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E Nemer 1 / 76 2. Matemática 2.1. Sistemas Físicos e Modelos Este texto trata do estudo analítico de sistemas de controle. Falando de forma geral, ele consiste de quatro partes: 1. Modelagem 2. Desenvolvimento de equações matemáticas 3. Análise 4. Projeto Este capítulo discute as duas primeiras partes. A distinção entre sistemas físicos e modelos é fundamental na engenharia. Na realidade, os circuitos e sistemas de controle estudados na maioria dos textos são modelos de sistemas físicos. Por exemplo, um resistor com uma resistência constante é um modelo; a limitação de potência do resistor é frequentemente desconsiderada. Um indutor com uma indutância constante é também um modelo; na realidade, a indutância pode variar com a quantidade de corrente fluindo através do indutor. Um amplificador operacional é um dispositivo razoavelmente complicado; ele pode ser modelado, contudo, como mostrado na Figura 2.1. Na engenharia mecânica, a suspensão de um automóvel pode ser modelada como mostrada na Figura 2.2. Na bioengenharia, um braço humano pode ser modelado como mostrado na figura 2.3(b) ou, mais realisticamente, como na Figura 2.3(c). Modelagem é um problema importante pois o sucesso de um projeto depende se os sistemas físicos são modelados adequadamente ou não. Figura 2.1 Modelo do Amplificador Operacional Mola Amortecedor Massa da Roda Dureza do Pneu Figura 2.2 Modelo da Suspensão de um Automóvel

2. Matemática - professornemer.comprofessornemer.com/controle/Matematica_Cap2.pdf · Um amplificador operacional é um dispositivo razoavelmente complicado; ele pode ser modelado,

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2. Matemática 2.1. Sistemas Físicos e Modelos Este texto trata do estudo analítico de sistemas de controle. Falando de forma geral, ele consiste de quatro partes: 1. Modelagem 2. Desenvolvimento de equações matemáticas 3. Análise 4. Projeto Este capítulo discute as duas primeiras partes. A distinção entre sistemas físicos e modelos é fundamental na engenharia. Na realidade, os circuitos e sistemas de controle estudados na maioria dos textos são modelos de sistemas físicos. Por exemplo, um resistor com uma resistência constante é um modelo; a limitação de potência do resistor é frequentemente desconsiderada. Um indutor com uma indutância constante é também um modelo; na realidade, a indutância pode variar com a quantidade de corrente fluindo através do indutor. Um amplificador operacional é um dispositivo razoavelmente complicado; ele pode ser modelado, contudo, como mostrado na Figura 2.1. Na engenharia mecânica, a suspensão de um automóvel pode ser modelada como mostrada na Figura 2.2. Na bioengenharia, um braço humano pode ser modelado como mostrado na figura 2.3(b) ou, mais realisticamente, como na Figura 2.3(c). Modelagem é um problema importante pois o sucesso de um projeto depende se os sistemas físicos são modelados adequadamente ou não.

Figura 2.1 – Modelo do Amplificador Operacional

Mola

Amortecedor

Massa da Roda

Dureza do Pneu

Figura 2.2 – Modelo da Suspensão de um Automóvel

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Dependendo das questões formuladas e dependendo da faixa de operação (faixa dinâmica), um sistema físico pode ter diferentes modelos. Por exemplo, um amplificador eletrônico tem diferentes modelos em freqüências baixas e altas. Uma nave espacial pode ser modelada como uma partícula no estudo da trajetória; contudo, ela pode ser modelada como um corpo rígido no estudo da manobra. Para desenvolver um modelo adequado para um sistema físico, nós precisamos entender completamente o sistema físico e sua faixa operacional. Neste texto, modelos de sistemas físicos são também chamados de sistemas. Portanto, um sistema físico é um dispositivo ou uma coleção de dispositivos existentes no mundo real; um sistema é um modelo de um sistema físico. Como mostrado na Figura 2.4, um sistema é representado por um bloco unidirecional com pelo menos um terminal de entrada e um terminal de saída. Se uma excitação ou sinal de entrada u(t) é aplicada ao terminal de entrada de um sistema, uma resposta única ou sinal de saída y(t) será medida ou observada no terminal de saída. Esta relação única entre excitação e resposta, entrada e saída, ou causa e efeito está implícita em todo sistema físico e seu modelo. Um sistema é chamado um sistema monovariável se ele tem somente um terminal de entrada e somente um terminal de saída. De outra forma, ele é chamado um sistema multivariável. Um sistema multivariável tem duas ou mais terminais de entrada e/ou dois ou mais terminais de saída. 2.2. Sistemas Lineares Concentrados e Invariantes no Tempo A escolha de um modelo para um dispositivo físico depende fortemente da matemática a ser usada. É inútil escolher um modelo que se assemelha fortemente ao dispositivo físico mas que não pode ser analisado usando os métodos matemáticos existentes. È inútil também escolher um modelo que possa ser analisado facilmente mas que não se assemelhe ao dispositivo físico. Consequentemente, a escolha de modelos não é uma tarefa simples. Ela é, na realidade, uma relação de compromisso entre ser fácil de analisar e se assemelhar bastante aos sistemas físicos reais.

Braço

Força do Músculo

Figura 2.3 – Modelos de um braço

Figura 2.4 – Sistema

E Nemer 3 / 76

Os sistemas analisados neste texto são aqueles que podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias com coeficientes reais constantes tais como

)(3)(2)()(2)(3 2

2

tudt

tdutydt

tdydt

tyd−=++

Ou mais geralmente,

)()()()()()()()(011

1

1011

1

1 tubdt

tdubdt

tudbdt

tudbtyadt

tdyadt

tydadt

tyda m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n ++++=++++ −

−−

− LL

Onde ai e bi são constantes reais, e n ≥ m. Tais equações são chamadas equações diferenciais lineares concentradas invariantes no tempo de ordem n. Para que um sistema possa ser descrito por tal equação, o sistema precisa ser linear, invariante no tempo, e com parâmetros concentrados. De modo geral, um sistema é linear se ele obedece ao princípio da superposição [isto é, a resposta de u1(t) + u2(t) é igual à soma da resposta de u1(t) e da resposta de u2(t)], e ao princípio da homogeneidade [a resposta de αu(t) é igual a α vezes a resposta de u(t)]. Um sistema é invariante no tempo se suas características, tais como massa ou momento de inércia para sistemas mecânicos, ou resistência, indutância ou capacitância para sistemas elétricos, não variam com o tempo. Um sistema tem parâmetros concentrados se o efeito de qualquer entrada passada u(t), para t ≤ t0, na futura saída y(t), para t ≥ t0, pode ser resumida por um número finito de condições iniciais em t = t0. 2.2.1. Sistemas Mecânicos Considere o sistema mostrado na Figura 2.5(a). Ele consiste de um bloco com massa m conectado a uma parede por uma mola. A entrada é a força aplicada u(t), e a saída é o deslocamento y(t) medido a partir da posição de equilíbrio. O atrito entre o bloco e o chão é muito complexo. Esse atrito consiste geralmente de três partes – atrito estático, atrito de Coulomb e o atrito Viscoso – como mostrado na figura 2.5(b) Note que as coordenadas são atrito versus velocidade. Quando a massa é estacionária ou sua velocidade é zero, precisamos de certa quantidade de força para vencer o atrito estático e iniciar o movimento. Uma vez que a mola comece a se mover, passa a atuar o atrito constante, chamado de atrito de Coulomb, que é independente da velocidade. O atrito viscoso é geralmente modelado como Atrito viscoso = k1 x velocidade (2.2) Onde k1 é chamado de coeficiente de atrito viscoso. Esta é uma equação linear. A maioria dos textos de Física discute somente os atritos estático e de Coulomb. Neste texto, contudo, consideraremos somente o atrito viscoso; os atritos estático e de Coulomb serão desprezados. Fazendo estas considerações, podemos modelar o atrito como um fenômeno linear.

Atrito

Viscoso

Força da Mola

Estático

Figura 2.5 – Sistema Mecânico

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Na Física, a lei de Hooke estabelece que o deslocamento de uma mola é proporcional à força aplicada, isto é Força da Mola = k2 x deslocamento (2.3) Onde k2 é chamada de constante da mola. O gráfico desta equação é mostrado pela linha tracejada na Figura 2.5(c). Isto significa que, independente da força aplicada, o deslocamento será igual a força / k2. Isto certamente não retrata a realidade pois, se a força aplicada for maior do que o limite elástico, a mola se romperá. Em geral, a característica de uma mola real tem a forma da linha sólida mostrada na Figura 2.5(c). Vemos que se a força aplicada estiver fora da faixa [A’, B’], a curva característica fica bem diferente da linha tracejada. Contudo, se a força aplicada se situar na faixa [A’, B’], chamada de faixa operacional linear, então a curva característica poderá ser representada bem por (2.3). Nós poderemos usar (2.3) como um modelo para a mola. Vamos desenvolver agora uma equação que descreva o sistema usando (2.3) e considerando somente o atrito viscoso em (2.2). A força aplicada u(t) precisa vencer a força da mola e o atrito, e o restante será usado para acelerar a massa. Logo, temos que:

2

2

21)()()()(

dttydmtyk

dttdyktu =−−

Ou

)()()()(212

2

tutykdt

tdykdt

tydm =++ (2.4)

Esta é uma equação diferencial linear ordinária com coeficientes constantes. É importante lembrar que esta equação é obtida usando a relação linearizada de (2.3) e foi considerado somente o atrito viscoso dado por (2.2). Devido a essas considerações, esta equação é aplicável somente para uma faixa de operação limitada. Consideremos agora o sistema rotacional mostrado na Figura 2.6(a). A entrada é o torque aplicado T(t) e a saída é o deslocamento angular θ(t) da carga. O eixo não é rígido e é modelado por uma mola torcível. Seja J o momento de inércia da carga e do eixo. O atrito entre o eixo e o rolamento também consiste dos atritos estático, de Coulomb e viscoso. Aqui também vamos considerar somente o atrito viscoso. Seja k1 o coeficiente de atrito viscoso e seja k2 a constante da mola torcível. Temos então que o torque gerado pelo atrito iguala a k1 dθ(t)/dt e o torque gerado pela mola é k2 θ(t). O torque aplicado T(t) precisa vencer os torques de atrito e da mola; o restante é usado na aceleração da carga. Desta forma, temos

Rolamento

Carga

Mola

Rolamento

Figura 2.6 – Sistema Mecânico Rotacional

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2

2

21)()()()(

dttdJtk

dttdktT θθθ

=−−

Ou

)()()()(212

2

tTtkdt

tdkdt

tdJ =++ θθθ (2.5a)

Esta equação diferencial descreve o sistema da Figura 2.6(a). Se identificarmos as seguintes equivalências:

Movimento Translacional Movimento Rotacional Deslocamento linear y ↔ Deslocamento angular θ Força u ↔ Torque T Massa m ↔ Momento de inércia J

Logo, a Equação (2.5a), que descreve um movimento rotacional, fica idêntica à (2.4), que descreve um movimento linear ou translacional. Exemplo 2.2.1: Um sistema de suspensão de um automóvel pode ser modelado como mostrado na Figura 2.7. Este modelo é mais simples do que o mostrado na figura 2.2, pois ele despreza a massa da roda e combina a dureza do pneu com a mola. O modelo consiste de uma mola com constante de mola k2, um amortecedor (provê uma força de atrito viscoso) com coeficiente de atrito viscoso k1 e a massa do carro com valor m. Uma força vertical u(t) é aplicada à massa quando a rota atinge um buraco. A equação diferencial que descreve o sistema [igual a (2.4)] é:

2

2

21)()()()(

dttydmtyk

dttdyktu =−− ou )()()()(

212

2

tutykdt

tdykdt

tydm =++

Figura 2.7 – Sistema de Suspensão de um Automóvel

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Exemplo 2.2.2: No sistema da Figura 2.6(b), onde o eixo é assumido como sendo rígido, o torque aplicado precisa vencer somente o torque relativo ao atrito viscoso, o restante é usado na aceleração da carga. Logo, a equação diferencial que descreve esse sistema é:

2

2

1)()()(

dttdJ

dttdktT θθ=− ou )()()(

12

2

tTdt

tdkdt

tdJ =+θθ

2.2.2. Circuitos RLC Neste estudo vamos considerar circuitos construídos com resistores, capacitores, indutores, e fontes de tensão e de corrente. Os três elementos básicos, resistores, capacitores e indutores, são mostrados na Figura 2.8. Um resistor é geralmente modelado como v = Ri, onde R é a resistência, v é a tensão aplicada, e i é a corrente que flui através dele. No modelo v = Ri, nada é dito com relação ao consumo de potência. Na realidade, se v for maior do que um determinado valor, o resistor queima. Por esta razão, o modelo é válido somente dentro da limitação de potência especificada. Um capacitor é geralmente modelado como Q = Cv, onde C é a capacitância, v é a tensão aplicada e Q é a carga armazenada no capacitor. O modelo nos leva a concluir que se a tensão tende para o infinito, a carga armazenada também tenderá. Fisicamente isto não é possível. À medida que v aumenta, a carga armazenada vai aumentando até saturar e parar de aumentar, como mostrado na Figura 2.9.

Figura 2.8 – Componentes elétricos

Carga (Fluxo)

Tensão (Corrente)

Figura 2.9 – Curva do Capacitor e do Indutor

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Contudo, para uma tensão v limitada por um determinado valor, o modelo Q = Cv representa o capacitor físico satisfatoriamente. Um indutor é geralmente modelado como φ = Li onde L é a indutância, φ é o fluxo, e i é a corrente. Na realidade, o fluxo gerado em um indutor irá saturar á medida que i aumenta. Por esta razão, a relação φ = Li é novamente aplicada somente dentro de uma faixa limitada de i. Agora, se R, L e C variam com o tempo, eles deverão ser considerados como elementos variantes no tempo. Se R, L e C são constantes, independentes do tempo, então eles são elementos invariantes no tempo. Usando esses modelos lineares invariantes no tempo, podemos expressar suas tensões e correntes como )()( tRitv = (2.6a)

dt

tdvCti )()( = (2.6b)

dt

tdiLtv )()( = (2.6c)

Agora podemos usar (2.6) para desenvolver equações diferenciais que descrevam redes RLC. Considere o circuito mostrado na Figura 2.10.

A entrada é uma fonte de corrente u(t) e a saída y(t) é a tensão no capacitor como mostrado. A corrente do capacitor, usando (2.6b) é

dt

tdydt

tdyCtic)(2)()( ==

Esta corrente também passa através do resistor de 1Ω. Desta forma, a tensão entre A e B é dada por:

)()(2)(1).( tydt

tdytytiv cAB +=+=

A corrente i1(t) passando através do resistor de 0,5 Ω é

)(2)(45,0

)(1 tydt

tdyvti AB +==

Portanto, temos que:

Figura 2.10 – Circuito RC

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dt

tdytydt

tdytititu c)(2)(2)(4)()()( 1 ++=+= ou

)()(2)(6 tutydt

tdy=+ (2.7)

Esta equação diferencial de primeira ordem descreve o circuito da Figura 2.10.

Exemplo 2.2.3: Encontre equações diferenciais que descrevam os circuitos da Figura 2.11. O circuito da Figura 2.11(b) é chamado de circuito phase-lag.

Solução: Para o circuito da Figura 2.11(a), temos que a corrente que circula no capacitor é dada por:

dttdyC

dttdvCtic

)()()( ==

Como a corrente que circula no capacitor é a mesma que circula no resistor, a tensão no resistor é dada por:

dttdyRCtiRte rr)()()( ==

A tensão no indutor é dada por:

2

2 )()()()()()(dt

tydLCtedt

tdyCdtdLte

dttdiLte lll =⇒⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⇒=

Temos que:

)()()()()()()()( 2

2

tydt

tydLCdt

tdyRCtutetetetu clr ++=⇒++=

Portanto, a equação diferencial que descreve o circuito da Figura 2.11(a) é:

)()()()(2

2

tutydt

tdyRCdt

tydLC =++

Figura 2.11 – Circuitos RLC e Phase-Lag

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Para o circuito da Figura 2.11(b), temos que a tensão em cima de R1 é dada por:

)()()(1 tytutvR −=

A corrente que circula no resistor R1 é dada por:

11

)()()(R

tytutiR−

=

A tensão no resistor R2 é dada por:

[ ])()()()()()(1

22

1222 tytu

RRtv

RtytuRiRtv RR −=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

A tensão no capacitor é dada por:

[ ] ( ) uRR

RyRRtvty

RRtu

RR

RRytytu

RRyvtytv cRc

1

2

1

21

1

2

1

2

1

1

1

22 )()()()()()()( −

+=⇒+−=−−=−=

A corrente que circula no capacitor é dada por:

( ) ( )dtdu

RCR

dtdy

RRRC

dtdu

RR

dtdy

RRRCti

dttdvCti c

cc

1

2

1

21

1

2

1

21)()()( −+

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=⇒=

Temos que:

( ) ( ) uRR

RyRR

dtdu

RCR

dtdy

RRRCRtytvtvty cR

1

2

1

21

1

2

1

2122 )()()()( −

++⎥

⎤⎢⎣

⎡−

+=⇒+=

Portanto, a equação diferencial que descreve o circuito da Figura 2.11(b) é:

( ) udtduCRty

dtdyRRC +=++ 221 )(

2.2.3. Processos Industriais – Tanques Hidráulicos Em plantas químicas, frequentemente é necessário manter os níveis de determinados líquidos. Um modelo simplificado de um sistema desse tipo é mostrado na Figura 2.12, onde

qi, q1, q2 = taxas de fluxo do líquido A1, A2 = áreas da seção transversal dos tanques h1, h2 = níveis do líquido R1, R2 = resistência ao fluxo, controlado por válvulas

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É assumido que q1 e q2 são governados por:

2

22

1

211 R

hqeR

hhq =−

= (2.8)

Ou seja, são proporcionais ao nível relativo dos líquidos e inversamente proporcional às resistências aos fluxos. As mudanças nos níveis dos líquidos são governadas por:

dtqqdhA i )( 111 −= (2.9a) e

dtqqdhA )( 2122 −= (2.9b) Esta equações são obtidas por linearização e aproximação. Na realidade, o fluxo de um líquido é muito complexo; ele pode envolver turbulência e isto não pode ser descrito por equações lineares. Para simplificar a análise, a turbulência no fluxo é desprezada em (2.9). Seja qi e q2 a entrada e a saída para o sistema. Vamos desenvolver uma equação diferencial que descreva o sistema. A diferenciação de (2.8) resulta em:

11

1111 )( qqdtdhAdtqqdhA ii −=⇒−= (I)

212

22122 )( qqdt

dhAdtqqdhA −=⇒−= (II)

De (2.8), temos que:

dtdqR

dtdhqRh 2

22

222 =⇒= (III)

dtdh

dtdqR

dtdhhqRhqRhh 21

11

21111121 +=⇒+=⇒=− (IV)

Substituindo (III) em (IV), temos:

Figura 2.12 – Controle do Nível de Líquidos

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dtdqR

dtdqR

dtdh 2

21

11 += (V)

Substituindo (III) e (V) em (I), temos:

dtdqRA

dtdqRAqqqq

dtdqR

dtdqRA ii

221

11111

22

111 ++=⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + (VII)

Substituindo (III) em (II), temos:

dtdqRAqqqq

dtdqRA 2

2221212

22 +=⇒−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (VIII)

Substituindo (VIII) em (VII), temos:

⇒+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

dtdqRA

dtdqRAq

dtdRA

dtdqRAqqi

221

222211

2222

[ ] iqqdt

dqRARRAdt

dqRRAA =++++ 22

2221122

2

2121 )(

Esta equação diferencial de segunda ordem descreve a relação entre a entrada qi e a saída q2 do sistema da Figura 2.12. Como conclusão desta seção, observamos que um grande número de sistemas físicos pode ser modelado, após algumas simplificações e aproximações, como sistemas lineares concentrados e invariantes no tempo e que operam dentro de uma faixa de operação limitada. Esses sistemas podem, então, ser descritos por equações diferenciais lineares. 2.3. Resposta a Entrada-Zero e Resposta ao Estado-Zero A resposta de sistemas lineares, em particular de sistemas lineares concentrados e invariantes no tempo, pode sempre ser decomposta na resposta a entrada-zero e na resposta ao estado-zero. Nesta seção usaremos um exemplo simples para ilustrar esse fato e para discutir algumas propriedades gerais da resposta à entrada-zero. Considere a equação diferencial abaixo:

)()(3)(2)(3)(2

2

tudt

tdutydt

tdydt

tyd−=++ (2.12)

Muitos métodos estão disponíveis para resolver esta equação. O método mais simples é usar a transformada de Laplace e obtemos que:

[ ] [ ] )()0()(3)(2)0()(3)0()0()(2 sUussUsYyssYysysYs −−=+−+−− −−−− & (2.13) A equação (2.13) é uma equação algébrica e pode ser manipulada usando-se as operações normais de adição, subtração, multiplicação e divisão. Fazendo essa manipulação, obtemos:

)()13()0(3)0(3)0()0()()23( 2 sUsuyysysYss −+−++=++ −−−− & O que implica em:

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444 3444 2144444 344444 21

&

ZeroEstadospostaZeroEntradasposta

sUss

sss

uyyssY

−−

−−−

++−

+++

−++=

Re

2

Re

2 )()23(

)13()23(

)0(3)0()0()3()( (2.14)

Esta equação revela que a solução de (2.12) é em parte excitada pela entrada u(t), t≥0, e em parte excitada pelas condições iniciais )0( −y , )0( −y& , e )0( −u . Estas condições iniciais serão chamadas de estado inicial. O estado inicial é excitado pela entrada aplicada antes de t=0. De alguma forma, o estado inicial resume o efeito da entrada u(t) passada, t<0, na saída y(t) futura , para t≥0. Se diferentes entradas passadas u1(t), u2(t), u3(t),..., t≤0, excitam o mesmo estado inicial, então seus efeitos na saída futura serão idênticos. Portanto, para a solução y(t), para t≥0, não importa o estado inicial da equação diferencial em t=0. É importante frisar que o tempo inicial t=0 não é um tempo absoluto e sim o instante em que começamos a estudar o sistema. Considere novamente (2.14). A resposta pode ser decomposta em duas partes. A primeira parte é excitada exclusivamente pelo estado inicial e é chamada de resposta à entrada-zero. A segunda parte é excitada exclusivamente pela entrada e é chamada de resposta ao estado-zero. Na resposta de sistemas lineares com parâmetros concentrados e invariantes no tempo é conveniente estudar a resposta à entrada-zero e a resposta ao estado-zero separadamente. Nós vamos estudar primeiro a resposta à entrada-zero e depois a resposta ao estado-zero. 2.3.1. Resposta a Entrada-Zero – Polinômio Característico Considere a equação diferencial em (2.12). Se u(t)=0, então, (2.12) reduz-se a

0)(2)(3)(2

2

=++ tydt

tdydt

tyd

Esta equação é chamada de equação homogênea. Vamos estudar sua resposta devido a um estado inicial diferente de zero. Aplicando a transformada de Laplace obtemos:

[ ] 0)(2)0()(3)0()0()(2 =+−+−− −−− sYyssYysysYs & O que implica em

)2)(1()0()0()3(

)23()0()0()3()( 2 ++

++=

++++

=−−−−

ssyys

ssyyssY

&&

E que pode ser expandido em

)2()1()( 11

++

+=

sk

sksY

Com

)0()0(2)2(

)0()0()3(

11

−−

−=

−−

+=+

++= yy

syysk

s

&&

[ ])0()0()1(

)0()0()3(

22

−−

−=

−−

+−=+

++= yy

syysk

s

&&

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Desta forma, a resposta à entrada-zero é:

tt ekekty 221)( −− +=

Observe que o estado das condições iniciais, )0( −y e )0( −y& , não importa pois a resposta à entrada-zero será sempre uma combinação linear das duas funções te− e te 2− . As duas funções te− e te 2− são as transformadas de Laplace inversas de 1/(s+1) e 1/(s+2). As duas raízes -1 e -2, ou equivalentemente, as duas raízes do denominador de (2.15) são chamadas de modos do sistema. Os modos governam a forma da resposta à entrada-zero do sistema. Vamos estender a discussão anterior para o caso geral. Considere a equação diferencial linear concentrada e invariante no tempo de e-nésima ordem

)()()()( 0)1(

1)1(

1)(

0)1(

1)1(

1)( tubububtubtyayayatya m

mm

mn

nn

n ++++=++++ −−

−− LL (2.18)

onde

i

ii

i

ii

dttudtu

dttydty )(:)(,)(:)( )()( ==

e

)(:)(),(:)( 21 tytytyty == &&& . Vamos definir

011

1:)( apapapapD nn

nn ++++= −

− L (2.19a) e

011

1:)( bpbpbpbpN mm

nm ++++= −

− L (2.19b) onde a variável p é o diferenciador d/dt definido por

3

33

2

22 )(:)()(:)()(:)(

dttydtyp

dttydtyp

dttdytpy === (2.20)

e assim por diante. Usando esta notação, (2.18) pode ser escrita como

)()(:)()( tupNtypD = (2.21) No estudo da resposta à entrada-zero, nós assumimos u(t)=0. Logo, a equação (2.21) reduz-se a:

0)()( =typD (2.22) Esta é uma equação homogênea. Sua solução é excitada exclusivamente pelas condições iniciais. Aplicando a transformada de Laplace à equação (2.22) resulta em

)()()(

sDsIsY =

onde D(s) é definida em (2.19a) com p substituído por s e I(s) é um polinômio de s que é dependente das condições iniciais. Nós chamamos D(s) de polinômio característico de (2.21)

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pois ele governa a resposta livre, ou não-forçada, ou natural do sistema. As raízes do polinômio D(s) são chamadas de modos. Por exemplo, se tivermos o seguinte polinômio característico

)32)(32()1)(2()( 2 jsjssssD ++−++−= os modos serão 2, -1, -1, -2+j3 e -2-j3. A raiz 2 e as raízes complexas -2±j3 são modos simples e a raiz -1 é um modo repetido com multiplicidade 2. Portanto, para quaisquer condições iniciais, Y(s) pode ser expandido como

221321

)1()1()32()32()2()(

++

++

+++

−++

−=

sc

sc

jsk

jsk

sksY

e sua resposta à entrada-zero é

tttjtjt tececekekekty −−+−−− ++++= 21)32(

3)32(

22

1)( esta é a forma geral da resposta à entrada-zero e é determinada pelos modos do sistema. Exemplo 2.3.1: Ache as respostas à entrada-zero de (2.12) quando:

i) 1)0( =−y e 1)0( −=−y& , e ii) 1)0()0( == −− yy & .

Solução: Temos que a solução de (2.12) é dada por tt ekekty 2

21)( −− += onde

)0()0(21−− += yyk & e [ ])0()0(2

−− +−= yyk & Substituindo os valores das condições iniciais para os dois casos, temos:

i) 1)1()1(2)0()0(2 111 =⇒−+=∴+= −− kkyyk & e

[ ] ( ) 011)0()0( 222 =∴−+−=∴+−= −− kkyyk & Logo, a resposta à entrada-zero para o primeiro caso é: tety −=)(

Figura – Resposta à Entrada-Zero de (2.12) caso 1 no MathCad

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

e t−( )

t

E Nemer 15 / 76

ii) 3)1()1(2)0()0(2 111 =⇒+=∴+= −− kkyyk & e

[ ] ( ) 211)0()0( 222 −=∴+−=∴+−= −− kkyyk & Logo, a resposta à entrada-zero para o segundo caso é: tt eety 223)( −− −=

Pode-se usar o MathCad para resolver a equação diferencial (2.12). Abaixo é apresentada uma solução implementada no MathCad para a resposta de (2.12), para o caso 1:

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

3 e t−( ) 2 e 2− t( )⋅−

t Figura – Resposta à Entrada-Zero de (2.12) caso 2 no MathCad

E Nemer 16 / 76

Abaixo é apresentada uma solução implementada no MathCad para a resposta de (2.12), para o caso 2: Pode-se usar também o Matlab para resolver a equação diferencial (2.12). Abaixo é apresentada uma solução implementada no Matlab para a resposta de (2.12), para o caso 1. Em um arquivo do tipo *.m é definida a equação diferencial como um conjunto de equações de 1ª ordem. Em um segundo arquivo do tipo *.m é implementada o código para resolução da equação diferencial que foi definida no arquivo anterior. Neste arquivo, um dos parâmetros é o vetor com as condições iniciais para a equação implementada. Neste caso, como estamos simulando o

Figura – Usando Odesolve do MathCad para a solução de (2.12) – caso 1

Figura – Usando Odesolve do MathCad para a solução de (2.12) – caso 2

% Função que define a equação diferencial de 2a ordem a ser resolvida% Referência: Exemplo 2.3.1 da Apostila de Matemática - Controle % Autor: Edson Nemer Data: 13/04/2007 function dx=eqDif2_3_1(t,x) dx=zeros(2,1); %um vetor coluna dx(1)=x(2); dx(2)=-3*x(2)-2*x(1);

E Nemer 17 / 76

caso 1 de (2.12), o vetor condIniciais é carregado com [1,-1], como pode ser verificado na listagem a seguir. O gráfico para a simulação implementada nos arquivos anteriores é apresentado abaixo: Para a simulação do caso 2 de (2.12), o vetor condIniciais é carregado com [1,1], como pode ser verificado no trecho da listagem a seguir.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1Exemplo 2.3.1 - Resposta do Sistema (2.12) - Caso 1

t

x1 = y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

t

x2 = dy

Figura – Solução do Matlab para (2.12) – Caso 1

% Função que resolve a equação diferencial de 2a ordem % Referência: Exemplo 2.3.1 da Apostila de Matemática - Controle % Autor: Edson Nemer Data: 13/04/2007 clear; clc; intervaloSimul=[0,10]; condIniciais=[1,-1]; [t,y]=ode23(@eqDif2_3_1,intervaloSimul,condIniciais) subplot(211),plot(t,y(:,1)); title('Exemplo 2.3.1 - Resposta do Sistema (2.12) - Caso 1'); xlabel('t'); ylabel('x1 = y'); grid; subplot(212),plot(t,y(:,2)); xlabel('t'); ylabel('x2 = dy'); grid;

intervaloSimul=[0,10]; condIniciais=[1,1]; [t,y]=ode23(@eqDif2_3_1,intervaloSimul,condIniciais) subplot(211),plot(t,y(:,1));

E Nemer 18 / 76

O gráfico para a simulação implementada com a nova condição inicial é apresentado abaixo: 2.4. Resposta ao Estado-Zero – Função de Transferência Considere a equação diferencial em (2.12).

)()(3)(2)(3)(2

2

tudt

tdutydt

tdydt

tyd−=++ (2.24)

A resposta de (2.24) é parcialmente excitada pelas condições iniciais e parcialmente excitada pela entrada u(t). Se todas as condições iniciais são iguais a zero, e resposta é excitada exclusivamente pela entrada e é chamada de resposta ao estado-zero. Vimos em (2.14) que, aplicando a transformada de Laplace, obtemos:

444 3444 2144444 344444 21

&

ZeroEstadospostaZeroEntradasposta

sUss

sss

uyyssY

−−

−−−

++−

+++

−++=

Re

2

Re

2 )()23(

)13()23(

)0(3)0()0()3()(

Portanto, fazendo todas as condições iniciais iguais a zero, a resposta ao estado-zero é governada por:

)()(:)()23(

)13()( 2 sUsGsUss

ssY =++

−= (2.25)

onde a função racional G(s)=(3s-1)/(s2+3s+2) é chamada de função de transferência. Ela é a relação entre as transformadas de Laplace da saída e da entrada, quando todas as condições iniciais são iguais a zero, ou seja,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5Exemplo 2.3.1 - Resposta do Sistema (2.12) - Caso 2

t

x1 = y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

t

x2 = dy

Figura – Solução do Matlab para (2.12) – Caso 2

E Nemer 19 / 76

00 )()(

)()()(

==

==isCondIniciaisCondInicia Entrada

SaídasUsYsG

LL

A função de transferência descreve somente as respostas ao estado-zero de sistemas lineares, invariantes no tempo e com parâmetros concentrados. Exemplo 2.4.1: Considere o sistema mecânico da Figura 2.5(a). Como visto em (2.4), ele é descrito por:

)()()()(212

2

tutykdt

tdykdt

tydm =++

Aplicando a transformada de Laplace, e assumindo que as condições iniciais são iguais a zero, temos:

)()()()()()()( 212

212 sUsYkskmssUsYkssYksYms =++⇒=++

Portanto, a função de transferência entre a entrada u e a saída y do sistema mecânico é:

212

1)()()(

kskmssUsYsG

++==

Este exemplo mostra que a função de transferência de um sistema pode ser prontamente obtida a partir da sua descrição na forma de equação diferencial. Por exemplo, se um sistema é descrito pela equação diferencial

)()()()( tupNtypD = onde D(p) e N(p) são definidos como em (2.19), então a função de transferência do sistema é

)()()(

sDsNsG =

Exercício 2.4.1: Encontre as funções de transferência de u para y dos circuitos mostrados nas Figuras 2.10 e 2.11. Solução: A equação diferencial que descreve o circuito da Figura 2.10 é

)()(2)(6 tutydt

tdy=+

Aplicando a transformada de Laplace, obtemos:

)()()26()()(2)(6 sUsYssUsYssY =+⇒=+ Portanto, a função de transferência entre a entrada u e a saída y é:

261

)()()(

+==

ssUsYsG

E Nemer 20 / 76

Para o circuito da Figura 2.11(a), temos a seguinte equação diferencial:

)()()()(2

2

tutydt

tdyRCdt

tydLC =++

Aplicando a transformada de Laplace, obtemos que:

)()()1()()()()( 22 sUsYRCsLCssUsYsRCsYsYLCs =++⇒=++ Portanto, a função de transferência entre a entrada u e a saída y é:

11

)()()( 2 ++==

RCsLCssUsYsG

Para o circuito da Figura 2.11(b), temos a seguinte equação diferencial:

( ) udtduCRty

dtdyRRC +=++ 221 )(

Aplicando a transformada de Laplace, obtemos que: ( ) ( ) )()1()()1()()()()( 221221 sUsCRsYsRRCsUssUCRsYssYRRC +=++⇒+=++

Portanto, a função de transferência entre a entrada u e a saída y é:

( ) )1()1(

)()()(

21

2

+++

==sRRC

sCRsUsYsG

Exercício 2.4.2: Calcule a função de transferência entre u e i do circuito mostrado na Figura 2.13(a). Seu circuito equivalente usando impedâncias é mostrado na Figura 2.13(b). A impedância da conexão em paralelo de 1/2s e 3s+2 é dada por:

14623

)23(21

)23(21

2 +++

=++

+

sss

ss

ss

que é mostrada na Figura 2.13(c). Portanto, a corrente I(s) mostrada na Figura 2.13 é dada por:

Figura 2.13 – Circuito

E Nemer 21 / 76

)(376146

146231

)()( 2

2

2

sUssss

ssssUsI

++++

=

+++

+=

Logo, a função de transferência entre u e i é dada por:

376146

)()()( 2

2

++++

==ssss

sUsIsG

Exercício 2.4.3: Encontre as funções de transferência de u para y dos circuitos mostrados nas Figuras 2.10 e 2.11 usando o conceito de impedâncias. Solução: O circuito com as impedâncias fica da seguinte forma: Calculando a impedância da conexão série entre o resistor e o capacitor, obtemos:

onde Z1 é s

s2

12 + . Calculando a impedância equivalente da conexão em paralelo de Z1 e do

resistor, temos:

onde Z2 é 2612

++

ss . Logo, a tensão vab é dada por: )(

2612 sU

ssvab ++

=

Portanto, voltando ao circuito original, a tensão em cima do capacitor será deduzida a partir da fórmula do divisor de tensão. Logo, temos que:

1/2s 0,5

1

0,5

Z1

0,5

Z2

E Nemer 22 / 76

261

)()()(

+==

ssUsYsG

2.4.1. Funções de Transferências Próprias Considere a função racional

)()()(

sDsNsG =

onde N(s) e D(s) são dois polinômios com coeficientes reais. Se grau N(s) > grau D(s) então G(s) é chamada de uma função racional imprópria. Por exemplo, as funções racionais abaixo são todas impróprias.

112

++

ss s 12 +s

10789

10

−++ ssss

Se grau N(s)≤ grau D(s) então G(s) é chamada de uma função racional própria. A função é dita ser estritamente própria se grau N(s)< grau D(s); ela é biprópria se N(s)= grau D(s). Desta forma, as funções racionais próprias incluem tanto as funções estritamente próprias como as funções bipróprias. Se G(s) é biprópria, então G(s)-1=D(s)/N(s) também o é. Esta característica de ser própria ou não de uma função racional G(s) também pode ser determinada a partir do valor de G(s) quando s = ∞. É óbvio que G(s) é imprópria se G(∞ = ± ∞, própria se G(∞) é finito diferente de zero ou zero constante, biprópria se G(∞) é finito e não zero, e estritamente própria se G(∞)=0. As funções de transferência que encontraremos neste texto são, na maioria dos casos, funções racionais próprias. São duas as razões para isso. Em primeiro lugar, funções de transferência impróprias são difíceis, se não impossíveis, de construir na prática. Em segundo lugar, as funções de transferências impróprias irão amplificar o ruído de alta freqüência, como será visto a seguir. Sabemos que os sinais são usados na transmissão de informação. Contudo, eles são frequentemente corrompidos por ruído durante o processamento, transmissão ou transformação. Por exemplo, uma posição angular pode ser transformada em tensão elétrica por meio de um potenciômetro de fio como mostrado na Figura 2.14.

Figura 2.14 – Potenciômetro e sua característica

E Nemer 23 / 76

O potenciômetro consiste de um número finito de espiras de fio o que faz com que o ponto de contato trabalhe movendo-se de uma espira para a outra. Devido ao uso de escovas, irregularidades nos fios, variações na resistência de contato e outras imperfeições, tensões espúrias indesejadas serão geradas. Por este motivo, a tensão de saída v(t) do potenciômetro não será exatamente proporcional ao deslocamento angular θ(t), mas, em vez disso, será da forma

)()()( tntktv += θ (2.27) onde k é constante e n(t) é ruído. Por esta razão, em geral, todo sinal tem a forma

)()()( tntitv += (2.28) onde i(t) denota informação e n(t) denota ruído. É lógico que para que possamos fazer uso de v(t), é necessário que

)()( titv ≈ e para qualquer sistema a ser projetado, é requerido que Resposta do sistema devido a v(t) ≈ Resposta do sistema devido a i(t) (2.29) Se a resposta de um sistema excitado por v(t) é drasticamente diferente daquela excitada por i(t), o sistema geralmente não tem utilidade prática. No próximo estudo vamos ver que se a função de transferência de um sistema é imprópria e se o ruído é de alta freqüência, então o sistema não tem utilidade prática. Em vez de ficarmos discutindo o caso geral, vamos estudar um sistema com função de transferência s e um sistema com função de transferência 1/s. Um sistema com função de transferência s é chamado de diferenciador porque ele executa uma diferenciação no domínio do tempo. Um sistema com função de transferência 1/s é chamado de integrador porque ele executa integração no domínio do tempo. O primeiro tem uma função de transferência imprópria, já o segundo tem uma função de transferência estritamente própria. Veremos agora que o diferenciador irá amplificar o ruído de alta freqüência; enquanto o integrador irá suprimir o ruído de alta freqüência. Para nossa conveniência, vamos assumir

ttntti 1000sin01.0)(2sin)( == e

tttntitv 1000sin01.02sin)()()( +=+= (2.30) como mostrado na Figura 2.15(a). A amplitude do ruído é muito pequena, portanto, temos que v(t) ≈ i(t). Se aplicarmos o sinal (2.30) a um diferenciador, a saída será

ttttdt

tdv 1000cos102cos21000cos100001,02cos2)(+=×+=

Pode-se observar que a amplitude do ruído é cinco vezes maior do que a amplitude da informação, portanto, não teremos dv(t)/dt ≈di(t)/dt como mostrado na Figura 2.15(b).

E Nemer 24 / 76

Consequentemente, um diferenciador e, de uma forma geral, sistemas com funções impróprias, não podem ser usados se um sinal contém ruído de alta freqüência. Os gráficos podem ser obtidos também a partir de uma implementação no Matlab. O código fonte é o seguinte:

Figura 2.15 – Ruído de Alta Freqüência em um Diferenciador no MathCad

(a)

0 2 4 6 8 10 12 1415

10

5

0

5

10

15

2 cos 2t( )

2 cos 2t( ) 10 cos 1000t( )+

t (b)

0 2 4 6 8 10 12 141.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

sin 2t( )

0.01 sin 1000t( )

sin 2.t( ) 0.01 sin 1000t( )+

t

E Nemer 25 / 76

% Ruído em Alta Frequência % Função que calcula a saída do sinal v(t)= sen 2t + 0.01 sen 1000t após % ele entrar em um diferenciador % Autor: Edson Nemer Data: 16/04/2007 clear; clc; t = (0:0.0001:15); i = sin(2*t); % Cálculo da função => seno(2t) n = 0.01*sin(1000*t); % Cálculo da função => 0.01 sen(1000t) v=i+n; % Cálculo do sinal v(t)=i(t)+n(t) diff_i=diff(i); % Cálculo das diferenças de i diff_n=diff(n); % Cálculo das diferenças de n diff_v=diff(v); % Cálculo das diferenças de v diff_t=diff(t); % Cálculo das diferenças de t di=diff_i./diff(t); % Cálculo de di/dt dn=diff_n./diff(t); % Cálculo de dn/dt dv=diff_v./diff(t); % Cálculo de dv/dt % Os ajustes abaixo acontecem porque os vetores de diferenças terão um % elemento a menos do que os vetores originais subplot(221),plot(t(1:length(i)),i); axis([0 15 -15 15]) title('Sinal de Informação'); xlabel('t'); ylabel('i(t)'); grid; subplot(222),plot(t(1:length(v)),v); axis([0 15 -15 15]) title('Sinal de Informação + Ruído'); xlabel('t'); ylabel('v(t)'); grid; subplot(223),plot(t(1:length(di)),di); axis([0 15 -15 15]) title('Derivada do Sinal de Informação'); xlabel('t'); ylabel('di(t)/dt'); grid; subplot(224),plot(t(1:length(dv)),dv); axis([0 15 -15 15]) title('Derivada do Sinal de Informação + Ruído'); xlabel('t'); ylabel('dv(t)/dt'); grid; gtext('Página 32 - CT Chen')' Os gráficos para a simulação do código anterior ficam da seguinte forma:

E Nemer 26 / 76

Se aplicarmos (2.30) a um integrador, a saída será

ttdvt

o1000cos

100001,02cos

21)( −−=∫ ττ

Observe que a saída devido ao termo do ruído será praticamente zero e teremos

∫∫ ≈t

o

t

odidv ττττ )()(

Consequentemente podemos concluir que um integrador, e de forma mais geral, sistemas com funções de transferência estritamente próprias, irão suprimir o ruído de alta freqüência. Na prática, frequentemente encontramos ruído de alta freqüência. Como discutido anteriormente, potenciômetros de fio irão gerar ruído indesejado de alta freqüência. Ruído térmico e ruído quântico (ou ruído de disparo), que também são ruídos de alta freqüência quando comparados a sinais de controle, estão sempre presentes em sistemas elétricos. O nível medido de um líquido em um tanque também consistirá de ruído de alta freqüência devido a turbulência do fluxo e do esguicho. Para evitar a amplificação do ruído de alta freqüência, a maioria dos sistemas e dispositivos se utiliza, na prática, de funções de transferência próprias.

0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15Sinal de Informação

t

i(t)

0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15Sinal de Informação + Ruído

t

v(t)

0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15Derivada do Sinal de Informação

t

di(t)

/dt

0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15Derivada do Sinal de Informação + Ruído

t

dv(t)

/dt

Figura 2.15a – Ruído de Alta Freqüência em um Diferenciador no Matlab

E Nemer 27 / 76

O gráfico também pode ser obtido a partir de uma implementação no Matlab. O código fonte é o seguinte: % pag33_CTChen.m - Ruído em Alta Frequência % Função que calcula a saída do sinal v(t)= sen 2t + 0.01 sen 1000t após % ele entrar em um integrador % Autor: Edson Nemer Data: 17/04/2007 clear; clc; t = linspace(0,15,10000); % Gera vetor tempo com 1000 pontos entre 0 e 15 s i = sin(2*t)'; % Cálculo da função => seno(2t) n=0.01*sin(1000*t)'; % Cálculo da função => 0.01 seno (1000t) v=n+i;

Figura 2.15-b – Ruído de Alta Freqüência em um Integrador no MathCad

(a)

(b)

0 2 4 6 8 10 12 141.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

sin 2t( )

0.01 sin 1000t( )

sin 2.t( ) 0.01 sin 1000t( )+

t

0 2 4 6 8 10 12 14

0.4

0.2

0

0.2

0.4

1−

2cos 2t( )

1−

2cos 2t( ) 1⋅

0.01−

1000cos 1000t( )+

t

E Nemer 28 / 76

int_i=cumtrapz(t,i); int_v=cumtrapz(t,v); subplot(221),plot(t,i); axis([0 15 -2 2]) title('Sinal de Informação'); xlabel('t'); ylabel('i(t)'); grid; subplot(222),plot(t,v); axis([0 15 -2 2]) title('Sinal de Informação + Ruído'); xlabel('t'); ylabel('v(t)'); grid; subplot(223),plot(t,int_i); axis([0 15 -2 2]) title('Integral do Sinal de Informação'); xlabel('t'); ylabel('int[i(t)dt]'); grid; subplot(224),plot(t,int_v); axis([0 15 -2 2]) title('Integral de Informação + Ruído'); xlabel('t'); ylabel('int[v(t) dt]'); grid; gtext('Página 33 - CT Chen')' Os gráficos para a simulação do código anterior ficam da seguinte forma:

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Sinal de Informação

t

i(t)

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Sinal de Informação + Ruído

t

v(t)

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Integral do Sinal de Informação

t

int[i(t)dt]

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Integral de Informação + Ruído

t

int[v(t) dt]

Figura 2.15c – Ruído de Alta Freqüência em um Integrador no Matlab

E Nemer 29 / 76

O gráfico também pode ser obtido a partir de uma implementação no Simulink. O arquivo ficaria da seguinte forma:

Figura 2.25d – Diagrama de Blocos no Simulink

E Nemer 30 / 76

Exercício 2.4.5: Considere o sinal

tttntitv 001.0cos01.02cos)()()( +=+= Note que a freqüência do ruído n(t) é muito menor do que a freqüência da informação i(t). Neste caso, podemos dizer que v(t) ≈ i(t) ? E que dv(t)/dt ≈di(t)/dt ? Pode-se dizer também que um amplificador diferenciador amplifica qualquer tipo de ruído? Solução: Como a amplitude do ruído é muito menor do que a amplitude do sinal, podemos dizer que v(t) ≈ i(t) . conforme visto na Figura 2.25(f). Com relação a outra pergunta, precisamos calcular dv(t)/dt e di(t)/dt. Logo, temos que:

Figura 2.25e – Ruído de Alta Freqüência em um Integrador no Simulink

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2seno & integral do seno

t

Amplitude

Integral de seno(2t)

seno (2t)

0 2 4 6 8 10 12 141

0.5

0

0.5

1

1.5

cos 2t( )

0.01 sin 0.001t( )

cos 2.t( ) 0.01 sin 0.001t( )+

t Figura 2.25f – Sinal e Ruído de Baixa Freqüência no MathCad

E Nemer 31 / 76

tsentsendt

tdv 001,000001,022)(−−= e tsen

dttdi 22)(

−=

Como o termo de dv(t)/dt correspondente ao ruído é muito menor que o termo correspondente à informação, podemos dizer que dv(t)/dt ≈di(t)/dt. Observe a Figura 2.25(g) onde são apresentados o sinal puro e o sinal com ruído de baixa freqüência após passarem por um diferenciador. Os gráficos podem ser obtidos também a partir de uma implementação no Matlab. O código fonte é o seguinte: % Exercise 2.4.5 - CTChen.m - Ruído em Alta Frequência % Função que calcula a saída do sinal v(t)= cos 2t + 0.01 cos 0.001t após % ele entrar em um diferenciador % Autor: Edson Nemer Data: 20/04/2007 clear; clc; t = (0:0.0001:15); i = cos(2*t); % Cálculo da função => cos(2t) n = 0.01*cos(0.001*t); % Cálculo da função => 0.01 cos(0.001t) v=i+n; % Cálculo do sinal v(t)=i(t)+n(t) diff_i=diff(i); % Cálculo das diferenças de i diff_n=diff(n); % Cálculo das diferenças de n diff_v=diff(v); % Cálculo das diferenças de v diff_t=diff(t); % Cálculo das diferenças de t di=diff_i./diff(t); % Cálculo de di/dt dn=diff_n./diff(t); % Cálculo de dn/dt dv=diff_v./diff(t); % Cálculo de dv/dt % Os ajustes abaixo acontecem porque os vetores de diferenças terão um

0 2 4 6 8 10 12 143

2

1

0

1

2

3

2− sin 2t( )

2− sin 2t( ) 0.00001 sin 0.001t( )−

t Figura 2.25g – Ruído de Baixa Freqüência em um Diferenciador no MathCad

E Nemer 32 / 76

% elemento a menos do que os vetores originais subplot(221),plot(t(1:length(i)),i); axis([0 15 -2 2]) title('Sinal de Informação'); xlabel('t'); ylabel('i(t)'); grid; subplot(222),plot(t(1:length(v)),v); axis([0 15 -2 2]) title('Sinal de Informação + Ruído'); xlabel('t'); ylabel('v(t)'); grid; subplot(223),plot(t(1:length(di)),di); axis([0 15 -2 2]) title('Derivada do Sinal de Informação'); xlabel('t'); ylabel('di(t)/dt'); grid; subplot(224),plot(t(1:length(dv)),dv); axis([0 15 -2 2]) title('Derivada do Sinal de Informação + Ruído'); xlabel('t'); ylabel('dv(t)/dt'); grid; gtext('Exercício 2.4.5 - CT Chen')' Os gráficos para a simulação do código anterior ficam da seguinte forma:

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Sinal de Informação

t

i(t)

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Sinal de Informação + Ruído

t

v(t)

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Derivada do Sinal de Informação

t

di(t)/dt

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Derivada do Sinal de Informação + Ruído

t

dv(t)/dt

Exercício 2.4.5 - CT Chen

Figura 2.15h – Ruído de Baixa Freqüência em um Diferenciador no Matlab

E Nemer 33 / 76

Com base nos resultados obtidos, observe que, como a freqüência é muito baixa, o ruído não é amplificado. Logo, concluímos que o diferenciador não amplifica qualquer tipo de ruído, só os de freqüência alta. 2.4.2. Pólos e Zeros A resposta ao estado zero de um sistema é governado pela sua função de transferência. Antes de calcular a resposta, vamos introduzir os conceitos de pólos e zeros. Considere uma função de transferência racional própria

)()()(

sDsNsG =

onde N(s) e D(s) são polinômios com coeficientes reais e grau N(s) ≤ grau D(s). Definição: Um número real ou complexo finito λ é um pólo de G(s) se ∞=)(λG , onde .

denota o valor absoluto. Ele é um zero de G(s) se 0)( =λG . Considere a função de transferência

3

23

)1)(2)(1()33(2

)()()(

++−−−+

==ssssss

sDsNsG (2.31)

Nós temos

[ ][ ][ ]∞==

+−+−−−−−−−+−

=−−

=−06

1)2(2)2(1)2()3)2()2(3)2((2

)2()2()2( 3

23

DNG

Por esta razão, -2 é um pólo de G(s) por definição. Obviamente, -2 é uma raiz de D(s). Isto implica que toda raiz de D(s) é um pólo de G(s)? Para responder isto, vamos substituir em s=1, que também é uma raiz de D(s). Calculando, obtemos que:

[ ][ ][ ] 00

1)1(2)1(1)1()3)1()1(3)1((2

)1()1()1( 3

23

=++−−−+

==DNG

Isto não está definido. Contudo, usando l’Hopital, temos que:

∞≠=−−++

−+===

=== 2416

5412165)163(2

)()(

)()()1(

1234

2

1'

'

1 sss ssssss

sDsN

sDsNG

Desta forma, s=1 não é um pólo de G(s). Portanto, nem toda raiz de D(s) é um pólo de G(s). Vamos, agora, fatorar N(s) em (2.31) e então cancelar os fatores comuns entre N(s) e D(s):

23 )1)(2()3(2

)1)(2)(1()1)(1)(3(2

)()()(

+++

=++−+−+

==ss

sssssss

sDsNsG (2.32)

E observamos que s = 1 não é um pólo de G(s). Vê-se de forma clara que G(s) tem um zero que é s = -3 e três pólos, s = -2, s=-1 e s = -1. O pólo -2 é chamado de pólo simples e o pólo -1 é chamado um pólo repetido com multiplicidade 2.

E Nemer 34 / 76

Deste exemplo vemos que, se um polinômio N(s) e D(s) não possuem fatores comuns, então todas as raízes de N(s) e todas as raízes de D(s) são, respectivamente, os zeros e os pólos de G(s)=N(s)/D(s). Se N(s) e D(s) não possuem fatores comuns, eles são ditos serem coprimos e G(s) = N(s)/D(s) é dita ser irredutível. A menos que definido de outra forma, toda função de transferência será assumida como irredutível. Vamos agora calcular a resposta ao estado-zero. A resposta ao estado-zero de um sistema é governada por Y(s)=G(s)/U(s). Para calcular Y(s), nós primeiro precisamos calcular a transforma de Laplace de u(t). O passo seguinte é multiplicar G(s) e U(s) para obter Y(s). A transformada inversa de Laplace de Y(s) fornecerá a resposta ao estado-zero. Isto é ilustrado por um exemplo. Exemplo 2.4.3: Encontre a resposta ao estado-zero de (2.25) devido a uma entrada u(t) = 1, para t ≥ 0. Isto é chamado de resposta ao degrau-unitário de (2.25). A transforma de Laplace de u(t) é 1/s. Logo, temos que:

sssssUsGsY 1

)2)(1(13)()()( ⋅+−

−== (2.33)

Para calcular sua transforma inversa de Laplace, executamos uma expansão em frações parciais da seguinte forma:

sk

sk

sk

sssssY 321

211

)2)(1(13)( +

++

+=⋅

+−−

=

onde:

4)1)(1(

4)2(13)1)((

111 =

−−

=+−

=+=−=

−=s

s sssssYk

5.3)2)(1(

7)1(13)2)((

222 −=

−−−

=+−

=+=−=

−=s

s sssssYk

e

5.021

)1)(2(13)(

003 −=

−=

++−

===

=s

s sssssYk

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos que a resposta ao estado-zero para t≥0 é simples e direta.

)()(

2 5.05.34)(sUdepolos

aosDevidosGdepolos

aosDevido

tt eety −−= −−4434421

(2.34)

O gráfico para y(t) em (2.34) é apresentado na Figura 2.15(i).

E Nemer 35 / 76

O seguinte código pode ser usado numa implementação para o Matlab: % Resposta ao Degrau Unitário % Referência: Exemplo 2.4.3 da Apostila de Matemática - Controle % Autor: Edson Nemer Data: 28/04/2007 clear; clc; % Definição da função de transferência do sistema N=[3 -1]; D=[1 3 2]; H=tf(N,D); step(H); grid; O gráfico para a simulação no Matlab é mostrado na Figura 2.15(j). Este exemplo revela um fato importante da resposta ao estado-zero. Podemos ver de (2.34) que a resposta consiste de três termos. Dois termos são constituídos pelas transformadas de

Figura 2.15i – Resposta ao Degrau no MathCad

0 1 2 3 4 5 6-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 2.15j – Resposta ao Degrau no Matlab

E Nemer 36 / 76

Laplace de 1/(s+2) e 1/(s+1), que são os pólos do sistema. O termo remanescente diz respeito ao degrau de entrada. Na realidade, para qualquer u(t), a resposta de (2.33) é geralmente da forma

)()( 221 sUdepolosaosdevidostermosekekty tt ++= −− (2.35)

Portanto, os pólos de G(s) determinam a forma básica da resposta ao estado-zero. Exercício 2.4.6: Encontre a resposta ao estado-zero de 1/(s+1) devido à entrada e-2t, t≥0. A transforma de Laplace de e-2t é 1/(s+2). Logo, temos que:

)2(1

)1(1)()()(

+⋅

−==

sssUsGsY

Para calcular sua transforma inversa de Laplace, executamos uma expansão em frações parciais da seguinte forma:

21)2(1

)1(1)( 21

++

+=

+⋅

−=

sk

sk

sssY

onde:

121

1)2(

1)1)((1

11 =+−

=+

=+=−=

−=s

s sssYk

112

1)1(

1)2)((2

22 −=+−

=+

=+=−=

−=s

s sssYk

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos que a resposta ao estado-zero para t≥0 é

)(

2

)(

)(sUdepolos

aosDevido

t

sGdepolosaosDevido

t eety −− −=

O gráfico para y(t) simulado no MathCad é apresentado na Figura 2.15(l).

Figura 2.15l – Resposta de 1/(s+1) a e-2t no MathCad

E Nemer 37 / 76

O seguinte código pode ser usado para simulação do exercício no Matlab: % Resposta a uma entrada u=exp(-2t) % Referência: Exercício 2.4.6 da Apostila de Matemática - Controle % Autor: Edson Nemer Data: 29/04/2007 clear; clc; % Definição da função de transferência do sistema N=[1]; D=[1 1]; H=tf(N,D); t=0:0.01:10; u=exp(-2*t); lsim(H,u,t); grid; O gráfico para y(t) simulado no Matlab é apresentado na Figura 2.15(m). Um diagrama para implementação no Simulink é o seguinte:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Linear Simulation Results

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 2.15m – Resposta de 1/(s+1) a e-2t no Matlab

Figura 2.15n – Diagrama de Blocos no Simulink

E Nemer 38 / 76

O código do Matlab para construir os gráficos da simulação anterior é o seguinte: % Resposta a uma entrada u=exp(-2t)implementada no Simulink % Referência: Exercício 2.4.6 da Apostila de Matemática - Controle % Autor: Edson Nemer Data: 29/04/2007 clear; clc; % Carrega os valores da entrada load('u.mat'); % Carrega os valores da saída load('y.mat'); subplot(211),plot(u(1,:),u(2,:)); axis([0 10 0 1]) title('u = exp(-2*t)'); xlabel('t'); ylabel('u(t)'); grid; subplot(212),plot(u(1,:),y(2,:)); axis([0 10 0 1]) title('y'); xlabel('t'); ylabel('y(t)'); grid; O gráfico fica da seguinte forma: Se k1 em (2.35) é zero, o polo correspondente -1 não é excitado. Uma observação similar aplica-se a k2. Como tanto k1 e k2 em (2.34) são diferentes de zero, ambos os pólos de G(s) em (2.33) são excitados pela entrada do degrau. Para outras entradas, pode ser que os dois pólos nem sempre sejam excitados. Isto pode ser ilustrado por um outro exemplo. Exemplo 2.4.4: Considere o sistema em (2.33). Encontre uma entrada u(t) limitada que faça com que o pólo -1 não seja excitado. Se U(s) = s+1, então

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1u = exp(-2*t)

t

u(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1y

t

y(t)

Figura 2.15o – Resposta de 1/(s+1) a e-2t no Simulink

E Nemer 39 / 76

273

27)2(3

213)1(

)2)(1(13)()()(

+−=

+−+

=+−

=+⋅+−

−==

sss

sss

ssssUsGsY

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos que:

tetty 27)(3)( −−= δ Esta resposta não contém o termo e-t, o que significa que o pólo -1 não é excitado. Ou seja, se introduzirmos um zero em U(s) para cancelar um pólo, então esse pólo não será excitado pela entrada u(t). Se U(s) é imprópria ou biprópria, como é o caso para U(s)=s+1, então sua transformada inversa de Laplace u(t) irá conter um impulso e suas derivadas e, portanto, não será limitada. De modo a termos u(t) limitada, devemos escolher, em vez de arbitrariamente, U(s)=(s+1)/s(s+3), ou seja, uma função racional estritamente própria. E sua transformada inversa de Laplace será

3)3()1()( 21

++=

++

=sk

sk

ssssU

onde:

31

3010

)3()1()(

001 =

++

=++

===

=s

s ssssUk

32

32

313)1()3)((

332 =

−−

=−+−

=+

=+=−=

−=s

s ssssUk

Logo, temos que:

tetu 3

32

31)( −+=

que vale para t ≥ 0 e é limitada. A aplicação desta entrada a (2.33) resulta em

ssss

sss

ssssUsGsY

)3)(2(13

)3()1(

)2)(1(13)()()(

++−

=++

⋅++

−==

Expandindo em frações parciais, temos:

sk

sk

sk

sssssY 321

3)2()3)(2(13)( +

++

+=

++−

=

onde:

27

)2)(32(1)2(3

)3(13)2)((

221 =

−+−−−

=+−

=+=−=

−=s

s sssssYk

310

)3)(23(1)3(3

)2(13)3)((

332

−=

−+−−−

=+−

=+=−=

−=s

s sssssYk

E Nemer 40 / 76

61

)30)(20(10

)3)(2(13)(

003

−=

++−

=++

−==

==

ss ss

sssYk

E temos que:

43421321

)(

3

2

2

61

310

27)(

tuentradaaDevido

t

poloaoDevido

t eety −−= −

que vale para t ≥ 0. O segundo e o terceiro termos são devidos a entrada u(t) e o primeiro termo é devido ao pólo -2. Observe que o termo e-t não aparece em y(t), ou seja, o pólo -1 não é excitado pela entrada. De forma similar, podemos mostrar que a entrada (s+2)/s(s+1) ou (s+2)/s(s+3)2 não excitará o pólo -2 e a entrada (s+2)(s+1)/s(s+3)2 não excitará nenhum dos pólos. Desse exemplo podemos concluir que o pólo ser excitado ou não dependerá se u(t) ou U(s) tem um zero para cancelá-lo ou não. As transformadas de Laplace da função degrau unitário e do sen w0t são

20

201ws

wes +

observe que eles não têm zero. Por esta razão, qualquer uma dessas entradas irá excitar todos os pólos de todo sistema linear concentrado e invariante no tempo. A discussão precedente pode ser estendida para o caso geral. Considere, por exemplo:

)()22)(22()2(

)1)(2)(10(:)()()( 23

2

sUjsjsss

ssssUsGsY++−+−

−++==

A função de transferência G(s) tem pólos em 0, 0, 0, 2, 2, e -2 ± j2. Os pólos complexos -2 ± j2 são pólos simples, os pólos 0 e 2 são pólos repetidos com multiplicidades 3 e 2. Se G(s) e U(s) não têm pólo em comum, então a resposta ao estado-zero do sistema devido a U(s) é da forma

)()( )22(7

)22(6

25

24

2321 sUdepolosdostermosekektekektktkkty tjtjtt +++++++= +−−− (2.36)

Logo, os pólos de G(s) determinam a forma básica da resposta. E os zeros de G(s), eles têm alguma influência na resposta ao estado-zero? Certamente que sim. Eles afetam os valores de ki. E diferentes valores de ki resultam em diferenças drásticas nas respostas, como ilustrado pelo seguinte exemplo. Exemplo 2.4.5: Considere as seguintes funções de transferência:

)1)(1)(1(2)(1 jsjss

sG−++++

= )1)(1)(1(

)10(2.0)(2 jsjssssG

−+++++

=

)1)(1)(1()10(2.0)(3 jsjss

ssG−++++

−−=

)1)(1)(1()2.01.0(10)(

2

4 jsjsssssG

−++++++

=

E Nemer 41 / 76

A função de transferência G1(s) não tem zero, G2(s) e G2(s) têm um zero, e G4(s) tem um par de zeros complexos conjugados em -0.05 ± 0.444j. Todos eles têm o mesmo conjunto de pólos, e suas respostas ao degrau unitário são todos da forma

4)11(

3)11(

21)( kekekekty tjtjt +++= −−+−− com k3 igual ao complexo conjugado de k2. O arquivo do Matlab para simulação dessas respostas é o seguinte: % Resposta a uma entrada ao degrau implementada no Simulink para várias % funções de transferência com mesmo denominador mas numeradores % diferentes. % Referência: Exemplo 2.4.5 da Apostila de Matemática - Controle % Autor: Edson Nemer Data: 8/05/2007 clear; clc; % Carrega os valores da entrada load('u.mat'); % Carrega os valores das 4 saídas load('y1.mat'); load('y2.mat'); load('y3.mat'); load('y4.mat'); plot(u(1,:),y1(2,:),u(1,:),y2(2,:),u(1,:),y3(2,:),u(1,:),y4(2,:)); axis([0 10 -2 2.5]) title('y'); xlabel('t'); ylabel('y(t)'); grid; Suas respostas são dadas na Figura 2.16.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5y

t

y(t)

Figura 2.16 – Respostas ao Degrau Unitário de Gi(s)

E Nemer 42 / 76

Como conclusão, embora os pólos de G(s) determinem a forma básica das respostas, as respostas exatas são determinadas pelos pólos, zeros, e pela entrada. Por esta razão, os zeros de uma função de transferência não podem ser completamente ignorados na análise e no projeto de sistemas de controle. 2.5. Representação em Blocos – Caracterização Completa Na análise e no projeto de sistemas de controle, todo dispositivo é representado por um bloco como mostrado na Figura 2.4 ou 2.17(a). O bloco é então representado por sua função de transferência G(s). Se a entrada é u(t) e a saída é y(t), então eles são relacionados por

)()()( sUsGsY = (2.37) onde Y(s) e U(s) são respectivamente as transformadas de Laplace de y(t) e u(t). Note que misturamos a representação no domínio do tempo u(t) e y(t) com a representação na transformada de Laplace G(s) na Figura 2.17(a). É importante notar que é incorreto escrever y(t) = G(s) u(t). A expressão correta é Y(s)=G(s) U(s). A equação (2.37) é uma equação algébrica. O produto da transformada de Laplace da entrada pela função de transferência resulta na transformada de Laplace da saída. A conexão Tandem da Figura 2.17(b) mostra a vantagem de se usar esta representação algébrica. Suponha que os dois sistemas sejam representados, respectivamente, por

)()()( 111 sUsGsY = )()()( 222 sUsGsY = Na conexão Tandem, temos que u2(t) = y1(t) ou U2(s) = G2(s) U2(s) e

)()()()()()( 112122 sUsGsGsUsGsY == (2.38) Portanto, a conexão Tandem simplifica a álgebra de funções de transferência e simplifica enormemente a análise e projeto de sistemas de controle.

G1(s) G2(s)

(b)

G2(s) G1(s)

(c)

G(s)

(a)

u y

u1 y1 y2 u2

u1 y2

Figura 2.17 – (a) Um sistema. (b) Conexão Tandem. (c) Redução de (b).

E Nemer 43 / 76

A função de transferência descreve somente a resposta ao estado-zero de um sistema. Logo, quando usamos a função de transferência na análise e projeto, a resposta a entrada-zero (resposta devida as condições iniciais diferentes de zero) é completamente desprezada. Contudo, nós podemos realmente desprezar a resposta a entrada-zero? A questão é estudada a seguir. Considere um sistema linear invariante no tempo descrito pela seguinte equação diferencial :

)()()()( tupNtypD = (2.39) onde

011

1:)( apapapapD nn

nn ++++= −

− L e 011

1:)( bpbpbpbpN mm

nm ++++= −

− L

e a variável p é o diferenciador definido em (2.19) e (2.20). Então, a resposta a entrada-zero do sistema é descrita por

0)()( =typD (2.40) e a resposta é determinada pelas raízes de D(s), chamadas de modos do sistema. A resposta ao estado-zero do sistema é descrito pela função de transferência

)()(:)(

sDsNsG =

e a forma básica de sua resposta é governada pelos pólos de G(s). Os pólos de G(s) são definidos como as raízes de D(s) após o cancelamento dos fatores comuns de N(s) e D(s). Desta forma, se D(s) e N(s) não têm fatores comuns, então O conjunto de pólos = o conjunto de modos (2.41) Neste caso, o sistema é dito como sendo completamente caracterizado pela sua função de transferência. Se D(s) e N(s) têm fatores comuns, digamos R(s), então as raízes de R(s) são nós do sistema mas não pólos de G(s). Neste caso, as raízes de R(s) são chamados de pólos faltantes da função de transferência, e o sistema é dito não ser completamente caracterizado pela sua função de transferência. Exemplo 2.5.1: Considere o sistema mostrado na Figura 2.18 onde a entrada é uma fonte de corrente e a saída y é a tensão no resistor de 2 Ω. O sistema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial linear e invariante no tempo

)(75.0)()()(75.0

)()( tu

tdtduty

tdtdy

−=− (2.42a)

E Nemer 44 / 76

A equação também pode ser escrita usando o operador p=d/dt, como mostrado abaixo: ( ) ( ) )(75.0)(75.0 tuptyp −=− (2.42b) O modo do sistema é a raiz de (s - 0.75) ou 0.75. Portanto, a resposta à entrada zero é da forma

tkety 75.0)( = (2.43) onde k depende da tensão inicial do capacitor na Figura 2.18. Observe que, se a tensão inicial é diferente de zero, a resposta do circuito irá para infinito à medida que t → ∞. Vamos estudar agora sua resposta ao estado zero. A função de transferência do sistema é

1)75.0()75.0()( =

−−

=sssG (2.44)

Devido ao fator comum, a função de transferência reduz-se a 1. Desta forma, o sistema não tem pólos e a resposta ao estado-zero é y(t)=u(t), para todo t. Neste caso, o sistema não é completamente caracterizado por sua função de transferência visto que o modo 0.75 não aparece como um pólo de G(s). Em outras palavras, a função de transferência tem um pólo faltante 0.75. Se usássemos a função de transferência para estudar o sistema da Figura 2.18, concluiríamos que o sistema é aceitável. Na realidade, o sistema não é aceitável pois, caso, por alguma razão, a tensão no capacitor seja diferente de zero, a resposta irá crescer sem limite e o sistema entrará na saturação ou queimará. Logo, esse sistema não tem utilidade prática. Obs: A existência de um pólo faltante na Figura 2.18 é facilmente explicável pela própria estrutura do circuito. Devido à simetria dos quatro resistores, se a tensão inicial do capacitor é zero, sua tensão permanecerá em zero não importando que corrente seja aplicada. Por essa razão, a remoção do capacitor não afetará a resposta ao estado-zero do sistema. Logo, o sistema tem um componente supérfluo e esses tipos de sistemas não são construídos na prática, exceto por erro. Exemplo 2.5.2: Considere o sistema descrito por ( ) ( ) )(2)(322 tuptypp −=−+ (2.45) A resposta à entrada-zero do sistema é governada por ( ) 0)(322 =−+ typp

Figura 2.18 – Circuito

E Nemer 45 / 76

Seus modos são as raízes de (s2 + 2s -3)=(s-1)(s+3) ou 1 e -3. Desta forma, a resposta à entrada-zero devido a quaisquer condições iniciais é da forma

ttzi ekekty 3

21)( −+= onde o subscrito zi denota a entrada-zero. A resposta do modo 1 tende a infinito e a resposta do modo -3 tende a zero quando t → ∞. A função de transferência do sistema é

)3)(1()2(

)32()2()( 2 +−

−=

−+−

=ss

sss

ssG (2.46)

Desta forma, a resposta ao estado-zero do sistema devido a u(t) será, geralmente, da forma

))(()( 321 sUdepólosaosdevidosTermosekekty tt ++= −

E podemos ver que os dois modos aparecem como pólos de G(s). Logo, o sistema não tem pólos faltantes e é completamente caracterizado pela sua função de transferência. Neste caso, a resposta à entrada-zero devido a quaisquer condições iniciais aparecerá na resposta ao estado-zero, e assim, nenhuma informação essencial será perdida no uso da função de transferência para estudar o sistema. Como conclusão, se um sistema é completamente caracterizado por sua função de transferência, então a resposta á entrada-zero aparecerá essencialmente como parte da resposta ao estado-zero. Por esta razão, é permitido usar a função de transferência na análise e no projeto sem considerar a resposta devido a condições iniciais diferentes de zero. Se um sistema não for completamente caracterizado por sua função de transferência, um cuidado maior deve ser tomado na utilização da função de transferência para estudar o sistema. 2.5.1. O Problema de Carregamento A maioria dos problemas de controle é construída pela interconexão de um número de subsistemas como mostrado nas Figuras 1.1(b), 1.6(b) e 1.7(b). Na análise e projeto, todo subsistema será representado por um bloco e cada bloco será representado por uma função de transferência. Logo, a maioria dos sistemas de controle consistirá de vários blocos interconectados uns nos outros. Na conexão de dois ou mais blocos, pode ocorrer um problema de carregamento. Como exemplo, considere uma fonte de tensão de 10 volts modelada como mostrado na Figura 2.19(a).

Figura 2.19 – Problema de Carregamento

E Nemer 46 / 76

A fonte tem uma resistência interna de 10 Ω; sua tensão de saída é 10 volts quando não tem nada conectado a seus terminais. Considere agora um dispositivo que possa ser modelado como um resistor de 10 Ω. Quando conectamos o dispositivo a fonte de tensão, a tensão de saída da fonte não é mais 10 volts, e sim 10 .10/(10+10)= 5 volts. Se conectarmos um dispositivo de 20 Ω à fonte de tensão, a saída será de 10 .20/(10+20)= 6.7 volts. Nós vemos que as tensões fornecidas pela mesma fonte de tensão serão diferentes quando esta for conectada a dispositivos diferentes. Em outras palavras, para diferentes cargas, as tensões fornecidas pela mesma fonte de tensão serão diferentes. Neste caso, dizemos que a conexão tem um problema de carregamento. Por outro lado, se a fonte de tensão é projetada de modo que sua resistência interna seja desprezível ou zero, como mostrado na Figura 2.19(b), então, não importa que dispositivo seja conectado a ela, a tensão fornecida para o dispositivo será sempre de 10 volts. Neste caso, dizemos que a conexão não tem problema de carregamento. Em resumo, se sua função de transferência muda após um sistema ser conectado a um outro sistema, a conexão é dita como tendo um problema de carregamento. Por exemplo, a função de transferência de u para y na Figura 2.19(a) é 1 antes do sistema ser conectado a qualquer dispositivo. Ela torna-se 5/10 = 0.5 quando o sistema é conectado a um resistor de 10 Ω. Logo, observamos que a conexão tem um efeito de carregamento. Se a conexão tandem de dois sistemas tem um efeito de carregamento, então a função de transferência da conexão tandem não iguala o produto das funções de transferência dos dois subsistemas como desenvolvido em (2.38). Isto é ilustrado por um exemplo. Exemplo 2.5.3: Considere os circuitos mostrados na Figura 2.20(a). A função de transferência de u1 para y1 do circuito M1 é G1(s)=s/(s+1). A função de transferência de u2 para y2 do circuito M2 é G2(s)=2/(2+3s). Vamos agora conectá-los ou seja, fazer y1=u2, como mostrado na Figura 2.20(b) e calcular a função de transferência de u1 para y2. A impedância da conexão paralela das impedâncias s e (3s+2) é s(3s+2)/(s+3s+2)= s(3s+2)/(4s+2). Desta forma, a corrente I1 mostrada na Figura 2.20(b) iguala a

24)23(1

)()( 11

++

+=

ssssUsI (2.47)

Figura 2.20 – Conexão Tandem de dois Circuitos

E Nemer 47 / 76

e a corrente I2 iguala a

)(.)23(24

)(.23

)( 112 sUsss

ssIssssI

+++=

++= (2.48)

Desta forma, a tensão y2(t) é dada por

)(.263

22).()( 1222 sUss

ssIsY++

== (2.49)

e a função de transferência de u1 para y2 da conexão tandem é

2632

)()(

21

2

++=

sss

sUsY (2.50)

Esta função é diferente da obtida pelo produto de G1(s) e G2(s), ou seja

2532

232.

1)()( 221 ++

=++

=ss

sss

ssGsG (2.51)

Portanto, neste caso, a Equação (2.38) não pode ser usada para esta conexão. O carregamento dos dois circuitos da Figura 2.20 pode ser facilmente explicado. A corrente I2 na Figura 2.20(a) é zero antes da conexão; ela torna-se diferente de zero após a conexão. Logo, o carregamento ocorre. Em circuitos elétricos, o carregamento pode ser eliminado pela inserção de um amplificador isolador, como mostrado na Figura 2.20(c). A impedância de entrada Zin de um amplificador isolador ideal é infinito e a impedância de saída Zout é zero. Com essas características, observe que a corrente I2 na Figura 2.20(c) permanece em zero e a função de transferência da conexão é G2(s)kG1(s) com k=1. O problema de carregamento precisa ser considerado no desenvolvimento de um diagrama de blocos para um sistema de controle. 2.6. Equações em Variáveis de Estado A função de transferência descreve somente o relacionamento entre a entrada e a saída de sistemas lineares e invariantes no tempo e é, por esta razão, chamada de descrição entrada-saída ou descrição externa. Nesta seção vamos desenvolver uma descrição diferente, chamada de descrição em variáveis de estado ou descrição interna. Estritamente falando, esta descrição é a mesma das equações diferenciais discutidas na Seção 2.2. A única diferença é que equações diferenciais de alta ordem são escritas agora como conjuntos de equações diferenciais de primeira ordem. Desta forma, o estudo pode ser simplificado. A descrição em variáveis de estado de sistemas lineares e invariantes de tempo é da forma:

)()()()()()()()()()()()()()()(

33332321313

23232221212

13132121111

tubtxatxatxatxtubtxatxatxatxtubtxatxatxatx

+++=+++=+++=

&

&

&

(2.52a)

)()()()()( 332211 tdutxctxctxcty +++= (2.52b)

E Nemer 48 / 76

onde u e y são a entrada e saída: xi, i=1, 2, 3, são chamadas as variáveis de estado; aij, bi, ci, e d são constantes; e dttdxtxi )(:)( 1=& . Estas equações são mais frequentemente escritas na forma de matriz, como mostrado a seguir:

)()()( tbutAxtx +=& (Equação de estado) (2.53a)

)()()( tdutcxty += (Equação de saída) (2.53b) com

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

3

2

1

xxx

x ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

3

2

1

bbb

b (2.54a)

e

[ ]321 cccc = (2.54b) O vetor x é chamado de vetor de estados ou simplesmente o estado. Se x tem n variáveis de estado ou é um vetor n x 1, então A é uma matriz quadrada n x n, b é um vetor coluna n x 1, c é um vetor linha 1 x n, e d é um escalar 1 x 1. A matriz A é chamada, algumas vezes, de matriz do sistema e d é a parte direta da transmissão. A equação (2.53a) descreve a relação entre a entrada e o estado, e é chamada de equação de estado. A equação de estado em (2.53a) consiste de três equações diferenciais de primeira ordem e, por este motivo, diz-se que sua dimensão é 3. A equação em (2.53b) relaciona a entrada, o estado e a saída, e é chamada de equação de saída. Ela é uma equação algébrica; ela não envolve diferenciação de x. Portanto, se x(t) e u(t) são conhecidas, a saída y(t) pode ser obtida simplesmente pela multiplicação e adição. Este texto estuda principalmente sistemas monovariáveis, isto é, sistemas com uma entrada e uma saída. Para sistemas multivariáveis, nós temos duas ou mais entradas e/ou duas ou mais saídas. Neste caso, u(t) e y(t) serão vetores e as ordens de b e c e d precisam ser modificados de acordo. Por exemplo, se um sistema tem três entradas e duas saídas, então u será uma matriz 3 x 1; y será 2 x 1; b será n x 3; c será 2 x n; e d será 2 x 3. De outra maneira, a forma das equações em variáveis de estado permanecem a mesma. A função de transferência descreve somente a resposta de sistemas ao estado-zero. Desta forma, quando usamos a função de transferência, o estado inicial ou condições iniciais do sistema precisam ser assumidas como sendo zero. Ao utilizarmos a equação em variáveis de estado, esta suposição não é necessária. A equação é aplicável mesmo se o estado inicial for diferente de zero. A equação descreve não somente a saída mas também as variáveis de estado. Devido ao fato das variáveis de estado serem internas ao sistema e não serem necessariamente acessíveis pelos terminais de entrada e de saída, a equação em variáveis de estado é também chamada de descrição interna. Portanto, a descrição em variáveis de estado é uma descrição mais geral do que a descrição em função de transferência. Contudo, se um sistema for completamente caracterizado pela sua função de transferência, as duas descrições serão essencialmente as mesmas. No desenvolvimento das equações em variáveis de estado para sistemas lineares e invariantes no tempo, precisamos primeiro escolher as variáveis de estado. As variáveis de estado estão associadas a energia. Por exemplo, a energia potencial e cinética de uma massa são

E Nemer 49 / 76

armazenadas na sua posição e na sua velocidade. Portanto, posição e velocidade podem ser escolhidas como variáveis de estado para uma massa. Para circuitos RLC, capacitores e indutores são elementos armazenadores de energia porque eles podem armazenar energia em seus campos elétrico e magnético. Por essa razão, todas as tensões de capacitor e correntes de indutor são escolhidos geralmente com variáveis de estado para circuitos RLC. Resistores não armazenam energia; toda a energia é dissipada como calor. Por essa razão, tensões ou correntes em resistores não são variáveis de estado. Exemplo 2.6.1: Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 2.5(a). Como discutido em (2.4), sua descrição na forma de uma equação diferencial é

)()()()( 21 tutyktyktym =++ &&& (2.55) onde u(t) é a força aplicada (entrada), y(t) é o deslocamento (saída), dttdyty )(:)( =& , e

22 )(:)( dttydty =&& . A energia potencial e a energia cinética de uma massa são armazenadas na sua posição e na sua velocidade; por esta razão, a posição e a velocidade serão escolhidas como variáveis de estado. Defina

)(:)(1 tytx = (2.56a) e

)(:)(2 tytx &= (2.56b) Portanto, nós temos que:

)()()( 21 txtytx == && Esta relação segue da definição de x1(t) e x2(t) e é independente do sistema. Tomando a derivada de x2(t), temos:

)(:)(2 tytx &&& = Das equações (2.55) e (2.56), temos que:

[ ] )(1)()()()()(1)( 21

12

122 tum

txmktx

mktutyktyk

mtx +−−=+−−= &&

Estas equações podem ser arranjadas em forma de matriz como

)(10

)()(10

)()(

2

112

2

1 tumtx

tx

mk

mk

txtx

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

01)(2

1

txtx

ty

E Nemer 50 / 76

Uma implementação no Matlab ficaria da seguinte forma: % Referência: Example 2.6.1 - CT Chen % Os valores numéricos foram tirados do livro do Ogata % Autor: Edson Nemer Data: 09/06/2007 clear; clc; % Parâmetros do Modelo % Aumentando K, estabiliza mais devagar M = 16.6 % lb (Massa) % Aumentando k1, estabiliza mais rápido k1 = 20.0; % lb/ft/s (Coeficiente de atrito) % Aumentando k2, aumenta a oscilação k2 = 20.0; % lb/ft (Constante da Mola) % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado massaMola =ss([0 1;-k2/M -k1/M],[0;1/M],[1 0],0) % plota a resposta ao degrau para o sistema [y,t,x]=step(massaMola); tp=int8(length(t)/2) % apanha a metade do eixo x xp=t(tp) % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x yp=x(tp,1); % pega a posição correspondente aquele valor de t yv=x(tp,2); % pega a velocidade correspondente aquele valor de t plot(t,x(:,1),'--',t,x(:,2),'-'); grid; text(xp,yp,'posição'); text(xp,yv,'velocidade'); title('Sistema Massa Mola'); xlabel('t') O gráfico para a simulação anterior é mostrado na figura que se segue. Observe que são apresentadas duas curvas, uma curva para a posição da massa e outra curva para a velocidade da mesma massa.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

posição

velocidade

Sistema Massa Mola

t Figura 2.21 – Resposta ao Degrau de um Sistema Massa-Mola no Matlab

E Nemer 51 / 76

Um diagrama para implementação no Simulink é o seguinte: O código do Matlab para construir os gráficos da simulação anterior é o seguinte: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Massa-Mola no Simulink % Referência: Example 2.6.1 - CT Chen % Os valores numéricos foram tirados do livro do Ogata % Autor: Edson Nemer Data: 09/06/2007 clear; clc; % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado load ('posic.mat'); load ('veloc.mat'); % Plota o gráfico da saída da massa mola plot(posic(1,:),posic(2,:),veloc(1,:),veloc(2,:)); tp=int8(length(posic(1,:))/2) % apanha a metade do eixo x xp=posic(1,(tp)); % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x yp=posic(2,tp); % pega a posição correspondente aquele valor de t

Figura 2.22 – Resposta ao Degrau de um Sistema Massa-Mola no Simulink

E Nemer 52 / 76

yv=veloc(2,tp); % pega a velocidade correspondente aquele valor de t text(xp,yp,'posição'); text(xp,yv,'velocidade'); title('Resposta ao Degrau de um Sistema Massa Mola'); xlabel('t'); ylabel('posic e veloc'); grid; E o gráfico fica da seguinte forma: Exemplo Extra1: Como um outro exemplo, suponha um sistema Motor DC e sua descrição na forma de uma equação diferencial dada por

II 325352 +−−=⇒=++ θθθθθθ &&&&&& A sua representação em variáveis de estado fica da seguinte forma:

⎩⎨⎧

+−−===

⇒⎩⎨⎧

==

Ixxxxx

xx

325 212

21

2

1

θθθ

&&&

&

&

A simulação no Matlab fica da seguinte forma: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Motor DC do % Referência: Help de Controle do Matlab (Creating and Manipulating Models % - Control Toolbox). % Autor: Edson Nemer Data: 27/05/2007 clear; clc;

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

posição

velocidade

Resposta ao Degrau de um Sistema Massa Mola

t

posi

c e

velo

c

Figura 2.23 – Resposta ao Degrau de um Sistema Massa Mola no Simulink

E Nemer 53 / 76

% Cria o modelo do sistema em variaveis de estado motorDC =ss([0 1;-5 -2],[0;3],[0 1],0) % plota a resposta ao degrau para o sistema [y,t,x]= step(motorDC); tp=int8(length(t)/2) % apanha a metade do eixo x xp=t(tp) % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x yp=x(tp,1); % pega a posição correspondente aquele valor de t yv=x(tp,2); % pega a velocidade correspondente aquele valor de t plot(t,x(:,1),'--',t,x(:,2),'-'); grid; text(xp,yp,'posição'); text(xp,yv,'velocidade'); title('Sistema Massa Mola'); xlabel('t'); O gráfico para a simulação anterior é mostrado na figura que se segue. Observe que são apresentadas duas curvas, uma curva para a posição do eixo do motor e outra curva para a sua velocidade. 0 1 2 3 4 5 6

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

posição

velocidade

Sistema Massa Mola

t

Figura 2.24 – Resposta ao Degrau de um Motor DC no Matlab

E Nemer 54 / 76

Um diagrama para implementação no Simulink é o seguinte: O código do Matlab para construir os gráficos da simulação anterior é o seguinte: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Motor DC no Simulink % Referência: Help de Controle do Matlab (Creating and Manipulating Models % - Control Toolbox). % Autor: Edson Nemer Data: 30/05/2007 clear; clc; % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado load ('posic.mat'); load ('veloc.mat'); % Plota o gráfico da saída do Motor DC plot(posic(1,:),posic(2,:),veloc(1,:),veloc(2,:)); tp=int8(length(posic(1,:))/2) % apanha a metade do eixo x

Figura 2.25 – Diagrama de um Motor DC no Simulink

E Nemer 55 / 76

xp=posic(1,(tp)); % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x yp=posic(2,tp); % pega a posição correspondente aquele valor de t yv=veloc(2,tp); % pega a velocidade correspondente aquele valor de t text(xp,yp,'posição'); text(xp,yv,'velocidade'); title('Resposta ao Degrau de um Sistema Motor DC'); xlabel('t'); ylabel('posic e veloc'); grid; E o gráfico fica da seguinte forma: Exemplo 2.6.1: Considere o circuito RLC mostrado na Figura 2.21. A entrada u(t) é uma fonte de tensão e a tensão no indutor de 3 H é escolhida como a saída.

0 1 2 3 4 5 6-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

posição

velocidade

Resposta ao Degrau de um Sistema Motor DC

t

posi

c e

velo

c

Figura 2.26 – Resposta ao Degrau de um Motor DC no Simulink

Figura 2.27 – Circuito RLC

E Nemer 56 / 76

A tensão no capacitor x1(t) e a corrente no indutor x2(t) são escolhidas como as variáveis de estado. A corrente no capacitor é )(2 1 tx& e a tensão no indutor é )(3 2 tx& . A corrente que circula através do resistor de 4Ω é igual a x2(t). Desta forma, a tensão no resistor é 4 x2(t). A polaridade da tensão precisa ser especificada, de outra forma, pode ocorrer confusão. Vemos também que a corrente no capacitor )(2 1 tx& iguala a x2(t), o que implica em:

)(21)()()(2 2121 txtxtxtx =⇒= && (2.58)

A tensão no indutor é, usando a Lei de Kirchhoff:

)(31)(

34)(

31)()(4)()()(3 212212 tutxtxtxtxtxtutx +−−=⇒−−= && (2.59)

As equações (2.58) e (2.59) podem ser arranjadas na forma de matriz da seguinte forma:

)(310

)()(

34

31

210

)()(

2

1

2

1 tutxtx

txtx

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

&

Esta é a equação de estados do circuito. A saída y(t) é

)(3)( 2 txty &= que não está na forma de cx + du. Contudo, substituindo (2.59), obtemos:

)()(4)()(31)(

34)(

313 2121 tutxtxytutxtxy +−−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

[ ] )()()(

41)(2

1 tutxtx

ty +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= que é a equação de saída.

A simulação no Matlab fica da seguinte forma: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Circuito RLC % Referência: Example 2.6.2 - CT Chen % Autor: Edson Nemer Data: 09/06/2007 clear; clc; % Parâmetros do Modelo R = 4 % ohms (Resistor) L = 3; % Henry (Indutor) C = 2; % Farad (Capacitor) % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado circRLC =ss([0 1/C;-1/L -R/L],[0;1/L],[-1 -R],0)

E Nemer 57 / 76

% plota a resposta ao degrau para o sistema [y,t,x]=step(circRLC); tp=int8(length(t)/2) % apanha a metade do eixo x xp=t(tp) % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x y_vC=x(tp,1); % pega a tensão do capacitor correspondente aquele valor de t y_iL=x(tp,2); % pega a corrente do indutor correspondente aquele valor de t y_vL=y(tp); % plot(t,x(:,1),'--',t,x(:,2),'-'); plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,y); grid; text(xp,y_vC,'tensão no capacitor'); text(xp,y_iL,'corrente no indutor'); text(xp,y_vL,'tensão no indutor'); title('Sistema Circuito RLC'); xlabel('t') E o gráfico produzido fica da seguinte forma: Um diagrama para implementação no Simulink é apresentado abaixo:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

tensão no capacitor

corrente no indutor

tensão no indutor

Sistema Circuito RLC

t

Figura 2.28 – Resposta ao Degrau de um Circuito RLC no Matlab

Figura 2.29 – Diagrama de um Circuito RLC no Simulink

E Nemer 58 / 76

O código para plotar os gráficos da simulação anterior é o seguinte: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Circuito RLC no Simulink % Exemplo 2.6.1 do CT Chen % Autor: Edson Nemer Data: 10/06/2007 clear; clc; % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado load ('correnteIndut.mat'); load ('tensaoCapac.mat'); load ('tensaoIndut.mat'); % Plota o gráfico da saída do circuito RLC plot(tensaoCapac(1,:),tensaoCapac(2,:),tensaoCapac(1,:),correnteIndut(2,:),tensaoCapac(1,:),tensaoIndut(2,:)); tp=int8(length(tensaoCapac(1,:))/2) % apanha a metade do eixo x xp=tensaoCapac(1,(tp)); % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x y_vC=tensaoCapac(2,tp); % pega a tensão do capacitor correspondente aquele valor de t y_iL=correnteIndut(2,tp); % pega a corrente do Indutor correspondente aquele valor de t y_vL=tensaoIndut(2,tp); % pega a tensão do indutor correspondente aquele valor de t text(xp,y_vC,'tensão no capacitor'); text(xp,y_iL,'corrente no indutor'); text(xp,y_vL,'tensão no indutor'); title('Resposta ao Degrau de um Circuito RLC'); xlabel('t'); ylabel('vC, iL e vL'); grid; O gráfico da simulação no Simulink é apresentado na figura abaixo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

tensão no capacitor

corrente no indutor

tensão no indutor

Resposta ao Degrau de um Circuito RLC

t

vC, i

L e

vL

Figura 2.30 – Resposta ao Degrau de um Circuito RLC no Simulink

E Nemer 59 / 76

Exercício 2.6.1: Ache a matriz de estados para os circuitos mostrados na figura abaixo, com as variáveis de estado e saídas como escolhidas. a) Temos que a corrente i que circula pelo capacitor é dada por: )()( txCti &= A corrente que circula pelo resistor é a mesma que circula pelo capacitor. Consequentemente, a tensão no resistor é: )()( txRCteR &= Usando a lei de Kirchhoff, temos que:

uRC

xRC

xtutxtxRCtxtxRCtu 11)()()(0)()()( −−=∴−−=∴=++ &&&

e temos também que:

xy −= As equações acima podem ser arranjadas na forma de matriz da seguinte forma:

)(1)(1)( tuRC

txRC

tx −−= ou )(5.0)(5.0)( tutxtx −−=

Esta é a equação de estados do circuito. A saída y(t) é

)()( txty −= O arquivo para o Matlab fica da seguinte forma: % Simulação de um circuito RC do item a) do exercício 2.6.1 do livro do % CT Chen - pág. 50 % Autor: Edson Nemer Data: 10/06/2007 clear; clc; % Parâmetros do Modelo R = 1 % ohms (Resistor) C = 2; % Farad (Capacitor) % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado circRC =ss([-1/(R*C)],[-1/(R*C)],[-1],0) % plota a resposta ao degrau para o sistema [y,t,x]=step(circRC);

a) b)

i

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tp=int8(length(t)/2) % apanha a metade do eixo x xp=t(tp) % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x y_vC=x(tp); % pega a tensão do capacitor invertida correspondente aquele valor de t y_vL=y(tp); % pega a tensão do capacitor correspondente aquele valor de t plot(t,x,t,y); grid; text(xp,y_vC,'tensão invertida no capacitor'); text(xp,y_vL,'tensão no capacitor'); title('Exercício 2.6.1 a) - Circuito RC'); xlabel('t') E o gráfico para a simulação no Matlab fica da seguinte forma: O diagrama para simulação no Simulink é o mostrado na figura abaixo:

Figura 2.32 – Diagrama de um Circuito RC no Simulink

Figura 2.31 – Resposta ao Degrau de um Circuito RC no Matlab

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tensão invertida no capacitor

tensão no capacitor

Exercício 2.6.1 a) - Circuito RC

t

E Nemer 61 / 76

O arquivo no Matlab para plotar os gráficos fica da seguinte forma: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Circuito RLC no Simulink % Exercício 2.6.1 – item a - do CT Chen - Pág. 50 % Autor: Edson Nemer Data: 10/06/2007 clear; clc; % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado load ('tensaoInvertidaCapac.mat'); load ('tensaoCapac.mat'); load ('correnteCapacitor.mat'); % Plota o gráfico da saída do circuito RLC plot(tensaoCapac(1,:),tensaoInvertidaCapac(2,:),tensaoCapac(1,:),tensaoCapac(2,:),tensaoCapac(1,:),correnteCapacitor(2,:)); tp=int8(length(tensaoCapac(1,:))/2) % apanha a metade do eixo x xp=tensaoCapac(1,(tp)); % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x y_vInvC=tensaoInvertidaCapac(2,tp); % pega a tensão invertida do capacitor correspondente aquele valor de t y_vC=tensaoCapac(2,tp); % pega a tensão do capacitor correspondente aquele valor de t y_iC=correnteCapacitor(2,tp); % pega a corrente do capacitor correspondente aquele valor de t text(xp,y_vInvC,'tensão invertida no capacitor'); text(xp,y_vC,'tensão no capacitor'); text(xp,y_iC,'corrente no capacitor'); title('Exercício 2.6.1 a) - Resposta ao Degrau de um Circuito RC'); xlabel('t'); ylabel('vInvC, vC e iC'); grid; E o gráfico fica da seguinte forma:

Figura 2.33 – Resposta ao Degrau de um Circuito RC no Simulink

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tensão invertida no capacitor

tensão no capacitor

corrente no capacitor

Exercício 2.6.1 a) - Resposta ao Degrau de um Circuito RC

t

vInv

C, v

C e

iC

E Nemer 62 / 76

b) A tensão no capacitor e a corrente no indutor são escolhidas como as variáveis de estado. A tensão no indutor é dada por: 12 xLx &= A corrente que circula no capacitor é dada por: 2xCiC &=

A corrente que circula no resistor é dada por: RxiR

2=

Usando a lei de Kirchhoff, temos que:

uC

xRC

xC

xuRxxxCxCx

Rxu 111

2122

12212 +−−=∴+−−=∴++= &&&

E temos também que: 1xy = Em resumo, temos que:

)(10

)()(

11

10

)()(

2

1

2

1 tuCtx

tx

RCC

Ltxtx

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

01)(2

1

txtx

ty

O arquivo para o Matlab fica da seguinte forma: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Circuito RLC paralelo % Referência: Exercise 2.6.1 – item b - CT Chen % Autor: Edson Nemer Data: 13/06/2007 clear; clc; % Parâmetros do Modelo R = 0.5 % ohms (Resistor) L = 1; % Henry (Indutor) C = 1; % Farad (Capacitor) % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado circRLCparal=ss([0 1/L;-1/C -1/(R*C)],[0;1/C],[1 0],0) % plota a resposta ao degrau para o sistema [y,t,x]=step(circRLCparal); tp=int8(length(t)/4) % apanha a quarta parte do eixo x xp=t(tp) % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x y_iL=x(tp,1); % pega a corrente do indutor correspondente aquele valor de t y_vC=x(tp,2); % pega a tensão do capacitor correspondente aquele valor de t y_vL=y(tp);

E Nemer 63 / 76

plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,y); grid; text(xp,y_vC,'tensão no capacitor'); text(xp,y_iL,'corrente no indutor'); % text(xp,y_vL,'tensão no indutor'); title('Sistema Circuito RLC paralelo'); xlabel('t') E o gráfico para essa simulação ficou da seguinte forma: O diagrama para simulação no Simulink é o mostrado na figura abaixo:

Figura 2.34 – Resposta ao Degrau de um Circuito RLC Paralelo no Matlab

0 2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tensão no capacitor

corrente no indutor

Sistema Circuito RLC paralelo

t

Figura 2.35– Diagrama do RLC Paralelo no Simulink

tensaoCapac.mat

Tensão no CapacitorStep

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space1

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space

correnteIndut.mat

Corrente no Indutor

E Nemer 64 / 76

O código para plotar os gráficos da simulação anterior é o seguinte: % Simulação de um exemplo de uma aplicação com Circuito RLC Paralelo no Simulink % Exemplo 2.6.1 - item b do CT Chen % Autor: Edson Nemer Data: 16/11/2007 clear; clc; % Cria o modelo do sistema em variaveis de estado load ('correnteIndut.mat'); load ('tensaoCapac.mat'); % Plota o gráfico da saída do circuito RLC plot(tensaoCapac(1,:),tensaoCapac(2,:),tensaoCapac(1,:),correnteIndut(2,:)); tp=int8(length(tensaoCapac(1,:))/2) % apanha a metade do eixo x xp=tensaoCapac(1,(tp)); % pega o valor de t correspondente à metade do eixo x y_vC=tensaoCapac(2,tp); % pega a tensão do capacitor correspondente aquele valor de t y_iL=correnteIndut(2,tp); % pega a corrente do Indutor correspondente aquele valor de t text(xp,y_vC,'tensão no capacitor'); text(xp,y_iL,'corrente no indutor'); title('Resposta ao Degrau de um Circuito RLC Paralelo'); xlabel('t'); ylabel('vC e iL'); grid; O gráfico da simulação no Simulink é apresentado na figura abaixo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tensão no capacitor

corrente no indutor

Resposta ao Degrau de um Circuito RLC Paralelo

t

vC e

iL

Figura 2.36 – Resposta ao Degrau do Circuito RLC Paralelo no Simulink

E Nemer 65 / 76

2.7. Soluções das Equações de Estado – Método da Transformada de Laplace Considere a equação de estados n-dimensional

)()()( tbutAxtx +=& (Equação de estado) (2.61a)

)()()( tdutcxty += (Equação de saída) (2.61b) onde A, b, c e d são respectivamente matrizes n x n, n x 1, 1 x n, e 1 x 1. Na análise, nós estamos interessados na saída y(t) quando o sistema é excitado por uma entrada u(t) e quando temos um estado inicial x(0). Este problema pode ser resolvido diretamente no domínio do tempo ou indiretamente usando-se a transformada de Laplace. estudaremos o método da transformada de Laplace agora e deixaremos o método do domínio no tempo para mais tarde. A aplicação da transformada de Laplace a (2.61a), resulta em

)()()0()( sbUsAXxssX +=− Esta é uma equação algébrica e pode ser arranjada da seguinte forma: ( ) )()0()( sbUxsXAsI +=− (2.62) onde I é uma matriz unitária da mesma ordem que A. Note que sem a introdução de I, (s-A) não é definido, para s escalar e A sendo uma matriz n x n. A pré-multiplicação por (sI -A)-1 de (2.62) resulta em:

( ) ( )44 344 214434421

ZeroEstadoaosposta

ZeroEntradaasposta

sbUAsIxAsIsXRe

1

Re

1 )()0()( −− −+−= (2.63)

Esta resposta consiste da resposta a entrada zero (a resposta devido ao estado X(0) diferente de zero) e da resposta ao estado zero (a resposta devido a entrada u(t) diferente de zero). Se substituirmos X(s) na transformada de Laplace de (2.61b), obtemos:

( ) ( )[ ]444 3444 2144 344 21

ZeroEstadoaosposta

ZeroEntradaasposta

sUdbAsIcxAsIcsYRe

1

Re

1 )()0()( +−+−= −− (2.64)

Esta é a saída no domínio da transformada de Laplace. Sua transformada de Laplace inversa fornecerá a resposta no tempo. Portanto, a resposta das equações de estado podem ser facilmente obtidas usando a transformada de Laplace. Exemplo 2.7.1: Considere a seguinte equação de estados:

)(11

)()(

465.36

)()(

2

1

2

1 tutxtx

txtx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

& (2.65a)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

54)(2

1

txtx

ty (2.65b)

Encontre a saída devido a uma entrada degrau unitário e a um estado inicial x(0)=[ -2 1]’. Para obter a saída, o primeiro passo é calcular o seguinte:

E Nemer 66 / 76

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+=⎥

⎤⎢⎣

⎡ −−−⎥

⎤⎢⎣

⎡=−

465.36

465.36

00

ss

ss

AsI

cuja inversa é a seguinte:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−+−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+=−

−−

665.34

)5.3(6)4)(6(1

465.36 1

1

ss

ssss

AsI

Portanto, temos que:

( ) [ ] ∴⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−−+

=− −

12

665.34

32154)0( 2

1

ss

ssxAsIc

( ) [ ] ∴⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++

−+=− −

12

16514432

1)0( 21 ss

ssxAsIc

( )32

123)0( 21

−+−−

=− −

sssxAsIc

e G(s) := c(sI-A)-1b , logo, temos:

( ) [ ]32

211

665.34

32154)( 22

1

−++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−−+

=−= −

sss

ss

ssbAsIcsG (2.66)

Desta forma, usando (2.64) e U(s)=1/s, a saída é dada por

sssss

ssss

ssssY

)3)(1(21131

322

32123)(

2

22 +−+−−

=⋅−+

++

−+−−

=

o que pode ser expandido por frações parciais em

sk

sk

sk

ssssssY 321

2

3)1()3)(1(2113)( +

++

−=

+−+−−

=

onde:

3412

)3(2113)(

0

2

01 −=−

=+

+−−==

==

ss ss

ssssUk

32

128

)1(2113)3)((

3

2

32 ==−

+−−=+=

−=−=

ss ss

ssssUk

32

)3)(1(2

)1)(3(2113)(

0

2

03−

=−

=−++−−

===

=s

s ssssssUk

E Nemer 67 / 76

Logo, temos que:

32

323)( 3 −+−= − tt eety para t ≥ 0.

Este exemplo mostra que a resposta da equação de estados pode realmente ser prontamente obtida usando-se a transformada de Laplace. A saída no Mathcad fica da seguinte forma: No caso do Matlab, pode-se usar, por exemplo, o seguinte código: % Simulação de um sistema modelado em equação de estados % Referência: Exercise 2.7.1 - pág. 51 do CT Chen % Autor: Edson Nemer Data: 18/11/2007 clear; clc; t=[0:.01:10]; % cria o eixo de tempo u=1+0*t; % cria o vetor da entrada u(t) x0=[-2 1]; % cria o vetor com a condição inicial A=[-6 -3.5;6 4]; B=[-1;1]; C=[4 5]; [y,x]=lsim(A,B,C,0,u,t,x0); tp=int16(.9*length(t)); % pega um percentual do tamanho de t xp=t(tp) % pega o valor de t correspondente ao percentual de t x1=x(tp,1); % pega x1 correspondente ao percentual de t x2=x(tp,2); % pega x2 correspondente ao percentual de t yp=y(tp); % pega y correspondente ao percentual de t plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,y);

0 2 4 6 8 108 .104

6 .104

4 .104

2 .104

0

2 .104

3− et⋅2

3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

e 3− t⋅⋅+2

3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

t

t Figura 2.37 – Resposta no tempo usando o MathCad

E Nemer 68 / 76

grid; text(xp,x1+x1/2,'x1'); text(xp,x2+x2/2,'x2'); text(xp,yp+yp/2,'y'); title('Exemplo 2.7.1 do C.T. Chen'); xlabel('t') E o gráfico para esta simulação fica da seguinte forma: O diagrama para simulação no Simulink fica da seguinte forma:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2x 104

x1

x2

y

Exemplo 2.7.1 do C.T. Chen

t

Figura 2.38 – Resposta ao Degrau e com estado inicial diferente de zero

Step

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space

y.mat

Saída

Figura 2.39 – Diagrama para o Simulink

E Nemer 69 / 76

E o gráfico fica da seguinte forma: 2.7.1. Soluções no Domínio do Tempo As soluções das equações de estado podem também ser obtidas diretamente no domínio do tempo sem a utilização da transformada de Laplace. A partir de

LL +++++= nn

at antattae

!!21 2

2

definimos

LL +++++= nn

At AntAttAIe

!!22

2

(2.67)

onde n!=n(n-1)...(2)(1), e onde A2=AA, A3=AAA, e assim por diante. Se A é uma matriz n x n, então eAt é também uma matriz n x n. Se t=0, então (2.67) reduz-se a

Ie =0 (2.68) Temos que ττ aatta eee −− =)( , portanto, podemos escrever

ττ AAttA eee −− =)( (2.69) o que torna-se, se τ=t ,

Ieeee AAtAt ===− 00. (2.70) Diferenciando (2.67), temos que:

AAttAIAttAIAAtAtAedtd At

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=++++= LLL 2

22

23

22

!2!2!33

!220

o que implica que: AeAeedtd AtAtAt == (2.71)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0x 104

Saída y

Exemplo 2.7.1 do C.T. Chen

t

Y

Figura 2.40 – Resposta ao Degrau e com estado inicial diferente de zero

E Nemer 70 / 76

Usando de (2.67) a (2.71), podemos mostrar que as soluções de (2.61), devido a u(t) e a x(0), são dadas por:

44 344 21321

ZeroEstadoaosposta

tAAt

ZeroEntradaasposta

At dbueexetx

Re

0Re

)()0()( ∫ −+= τττ (2.72)

e

4444 34444 2143421

ZeroEstadoaosposta

tAAt

ZeroEntradaasposta

At tdudbuecexcety

Re

0Re

)()()0()( ∫ ++= − τττ (2.73)

Para mostrar que (2.72) é a solução de (2.61a), nós precisamos mostrar que a partir dela chegamos a condição inicial e a equação de estado. Realmente, em t=0, (2.72) reduz-se a x(0)=Ix(0)+I.0=x(0). Desta forma, ela chega a condição inicial. A diferenciação de (2.72) resulta em

( ) ∴⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎥

⎤⎢⎣

⎡+= ∫∫∫ −−−

tAAt

tAAtAt

tAAtAt dbue

dtdedbuee

dtdxAedbueexe

dtdtx

000

)()()0()()0()( ττττττ τττ&

[ ] ∴+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= =

−−∫ 10

)()()0()( τττ τττ bueedbueexeAtx AAt

tAAtAt&

)()()()()()( tbutAxtxtbueetAxtx AtAt +=∴+= − &&

Isto mostra que (2.72) é a solução de (2.61a). A substituição de (2.72) em (2.61b) resulta imediatamente em (2.73). Se u=0, (2.61a) reduz-se a

)()( tAxtx =& Esta é chamada de equação homogênea. Sua solução, devido ao estado inicial x(0) é, de (2.72),

)0()( xetx At= Se u(t)=0 ou, de forma equivalente, se U(s)=0, então, (2.63) reduz-se a

( ) )0()( 1 xAsIsX −−= Uma comparação das duas últimas equações resulta em ( ) ( ) ( )[ ]11 −− −=−= AsIeouAsIe AtAt -1LL (2.74)

Desta forma, eAt iguala a transformada inversa de ( ) 1−− AsI . Para usar (2.72), nós precisamos calcular eAt. O cálculo de eAt usando a série de potências infinita em (2.67) não é simples de fazer na mão. Um método alternativo é usar a transformada de Laplace em (2.74).

E Nemer 71 / 76

2.7.2. Função de Transferência e Polinômio Característico Nesta seção discutiremos a relação entre as equações de estados e as funções de transferência. A função de transferência de um sistema é, por definição, a razão entre as transformadas de Laplace da saída e da entrada, assumindo-se que todas as condições iniciais são zero. A transformada de Laplace de (2.61) foi calculada em (2.64). Se x(0)=0, então (2.64) reduz-se a

( )[ ] )()( 1 sUdbAsIcsY +−= − Desta forma, a função de transferência da equação de estados em (2.61) é

( ) dbAsIcsUsYsG +−== −1

)()()( (2.75)

Esta fórmula foi usada em (2.66) para calcular a função de transferência de (2.65). Agora vamos discutir sua propriedade geral. Seja det o determinante e adj a adjunta de uma matriz. Então, (2.75) pode ser escrita como

( ) ( )[ ] dbAsIadjAsI

csG +−−

=det

1)(

Nós chamamos ( )AsI −det o polinômio característico de A. Por exemplo, o polinômio característico de A em (2.65) é

( ) 32)65.3()4)(6(46

5.36detdet:)( 2 −+=×−−−+=⎥

⎤⎢⎣

⎡−−

+=−=Δ ssss

ss

AsIs (2.76)

Vemos que se A é n x n, então seu polinômio característico é de grau n e tem n raízes. Essas n raízes são chamados de autovalores de A. O polinômio característico e os autovalores de A são, na realidade, os mesmos polinômio característico e modos discutidos na Seção 2.3.1. Eles governam a resposta a entrada zero do sistema. Por exemplo, se o polinômio característico de A é

( )( )32)( 3 −+=Δ ssss então, os autovalores são 0, 0, 0, -2 e 3, e toda entrada do tipo eAt é uma combinação linear das funções do tempo 1, t, t2, e-2t, e e3t. Por esta razão, qualquer resposta a entrada zero será uma combinação linear destas funções do tempo. O polinômio característico de matrizes quadradas frequentemente requerem um cálculo tedioso. Contudo, os polinômios característicos das seguintes duas matrizes

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡ −−−−

010000100001

4321 aaaa

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−− 1234

100001000010

aaaa

(2.77)

e de suas transpostas são todos

432

23

14)( asasasass ++++=Δ (2.78)

E Nemer 72 / 76

Este polinômio característico pode ser lido diretamente das entradas das matrizes em (2.77). Desta forma, estas matrizes são chamadas de formas companheiras do polinômio em (2.78). Agora, vamos usar um exemplo para discutir a relação entre os autovalores de uma equação de estados e os pólos de sua função de transferência. Exemplo 2.8.1: Considere a equação de estados em (2.65), repetida abaixo:

)(11

)()(

465.36

)()(

2

1

2

1 tutxtx

txtx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

& (2.79a)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

54)(2

1

txtx

ty (2.79b)

Seu polinômio característico foi calculado em (2.76) como

)1)(3(32)( 2 −+=−+=Δ sssss Desta forma, seus autovalores são 1 e -3. A função de transferência de (2.79) foi calculada em (2.66) como

)1)(3(2

322)( 2 −+

+=

−++

=ss

sss

ssG

Seus pólos são 1 e -3. O número de autovalores de (2.79) iguala o número de pólos da sua função de transferência. Exemplo 2.8.2: Considere a equação de estados em (2.65), repetida abaixo:

)(11

)()(

465.36

)()(

2

1

2

1 tutxtx

txtx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

& (2.80a)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

)()(

12)(2

1

txtx

ty (2.80b)

A equação (2.80a) é idêntica a (2.79a); (2.80b), contudo, é diferente de (2.79b). O polinômio característico de (2.80) é

)1)(3(32)( 2 −+=−+=Δ sssss Seus autovalores são -3 e 1. A função de transferência de (2.80) é, substituindo [ ]54 em (2.66) por [ ]12 −− ,

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−−+

−−=11

665.34

32112)( 2 s

sss

sG

[ ])3)(1(

132

125.012

321

22 +−−

=−+−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−−

−+=

sss

ssss

ss

ss (2.81)

E Nemer 73 / 76

Portanto, a função de transferência de (2.80) é

)3)(1(1)(+−

−=

ssssG

E esta função de transferência tem somente um pólo em -3, ou seja, um pólo a menos do que o número de autovalores de (2.80). Uma equação de estados é chamada de mínima se o número de seus autovalores ou a dimensão da equação iguala o número de pólos da sua função de transferência. A equação de estados em (2.79) é uma equação mínima. Todo autovalor de uma equação de estados mínima aparecerá como um pólo de sua função de transferência e não existe diferença entre usar a equação de estados ou sua função de transferência para estudar o sistema. Desta forma, a equação de estados é dita como sendo completamente caracterizada por sua função de transferência. Como será discutido mais tarde, toda equação de estados mínima tem propriedades de controlabilidade e observabilidade. Se uma equação de estados é não mínima, tal como em (2.80), então alguns autovalores não aparecerão como pólos de sua função de transferência e a função de transferência é dita como tendo pólos faltantes. Neste caso, a equação de estados não é completamente caracterizada por sua função de transferência e não podemos usar a função de transferência para executar sua análise e seu projeto. 2.8. Discretização das Equações de Estados Considere a equação de estados

)()()( tbutAxtx +=& (Equação de estados) (2.82a)

)()()( tdutcxty += (Equação de saída) (2.82b) Esta equação é definida em todo instante de tempo e é chamada de equação contínua no tempo. Se um computador digital é usado para gerar a entrada u, então u(t) é (como será visto mais tarde) um sinal quantizado, como mostrado na Figura 2.23(a). Seja

,...3,2,1,)1()()( =+<≤= kTktkTparakutu (2.83) onde T é chamado de período de amostragem. Este tipo de sinal é completamente especificado pela seqüência de números u(k), k=0,1,2,..., como mostrado na Figura 2.23(b). O sinal na Figura 2.23(a) é chamado um sinal contínuo ou sinal analógico porque ele é definido para todos os instantes de tempo; o sinal da Figura 2.23(b) é chamado um sinal

Figura 2.23 – (a) Sinal contínuo no tempo quantizado. (b) Sinal discreto no tempo

E Nemer 74 / 76

discreto no tempo porque ele só é definido em instantes discretos de tempo. Note que um sinal contínuo no tempo pode não ser uma função contínua do tempo como mostrado na figura. Se aplicarmos uma entrada quantizada a (2.82), a saída y(t) de forma geral não será quantizada. Contudo, se estamos interessados somente na saída y(t) em t = kT, onde k=0,1,2,..., ou y(k) := y(kT), então é possível desenvolver uma equação mais simples do que (2.82) para descrever y(k). Desenvolveremos tal equação a seguir. A solução de (2.82) foi desenvolvida em (2.72) como

∫ −+=t

AAtAt dbueexetx0

)()0()( τττ (2.84)

Esta equação é válida para qualquer valor de t – em particular, para t igual a kT. Seja

)(:)( kTxkx = e ))1((:)1( Tkxkx +=+ . Então, temos que

∫ −+=kT

AAkTAkT dbueexekx0

)()0()( τττ (2.85)

e

∫+

−++ +=+Tk

ATkATkA dbueexekx)1(

0

)1()1( )()0()1( τττ (2.86)

Podemos reescrever (2.86) como

∫∫+

−+− +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+

Tk

kT

TkAkT

AAkTAkTAT dbuedbueexeekx)1(

))1((

0

)()()0()1( ττττ ττ (2.87)

O termo dentro do colchetes iguala a x(k). Se a entrada u(t) é quantizada como em (2.83), então u(τ) no integrando do último termo de (2.87) iguala a u(k) e pode ser movida para fora da integral. Defina τα −+= Tk )1( . Então, temos que τα dd −= e (2.87) torna-se

)()()1(0

kbudekxekxT

AAT⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+ ∫ αα

)()(0

kbudekxeT

AAT⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫ αα (2.88)

Esta equação e a (2.82b) podem ser escritas como

)(~)(~)1( tubkxAkx +=+ (2.89a)

)(~)(~)( kudkxcky += (2.89b) onde

ATeA =~ bdeb

TA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

0

~ ττ cc =~ dd =~

(2.89c)

E Nemer 75 / 76

Esta é chamada uma equação de estados discreta no tempo. Ela consiste de um conjunto de equações de diferença de primeira ordem. Vamos usar um exemplo para ilustrar o como obter tal equação. Exemplo 2.9.1: Considere a equação de estados contínua no tempo abaixo:

)(10

)()(

1011

)()(

2

1

2

1 tutxtx

txtx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡&

& (2.90a)

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(

12)(2

1

txtx

ty (2.90b)

Discretize a equação com um período de amostragem de T = 0.1. Solução: A equação de estados discreta no tempo é a seguinte:

)(~)(~)1( tubkxAkx +=+

)(~)(~)( kudkxcky += onde

ATeA =~ bdeb

TA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

0

~ ττ cc =~ dd =~

Primeiro precisamos calcular, para T=0,1, o seguinte:

( ) ( ) ==

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

=−−

− Ate

s

sss

sss

sAsI L

)1(10

)1(1

11

1011

)1(1

1011 2

2

11

Para calcular eAt, precisamos achar a transformada de Laplace inversa de ( ) =− −1AsI . Logo, temos que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡=⇒⎥

⎤⎢⎣

⎡=

−−

−−

9048.000905.09048.0

001,0

t

ttA

t

ttAt

etee

eetee

e

Usando uma tabela de integração, podemos calcular:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

−+−−

=−

−−

∫ T

TTT A

eeTe

de10111

0ττ

Se T=0.1, então ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫ 0952.00

0047.00952.01.0

0ττ de A e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫ 0952.0

0047.010

0952.000047.00952.0~ 1.0

0bdeb A ττ (2.91)

E Nemer 76 / 76

Portanto, a equação de estados discreta no tempo fica da seguinte forma:

)(0952.00047.0

)(9048.000905.09048.0

)1( tukxkx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=+

[ ] )(12)( kxky = Isto completa a discretização. Esta equação discretizada é usada em computadores digitais, como será visto mais tarde, para computar a resposta da equação contínua no tempo em (2.90). Nós usamos a transformada de Laplace para calcular eAt em (2.91). Se T tem um valor pequeno, a série infinita de (2.67) pode convergir rapidamente. Por exemplo, para eAt em (2.91) com T=0.1, temos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=++

9050.000900.09050.0

))((21 TATATAI e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+++

9048.000905.09048.0

))()((61))((

21 TATATATATATAI

A série infinita converge para os valores reais em quatro termos. Por esta razão, para pequenos valores de T, a série infinita de (2.67) é um modo conveniente de calcular eAT. Além da transformada de Laplace e das séries infinitas, existem muitas maneiras (pelo menos 17) de computar eAT.