Click here to load reader

2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

  • View
    23

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Introdução ao MEF

Text of 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

  • Dbora Lima Queiroz

    rica Martins Cavalcante

    Orientadores: Pedro Andr Martins Bezerra

    Decio Haramura Jnior

    Tutor: Prof. Dr. Jos Carlos Teles Campos

  • Introduo

    Os mtodos numricos so utilizados para encontrar solues aproximadas para problemas de difceis solues analticas. A escolha do mtodo numrico est diretamente relacionada ao problema em questo. Este trabalho tem como funo a utilizao de um mtodo numrico cuja principal caracterstica a resoluo de equaes diferencias parciais como a Equao de Poisson, Equao de Laplace, Equao de Helmholtz, Navier-Stokes, etc...

  • Mtodo dos elementos finitos

  • ndice

    Histria;

    Condies de Contorno;

    Mtodo de Galerkin;

    Mtodo dos Elementos Finitos;

    Mecnica dos Slidos;

    Generalizaes;

    Motor de Relutncia;

    Aplicao;

    Bibliografia;

  • Histria

    Em 1909 Ritz desenvolveu um mtodo efetivo para solues de problemas de mecnica e deformaes de slidos. Uma das principais restries do mtodo de Ritz que as funes devem utilizar as condies de contorno do problema.

    Em 1943 Courant aprimorou o Mtodo de Ritz atravs da introduo de equaes lineares e definio de regies triangulares e aplicou o mtodo para definies de problemas de toro.Os valores antes desconhecidos foram definidos como os ns das extremidades dos tringulos.Eliminando, assim, a principal restrio do mtodo de Ritz.

    Em 1960 o termo "elemento finito" foi utilizado pela primeira vez para definir esse mtodo.

  • Histria

    Uma outra vertente desse mtodo surgiu tambm na dcada de 1940 com o mtodo de Galerkin para solues de equaes diferenciais parciais gerais, e no s aplicadas a rea de Engenharia Civil.Ficou conhecido como mtodo residual.

    A principal razo para a no utilizao do mtodo at 20-30 anos atrs a sua complexidade matemtica, mas esse problema foi solucionado com o uso de computadores de maior capacidade.

  • Mtodo dos Elementos Finitos

    Definio

    a soluo de equaes diferenciais

    parciais pela diviso de um domnio

    contnuo em subdomnios discretos de

    formas geomtricas conhecidas.

  • Mtodo dos Elementos Finitos

    Discretizao do

    domnio

    Escolha das funes

    de interpolao

    Formulao do

    sistema

    Soluo do

    problema

  • Condies de Contorno

    Problemas de valor de contorno so caracterizados

    pelo fato de que as condies de contorno so

    fixadas nos extremos do intervalo considerado.

    Condies de contorno de Dirichlet

    Valores da varivel dependente

    Homogneas

  • Condies de Contorno

    No-Homogneas

    Condies de contorno de Neumann Valor da derivada normal da varivel

  • Mtodo de Galerkin

    Equao de Poisson

    Condies de contorno

    Clculo do residual

    em

    em

  • Mtodo de Galerkin

    Usando a definio de residual

    Aplicando as condies de contorno

  • Mtodo de Galerkin

    Sc = b

  • Funes de Base

    Mtodo Clssico de Galerkin Extenso do mtodo das sries de Fourier;

    Funes de base definidas e com valor diferente de zero em todo domnio;

    No existe um mtodo sistemtico para a escolha das funes de base;

    A escolha inadequada pode levar a um sistema de equaes mal-condicionado(difcil soluo ou at mesmo impossvel);

    Possui uso restrito em casos prticos.

    Mtodo dos Elementos Finitos Funes de base definidas de forma sistemtica;

    Sistemas de equaes numericamente estveis e fceis de resolver;

    Funes com valores diferente de zero em uma pequena parte do domnio;

    1D- Subintervalos;

    2D- tringulos, quadrilteros e elementos curvilneos;

    3D- tetraedros, hexaedros, prismas, elementos curvilneos.

  • Discretizao Caso Geral

    Os valores de phi so as variveis locais nodais que podem ser tambm chamadas de

    grau de liberdade de um elemento

    Onde N so as funes locais de forma

  • Discretizao 1D

    Problema Inicial e condies de contorno

    Discretizao linear

  • Discretizao- 1D

    Isolando os coeficientes

    Substituio na funo

  • Discretizao- 1D

    Determina-se:

    A funo kN0 corresponde a funo

  • Discretizao 1D

    Variveis locais e globais

  • Discretizao- 1D

    com

    Analogamente para estrutura

    para

  • Discretizao- 1D

    Primeiro elemento ltimo elemento

  • Discretizao- 1D

  • Discretizao- 2D

    Dada uma equao de Poisson

    Considerando

    e

    Condies do elemento

  • Discretizao- 2D

    Triangular

    Mudana de base

  • Discretizao 2D

  • Discretizao 2D

  • Funes de Base

  • Funes de Base

  • Comparao entre MDF e MEF

    O mtodo das diferenas finitas uma aproximao para as equaes diferenciais, j o mtodo dos elementos finitos uma aproximao para suas solues.

    A caracterstica mais atrativa do mtodo das diferenas finitas que ele pode ser facilmente implementado.

    A caracterstica mais atrativa no MEF e o fato do mesmo pode ser aplicado para corpos de geometria complexa, enquanto que o MDF fica restrito a problemas de geometrias retangulares ou simples distores.

    Os fundamentos matemticos do MEF so mais concisos devido a sua melhor aproximao pelos pontos de sua malha.

    Os resultados so geralmente mais precisos(mais bem aproximados) pelo MEF, porm existem exemplos em que a aplicao do MDF mais coerente, devido a sua estreita dependncia aos valores de contorno.

  • APLICAO

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Motores de dupla salincia;

    Enrolamentos concentrados

    nos plos do extrator ou do

    rotor;

    Sua operao baseada no

    principio de relutncia

    mnima;

    Para o motor se mover com

    rotao contnua deve-se

    energizar sequencialmente

    os enrolamentos do estator

    em sincronismo com a

    posio do rotor

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Pontos Positivos Baixo custo de fabricao;

    Cerca de 60% do custo da produo de motores CC e CA.

    A ausncia de ims e enrolamentos no rotor permitem a queda de custo com material.

    Efeitos mnimos com a temperatura; Limitada a variao de resistncia do estator;

    Operao em altas velocidades; Limitada por cinco fatores principais:

    Perdas no ncleo e ventilao;

    Rolamentos dos mancais;

    Dinmica do eixo do rotor;

    Resistncia mecnica do material do rotor;

    Capacidade VA do conversor.

    Tolerncia a faltas; No caso de um curto circuito em um enrolamento da fase no haver grandes conseqncias mquina, como aconteceria em mquinas permanentemente excitadas ou motores de induo.

    Baixa inrcia;

    Fcil reparo.

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Pontos Negativos:

    Necessidade de conversor para acionamento;

    Pequeno entreferro(distancia entre o motor e o estator);

    So mais sensveis a variao do entreferro e qualquer variao afeta o balano entre as fases e pode gerar um aumento no nvel de rudo.

    Estrutura duplamente saliente;

    Gera aumentos no rudo audvel;

    Necessidade de um sensor de posio ou de um mtodo para identificao de posio;

    No pode ser operado diretamente na rede eltrica;

    Havendo a necessidade de um conversor que adiciona custo ao acionamento como um todo.

    Altas perdas por ventilao a velocidades superiores.

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Objetivos da aplicao do MEF:

    Calcular a indutncia, para as posies

    alinhada e desalinhada;

    Anlise do comportamento do motor com

    VARIAO DO NMERO DE ESPIRAS

    VARIAO DO ENTREFERRO

    VARIAO DO ARCO POLAR DO ROTOR

    VARIAO DA CORRENTE DE FASE

    (EXCITAO)

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Motor de

    relutncia de

    Praveen

    Vijayraghavan

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Marcao dos ns no

    FEA

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Subdiviso em elementos

    finitos

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Comportamento das linhas de fluxo

    (a) posio desalinhada; (b) posio alinhada

    (a) (b)

  • Motor rotacional de relutncia

    varivel

    Resultados

    Analticos

    (Vijayraghavan

    2001)

    Resutaldos

    utilizando o

    FEMM

    (TEIXEIRA 2008)

    Resultados

    usando software

    FEA

    Indutncia

    desalinhado

    15.9 mH 16,09 mH 16.18 mH

    Indutncia

    alinhado

    83.8 mH 80,55 mH 84.92 mH

    Clculo da indutncia

  • Concluso

    O mtodo dos Elementos finitos pode

    ser bastante aplicado rea de

    Engenharia Eltrica. Pois soluciona

    equaes diferenciais parciais como as

    de Laplace e Poisson, extremamente

    utilizadas em problemas de

    eletromagnetismo, com uma

    aproximao bastante prxima do real

    ou analtico.

  • Bibliografia

    SCHFER, Michael. Computational Engineering Introduction to Numerical Methods. John Wiley & Sons, 2006.

    COOK,Robert Davis.Finite Element modeling for stress analysis. John Wiley & Sons

    O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, and J.Z. ZhuThe Finite-Element-Method (Vol. 1, 2, 3)6th edition, Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford, 2005

    PEREIRA,Lus Alberto.Mtodo dos elementos finitos aplicado ao eletromagnetismo. PUCRS

    PEREIRA,Lus Alberto. Aspectos Fundamentais do Mtodo dos Elementos Finitos. PUCRS

    TEIXEIRA, V.S.C.,Projeto de motores a relutncia varivel e ferramenta computacional para determinao das caractersticas estticas da mquina, Dissertao de Mestrado. Universidade Federal do Cear, 2008. 165 p.

    RUGGIERO,Mrcia A.Gomes.Clculo Numrico:Aspectos tericos e computacionais,2 Edio Editora MAKRON Books,1996

    CARNAHAN,B.,LUTHER,H.A.,WILKES,J.O.,Applied Numerical Methods, Editora John Wiley & Sons,1969.

    HENRIQUES, L. O. A. P., Implementao de estratgia de minimizao de oscilaes de torque e remoo de sensor de posio para um acionamento de relutncia varivel usando tcnica neuro-fuzzy, Tese de Doutorado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004. 156 p.

    SADIKU, MATTHEW N.O., Elementos de eletromagnetismo,3 Edio, BOOKMAN Companhia ED ,2004

    CUNHA,Cristina. Mtodos Numricos para as engenharias e cincias aplicadas,Editora da UNICAMP,1993