2° medio - matemáticas - 2011.2

8/2/2019 2 medio - matemticas - 2011.2

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Prgrama e EsuiSegun A Mei

Ministerio de Educacin

Maemica


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IMPORTANTE

En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva los trminos como el

docente, el estudiante, el profesor, el alumno, el compaero y sus respectivos

plurales (as como otras palabras equivalentes en el contexto educativo); es decir, se

refieren a hombres y mujeres.

Esta opcin obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cmo evitar la

discriminacin de gneros en el idioma espaol, salvo usando o/a, los/las y otras

similares para referirse a ambos sexos en conjunto, y ese tipo de frmulas supone una

saturacin grfica que puede dificultar la comprensin de la lectura.


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Prgrama e EsuiSegun A Mei

Ministerio de Educacin

Maemica


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Estimados profesores y profesoras:

La entrega de nuevos programas es una buena ocasin para reflexionar acerca de los desafos que enfrentamos hoy

como educadores en nuestro pas.

La escuela tiene por objeto permitir a todos los nios de Chile acceder a una vida plena, ayudndolos a alcanzar un

desarrollo integral que comprende los aspectos espiritual, tico, moral, afectivo, intelectual, artstico y fsico. Es decir,

se aspira a lograr un conjunto de aprendizajes cognitivos y no cognitivos que permitan a los alumnos enfrentar su vida

de la mejor forma posible.

Los presentes Programas de Estudio, aprobados por el Consejo Nacional de Educacin, buscan efectivamente abrir

el mundo a nuestros nios, con un fuerte nfasis en las herramientas clave, como la lectura, la escritura y el razona-

miento matemtico. El manejo de estas habilidades de forma transversal a todos los mbitos, escolares y no escolares,

contribuye directamente a disminuir las brechas existentes y garantizan a los alumnos una trayectoria de aprendizaje

continuo ms all de la escuela.

Asimismo, el acceso a la comprensin de su pasado y su presente, y del mundo que los rodea, constituye el fundamento

para reafirmar la confianza en s mismos, actuar de acuerdo a valores y normas de convivencia cvica, conocer y respetar

deberes y derechos, asumir compromisos y disear proyectos de vida que impliquen actuar responsablemente sobre

su entorno social y natural. Los presentes Programas de Estudio son la concrecin de estas ideas y se enfocan a su logro.

Sabemos que incrementar el aprendizaje de todos nuestros alumnos requiere mucho trabajo; llamamos a nuestros

profesores a renovar su compromiso con esta tarea y tambin a ensear a sus estudiantes que el esfuerzo personal,

realizado en forma sostenida y persistente, es la mejor garanta para lograr xito en lo que nos proponemos. Pedimos

a los alumnos que estudien con intensidad, dedicacin, ganas de aprender y de formarse hacia el futuro. A los padres

y apoderados los animamos a acompaar a sus hijos en las actividades escolares, a comprometerse con su estableci-

miento educacional y a exigir un buen nivel de enseaza. Estamos convencidos de que una educacin de verdad se

juega en la sala de clases y con el compromiso de todos los actores del sistema escolar.

A todos los invitamos a estudiar y conocer en profundidad estos Programas de Estudio, y a involucrarse de forma opti-

mista en las tareas que estos proponen. Con el apoyo de ustedes, estamos seguros de lograr una educacin de mayor

calidad y equidad para todos nuestros nios.

Felipe Bulnes Serrano

Ministro de Educacin de Chile


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Matemtica

Programa de Estudio para Segundo Ao Medio

Unidad de Currculum y Evaluacin

ISBN 978-956-292-327-9

Ministerio de Educacin, Repblica de Chile

Alameda 1371, Santiago

Primera Edicin: 2011


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nice

Presenacin 6

Ncines Bsicas 8 Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

10 Objetivos Fundamentales Transversales

11 Mapas de Progreso

Cnsieracines Generaespara Impemenar e Prgrama 13

16 Orientaciones para planificar

19 Orientaciones para evaluar

Maemica 24 Propsitos

25 Habilidades

26 Orientaciones didcticas

Visin Gba e A 28 Aprendizajes Esperados por semestre y unidad

Uniaes 31

Semesre 1 33 Unidad 1 Nmeros

49 Unidad 2 Geometra

Semesre 2 61 Unidad 3 lgebra

79 Unidad 4 Datos y azar

Bibigrafa 91

Anexs 97

Segun A Mei / Maemica


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Presenacin

El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo

pedaggico del ao escolar. Esta propuesta pretende promover el logro de los

Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mnimos Obliga-

torios (CMO) que define el Marco Curricular1.

La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programasde estudio, previa aprobacin de los mismos por parte del Mineduc. El presen-

te programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no

cuentan con programas propios.

Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son:

una especificacin de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los

OF y los CMO del Marco Curricular, lo que se expresa a travs de los Aprendi-

zajes Esperados2

una organizacin temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades

una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluacin, a modo

de sugerencia

Adems, se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedag-

gico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos

que este propone.

Este programa de estudio incluye:

Nociones bsicas. Esta seccin presenta conceptos fundamentales que es-

tn en la base del Marco Curricular y, a la vez, ofrece una visin general acerca

de la funcin de los Mapas de Progreso

Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten

en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el tra-

bajo en torno a l

El programa es una

propuesta para lograr los

Objetivos Fundamentales

y los Contenidos

Mnimos Obligatorios

1 Decretos supremos 254 y 256 de 2009

2 En algunos casos, estos aprendizajes estn formulados en los mismos trminos que al-

gunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar

ntegramente en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose en

definiciones ms especficas.


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7Segun A Mei / MaemicaPresentacin

Propsitos, habilidades y orientaciones didcticas. Esta seccin presenta

sintticamente los propsitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendi-

zajes del sector y las habilidades a desarrollar. Tambin entrega algunas orien-

taciones pedaggicas importantes para implementar el programa en el sector

Visin global del ao. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que sedebe desarrollar durante el ao, organizados de acuerdo a unidades

Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la

unidad, incluyen indicadores de evaluacin y sugerencias de actividades que

apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3

Instrumentos y ejemplos de evaluacin. Ilustran formas de apreciar el lo-

gro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pue-

den usarse para este fin

Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliogrficos y electr-

nicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector; se

distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes

3 Relaciones interdisciplinarias. En algunos casos las actividades relacionan dos o ms

sectores y se simbolizan con


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Ncines Bsicas

Aprendizajes como integracin de conocimientos,habilidades y actitudes

Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estu-

dio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos

aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina comolas habilidades y actitudes.

Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades

y actitudes para enfrentar diversos desafos, tanto en el contexto del sector de

aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia

el logro de competencias, entendidas como la movilizacin de dichos elementos

para realizar de manera efectiva una accin determinada.

Se trata una nocin de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos,

las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se

enriquecen y potencian de forma recproca.

Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontnea-

mente al estudiar las disciplinas. Necesitan promoverse de manera metdica y

estar explcitas en los propsitos que articulan el trabajo de los docentes.

Habilidades

Son importantes, porque

el aprendizaje involucra no solo el saber, sino tambin el saber hacer. Por otraparte, la continua expansin y la creciente complejidad del conocimiento de-

mandan cada vez ms capacidades de pensamiento que permitan, entre otros

aspectos, usar la informacin de manera apropiada y rigurosa, examinar crti-

camente las diversas fuentes de informacin disponibles y adquirir y generar

nuevos conocimientos.

Esta situacin hace relevante la promocin de diversas habilidades, como re-

solver problemas, formular conjeturas, realizar clculos en forma mental y es-

crita y verificar proposiciones simples, entre otras.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alum-

nos resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego

para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.

Habilidades,

conocimientos

y actitudes

movilizados para

enfrentar diversas

situaciones y desafos

y que se desarrollan

de manera integrada

Deben promoverse de

manera sistemtica

Son fundamentales enel actual contexto social

Permiten poner en juego

los conocimientos


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9Segun A Mei / MaemicaNociones Bsicas

ConoCimientos


los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la com-

prensin de los estudiantes sobre los fenmenos que les toca enfrentar. Les per-miten relacionarse con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas

que complementan, de manera crucial, el saber que han obtenido por medio del

sentido comn y la experiencia cotidiana. Adems, estos conceptos son funda-

mentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes.

Por ejemplo, si se observa una informacin en un diario que contenga datos re-

presentados en tablas o grficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre

estadstica para interpretar a esa informacin. Los conocimientos previos le capa-

citan para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en

la medida que entiende la informacin y as construir este nuevo conocimiento.

Se deben desarrollar de manera integrada, porque

son una condicin para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en

un vaco, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.

aCtitudes


los aprendizajes no involucran nicamente la dimensin cognitiva. Siempreestn asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los pro-

psitos establecidos para la educacin, se contempla el desarrollo en los mbitos

personal, social, tico y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carcter afectivo y,

a la vez, ciertas disposiciones.

A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemtica involucran actitudes como

perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matem-

ticos, trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en

contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias.

Se deben ensear de manera integrada, porque

en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su de-

sarrollo. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar

juicios informados, analizar crticamente diversas circunstancias y contrastar cri-

terios y decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.

Enriquecen la

comprensin y larelacin con el entorno

Son una base para el

desarrollo de habilidades

Estn involucradas enlos propsitos formativos

de la educacin

Son enriquecidas por

los conocimientos

y las habilidades


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A la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los

conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente

necesario para usar constructivamente estos elementos.

Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)

Son aprendizajes que tienen un carcter comprensivo y general, y apuntan al

desarrollo personal, tico, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte

constitutiva del currculum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben

asumir la tarea de promover su logro.

Los OFT no se logran a travs de un sector de aprendizaje en particular; conse-

guirlos depende del conjunto del currculum. Deben promoverse a travs de las

diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por

ejemplo, por medio del proyecto educativo institucional, la prctica docente, el

clima organizacional, la disciplina o las ceremonias escolares).

No se trata de objetivos que incluyan nicamente actitudes y valores. Supone

integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.

A partir de la actualizacin al Marco Curricular realizada el ao 2009, estos ob-

jetivos se organizaron bajo un esquema comn para la Educacin Bsica y la

Educacin Media. De acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales

Transversales se agrupan en cinco mbitos: crecimiento y autoafirmacin per-

sonal, desarrollo del pensamiento, formacin tica, la persona y su entorno y

tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Orientan la forma de

usar los conocimientos

y las habilidades

Son propsitos

generales definidos

en el currculum

que deben

promoverse en toda la

experiencia escolar

Integran conocimientos,

habilidades y actitudes

Se organizan en

una matriz comn

para educacin

bsica y media


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11Segun A Mei / MaemicaNociones Bsicas

Mapas de Progreso

Son descripciones generales que sealan cmo progresan habitualmente los

aprendizajes en las reas clave de un sector determinado. Se trata de formu-

laciones sintticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. A

partir de esto, ofrecen una visin panormica sobre la progresin del aprendizajeen los doce aos de escolaridad4.

Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en

el Marco Curricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa

de manera ms gruesa y sinttica los aprendizajes que esos dos instrumentos

establecen y, por lo tanto, se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su

particularidad consiste en que entregan una visin de conjunto sobre la progre-

sin esperada en todo el sector de aprendizaje.

Qu utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?

Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar

(ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se

presentan en el programa).

Adems, son un referente til para atender a la diversidad de estudiantes dentro

del aula:

permiten ms que simplemente constatar que existen distintos niveles de

aprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempe-

os de los estudiantes, ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisin

en qu consisten esas diferencias la progresin que describen permite reconocer cmo orientar los aprendiza-

jes de los distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han

conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron

expresan el progreso del aprendizaje en un rea clave del sector, de manera

sinttica y alineada con el Marco Curricular

Describen

sintticamente

cmo progresa el

aprendizaje

de manera

congruente con el

Marco Curricular y los

programas de estudio

Sirven de apoyo para

planificar y evaluar

y para atender

la diversidad al

interior del curso

4 Los Mapas de Progreso describen en siete niveles el crecimiento habitual del apren-

dizaje de los estudiantes en un mbito o eje del sector. Cada uno de estos nivelespresenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos aos de escolaridad.

Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayora de los nios

y nias al trmino de 2 bsico; el Nivel 2 corresponde al trmino de 4 bsico, y as

sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que, al egresar

de la Educacin Media, es sobresaliente, es decir, va ms all de la expectativa para IV

medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.


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mapa de progresoEntrega una visin sinttica del progreso del aprendizajeen un rea clave del sector, y se ajusta a las expectativas delMarco Curricular.

Ejemplo:

Mapa de Progreso Nmeros y Operaciones

Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntosNivel 6Reconoce los nmeros complejos como...Nivel 5 Reconoce a los nmeros racionales como unconjunto numrico en el que es posible resolver problemasque no admiten solucin en los enteros, a los irracionales

como un conjunto numrico en el que es posible resolverproblemas que no admiten solucin en los racionales, ya los reales como la unin entre racionales e irracionales.Interpreta potencias de base racional y exponente racional,races ensimas y logaritmos; establece relaciones entreellos y los utiliza para resolver diversos problemas. Realizaoperatoria con nmeros reales, calcula potencias, racesy logaritmos y los aplica en diversos contextos. Resuelveproblemas, utilizando estrategias que implican descompo-ner un problema o situaciones propuestas en partes o sub-problemas. Argumenta sus estrategias o procedimientos yutiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez ofalsedad de conjeturas.Nivel 4 Reconoce a los nmeros enteros comoNivel 3 Reconoce que los nmeros naturalesNivel 2 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000.000Nivel 1 Utiliza los nmeros naturales hasta 1.000

programa de estudioOrienta la labor pedaggica, esta-bleciendo Aprendizajes Esperadosque dan cuenta de los ObjetivosFundamentales y ContenidosMnimos, y los organiza temporal-mente a travs de unidades.

Ejemplo:

Aprendizaje Esperado II medio

Describir las caractersticas

propias de una poblacin y los

factores que la regulan.

marCo CurriCularPrescribe los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mnimos obligatorios que todos

los estudiantes deben lograr.

Ejemplo:

Objetivo Fundamental II medio

Utilizar los nmeros reales en la resolucin de problemas, ubicarlos en la recta numrica,

demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones.

Contenido Mnimo Obligatorio

Aproximacin del valor de un nmero irracional por defecto, por exceso y por redondeo.

Relacin entre Mapa de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular


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13Segun A Mei / Maemica

Cnsieracines Generaespara Impemenar

e Prgrama

Consideraciones Generales para Implementar el Programa

Las orientaciones que se presentan a continuacin destacan algunos elementos

relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orien-

taciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en

el currculum.

Uso del lenguaje

Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicacin oral, la lectura y

la escritura como parte constitutiva del trabajo pedaggico correspondiente a

cada sector de aprendizaje.

Esto se justifica, porque las habilidades de comunicacin son herramientas fun-

damentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes

propios de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan nicamente

en el contexto del sector Lenguaje y Comunicacin, sino que se consolidan a tra-

vs del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto,

involucran los otros sectores de aprendizaje del currculum.

Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicacin oral, los do-

centes deben procurar:

leCtura

la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informa-

tivos propios del sector, textos periodsticos y narrativos, tablas y grficos)

la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptosespecializados del sector

la identificacin de las ideas principales y la localizacin de informacin relevante

la realizacin de resmenes y la sntesis de las ideas y argumentos presenta-

dos en los textos

la bsqueda de informacin en fuentes escritas, discriminndola y seleccio-

nndola de acuerdo a su pertinencia

la comprensin y el dominio de nuevos conceptos y palabras

esCritura

la escritura de textos de diversa extensin y complejidad (por ejemplo, repor-tes, ensayos, descripciones, respuestas breves)

la organizacin y presentacin de informacin a travs de esquemas o tablas

la presentacin de las ideas de una manera coherente y clara

el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos

el uso correcto de la gramtica y de la ortografa

La lectura, la escritura

y la comunicacin oral

deben promoverse en

los distintos sectores

de aprendizaje

Estas habilidades se

pueden promover

de diversas formas


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ComuniCaCin oral

la capacidad de exponer ante otras personas

la expresin de ideas y conocimientos de manera organizada

el desarrollo de la argumentacin al formular ideas y opiniones

el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisin, incorporando losconceptos propios del sector

el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para

superar dificultades de comprensin

la disposicin para escuchar informacin de manera oral, manteniendo la

atencin durante el tiempo requerido

la interaccin con otras personas para intercambiar ideas, analizar informa-

cin y elaborar conexiones en relacin con un tema en particular, compartir

puntos de vista y lograr acuerdos

Uso de las Tecnologas de la Informacin y laComunicacin (TICs)

El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologas de la Informacin

y la Comunicacin (TICs) est contemplado de manera explcita como uno de

los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda

que el dominio y uso de estas tecnologas se promueva de manera integrada al

trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe

procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para:

buscar, acceder y recolectar informacin en pginas web u otras fuentes, y

seleccionar esta informacin, examinando crticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos, utilizando plantillas de clculo, y manipular la in-

formacin sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y

patrones relativos a los fenmenos estudiados en el sector

desarrollar y presentar informacin a travs del uso de procesadores de texto,

plantillas de presentacin (power point) y herramientas y aplicaciones de ima-

gen, audio y video

intercambiar informacin a travs de las herramientas que ofrece internet,

como correo electrnico, chat, espacios interactivos en sitios web o comuni-

dades virtuales

respetar y asumir consideraciones ticas en el uso de las TICs, como el

cuidado personal y el respeto por el otro, sealar las fuentes de donde seobtiene la informacin y respetar las normas de uso y de seguridad de los

espacios virtuales

Debe impulsarse

el uso de las TICs a

travs de los sectores

de aprendizaje

Se puede recurrir

a diversas formasde utilizacin de

estas tecnologas


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15Segun A Mei / MaemicaConsideraciones Generales para Implementar el Programa

Atencin a la diversidad

En el trabajo pedaggico, el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre

los estudiantes en trminos culturales, sociales, tnicos o religiosos, y respecto

de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento.

Esa diversidad conlleva desafos que los profesores tienen que contemplar. Entre

ellos, cabe sealar:

promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de toleran-

cia y apertura, evitando las distintas formas de discriminacin

procurar que los aprendizajes se desarrollen en relacin con el contexto y la

realidad de los estudiantes

intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje sealados

en el currculum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos

Atencin a la diversidad y promocin de aprendizajes

Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de

aprendizaje no implica expectativas ms bajas para algunos estudiantes. Por

el contrario, la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar

que hay que reconocer los requerimientos didcticos personales de los alumnos,

para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes

alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado.

En atencin a lo anterior, es conveniente que, al momento de disear el traba-

jo en una unidad, el docente considere que precisarn ms tiempo o mtodos

diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto,debe desarrollar una planificacin inteligente que genere las condiciones que

le permitan:

conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de

los estudiantes

evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades

de aprendizaje

definir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partida

incluir combinaciones didcticas (agrupamientos, trabajo grupal, rincones) y

materiales diversos (visuales, objetos manipulables)

evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con mltiples opciones

promover la confianza de los alumnos en s mismos promover un trabajo sistemtico por parte de los estudiantes y ejercitacin

abundante

La diversidad

entre estudiantes

establece desafos

que deben tomarseen consideracin

Es necesario atender

a la diversidad para

que todos logrenlos aprendizajes

Esto demanda conocer

qu saben y, sobre

esa base, definir con

flexibilidad las diversas

medidas pertinentes


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Orientaciones para planificar

La planificacin es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los

aprendizajes de los estudiantes. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los

procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar.

Los programas de estudio del Ministerio de Educacin constituyen una herra-

mienta de apoyo al proceso de planificacin. Para estos efectos, han sido elabo-

rados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad

en los distintos contextos educativos del pas.

El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son

los Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la pla-

nificacin a travs de la propuesta de unidades, de la estimacin del tiempo

cronolgico requerido en cada una y de la sugerencia de actividades para de-

sarrollar los aprendizajes.

ConsideraCiones generales para realizar la planifiCaCin

La planificacin es un proceso que se recomienda realizar, considerando los

siguientes aspectos:

la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes

del curso, lo que implica planificar considerando desafos para los distintos

grupos de alumnos

el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible

las prcticas pedaggicas que han dado resultados satisfactorios

los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materia-les didcticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesa-

rio disear; laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de

Aprendizaje (CRA), entre otros

sugerenCias para el proCeso de planifiCaCin

Para que la planificacin efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe

estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visin clara de lo

que los alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda

elaborar la planificacin en los siguientes trminos:

comenzar por una especificacin de los Aprendizajes Esperados que no selimite a listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo

ms clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. Esto im-

plica reconocer qu desempeos de los estudiantes demuestran el logro de

los aprendizajes. Se deben poder responder preguntas como qu deberan

La planificacin

favorece el logro de

los aprendizajes

El programa sirve de

apoyo a la planificacin

a travs de un conjunto

de elementos elaborados

para este fin

Se debe planificar

tomando en cuenta la

diversidad, el tiempo real,

las prcticas anteriores y

los recursos disponibles

Lograr una visin lo ms

clara y concreta posible

sobre los desempeos

que dan cuenta de

los aprendizajes


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ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado

Aprendizaje Esperado?, qu habra que observar para saber que un aprendi-

zaje ha sido logrado?

a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar

y las estrategias de enseanza. Especficamente, se requiere identificar qu

tarea de evaluacin es ms pertinente para observar el desempeo espera-do y qu modalidades de enseanza facilitarn alcanzar este desempeo. De

acuerdo a este proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumati-

vas, las actividades de enseanza y las instancias de retroalimentacin

Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso,

que entregan elementos tiles para reconocer el tipo de desempeo asociado

a los aprendizajes.

Se sugiere que la forma de plantear la planificacin arriba propuesta se use

tanto en la planificacin anual como en la correspondiente a cada unidad y al

plan de cada clase.

La planificacin anual

En este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo

del ao escolar, considerando su organizacin por unidades; estimar el tiempo

que se requerir para cada unidad y priorizar las acciones que conducirn a lo-

gros acadmicos significativos.

Para esto, el docente tiene que:

alcanzar una visin sinttica del conjunto de aprendizajes a lograr duran-te el ao, dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los

estudiantes. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados

especificados en los programas. Los Mapas de Progreso pueden resultar un

apoyo importante

identificar, en trminos generales, el tipo de evaluacin que se requerir para

verificar el logro de los aprendizajes. Esto permitir desarrollar una idea de las

demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad

sobre la base de esta visin, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para

que esta distribucin resulte lo ms realista posible, se recomienda:

- listar das del ao y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible

- elaborar una calendarizacin tentativa de los Aprendizajes Esperados para elao completo, considerando los feriados, los das de prueba y de repaso, y la

realizacin de evaluaciones formativas y retroalimentacin

- hacer una planificacin gruesa de las actividades a partir de la calendarizacin

- ajustar permanentemente la calendarizacin o las actividades planificadas

y, sobre esa base,

decidir las evaluaciones,

las estrategias deenseanza y la

distribucin temporal

Realizar esteproceso con una

visin realista de los

tiempos disponibles

durante el ao


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La planificacin de la unidad

Implica tomar decisiones ms precisas sobre qu ensear y cmo ensear, con-

siderando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad.

La planificacin de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificacin anual, esta visin

debe sustentarse en los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda

complementarla con los Mapas de Progreso

crear una evaluacin sumativa para la unidad

idear una herramienta de diagnstico de comienzos de la unidad

calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana

establecer las actividades de enseanza que se desarrollarn

generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especifi-

cando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y

retroalimentacin

ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes

La planificacin de clase

Es imprescindible que cada clase sea diseada considerando que todas sus par-

tes estn alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con

la evaluacin que se utilizar.

Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseada distinguiendo su

inicio, desarrollo y cierre y especificando claramente qu elementos se con-

siderarn en cada una de estas partes. Se requiere considerar aspectos comolos siguientes:

inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el prop-

sito de la clase; es decir, qu se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar

captar el inters de los estudiantes y que visualicen cmo se relaciona lo que

aprendern con lo que ya saben y con las clases anteriores

desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada

para la clase

cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En

l se debe procurar que los estudiantes se formen una visin acerca de qu

aprendieron y cul es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas

para promover su aprendizaje.

Realizar este proceso

sin perder de vista la

meta de aprendizaje

de la unidad

Procurar que los

estudiantes sepan qu y

por qu van a aprender,

qu aprendieron y

de qu manera


23/116


Orientaciones para evaluar

La evaluacin forma parte constitutiva del proceso de enseanza. No se debe

usar solo como un medio para controlar qu saben los estudiantes, sino que

cumple un rol central en la promocin y el desarrollo del aprendizaje. Para que

cumpla efectivamente con esta funcin, debe tener como objetivos: ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes

proporcionar informacin que permita conocer fortalezas y debilidades de los

alumnos y, sobre esa base, retroalimentar la enseanza y potenciar los logros

esperados dentro del sector

ser una herramienta til para la planificacin

Cmo promover el aprendizaje a travs de la evaluaCin?

Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si

se llevan a cabo considerando lo siguiente:

informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarn. Esto facilita que

puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr

elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se bus-

ca alcanzar, fundados en el anlisis de los desempeos de los estudiantes. Las

evaluaciones entregan informacin para conocer sus fortalezas y debilidades. El

anlisis de esta informacin permite tomar decisiones para mejorar los resulta-

dos alcanzados

retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta

informacin con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que

debe seguir para avanzar. Tambin da la posibilidad de desarrollar procesos

metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; asu vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos

Cmo se pueden artiCular los mapas de progreso del

aprendizaje Con la evaluaCin?

Los Mapas de Progreso ponen a disposicin de las escuelas de todo el pas un

mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y

los ubican en un continuo de progreso. Los Mapas de Progreso apoyan el segui-

miento de los aprendizajes, en tanto permiten:

reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar

aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripcin decada nivel, sus ejemplos de desempeo y el trabajo concreto de estudiantes

que ilustran esta expectativa

Apoya el proceso

de aprendizaje al

permitir su monitoreo,

retroalimentar a losestudiantes y sustentar

la planificacin

Explicitar qu se evaluar

Identificar logros

y debilidades

Ofrecer retroalimentacin

Los mapas apoyan

diversos aspectos del

proceso de evaluacin


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20

observar el desarrollo, la progresin o el crecimiento de las competencias de

un alumno, al constatar cmo sus desempeos se van desplazando en el mapa

contar con modelos de tareas y preguntas que permitan a cada alumno evi-

denciar sus aprendizajes

Cmo disear la evaluaCin?

La evaluacin debe disearse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el obje-

to de observar en qu grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda disear la

evaluacin junto a la planificacin y considerar las siguientes preguntas:

Cules son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcar la

evaluacin?

Si debe priorizar, considere aquellos aprendizajes que sern duraderos y pre-

rrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progre-

so pueden ser de especial utilidad

Qu evidencia necesitaran exhibir sus estudiantes para demostrar

que dominan los Aprendizajes Esperados?

Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluacin sugeridos

que presenta el programa.

Qu mtodo emplear para evaluar?

Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas

escritas, guas de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas con-

ceptuales, informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).

En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas

maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes

puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.

Qu preguntas se incluir en la evaluacin?

Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Espe-

rados, que permitan demostrar la real comprensin del contenido evaluado

Cules son los criterios de xito?, cules son las caractersticas de

una respuesta de alta calidad?

Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:- comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de

otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en

los Mapas de Progreso

Partir estableciendo

los Aprendizajes

Esperados a evaluar

y luego decidir qu

se requiere para su

evaluacin en trminos

de evidencias, mtodos,

preguntas y criterios


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- identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen

el nivel de desempeo esperado, y utilizarlas como modelo para otras eva-

luaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje

- desarrollar rbricas5 que indiquen los resultados explcitos para un des-

empeo especfico y que muestren los diferentes niveles de calidad para

dicho desempeo

5 Rbrica: tabla o pauta para evaluar


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22


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23

MaemicaPrgrama e EsuiSegun A Mei


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24

PrpsisEl aprendizaje de la matemtica ayuda a comprender

la realidad y proporciona herramientas para desenvol-

verse en la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el

clculo, el anlisis de la informacin proveniente de

diversas fuentes, la capacidad de generalizar situacio-

nes, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados

y seleccionar estrategias para resolver problemas. Todo

esto contribuye a desarrollar un pensamiento lgico,ordenado, crtico y autnomo, y a generar actitudes

como precisin, rigurosidad, perseverancia y confianza

en s mismo, que se valoran no solo en la ciencia y la

tecnologa, sino tambin en la vida cotidiana.

Aprender matemticas acrecienta tambin las habilida-

des relativas a la comunicacin; por una parte, ensea a

Maemica

presentar informacin con precisin y rigurosidad y, por

otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones

y argumentos que se recibe.

El conocimiento matemtico y la capacidad para

usarlo provocan importantes consecuencias en el

desarrollo, el desempeo y la vida de las personas. El

entorno social valora el conocimiento matemtico ylo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden

superior. Aprender matemtica influye en el concep-

to que nios, jvenes y adultos construyen sobre s

mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a

que la persona se sienta un ser autnomo y valioso. En

consecuencia, la calidad, la pertinencia y la ampli-

tud de ese conocimiento afectan las posibilidades y

HABIlIdAdES dE PENSAMIENto MAtEMtICo

5 bsico 6 bsico 7 bsico

Resolver problemas en contextos

diversos y significativos


significativos


diversos y significativos, utilizando

los contenidos del nivel

Analizar la validez de los pro-

cedimientos utilizados y de los

resultados obtenidos

Formular y verificar conjeturas, en

casos particulares

Ordenar nmeros y ubicarlos en la

recta numrica

Ordenar nmeros y ubicarlos en la

recta numrica

Realizar clculos en forma mentaly escrita



Emplear formas simples de mode-

lamiento matemtico


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Segun A Mei / Maemica 25Matemtica

HabiiaesAl estudiar matemticas, el estudiante adquiere el razo-

namiento lgico, la visualizacin espacial, el pensamien-

to analtico, el clculo, el modelamiento y las destrezas

para resolver problemas. La tabla siguiente puede

resultar til para:

observar transversalmente las habilidades que se

desarrollan en el sector

focalizarse en un nivel y disear actividades y evalua-ciones que enfaticen dichas habilidades

situarse en el nivel, observar las habilidades que se

pretendi ensear en los aos anteriores y las que se

trabajarn ms adelante

advertir diferencias y similitudes en los nfasis por

ciclos de enseanza

8 bsico I medio II medio


diversos y significativos

Analizar estrategias de resolucin

de problemas de acuerdo con

criterios definidos

Aproximar nmeros mediante

variados mtodos

Evaluar la validez de los resultados

obtenidos y el empleo de dichos

resultados para fundamentaropiniones y tomar decisiones

Fundamentar opiniones y tomar

decisiones

Argumentar respecto a las varia-

ciones que se producen en la re-

presentacin grfica de funciones

Ubicar races en la recta numrica


Emplear formas simples de mo-

delamiento matemtico

Aplicar modelos lineales que repre-

sentan la relacin entre variables

Modelar situaciones diversas a

travs de funciones

Verificar proposiciones simples,

para casos particulares

Diferenciar entre verificacin y

demostracin de propiedades

Demostrar propiedades y teoremas

la calidad de vida de las personas y el potencial de

desarrollo del pas.

La matemtica ofrece tambin la posibilidad de trabajar

con entes abstractos y sus relaciones, y prepara a los

estudiantes para que entiendan el medio y las mltiples

relaciones que se dan en un espacio simblico y fsico

de complejidad creciente. Se trata de espacios en losque la cultura, la tecnologa y las ciencias se redefinen

en forma permanente y se hacen ms difciles, y las

finanzas, los sistemas de comunicacin y los vnculos

entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan.


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26

Se ha concebido este sector como una oportunidad

para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.

La matemtica es un rea poderosa de la cultura, pues

permite comprender, explicar y predecir situaciones

y fenmenos del entorno. Por eso, es importante que

los docentes se esfuercen para que todos los alumnos

del pas aprendan los conocimientos y desarrollen las

capacidades propias de esta disciplina. Estos programasentregan algunas orientaciones que ayudarn a los

profesores a cumplir con este objetivo por medio de la

planificacin y en el transcurso de las clases.

los ConCeptos matemtiCos: profundidad

e integraCin

Los estudiantes deben explorar en las ideas matemti-

cas y entender que ellas constituyen un todo y no frag-

mentos aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas

experiencias para que comprendan en profundidad los

conceptos matemticos, sus conexiones y sus aplica-ciones. De esta manera, podrn participar activamente

y adquirir mayor confianza para investigar y aplicar

las matemticas. Se recomienda que usen materiales

concretos, realicen trabajos prcticos y se apoyen en la

tecnologa, en especial en el ciclo bsico.

el uso del Contexto

Es importante que el docente aclare que esta disciplina

est enraizada en la cultura y en la historia; asimismo,

que impacta en otras reas del conocimiento cientfico,

crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse

cmo se originaron los conceptos y modelos matemti-

cos, en qu perodos de la historia y cmo se enlazaron

con la evolucin del pensamiento, es un ancla impor-

tante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogas

y representaciones cercanas a los estudiantes, en es-

pecial en las etapas de exploracin. Tambin se sugiere

aplicar las matemticas a otras reas del saber y en la

vida diaria como un modo de apoyar la construccin

del conocimiento matemtico.

razonamiento matemtiCo y resoluCin

de problemas

Esta disciplina se construye a partir de regularidades

que subyacen a situaciones aparentemente diversas y

ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecnico.

Por eso es importante invitar a los alumnos a buscar

regularidades. Tambin se busca desarrollar y explicar

la nocin de estrategia, comparar diversas formas de

abordar problemas y justificar y demostrar las pro-

posiciones matemticas. El docente debe procurar,

asimismo, que los estudiantes conjeturen y verifiquen

cmo se comportan los elementos y las relaciones conque se trabaja. Tienen que analizar los procedimientos

para resolver un problema y comprobar resultados,

propiedades y relaciones.

Aunque deben ser competentes en diversas habilidades

matemticas, el profesor tiene que evitar que pongan

demasiado nfasis en los procedimientos si no com-

prenden los principios matemticos correspondientes.

uso del error

Usar adecuadamente el error ayuda a crear un am-biente de bsqueda y creacin. Un educador puede

aprovechar la equivocacin para inducir aprendizajes

especialmente significativos, si lo hace de manera

constructiva. Se debe considerar el error como un

elemento concreto para trabajar la diversidad en clases

y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendi-

zajes propuestos.

aprendizaje matemtiCo y desarrollo

personal

La clase de Matemtica ofrece abundantes ocasiones

para el autoconocimiento y las interacciones sociales.

Es una oportunidad para la metacognicin6: cmo

lo hice?, cmo lo hicieron?, de qu otra manera es

posible? Adems, la percepcin que cada cual tiene de

su propia capacidad para aprender y hacer matemtica,

surge de la retroalimentacin que le ha dado la propia

experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus ma-

nos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y

los logros de los alumnos. Otros aspectos que tambin

ayudan a que cada estudiante aumente la confianza ens mismo son valorar las diferencias, aceptar los xitos o

las acciones de sus pares, crear un clima de confianza y

distinguir de qu modo enfrenta cada uno el triunfo o el

fracaso, sea propio o de los dems.

orienacines icicas

6 Metacongicin: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamiento


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Segun A Mei / Maemica 27Matemtica

teCnologas digitales y aprendizaje

matemtiCo

El presente programa propone usar software para am-

pliar las oportunidades de aprendizaje de los estudian-

tes. Estas tecnologas permiten representar nociones

abstractas a travs de modelos en los que se puede

experimentar con ideas matemticas; tambin se puede

crear situaciones para que los alumnos exploren las ca-

ractersticas, los lmites y las posibilidades de conceptos,

relaciones o procedimientos matemticos. Los procesa-dores geomtricos, simblicos y de estadstica son labo-

ratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba.

Con un procesador simblico, se puede analizar y en-

tender nmeros grandes o muy pequeos. Y se puede

estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de

alta complejidad. Internet ofrece mltiples ambientes

con representaciones dinmicas de una gran cantidad

de objetos matemticos. Los procesadores geomtricos

permiten experimentar con nociones y relaciones de la

geometra euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de

un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los

ayudar mucho a formarse para una vida cada vez ms

influida por las tecnologas digitales.

Clima y motivaCin

Se debe propiciar un ambiente creativo para que los

alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturasrespecto de los problemas que abordan. Ese ambiente

debe admitir que el error, la duda y la pregunta son

importantes y valiosos para construir conocimiento;

asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y apro-

vecharlos para crear una bsqueda y una construccin

colectiva. En ese espacio ser natural analizar acciones y

procedimientos y explorar caminos alternativos.


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28

Visin Gba e AApreniaes Esperas pr semesre y unia

Semesre 1

Unia 1Nmers

AE 01

Comprender que los nmeros irracionales permiten re-

solver problemas que no tienen solucin en los nmeros

racionales.

AE 02

Aproximar nmeros irracionales por defecto, por exceso

y por redondeo.

AE 03

Ordenar nmeros irracionales y representarlos en la

recta numrica.

AE 04

Conjeturar y verificar propiedades de los nmeros

irracionales.

AE 05

Comprender que los nmeros reales corresponden a la

unin de los nmeros racionales e irracionales.

AE 06

Demostrar algunas propiedades de los nmeros reales.

AE 07

Analizar la existencia de las races en el conjunto de los

nmeros reales.

AE 08

Utilizar relaciones entre las potencias y races para

demostrar propiedades de las races.

AE 09

Establecer relaciones entre los logaritmos, potencias

y races.

AE 10

Deducir propiedades de los logaritmos.

AE 11

Resolver problemas en contextos diversos relativos anmeros reales, races y logaritmos.

Tiempo estimado

78 horas pedaggicas

Unia 2Gemera

AE 01

Comprender el concepto de semejanza de figuras

planas.

AE 02

Identificar los criterios de semejanza de tringulos.

AE 03

Utilizar los criterios de semejanza de tringulos para el

anlisis de la semejanza de figuras planas.

AE 04

Comprender el teorema de Thales sobre trazos propor-

cionales y aplicarlo en el anlisis y la demostracin de

teoremas relativos a trazos.

AE 05

Demostrar los teoremas de Euclides relativos a propor-

cionalidad de trazos.

AE 06

Demostrar el teorema de Pitgoras y el teorema rec-

proco de Pitgoras.

AE 07

Identificar ngulos inscritos y del centro en una circun-

ferencia, y relacionar las medidas de dichos ngulos.

AE 08

Demostrar relaciones que se establecen entre trazos de-

terminados por cuerdas y secantes de una circunferencia.

AE 09

Demostrar teoremas relativos a la homotecia de figuras

planas.

AE 10

Resolver problemas relativos a:

a. el teorema de Thales sobre trazos proporcionales

b. la divisin interior de un trazoc. teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad

de trazos

Tiempo estimado

62 horas pedaggicas


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Segun A Mei / Maemica 29Visin Global del Ao

Semesre 2

Unia 3gebra

AE 01

Analizar grficamente la funcin exponencial, en forma

manual y con herramientas tecnolgicas.

AE 02

Analizar grficamente la funcin logartmica, en forma


AE 03

Analizar grficamente la funcin raz cuadrada, en forma


AE 04

Analizar la validez de una expresin algebraica

fraccionaria.

AE 05

Establecer estrategias para operar7 fracciones alge-

braicas simples, con binomios en el numerador y en el

denominador, y determinar los valores que indefinen

estas expresiones.

AE 06

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incg-

nitas, grfica y algebraicamente.

AE 07

Modelar y aplicar la funcin exponencial, raz cuadraday logartmica en la resolucin de problemas, y resol-

ver problemas que involucren sistemas de ecuaciones

lineales con dos incgnitas.

Tiempo estimado

80 horas pedaggicas

Unia 4das y aar

AE 01

Determinar el rango, la varianza y la desviacin estndar

de conjuntos de datos.

AE 02

Comparar caractersticas de dos o ms conjuntos de

datos, utilizando medidas de tendencia central, de

posicin y de dispersin.

AE 03

Emplear elementos del muestreo aleatorio simple para

inferir sobre la media de una poblacin.

AE 04

Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicar-

lo en diversas situaciones que involucran experimentosaleatorios.

AE 05

Calcular medias muestrales.

AE 06

Verificar que, a medida que el nmero de pruebas crece,

la media muestral se aproxima a la media de la poblacin.

AE 07

Resolver problemas en contextos diversos, aplicando las

propiedades de la suma y el producto de probabilidades.

Tiempo estimado

55 horas pedaggicas

7 Suma, resta, multiplicacin, divisin, simplificacin, amplificacin.


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30


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31

Uniaes

Semesre 1

Semesre 2

Unia 1Nmers

Unia 2Gemera

Unia 3gebra

Unia 4das y aar


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33

Unia 1Nmers

propsito

En esta unidad se recogen los aprendizajes que los

estudiantes ya tienen sobre nmeros racionales y

sus propiedades, para introducir ahora los nmeros

irracionales y posteriormente los reales. Se espera

que comprendan las caractersticas y propiedades

de los nuevos nmeros y sean capaces de ordenarlos,

ubicarlos en la recta numrica, aproximarlos y operar

con ellos.

En esta unidad se incorporan, adems, las potencias

de exponente racional y el estudio de sus propie-

dades, las races ensimas y los logaritmos. Ser

importante que los estudiantes realicen conjeturas

sobre propiedades, las verifiquen y apliquen los con-

tenidos aprendidos anteriormente en la resolucin

de problemas.

ConoCimientos previos

Operaciones de nmeros racionales

Potencias de base racional y exponente entero

Propiedades de las potencias de base racional y

exponente entero

palabras Clave

Nmeros irracionales, nmeros reales, potencias de

exponente racional, races ensimas, logaritmos.

Contenidos

Nmeros irracionales y propiedades Nmeros reales y propiedades

Operaciones aritmticas con nmeros reales

Potencias de exponente racional

Propiedades de las potencias de exponente racional

Races ensimas

Propiedades de las races ensimas

Logaritmos

Propiedades de los logaritmos

Habilidades

Reconocer si un problema puede o no tener solu-

ciones en los nmeros racionales

Identificar los nmeros irracionales como aquellos

que tienen un desarrollo infinito no peridico y

que no se pueden escribir como fraccin

Aproximar nmeros irracionales mediante algn

mtodo

Ubicar races en la recta numrica, usando alguna

estrategia

Conjeturar acerca del valor a obtener al sumar,

restar, multiplicar o dividir dos nmeros racionales

Resolver situaciones en las que es necesario operar

con nmeros reales

Demostrar propiedades de las races ensimas a

partir de las propiedades de las potencias de expo-

nente racional

Transformar races ensimas a notacin de poten-

cias y viceversa

Demostrar propiedades de los logaritmos a partirde las propiedades de las potencias

Relacionar potencias, races ensimas y logaritmos

Resolver situaciones en las que es necesario operar

con races ensimas y logaritmos

aCtitudes

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la reso-

lucin de problemas en contextos diversos


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ApreniaesEsperas

Se espera que los estudiantes sean

capaces de:

c c Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:

AE 01Cmprener que s nmers

irracinaes permien res-

ver prbemas que n ienensucin en s nmers

racinaes.

Identifican problemas geomtricos, cuya solucin corresponde a nme-

ros irracionales. Por ejemplo: determinar el valor de la diagonal de un

cuadrado de lado 1, la altura de un tringulo equiltero o la arista de uncubo de lado 2.

Explican los argumentos usados para demostrar la irracionalidad de 3.

AE 02Aprximar nmers irracina-

es pr efec, pr exces y

pr rene.

Construyen nmeros irracionales a partir del concepto de no pe-

riodicidad y explican su razonamiento. Por ejemplo, el nmero

0,1234567891011121314

Aproximan un nmero irracional por defecto y por exceso de acuerdo a

una precisin dada (por ejemplo, con 4 decimales). Por ejemplo, 2 con 4

decimales.

Usan mtodos visuales (reas de cuadrados) para aproximar races cua-

dradas.

AE 03orenar nmers irracinaes

y represenars en a reca

numrica.

Ordenan un conjunto de nmeros irracionales de manera creciente.

Ubican races cuadradas en la recta numrica, usando una variedad de es-

trategias, y explican su razonamiento. Por ejemplo, usando regla y comps. Ubican nmeros irracionales en la recta numrica de acuerdo a restriccio-

nes dadas. Por ejemplo, ubican tres nmeros irracionales mayores que 2 y

menores que 4.

AE 04Conjeturar y vericar pro-

pieaes e s nmers

irracinaes.

Conjeturan y verifican aproximaciones del nmero , evaluando el error

cometido. Por ejemplo:22

7,

355

113 10

Argumentan, a partir de la definicin de un nmero irracional, acerca de la

relacinPD =, donde P es el permetro de una circunferencia, D es el

dimetro y es un irracional.

Conjeturan acerca del nmero obtenido a partir de operaciones como

irracional + irracional, irracional irracional o bien irracional : irracional.


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Segun A Mei / Maemica 35Unidad 1


capaces de:



reaes crrespnen a a unin

e s nmers racinaes eirracinaes.

Representan, usando un esquema, la relacin entre los nmeros reales y

los nmeros naturales, enteros, racionales e irracionales.

Identifican situaciones donde el resultado no pertenece o no est definidoen los nmeros reales. Por ejemplo: -2, 4 -16, etc.

A partir de un conjunto de nmeros, forman conjuntos de nmeros racio-

nales y de nmeros que son irracionales.

AE 06demsrar agunas prpiea-

es e s nmers reaes.

Verifican la propiedad entre dos nmeros reales, siempre existe otro real.

Verifican en casos particulares propiedades de la clausura, asociatividad,

distributividad y conmutatividad para nmeros reales.

Demuestran algunas propiedades para los nmeros reales, como:Si a = b y c= d, entonces a + c= b + d;o bien si a b = 0, entonces a = 0 o b = 0

AE 07Anaiar a exisencia e as

races en e cnun e s

nmers reaes.

Determinan para qu valores de a existen

a , cuando n es par. Determinan para qu valores de n natural existe

na , cuando a es cual-

quier nmero real.

AE 08Uiiar reacines enre as p-

encias y races para ems-

rar prpieaes e as races.

Reconocen la relacin que existe entre las races y las potencias de expo-

nente racional.

Utilizan la relacin que existe entre las races y las potencias para demos-

trar quen

a n

b =n

ab


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36

AE 09Esabecer reacines enre s

garims, pencias y races.

Reconocen potencias en el clculo de logaritmos de nmeros. Por ejem-

plo, en el clculo log2 8, reconocen que 23 = 8 Deducen la relacin que hay entre races y logaritmos a partir de la

relacin que existe entre races y potencias y la relacin que existe entre

potencias y logaritmos.

Establecen resultados referidos a logaritmos. Por ejemplo, establecen

que loga a = 1

AE 10deucir prpieaes e s

garims.

Demuestran propiedades de los logaritmos, a partir de las propiedades

de las potencias. Por ejemplo, que:

a. logbxy = logbx+logb yb. logbax = xlogba

Calculan logaritmos, utilizando propiedades.

AE 11Resver prbemas en

cnexs iverss reaivs

a nmers reaes, races ygarims.

Resuelven problemas que involucran el clculo de logaritmos y la apli-

cacin de propiedades en diversos contextos. Por ejemplo, calculan la

energa liberada por un sismo de magnitud 5,5. Resuelven problemas en contextos matemticos que involucran opera-

ciones con races.

Aplican propiedades de los nmeros reales en la resolucin de problemas.


capaces de:



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con el conjunto de los nmeros reales y sus propiedades,

haciendo nfasis, por ejemplo, en que as se completa la

recta numrica. Esto facilitar estudiar las funciones que

ahora estarn definidas de IR8 en IR.

Se sugiere trabajar las cuatro operaciones con nme-

ros reales para resolver problemas ligados a la vidacotidiana y a temas de otros sectores de aprendizaje.

La resolucin de problemas genera, adems, espacio

para abordar el concepto de cifras significativas y de

aproximacin. Por otra parte, es importante revisar las

propiedades de las operaciones con nmeros reales,

como la clausura, la conmutatividad, la asociatividad, los

elementos neutros, etc. Aunque algunas propiedades

ya han sido estudiadas, esta es una oportunidad para

profundizar en ellas y en toda la magnitud que permite

ahora el conjunto de los nmeros reales como cuerpo

ordenado. A partir de estas propiedades o axiomas,

los alumnos pueden demostrar otras propiedades; el

docente debe entender que esta es una habilidad de

mayor nivel y que necesita trabajar con los estudiantes

partiendo con casos sencillos.

En niveles anteriores, los alumnos ya han trabajado con

las potencias y sus propiedades. En esta oportunidad

se hace la extensin a las potencias de exponente ra-

cional y sus propiedades. Es importante que el profesor

repase con ellos todas las propiedades de las poten-cias, pero ahora en el caso de exponente racional. Con

esto, los estudiantes estarn a un paso del estudio de

las races ensimas. Al entender las propiedades de las

potencias, podrn comprender mejor las propiedades

de las races y verificarlas. De hecho, el ejercicio inicial

Orientaciones didcticas para la unidad

Al introducir los nmeros irracionales, es importan-

te poner nfasis en que estos constituyen un nuevo

conjunto numrico, el cual permite resolver problemas

que no admiten solucin en los racionales. Hay que

recordar que los estudiantes ya experimentaron este

tipo de transicin, cuando pasaron de los naturales a los

enteros y luego, de los enteros a los racionales. Por otraparte, el docente tiene que explicar que, al considerar

los nmeros racionales y los irracionales, se genera un

conjunto ms grande denominado conjunto de los

nmeros reales.

Debe notarse que, a diferencia de los nmeros racio-

nales, los irracionales no pueden expresarse como un

cuociente entre dos nmeros enteros y con denomi-

nador distinto de cero. Los alumnos debern acep-

tar esta situacin en primera instancia hasta que el

docente revise con ellos, por ejemplo, la demostracin

de la irracionalidad de 2. Puede hacer ms sentido a

los estudiantes que con los irracionales no es posible

encontrar un perodo, a diferencia de los nmeros

racionales. Los alumnos enfrentarn su primer desafo

con las calculadoras, dada las limitaciones que estas

presentan al momento de entregar un nmero deter-

minado de decimales. Se sugiere utilizar diferentes tipos

de calculadora; por ejemplo, una bsica, una cientfica,

la calculadora de Windows, la planilla excel, etc.

Se recomienda situar a los estudiantes en el contexto

histrico en que estos nmeros cobraron relevancia y

los problemas que causaron al no comportarse como los

nmeros conocidos hasta ese momento. Una vez intro-

ducidos los irracionales, los alumnos deben familiarizarse

Aprendizajes Esperados en relacin con los OFT

Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolucin de problemas en contextos diversos

Participa de manera propositiva en actividades grupales

Es responsable en la tarea asignada

Toma iniciativa en actividades de carcter grupal

Propone alternativas de solucin a problemas relacionados con nmeros enteros y potencias

de base natural y exponente natural en actividades grupales

8 IR: nmeros reales


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ser transformar las races a notacin de potencia de

exponente racional y viceversa. Se sugiere que verifi-

quen la mayor cantidad de propiedades de las races

ensimas, a partir de las propiedades de las potencias.

Este ejercicio les ser muy til cuando se estudien las

propiedades de los logaritmos.

Tambin es importante que trabajen ejercicios en los

que calculen diferentes races ensimas, simplifiquen

expresiones o transformen expresiones en otras equiva-lentes por medio de la amplificacin, usando trminos

convenientes; por ejemplo, para suprimir un radical

del denominador. Conviene incorporar el trabajo con

las races en el contexto de la resolucin de problemas,

analizando algunas aplicaciones en otras reas.

El trabajo de la unidad termina con el estudio de los

logaritmos y su relacin con los conceptos de potencia

y de raz. En el caso de los logaritmos, deben com-

prender que, en los ejercicios y clculos que involucran

logaritmos, lo que buscan es un exponente. Es im-portante que establezcan la relacin con las potencias,

pues a partir de eso podrn verificar las propiedades de

los logaritmos. Se sugiere incorporar el trabajo con los

logaritmos en el contexto de la resolucin de proble-

mas, analizando algunas aplicaciones en otras reas.

Es fundamental que los estudiantes puedan elaborar

sus propias estrategias para enfrentar una situacin a

lo largo de la unidad. En este sentido, se recomien-

da cada vez que se pueda proponerles problemas

abiertos que los impulsen a encontrar soluciones y

aventurarse en la bsqueda de patrones, de soluciones

ms generales, etc. Los alumnos deben comunicar

procedimientos y resultados, discutirlos y explicar las

conclusiones obtenidas en el desarrollo sistemtico

de las actividades.

Respecto de la evaluacin, se aconseja ir monitorean-do el logro de los Aprendizajes Esperados a medida

que avanza la unidad y no solo al final de ella. De este

modo, el docente sabr si los estudiantes asimilan los

conceptos centrales y podr disear estrategias para

trabajar con la diversidad de niveles de aprendizaje que

conviven en el aula.

Es importante que estas evaluaciones midan habilidades

y conocimientos y que contengan preguntas intere-

santes y desafiantes, pero deben adecuarse a la edad

de los alumnos. Se sugiere disear preguntas abiertas yproblemas que demanden a los estudiantes elaborar es-

trategias y utilizar procedimientos, considerando que los

problemas en matemtica no siempre tienen respuesta

nica ni importa siempre el resultado final. Con pregun-

tas de este tipo, el docente podr observar tambin los

distintos niveles de desempeo de los alumnos y disear

procesos de retroalimentacin para aquellos aspectos

que entiendan menos.


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irracinaes permien res-

ver prbemas que n ienen

sucin en s nmers

racinaes.

AE 05Cmprener que s nme-

rs reaes crrespnen

a a unin e s nmers

racinaes e irracinaes.

Eemps eAciviaes

1Identifican problemas geomtricos que no tienen solucin en los racionales.

Por ejemplo: determinar el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Con ese propsito los estudiantes:

a. dibujan un cuadrado de lado 1 y marcan su diagonal

b. construyen un nuevo cuadrado sobre la diagonal del cuadrado de lado 1

c. plantean estrategias para determinar el valor del rea del nuevo

cuadrado

! Observaciones al docente: Se sugiere poner nfasis en la discusin de las

estrategias utilizadas en cada actividad. Adems, es importante apoyar a losestudiantes respecto de la relacin entre los diferentes conceptos utilizados,

como el rea de un cuadrado o la magnitud de un trazo.

El propsito final de las actividades consiste en debatir sobre la naturaleza

del valor obtenido para la diagonal del cuadrado de lado 1.

d. a partir del rea del nuevo cuadrado, obtienen aproximaciones del

valor de la diagonal del cuadrado de lado 1, usando calculadora

! Observaciones al docente: Para esta ltima actividad, se sugiere que los

estudiantes utilicen diferentes calculadoras (por ejemplo, simple, cientfica o

calculadora de Windows). La idea es que observen distintas aproximaciones,

segn las limitaciones de cada calculadora, y que discutan acerca de las

caractersticas del nmero obtenido ( 2 )

2Calculan races cuadradas a nmeros primos y sacan conclusiones con

respecto a los valores obtenidos. Por ejemplo: 2, 3, 5

3

Identifican problemas en contextos matemticos que no tienen solucinen los nmeros racionales. Por ejemplo, encontrar nmeros cuyo cuadra-

do sea un nmero primo.

! Observaciones al docente: Con estas dos actividades, los estudiantes

deberan plantear alguna conjetura, mediante casos especficos, sobre la

particularidad que presentan los nmeros primos cuando estn presentes en

algn clculo de races.


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1Aproximan los valores de 2 y 3 por defecto y por exceso, con una

precisin de 3 decimales.

2Obtienen valores aproximados de 2 y 3, usando una calculadora.

3Ubican de manera aproximada los nmeros 2 y 3 en la recta numrica.

4Ubican los valores de 2 y 3 en la recta numrica, usando regla y comps.

5Verifican los valores obtenidos, utilizando el teorema de Pitgoras.

! Observaciones al docente: Se sugiere poner nfasis en las distintas formas

en que los estudiantes puedan ubicar los nmeros irracionales solicitados en

la recta. Pueden obtener valores aproximados con la calculadora e intentar

ubicarlos aproximadamente en relacin a los nmeros enteros 1 y 2.

Es importante revisar despus una forma geomtrica para ubicar estos

nmeros irracionales. Se debe recordar que ella forma parte de la construc-

cin de un cuadrado de lado 1 en la recta numrica, tal como se muestra acontinuacin:

Los estudiantes deben entender que 2 < 3, lo que queda representado en la

recta numrica.

Tambin pueden usar un programa geomtrico para construir la recta

numrica.

AE 02Aprximar nmers irracina-

es pr efec, pr exces y

pr rene.

AE 03orenar nmers irraci-

naes y represenars en a

reca numrica.

33

3

-3 3-2 2-1 1

1

2

3

02 2

2


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AE 04Conjeturar y vericar pro-

pieaes e s nmers

irracinaes.

1Conjeturan acerca del nmero obtenido al sumar dos nmeros irracionales.

2Conjeturan acerca del nmero obtenido al multiplicar dos nmeros

irracionales.

3Conjeturan acerca del nmero obtenido al multiplicar un nmero racional

por uno irracional.

! Observaciones al docente: En este grupo de actividades, los estudiantes

deberan plantear una conjetura mediante casos particulares y despus,generalizar el resultado. Se sugiere poner atencin a las argumentaciones de

los alumnos, en especial aquellas que apunten a alguna generalizacin.

4Analizan y discuten la relacin =

PD

, a partir de la naturaleza del n-

mero (donde P es el permetro de una circunferencia y D su dimetro).

! Observaciones al docente: Partiendo de la imposibilidad de representar un

nmero irracional mediante un cuociente de enteros, esta actividad abierta

permite a los estudiantes debatir si es posible plantear que = PD

5Analizan y discuten acerca de la naturaleza del nmero ureo, a partir de

la expresin1+ 5

2

! Observaciones al docente: Tambin es interesante analizar cmo obtener

la expresin1+ 5

2, a partir del rectngulo ureo de Euclides. En este rectn-

gulo se verifica queAEAD

=1+ 5

2

A

D2

1G B

C

E

F


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AE 06demsrar agunas prpiea-

es e s nmers reaes.

1Argumentan, a travs de ejemplos, acerca de la propiedad de clausura en

los nmeros reales.

2Argumentan, a travs de ejemplos, acerca de la propiedad de asociativi-

dad en los nmeros reales.

3Argumentan, a travs de ejemplos, acerca de la propiedad de conmutati-

vidad en los nmeros reales.

!Observaciones al docente: Para estas actividades, se sugiere que losestudiantes utilicen diferentes nmeros; por ejemplo, 1, -3, 3/4, 0,5, y que

tambin incorporen nmeros como , 2, 3,1+ 5

2

Pueden trabajar en forma algebraica o numrica, usando aproximaciones

mediante la calculadora. Lo importante es darse cuenta de que, independien-

temente del tipo de nmeros, las propiedades se cumplen ineludiblemente.

4Demuestran la siguiente propiedad de los nmeros reales: Si a = b y c= d,

entonces a c= b d

! Observaciones al docente: Esta actividad requiere un mayor apoyo del

profesor, ya que implica realizar una demostracin a partir de los axiomas o

propiedades de las operaciones de los nmeros reales. En primera instancia,

se debe distinguir claramente los conceptos de hiptesis y tesis:

Hiptesis: a = b yc= dTesis: a c= b d

Para poder demostrar la proposicin completamente, se tiene que reali-

zar una secuencia de argumentos a partir de las propiedades bsicas. Por

ejemplo: dado que hay que demostrar que a c= b d, es importante ver quesi esta igualdad se cumple; entonces necesariamente (a c) (b d) = 0 por laexistencia del elemento neutro aditivo en IR. Por lo tanto, bastara compro-bar esto para demostrar el teorema.

5Analizan y discuten acerca de la propiedad entre dos nmeros reales,

siempre existe otro real.

! Observaciones al docente: Esta es una actividad abierta. Los estudiantes

proponen argumentos y ejemplos prcticos de que es posible encontrar un

nmero real entre otros dos reales cada vez que uno quiera. Por ejemplo,se puede proponer un juego con el intervalo entre 0 y 1. El juego consiste en

dividir el intervalo a la mitad. Luego de la primera divisin, en que el intervalo

queda 0 y1/2, volver a dividirlo a la mitad y as sucesivamente.


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6Demuestran que, en la multiplicacin de dos nmeros reales negativos,

se obtiene como producto un nmero real positivo, es decir: = +

! Observaciones al docente: Esta actividad debe ser guiada por el profesor. Al

respecto, puede recordar los axiomas de este conjunto a los alumnos y decirles

que los usen para realizar la demostracin.

AE 07Anaiar a exisencia e as

races en e cnun e snmers reaes.

AE 08Uiiar reacines enre as

pencias y races para e-

msrar prpieaes e as

races.

1

Utilizan la definicin x2

= | x | para deducir que las races cuadradas sonnmeros mayores o iguales a cero, y determinan los valores de a para loscuales est definida a

2Determinan los valores para los cuales est definida 3 x y el conjunto devalores que toma esta raz.

3Determinan los valores para los cuales estn definidas las races 4 x , 5 x ,y el conjunto de valores que toman estas races.

4Generalizan resultados de las actividades anteriores a

nx para n par o

impar.

A partir de las relaciones entre potencias y races, efectan demostracio-

nes como las siguientes:

a.n x n y =n xy , para x,y apropiados y n natural

b.n

x pm

=n

x m p, para x apropiado y m, n naturales

c.n

xn

y=

n xy

, para x,y apropiado y n naturales

1Relacionan logaritmos con potencias, a partir de la definicin de logaritmo.

2Argumentan sobre la relacin que existe entre races y logaritmos, a partir

de la relacin entre potencias y logaritmos y entre races y potencias.

AE 09Esabecer reacines enre sgarims, pencias y races.


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AE 10deucir prpieaes e s

garims.

AE 11Resver prbemas en

cnexs iverss reaivs

a nmers reaes, races, y

garims.

1SiM yN son dos nmeros reales positivos, deducen la siguiente propie-

dad de los logaritmos a partir de la definicin de logaritmo:logM + logN = log(M N )

2SiM yN son dos nmeros reales positivos, deducen la siguiente propie-dad de los logaritmos a partir de la definicin de logaritmo:

logNm = m logN

3Aplicando propiedades de logaritmos, resuelven los siguientes ejercicios:

a. Calcularlog2 32b. Expresar en trminos de a, log25, cuando a = log2

1Encuentran una expresin equivalente a

3

5que no tenga un radical en

el denominador. Explican la estrategia utilizada.

! Observaciones al docente: Para esta actividad, se puede discutir con los

estudiantes respecto del sentido de este tipo de ejercicios relacionados con

la racionalizacin de expresiones. En este caso, importa analizar el tipo de

estrategia usada; por ejemplo, la amplificacin de la fraccin por un trmino

conveniente y el uso de propiedades de las races.

2Determinan la aceleracin de gravedad del lugar donde se encuentra un

pndulo simple, si su longitud es 37,1 cm. y oscila con una frecuencia de

0,8190 Hz. (Fsica)

! Observaciones al docente: Las ecuaciones que permiten describir el movi-miento de un pndulo simple son las siguientes:

(1) f=1

Ty (2) T = 2

Lg

dondefes frecuencia, T es el perodo, Lsu longitud yg la aceleracin degravedad.

En el aspecto interdisciplinario, se sugiere conectar esta actividad con la

asignatura de Fsica, especficamente con Fuerza y movimiento.

! Observaciones al docente: Tanto para el clculo de logaritmos comopara la verificacin de sus propiedades, es fundamental que los estudiantes

comprendan su significado a travs de su relacin con las potencias. Deben

entender que, al buscar el valor de un logaritmo, lo que buscan es el valor de

un exponente.


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3Determinan la intensidad sonora, en decibeles, del sonido que un

transente percibe en la esquina de una calle transitada (considerar estocomo 10-4 W/m2). (Fsica)

! Observaciones al docente: El nivel de intensidad sonora en decibeles (dB)

est dado por la expresin = 10 logI

I0

El umbral de sensibilidad, I0 , se usa como valor de referencia para definir eldecibel (dB)

El valor de este umbral es: I0= 10-12 W/m2

En el aspecto interdisciplinario, se sugiere conectar esta actividad con la asig-

natura de Fsica, especficamente con La materia y sus transformaciones.

4Determinan la cantidad de aos que se requiere tener depositada una

cantidad de dinero a un inters anual dado bajo el rgimen de inters

compuesto, para que rindan un determinado capital.


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Eemp eEvauacinEemp eEvauacin

AE 08

Utilizar relaciones entre

las potencias y races para

demostrar propiedades de

las races.

indiCadores de evaluaCin sugeridos

Reconocen la relacin que existe entre las races y las

potencias de exponente racional.

Utilizan la relacin que existe entre las races y las poten-

cias para demostrar quen

a n

b =n

ab

aCtividadA continuacin se presenta una expresin fraccionaria donde intervienen races. Se pide al

estudiante que realice las siguientes actividades:

1 transformar la expresin

3 33 3

en una expresin de la forma 3n

3

2 calcular el valor den

729

Criterios de evaluaCin

Se sugiere considerar los siguientes aspectos:

1 transforman races a potencias.

2 amplifican por la potencia adecuada.

Si utilizan propiedades de races:

1 amplifican por la raz adecuada.

2 expresan correctamente la expresin que resulta del proceso de racionalizacin.

3 calculan correctamente la raz pedida.

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2° medio - matemáticas - 2011.2