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2. Métodos de Elementos Finitos

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Introduccion a los elementos finitos

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Mtodos Numricos y Programacin

ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOSIng. William Venegas, MSc.ESCUELA POLITECNICA NACIONALMTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS2014

Una estructura esta en equilibrio bajo la accin de un sistema de fuerzas exteriores, si al imponer a la misma unos desplazamientos arbitrarios (virtuales), compatibles con las condiciones en los apoyos, el trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales, es igual al trabajo realizado por las tensiones en la barra sobre las deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales.El PTV es condicin suficiente y necesaria para el equilibrio de toda la estructura o cualquiera de sus partes.ANALISIS MATRICIAL DE UNA BARRA

Principios de los Trabajos Virtuales (PTV)Se denomina movimiento virtual en una estructura a todo movimiento (desplazamiento o giro) considerado en ella que sea compatible con las restricciones cinemticas de la estructura. Por ser compatible se entiende que:(a) es continuo, es decir, produce deformaciones (elongaciones, distorsiones, curvaturas y giros especficos de torsin) acotadas.(b) satisface las condiciones de apoyo y(c) no modifica el estado real de reacciones, es decir, los movimientos virtuales son pequeos.Mientras la teora de MEF puede ser presentada en perspectivas diferentes, su desarrollo para el anlisis estructural sigue el enfoque ms tradicional va el principio de trabajo virtual o el principio de energa potencial total mnimo. El enfoque de principio de trabajo virtual es ms general ya que es aplicable tanto a comportamientos materiales lineales como a no lineales. Trabajo y Energa- Segundo Teorema de CastiglianosLa energa de deformacin en el slido no puede ser distribuida uniformemente en todas partes del slido. Introducimos el concepto de la densidad de energa de deformacin, que es la energa de deformacin por unidad de volumen (Uo). Entonces la energa de deformacin en el cuerpo puede ser obtenida por la integracin como sigue:

Donde la integracin es realizada sobre el volumen V del slido. En el caso de estado de esfuerzo uniaxial, la densidad de energa de deformacin es igual al rea bajo la curva de esfuerzo versus deformacin.

,Trabajo interno

Potencial Total de energaPotencial total o Trabajo conservativo

00

Potencial de cargas puntualesConsidere el trabajo externo por la accin de cargas puntuales externas, mientras que las cargas distribuidas por longitud y superficie son no existen.ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)

, desplazamientos virtuales

, volumen de la barra

, deformacin virtual

, constantes

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES (PTV)Los trminos que multiplican a cada desplazamiento virtual en los dos trminos son iguales.

Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones definidas en el Anlisis Matricial de barras.

8ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE ENERGAPotencial total o Trabajo conservativo

Trabajo interno

Energa de deformacinOtra consideracin para demostrar el anlisis matricial en barras.Primera ley de la termodinmica.

0

9ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA POR EL PRINCIPIO DE ENERGA

Estas ecuaciones coinciden con las ecuaciones definidas en el Anlisis Matricial de barras.Derivadas parciales para

para la condicin del trabajo conservativo10 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALSe decide utilizar funciones de interpolacin polinmicas definidas localmente para

n: es el nmero de puntos del elemento donde se supone conocido el desplazamiento.

Constantes que dependen nicamente de los desplazamientos u(x) en los nodos.En la practica conviene escribir la ecuacin como:

Valor del desplazamiento en el nodo i

Funcin de forma del nodo i, vale 1 en el nodo i y 0 en el resto de nodos

11 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALFuncin de base con soporte local

La funcin

posee la propiedad kronecker-delta, Lo cual facilita la imposicin de las condiciones de contorno esenciales (Diriechlet)

Con la expresin aproximada de u(x) y el PVT, se llega a obtener las ecuaciones algebraicas de equilibrio.

12 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALLa solucin de esta ecuacin proporciona los desplazamientos nodales y luego se puede encontrar la deformacin y esfuerzos

Matriz de rigidez de la malla de elementos finitos

Campo vectorial de desplazamientos

Campo vectorial de fuerzas en los nodosForma dbil

Funcin exactaFunciones de forma

13 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Derivadas de las funciones de forma

Por ser las funciones de forma lineales, la deformacin es constante sobre el elementoAplicando el PVT para el elemento

El desplazamiento virtual

, puede interpolarse en funcin de losdesplazamientos virtuales de los nodos

14 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALReemplazando en

Agrupamos trminos por las coordenadas generalizadas

15 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

Agrupamos trminos por las coordenadas generalizadas

Los desplazamientos virtuales son arbitrarios, para cualquier valor de , los valores de los corchetes deben ser nulos.

16 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUALDel sistema anterior se deduce los valores de y en forma matricial

De la ecuacin matricial anterior puede escribirse en forma simplificada

Matriz de rigidezCampo vectorial por cargas distribuidas17