre esto em repouso. o mdulo de T rord .. igual ao peso do cofre: T, = Mg. Posicionamos a origem O de um sistema de coordenadas xy na dobradia. Como o sistema est em equilbrio esttico. as equaes de equilbrio po-dem ser usadas.

Clculos: Vamos comear com a Eq. 12-9 ('fr,

~ Captulo 12 1 Equilbrio e Elasticidade

Como a torre ainda est de p, est em equ ilbrio e. portanto. a soma dos lorques aplicados torre cm relaiio a qualquer ponto zero.

Clculos: Como estamos interessados em calcular F\'f). a fora de Teao do lado direito da torre. e no conhece-mos a fora de reao F \E do lado esquerdo. escolhemos o ponto de contato da parede da esquerda com o solo como ponto de referencia para calcular os forques. A Fig. 12& mostra as foras que agiriam sobre a torre se ela esu\t!sse na \ 'c rtical . A fora gravitacionalmg, que pode mos 'iupor aplicada ao ce ntro de massa. tem uma linha de ao H=rtical e um brao j:le alavanca R (d istncia perpen dtcular do ponto de referncia li nha de ao). O Iorque

~ado a essa fora tende a fazer a torre girar no seno tido horrio em torno do p~nto de referncia e, portanto. negativo. A for

12-6 I Estruturas Indeterminadas __

4. Desenhe os eixos x e y de um sistema de coordenadas com pelo menos um eixo paralelo a uma ou mais foras desconhe-cidas. Decomponha as foras que no esl1io alinhadas com um dos eixos. Em todos os nossos exemplos fez sentido escolher um eixo.t horizontal e um eixo y vertical.

S. Escreva ilS duas equaes de equilbrio 1111.\ foras, usando sm-bolos adequados.

7. Resol,a as equaes algebricamente para obter os valores das incgnitas. Alguns eSlUdantes se sentem mais seguros substi-tuindo os parmetros conhecidos por valores numricos no incio deste estgio, especialmente sc as manipulaes algbri-cas forem trabalhosas. Entretanto, os estudantes experientes preferem resolver o problema at o final em forma literal. j que a~sim possvel avaliar a innuncia dos valores dos vrios parmetros sobre a soluo final.

6. Escolha um ou mais eixos de rotaiio perpendiculares ao plano da figura e escreva a equalio de equilbrio de lorques para cada eixo. Se voc escolher um eixo que eo incide com a linha de ao de uma fora desconhecida a equao fiear mais simples. j que esta fora no ir apa recer.

8. Finulmente, slIbstiwa os parmetros dil soluo por valore~ numricos. tomando cuidado para que as unidades usadas sc-jam coerentes.

9. Examine a resposta. Ela razovel? O valor parece ser exces-sivamente grande ou excessivamente pequeno? O sinal est correto? As unidadessoadequadas?

12-6 I Estruturas Indeterminadas Para resolver os problemas deste captulo temos apenas trs equaes independen-tes nossa disposio. em geral duas equaes de equilbrio de fo ras c uma equa-o de equilbrio de torques em relao a um certo eixo de rotao. Assim. se um problema tiver mais de trs incgnitas no podemos resolv-lo.

fcil encontrar problemas desse tipo. No Exemplo 12-2, por exemplo, poderia-mos ter suposto que existe atrito entre o muro e a extremidade superior da escada. Nesse caso,existiria uma fora de atrito vertical no ponto onde a escada toca muro, e teramos quatro foras desconhecidas. Com apenas trs equaes no poderamos resolver este problema.

Considere um carro assimetricamente carregado. Quais so as foras. todas dife-rentes. que agem sobre os quatro pneus? Mais uma vez. o problema no pode ser re-solvido, pois temos apenas trs equaes independentes para trabalhar. Da mesma forma. podemos resolver o problema de equilbrio para uma mesa de trs pernas, mas no para uma de quatro pernas. Problemas como esses, nos quais existem mais incgnitas do que equaes. so chamados de indeterminados.

No mundo real, porm, existem solues para problemas indeterminados. Se voc apoiar os pneus de um ca rro nos pratos de quatro balanas, cada balana fornecer uma leitura definida, e a soma das quatro leituras ser o peso do carro. O que est faltando em nossos esforos para obter as foras atravs de equa-es?

O problema est no fato de que supusemos implicitamente que os corpos aos quais aplicamos as equaes do equilbrio esttico so perfeitamente rgidos. ou seja, no se deformam ao serem submetidos a foras. Na verdade, nenhum corpo totalment e rgido. Os pneus de um carro. por exemplo. se deformam facilmente sob a ao de uma carga at que o carro a tinja uma posio de equilbrio est-tico.

Todos j tivemos a oportunidade de ocupar uma mesa bamba em um restau-rante, a qual normalmente nivelumos colocando um calo de papel dobrado sob uma das pernas. Sc um elefante se sentasse em uma dessas mesas. porm, pode ter certeza de que, se a mesa no quebrasse, ela se deformaria da mesma rorma que os pneus do carro. Todas as pernas tocariam o piso. as foras normais do piso sobre as pernas da mesa assumiriam valores definidos (e diferentes), como na Fig. 12-9, e a mesa mio ficaria mais bamba. Como podemos calcular os valores das foras que

~gem sobre as pernas? Para resolver esses problemas de eq uilbrio indeterminado precisamos su-

plemen tar as equaes de equilbrio com algum conhecimento de elasticidade, o ramo da fsica c da engenharia que descreve como os corpos se deformam quando so submetidos a foras. Uma introduo a este assunto apresentada na prxima seo.

I'~ /-1 F,{ J;

FtG. 12-9 A mesa uma eSlrulUra indetermmadu. As qU:'lro foras a que as pern

__ Captulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

FIG. 12-10 Os lamos de um slido metlico esto dispostos em Uroll rede regular tridimensional. As molas representam foras interatmicas.

~STE 3 Uma barra horizontal uniforme pesando 10 N deve ser pendurada no telo por dois fios que exercem foras j: 1 e F 2 sobre a barra . A figura mostra quatro configuraes diferentes dos fios. Que configuraes so indeterminadas (ou seja, tomam impossvel cal-cular os valores numricos de j; 1 e F 2)?

, ,

F, fi f; , F, d ~d

(.) ION (b) ION

, ,

F Id/'J. fi fi F, , ~-d_

(,) ION (~ ION

12-7 1 Elasticidade Quando muitos tomos se jUnlam para formar um slido metlico, como. por exem-plo, um prego de ferro. eles ocupam posies de equilbrio em uma rede crisraliflo tridimensional, um arranjo repetitivo no qual cada tomo est a uma distncia de equilbrio bem definida dos vizin hos mais prximos. Os tomos so mantidos unidos por foras interatmicas, representadas por pequenas molas na FIg. 12-10. A rede quase perfeitamente rgida, o que outra forma de dizer que as "molas interatmi-cas" so extremamente duras. por essa razo que temos a impresso de que alguns objetos comuns. como escadas. mesas e colheres, so indefonnveis. claro que ou-tros objetos comuns., como mangueiras de jardim e luvas de borracha, no do abso-lutamente a impresso de serem indeformveis. Os tomos de que so feitos esses objetos no formam uma rede rgida como a da FIg. 12-10. mas esto ligados em cadeias moleculares longas e flexveis: cada uma dessas cadeias est ligada apenas fracamente s cadeias vizinhas.

Todos os corpos "rgidos" reais so na verdade ligeiramente elsticos, o que sig-nifica que podemos mudar ligeiramente suas dimenses puxando-os, empurrando-os, torcendo-os ou comprimindo-os. Para ter uma idia das ordens de grandeza en-volvidas, considere uma barra de ao vertical, de 1 m de comprimento e 1 cm de dimetro, presa no teta de uma fbrica. Se um carro compacto for pendurado na ex-tremidade inferior da barra ela esticar apenas 0.5 mm, o que corresponde a 0,05% do comprimento original. Se o carro for removido. o comprimento da barra voltar ao valor inicial.

Se dois carros forem pendurados na barra e la ficar permanentemente defor-mada, ou seja. o comprimento no voltar ao valor inicial se a carga for removida. Se trs carros forem pendurados na barra e la arrebentar. Imediatamente antes da rup-tura o a longamento da barra ser menor do que 0.2%. Embora deformaes dessa ordem paream pequenas, elas so importantes para os engenheiros. (Se uma asa vai se partir ao ser submetida a uma certa fora ,obviamcnte. uma questo importante.)

A Fig. 12-11 mostra trs formas pelas quais as dimenses de um slido podem mudar quando foras atuam sobre e le. Na Fig. 12-11a um cilindro alongado. Na Fig. 12-11b, um cilindro deformado por uma fora perpendicular ao seu eixo maior, de modo parecido com a deformao em uma pilha de cartas de baralho. Na Fig. 12-11c um objeto slido mergulhado em um fluido comprimido uniformemente em todas as direes. O que esses trs comportamentos tm em comum que uma lenso. ou fora deformadora por unidade de rea. produz uma deformao. Na Fig. 12-11 a tenso trativa (associada ao alongamento) est ilustrada em (a). a tenso de cisa/lla-mento em (b) e a tenso hidrosrtiCll em (c).

i' ... r----< 1 T I , I T I I I

L + IJ.l. I. I L

I l I 1 '-(., h F (b,

As tenses e deformaes assumem fo rmas dife ren tes nas trs situaes da Fig. 121 L mas para uma larga faixa de valores tenso e deformao so propor-cionais. A constante de proporcionalidade chamada de mdul o de e lasticidade. de modo que

tenso = mdulo x deformao. ( 12-22) Em um teste-padro de propriedades elsticas a tenso !ral iva aplicada a um

cilindro de leste (como o da Fig. 12-12) len tamente aumentada de zero at o ponto em que o cil indro se rompe, c a deformao medida e plotada. O resultado um grfico tcnso-deformao como o da fig. 12-13. Para uma larga faixa de tenses aplicadas, a relao tenso-deformao linear e a amostra recupera as dimenses origi nais quando a tenso removida; nessa Caixa que a Eq. 1222 pode ser usada. Se a tenso ultrapassa o limite elstico S. da amostra a deformao se torna perma nente. Se a tenso continua a aumentar amostra acaba por se romper, cm um valor de tenso conhecido como limite de ruptura SUo

Trao e Compresso Para a lrao ou para a compresso a tenso a que o objeto est submetido de-fin ida como FIA, o nde F o mdulo da fora aplicada perpendicularmente a uma rea A do objeto. A deformao a grandeza adi mensiona l LlL que representa a variao fracionria (ou. s vezes. percen tual) do comprimento da amostra. Se a amOSlra uma barra longa e a tenso no ultrapassa o limite elstico. no s a barra como um todo mas qualquer trecho da barra experimenta a mesma deformao q uando uma certa tenso aplicada. Como a deformao ad imcnsionaL o mdulo de elasticidade da Eq. 12-22 tem dimenses da tenso. ou seja. fora por unidade de rea.

a mdulo das tenses de trao e de compresso chamado de mdulo de Young.e representado pelo smbolo E. Substituindo as grandezas da Eq. 12-22 por

_ Capitulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

FIG.12-14 Umextensmctro de 9,8 mm por 4.6 mm usado para medir deformaes. O dispo~ili"o

..

preso com adesivo ao objcto cuja deformao se deseja medir e sofre a

mc~ma deformao que o objeto. A rcsi~tncia eltrica do c'(lcnsmetro \ aria com a deforntaiio. permiti ndo yue deformaes de at 3% sejam medidas. (Cortesia da Vj~h{/y Micro-Mell.Wremellls Grollp. Raleigh, NC)

Exemplo 1m

"llaUfl' Algumas Propriedades Elsticas de Materiais Escol hidos

Massa espcdtica p

Mal!!rial (kglm ') Ao" 71

(FIA) = EllLlL). (3) A tenso a razo entre o alonga-mento e o comprimento inicial L.

Clculos: Para determinar a tenso. escrevemos

F F 6.2x104 N tenso = A = -,,-R-' = ;(,,-,):(9C:.:;5::'X';I~O:i-,"n-',)'"

(Resposta) Comoolimite elstico do ao estrutura l de 2.5 x lOS N/m2 esta barra est perigosa mente prxima do limite els-tico.

Uma mesa tem trs pernas com 1.00 m de comprimento e uma quarta perna com um comprimento adicional ti = 0.50 mm. que faz com que a mesa fique ligeirame nte bamba. Um cilind ro de ao de massa M = 290 kg co-locado sobre a mesa (que te m uma massa muito meno r que M). comprimindo as qua tro pernas sem e nve rg-Ias e fazendo com que a mesa fique nive lada. As pernas so cilind ros de madeira com uma rea da seo reta A = 1,0 cm2; o mdulo de Young E = 1,3 X 1010 N/m2. Quais so os mdulos das foras que o cho exe rce sobre as pernas da mesa?

Tomamos a mesa c o cilindro de ao como nosso sistema. A sit uao a da Fig. 12-9, exceto pelo fato de que agora temos um cilindro de ao sobre a mesa. Se o tampo da mesa pennanece nivelado. as pernas devem estar comprimidas da segu inte forma : cada uma das pernas mais curtas deve ter sofrido o mesmo encu rtamento (vamos cham-lo de llL) e. portanto, estar submetida mesma fora Fj. A pe rna mais comprida deve ter sofrido um en-curtamento maior.tlL4 e. portanto. deve estar submetida a uma fora F4 maior que Fj . Em outras pa lavras. para que a mesa esteja nivelada, devemos ler

(12-26)

De acordo com a Eq. 12-23. podemos relacionar uma variai10 do comprimento fora responsvel por essa variai10 atravs da equao llL = FLlA E, onde L o compriment o original de uma das pernas. Podemos usar esta re lao para substitui r llL4 e llL ) na Eq. 12-26. Observe que podemos tomar o comprimento original L como sendo aproximadame nte o mesmo para as quatro pernas.

Clculos: Faze ndo essas substituies e essa aproximao, podemos escreve r:

12-1 1 Elasticidade __

o valor do mdulo de Young do ao pode ser obtido na Tabela 12- 1. De acordo com a Eq. 12-23.0 alongamento

u = (F A)L = (2.2 x lO' N m' )(O.81 m) E 2.0 x 10 " N ml

= 8.9 X tO-4 m = 0.89 mm.

A deformao . portanto.

llL 8,9 x tO-4 m L = ""'O".8"','--m-"'-

= 1.1 X 10 3 = 0.11 %.

(Resposta)

(Resposta)

(12-27)

No podemos resolver esta eq uao porque ela possui duas incgnitas. F4 e F3'

Para obter uma segunda equao envolvendo F4 e F3 podemos definir um eixo vertical y e escrever uma eq ua o de equilbrio para as componentes verticais das foras (Frc;..y = O) na forma

(1 2-28) o nde Mg o mdulo da fora gravitacional que age sopre o sistema. (Trs pe rnas esto submetidas a uma fora F 3') Para resolver o sistema de equaes 1227 e 12-28 para. digamos. calcular FJ. usamos prime iro a Eq. 12-28 para obter F( = Mg - 3F). Substituindo F4 por seu valor na Eq. 12-27. obtemos, depois de algumas manipu laes al -gbricas.

F =M8_ dAE J 4 4L

(290 kg)(9.8 m s' ) = -'--~;---'-

(5.0 x 1O~ m)(IO-4 m1)(1.3 x tO lO N ml )

(4)(1.00 m) = 548 N = 5,5 x ]()2 N. (Resposta)

Substituindo este valor na Eq. 12-28. obtemos:

F, = Mg - 3F, = (290 kg)(9.8 mJs') - 3(548 N) " 1.2kN. (Resposta)

fci l mostra r que quando o equilbrio atingido as trs pernas curtas esto com uma compresso de 0.42 mm e a perna mais comprida est com uma compresso de 0.92 mm.

.. Captulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

REVISO E RESUMO Equilbrio Esttico Quando um corpo rgido est em re-pouso. dizemos que ele se encont ra em equilbrio esttico. A soma vClOrial das foras que agem sobre um corpo em equilbrio esttico zero:

F .... =O (equilbrio de fora s). (12-3) Se Iodas tiS foras esto no plano xy. esta equao velorial equi-valente II duas equaes para as compone ntes:

F ....... - O e F ..... =O (eqwlbnode r~). (12.7. 12-8) A soma vetorial dos torqucs externos em relaAo a qualquer ponto que agem sobre um corpo em equtlibrio esttico tambm zero.ou seja.

i = (equilbrio de torques). (12-5) Se as foras e)lo no plano xy. todos os tarques so paralelos ao e[.'(o .:. e a Eq. 12-5 equivalente a uma equao para a nica componente diferente de zero:

t.a.. = O (equiHbriodt lorques). (12-9)

Centro d. Gravidade A fora gmvitacional age separada-mente sobre cada elemento de um corpo. O efeito total de to-das essas foras pode ser determinado imaginando-se uma fora gravitacional equivalente F& aplicada ao centro de gravidade do corpo. Se a acelerao da gravidade g a mesma para todos os elementos do corpo. a posio do centro de gravidade coincide com a do centro de massa.

M dulos de Elasticidade Trs mdulus de elasticidade so usados para descrever o comportamento elstico (as defor-maes) de objetos submetidos a fo ras. A derormaio (variaO relativa do comprimento) est linearmente relacionada tenso (fora por unidade de rea) aplicada at ravs de um mdulo apro-priado. de acordo com a relao geral

PERGUNTAS 1 A Fig. 12-15 mostra quatro vistas superiores de discos unifor-mes com um movimento de rotao que esto deslizando em um piso sem atrito. Trs foras.. de mdulo F. 2F ou 3F. agem sobre cada disco na borda, no centro ou no ponto mdio entre a borda e o centro. As foras giram com os discos e. nos "instantneos" da Fig. 12-15, apontam para a esquerda ou para a di re ita. Quais so os discos que esto em equilbrio?

F F F

F / - 2F I.) (b) (d (di

FtG. 121S Pergunta 1.

2 A Fig. 12-16 mostra uma vista superior de uma barra uniforme sobre a qual agem quatro foras.. Supon ha que foi escolhido um elxu de rutao passando pelo ponto O. foram calculados os tor-

tenso = mdulo X deformao. (12-22)

Trao e Compresso Ouando um objeto est sob trao ou compresso, a Eq. 12-22 escrita na forma

!.... = E tlL , A L (12-23)

onde tlUL a deformao de alongamento ou compresso do objeto, F o mdulo da fora F responsvel pela deformao. A a rea de seo reta qu'll a fora f: aplicada (perpendicu-larmcnle a A. como na Fig. 12-110). e E o mdulo de Young do objeto.A tenso FIA.

Cisalhamento Quando um objeto est sob tenso de cisa Iha-mento,a Eq. 12-22 escrita como

F =GtlX A L'

(12-24)

onde tul L a deformao de cisalhamento do objeto, tu o deslocamento de uma das extremidades do objeto na direo da fora F aplicada (como na Fig.12-llb) e G o mdulo decisalha-menlu do objeto.A tenso FIA.

Tenso Hidrosttica Quando um objeto submetido a uma compresso hidrostltica por uma tenso exercida por um fluido no qual est submerso. fi Eq. 12-22 escri ta na forma

(12-25)

onde p a presso (lenso hidrosttica) que o fluido exerce s0-bre o objeto, tJ. VIV (a deformao) o valor absoluto da variao rc1miva do volume do objeto produzida por essa presso e B o mdulo de elasticidllde "olumtrico do objeto.

ques produzidos pelas foras em relao a esse eixo e verificou-se que o torque resultante nulo. O IOrque resultante continuar a se r nulo se o eixo de rotao escolhido for (a) o ponlO A (situado no interior da barra), (b) o ponto B (situado no prolongamento da barra). ou (c) o ponto C (ao lado da barra)? (d) Suponha que o torque resultante em relao ao ponto O no seja nulo. Existe algum OUlro ponto cm relao ao qual o torque resultante se anula?

e

O A II

FIG. 12-16 Pergunta 2.

3 A Fig. 12-17 mostra um mbile de pingins de brinquedo pen-durado em um teto. As barras transversais so horizontais.. tm massa desprezvel e o comprimento direita do fio de sustenta-o trs vezes maior que o comprimento esquerda do fio. O pingim I tem massa m I = 4R kg. Quais so as massas (a) do pin-gim 2, (b) do pingim 3 e (c) do pingim 47 4 Na Fig. 12-18 uma trave rgida est presa a dois postes que esto fixos em um piso. Um cofre pequeno. mas pesado, colo-cado nas seis posies indielidas, uma de cada vez. Suponha que

FIG. 12-17 Pergunta 3.

a massa da trave desprezvel em 2 3 4 5 6 comparao com a do cofre. (a) ""='::=in=~"=='::o=o'::l Ordene as posies de acordo com A h B a fora exercida pelo cofre sobre o .;l,. ... == ......... poste A. comeando pela tenso compressiva maior e tenninando FIG. 12-18 Pergunta 4.

com a maior tenso trativa, e indique em qual das posies (se houver alguma) a fora nula. (b) Ordene as posies de acordo com a fora exercida sobre o poste B. 5 A Fig. 12-19 mostra trs situaes nas quais a mesma barra horizontal est presa a uma parede por uma dobradia cm uma das extremidades e por uma corda na outra. Sem realizar clculos numricos, ordene as situaes de acordo com o mdulo (a) da fora que a corda exerce sobre a barra, (b) da fora vertical que a dobradia exerce sobre a barra e (c) da fora horizontal que a dobradia exerce sobre a barra, comeando pela maior.

I 500

(I) (2) (3) FIG.12-19 Pergunta 5.

6 Uma escada est apoiada em uma parede sem atrito, mas no cai por causa do atrito com o cho. Suponha que a base da escada seja deslocada em direo parede. Dete rmine se a grandeza a seguir aumenta, diminui ou permanece a mesma (em mdulo): (a) a fora normal sobre a escada exercida pelo cho; (b) a fora exercida pela parede sobre a escada; (c) a fora de atrito esttico exercida pelo cho sobre a escada; (d) o valor mximo f~mb da fo ra de at rito esttico. 7 Na Fig. 12-20, uma barra vertical est presa a uma dobradia na extremidade inferior e a um cabo na extremidade superior.

PROBLEMAS

- O nmero de pontos indica o grau de dificuldade do problema

Uma fora horizontal F. apli-cada haste. como mostra a figura. Se o ponto de aplicao da fora deslocado para cima ao longo da haste, a tenso do cabo aumenta, diminui ou permanece a mesma? 8 Trs cavalinhos eSlopendura-dos em um arranjo (em repouso) de polias e cordas de massa des-prezvel na Fig. 12-21. Uma corda se estende do lado direito do teto at a polia mais baixa esquerda. dando meia volta em todas as po-lias. Vrias cordas menores sus-tentam as polias e os cavalinhos. So dados os pesos (em newtons) de dois cavalinhos. Qual o peso do terceiro cavalinho? (Sugesto:

Problemas _

F.

FIG. 12-20 Pergunta 7.

Uma corda que d meia volta em torno de uma polia puxa-a com FIG. 12-21 Pergunta 8. uma fo ra total que igual a duas vczes a da tcnso da corda.) (b) Qual a tenso da corda r? 9 Na Fig. 12-22, uma barra estacionria AC de 5 kg sustentada de encontro a uma parede por uma corda e pelo atrito entre a

D

barra e a parede. A barra uniforme tem 1 m -==~83;==;li de comprimento e (J = 30". (a) Onde deve k IJ C ser posicionado um eixo em r~tao para de-terminar o mdulo da fora T exercida pela corda sobre a barra a partir de uma nica equao? Com essa escolha de eixo e con-

FIG. 12-22 Pergunla 9.

siderando positivos os torques no sentido anti-horrio. qual o sinal (b) do torque rI' exercido pelo peso sobre a barra e (c) do torque rc exercido pela corda sobre a barra? (d) O mdulo de Tc maior. menor ou igual ao mdulo de rp? 10 A Fig. 12-23 mostra um bloco horizontal suspenso por dois fios, A e B. que so iguais, exccto quanto ao comprimento na ausncia de deformao. O centro de massa do bloco cst mais prximo do fio B que do fio A. (a) Calculando os lorques

A

FIG, 12-23

B

. CM

Pergunta 10. cm relao ao centro de massa do bloco, dctermine se o mdulo do torque produzido pelo fio A maior. igualou menor que o mdulo do torque produzido pelo fio B. (b) Qual dos fios exerce mais fora sobre o bloco? (c) Se os fios agora tm comprimentos iguais, qual dos dois era inicialmente mais curto (antes de o bloco ser suspenso)?

~ Informaes adicionais disponive,s em O Circo Voador da Fisica, de Jean Walker, Rio de Janeiro: LTC, 2008.

seo 12-4 O Centro de Gravidade - 1 Como a constante g praticamente a mesma em todos os pontos da grande maioria das estruturas, em geral supomos que o centro de gravidade de uma estrutura coincide com ocentrode

massa. Neste exemplo fictcio, porm, a variao da constante g significativa. A Fig. 12-24 mostra um arranjo de seis partculas, todas de massa m, presas na borda de uma estrutura rfgida de massa desprezfvel. A distncia entre part1culas vizinhas 2,00 m.

__ Captulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

A tabela ii seguir mo~tra o valor de g (cm m/52) na posio de cada partcula. Usando o sistema de coordenadas mostrado na figura. detemioe (a) a coordenada X0.1 c (b) a c0-ordenada YOI do centro de ma!>sa do sistema de seis partculas. Em seguida. determine (c) a coordenada XeG e Cd) coordenada .\"("(i do CCnlro de gra,-idade do \I.)ICma de seis pan. culas.

Panicula g Partcula

8.00 4 , 7.80 5 3 7.60 6

g

7.40 7.60 7.80

,

FIG. 12Z4 Problema I .

Mio 125 Alguns Exemplos de Equilbrio Esttico -2 Um arco puxado pelo ponlO mdio at que li tenso da corda fique igual fora exercida pelo arqueiro. Qual o ngulo enlre as duas metades da corda '! -3 Uma corda de ma~sa desprezvel est esticada horizontal-mente entre dois suportes separados por uma distncia de 3.44 m. Quando um objeto pesando 3160 N pendurado no centro da corda. ela cede 35.0 em. Qual a tenso da corda? .; -4 Um grupo de estodantes de ((sica. cujos pesos esto indica- . dos em newtons na Fig. 12-25.est equilibrado em uma gangorra. Qual o nmero da pessoa que produz o maior torque em rela,io a um eixo de rotao que passa pelo fI/fero fno sentido (a) para fora do papel c (b) para dentro do papel?

, 3

220 330 440 M.,O 5(i,O 440 330 220 Ilt!wtoos , , o ,

FIG. 12-25 Problema 4.

-5 Na Fig. 12-26 uma esfera uniforme de massa ln = 0.8..' kg e raio r =: 42 cm man-tida cm repouso por uma corda de massa desprezvel. presa a uma parede sem atrito a uma distncia L '" 8.0 cm acima do centro d.t esfera. Determine (a) a tcn~o da corda e (b) a fora que a parede exerce sobre a esfera. -6 A distncia entre os eixos dianteiro e traseiro de um automvel de 3.05 m. A massa do autom\'cl 1360 kg. c seu centro de gravidade est situado 1.78 m atrs do eixo dianteiro. Com o lIutomve) cm terreno plano. determine o mdulo da fora exercida

3 !

4 mel~

-'-I FIG. 12-26

Problem1l5.

pelo solo (a) sobre cada roda dianteira (supondo que as foras e,ercidas sobre as rod,lS dianteiras so iguais) e (b) sobre cada roda traseira (supondo que as foras exercidas sobre as rodas tra-se.ras so iguais).

-7 Um mergulhador com 580 N de peso est em p na extremidade de um trampolim de comprimento L "" 4.5 m e m3ssa despre7vcl (Fig. 12-27). O trampolim eSl preso em dois suportes separados por uma distncia (I "'" 15 m. Das -

foras que agem sobre o trampo-lim. quais so (a) o mdulo c (b) o sentido (para cima ou para baixo)

f---L- ..

FIG. 12-27 Problema 7.

da fora exercida pelo suporte de trs.e (c) o mdulo e (d) o sen-tido (para cima ou para baixo) da fora exercida pelo suporte da frente'! (e) Que pedestal (o de trs ou o da frente) est sendo tra-cionado. e (f) que pedestal est sendo comprimido? -8 Um andaime com 60 kg de massa e 5.0 m de comprimento mantido na horizontal por um cabo vertical em cada extremi-dade. Um lavador de janelas com 80 kgdc massa est em p sobre o andaime a 1.5 m de distncia de uma das extremidades. Qual a tenso (a) no cabo mais prximo e (b) no c'Lbo mais dist,mte do

Iav'::ldor? -9 Um lavador de janelas de 75 kg usa uma escada com lO kg de massa e 5.0 m de comprimento. Ele apia uma extremidade no cho a 2.5 m de uma parede. encosta a extremidade oposta em uma janela rachada e comea a subir. Quando percorreu uma dis-tncia de 3.0 m ao longo da escada a janela quebra. Despreze o atrito entre a escada e a janela e suponha que a base dll escada no escorregue. Quando a janela est na iminncia de quebrar. qual (a) o mdulo da fora que a escada exerce sobre a janela, (b) o mdulo da fora que o cho exerce sobre a escada e (c) o ngulo (cm relao horizontal) da fora que o cho exerce so-bre a escada? - 10 Ka Fig. 12-28 um homem est tentando tirar o carro de um atoleiro no acostamento de uma estrada. Ele amarra uma das extremidades de uma corda no pra-choque dianteiro e a oulra extremidade cm um poste. a 18 m de distncia. Em seguida, empurra a corda lateralmente, no ponto mdio. com uma fora de 550 N. deslocando o centro da corda de 0.30 m em relao posi.io anterior. e o carro praticamentc no se move. Qual a fora exercida pchl corda sobre o carro? (A corda sofre um pequeno alongamento.)

FIG. 12-28 Problema lO.

-11 Uma rgua de um metro est em equilfbrio horizontal so-bre a lmina de uma faca. na marca de 50,0 cm. Com duas moedas de 5.00 g empilhadas na marca de 12.0 cm, a rgua lica cm equilf-brio na marca de 45.5 cm. Qual a massa da rgua? -12 O sistema da Fig. 1229 est em equilbrio. com a corda do centro exatamente na hori-zontal. O bloco A pesa 40 N. o bloco 8 pesa 50 N e o ngulo

,

-13 As foras FI' (2 C f~ agem sobre a estrutura cuja vista su-perior aparece na Fig. 12-27. Deseja-se colocar li estrutura em equilbrio aplicando uma quarta fora em!-lm e

~ Capitulo 12 I Equilbrio e Elasticidade

o coeficiente de atrito esttico entre os sapatos de alpinismo c a parede? ~ "23 Na Fig. 12-39 um bloco de 15 kg mantido em repouso atravs de um sistema de polias. O brao da pessoa est na veni-cal: o antebrao faz um ngulo (J :o 30" com a horizontal. O ante-brao e a miiQ tm uma massa conjunta de 2,0 kg, com um centro de massa a uma distncia d t = 15 cm ii frente do ponto de cantalO dos ossos do antebrao com O osso do brao (rncro). Um ms-culo (o trceps) puxa o antebrao ve rt icalmente para cima com uma fora cujo ponto de aplicao est a uma distncia dz = 2.5 cm atrs desse ponto de conlalO. A distncia d J 35 cm. Quais silo (a) o mdulo e (b) o sentido (para cima ou para baixo) da fora exercida pelo trceps sobre o antebrao e (c) O mdulo c (d) o sentido (para cima ou para baixo) da fora exercida pelo mero sobre o antebrao?

FIG. 1239 Problema 23.

"24 Na Fig. 12-40 um alpinista se apia com as mos em uma encosta \'ertical coberta de gelo cujo alrito desprezvel. A dis tncia a 0.914 m e a distncia L 2.10 m. O centro de massa do alpinista est a uma dis tncia d = 0,940 m do ponto de con tato entre os ps do alpinista e uma plataforma horizontal na rocha. Se o alpinista est na iminncia de escor-regar. qual o coeficiente de at ri to esttico entre os ps e a rocha? ~ "25 Na Fig. 12-41 uma extremi-dade de uma viga unifonne de 222 N de peso est presa por uma do-bradia a uma parede: a out Ta ex tremidade sustentada por um fio que faz ngulos de 30.0" com a viga

1--. - -< FIG.12-40 Problema 24.

e com a parede. Determine (a) a Dobrndia tenso no fio e as componentes (b) horizontal e (c) vertical da fora que a dobradia exerce sobre a viga. "26 Na Fig. 12-42 um alpinistl de 55 kg est subindo por uma chamin na pedra. com as mos puxando um FIG. 1241 Problema2S. lado da chamin e os ps pressionando o lado oposto. A chamin tem uma largura w "" 0.20 m e o centro de massa do alpinista est a uma distncia horizontal d = 0,40 m da chamin. O coefici ente de atrllo esttico entre mos e rocha 111 = OAO. e entre botas e ro-

cha /12 = 1.2. (a) Qual n menor fora horizontal das mos c ps que mantm o alpinista estvel? (b) Para a fora horizontal do item (a). qual deve ser a distncia vertical h entre as mos e os ps? Se o al-pinista encontra uma rocha mida, para a qual os valores de 11 1 e 11! silo menores. o que acontece com (c) a resposta do item (a) e (d) a Tes-postadoitem(b)? ~ "27 O sistema na Fig. 12-43 est em equilbrio. Um bloco de concreto com uma massa de 225 kg est pendurado na extremidade de uma longarina com uma massa de 45,0 kg. Para os ngulos ljJ = 30.0" e (J = 45,0". determine (a) a tenso T do cabo e as componen-tes (b) horizontal e (c) vert ical da fora que a dobradia exerce sobre a longarina,

T ,

1 FIG 12-42 Problema 26.

FIG. 12-43 Problema 27.

r ", I

Cabo

OObradi ....

""'" H. Silv

.,.31 Uma porta tem uma ahura de 2.1 m. ao longo de um eixo r que se estende verticalmente para cima. e uma largura de 0.91 m. ao longo de um eixoxque se estende horizontalmente a partir do lado da porta que est pre!>o com dobradi~ Uma das do-bradias est a 0.30 m da borda superior da porta e outra a 0.30 m da borda inferior: cada uma sustenta metade do peso da porra. cuja massa 27 kg. Em termos dos vetores unitrios. quais so as foras exercidas sobre a porta (a) pela dobradia superior e (b) pela dobradia inferior?

"32 Na Fg. 12-46, uma barra fina AB de peso despreLvel e comprimento L est presa a uma parede vert ical por uma do-bradia no ponto A c sustcnulda no ponto B por um fio fmo Be que faz um ngulo Ocom a horizontal. Um bloco dc peso P pode ser deslocado para qualquer posio ao longo da barra; sua posi-o definida pela distncia x da parede ao seu centro de massa. Determine, em funo de x. (a) a tenso no fio e as componentes (b) horizontal e (c) vertical da fora que li dobradia exerce sobre a barra no ponto A.

"33 Uma caixa cbica est cheia de areia e pesa 890 N. Desejamos fazer a caixa 'rolar. empurrando-a horizontalmente !Xlr uma das hordas superiores. (a) Qual a menor fora necess-ria? (b) Qual o menor coeficiente de atrito esttico necessrio entre a caixa e o piso? (c) Se existe um modo mais eficiente de fazer a caixa rolar. determine a menor fora possvel que deve ser aplicada diretamente caixa para que isso acontea. (SlIge.wo: Qual o ponto de aplicao da fora normal quando a caixa est prestes a tombar?) "34 A Fg. 12-47 mostra uma alpinista de 70 kg sustentada apenas por uma das mos em uma salincia horizontal de uma encosta vertical. uma pegada conhecida como pina. (A moa exerce uma fora para baixo com os dedos para se segurar.) Os ps da alpi nista tocam a pedra li uma distncia 11 :: 2.0 m verticalmente abaixo dos dedos. mas no oferecem nenhum apoio; seu centro da massa est a uma dis-tncia a = 0.20 m da encost,!. Suponha que a fora que a salincia exerce sobrc ti mo est distribuda igualmente por quatro de-dos. Determine os valores (a) da compo-nente horizontal F~ c (b) da componente vertical F, da fora exercida pcl

__ Capftulo '2 I Equilbrio e Elasticidade

~ - L,------I Ro:hi!c

mento LA = 2.40 m e uma massa de 54.0 kg; a viga B tcm uma massa de 68.0 kg. As dobradias esto separadas por uma distn-cia ri "" 1.80 m. Em lermos dos veteres unitrios. qual a fora (a) sobre a viga A exercida por sua dobradia. (b) sobre a \iga A c){crcida pelo rebite. Cc) 50bre a 'ig.t B exercida por sua dobradia e (d) sobre a \iga 8 e,.ercida pelo rebite?

FIG. 1251 Problema 38.

39 Lm artole. na forma de um cubo com 1.2 m de lado. contem lImiII pea de uma mquina: o cen tro de massa do caixo-te com seu conteudo est localizado 0.30 m acima do centro gco-metnco do caiJ:ote. O caixote repousa em uma rampa que faz um ngulo 8 com a hori70ntal. Quando (J aumenta a partir de zero. um \alor de ngulo atingido no qual o caixote tomba ou es-correga pela rampa . Se o coeficienk de atrito estt ico /1, entre a rampa e o caixote 0.60. (a) a rampa lomba ou desliza e (h) parti que ngulo 6 isso acontece? Se J-I. = 0.70, (c) o caixote tomba ou

de~liza e (d) para que ngulo 6 isso acontece? (Sugesto: Oual o ponto de aplicao da fora normal quando o caixote est prestes a tombar'!) 40 No Exemplo 122, sU!XInha que o coeficiente de atrito el>ttico 11. entre a escada e o piso 0.53. A que distncia (como porcentagem do comprime nto total da escada) o bombeiro deve ~ubir para que a escada el>le;a na iminl2ncia de escorregar? 41 Os lados AC c CE da es-cada da Fig. 12-52 112m 2.4-1 m de comprimento e esto unidos por uma dobradia no ponto C. A

c barra horizontal BD tem 0,762 m de comprimento e est na metade da ahura da escada. Um homem pesando 854 N sobe 1.80 m ao longo da escada. Supondo que nao h atrito com o cho e desprezando a massa da escada, determine (a) a tenso da harra e o mdulo da fora do que o cho exere sobre ii escada (b) no pon to A e (c) no ponto E. (Sugestu: Isole partes da escada ao aplicar as condies de cquihb rio.) FIG, 1252 Problema 41.

42 A Fig. 12-53a mostra uma viga horizontal uniforme. de massa IIIb e comprimento L.que sustentada li esquerda por uma dobradia presa a uma parede e direita por um cabo que faz um ngulo Ocom a hori/ontal.Um pacote de massa III p est posicio-nado sobre a viga a uma distncia x da ext remidade esquerda. A

- L--I ("'

z

Tgo 0,2 O. , 0.6 O.H + III, = 61.22 kg.A Fig. 12-53h mostra a tenso T do cabo em funo da posio do pacote. dada como uma [rao x/L do comprimento da viga. A escala do eixo das tenses defi-nida por 1~ = 500 N e 1~ = 700 N. Calcule (a) o ngulo 6. (b) a massa III b e (c) u massa fT/ p' seo 12-7 Elasticidade 43 Uma barra horil.Ontal de alumnio com 4.8 cm de dimetro se projeta 5.3 cm para fora de uma p'ITede. Um objclo de 1200 kg est suspenso na extremidade da haste. O mdulo de cisalha-mento do alumfnio 3.0 x 1010 N/m~. Desprezando a massa da barra. determine (a) a tenso de eis.tlhamento que uge sobre a haste e (b) u deflexo vertical da extremidade du haste. 44 A Fig. 12-54 mostra a curva tenso-deformao de um mate-rial. A escala do eixo das tenses definida por s - 300. em unida-des de ler N/m l . Determine (a) o mdulo de Young e (b)'o valor aproximado do limite elstico do material. "45 Na Fig. 1255 um tronco

ii' ,

" o~-OO",OO;;;;;2-00",OO""4-Dcfonndo

FIG. 1254 Problema 44.

Fio li

I 1

unifonne de 103 kg est pendu-rado por dois fios de ao. A e 8 . cujo raio 1.20 mm. Inicialmente o fio A tinhH 2.50 m de compri-mento e era 2.00 mm mais curto doqueo fi o B. O tronco est agora na horizontal. Qual o mdulo da FIG. 12-55 Problema 45. fo ra exercida sobre o tronco (a) pelo fio A e (h) pelo fio 8 ? (c) Qual o valor da razo d ... Id/!? "46 A Figura 12-56 mostra a curva tenso-deformao de um lio de alumnio que est sendo ensaiado em uma mquina que puxa as duas extremidades do fi o em sentidos opostos. A escala do ei.m das tenses definida por ) = 7.0. cm unidades de 107 N/m2. O fio tem um comprimento ini-ciaI de 0.800 rn, e a (trea da sco re ta inicial 2.00)( 10 -6 m2 Qual

z ';'

o , ,O Oef()rm;.o (to-!)

FIG. 12-56 Problema 46.

o trabalho reali l ado pela fora que a mquina de ensaios exerce sobre o fio para produzir uma deformao de 1.00)( 10 l,! "47 Na Fig. 12-57 um tijolo de chumho repousa horizontalmente

~obre os cilindros A e 8 . As reas das faces superiores dos cilindros obedecem relao A ... = lA B: Ol> mdulos de Young dos cilindros obedecem fi relao E ... = 2Es. Os cilindros tinham a mesma altura antes que o tijolo fosse colocado

A n FIG. 12-57 Problema 47.

sobre eles. Que frao da massa do tijolo sustentada (a) pelo cilindro A e (b) pelo cilindro 8 ? As disuincias horizontais entre o centro de massa do tijolo e os eixos dos cilindros so d ... e ds. (c) Qual o valor da razodAIdB? " 48 A Fig. 12-58 mostra o grfico tenso-dcformao aproxi-mado de um lia de teia de aranha , al o ponto em que se rompe com uma deformao de 2,00. A esealu do eixo das tenses defi-

nida por a = 0.12 GN/mz. b =. 0.30 GN/m2 c c "" 0.80 GN/ml . Suponha que o fio tem um comprimento ini-ciaI de 0.80 cm. uma rea da seo reta iniciill de 8,0 )( 10 12 m2 e um volume constante durante o alon-gamento. Suponha tambm que quando um inseto se choca com o fio Ioda a ene rgia cintica do in5elo usada para alongar O fio. (a) Qual li energia cintica que coloca o

r __________ _

FIG. 1258 Problema 48. tio na iminncia de se romper'! Oual a energill cintica (h) de uma drosfila com uma massa de 6.00 mg voando a 1.70 mls e (c) uma abelha com uma massa de 0.388 g \'oando a 0.420 mJs? O fio seria rompido (d) pela drosfila e (e) pela abelha? ~ "49 Um tnel de compri mento L = 150 m. alt ura lf = 72 m. largura de 5.8 m e leto plano deve ser construdo a uma distncia ri '" 60 m da superfcie. (Veja a Fig. 1259.) O te lo do tnel deve ser sustentado inteiramente por colunas quadradas de ao com uma sco reta de 960 cml. A massa de 1,0 cm' de solo VI g. (a) Qual o peso tolal q ue as colunas do tnel devem sustentar? (b) Quantas colunas so neceS1.rias para manter a tenso compres-siva e m cada coluna na melade do limite de ruptura?

I.

H

l -.---

FIG . 1259 Problema 49.

~"50 A Fig. 12-60 mostra um inseto capturado no ponto mdio do fio de uma teia de aranha. O fio se rompe ao ser submet ido a uma tenso de 820)( lOS N/m2, e a de formao correspondente 2.00.

J ~

I d I ~

Inicialmen te o fio estava na hori- FIG. 12.6O Problema 50. zontal e tinha um comprimento de 2,00 cm e uma seo reta de S.OO)( lO 12 mZ Quando o tio cedeu ao peso do inscto. o volume permaneceu constante. Se o peso do inseto coloca o fio na iminncia de se romper. qual a massa do inscto? (Uma teia de aranha construda paTl se romper se um inseto potencialmente perigoso, como uma abelha, fi ca preso na teia,) ~ 51 A Fig. 1261 uma vista superior de uma bnrra rgida que gira em torno de um eixo verlica l at que os culos de borracha iguais A e B sejam empurrados contra paredes rfgidas nas distn cias r" ... 7.0 cm e r/l '"' 4,0 cm em relao ao eixo. Inicialmente 00; calos tocam as paredes sem sofrer compress.lo, Em seguida, um,l for5a f: de mdulo 220 N aplicada perpendicularmente haste a uma distncia R "" 5.0cm do eixo. Determine o mdulo da fora que comprime (a) o ca lo A e (b) o calo IJ.

Problemas __

FIG. 12-61 Problema 51.

Problemas Adicionais 52 A Fig, 12620 mostra uma rampa uniforme entre dois edif cios que leva em COnla a possibilidade de que os edificiO!> oscilem no serem submet idos II ventos fortes. A extremidade esquerda est presa por uma dobradia na parede de um dos edifciO'i; na ex tremidade direita h um rolamento que permite o mO\'imenlo ao longo da parede do outro edifcio. A fora que o edifcio exerce sobre o rolamento no possui componente vert ical. mas apenas uma fora horizontal de mdulo F~. A dis tncia horizon-tal entre os edifcios O = 4,00 m. O desnvel entre as extremi-dades da rampa II '" 0.490 m. Um homem caminha ao longo da rampa a partir da extremidade esquerda, A Fig. 12-62b mostra F. cm funo da dis tncia horizontal x entre o homem e o edincio da e~querda. A escala do eixo de f~ definida por (I = 20 kN c b = 25 kN. Quais silo a~ massas (a) da rampa e (b) do homem'!

-f)---

'--1

e)

h

O~--"---C2C---"----', .\ (m)

(b)

FIG. 12-62 Problema 52.

53 Na Fig. 1263 uma esfera de 10 kg est presa por um cabo soo bre um plano inclinado sem alrito que faz um ngulo O = 45 com a horizontal. O ngulo rb 25". Ca lcule a tenso do cabo. 54 Na Rg. 1264a uma viga uni forme de 4,O kg repousa simetri-camente em dob rolamentos. As distncias ent re as marcas vcr-ticais ao longo da viga so iguais. Duas das marcas coincidem com a posio dos rolamentos; um pa cote de 10,0 kg colocado sobre a viga. na posio do rolamento li, Qual o mdulo da fora exercida sobre a viga (a) pelo rolamento A e (b) pelo rolamento B? A viga empurrada para II e~uerd:1 at que a extremidade din:1la esteja acimado rolamento B(I-ig, 1264h).

FIG, 12-63 Problema 53.

. "

e")

eh) FIG. 12-64 Problema 5-1-.

..-zI Captulo 12 I Equilbrio e Elasticidade Q ual o novo mdulo da fora exercida sobre a viga (c) pelo ro-lamentu A c (d) pelo rol

corda presa na parede. Se 91 = 60", que valor deve ter o ngulo fh. para que a tenso na corda seja mgn.? 66 Um homem de 73 kg est em p em uma ponte horizontal de comprimento L. Ele se enconlra a uma distncia L/4 de uma das extremidades. A ponte uniforme e pesa 2,7 kN. Qual o mdulo da fora vertical exercida sobre a ponle pelos suportes (a) na ext remidade mais afastada do homem e (b) na extremi dade mais prxima? 67 Um balano improvisado foi construdo amarrando as duas eXtremidades de uma corda no galho de uma rvore. Uma cri ana est sentada no meio. com os dois trechos da corda na verti cal. quando o pai da criana a empurra com uma fo ra horizontal, deslocandoa para um lado. Imediatamente antes de a criana ser liberada a partir do repouso, a corda faz um ngulo de 15 com a vert ical e a tenso da corda 280 N. (a) Quanto pesa a criana? (b) Qual o mdulo da fora (horizontal) que o pai exerce soo bre a criana imediatamente antes de liberla? (c) Se a fora mxima que o pai pode exercer sobre a criana 93 N. qual o maior ngulo com a vertical que a corda pode fazer enquanto o pai empurra ho rizontalmente a criana? 68 O sistema da Fig. 1273 est em equilbrio. Os ngulos so 91 = 6f!> e fh. = 20", e a bola tem uma massa M = 2,0 kg. Qual a tenso (a) na cordaab e (b) na corda bc? 69 A Fig. 1274 mostra um arran jo estacionrio de duas caixas e trs cordas em repouso. A caixa A tem uma massa de 1 LO kg e est sobre uma rampa de ngulo 9 = 30,0"; a caixa B tem uma massa de 7,00 kg e est pendurada em uma corda. A corda presa ti caixa A est paralela rampa, cujo alTito desprezvel. (a) Qual a tenso da corda de ci ma e (b) que ngulo essa corda faz com a horizonlal? 70 Um operrio tenta levantar uma viga uniforme do cho at a posio vertical. A viga tem 2.50 m de comprimento e pesa 500 N. Em um certo instante o operrio mantm a viga momentanea-mente em repouso com a extremi-dade superior a uma dis tncia d = 1,50 m do cho, como mostra a Fig. 1275, exercendo uma fora P perpendicular viga. (a) Qual o mdulo P da fora? (b) Qual o mdulo da fora (resultante) que o piso exerce sobre a viga?

(c) Qual o valor mnimo do coo eficiente de atri to esttico entre a

,

FIG. 12-73 Problema 68.

, L,

FIG . 12-74 Problema 69.

r-------

FtG. 12-75 Problema 70.

viga e o cho para que a viga no escorregue nesse instante? 71 Um cubo de cobre macio tem 85.5 cm de lado. Qual a ten so que deve ser aplicada ao cubo para reduzir O lado para 85,0 cm? O mdulo de elasticidade volumtrico do cobre 1.4 x 10" N/m2. 72 Uma viga uniforme tem 5,0 m de comprimento e uma massa de 53 kg. Na Fig. l276, a viga est sustentada na posio horizon

tal por uma dobradia e um cabo e 9 = fn'. Em termos dos vetores unitrios. qual a fora que a do-bradia exerce sobre a viga? 73 Na Fig. 12-77, uma viga uni forme com 60 N de peso e 3.1 m de comprimento est presa a uma dobradia na extremidade infe rior e uma fora horizontal j: de mdulo 50 N age sobre a extremi dade superior. A viga mantida na posio vertical por um cabo que faz um ngulo 8 = 25 com o cho e est preso viga a uma distncia h = 2,0 m do cho. Quais so (a) a tenso do cabo e (b) a fora exer cida pela dobradia sobre a viga. em termos dos veta res unitrios? 74 Na Fig. 1278, uma viga uni forme de 12.0 m de comprimento sustentada por um cabo horizo