2a Lista de Mecânica Básica

1 – Calcule a intensidade da força horizontal que é necessário aplicar, em direção ao ponto O, para conseguir

que um tambor cilíndrico, de massa e raio , suba um degrau de altura , conforme ilustrado na figura 1.

Figura 1

2 – Uma escada de mão uniforme de comprimento e massa está apoiada em repouso contra uma parede vertical sem atrito. Como não há também atrito entre a escada e o chão, uma corda é utilizada para mantê-la na posição indicada na figura 2 fazendo um ângulo com o chão.

Figura 2

a) Faça um diagrama de corpo livre para a escada indicando todos os vetores força que agem sobre ela. Escreva cada uma das forças em notação vetorial. Utilize o sistema de coordenadas indicado.b) Calcule os vetores torque para todas as forças que agem na escada, em relação ao ponto de contato com o chão. Utilize o sistema de coordenadas indicado.c) Sabendo que a corda suporta uma tensão máxima igual a duas vezes o peso da escada, determine se é possível ou não manter o equilíbrio estático colocando a escada com um ângulo = 20,0 com a horizontal. Justifique a sua resposta.

3 – Uma barra de comprimento e massa pode girar livremente em torno de um pino (colocado no ponto A), num plano vertical. Um projétil de massa e velocidade de módulo atinge a barra como mostra a figura 3, ficando alojado nela.a) Calcule a velocidade angular da barra imediatamente após a colisão.b) Determine a quantidade de energia do projétil que é transformada em energia interna durante o processo.

Figura 3

1

escada

corda

A

O

4 – Uma bola de bilhar, com raio cm e massa g, está em repouso ao receber o impacto do taco, conforme ilustrado na figura 4. A linha de ação do impulso é horizontal, passando pelo centro da bola. Devido ao impacto, a bola passa a rolar, com deslizamento, com uma velocidade inicial m/s. Os coeficientes de

atrito cinético e estático entre a bola e a massa são, respectivamente, e , enquanto o

momento de inércia da bola, em relação ao seu centro de massa é . Considere s como sendo o

instante imediatamente após o impacto do taco.a) Calcule a velocidade e a aceleração angular da bola em s.b) Determine o intervalo de tempo em que a bola rola deslizando.c) Qual a velocidade do centro de massa da bola em s, sendo o instante calculado no item (b)?

Figura 4

5 – Um carretel cilíndrico de massa kg, raio m e momento de inércia kg.m2, rola num plano inclinado de ângulo 30, sendo puxado por um fio enrolado, conforme ilustra a figura 5 O coeficiente de atrito estático entre o carretel e o plano é .

a) Qual a tensão , no fio que é paralelo ao plano inclinado, necessária para que o carretel fique em repouso? b) Considere agora uma tensão que seja suficiente para que o fio do carretel suba com uma aceleração

m/s2. Qual é, neste caso, a força de atrito entre o carretel e o plano inclinado? c) Qual a máxima tensão no fio para a qual o carretel não escorregará?

Figura 5

6 – Uma bola de basquete (esfera oca) de massa e raio rola sobre uma superfície áspera e chega com

velocidade escalar à borda de uma ladeira inclinada de um ângulo θ com a horizontal, conforme esquematizado na figura 6. Ela desce a ladeira rolando sem deslizar, chegando a uma superfície horizontal mais

abaixo com velocidade escalar final . Dado: .

a) Através de considerações de energia, determine a altura h.b) Determine o módulo do torque resultante sofrido pela bola, em relação ao seu centro de massa, durante a descida.c) Ache a variação do momento angular sofrido pela bola, do início ao fim da descida. Com este resultado, determine o intervalo de tempo Δt gasto durante a descida.

2

Figura 6

a) Através de considerações de energia, determine a altura h.b) Determine o módulo do torque resultante sofrido pela bola, em relação ao seu centro de massa, durante a descida.c) Ache a variação do momento angular sofrido pela bola, do início ao fim da descida. Com este resultado, determine o intervalo de tempo Δt gasto durante a descida.

7 – Uma haste metálica delgada, de comprimento e massa , pode girar livremente em torno de um eixo

horizontal, que a atravessa perpendicularmente, à distância de uma extremidade. A haste é solta a partir do

repouso, na posição horizontal, conforme esquematizado na figura 7.a) Calcule o momento de inércia da haste, com respeito ao eixo em torno do qual ele gira.b) Calcule a velocidade angular adquirida pela haste após ter girado de um ângulo , bem como a aceleração angular.

Figura 7

8 – Uma esfera de massa e raio rola sem deslizar, sobre uma esfera maior de raio , conforme ilustrado na figura 8. Considere que a esfera menor tenha partido da posição superior praticamente em repouso. Calcule o ângulo onde a esfera menor perde o contato com a esfera maior.

3

h

θ

2 v0

Figura 8

v0

9 – Um disco e uma semi-esfera sólidos e homogêneos estão presos a um eixo que passa por seus centros e em torno do qual podem girar livremente. Inicialmente o disco está girando com velocidade angular de 3rps (rotações por segundo) enquanto a semi-esfera não está girando (figura 9a). Em seguida os dois corpos são colocados em contato de forma que, após 2 s ambos passam a girar juntos (figura 9b). Sabendo que a massa de ambos os corpos é de 1 kg, o raio do disco é 20 cm e o raio da semi-esfera 10 cm, responda:

Figura 9a Figura 9b

a) Qual o momento de inércia do sistema composto pelos dois corpos? b) Qual a velocidade de rotação final do sistema, em radianos por segundo?c) Qual a aceleração angular média de cada um dos corpos durante os 2 s em que há deslizamento? d) Qual a variação da energia cinética do sistema?

10 – Uma esfera maciça e homogênea rola sem deslizar sobre um plano horizontal, com a velocidade de seu centro de massa constante e de módulo igual a v0. A esfera está prestes a subir em uma rampa com ângulo de inclinação , como mostra a figura 10. Considere que o coeficiente de atrito estático e entre a rampa e a esfera é suficiente para que está role sem deslizar. (Iesfera = 2/5 MR2).

a) Antes da esfera começar a subir a rampa, qual é o módulo do torque resultante em relação ao seu centro?

b) Quando a esfera está subindo a rampa, qual é o módulo v da velocidade do seu centro de massa,

em função da altura h? ( )

c) Considere agora que v0 = 5,0 m/s e que a altura máxima hmax da rampa é igual a 1,5 m. A esfera alcançará ou não o ponto A mostrado na figura. Justifique. (Sim)

d) Considerando que a esfera está subindo a rampa, determine o módulo, a direção e o sentido da força de atrito atuando sobre ela, em função dos dados do problema. (2/7 mg sen)

Figura 10

11 - Dois corpos de massas m1 e m2 estão ligados a cordas que passam por duas polias coladas, que estão montadas num eixo comum, conforme mostra a figura 11. O momento de inércia total (soma) das duas polias é 40 kg m2. Os raios são R1 = 1,2 m e R2 = 0,4 m.a) Supondo que M1 = 24 kg, calcule o valor da massa M2 para que o sistema fique em equilíbrio.b) Se ao corpo de massa M1 for adicionada uma massa de 12 kg sem impulso inicial, qual será a aceleração angular das polias?c) Calcule a tensão nas cordas no caso do item anterior.

4

Figura 11

12 – Uma porta aberta tem massa M, largura L e está em repouso quando é atingida por uma bola de massa m (m << M) a uma distância D das dobradiças que são bem lubrificadas, e cujo atrito é, portanto, desprezível. A bola sofre uma certa deformação ao chocar-se com a porta, perdendo uma energia não desprezível. A porta tem densidade de massa uniforme, e seu momento de inércia em relação a um eixo vertical que passa por seu centro é ML2 / 12. Imediatamente antes de atingir a porta, o módulo da velocidade da bola é vi e sua trajetória é perpendicular à folha da porta. Imediatamente depois de atingir a porta, a velocidade da bola é v f e sua trajetória é ainda praticamente perpendicular à folha da porta, uma vez que m << M. As respostas devem ser dadas em função das variáveis do problema (m,vi, D, vf e L).

Figura 12

a) Calcule o vetor momento angular da bola (em relação ao ponto A) imediatamente antes da bola atingir a porta.b) Determine a energia cinética da porta imediatamente depois de ser atingida pela bola.

13 – Um aro de raio R e massa M e um bloco de aresta A e massa M, que estavam em repouso no alto de uma rampa de inclinação θ começam a se mover no mesmo instante. O aro rola para baixo sem deslizar, acompanhando o bloco que desliza para baixo, de modo que durante todo o movimento os centros de massa dos objetos permanecem emparelhados.a) Determine a aceleração do centro de massa do aro.b) Determine o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa.

14 – O sistema mostrado na figura 13 consiste de um disco de raio R = 50,0 cm e massa M = 10,0 kg que pode girar em torno do eixo vertical fixo de raio r = 5,0 cm. O torque constante exercido pelo atrito entre o eixo e o disco, em relação ao eixo vertical, é 0,22 N.m. O disco, inicialmente em repouso é submetido a ação de uma força F = 1,7 N tangencial ao disco durante um intervalo de tempo Δt = 1,0 minuto.

5

A

Figura 14a) Determine a aceleração angular do disco em torno do eixo vertical. O momento de inércia do disco em relação ao eixo pode ser obtido através da seguinte relação: I = (1/2) M (R2 + r2).b) Qual a velocidade angular do disco após o intervalo de tempo Δt = 1,0 minutos?c) Calcule o deslocamento angular do disco no intervalo de tempo Δt = 1,0 minutos?Transcorrido o intervalo de tempo Δt a força F é retirada.d) Qual será então o tempo necessário para o disco atingir o repouso sob a ação da força de atrito?e) Determine o número de revoluções executadas pelo disco até atingir o repouso a partir do instante em que a força F é retirada?

15 – Uma bola de massa M é mantida na mão de uma pessoa com seu centro de massa a uma distância L da articulação do cotovelo. O bíceps do braço liga-se sempre perpendicularmente ao antebraço a L/10 da articulação do cotovelo. Despreze a massa do antebraço. As respostas devem ser dadas em função das variáveis do problema (M, L e g).

a) Determine os vetores torque, em relação ao cotovelo, que a força do bíceps FB e o peso da bola fazem no antebraço, quando este está inclinado de 60º em relação à horizontal. Quantas vezes FB deve ser maior que o peso da bola para que não haja movimento? Utilize o sistema de coordenadas indicado.b) Partindo do repouso na posição do item a), suponha que o bíceps deixe de fazer força e antebraço e bola girem juntos. Determine a componente da força na direção horizontal (direção x) que o cotovelo sofre quando o antebraço e bola passam pela horizontal. Considere a bola como uma massa puntiforme.

6

x

y

z

7