2.

MODELO MATEMÁTICO

O modelo matemático se concentra em definir a forma de modelagem para

simular o ciclo Rankine orgânico em completa interação com sua fonte de

energia, no caso, um sistema de coletores concentradores solares parabólicos. Já

na análise, se começará estudando este sistema de coletores e posteriormente o

ciclo Rankine orgânico. Na parte final, será incluído um sistema de

armazenamento térmico compatível com estes dois circuitos em conjunto.

Figura 2.1 – Ciclo Rankine orgânico com coletores concentradores solares

2.1

CIRCUITO DE COLETORES CONCENTRADORES SOLARES PARABÓLICOS

Este circuito é aquele por onde vai circular o chamada fluido térmico (HTF).

Este fluido deverá passar pelos coletores solares para ser dirigido depois para o

gerador de vapor, onde cederá calor para o fluido orgânico do ciclo Rankine. Da

saída do gerador, o fluido térmico volta para os coletores solares. Normalmente

este circuito trabalha à pressão atmosférica ou pressões próximas. Devido a

perdas de carga nos coletores, no gerador de vapor e outras tubulações é

necessário uma bomba responsável pela circulação.

71

2.1.1

Processos no circuito de coletores concentradores solares parabólicos

Como se observa na figura 2.2, o fluido térmico experimenta os seguintes

processos:

c – a: Aquecimento no conjunto de coletores concentradores solares parabólicos

a – b: Entrega de calor ao fluido orgânico do ciclo Rankine a través do gerador de

vapor (trocador de calor)

b - c: Elevação da pressão para compensar a perda de carga no circuito

Estes três estados termodinâmicos (a, b e c) estarão sempre na fase líquida

e podem ser resumidos da seguinte maneira:

Tabela 2.1 – Estados termodinâmicos no circuito de coletores

Descrição Dados conhecidos ou

assumidos Dados a calcular

a Saída dos coletores / Entrada

ao gerador de vapor

Ta: temperatura máxima nos coletores

Pa: pressão atmosférica

b Saída do gerador de vapor /

Entrada à bomba de circulação

Tb: em função da troca de calor no gerador de vapor

Pb = Pa – ΔPa-b

c Saída da bomba de

circulação / Entrada aos coletores

Tc = Tb Pc = Pa + ΔPc-a

Figura 2.2 – Circuito de coletores concentradores solares parabólicos

72

2.1.2

Condições de análise do circuito de coletores concentradores solares

parabólicos

Como resulta notório este circuito tem dois elementos principais para sua

análise: os coletores solares e o gerador de vapor. Este último elemento será

analisado na seção 2.2, já que está ligado com maior importância ao ciclo

Rankine orgânico e constitui a interação entre os dois circuitos. Assim, a análise

nesta seção estará centrada no comportamento do coletor concentrador solar

parabólico de forma individual, para posteriormente somar o efeito combinado

do conjunto de coletores. As seguintes condições são assumidas como

verdadeiras para modelar o coletor descrito e seu fluxo:

O sistema coletor concentrador solar parabólico se encontra trabalhando

em regime permanente.

As variações nas energias cinética e potencial são desprezíveis para o fluido

térmico.

Os gradientes de temperatura nos diferentes componentes do sistema

coletor concentrador solar são desprezíveis com exceção do fluido térmico

(HTF).

Do coletor concentrador solar parabólico é necessário analisar

energeticamente tanto o tubo absorvedor como a cobertura. Para o refletor, é

importante conhecer a radiação solar incide nele e que porcentagem desta é

concentrada no receptor (absorvedor + cobertura).

2.1.3

Cálculo dos ângulos solares

Ângulo de declinação

(2.1)

Onde n é o número de dia do ano

Ângulo horário

(2.2)

73

Onde t é a hora do dia (formato 24 horas)

Ângulo de incidência

É o ângulo mais importante na interação da radiação solar na superfície

incidente. A fórmula principal em relação aos outros ângulos solares é:

(2.3a)

Também existe a fórmula alternativa:

θ θ θ γ γ (2.3b)

Ângulo de Zenith

O ângulo de Zenith, como já foi descrito, resulta no ângulo de incidência no

plano horizontal, então e a fórmula resulta:

(2.4)

Ângulo de azimute solar

Para calcular o ângulo de azimute solar ( ) é necessário um ângulo

artificial ( ), em função de Este ângulo deve estar entre -90° e 90°,

portanto estará no quadrante sul - oeste ou sul – leste:

(2.5)

O verdadeiro ângulo de azimute solar vem de corigir este ângulo artificial

com três fatores: :

(2.6)

O primeiro fator compara o ângulo horário ( ) com outro ângulo ( )

que compara a declinação solar com a latitude, como se mostra:

(2.7)

(2.8)

Em caso que

> 1, não poderia ser calculado, neste caso = 1.

Os outros dois fatores também dependem dos valores tomados pelos

outros ângulos solares e são:

74

(2.9)

(2.10)

2.1.4

Análise do refletor

O objetivo do refletor é levar uma energia ao receptor definida pelo

produto do fluxo de radiação incidente resultante ( ) pela área de abertura do

coletor ( ):

(2.11)

Com a medição meteorológica no tempo da radiação que incide na posição

geográfica do coletor é possível determinar esta radiação resultante. Um

procedimento aconselhado é o descrito nos seguintes parágrafos.

O fluxo de radiação numa superfície horizontal extraterrestre (fora da

atmosfera) pode ser calculado dependendo de certos ângulos solares e do dia do

ano correspondente:

(2.12a)

(2.12b)

Onde:

G0: fluxo de radiação numa superfície horizontal extraterrestre

Gsc: constante de radiação solar

A partir da integração do fluxo de radiação na superfície horizontal

extraterrestre em função do tempo, é possível determinar a energia

extraterrestre que chegou nesse período de tempo (I0). Como os dados

registrados pelos institutos de meteorologia são geralmente por cada hora é

melhor integrar no lapso de uma hora determinada para efeitos de comparar

como superfícies horizontais reais:

75

(2.13)

Onde os ângulos δ , ademais do número de dia (n) já seriam conhecidos

e o ângulo ω variaria com o intervalo de uma hora selecionada, sendo:

t1: tempo (hora) inicial

t2: tempo (hora) final

Para efetuar a integração é necessário expressar o ângulo horário como

uma função do tempo. Definido em radianos para t horas resulta:

(2.14)

Então a energia incidente horária pode ser definida da seguinte forma:

(2.15)

Integrando resulta em:

(2.16)

Dando como resultado a seguinte expressão:

(2.17)

Depois de determinar a energia incidente na superfície horizontal

extraterrestre num determinado dia, hora e posição geográfica é necessário

compará-la com a energia que realmente incidiu na superfície terrestre

considerada ( ). O quociente entre ambas energias é o índice de clareza (kT):

(2.18)

A partir de conhecer este índice de clareza é possível determinar a relação

entre a energia incidente difusa (Id) e a energia incidente total (I), no plano

horizontal. Para isto existem vários modelos como, o de Orgil and Hollands [1]:

76

(2.19)

Ou o modelo de Erbs et al. que apresenta os mesmos resultados:

(2.20)

Uma vez conhecidas a energia total incidente ( ) e a difusa ( ) é fácil

determinar a direta ( ) na superfície horizontal:

(2.21)

Ao dividir esta energia direta para o período de tempo estudado, se obtém

aproximadamente um fluxo de radiação direta real na superfície horizontal (Gb):

(2.22)

A razão de radiação direta entre uma superfície inclinada e uma superfície

horizontal, permite o cálculo do fluxo de radiação real (Ga) para o coletor:

(1.23)

Onde:

: fluxo de radiação direta numa superfície inclinada

: fluxo de radiação direta numa superfície horizontal

E os ângulos θ e θ são determinados a partir do ângulo de inclinação do plano

de abertura do coletor.

Finalmente este fluxo de radiação real no coletor tem que ser multiplicado

pela eficiência óptica do refletor para se encontrar o fluxo de radiação incidente

no conjunto receptor (Gs):

(2.24)

2.1.5

Balanço de energia na cobertura

A cobertura do coletor concentrador solar, como detalhada no capítulo 1,

facilita a entrada da energia solar, mas, dificulta a ocorrência de perdas térmicas.

Mesmo assim, os fluxos de calor por radiação e convecção com o exterior são

77

inevitáveis. A continuação os fluxos de calor presentes na cobertura e os

principais parâmetros para seu cálculo:

Figura 2.3 - Cobertura

Fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e a cobertura:

Dado que o absorvedor estará a uma maior temperatura que a cobertura,

o fluxo de calor se dá na direção do absorvedor à cobertura. Sua fórmula é:

(2.25)

Onde:

: constante de Steffan-Boltzmann

: emissividade do tubo absorvedor

Aa: área da superfície exterior do tubo absorvedor

: temperatura do tubo absorvedor

: emissividade da cobertura

: área da superfície interior da cobertura

: temperatura da superfície interior da cobertura

Fluxo de calor por convecção trocado entre a superfície externa da

cobertura e o ar ambiente: Este fluxo vai na direção da cobertura ao ar,

dada que a cobertura estará normalmente mais quente que o ar externo:

(2.26)

Onde:

: coeficiente de transferência de calor por convecção entre a cobertura e o ar

: área da superfície externa da cobertura

: temperatura da superfície interna da cobertura

: temperatura do ar ambiental

78

Fluxo de calor por radiação trocado entre a cobertura e as vizinhanças

(considerado o céu): Dado que o céu está a uma temperatura muito baixa,

o fluxo vai da cobertura em direção ao céu. Então pode ser expresso como:

(2.27)

Onde:

: emissividade da cobertura

Tsky: temperatura do céu

Fluxo de calor por radiação fornecido pelo sol na cobertura: Embora o

objetivo do coletor seja destinar a maior quantidade de energia solar ao

absorvedor, uma parte desta energia é absorvida pela cobertura. Esta

fração de energia depende do material da cobertura e deve ser a menor

possível para permitir um melhor aproveitamento. Então:

(2.28) Onde:

: energia solar incidente no conjunto cobertura - absorvedor

: absortância da cobertura

O somatório dos diferentes fluxos de calor incidentes sobre a cobertura,

resulta no seguinte balanço de energia:

(2.29)

2.1.5.1

Condução térmica na cobertura

No presente modelo vai-se considerar uma queda de temperatura entre as

superfícies externa e interna da cobertura, por efeito da condução térmica.

Como o material da cobertura é geralmente vidro, e este material não é um bom

condutor de calor, existirá uma diferença nas temperaturas mencionadas.

Para encontrar esta diferença, é preciso determinar o fluxo de calor por

condução na cobertura. Então, para isto, dividi-se a cobertura em um setor

interior e um setor exterior. Assume-se que o setor interior está à temperatura

e o setor exterior está à temperatura . Ademais é possível fazer a

79

simplificação de que o setor interior só experimenta o fluxo de radiação que vem

do tubo absorvedor. Isto porque o sol incidente, a convecção com o ar e a

radiação em direção às vizinhanças são fenômenos da superfície externa.

Agora efetuando um balanço de energia no setor interno da cobertura:

(2.30)

A equação que relaciona as temperaturas das superfícies interna e externa

da cobertura é a equação de condução entre ambas superfícies:

(2.31)

Onde é a condutividade térmica do material da cobertura em função

das temperaturas:

(2.32)

Figura 2.4 – Balanço de energia no setor interno da cobertura

2.1.5.2

Determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção entre o ar

ambiental e a cobertura,

Um fator importante para analisar as perdas de calor ao exterior do

sistema é determinar o coeficiente de filme entre a superfície exterior da

cobertura e o ar ambiente circundante. Dependendo do valor do coeficiente,

estas perdas podem influir no comportamento do sistema.

Para o cálculo deste coeficiente é necessário conhecer determinadas

propriedades termodinâmicas do fluido, neste caso o ar, mas em função da

chamada temperatura de película, a temperatura média entre as temperaturas

do ar e da superfície externa da cobertura:

80

(2.33)

Desta maneira, se obtém a viscosidade cinemática ( ), o calor específico a

pressão constante ( ), a condutividade térmica (kp), a massa específica ( ) e a

viscosidade dinâmica ( ):

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)

A continuação é preciso determinar dois parâmetros adimensionais: o

número de Reynolds e o número de Prandtl. O número de Reynolds para o fluxo

externo de ar em volta do tubo de vidro é função do diâmetro externo da

cobertura (De), velocidade do vento ( ) e viscosidade dinâmica do ar:

(2.39)

O número de Prandtl para o ar nas condições especificadas resulta em:

(2.40)

Depois, o número de Nusselt médio vai ser calculado em função dos

números de Reynolds e Prandtl com a correlação empírica de Hilpert [18]:

(2.41)

Onde as constantes C e m dependem do número de Reynolds e estão

enumeradas na tabela abaixo:

Tabela 2.2 – Constantes para o cálculo de Nusselt para fluxo externo [18]

C m

0,4-4 0,989 0,330

4-40 0,911 0,385

40-4000 0,683 0,466

4000-40000 0,193 0,618

40000-400000 0,027 0,805

81

Determinando o número de Nusselt, o coeficiente de transferência de calor

por convecção entre a superfície externa da cobertura e o ar externo resulta:

(2.42)

2.1.6

Balanço de energia no tubo absorvedor

O tubo absorvedor, como seu nome indica, tem que absorver a maior

quantidade de energia solar e transmiti-la na maior proporção possível para o

fluido térmico (HTF) circulante no interior. Tal qual a cobertura, aqui também as

perdas térmicas por convecção, radiação e condução são inevitáveis, tentando-

se mantê-las em valores baixos. Os fluxos de calor que chegam ou saem do tubo

absorvedor são:

Figura 2.5 – Tubo absorvedor

Fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e a cobertura:

Este fluxo vem já dado pela equação vista na seção anterior. Repetindo:

(2.43)

Fluxo de calor por condução trocado entre o tubo absorvedor e seu

suporte: Este fluxo é transmitido do absorvedor através da estrutura

suporte, a qual incrementa este fluxo em função da sua própria convecção

com o ar externo. Um modelo apropriado é o seguinte [19]:

(2.44)

Onde:

hb: coeficiente de transferência de calor por convecção entre o suporte o ar

Pb: perímetro do suporte

82

kb: condutividade térmica do material do suporte

Ab: área transversal mínima das abas do suporte

Tb: temperatura da base do suporte

: temperatura do ar

Fluxo de calor por radiação trocado entre o tubo absorvedor e as

vizinhanças (o céu): Novamente este fluxo vai do tubo absorvedor em

direção ao céu que está evidentemente mais frio:

(2.45)

Fluxo de calor por radiação fornecido pelo sol o tubo absorvedor: Da

radiação incidente no conjunto cobertura – absorvedor, uma pequena

parte, como já foi visto na seção anterior, é absorvida pela cobertura. Da

energia restante, a maior parte terá que ser absorvida pelo absorvedor

para ser eficiente. Isto pode ser expresso da seguinte maneira:

(2.46) Onde:

: transmissividade da cobertura

: absortância do tubo absorvedor

Fluxo de calor por convecção trocado entre a superfície interna do tubo

absorvedor e o fluido térmico: Finalmente, a partir da energia absorvida

neste tubo, deverá acontecer uma convecção para aquecer o fluido

térmico (HTF) e fornecer energia ao ciclo Rankine orgânico. Esta convecção

está dada por:

(2.47) Onde:

: coeficiente de transferência de calor por convecção entre o tubo absorvedor

e o fluido térmico

: temperatura do fluido térmico

Analisados os diferentes fluxos de calor incidentes no tubo absorvedor é

possível estabelecer o seguinte balanço energético:

(2.48)

83

2.1.6.1

Determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção entre o

tubo absorvedor e o fluido térmico (HTF),

A quantificação da energia que é transmitida do tubo absorvedor até o

fluido térmico vai depender deste coeficiente de convecção para este fluxo

interno conhecido. É desejado que este coeficiente seja suficientemente alto

para garantir a maior quantidade de ganho de calor no fluido. O procedimento

para o cálculo deste coeficiente é o seguinte:

Calcula-se a temperatura de película do HTF, a temperatura média entre a

temperatura média do HTF e da superfície interna do tubo absorvedor:

(2.49)

Onde a temperatura média do HTF depende das temperaturas de entrada

( ) e saída ( ), isto tem que ser realizado para cada coletor individualmente:

(2.50)

Com a temperatura de película do HTF, calculam-se as propriedades

termodinâmicas de viscosidade cinemática ( ), calor específico a pressão

constante ( ) e condutividade térmica ( ):

(2.51)

(2.52)

(2.53)

O número de Reynolds para o fluxo interno de fluido térmico, neste caso é

função da geometria, vazão mássica e viscosidade do fluido:

(2.54)

O número de Prandtl para o fluido térmico nas condições termodinâmicas

deste resulta:

(2.55)

84

O número de Nusselt é calculado em função de se o fluido é laminar ou

turbulento com as seguintes fórmulas [18]:

(2.56)

A partir da determinação do número de Nusselt, obtém-se o coeficiente de

transferência de calor por convecção entre a superfície interna do tubo

absorvedor e o fluido térmico:

(2.57)

2.1.7

Influência das propriedades radiativas dos materiais

Cobertura

Para a cobertura geralmente é empregado como material o vidro, podendo

ser este de diversas características. O importante é que este vidro tenha elevada

transmitância e reduzida absortância e emissividade. Ademais deve ser

resistente aos esforços exercidos pelo ambiente e durável.

As emissividades superficiais tanto da superfície interna como da externa,

são funções das temperaturas das respectivas superfícies:

(2.58)

(2.59)

A transmitância e a absortância do vidro serão avaliadas considerando a

média das duas temperaturas superficiais. Estas temperaturas serão similares já

que não existirá uma grande queda de temperatura no vidro. Assim:

(2.60)

(2.61)

Tubo absorvedor

Este tubo, metálico e com uma superfície seletiva, permite alcançar uma

elevada absortância e uma menor emissividade que materiais convencionais. É

importante que o tubo não sofra corrosão em contato com o fluido térmico.

85

A emissividade superficial e a absortância do tubo absorvedor são funções

da temperatura do tubo que é assumida constante para todo o tubo, dada a alta

condutividade térmica deste tipo de material. Assim estas duas propriedades se

expressam assim:

(2.62)

(2.63)

2.1.8

Considerações geométricas

No balanço energético, os fluxos de calor, tanto na cobertura como no

tubo absorvedor, são proporcionais a determinadas áreas superficiais,

dependendo do tipo de troca de calor (radiação, convecção ou condução). A

continuação, a definição das áreas mais importantes:

Área de abertura: Está dada em função do comprimento e largura do

coletor solar:

Acol = a . L (2.64) Onde:

a: largura do coletor solar

L: comprimento do coletor solar

Área superficial externa da cobertura: É a área que está orientada para as

vizinhanças e dada pela seguinte equação:

(2.65) Onde:

De: diâmetro externo do tubo de vidro

Área superficial interna da cobertura: Dada de maneira análoga à anterior:

(2.66) Onde:

Di: diâmetro interno do tubo de vidro

Área superficial do tubo absorvedor: Dado que este tubo absorvedor é de

pequena espessura, é possível considerar uma só área superficial,

86

utilizando o diâmetro nominal do tubo. A queda de temperatura por

condução entre as superfícies interna e externa é desprezível:

(2.67) Onde:

D: diâmetro externo do tubo absorvedor

2.1.9

Análise alternativa por resistências térmicas

Os fluxos de calor presentes ao analisar o balanço energético dos principais

elementos dos coletores solares (tubo absorvedor e cobertura) podem se

comparar numa analogia às correntes elétricas. Efetivamente, o potencial do

fluxo de calor é dado pela diferença das temperaturas e haveria uma resistência

térmica que seria o quociente entre esta diferença de temperaturas e o fluxo de

calor.

Para exemplificar esta análise vamos considerar o fluxo de calor por

radiação trocado entre o tubo absorvedor e a cobertura:

(2.68)

A diferença de temperaturas corresponde à do absorvedor menos a da

superfície interna da cobertura ( ). Desta maneira, a resistência térmica

para este fluxo de calor seria:

(2.69)

Assim, é possível determinar as demais resistências térmicas para os

diferentes fluxos de calor entre os componentes. Para o sistema do coletor solar

o esquema de resistências térmicas se apresenta na seguinte gráfico:

87

Figura 2.6 – Resistências térmicas

2.1.10

Queda de pressão no fluxo do fluido térmico (HTF)

Durante seu trajeto pela tubulação dos coletores solares, o HTF

experimenta diferentes irreversibilidades, sendo a mais importante a queda de

pressão, dependendo do comprimento total do conjunto de coletores. Estas

quedas de pressão também determinam o real aproveitamento da energia solar

no aquecimento do fluido.

Primeiramente vamos determinar a área transversal do fluxo do HTF:

(2.70)

Depois é preciso tirar uma massa específica média ( ), a partir das

massas específicas das seções de entrada ( ) e saída ( ) na tubulação do HTF

para cada coletor:

(2.71)

(2.72)

(2.73)

Com a vazão mássica do HTF ( ), a massa específica média e área

transversal já é possível obter a velocidade média de fluxo do HTF ( ):

(2.74)

O fator de atrito na tubulação do HTF está dado pela condição (laminar ou

turbulenta) do fluxo interior, determinada pelo Reynolds [18]:

88

(2.75)

A diferença (queda) entre as pressões de entrada ( ) e de saída ( ) de

cada coletor solar está dada pela equação:

(2.76)

2.2

CIRCUITO DO CICLO RANKINE ORGÂNICO

Na geração de potência a partir de energia solar, o ciclo Rankine orgânico é

o sistema que aproveita esta energia, efetua uma série de processos e gera

energia mecânica que, depois, pode se aproveitar, por exemplo, como energia

elétrica. Por esta razão, é importante entender todas as etapas deste ciclo e

calculá-lo adequadamente, para predizer o comportamento final do sistema.

2.2.1

Definição dos processos e estados termodinâmicos do ciclo

No presente trabalho, o ciclo Rankine orgânico foi modelado como um

ciclo não ideal, considerando as principais irreversibilidades. Em base a esta

lógica foram considerados os seguintes processos termodinâmicos, entre os

estados detalhados a continuação:

1-2 Compressão (Elevação de pressão)

2-3 Pré-aquecimento no recuperador

3-4 Entrada de calor fornecido pelo fluido térmico (HTF) para geração de vapor

4-5 Expansão

5-6 Rejeito de calor no recuperador

6-1 Rejeito de calor no condensador

89

Figura 2.7 – Circuito do ciclo Rankine orgânico

Para uma maior compreensão dos processos termodinâmicos a serem

realizados pelo ciclo, se apresenta uma tabela com a descrição dos estados

termodinâmicos (do fluido de trabalho) envolvidos no ciclo. É importante

mencionar que os estados 7, 8 e 9 são estados intermédios do condensador (7) e

do gerador de vapor (8 e 9) que são analisados posteriormente:

Tabela 2.3 – Estados termodinâmicos do circuito do ciclo Rankine orgânico

# Descrição estado

Descrição Dados assumidos ou conhecidos

Dados a calcular (em função de)

1

Líquido saturado

Pressão baixa

Saída do condensador /

Entrada da bomba

: pressão baixa do ciclo

2

Líquido sub-resfriado

Pressão alta

Saída da bomba / Entrada do

recuperador - lado frio

: pressão alta do ciclo

: eficiência isentrópica da bomba

: a partir de e

3

Líquido sub-resfriado

Pressão alta Pré-aquecido

no recuperador

Saída do recuperador -

lado frio / Entrada do gerador de

vapor

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas no recuperador (fluido frio)

: determinado a partir de balanço energético no recuperador

90

4

Vapor superaquecido

Pressão alta

Saída do gerador de

vapor/Entrada do expansor

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas no gerador de vapor : temperatura máxima do ciclo

5

Vapor superaquecido

Pressão baixa

Saída do expansor / Entrada do

recuperador - lado quente

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas no condensador : eficiência isentrópica do expansor

: a partir de e

6

Vapor superaquecido

Pressão baixa

Resfriado no recuperador

Saída do recuperador - lado quente /

Entrada do condensador

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas no condensador

: determinado a partir de análise DTML no recuperador

7 Vapor saturado

Pressão baixa

Saída da zona superaquecida / Entrada na zona

saturada (ambas do

condensador)

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas na zona saturada do condensador

8

Líquido saturado

Pressão alta

Saída da zona sub-resfriada /

Entrada na zona saturada

(ambas do gerador de

vapor)

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas na zona sub-resfriada do gerador de vapor

9 Vapor saturado

Pressão alta

Saída da zona saturada /

Entrada na zona superaquecida

(ambas do gerador de

vapor)

: no caso ideal igual a , caso contrario considerar perdas na zona saturada do gerador de vapor

91

Figura 2.8 – Diagrama T-s do ciclo Rankine orgânico

2.2.2

Parámetros do ciclo

Os parâmetros gerais a serem calculados no ciclo, a partir das entalpias

específicas dos estados termodinâmicos são os seguintes:

Trabalho específico de saída (expansor)

(2.77)

Trabalho específico de entrada (bomba)

(2.78)

Trabalho específico útil do ciclo

(2.79)

Calor específico fornecido ao ciclo (gerador de vapor)

(2.80)

Calor específico rejeitado pelo ciclo (condensador)

(2.81)

Balanço geral de energia em estado estável

(2.82)

Rendimento termodinâmico do ciclo

(2.83)

Trabalho líquido do ciclo

(2.84)

92

2.2.3

Relações de pressões

O ciclo Rankine orgânico funciona idealmente entre dois valores de

pressões: uma pressão alta no gerador de vapor e uma pressão baixa no

condensador. A bomba pressuriza o fluido para a pressão alta, enquanto o

expansor reduz a pressão para gerar trabalho. No ciclo real, entre cada estado

termodinâmico existirá uma variação de pressão, produto das perdas de carga.

Estas perdas serão calculadas para cada componente. As seguintes são as

relações de pressões:

Δ (2.85)

Δ (2.86)

Δ (2.87)

Δ (2.88)

Δ (2.89)

(2.90)

(2.91)

2.2.4

Bomba

A bomba cumpre a importante tarefa de elevar a pressão do fluido de

trabalho para que este possa ser aquecido e vaporizado, elevando sua entalpia

específica. Uma bomba ideal elevaria a pressão com entropia constante, mas,

um mecanismo real o fará com um aumento na entropia.

Para determinar o desvio do comportamento ideal se tem a eficiência

isentrópica da bomba. Esta é a relação entre o trabalho efetuado pela bomba e o

trabalho que esta realizaria se a entropia do processo se mantivesse constante,

ou seja s1 = s2. Sua fórmula é:

(2.92)

Onde, e são as entalpias reais nos estados 1 e 2, e é a entalpia

isentrópica no estado 2, ou seja, caso a entropia permanecesse constante:

(2.93)

93

Então a entalpia real do estado 2 pode expressar-se assim:

(2.94)

2.2.5

Expansor

Sem dúvida o expansor é o aparelho mais importante no ciclo Rankine

porque é neste que a energia mecânica é gerada para usos posteriores.

Igualmente, num ciclo ideal, o processo acontece com entropia constante (s4 =

s5). Na prática, é necessário de novo definir uma eficiência isentrópica, agora do

expansor:

(2.95)

Onde, e são as entalpias reais nos estados 4 e 5, e é a entalpia

isentrópica no estado 5:

(2.96)

2.2.6

Recuperador

É um dispositivo que aproveita o calor do fluido térmico, ainda em estado

superaquecido remanente do expansor para pré-aquecer o fluido antes de entrar

no gerador de vapor. Este trocador de calor se mostra na figura 2.9:

Figura 2.9 – Esquema do recuperador

2.2.6.1

Balanço energético do recuperador

O calor trocado pelo fluido no recuperador é igual ao produto da vazão

mássica de fluido pela diferença de entalpias dos estados de entrada e saída no

recuperador, tanto no lado frio (processo 2-3), como no lado quente (processo 5-

94

6), já que no caso ideal não existe perdas de calor ao exterior no equipamento.

Para o lado frio (fluido a ser pré-aquecido) o fluxo de calor é:

(2.97)

Para o lado quente (fluido superaquecido que vem do expansor) o fluxo de

calor é:

(2.98)

Sendo iguais os fluxos de calor, então:

(2.99)

Resulta na seguinte relação:

(2.100)

2.2.6.2

Características geométricas do recuperador

O trocador de calor utilizado como recuperador tem que ter uma grande

área de troca, devido a que o lado quente deste equipamento vai receber um

fluido gasoso. Em geral, os fluidos gasosos têm baixos coeficientes de

transferência de calor por convecção, requerendo longas tubulações no caso de

trocadores de casco e tubos convencionais. Por este motivo, é melhor a

utilização de trocadores compactos, os quais têm maiores áreas de troca em

volumes menores. No caso, considerou-se um trocador de calor de tubos e

placas transversais a os tubos, similar ao que está na figura seguinte:

Figura 2.10 – Trocador de tubo e placas [20]

95

Figura 2.11 – Medidas de um trocador de tubo e placas

d0: diâmetro exterior do tubo

di: diâmetro interior do tubo

a: distância entre placas

e: espessura da placa

p: distância entre tubos da mesma coluna do arranjo

s: distância entre colunas de tubos

Dh: diâmetro hidráulico do fluxo externo

α: razão entre a área de transferência de calor e volume total

Aa / Ar: razão entre a área de aletas e área total de troca de calor

O uso de uma placa continua neste trocador de calor poderia ser visto

como equivalente a uma aleta anular retangular de dimensões s e p, associada a

o tubo respectivo de diâmetro exterior d0.

A razão entre as áreas de troca de calor fria e quente (Ai / Ar) pode ser

determinada facilmente calculando uma área de troca de calor associada a uma

aleta individual e seu segmento de tubo correspondente tanto para o lado

quente ( ) e para o lado frio (

):

(2.101)

(2.102)

Assim, a razão é igual à razão

, então:

(2.103)

96

O volume total do trocador (V) pode ser calculado conhecendo a área de

troca de calor (Ar) e o parâmetro α:

(2.104)

Assumindo que os tubos do trocador fazem só um passo, e já conhecido o

volume, é possível estabelecer a seguinte relação:

V = s . p . L23 . Ntr (2.105)

Onde é o comprimento de cada tubo e o número de tubos de um

só passo. Isto quer dizer que com um volume definido é possível determinar o

comprimentos dos tubos, mas, em relação ao número dos mesmos. Como se vê:

(2.106)

Outro cálculo importante é o cálculo da área frontal ao fluxo através das

placas. Para isto, vamos considerar o trocador como um paralelepípedo de altura

e cara quadrada de lado b. Assim o volume é:

(2.107)

Neste caso a área frontal seria:

(2.108)

Substituindo b, a área frontal fica em função de V e :

(2.109)

Com a área frontal ao fluxo a través das placas se determina a área de fluxo

livre a través das placas da seguinte maneira:

(2.110)

O problema de ter uma aleta anular retangular é a dificuldade no cálculo

da eficiência da aleta. Este problema pode ser superado se é considerada uma

aleta anular circular com superfície equivalente à aleta original [21]. Assim, o

diâmetro interno das duas aletas seria igual e a área teria o mesmo valor. Vamos

chamar r1 e r2 a os rádios interior e exterior, respectivamente, da nova aleta

equivalente.

97

Figura 2.12 – Relação entre aleta quadrada e aleta redonda

Se as áreas das duas aletas são iguais e 2r1 = d0, então é possível calcular r2:

(2.111)

(2.112)

Com r2 e r1, já é possível calcular os outros parâmetros da aleta, como o

perímetro (P), a área convectiva ( ) e o comprimento corrigido ( ) da aleta:

(2.113)

(2.114)

(2.115)

O fator m para o cálculo da eficiência da aleta é:

(2.116)

Onde é o coeficiente de convecção e , a condutividade térmica.

A eficiência da aleta é:

(2.117)

A eficiência de troca de calor da superfície do lado quente está dada por:

(2.118)

2.2.6.3

Análise do fluxo na tubulação do recuperador

Devido a que o fluxo que passa pela tubulação do condensador entra em

um estado termodinâmico e sai em outro diferente, é melhor encontrar as

propriedades termodinâmicas médias do fluido a partir das propriedades

conhecidas na entrada e na saída. Assim:

98

(2.119)

(2.120)

(2.121)

(2.122)

A área transversal dos tubos em função do diâmetro interior (di) é:

(2.123)

A velocidade média depende da vazão mássica por cada tubo. No presente

modelo consideram-se dois passos por tubos, ou seja, entrada por um tubo e

saída por outro, então a vazão mássica por cada tubo (2 ), ademais da

massa específica ( ) e a área transversal ( ) determinam esta velocidade:

(2.124)

Também são calculados os números adimensionais de Reynolds ( ) e

Prandtl ( ) que serão usados nos cálculos seguintes:

(2.125)

(2.126)

Outro número adimensional, o de Nusselt, é calculado em base aos

números de Reynolds e Prandtl, para o fluxo interno, tomando em conta se o

fluxo é laminar ou turbulento com o critério do Reynolds:

(2.127)

Para determinar a queda de pressão na tubulação, é necessário determinar

antes o fator de atrito ( ) em função do número de Reynolds:

(2.128)

99

A queda de pressão nos tubos do recuperador, então é

determinada por:

(2.129)

Finalmente, o coeficiente de transferência de calor por convecção

entre o fluido e a parede interior dos tubos do recuperador está dado por:

(2.130)

2.2.6.4

Análise do fluxo pelas placas do recuperador

As propriedades termodinâmicas médias do fluido são consideradas em

função dos estados de entrada e saída deste escoamento:

(2.131)

(2.132)

(2.133)

(2.134)

Para este fluxo é considerada uma velocidade da massa (Gr) em função da

vazão mássica ( ) e os parâmetros geométricos e Afr [18]:

(2.135)

Os números de Reynolds e Prandtl para o fluxo são calculados:

(2.136)

(2.137)

Com o número de Reynolds é possível obter o fator j de Colburn ( ).

Este fator é função do tipo de trocador compacto, e para o caso do trocador de

tubos e placas continuas tem a seguinte forma:

100

(2.138)

Onde m e n são parâmetros que dependem da configuração do trocador.

Outro parâmetro adimensional a calcular é número de Stanton ( ) em

função de e :

(2.139)

O fator de atrito também está em função do número de Reynolds. A

equação tem uma forma similar à equação do fator j, onde q e r dependem do

trocador:

(2.140)

A queda de pressão no fluxo pelas placas do recuperador pode ser

calculada com uma expressão em função de parâmetros já nomeados e dos

volumes específicos de entrada ( ) e saída ( ) do fluido [18]:

(2.141)

O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido que

passa a través das placas e a superfície de troca de calor do lado quente é:

(2.142)

2.2.6.5

Área de troca de calor no recuperador

Para determinar a área de troca de calor no recuperador, adotou-se a

metodologia de NTU - ε (número de unidades de transferência – efetividade).

Para começar primeiramente, é necessário determinar o coeficiente global de

transferência de calor. Como a área de troca de calor não é igual no lado quente

e no lado frio, vamos tomar o coeficiente para o lado quente (fora dos tubos).

Este considera a eficiência da superfície quente ( ), os coeficientes de

convecção ( e ) e a relação das superfícies fria e quente ( ):

(2.143)

101

Agora, é necessário determinar qual é o calor máximo que poderia ser

trocado no recuperador. Este calor é igual ao produto da capacitância térmica

mínima pela diferença das temperaturas de entrada:

(2.144)

Comparando o calor real trocado com o calor máximo, é possível obter a

efetividade do trocador:

(2.145)

A capacitância térmica mínima se obtém comparando as duas

capacitâncias térmicas e escolhendo, obviamente, a menor. As capacitâncias são:

(2.146)

(2.147)

Também se precisa da relação das capacitâncias térmicas ( ):

(2.148)

A partir do conhecimento a efetividade e a relação das capacitâncias é

possível encontrar o número de unidades térmicas (NTU):

(2.149)

A área de troca de calor no lado quente do recuperador se calcula com

estes parâmetros calculados ( , e ):

(2.150)

2.2.7

Condensador

Para facilitar a análise do condensador, ele vai ser dividido em duas zonas

(método multizonas): uma parte que trabalha com o fluido superaquecido e

outra que trabalha com o fluido saturado. É o equivalente a trabalhar com dois

trocadores de calor em serie. No final dos cálculos a área de troca de calor

necessária será igual à soma das duas áreas calculadas nos dois casos:

102

(2.151)

(2.152)

Figura 2.13 – Esquema do condensador

2.2.7.1

Balanço energético do condensador

As temperaturas e estados nos pontos 6, 7 e 1 já estão definidos

termodinamicamente. Do fluido de resfriamento (água) pode-se assumir o

estado de entrada. Desta maneira, a partir desses dados é possível realizar o

balanço de energia e determinar a temperatura de saída do fluido:

(2.153)

(2.154) Onde é o calor específico a pressão constante da água

Também é preciso encontrar a temperatura intermediária (Tam) no fluido

de resfriamento. Para encontrá-la relaciona-se o fluxo de calor do fluido do ciclo

com o fluxo de calor da água na zona superaquecida, como segue:

(2.155)

(2.156)

Figura 2.14 – Esquema da zona superaquecida do condensador

Da mesma maneira, com o balanço de energia na zona saturada:

(2.157)

(2.158)

103

Figura 2.15 – Esquema da zona saturada do condensador

2.2.7.2

Características geométricas do condensador

O trocador de calor utilizado como condensador tem a mesma

configuração do recuperador, é um trocador compacto de tubos e placas. Na

seção 2.2.6.2 se explicou as principais características deste equipamento e as

variáveis calculadas a partir destas. Para o condensador se enuncia a

nomenclatura utilizada e as principais fórmulas:

: diâmetro exterior do tubo

: diâmetro interior do tubo

ac: distância entre placas

ec: espessura da placa

pc: distância entre tubos da mesma coluna do arranjo

sc: distância entre colunas de tubos

: diâmetro hidráulico do fluxo externo

αc: razão entre a área de transferência de calor e volume total

: razão entre a área de aletas e área total de troca de calor

Razão entre as áreas de troca de calor fria e quente ( )

(2.159)

Volume total do trocador ( ):

(2.160)

Comprimento de cada tubo do trocador ( ):

(2.161)

104

Área frontal ( ):

(2.162)

Área de fluxo livre ( ):

(2.163)

Raio r2:

(2.164)

Raio r1:

(2.165)

Perímetro da aleta ( ):

(2.166)

Área convectiva da aleta ( ):

(2.167)

Comprimento corrigido da aleta ( ):

(2.168)

Fator m para o cálculo da eficiência da aleta na zona superaquecida ( ):

(2.169)

Eficiência da aleta na zona superaquecida ( ):

(2.170)

Eficiência de troca de calor da superfície do lado quente na zona

superaquecida ( ):

(2.171)

Fator m para o cálculo da eficiência da aleta na zona saturada ( ):

(2.172)

105

Eficiência da aleta na zona saturada ( ):

(2.173)

Eficiência de troca de calor da superfície do lado quente na zona saturada

( ):

(2.174)

Para este fluxo é considerada uma velocidade da massa ( ) em função da

vazão mássica ( ) e os parâmetros geométricos e :

(2.175)

2.2.7.3

Análise do fluxo na tubulação do condensador

Pela tubulação do condensador vai circular água, a qual entrará a uma

temperatura determinada e ao ser aquecida sairá a uma temperatura maior.

Para encontrar as propriedades deste fluxo numa boa aproximação é preciso

obter uma temperatura média ( ) a partir da temperatura de entrada ( ) e de

saída ( ):

(2.176)

As propriedades termodinâmicas do fluido estão em função da

temperatura média ( ) e da pressão de trabalho ( ). Neste caso, pode se

considerar a pressão atmosférica (101,3 kPa). Assim as propriedades são:

(2.177)

(2.178)

(2.179)

(2.180)

A velocidade média da água que passa pela tubulação do condensador

depende da vazão mássica em cada tubo ( / ), onde é a vazão mássica

total e , o número de tubos, considerando-se um só passo por tubos:

(2.181)

106

São calculados os números adimensionais de Reynolds para o fluxo e de

Prandtl, para o fluido circulante:

(2.182)

(2.183)

O número de Nusselt, como já é conhecido, é calculado em função dos

números de Reynolds e Prandtl, tomando em conta se o fluxo é laminar ou

turbulento:

(2.184)

O fator de atrito do fluxo na tubulação em função do número de Reynolds:

(2.185)

Com o fator de atrito, é possível então determinar a queda de pressão nos

tubos do condensador:

(2.186)

Resulta assim o coeficiente de transferência de calor por convecção entre o

fluido de resfriamento e a parede interior dos tubos do condensador:

(2.187)

2.2.7.4

Análise do fluxo pelas placas na zona superaquecida do condensador

Novamente são calculadas as propriedades termodinâmicas médias a partir

das propriedades dos estados inicial e final considerado:

(2.188)

(2.189)

107

(2.190)

(2.191)

Os números de Reynolds e Prandtl para a presente situação são calculados:

(2.192)

(2.193)

O fator de atrito ( ) está em função do número de Reynolds, mas

depende também da configuração do trocador de calor. Tem a forma que está a

continuação, tomando em conta que m e n variaram segundo as características

geométricas do trocador:

(2.194)

Com o fator de atrito, considerando os volumes específicos de entrada ( )

e saída ( ) da zona considerada (superaquecida) é possível o cálculo da queda

de pressão na zona superaquecida:

(2.195)

A equação do fator j de Colburn ( ) tem uma forma parecida ao fator de

atrito, em função de Reynolds e com parâmetros x e y que dependem do

trocador. Encontrando-se , calcula-se o número de Stanton( ):

(2.196)

(2.197)

Para o cálculo do coeficiente de transferência de calor por convecção entre

o fluido que passa pelas placas e a superfície do lado quente, correspondente à

zona superaquecida do condensador, se emprega a seguinte fórmula:

(2.198)

108

2.2.7.5

Área de troca de calor na zona superaquecida do condensador

Analogamente, a análise para a determinação da área de troca de calor na

zona superaquecida do condensador leva o mesmo procedimento detalhado na

seção 2.2.6.5, já que o condensador e o recuperador são do mesmo tipo de

trocador compacto. A continuação as fórmulas aplicadas para a zona

superaquecida do condensador:

Coeficiente global de transferência de calor do lado quente:

(2.199)

Calor máximo que pode trocarse na zona superaquecida do condensador:

(2.200)

Efetividade do trocador na zona superaquecida do condensador:

(2.201)

Capacitâncias térmicas:

(2.202)

(2.203)

Relação das capacitâncias térmicas ( ):

(2.204)

Fórmula que relaciona e para encontrar o número de unidades de

transferência (NTU):

(2.205)

Área de troca de calor no lado quente do condensador para a zona

superaquecida:

(2.206)

109

2.2.7.6

Análise do fluxo pelas placas na zona saturada do condensador

Para analisar o fluxo de uma mistura saturada de fases líquida e gasosa é

fundamental considerar que, muitas vezes, as propriedades para líquido

saturado e vapor saturado têm valores bem diferentes entre si. Fazer uma média

aritmética simples, entre a propriedade na entrada e na saída nem sempre é

correto e requer uma justificativa adequada. Por exemplo, para a viscosidade

cinemática, uma opção é assumir a viscosidade na saturação como uma função

do título, assim:

(2.207) Onde os sub-índices v e L fazem referência à propriedade para vapor

saturado e líquido saturado respectivamente.

Neste caso, para o cálculo da viscosidade cinemática média seria

necessário integrar a equação da viscosidade em função do título e dividir pelo

intervalo do título (0 – 1) como se mostra:

(2.208)

Resulta finalmente que:

(2.209)

Por analogia com o cálculo da viscosidade, calcula-se a condutividade

térmica média do fluido saturado:

(2.210)

Com a mesma analogia, o número de Prandtl médio resulta a partir dos

números de Prandtl das fases líquida e gasosa, assim temos:

μ

(2.211)

μ

(2.212)

(2.213)

110

Número de Reynolds:

(2.214)

Fator de atrito:

(2.215)

Queda de pressão na zona saturada:

(2.216)

Fator j de Colburn:

(2.217)

Número de Stanton:

(2.218)

Coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido que

atravessa as placas e a superfície do lado quente, na zona saturada:

(2.219)

2.2.7.7

Área de troca de calor na zona saturada do condensador

Esta análise é igual à da seção 2.2.7.5, só que aplicada à zona saturada do

condensador. Para mais detalhes, verificar na seção 2.2.6.5, onde se explica

exatamente cada etapa do procedimento.

Coeficiente global de transferência de calor do lado quente:

(2.220)

Calor máximo que poderia ser trocado na zona saturada do condensador:

(2.221)

Efetividade do trocador na zona saturada do condensador:

111

(2.222)

Capacitâncias térmicas:

(2.223)

(2.224)

Relação das capacitâncias térmicas ( ):

(2.225)

Fórmula que relaciona e para encontrar o número de unidades de

transferência (NTU):

(2.226)

Área de troca de calor no lado quente do condensador para a zona

saturada:

(2.227)

2.2.8

Gerador de vapor

O gerador de vapor também será analisado pelo método de multizonas.

Este gerador pode ser considerado como a união de três trocadores em série: o

primeiro trabalha na zona sub-resfriada; o segundo, na zona saturada e o

terceiro, na zona superaquecida. Para dimensionar o gerador de vapor também

se precisa somar as áreas de troca de calor para encontrar a área total de troca

de calor:

(2.228)

Figura 2.16 – Esquema do gerador de vapor

112

2.2.8.1

Balanço energético do gerador de vapor

As temperaturas e estados 3 e 4 já foram definidos para o ciclo Rankine

orgânico, segundo os parâmetros adequados. A temperatura no estado a para o

HTF pode ser considerada como a mais alta que se consigue nos coletores solares

para este fluido. A partir daí é possível obter a temperatura de saída (Tb):

(2.229)

Considera-se que o Cp para o HTF, é função das temperaturas a e b. Em

alguns casos, para determinados HTFs, se especificam as entalpias em função das

temperaturas:

(2.230)

(2.231)

As temperaturas dos pontos 8 e 9 também são conhecidas, já que o ponto

8 se acha na linha de líquido saturado e o ponto 9 na linha de vapor saturado.

Mas, as temperaturas dos estados intermediários do HTF, nos pontos d e e,

precisam ser encontradas com os balanços energéticos para as diferentes zonas.

Para a zona sub-resfriada se tem:

(2.232)

(2.233)

(2.234)

(2.235)

Figura 2.17 – Esquema da zona sub-resfriada do gerador de vapor

Na zona saturada, o balanço de energia resulta em:

(2.236)

113

(2.237)

(2.238)

(2.239)

Figura 2.18 – Esquema da zona saturada do gerador de vapor

E na zona superaquecida, se tem que:

(2.240)

(2.241)

(2.242)

(2.243)

Figura 2.19 – Esquema da zona superaquecida do gerador de vapor

2.2.8.2

Características geométricas do gerador de vapor

O trocador de calor utilizado como gerador de vapor é do tipo casco e

tubos. O lado quente do trocador vai ser dentro da tubulação onde circulará o

fluido térmico (HTF). Este fluido aquecerá o lado frio, correspondente ao interior

do casco, onde circulará o fluido orgânico. O trocador de calor resulta adequado

já que dos dois fluidos utilizados, apenas um vai ter uma fase gasosa (fluido

orgânico), e esta fase só acontecerá no final do processo, numa seção

relativamente pequena com respeito ao volume total do trocador. A continuação

a representação e principais características deste tipo de trocador [22]:

114

Figura 2.20 – Medidas do trocador de calor de casco e tubos

Ds: diâmetro do casco

C: separação entre tubos (clearance)

B: espaçamento entre chicanas (baffle spacing)

PT: distância entre tubos (tube pitch)

d0: diâmetro exterior dos tubos

dg: diâmetro interior dos tubos

Nt: número de tubos

Np: número de passes no casco

Nb: número de chicanas

A separação entre tubos está definida assim:

C=Pr-do (2.244)

Define-se a chamada área de fluxo cruzado do lado do casco como:

(2.245)

Diâmetro equivalente para o lado do casco do gerador de vapor se calcula:

(2.246)

Comprimento de cada tubo do gerador de vapor:

(2.247)

A velocidade da massa

115

(2.248)

2.2.8.3

Análise do fluxo na tubulação do gerador de vapor

As propriedades do fluido térmico (HTF) vão ser calculadas utilizando uma

temperatura média, considerando as temperaturas de entrada ( ) e saída ( ):

(2.249)

Estas propriedades termodinâmicas do HTF são:

(2.250)

(2.251)

(2.252)

(2.253)

A área transversal de fluxo dentro dos tubos é dada por:

(2.254)

A velocidade média com que o HTF passa pela tubulação do gerador de

vapor depende da vazão mássica por cada tubo ( ), onde é a vazão

mássica total e , o número de tubos (considerando um só passo):

(2.255)

Os números de Reynolds para o fluxo interno na tubulação e de Prandtl

para o HTF nas condições especificadas são:

(2.256)

(2.257)

Com estes números de Reynolds e Prandtl é possível calcular o número de

Nusselt. Tomando sempre em consideração o critério de fluxo laminar ou

turbulento que o determina Reynolds:

(2.258)

116

O fator de atrito do fluxo também está em função do número de Reynolds

dependendo do tipo de fluxo: laminar ou turbulento:

(2.259)

A queda de pressão nos tubos do gerador de vapor está então dada por:

(2.260)

O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o HTF e a

parede interior dos tubos do gerador de vapor está expresso pela equação:

(2.261)

2.2.8.4

Análise do fluxo pelo casco do gerador de vapor na zona sub-resfriada

Encontram-se as propriedades termodinâmicas médias do fluido a partir

das propriedades do estado inicial e final na zona sub-resfriada:

(2.262)

(2.263)

(2.264)

(2.265)

O número de Reynolds e o número de Prandtl são calculadas a partir das

propriedades e variáveis geométricas:

(2.266)

(2.267)

Com o Reynolds é calculado o fator de atrito:

117

(2.268)

A queda de pressão na zona sub-resfriada do fluxo pelas placas do gerador

de vapor vem expressada pela seguinte expressão:

(2.269)

O coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido e a

superfície das placas na zona sub-resfriada do gerador de vapor:

(2.270)

2.2.8.5

Área de troca de calor na zona sub-resfriada do gerador de vapor

No caso do trocador de casco e tubos, a superfície de troca de calor do lado

frio é aproximadamente igual à do lado quente, já que a espessura da tubulação

é desprezível em comparação com outras medidas do trocador. Então, pode-se

aproximar um coeficiente global de transferência de calor na equação seguinte:

(2.271)

Para este trocador também é aplicada a análise DTML, pela qual se

definem as diferenças de temperatura nos pontos extremos do gerador de vapor

na zona sub-resfriada (considerada em contrafluxo):

(2.272)

(2.273)

A diferença de temperatura média logarítmica ( ) em contrafluxo é:

(2.274)

118

Como é para um trocador de tubos em contrafluxo é precisso

corrigi-la. Antes de encontrar um fator de correção, tem-se que achar a

efetividade de temperatura ( ) e a razão da taxa de capacidade calorífica ( ):

(2.275)

(2.276)

A partir dos dois parâmetros anteriores pode-se obter outros dois novos

parâmetros St1 e Wt1 que servirão para calcular o fator de correção ( ):

(2.277)

(2.278)

O fator de correção para a DTML está definido como [23]:

(2.279)

A área de troca de calor para a zona sub-resfriada do gerador de vapor é:

(2.280)

2.2.8.6

Análise do fluxo pelo casco do gerador de vapor na zona saturada

Como já foi mencionada na seção 2.2.7.6, na zona de saturação se tem

uma mistura líquido-gasosa que requer um cuidado especial na análise das

propriedades médias. Novamente no caso da viscosidade cinemática é adequado

assumir a viscosidade na saturação como uma função do título, assim:

(2.281) Onde os sub-índices v e L se referem a vapor saturado e líquido saturado.

Integra-se a equação da viscosidade em função do título e dividir pelo

intervalo do título (0 – 1):

119

(2.282)

Resulta finalmente que:

(2.283)

Para calcular a massa específica média, assume-se a condição de que o

volume total é a soma dos volumes das fases líquida e gasosa:

(2.284)

Sabe-se que o volume é igual a o produto da massa pelo volume específico:

(2.285)

Conhece-se que a massa total é a soma das massas líquida e gasosa:

(2.286)

Então:

(2.287)

Lembrando que a massa específica é o inverso do volume específico e

dividindo os termos para a massa total fica:

(2.288)

Finalmente a massa específica de uma mistura saturada em função do

título é:

(2.289)

Novamente, para calcular a massa específica média é necessário integrar a

massa específica em função do título e dividir pelo intervalo do título (0 – 1):

(2.290)

Analogamente com o cálculo da viscosidade, a condutividade média é:

(2.291)

Com a mesma analogia, o número de Prandtl médio resulta a partir dos

números de Prandtl das fases líquida e gasosa, assim:

120

(2.292)

(2.293)

(2.294)

Agora é calculado o número de Reynolds para o fluxo interno no casco do

gerador de vapor na zona saturada:

(2.295)

O fator de atrito, necessário para o cálculo da queda de pressão, é

calculado em função do número de Reynolds:

(2.296)

Queda de pressão no casco do gerador de vapor na zona saturada

(2.297)

Coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido e a

parede interior do casco do gerador de vapor na zona saturada

(2.298)

2.2.8.7

Área de troca de calor na zona saturada do gerador de vapor

Na zona saturada do gerador de vapor segue-se o mesmo procedimento da

seção 2.2.8.5 para a determinação da área de troca de calor.

Coeficiente global de transferência de calor:

(2.299)

121

Diferenças de temperatura nos pontos extremos do gerador de vapor na

zona saturada (considerada em contrafluxo):

(2.300)

(2.301)

Diferença de temperatura média logarítmica em condições de contrafluxo:

(2.302)

Efetividade de temperatura:

(2.303)

Razão da taxa de capacidade calorífica (Heat capacity rate ratio):

(2.304)

Parâmetros St2 e Wt2 que servirão para calcular o fator de correção Ft2:

(2.305)

(2.306)

Fator de correção para a DTML [23]:

(2.307)

A área de troca de calor para a zona saturada do gerador de vapor é:

(2.308)

2.2.8.8

Análise do fluxo pelo casco do gerador de vapor na zona superaquecida

Na zona superaquecida do gerador de vapor segue-se o mesmo

procedimento da seção 2.2.8.4 para a análise do fluxo.

122

Propriedades termodinâmicas médias do fluido superaquecido:

(2.309)

(2.310)

(2.311)

(2.312)

Número de Reynolds para o fluxo:

(2.313)

Número de Prandtl para as condições especificadas do fluido:

(2.314)

Fator de atrito em função do número de Reynolds:

(2.315)

Queda de pressão no casco do gerador de vapor na zona superaquecida:

(2.316)

Coeficiente de transferência de calor por convecção entre o fluido que

circula pelo casco e a superfície exterior da tubulação do gerador de vapor na

zona superaquecida:

(2.317)

2.2.8.9

Área de troca de calor na zona superaquecida do gerador de vapor

Na zona superaquecida do gerador de vapor o procedimento para a

determinação da área de troca de calor é análogo ao das seções 2.2.8.5 e 2.2.8.7.

Na primeira seção destas está descrito mais detalhadamente.

123

Coeficiente global de transferência de calor:

(2.318)

Diferenças de temperatura nos pontos extremos do gerador de vapor na

zona superaquecida (considerado em contrafluxo):

(2.319)

(2.320)

Diferença de temperatura média logarítmica em condições de contrafluxo:

(2.321)

Efetividade de temperatura:

(2.322)

Razão da taxa de capacidade calorífica (Heat capacity rate ratio):

(2.323)

Parâmetros St3 e Wt3 que servirão para calcular o fator de correção Ft3:

(2.324)

(2.325)

Fator de correção para a [23]:

(2.326)

A área de troca de calor para a zona superaquecida do gerador de vapor é:

(2.327)

124

2.3

ARMAZENAMENTO TÉRMICO NO CICLO RANKINE ORGÂNICO COM ENERGIA

SOLAR

Com o objetivo de armazenar parte da energia solar absorvida pelos

coletores solares foi adicionado um sistema de armazenamento térmico. O

sistema selecionado está composto de dois tanques isolados e um trocador de

calor. Os dois tanques estariam comunicados entre si, contendo ambos um sal

fundido (estado líquido). A diferença é que um dos tanques estaria a uma

temperatura menor que o outro. Por isso levam os nomes de tanque frio e

quente, respectivamente. No trocador de calor circularia, por um lado, parte do

fluido térmico do circuito dos coletores solares e por o outro o sal fundido.

Adicionalmente seria necessária uma bomba para que o fluido térmico que sai

do trocador se junte novamente ao fluxo que ingressa de novo aos coletores. Os

tanques precisariam também de um sistema de bombeamento em ambas as

direções (do frio ao quente e do quente ao frio).

Este sistema teria dois modos de funcionamento: o primeiro em carga

térmica, onde parte da energia solar é armazenada, e o segundo em descarga

térmica, onde por ausência de luz solar é preciso retirar a energia armazenada

para seu uso no ciclo Rankine. A continuação se descreve estes dois modos de

funcionamento, mas, primeiramente o funcionamento sem armazenamento

térmico.

2.3.1

Funcionamento sem utilização de armazenamento térmico

Sem a presença de sistemas de armazenamento térmico (ou se estes

estiverem desligados), os coletores concentradores solares só alimentariam

energeticamente o gerador de vapor. Dependendo do fluxo de radiação

incidente e do número de coletores da usina, adapta-se a vazão mássica de

fluido térmico para tentar manter a potência produzida pelo ciclo Rankine ou

manter ao menos um nível menor, constante.

125

Neste modo de funcionamento se precisa uma radiação solar mínima para

viabilizar o funcionamento do ciclo Rankine orgânico. Na realidade, é

praticamente impossível que o nível de radiação solar se mantenha constante

durante longos períodos num determinado lugar. Como consequência, a

potência do ciclo terá transientes importantes no funcionamento contínuo. Por

exemplo, se uma condição de nebulosidade afeta inesperadamente a localização

da usina, a potência produzida se reduzirá rapidamente. Neste ponto é onde se

torna importante o armazenamento térmico.

2.3.2

Funcionamento em carga térmica (horas de claridade)

Como se explicou anteriormente, durante as horas de presença de luz

solar, se permitirá acumular parte da energia solar nos tanques de

armazenamento térmico. Dito de outra maneira, com valores de radiação solar

altos é possível aumentar a vazão mássica que circula pelos coletores mantendo

o valor de temperatura de saída do fluido térmico dos coletores. Deste fluxo,

uma parte da vazão ( ) iria para o gerador de vapor, para manter a potência, e

o restante ( ) circularia por um trocador de calor que transmite este calor a os

tanques de armazenamento. A relação das vazões mássicas é a seguinte:

(2.328)

Na transmissão de calor para os tanques de armazenamento, existe um

fluxo de sal fundido (líquido) desde o tanque frio até o tanque quente. Este fluxo

circula pelo trocador e, ao ter um ganho de calor, aumenta sua temperatura. O

sal no tanque frio tem que estar a uma temperatura maior que sua temperatura

de fusão, para manter-se em estado líquido. O tanque quente chega a altas

temperaturas, mas que não ultrapassam o ponto de ebulição do sal líquido.

Ambos tanques são altamente isolados para evitar ao máximo as perdas de calor.

Assumindo que no trocador de calor e nos tanques as perdas são

desprezíveis, obtém-se o seguinte balanço de energia:

(2.329)

126

Daqui, é possível expressar a vazão mássica de sal fundido ( ) em função

da vazão mássica de fluido térmico circulante pelo trocador ( ):

(2.330)

Onde:

e : entalpias específicas do fluido térmico nos estados a e b

: calor específico a pressão constante médio do sal fundido

: temperatura do sal fundido no tanque quente

: temperatura do sal fundido no tanque frio

O estaria em função de uma temperatura média entre as temperaturas

dos tanques e da pressão dos tanques, normalmente a atmosférica:

(2.331)

(2.332)

Figura 2.21 – Ciclo orgânico Rankine com armazenamento térmico carregando

2.3.3

Funcionamento em descarga térmica (horas sem luz solar)

Quando a radiação solar é escassa ou nula o fluxo de fluido térmico que

circula pelos coletores é detido. Agora o fluido térmico só circula entre o gerador

de vapor e o trocador de calor com os tanques de armazenamento. Desta

127

maneira a vazão mássica que circula pelo gerador de vapor é a mesma vazão

mássica que circula pelo trocador:

(2.333)

A circulação do sal fundido é invertida e vai do tanque quente ao tanque

frio, permitindo que o sal entregue parte do seu calor para aquecer o fluido que

circula no circuito do ciclo Rankine orgânico. Efetuando o balanço energético no

trocador de calor é possível estimar a vazão mássica necessária na circulação

entre os tanques ( ) para manter o fluido térmico nas condições conhecidas:

(2.334)

(2.335)

Figura 2.22 – Ciclo orgânico Rankine com armazenamento térmico descarregando