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MECÂNICA DOS MATERIAIS

(Tecnologia e Sistemas Estruturais III – 10616)

2 – TORÇÃO DE EIXOS CIRCULARES

Professor: Tiago Toitio (tiago.toitio@uniube.br)

NOTA: slides são apenas um material de apoio para direcionar o estudo. Nunca substitui os livros, que devem ser consultados sempre, para estudo e pesquisa.

CONTEÚDO

2.1 – Introdução à torção

2.2 – Deformações por torção de barra circular

2.3 – Barras circulares de materiais elásticos lineares

2.4 – Torção não-uniforme

2.5 – Tensões e deformações em cisalhamento puro

2.6 – Transmissão de potência por eixos circulares

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Torção rotação de um elemento submetido a momentos torsores (torques)

ao redor de um eixo longitudinal.

Torque: T = F . d (produto da força que produz o torque pelo braço de momento)

Figura 1 – Representações de momentos torsores (torques).

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Binário (Conjugado) duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos

opostos e separados por uma distância perpendicular d. Como a força resultante é

nula, o único efeito de um binário é produzir rotação ou tendência à rotação em

determinada direção.

Momento T devido a um binário:

P – força do binário [N]

d – distância entre as forças do binário [m]

dPT

Figura 2 – Momento torsor (torque) devido a um binário.

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Seja uma barra prismática de seção transversal circular submetida a torques T

agindo nas extremidades (Figura 3).

Suponha que a extremidade esquerda da barra esteja fixa. Então, sob a ação to

torque T, a extremidade direita irá rotacionar (com relação à extremidade

esquerda) de um pequeno ângulo f ângulo de torção f (x).

Devido a essa rotação, uma linha longitudinal retilínea pq na superfície da barra se

tornará uma curva helicoidal pq’.

Figura 3 – Deformações por torção de uma barra de seção circular.

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Considere agora um elemento de barra entre duas seções transversais distantes

dx uma da outra (Figura 4).

Em uma superfície externa indentifica-se um pequeno elemento abcd indeformado.

Após a aplicação do torque, a seção transversal direita rotaciona em relação à

extremidade esquerda em um pequeno ângulo de torção df. O elemento

deformado é ab’c’d.

Os ângulos entre as faces do elemento ab’c’d não são mais 90º o elemento

está num estado de cisalhamento, isto é, submetido à deformações de

cisalhamento g.

Figura 4 – Deformações por torção de um elemento dx.

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Deformação de cisalhamento na superfície da barra:

df / dx razão de torção (ângulo de torção por unidade de comprimento)

Deformação de cisalhamento no interior da barra:

dx

drmáx

fg

.

.máxrdx

dg

g

fg

Deformações de cisalhamento g tensões de cisalhamento t.

Lei de Hooke para cisalhamento:

gt G

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FÓRMULA DA TORÇÃO:

tmáx. – tensão de cisalhamento máxima devida ao torque [N/m²]

T – torque [N.m]

r – raio do eixo de seção circular [m]

p – momento de inércia polar [m4]

p

máxI

rT .t

Momento de inércia polar para seção transversal circular:

d – diâmetro do círculo [m]

r – raio do círculo [m]

322

44 drI p

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ÂNGULO DE TORÇÃO:

f – ângulo de torção [rad]

T – torque [N.m]

G – módulo de elasticidade de cisalhamento [N/m²]

p – momento de inércia polar [m4]

pIG

LT

f

Torção não-uniforme torques podem agir em qualquer ponto ao longo do

eixo da barra, que não necessariamente é prismática.

Análise de torção não-uniforme aplicar as fórmulas de torção para os

segmentos individuais da barra e somar os resultados; ou aplicar as fórmulas para

elementos diferenciais e integrar.

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Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de

cada segmento:

n

i ipi

iin

i

iIG

LT

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ff

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Eixos rotativos transmitem potência mecânica de um dispositivo para outro.

Exemplos: virabrequim de um automóvel, eixo propulsor de um navio, eixo de uma

bicicleta, etc.

Potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo, e a quantidade

de potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de

rotação. Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho

necessário de um eixo de forma que ele transmita uma potência numa velocidade

de rotação especificada sem exceder as tensões admissíveis para o material.

Figura 5 – Eixo transmitindo um torque constante T a uma velocidade angular w.

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Trabalho W [J] realizado por um torque T de intensidade constante:

y ângulo de rotação (deslocamento angular) [rad]

Potência [W] (taxa em que trabalho é realizado):

w velocidade angular [rad/s] * w = 2 . (frequência [Hz])

yTW

dt

dT

dt

dWP

y

wy

dt

dwTP

EXEMPLO 1. Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro

d = 40 mm, comprimento L = 1,3 m e módulo de elasticidade G = 80 GPa. A barra

está submetida a torques T agindo nas extremidades.

a. Esboçar a distribuição de tensões cisalhantes em uma linha radial na seção

transversal do eixo.

b. Se os torques têm intensidade T = 340 N.m, calcular a tensão de cisalhamento

máxima na barra e o ângulo de torção entre as extremidades.

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EXEMPLO 2. Um eixo propulsor de um pequeno iate é feito de uma barra de aço

sólida de seção transversal circular de diâmetro d = 104 mm e módulo de

elasticidade G = 80 GPa.

Se a tensão de cisalhamento admissível é 48 MPa e a razão de torção admissível

é 2,0º em 3,5 metros, calcular o torque que pode ser aplicado ao eixo.

EXEMPLO 3. Um eixo de aço (G = 78 GPa) deve ser fabricado com uma barra

circular sólida (maciça) ou com um tubo circular. O eixo deve transmitir um torque

de 1200 N.m sem exceder uma tensão de cisalhamento admissível de 40 MPa

nem a uma razão de torção de 0,75º/m.

a. Calcular o diâmetro necessário d0 do eixo maciço.

b. Calcular o diâmetro externo necessário d2 do eixo vazado se a espessura t do

eixo for especificada como um décimo do diâmetro externo.

c. Calcular a razão dos diâmetros e a razão dos pesos dos eixos maciço e

vazado.

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EXEMPLO 4. Um eixo sólido de aço (G = 80 GPa) de diâmetro d = 30 mm gira

livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é acionado pela engrenagem C,

que aplica um torque T2 = 450 N.m na direção indicada (Figura 5). As engrenagens

em B e D são giradas pelo eixo e têm torques resistentes T1 = 275 N.m e T3 = 175

N.m, respectivamente, em sentido oposto a T2. Os segmentos BC e CD têm

comprimentos LBC = 500 mm e LCD = 400 mm.

Calcular a tensão de cisalhamento máxima para cada parte do eixo e o ângulo de

torção entre as engrenagens B e D.

Figura 5 – Exemplo 4.

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EXEMPLO 5. Um maciço de aço (G = 76 GPa) de seção circular é submetido aos

torques T1 = 2300 N.m e T2 = 900 N.m agindo nas direções indicadas.

Dados: L1 = 760 mm; L2 = 510 mm; d1 = 58 mm; d2 = 45 mm.

a. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo.

b. Calcular o ângulo de torção (em graus) na extremidade C.

EXEMPLO 6. Um tubo vazado construído em metal monel (G = 66 GPa) é

submetido a torques agindo nas direções indicadas. As magnitudes dos torques

são T1 = 100 N.m, T2 = T4 = 50 N.m e T3 = T5 = 80 N.m. O tubo tem diâmetro

externo d2 = 25 mm. A tensão de cisalhamento admissível é 80 MPa e a razão de

torção admissível é 6º/m.

Calcular o máximo diâmetro interno permitido d1 do tubo.

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EXEMPLO 7. Um motor rotacionando um eixo circular maciço de aço transmite 30

kW de potência para uma engrenagem em B. A tensão de cisalhamento admissível

para o aço é 42 MPa.

a. Calcular o diâmetro necessário d do eixo se ele é operado a 500 rpm.

b. Calcular o diâmetro necessário d do eixo se ele é operado a 4000 rpm.

RESPOSTAS DOS EXEMPLOS:

Exemplo 1 tmáx. = 27,1 MPa e f = 0,02198 rad (1,26º)

Exemplo 2 Tmáx. = 9164 N.m

Exemplo 3 a. d0 = 58,8 mm. b. d2 = 67,1 mm. c. 1,14 e 0,47

Exemplo 4 tmáx.BC = 51,9 MPa e tmáx.CD = 33,0 MPa. fBD = 0,0106 rad

Exemplo 5 tmáx. = 50,3 MPa. fC = 0,14º

Exemplo 6 d1 = 20,7 mm

Exemplo 7 a. d = 41,1 mm. b. d = 20,55 mm

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FIM