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2. Matemática - · PDF fileUm amplificador operacional é um dispositivo razoavelmente complicado; ele pode ser modelado, contudo, como mostrado na Figura 2.1. Na engenharia mecânica,

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  • E Nemer 1 / 76

    2. Matemtica 2.1. Sistemas Fsicos e Modelos Este texto trata do estudo analtico de sistemas de controle. Falando de forma geral, ele consiste de quatro partes: 1. Modelagem 2. Desenvolvimento de equaes matemticas 3. Anlise 4. Projeto Este captulo discute as duas primeiras partes. A distino entre sistemas fsicos e modelos fundamental na engenharia. Na realidade, os circuitos e sistemas de controle estudados na maioria dos textos so modelos de sistemas fsicos. Por exemplo, um resistor com uma resistncia constante um modelo; a limitao de potncia do resistor frequentemente desconsiderada. Um indutor com uma indutncia constante tambm um modelo; na realidade, a indutncia pode variar com a quantidade de corrente fluindo atravs do indutor. Um amplificador operacional um dispositivo razoavelmente complicado; ele pode ser modelado, contudo, como mostrado na Figura 2.1. Na engenharia mecnica, a suspenso de um automvel pode ser modelada como mostrada na Figura 2.2. Na bioengenharia, um brao humano pode ser modelado como mostrado na figura 2.3(b) ou, mais realisticamente, como na Figura 2.3(c). Modelagem um problema importante pois o sucesso de um projeto depende se os sistemas fsicos so modelados adequadamente ou no.

    Figura 2.1 Modelo do Amplificador Operacional

    Mola

    Amortecedor

    Massa da Roda

    Dureza do Pneu

    Figura 2.2 Modelo da Suspenso de um Automvel

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    Dependendo das questes formuladas e dependendo da faixa de operao (faixa dinmica), um sistema fsico pode ter diferentes modelos. Por exemplo, um amplificador eletrnico tem diferentes modelos em freqncias baixas e altas. Uma nave espacial pode ser modelada como uma partcula no estudo da trajetria; contudo, ela pode ser modelada como um corpo rgido no estudo da manobra. Para desenvolver um modelo adequado para um sistema fsico, ns precisamos entender completamente o sistema fsico e sua faixa operacional. Neste texto, modelos de sistemas fsicos so tambm chamados de sistemas. Portanto, um sistema fsico um dispositivo ou uma coleo de dispositivos existentes no mundo real; um sistema um modelo de um sistema fsico. Como mostrado na Figura 2.4, um sistema representado por um bloco unidirecional com pelo menos um terminal de entrada e um terminal de sada. Se uma excitao ou sinal de entrada u(t) aplicada ao terminal de entrada de um sistema, uma resposta nica ou sinal de sada y(t) ser medida ou observada no terminal de sada. Esta relao nica entre excitao e resposta, entrada e sada, ou causa e efeito est implcita em todo sistema fsico e seu modelo. Um sistema chamado um sistema monovarivel se ele tem somente um terminal de entrada e somente um terminal de sada. De outra forma, ele chamado um sistema multivarivel. Um sistema multivarivel tem duas ou mais terminais de entrada e/ou dois ou mais terminais de sada. 2.2. Sistemas Lineares Concentrados e Invariantes no Tempo A escolha de um modelo para um dispositivo fsico depende fortemente da matemtica a ser usada. intil escolher um modelo que se assemelha fortemente ao dispositivo fsico mas que no pode ser analisado usando os mtodos matemticos existentes. intil tambm escolher um modelo que possa ser analisado facilmente mas que no se assemelhe ao dispositivo fsico. Consequentemente, a escolha de modelos no uma tarefa simples. Ela , na realidade, uma relao de compromisso entre ser fcil de analisar e se assemelhar bastante aos sistemas fsicos reais.

    Brao

    Fora do Msculo

    Figura 2.3 Modelos de um brao

    Figura 2.4 Sistema

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    Os sistemas analisados neste texto so aqueles que podem ser descritos por equaes diferenciais ordinrias com coeficientes reais constantes tais como

    )(3)(2)()(2)(3 22

    tudt

    tdutydt

    tdydt

    tyd=++

    Ou mais geralmente,

    )()()()()()()()( 0111

    1011

    1

    1 tubdttdub

    dttudb

    dttudbtya

    dttdya

    dttyda

    dttyda m

    m

    mm

    m

    mn

    n

    nn

    n

    n ++++=++++

    LL

    Onde ai e bi so constantes reais, e n m. Tais equaes so chamadas equaes diferenciais lineares concentradas invariantes no tempo de ordem n. Para que um sistema possa ser descrito por tal equao, o sistema precisa ser linear, invariante no tempo, e com parmetros concentrados. De modo geral, um sistema linear se ele obedece ao princpio da superposio [isto , a resposta de u1(t) + u2(t) igual soma da resposta de u1(t) e da resposta de u2(t)], e ao princpio da homogeneidade [a resposta de u(t) igual a vezes a resposta de u(t)]. Um sistema invariante no tempo se suas caractersticas, tais como massa ou momento de inrcia para sistemas mecnicos, ou resistncia, indutncia ou capacitncia para sistemas eltricos, no variam com o tempo. Um sistema tem parmetros concentrados se o efeito de qualquer entrada passada u(t), para t t0, na futura sada y(t), para t t0, pode ser resumida por um nmero finito de condies iniciais em t = t0. 2.2.1. Sistemas Mecnicos Considere o sistema mostrado na Figura 2.5(a). Ele consiste de um bloco com massa m conectado a uma parede por uma mola. A entrada a fora aplicada u(t), e a sada o deslocamento y(t) medido a partir da posio de equilbrio. O atrito entre o bloco e o cho muito complexo. Esse atrito consiste geralmente de trs partes atrito esttico, atrito de Coulomb e o atrito Viscoso como mostrado na figura 2.5(b) Note que as coordenadas so atrito versus velocidade. Quando a massa estacionria ou sua velocidade zero, precisamos de certa quantidade de fora para vencer o atrito esttico e iniciar o movimento. Uma vez que a mola comece a se mover, passa a atuar o atrito constante, chamado de atrito de Coulomb, que independente da velocidade. O atrito viscoso geralmente modelado como Atrito viscoso = k1 x velocidade (2.2) Onde k1 chamado de coeficiente de atrito viscoso. Esta uma equao linear. A maioria dos textos de Fsica discute somente os atritos esttico e de Coulomb. Neste texto, contudo, consideraremos somente o atrito viscoso; os atritos esttico e de Coulomb sero desprezados. Fazendo estas consideraes, podemos modelar o atrito como um fenmeno linear.

    Atrito

    Viscoso

    Fora da Mola

    Esttico

    Figura 2.5 Sistema Mecnico

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    Na Fsica, a lei de Hooke estabelece que o deslocamento de uma mola proporcional fora aplicada, isto Fora da Mola = k2 x deslocamento (2.3) Onde k2 chamada de constante da mola. O grfico desta equao mostrado pela linha tracejada na Figura 2.5(c). Isto significa que, independente da fora aplicada, o deslocamento ser igual a fora / k2. Isto certamente no retrata a realidade pois, se a fora aplicada for maior do que o limite elstico, a mola se romper. Em geral, a caracterstica de uma mola real tem a forma da linha slida mostrada na Figura 2.5(c). Vemos que se a fora aplicada estiver fora da faixa [A, B], a curva caracterstica fica bem diferente da linha tracejada. Contudo, se a fora aplicada se situar na faixa [A, B], chamada de faixa operacional linear, ento a curva caracterstica poder ser representada bem por (2.3). Ns poderemos usar (2.3) como um modelo para a mola. Vamos desenvolver agora uma equao que descreva o sistema usando (2.3) e considerando somente o atrito viscoso em (2.2). A fora aplicada u(t) precisa vencer a fora da mola e o atrito, e o restante ser usado para acelerar a massa. Logo, temos que:

    2

    2

    21)()()()(

    dttydmtyk

    dttdyktu =

    Ou

    )()()()( 2122

    tutykdt

    tdykdt

    tydm =++ (2.4)

    Esta uma equao diferencial linear ordinria com coeficientes constantes. importante lembrar que esta equao obtida usando a relao linearizada de (2.3) e foi considerado somente o atrito viscoso dado por (2.2). Devido a essas consideraes, esta equao aplicvel somente para uma faixa de operao limitada. Consideremos agora o sistema rotacional mostrado na Figura 2.6(a). A entrada o torque aplicado T(t) e a sada o deslocamento angular (t) da carga. O eixo no rgido e modelado por uma mola torcvel. Seja J o momento de inrcia da carga e do eixo. O atrito entre o eixo e o rolamento tambm consiste dos atritos esttico, de Coulomb e viscoso. Aqui tambm vamos considerar somente o atrito viscoso. Seja k1 o coeficiente de atrito viscoso e seja k2 a constante da mola torcvel. Temos ento que o torque gerado pelo atrito iguala a k1 d(t)/dt e o torque gerado pela mola k2 (t). O torque aplicado T(t) precisa vencer os torques de atrito e da mola; o restante usado na acelerao da carga. Desta forma, temos

    Rolamento

    Carga

    Mola

    Rolamento

    Figura 2.6 Sistema Mecnico Rotacional

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    2

    2

    21)()()()(

    dttdJtk

    dttdktT =

    Ou

    )()()()( 2122

    tTtkdt

    tdkdt

    tdJ =++ (2.5a)

    Esta equao diferencial descreve o sistema da Figura 2.6(a). Se identificarmos as seguintes equivalncias:

    Movimento Translacional Movimento Rotacional Deslocamento linear y Deslocamento angular Fora u Torque T Massa m Momento de inrcia J

    Logo, a Equao (2.5a), que descreve um movimento rotacional, fica idntica (2.4), que descreve um movimento linear ou translacional. Exemplo 2.2.1: Um sistema de suspenso de um automvel pode ser modelado como mostrado na Figura 2.7. Este modelo mais simples do que o mostrado na figura 2.2, pois ele despreza a massa da roda e combina a dureza do pneu com a mola. O modelo consiste de uma mola com constante de mola k2, um amortecedor (prov uma fora de atrito viscoso) com coeficiente de atrito viscoso k1 e a massa do carro com valor m. Uma fora vertical u(t) aplicada massa quando a rota atinge um buraco. A eq

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