2 Torcao de Eixos Circulares

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    28-Dec-2015

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  • 3/19/2014

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    MECNICA DOS MATERIAIS

    (Tecnologia e Sistemas Estruturais III 10616)

    2 TORO DE EIXOS CIRCULARES

    Professor: Tiago Toitio (tiago.toitio@uniube.br)

    NOTA: slides so apenas um material de apoio para direcionar o estudo. Nunca substitui os livros, que devem ser consultados sempre, para estudo e pesquisa.

    CONTEDO

    2.1 Introduo toro

    2.2 Deformaes por toro de barra circular

    2.3 Barras circulares de materiais elsticos lineares

    2.4 Toro no-uniforme

    2.5 Tenses e deformaes em cisalhamento puro

    2.6 Transmisso de potncia por eixos circulares

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    Toro rotao de um elemento submetido a momentos torsores (torques)

    ao redor de um eixo longitudinal.

    Torque: T = F . d (produto da fora que produz o torque pelo brao de momento)

    Figura 1 Representaes de momentos torsores (torques).

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    Binrio (Conjugado) duas foras paralelas de mesma intensidade, sentidos

    opostos e separados por uma distncia perpendicular d. Como a fora resultante

    nula, o nico efeito de um binrio produzir rotao ou tendncia rotao em

    determinada direo.

    Momento T devido a um binrio:

    P fora do binrio [N]

    d distncia entre as foras do binrio [m]

    dPT

    Figura 2 Momento torsor (torque) devido a um binrio.

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    Seja uma barra prismtica de seo transversal circular submetida a torques T

    agindo nas extremidades (Figura 3).

    Suponha que a extremidade esquerda da barra esteja fixa. Ento, sob a ao to

    torque T, a extremidade direita ir rotacionar (com relao extremidade

    esquerda) de um pequeno ngulo f ngulo de toro f (x).

    Devido a essa rotao, uma linha longitudinal retilnea pq na superfcie da barra se

    tornar uma curva helicoidal pq.

    Figura 3 Deformaes por toro de uma barra de seo circular.

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    Considere agora um elemento de barra entre duas sees transversais distantes

    dx uma da outra (Figura 4).

    Em uma superfcie externa indentifica-se um pequeno elemento abcd indeformado.

    Aps a aplicao do torque, a seo transversal direita rotaciona em relao

    extremidade esquerda em um pequeno ngulo de toro df. O elemento

    deformado abcd.

    Os ngulos entre as faces do elemento abcd no so mais 90 o elemento

    est num estado de cisalhamento, isto , submetido deformaes de

    cisalhamento g.

    Figura 4 Deformaes por toro de um elemento dx.

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    Deformao de cisalhamento na superfcie da barra:

    df / dx razo de toro (ngulo de toro por unidade de comprimento)

    Deformao de cisalhamento no interior da barra:

    dx

    drmx

    fg

    .

    .mxrdx

    dg

    g

    fg

    Deformaes de cisalhamento g tenses de cisalhamento t.

    Lei de Hooke para cisalhamento:

    gt G

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    FRMULA DA TORO:

    tmx. tenso de cisalhamento mxima devida ao torque [N/m]

    T torque [N.m]

    r raio do eixo de seo circular [m]

    p momento de inrcia polar [m4]

    p

    mxI

    rT .t

    Momento de inrcia polar para seo transversal circular:

    d dimetro do crculo [m]

    r raio do crculo [m]

    322

    44 drI p

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    NGULO DE TORO:

    f ngulo de toro [rad]

    T torque [N.m]

    G mdulo de elasticidade de cisalhamento [N/m]

    p momento de inrcia polar [m4]

    pIG

    LT

    f

    Toro no-uniforme torques podem agir em qualquer ponto ao longo do

    eixo da barra, que no necessariamente prismtica.

    Anlise de toro no-uniforme aplicar as frmulas de toro para os

    segmentos individuais da barra e somar os resultados; ou aplicar as frmulas para

    elementos diferenciais e integrar.

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    Barra consistindo de segmentos prismticos com torque constante ao longo de

    cada segmento:

    n

    i ipi

    iin

    i

    iIG

    LT

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    ff

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    Eixos rotativos transmitem potncia mecnica de um dispositivo para outro.

    Exemplos: virabrequim de um automvel, eixo propulsor de um navio, eixo de uma

    bicicleta, etc.

    Potncia transmitida atravs de um movimento rotatrio do eixo, e a quantidade

    de potncia transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de

    rotao. Um problema comum de dimensionamento determinar o tamanho

    necessrio de um eixo de forma que ele transmita uma potncia numa velocidade

    de rotao especificada sem exceder as tenses admissveis para o material.

    Figura 5 Eixo transmitindo um torque constante T a uma velocidade angular w.

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    Trabalho W [J] realizado por um torque T de intensidade constante:

    y ngulo de rotao (deslocamento angular) [rad]

    Potncia [W] (taxa em que trabalho realizado):

    w velocidade angular [rad/s] * w = 2 . (frequncia [Hz])

    yTW

    dt

    dT

    dt

    dWP

    y

    wy

    dt

    dwTP

    EXEMPLO 1. Uma barra de ao slida de seo transversal circular tem dimetro

    d = 40 mm, comprimento L = 1,3 m e mdulo de elasticidade G = 80 GPa. A barra

    est submetida a torques T agindo nas extremidades.

    a. Esboar a distribuio de tenses cisalhantes em uma linha radial na seo

    transversal do eixo.

    b. Se os torques tm intensidade T = 340 N.m, calcular a tenso de cisalhamento

    mxima na barra e o ngulo de toro entre as extremidades.

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    EXEMPLO 2. Um eixo propulsor de um pequeno iate feito de uma barra de ao

    slida de seo transversal circular de dimetro d = 104 mm e mdulo de

    elasticidade G = 80 GPa.

    Se a tenso de cisalhamento admissvel 48 MPa e a razo de toro admissvel

    2,0 em 3,5 metros, calcular o torque que pode ser aplicado ao eixo.

    EXEMPLO 3. Um eixo de ao (G = 78 GPa) deve ser fabricado com uma barra

    circular slida (macia) ou com um tubo circular. O eixo deve transmitir um torque

    de 1200 N.m sem exceder uma tenso de cisalhamento admissvel de 40 MPa

    nem a uma razo de toro de 0,75/m.

    a. Calcular o dimetro necessrio d0 do eixo macio.

    b. Calcular o dimetro externo necessrio d2 do eixo vazado se a espessura t do

    eixo for especificada como um dcimo do dimetro externo.

    c. Calcular a razo dos dimetros e a razo dos pesos dos eixos macio e

    vazado.

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    EXEMPLO 4. Um eixo slido de ao (G = 80 GPa) de dimetro d = 30 mm gira

    livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo acionado pela engrenagem C,

    que aplica um torque T2 = 450 N.m na direo indicada (Figura 5). As engrenagens

    em B e D so giradas pelo eixo e tm torques resistentes T1 = 275 N.m e T3 = 175

    N.m, respectivamente, em sentido oposto a T2. Os segmentos BC e CD tm

    comprimentos LBC = 500 mm e LCD = 400 mm.

    Calcular a tenso de cisalhamento mxima para cada parte do eixo e o ngulo de

    toro entre as engrenagens B e D.

    Figura 5 Exemplo 4.

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    EXEMPLO 5. Um macio de ao (G = 76 GPa) de seo circular submetido aos

    torques T1 = 2300 N.m e T2 = 900 N.m agindo nas direes indicadas.

    Dados: L1 = 760 mm; L2 = 510 mm; d1 = 58 mm; d2 = 45 mm.

    a. Calcular a tenso de cisalhamento mxima no eixo.

    b. Calcular o ngulo de toro (em graus) na extremidade C.

    EXEMPLO 6. Um tubo vazado construdo em metal monel (G = 66 GPa)

    submetido a torques agindo nas direes indicadas. As magnitudes dos torques

    so T1 = 100 N.m, T2 = T4 = 50 N.m e T3 = T5 = 80 N.m. O tubo tem dimetro

    externo d2 = 25 mm. A tenso de cisalhamento admissvel 80 MPa e a razo de

    toro admissvel 6/m.

    Calcular o mximo dimetro interno permitido d1 do tubo.

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    EXEMPLO 7. Um motor rotacionando um eixo circular macio de ao transmite 30

    kW de potncia para uma engrenagem em B. A tenso de cisalhamento admissvel

    para o ao 42 MPa.

    a. Calcular o dimetro necessrio d do eixo se ele operado a 500 rpm.

    b. Calcular o dimetro necessrio d do eixo se ele operado a 4000 rpm.

    RESPOSTAS DOS EXEMPLOS:

    Exemplo 1 tmx. = 27,1 MPa e f = 0,02198 rad (1,26)

    Exemplo 2 Tmx. = 9164 N.m

    Exemplo 3 a. d0 = 58,8 mm. b. d2 = 67,1 mm. c. 1,14 e 0,47

    Exemplo 4 tmx.BC = 51,9 MPa e tmx.CD = 33,0 MPa. fBD = 0,0106 rad

    Exemplo 5 tmx. = 50,3 MPa. fC = 0,14

    Exemplo 6 d1 = 20,7 mm

    Exemplo 7 a. d = 41,1 mm. b. d = 20,55 mm

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    FIM

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