FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PROFESSOR PDE

1. Nome do(a) Professor(a) PDE: SOLANGE MICHALOVICZ

2. Disciplina/Área: MATEMÁTICA

3. IES: UNICENTRO

4. Orientador(a): PROF. DR. EDILSON ROBERTO PACHECO

5. Co-Orientador (se houver):6. Caracterização do objeto de estudo (exceto Professor PDE Titulado): A proposta deste folhas é

evidenciar as contribuições de Pitágoras, matemático grego, a quem se atribui inúmeras descobertas,

entre elas, a numerologia, assunto que fascina as pessoas há milhares de anos. Apesar de não haver

qualquer registro da sua existência, as façanhas de Pitágoras e sua sociedade secreta foram repassadas

de geração em geração por meio de relatos orais e sua figura tornou-se ainda mais misteriosa.

7. Título da Produção Didático-Pedagógica: 2008, O ANO NÚMERO 1?8. Justificativa da Produção: O ensino da matemática está focalizado, na maioria das vezes, em

abordagens rígidas e preocupadas somente com resultados, desprezando processos e encaminhamentos

diferenciados. As inserções históricas nos materiais acessados pelos alunos, quando existentes, são

incipientes e considerando este quadro desfavorável ao ensino da matemática e, sobretudo, a importância

da abordagem histórica como alternativa metodológica, é que este folhas se pauta em estudar figuras

humanas que produziram o conhecimento matemático contido na história desta ciência.

9. Objetivo geral da Produção: Oportunizar aos alunos o acesso ao processo histórico dos conteúdos

para que se apropriem e valorizem os conhecimentos produzidos pelo homem no decorrer do tempo,

reconhecendo que os conceitos matemáticos nem sempre foram do jeito como são apresentadas nos

livros didáticos, que não seguiram a ordem nem a seqüência e o encadeamento linear de idéias, mas que

surgiram para resolver problemas diferentes, em épocas diferentes. Propiciar ao aluno, pela via do estudo

com aportes mais biográficos, uma visão mais ampla sobre a matemática e, em conseqüência disso, um

interesse maior ao seu estudo.

10. Tipo de Produção Didático-Pedagógica:( x ) Folhas ( ) OAC ( ) Outros (descrever):

11. Público-alvo: ENSINO FUNDAMENTAL

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Secretaria de Estado da Educação – SEEDSuperintendência da Educação - SUED

Diretoria de Políticas e Programas Educacionais – DPPEPrograma de Desenvolvimento Educacional – PDE

2008, O ANO NÚMERO 1?É comum em todo início de ano fazermos um balanço do ano anterior,

planejarmos o ano vindouro e revirarmos as revistas na tentativa de encontrarmos

indicações de que o futuro será do jeito que sonhamos. E assim, nesse mexe e remexe,

deparei-me com o texto da jornalista Susan Andrews, publicado na Revista Época, 7 de

janeiro de 2008. Dizia ela:

Na semana passada alguém me lembrou que o ano que entra, 2008, é um número 1. De acordo com os numerologistas, um “ano número 1” inaugura um novo ciclo de nove anos. Como sugere o antigo provérbio chinês, “mesmo uma jornada de 1000 léguas começa com um único passo”, e no ano número 1 é importante começar com o pé direito e na direção certa.

Você deve estar pensando... Como assim, “ano número 1”? Que contagem é

essa? O que significa o ano 1? O que isso influencia na vida das pessoas?

É inevitável! Todos os dias nos deparamos com incontáveis números, eles estão

em toda parte, e é difícil imaginar nossa vida sem eles: endereços, telefones,

documentos de identidade, cartões de crédito e tudo mais que o mundo moderno nos

proporciona mas nem sempre foi assim... A partir de agora, viajaremos no tempo.

Houve um tempo - mais precisamente na Grécia

Antiga - em que os números estavam envoltos em mistérios.

Conhecimento era privilégio para poucos. Dentre estes

figuram os pitagóricos, assim chamados por serem

discípulos de Pitágoras, grande filósofo e matemático grego

que viveu no século VI a.C.. Os pitagóricos formavam uma

sociedade secreta, como tal, repleta de rituais mais secretos

ainda.

Com o passar do tempo, esse misticismo possibilitou a criação de uma tabela

numérica que relacionava letras e números, chamada de Tabela Pitagórica, que é

considerada a base da numerologia moderna, mais precisamente na “gematria”, que

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nada mais é do que a atribuição de valores numéricos às letras do alfabeto, seguindo

uma determinada ordem, como mostra a figura:

http://www.reencontro.net/colunareenc2007_0403.html

A idéia de atribuir aos números poderes ocultos é bastante antiga e aparece em

diversas culturas. Pode até ter surgido juntamente com a própria matemática, sempre

como a intenção de relacionar os números com objetos, fatos do cotidiano,

personalidade e também explicar acontecimentos ou prever o destino das pessoas.

Assim, não se pode afirmar que a numerologia tenha sido inventada por

Pitágoras e seus discípulos, pois antigos registros comprovam o uso das propriedades

misteriosas dos números por diferentes povos, os quais utilizavam letras para a

representação numérica, como os egípcios antigos, os hindus, entre outros.

Quer saber o que a numerologia diz a seu respeito? Siga as dicas a seguir:

Para realizar os cálculos, é preciso considerar o nome completo, como registrado

no Cartório Civil além dos valores numéricos para cada letra, indicados na tabela

acima. Devem-se somar todos os algarismos do nome, até transformá-lo em valor com

um único algarismo. Veja o exemplo:

M A R C I O S I L V A4 + 1 + 9 + 3 + 9 + 6 + 1 + 9 + 3 + 4 + 1 = 50 = 5 + 0 = 5

Agora é a sua vez! Mãos à obra...

Escreva o seu nome, substitua os valores e calcule a soma.

Depois de obter o seu número, você pode saber o que ele revela, consultando os

endereços a seguir:

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http://www.terra.com.br/planetanaweb/flash/guiacosmico/futurama/numerologia3.htm

http://www.reencontro.net/colunareenc2007_0403.html

http://somostodosum.ig.com.br/conteudo/conteudo.asp?id=936

OPINIÃOE aí? O que achou? Os números desvendaram algum segredo? Comente com

seus colegas os resultados.

ATIVIDADES1. Há numerólogos que propõem a exclusão do

número 9 da soma. Você saberia explicar por

quê?

2. Outra pessoa pode obter o mesmo número que

você obteve? Cite exemplos.

DEBATEDuas ou mais pessoas podem ter os mesmos

destinos e personalidades idênticas, como apregoa a

Numerologia?

Você acabou de experimentar uma pequena mostra da influência dos números

em nossas vidas e também já aprendeu como calcular o valor único para 2008, não é?

Vamos lá, faça a soma! A resposta é realmente o número 1?

Muito bem, você encontrou a solução, mas o significado ainda precisa ser

descoberto. Para isso, precisamos saber primeiramente o que é exatamente número.

Em geral, utilizamos a palavra “número” em diferentes contextos, até

enveredamos por aspectos misteriosos. Porém, é imprescindível a compreensão mais

profunda desse assunto; sua possível origem, sua natureza, concepções, definições -

enfim, buscar responder primeiramente a pergunta: Afinal, o que é número?

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Há onze mil anos, com o desenvolvimento da agricultura, o homem deu início a

um processo de evolução nos seus hábitos e interesses. Este fato desencadeou

necessidades e possibilidades até então impensáveis. Antes, o homem era nômade,

isto é, esgotava toda a capacidade do lugar e em seguida migrava para outro que

pudesse oferecer condições favoráveis à sua sobrevivência. Depois passou a cultivar

as plantas para conseguir alimento, o que o conduziu a uma organização diferente da

sociedade. Como conseqüência, a população aumentou e o trabalho teve que ser

estruturado e distribuído.

Pouco a pouco o homem assumiu uma situação mais sedentária, que o fez sentir

a necessidade de entender as estações do ano e contar o tempo por meio de

calendários. Assim, na medida em que obtinha progressos nessas tarefas, também

desenvolvia os conceitos fundamentais do que hoje conhecemos como número. Porém,

é importante salientar que, antes mesmo de surgirem conceitos como número e

contagem, os homens mais primitivos já possuíam noções numéricas, e este senso

também pode ser observado, ainda que de forma restrita, em algumas espécies de

animais, como pássaros e leões.

Para saber mais sobre este assunto visite o sítio abaixo:http://universitariodefisica.blogspot.com/2007/09/animais-matemticos-parte-ii.html

A idéia de número é intrigante, de tal maneira que ainda hoje pessoas tentam

descobrir os mistérios de um conceito tão antigo quanto a própria humanidade.

A palavra “número” é aplicada a diversas situações cotidianas, como por

exemplo: “o cinco é número ímpar”, “as meninas da classe eram em maior número”,

“qual o número de torcedores do Atlético Paranaense?”, “Pedro é bom com os

números”. “Não houve número para jogarmos uma partida de futebol”. “Comprei o

último número da revista”. “A apresentação teatral tinha três números”. “Um sem-

número de crianças participou da brincadeira”.

Em um conhecido dicionário da língua portuguesa (HOLANDA, A.B., 2001, p.

524), número é definido como: “sm 1. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto

ou a característica mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que

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é matematicamente definida como o conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um

conjunto dado. Também o Dicionário Escolar de Matemática (REIS e MACEDO, 1992,

p. 189) relata que “Número é a comparação entre a unidade e a quantidade que se

avalia”.

O homem primitivo, ao perceber a necessidade da contagem não imaginava

quão complexo se tornaria esse conceito, e muito menos que ele se desdobraria em

muitos outros. Embora inicialmente utilizados para solucionar as questões práticas do

cotidiano, os números também exerceram sobre os homens um fascínio que

extrapolava as suas meras aplicações. A divindade creditada aos números se deve em

grande parte à herança da crença pitagórica segundo a qual havia matemática por toda

parte.

ENTÃO, TUDO É NÚMERO?

A resposta para esta pergunta também era a preocupação dos

matemáticos/filósofos da Antigüidade. O fascínio, talvez nem seja pela resposta

definitiva, mas pela própria viagem, as aventuras, os obstáculos, as descobertas e as

incertezas que propiciam diversos questionamentos: tais como: “Existe algo que seja o

princípio de tudo?”.

Qualquer que seja a resposta a essa interrogação, não é possível desconsiderar

as contribuições da Escola Pitagórica. Alguns autores afirmam que se trata de uma

seita, outros a consideram uma sociedade aristocrática secreta envolta em rituais

místicos e doutrinas obscuras, tendo em Pitágoras de Samos o seu maior

representante. Aos pitagóricos é atribuída a idéia de que todas as coisas são os

números inteiros.

DEBATEAtualmente existem grupos de pessoas que

adotam comportamentos, roupas, penteados iguais, no

intuito de, agindo assim, identificarem-se com uma “tribo”

e por ela serem aceitos. Você faz parte de alguma tribo?

Conhece outras? Você participaria de uma sociedade

secreta como a dos pitagóricos?

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Antes de responder à última pergunta veja o que era preciso fazer para se tornar

um membro dessa confraria:

Fase 1: Acreditar que tudo era governado pelos números, abandonar a vida

particular e aceitar as regras do instituto, com dedicação integral;

Fase 2: Prova da caverna: passar a noite sozinho em uma caverna “assombrada”,

demonstrando segurança e coragem;

Fase 3: Prova da resolução de um problema: sem aviso prévio, era solicitado a

responder um problema, trancado em uma sala vazia, somente na companhia de

uma pedra, água e pão seco. Se não conseguir a resposta será humilhado com

piadas sarcásticas e terá de suportá-las para continuar.

Calma, mesmo chegando até aqui, você ainda não é um pitagórico! Apenas

conquistou o direito de iniciar sua preparação que pode durar de dois a cinco anos.

Agora você precisa seguir à risca o código de conduta. Vamos lá!

Silêncio absoluto durante as lições, nada de perguntas nem opiniões;

Não contar coisa alguma do que aprender;

Não comer qualquer tipo de carne animal, pois este poderia ser a reencarnação de

um falecido amigo;

Não comer lentilhas (por produzirem gases);

Vestir branco;

Tatuar uma estrela de cinco pontas (pentagrama) nas palmas das mãos;

E então, aceita o desafio? Pronto para ser um pitagórico?

Ah! Que pena! Mesmo que sua resposta tenha sido positiva, daria muito trabalho

reviver uma história tão antiga, mas isso não nos impede de conhecermos mais sobre

os feitos de Pitágoras e seus seguidores, não é?

AMPLIANDO O CONHECIMENTO...Segundo Boyer (1996, p. 33), a Pitágoras é atribuída a criação das palavras FILOSOFIA

(amor à sabedoria) e MATEMÁTICA (o que é aprendido). A palavra AMIZADE também é creditada a Pitágoras (Guedj, 1999, p. 95). Ele dizia: “Amigo é o outro eu, como 220 e 284”.

Você pode pensar: o que esses números têm a ver com amizade?

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A explicação, dizia Pitágoras, é que se somarmos os

divisores de um dos números, exceto ele próprio, o resultado é o

outro e vice-versa. Assim, a soma dos divisores de 220 é:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 e a soma dos

divisores de 284 é: 1+2+4+71+142=220. São exemplos de

números amigos 1.184 e 1.210, 2.620 e 2.924, 5.020 e 5.564,

6.368 e 6.232, 10.744 e 10.856, 17.296 e 18.416.

Você teria uma outra explicação para o fato dos números 220 e 284 serem

amigos?

Este tipo de relação entre os números é o que se pode chamar amizade

“perfeita”. No entanto, para os pitagóricos, a perfeição numérica era outra coisa.

Números perfeitos são aqueles em que a soma de seus divisores menores que o

número é igual ao próprio número. Não entendeu? Então, acompanhe o exemplo do

número 6:

A soma dos divisores de 6 menores que ele mesmo: 1+2+3 = 6.

Ainda não se convenceu? Lá vai o 28:

A soma dos divisores de 28 menores que ele mesmo: 1+2+4+7+14 = 28.

E acredite, estes não são os únicos, são conhecidos mais de trinta números

perfeitos, entre eles: 496, 8.128 e o extraordinário

2.658.455.991.569.831.744.645.692.615.953.842.176.

As estreitas relações numéricas dos pitagóricos não param por aí. Agora o grau

de parentesco envolve números primos e números quadrados perfeitos. Quer saber o

que eles têm em comum?

A soma dos números primos maiores que 1 é sempre um quadrado perfeito.

Achou confuso? Os pitagóricos explicam... E desenham.

Veja:

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

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E assim sucessivamente...

Ainda não se convenceu? Então vamos ao desenho.

Pitágoras ficou mais famoso por causa de um certo teorema. Você já ouviu falar

no Teorema de Pitágoras, não é? Lembra? Em qualquer triângulo retângulo o quadrado

da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Isso é fácil, mas sabe quem o

descobriu?

Esta pergunta pode soar estranha, já que a resposta, a princípio, parece óbvia.

Mas, a propriedade dos triângulos retângulos era conhecida e utilizada muito antes de

Pitágoras, por babilônios e chineses. Uma justificativa para o nome do teorema pode

ser o fato de os pitagóricos terem sido os pioneiros a formalizarem a sua demonstração.

Por volta de 1900, já era possível provar o teorema por mais de 360 maneiras

diferentes.

ATIVIDADEO teorema atribuído a Pitágoras, por autores

posteriores a ele, possui inúmeras demonstrações. Será que

ele é válido se substituirmos a construção dos quadrados a

partir dos lados do triângulo por semicírculos de diâmetros

iguais aos lados correspondentes?

As expressões “quadrado” e “cubo”, muito utilizadas atualmente nas unidades

cm2, m2 ou então cm3, m3, entre outras, também são atribuídas aos pitagóricos, que

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relacionaram a multiplicação de um número por ele mesmo com a idéia de área

(quadrado) e a multiplicação de um número por ele mesmo três vezes com a idéia de

volume (cubo).

ATIVIDADE O problema da duplicação do cubo é um dos três famosos problemas da

matemática na Antigüidade e contam-se várias histórias sobre a sua origem. Em uma

delas há uma pitada de mitologia e diz que os deuses enviaram uma peste ao povo de

Atenas.

O povo mandou então uma delegação ao oráculo de

Delos para indagar sobre o que poderia ser feito para

apaziguar os deuses. Foi-lhes dito que, se dobrassem o

tamanho do altar cúbico de Apolo, a peste cessaria. Então,

eles construíram um novo altar, em que as arestas eram o

dobro das arestas do altar antigo. Mas a peste continuou.

Você saberia explicar por quê?

Apesar de o nome de Pitágoras permear muitos livros utilizados nas escolas, e

histórias de seus feitos terem percorrido

o mundo, não há um registro sequer da

sua produção matemática, e até mesmo

a sua existência é questionada. O fato

de não haver provas, em geral, podem

ser explicado pelo cumprimento às

regras da escola pitagórica, que exigia

completo sigilo sobre as suas atividades

e previa sérias punições aos traidores,

entre elas o sepultamento de um caixão

como se fosse a própria pessoa.

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Pitágoras, Escola de Athenas, Raffaello Sanzio, 1509.http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/matematica/2pitaate.jpg

Mas até que ponto a incerteza de sua existência, diminui a grandeza da obra

creditada a ele e aos seus discípulos? Qual a importância de sabermos mais da vida

pessoal das figuras humanas na história da matemática? Em que medida o estilo de

vida, as vestimentas, os hábitos, as manias, a religião, a raça, a opção sexual e a

excentricidade podem influenciar a produção científica das pessoas?

E as mulheres?

Pitágoras permitia que moças participassem da sua sociedade secreta, apesar

de receberem tratamento diferenciado. Entretanto, ao longo da história, as mulheres

foram desestimuladas e muitas vezes impedidas de se dedicarem ao estudo científico.

Leia abaixo a história de Sophie Germain, um dos poucos nomes femininos

registrados na história da matemática.

AMPLIANDO O CONHECIMENTO...Sophie Germain, de nacionalidade francesa, foi a primeira mulher a ser indicada para o

título de Doutor Honoris Causa, pela Universidade de Göttingen (Alemanha), em 1831. Entretanto, a história não foi tão perfeita assim... Para estudar matemática, Sophie tinha que se esconder em seu quarto, pois seus pais a proibiam e a castigavam. Também foi impedida, por ser mulher, de freqüentar a escola politécnica francesa, então assistia às aulas do lado de fora, apenas ouvindo as explicações. Alguns rapazes, reconhecendo seus esforços, forneciam suas anotações e assim ela conseguiu entrar em contato com a matemática desenvolvida na época, e começou a descobrir coisas novas. Escreveu sobre suas descobertas a alguns matemáticos, sem obter resposta alguma. Resolveu, então, adotar o pseudônimo de Antonie LeBlanc e passou a publicar seus trabalhos com nome masculino. E não é que deu certo? Com essa estratégia, recebeu inúmeros elogios de grandes matemáticos da época e ganhou diversos prêmios. Contudo, a mentira tem perna curta, e o Monsieur LeBlanc foi desmascarado. A essa altura, porém, Sophie já havia conquistado respeito e credibilidade pela sua produção matemática e continuou sua carreira, agora mais tranqüilamente. Infelizmente, não viveu o suficiente para receber o prêmio e a homenagem da universidade alemã. (GARBI,2006)

Nicolas Bourbaki é nome de matemático francês com uma história interessante.

Pesquise sobre a sua vida e produção. Você vai gostar!

E por falar em histórias interessante, não podemos deixar de mencionar o

matemático brasileiro Júlio César de Mello e Souza que sob o pseudônimo de Malba

Tahan, publicou diversos livros, sendo o mais famoso deles “O homem que calculava”,

no qual brilhantemente une a matemática a fatos e casos pitorescos. Conheça o seu

problema mais famoso consultando o endereço:

11

http://www.rainhadapaz.g12.br/projetos/matematica/histdematematica/35camelos.htm

Entretanto, não é somente nas ciências que tal artifício é utilizado. Muitos outros

nomes, brasileiros e também paranaenses figuram nas listas de usuários de

pseudônimos. Quer saber quem são eles? Em colaboração com as disciplinas de

português e história, faça uma pesquisa dos seguintes nomes: Dalton Trevisan (poeta

paranaense), Agenor de Miranda Araújo Neto e Chico Buarque (cantores e

compositores brasileiros), Patrícia Galvão (escritora e jornalista brasileira), Rachel de

Queiroz (primeira mulher a entrar para a Academia Brasileira de Letras) e Fernando

Pessoa (poeta português).

Até aqui você aprendeu sobre diversos tipos de números e suas relações, mas

ainda não descobriu o significado do ano de número 1. Vejamos o que nos conta a

matéria da Revista Época, anteriormente citada:

Em Ano de Começos como esse, o numerologista indiano B.S. Sekar recomenda: “Você deve desbravar um território desconhecido, virar a página do passado com força de vontade redobrada. Iniciativa deve ser uma senha diária. Num ano 1 você poderá se arrepender de não ter ao menos tentado. Amplie seu círculo de amigos e associados. Lembre-se de que essas pessoas poderão se manter ligadas a você no próximo ciclo de nove anos. Acima de tudo, preencha sua mente com novos conceitos e experimente idéias não testadas. Deixe que um novo vento varra as teias de aranha dos antigos e estagnados padrões de pensamento e ação”.

Revista Época, 7 de janeiro de 2008.

Agora é com você. Faça deste ano o primeiro de muitos

para aprender e conhecer cada vez mais. Aproveite ao máximo

todas as oportunidades de aprendizagem e contribua para

continuarmos registrando na história da humanidade também as

nossas histórias cotidianas.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANDREWS, S. 2008 O ANO NÚMERO 1. ÉPOCA. São Paulo: Ed. Globo, 8 set 2008.

BOYER, C.B. História da matemática. 2. ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

DEWDNEY, A.K. 20.000 léguas matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números. Trad. Vera Ribeiro. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2000.

EVES, H. Introdução à história da matemática. Trad: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.

FERREIRA, A.B.H. Minidicionário da língua portuguesa. 5. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.

GARBI, G.G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.

GUEDJ, D. O teorema do papagaio. Trad. Eduardo Brandão. São Paulo: Companhia das Letras, 1999.

GUNDLACH, B.H. Números e Numerais. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992. 77p. (Tópicos de História da matemática para uso em sala de aula).

REIS, L.F.;MACEDO,O. Dicionário escolar de matemática. São Paulo: Casa Publicadora Brasileira, 1992.

SCHURÉ,É. Os Grandes Iniciados: Pitágoras. São Paulo: Martin Claret Editores, 1986.143p.

WESTECOTT,W.W. Os Poderes Ocultos dos Números. Trad. David Jardim Júnior. Rio de Janeiro: Editora Tecnoprint, 1987.

Documentos Consultados On Line

AS VIBRAÇÕES DOS NÚMEROS EM NOSSA VIDA. Disponível em:http://www.reencontro.net/colunareenc2007_0403.htmlAcesso em: 6 fev. 2008PITÁGORAS. Escola de Atenas (imagem). Disponível em:http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/matematica/2pitaate.jpg Acesso em: 10 fev. 2008

NOTA: Ilustrações de Cristiane Noda Kondo.

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