Coleccin I FIS UNCP Tema: LOGICA DIFUSA

Huancayo Enero del 2008

ndice1. TEORIA DE LA CERTEZA.......................................................................................... 3 1.1 FACTOR DE CERTEZA ................................................................................... 3 1.2. FACTORES DE CERTEZA EN SISTEMAS BASADOS EN REGLAS .............. 3 2. LOGICA DIFUSA.......................................................................................................... 6 2.1. HISTORIA DE LA LOGICA DIFUSA .................................................................. 6 2.2. QUE ES LA LOGICA DIFUSA?.......................................................................... 6 2.3. VARIABLES LINGSTICAS .............................................................................. 7 2.4. TEORA DE CONJUNTOS DIFUSOS .................................................................. 8 2.5. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA EN LOS CONJUNTOS DIFUSOS ............................................................................................. 11 2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOS............................................ 13 3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DIFUSO BASADO EN REGLAS..................... 14 3.1. DEFINICIN DEL PROBLEMA......................................................................... 14 3.2. DEFINICIN DE LAS VARIABLES LINGSTICAS ..................................... 14 3.3. DEFINICIN DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS ............................................... 15 3.4. DEFINICIN DE LA REGLAS DIFUSAS ......................................................... 16 3.5. CONSTRUIR EL SISTEMA ................................................................................ 18 3.6. PROBAR EL SISTEMA ....................................................................................... 18 3.7. DEFUZZIFICACION DE LA VARIABLE DE SALIDA.................................... 21

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1. TEORIA DE LA CERTEZAUna alternativa a la teora de la probabilidad para el razonamiento inexacto en los sistemas expertos es la teora de la certeza. Los expertos a menudo toman juicios cuando resuelven un problema. La informacin que se tiene puede ser incompleta y el conocimiento utilizado para interpretar la informacin puede crear desconfianza en el resultado final. Una pregunta para un problema medico puede ser la siguiente : Tiene una fuerte jaqueca?. La respuesta es incierta, porque es subjetiva y requiere que el usuario elabore un juicio al contestar la pregunta; por supuesto el usuario se siente mejor al contestar con verdadero o falso. Por otro lado, el usuario podra contestar asignando un nmero subjetivo a su respuesta entre 0 y 1, tal como 0.7, que significa 70% de certeza en su respuesta. El nmero no tiene base estadstica ni probabilstica, ms bien es el nivel de creencia de la respuesta dada.

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FACTOR DE CERTEZA

Medida de la creencia que tiene un experto humano en la ocurrencia de un hecho. Nmero que refleja el nivel de creencia de una hiptesis. La ilustracin 1 muestra como se interpreta la teora de la certeza.

1.2. FACTORES DE CERTEZA EN SISTEMAS BASADOS EN REGLASLos sistemas basados en reglas utilizan la siguiente representacin: SI (CONDICION) ENTONCES (CONCLUSION) Aadiremos ahora el factor de certeza (FC) a los elementos de la regla de la siguiente forma:

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Para obtener la certeza de la conclusin en una regla de condicin simple, se tiene que dado:

El Factor de certeza de la conclusin es: FCr = FCp * FCx La certeza de una conclusin en reglas de condicin mltiple, se obtiene considerando si existe conjuncin o disyuncin. Para reglas donde exista conjuncin, se tiene que dado:

El Factor de certeza de la conclusin es: FCc = min (FCp, FCq, FCr, ... , FCz)* FCx La funcin min retorna el mnimo valor del conjunto de nmeros. Para reglas donde exista disyuncin, se tiene que dado:

El Factor de certeza de la conclusin es: FCc = max (FCp, FCq, FCr, ... , FCz)* FCx La funcin max retorna el mximo valor del conjunto de nmeros. Ejemplo: Encontrar el factor de certeza de x (FCx=?). Si se tienen las siguientes reglas:

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Solucin: Hallando FCc FCc = min(0.8, 0.85)*0.9 = 0.8*0.9 = 0.72 Hallando FCe FCe = max(FCc, 0.9)*1.0 = max(0.72, 0.9)*1.0 FCe = 0.9 * 1.0 = 0.9 Hallando FCx FCx = min(FCe, 0.8)*0.8 = min(0.9, 0.8)*0.8 FCx = 0.8 * 0.8 = 0.64 (Respuesta) Si las conclusiones son similares dado dos o ms reglas como se muestra a continuacin:

El factor de certeza se calcula utilizando la siguiente expresin: FCx_R1_R2 = FCx_R1 + FCx_R2 FCx_R1 * FCx_R2 El clculo de FCx_R1 y FCx_R2 utiliza los procedimientos ya mencionados anteriormente.

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2. LOGICA DIFUSA2.1. HISTORIA DE LA LOGICA DIFUSALos conjuntos difusos fueron introducidos por primera vez en 1965; la creciente disciplina de la lgica difusa provee por s misma un medio para acoplar estas tareas. En cierto nivel, la lgica difusa puede ser vista como un lenguaje que permite trasladar sentencias sofisticadas en lenguaje natural a un lenguaje matemtico formal. Mientras la motivacin original fue ayudar a manejar aspectos imprecisos del mundo real, la prctica temprana de la lgica difusa permiti el desarrollo de aplicaciones prcticas. Aparecieron numerosas publicaciones que presentaban los fundamentos bsicos con aplicaciones potenciales. Esta frase marc una fuerte necesidad de distinguir la lgica difusa de la teora de probabilidad. Tal como la entendemos ahora, la teora de conjuntos difusos y la teora de probabilidad tienen diferentes tipos de incertidumbre. En 1994, la teora de la lgica difusa se encontraba en la cumbre, pero esta idea no es nueva, para muchos, estuvo bajo el nombre de lgica difusa durante 25 aos, pero sus orgenes se remontan hasta 2,500 aos. An Aristteles consideraba que existan ciertos grados de veracidad y falsedad. Platn haba considerado ya grados de pertenencia. En el siglo XVIII el filsofo y obispo anglicano Irlands, George Berkeley y David Hume describieron que el ncleo de un concepto atrae conceptos similares. Hume en particular, crea en la lgica del sentido comn, el razonamiento basado en el conocimiento que la gente adquiere en forma ordinaria mediante vivencias en el mundo. En Alemania, Immanuel Kant, consideraba que solo los matemticos podan proveer definiciones claras, y muchos principios contradictorios no tenan solucin. Por ejemplo la materia poda ser dividida infinitamente y al mismo tiempo no poda ser dividida infinitamente. Particularmente la escuela americana de la filosofa llamada pragmatismo fundada a principios de siglo por Charles Sanders Peirce, cuyas ideas se fundamentaron en estos conceptos, fue el primero en considerar ''vaguedades'', ms que falso o verdadero, como forma de acercamiento al mundo y a la forma en que la gente funciona. La idea de que la lgica produce contradicciones fue popularizada por el filsofo y matemtico britnico Bertrand Russell, a principios del siglo XX. Estudio las vaguedades del lenguaje, concluyendo con precisin que la vaguedad es un grado. El filosofo austraco Ludwing Wittgenstein estudi las formas en las que una palabra puede ser empleada para muchas cosas que tienen algo en comn. La primera lgica de vaguedades fue desarrollada en 1920 por el filsofo Jan Lukasiewicz, visualiz los conjuntos con un posible grado de pertenencia con valores de 0 y 1, despus los extendi a un nmero infinito de valores entre 0 y 1. En los aos sesentas, Lofti Zadeh invent la lgica difusa, que combina los conceptos de la lgica y de los conjuntos de Lukasiewicz mediante la definicin de grados de pertenencia.

2.2. QUE ES LA LOGICA DIFUSA?Es una rama de la lgica que usa grados de membresa (pertenencia) a los conjuntos en lugar de pertenecer a ellos como verdadero o falso El trmino difuso procede de la palabra inglesa fuzz que sirve para denominar la pelusa que recubre el cuerpo de lo polluelos al poco de salir del huevo. Este trmino ingls significa confuso, borroso, indefinido o desenfocado. Este trmino se traduce por flou en frances y aimai en japones.

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Aunque la teora de conjuntos difusos presente cierta complejidad, el concepto bsico es fcilmente comprensible. Tomemos como ejemplo el concepto de mediana edad. Al escuchar el trmino mediana edad, nuestra mente asocia automticamente la imagen de ciertas personas o tipos de personas. Pero este es un concepto con lmites imprecisos que no puede ser tratado por el programa de un ordenador, que ordinariamente exige que las cosan sean definidas. Es aqu donde entra la Lgica Difusa. Supongamos que hemos llegado a la conclusin de que la edad mediana son los 45 aos. Sin embargo no podemos descartar a las personas de 35 o 55 anos como edad mediana. Por el contrario, los menores de 30 aos y los mayores de 60 tampoco se pueden considerar radicalmente como no de mediana edad. De tal forma creamos tres crculos. El primero, el de los jvenes va de los 0 hasta los treinta y cinco anos, el segundo el de la mediana edad va de los treinta hasta los cincuenta y cinco anos, y por ultimo el de la tercera edad que va de los cincuenta en adelante. Podemos observar que desde el punto de vista de los conjuntos difusos el periodo de edad de los treinta a los treinta y cinco puede considerarse tanto dentro del crculo joven como el de mediana edad. Otro tanto ocurre entre los cincuenta y los cincuenta y cinco aos que pueden concebirse dentro de la mediana edad y de la tercera edad. Estas transiciones de valoracin facilitan la expresin matemtica de las expresiones difusas o indefinidas, y con ello dan la posibilidad de hacer programas para ordenadores que interpreten las expresiones humanas que normalmente son imprecisas para la matemtica tradicional.

2.3. VARIABLES LINGSTICASLos Conjuntos Difusos son capaces de captar por s mismos la vaguedad lingstica de palabras y frases comnmente aceptadas, como "gato pardo" o "ligero cambio". La habilidad humana de comunicarse mediante definiciones vagas o inciertas es un atributo importante de la inteligencia. Una Variable Lingstica es aquella variable cuyos valores son palabras o sentencias son vagas o imprecisas. Para estas variables lingsticas se utilizar un nombre y un valor lingstico sobre un Universo de Discurso. Los Conjuntos Difusos pueden utilizarse para representar expresiones tales como: x es PEQUEO. (X es una variable lingstica) La velocidad es RPIDA. (Velocidad es una variable lingstica) El ganso es CLARO. (Ganso es una variable lingstica) Las expresiones anteriores pueden dar lugar a expresiones lingsticas ms complejas como: x no es PEQUEO. La velocidad es RPIDA pero no muy RPIDA. El ganso es CLARO y muy ALEGRE. Tambin se puede utilizar los distintos modificadores lingsticos como muy, poco, rpido, lento, etc.

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2.4. TEORA DE CONJUNTOS DIFUSOSUna buena estrategia para presentar la teora de Conjuntos Difusos, consiste en recordar algunos aspectos de la teora de conjuntos convencionales (que llamaremos conjuntos concretos), y a partir de all hacer una extensin a los conjuntos difusos: Un conjunto concreto se define como una coleccin de elementos que existen dentro de un Universo. As, si el universo consta de los nmeros enteros no negativos menores que 10: U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} entonces podemos definir algunos conjuntos como, por ejemplo: A={0,2,4,6,8} B={1,3,5,7,9} C={1,4,7}, etc. Con estas definiciones hemos establecido que cada uno de los elementos del Universo pertenecen o no a un determinado conjunto. Por lo tanto, cada conjunto puede definirse completamente por una funcin de pertenencia, que opera sobre los elementos del Universo, y que le asigna un valor de 1 si el elemento pertenece al conjunto, y de 0 si no pertenece. Tomando como ejemplo el conjunto C enumerado arriba, su funcin de pertenencia uC(x) sera de la siguiente forma: uC(0)=0, uC(1)=1, uC(2)=0, uC(3)=0, uC(4)=1, uC(5)=0, uC(6)=0, uC(7)=1, uC(8)=0, uC(9)=0 Ahora bien, un Conjunto Difuso se define de forma similar, con una diferencia conceptual importante: un elemento puede pertenecer parcialmente a un conjunto. De esta forma, un conjunto difuso D definido sobre el mismo universo U puede ser el siguiente: D={20%/1,50%/4,100%/7} 1 La definicin anterior significa que el elemento 1 pertenece en un 20% al conjunto D (y por tanto pertenece en un 80% al complemento de D), en tanto que el elemento 4 pertenece en un 50%, y el elemento 7 en un 100% . En forma alternativa, diramos que la funcin de pertenencia uD(x) del conjunto D es la siguiente: uD(0)=0.0, uD(1)=0.2, uD(2)=0.0, uD(3)=0.0, uD(4)=0.5, uD(5)=0.0, uD(6)=0.0, uD(7)=1.0, uD(8)=0.0, uD(9)=0.0 Las primeras diferencias que se hacen evidentes entre los Conjuntos Concretos y los Conjuntos Difusos son las siguientes: La funcin de pertenencia asociada a los conjuntos concretos slo puede tener dos valores: 1 0, mientras que en los conjuntos difusos puede tener cualquier valor entre 0 y 1. Un elemento puede pertenecer (parcialmente) a un conjunto difuso y simultneamente pertenecer (parcialmente) al complemento de dicho conjunto.

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Se ha empleado una notacin frecuente, en donde el signo "/" no significa "dividido por".

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Lo anterior no es posible en los conjuntos concretos, ya que constituira una violacin al principio del tercer excluido. Las fronteras de un conjunto concreto son exactas, en tanto que las de un conjunto difuso son, precisamente, difusas, ya que existen elementos en las fronteras mismas, y estos elementos estn a la vez dentro y fuera del conjunto. Qu sentido puede tener el pertenecer parcialmente a un conjunto? En muchos casos puede tener ms sentido que pertenecer totalmente a un conjunto; veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Supngase que se desea definir el conjunto de los estudiantes de la carrera de Ingeniera de Sistemas de la Universidad que estn cursando el quinto semestre de la carrera. Cmo clasificar a un estudiante que cursa dos materias de cuarto semestre, tres de quinto y una de sexto? y a otro que toma una materia de quinto semestre, y cinco de sexto? Evidentemente ambos son en parte miembros del conjunto Estudiantes de quinto semestre, pero slo lo son parcialmente. Ejemplo 2: Supngase que se desea clasificar a los miembros de un equipo de ftbol segn su estatura en tres conjuntos, Bajos, Medianos y Altos. Podra plantearse que se es Bajo si se tiene una estatura inferior a, por ejemplo, 160 cm, que se es Mediano si la estatura es superior o igual a 160 cm e inferior a 180 cm, y se es alto si la estatura es superior o igual a 180 cm, con lo que se lograra una clasificacin en conjuntos concretos. Sin embargo, qu tan grande es la diferencia que existe entre dos jugadores del equipo, uno con estatura de 179.9 cm y otro de 180.0 cm? Ese milmetro de diferencia quizs no represente en la prctica algo significativo, y sin embargo los dos jugadores han quedado rotulados con etiquetas distintas: uno es Mediano y el otro es Alto. Si se optase por efectuar la misma clasificacin con conjuntos difusos estos cambios abruptos se evitaran, debido a que las fronteras entre los conjuntos permitiran cambios graduales en la clasificacin.

Ilustracin 2 Funciones de pertenencia del ejemplo 2 La ilustracin 2 muestra cmo podra hacerse tal clasificacin: El universo de discurso sera el conjunto continuo de todas las posibles estaturas (el intervalo [130cm,210]cm por ejemplo). Las funciones de pertenencia de cada uno de los tres conjuntos Bajo, Mediano y Alto se han graficado. La forma de estas funciones de pertenencia no debe ser necesariamente la de la ilustracin 2, pues depende de lo que se entienda por "Bajo", "Mediano" y "Alto". Las ilustraciones 3 y 4 muestran otras alternativas para definir dichas funciones.

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Ilustracin 3 Representacin alternativa del ejemplo 2

Ilustracin 4 Representacin alternativa del ejemplo 2 Ejemplo 3: Tmese un individuo x cuya edad sea de 20 aos. Como se puede observar en la ilustracin 5, pertenece al Conjunto Difuso "Joven" y al Conjunto Difuso "Maduro". Se puede observar que posee un grado de pertenencia A(x) de 0.6 para el Conjunto Difuso "Joven" y un grado de 0.4 para el Conjunto Difuso "Maduro"; tambin posee un grado de 0 para "Viejo". De este ejemplo se puede deducir que un elemento puede pertenecer a varios Conjuntos Difusos a la vez aunque con distinto grado. As, nuestro individuo x tiene un grado de pertenencia mayor al conjunto "Joven " que al conjunto "Maduro"(0.6 > 0.4), pero no se puede decir, tratndose de Conjuntos Difusos, que x es joven o que x es maduro de manera rotunda.

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2.5. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA EN LOS CONJUNTOS DIFUSOSPara realizar la aproximacin de las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos, comenzaremos definiendo que conjuntos difusos formaran el universo de discurso. Supongamos la variable lingstica edad y sus conjuntos difusos joven y adulto, los cuales fueron utilizados en una encuesta a 10 personas para saber cual es el rango en aos para definir estas edades. Las preguntas utilizadas fueron: Cul es el rango en aos para un joven? Cul es el rango en aos para un adulto? Las respuestas se muestran en las tablas 1 y 2.

El valor de FREC. Difuso se calcula de acuerdo a la siguiente formula:

Con el resultado de las tablas 1 y 2, realizamos una grafica con la EDAD y FREC DIFUSO que representan a las funciones de pertenencia. Las funciones de pertenencia se muestran en las ilustraciones 6 y 7 para edad joven y edad adulta.

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2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOSLos Conjuntos Difusos se pueden operar entre s del mismo modo que los conjuntos clsicos. Puesto que los primeros son una generalizacin de los segundos, es posible definir las operaciones de interseccin, unin y complemento haciendo uso de las mismas funciones de pertenencia:

Las ilustraciones de la interseccin, unin y complemento de la ilustracin 2, se muestran en la ilustracin 6,7 y 8 respectivamente.

Ilustracin 2. Funciones de pertenencia del ejemplo 2

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Ilustracin 8 Interseccin de la ilustracin 2.

Ilustracin 9 Unin de la ilustracin 2.

Ilustracin 10 Interseccin de la ilustracin 2.

3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DIFUSO BASADO EN REGLAS3.1. DEFINICIN DEL PROBLEMASe desea disear un sistema difuso para estimar las ventas mensuales de computadoras teniendo como datos de entrada el precio de la computadora y el nivel de ingresos del cliente.

3.2. DEFINICIN DE LAS VARIABLES LINGSTICASLas variables del tem 3.1. son: Precio de la computadora y Nivel de ingreso: Variables independientes. Ventas: Variables dependientes.

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El universo de discurso de cada variable ser: Precio de la computadora: $500 - $2500 Nivel de ingresos del cliente: $100 - $1000 Ventas mensuales de computadoras: $10 000 - $50 000

3.3. DEFINICIN DE LOS CONJUNTOS DIFUSOSPara cada una de las variables, definimos los conjuntos difusos, de acuerdo a los adjetivos tpicos utilizados en relacin con estas variables. A continuacin se muestra la definicin de los conjuntos difusos para cada variable:

La representacin de las funciones de pertenencia se muestran en las ilustraciones 9, 10 y 11.

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Ilustracin 11 Funciones de pertenencia para la variable Precio de la Computadora

Ilustracin 12 Funciones de pertenencia para la variable Nivel de Ingreso del Cliente.

Ilustracin 13 Funciones de pertenencia para la variable Ventas mensuales

3.4. DEFINICIN DE LA REGLAS DIFUSASPara definir las reglas utilizamos la siguiente tabla de decisiones:

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Las reglas sern: ---------------------------------------RULE NUMBER: 1 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ---------------------------------------RULE NUMBER: 3 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES ALTA ---------------------------------------RULE NUMBER: 4 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO

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THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------RULE NUMBER: 6 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ---------------------------------------RULE NUMBER: 7 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------RULE NUMBER: 8 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------RULE NUMBER: 9 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ----------------------------------------

3.5. CONSTRUIR EL SISTEMAEsta tarea involucra la codificacin de los conjuntos difusos, reglas y procedimientos para desarrollar funciones de lgica difusa tal como la inferencia difusa. Se puede construir el sistema utilizando un lenguaje de programacin o construir el sistema utilizando un Shell.

3.6. PROBAR EL SISTEMAEsta tarea sirve para ver si el sistema alcanza las especificaciones dados en la definicin del problema. Para el ejemplo que se esta desarrollando se probar con los siguientes datos de entrada: Precio de la computadora = 1400 Nivel de Ingreso del Cliente = 450 Evaluando el grado pertenencia a los conjuntos difusos se tiene:

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Ilustracin 14 Grado de pertenencia para la variable Precio de la Computadora El grado de pertenencia a los conjuntos difusos del precio de compra es: barato(precio) = 0.2 accesible(precio) = 0.8 Obteniendo el grado de pertenencia de la variable Nivel de ingreso del cliente de acuerdo a la ilustracin 13 se tiene:

Ilustracin 15 Grado de pertenencia para la variable Nivel de Ingreso del Cliente. El grado de pertenencia a los conjuntos difusos del Nivel de ingreso del cliente es: bajo(Nivel de ingreso) = 0.167 medio(Nivel de ingreso) = 0.5 Las reglas que se dispararn son las reglas 1, 2, 4 y 5 con las siguientes caractersticas: ---------------------------------------RULE NUMBER: 1 IF: 100 200 300 500 600 800 900 1000

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Bajo Medio Alto 450 PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.167) ---------------------------------------RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL (FCvmn=0.2) ---------------------------------------RULE NUMBER: 4 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.167) ---------------------------------------RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.5) ---------------------------------------El factor de certeza de las VENTAS MENSUALES NORMAL es FCvmn=0.2 (RESPUESTA) El factor de certeza de las VENTAS MENSUALES BAJA se calcula teniendo en cuenta las reglas 1,4 y 5. RULE NUMBER: 1 (FCR1=FCvmb=0.167) ---------------------------------------RULE NUMBER: 4 (FCR4=FCvmb=0.167) ---------------------------------------RULE NUMBER: 5 (FCR5=FCvmb=0.5) ---------------------------------------Para calcular el Factor de certeza final FCvmb se tiene: FCR1R4 = FCR1 + FCR4 FCR1*FCR4 FCR1R4 = 0.167 + 0.167 - 0.167 * 0.167 = 0.3061 FCR1R4R5 = FCR1R4 + FCR5 FCR1R4 * FCR5 FCvmb = FCR1R4R5 = 0.3061 + 0.5 - 0.3061 * 0.5 FCvmb = FCR1R4R5 = 0.6530 (RESPUESTA) El sistema difuso arroja las siguientes conclusiones: Las Ventas Mensuales es BAJA (Factor de Certeza = 0.653) y es NORMAL (Factor de Certeza = 0.2)

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3.7. DEFUZZIFICACION DE LA VARIABLE DE SALIDAPara defuzzificar la variable de salida, se tiene en cuenta el grado de pertenencia de las conclusiones, de aquellas reglas que se dispararon. ---------------------------------------RULE NUMBER: 1 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ((y1)=FCvmb=0.167) ---------------------------------------RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ((y2)=FCvmn=0.2) ---------------------------------------RULE NUMBER: 4 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ((y3)=FCvmb=0.167) ---------------------------------------RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ((y4)=FCvmb=0.5) ---------------------------------------Una vez ubicado el grado de pertenencia de las conclusiones, se debe encontrar el centroide para los conjuntos difusos BAJA Y NORMAL. Este procedimiento se muestra en la ilustracin 14. Para defuzzificar las ventas mensuales se utilizan la siguiente expresin:

Donde: YK = Centroide del conjunto difuso involucrado en la conclusin, cuando se dispara una regla.

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(YK)= Grado de pertenencia al conjunto difuso de la conclusin. Para el ejemplo que estamos desarrollando y1, y2, y3 y y4 son los centroides de los conjuntos difusos que estn en las conclusiones de las reglas 1, 2, 4 y 5 respectivamente.

Ilustracin 16 Grado de pertenencia para la variable Ventas mensuales La venta mensual es:

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