Dbora Lima Queiroz

rica Martins Cavalcante

Orientadores: Pedro Andr Martins Bezerra

Decio Haramura Jnior

Tutor: Prof. Dr. Jos Carlos Teles Campos

Introduo

Os mtodos numricos so utilizados para encontrar solues aproximadas para problemas de difceis solues analticas. A escolha do mtodo numrico est diretamente relacionada ao problema em questo. Este trabalho tem como funo a utilizao de um mtodo numrico cuja principal caracterstica a resoluo de equaes diferencias parciais como a Equao de Poisson, Equao de Laplace, Equao de Helmholtz, Navier-Stokes, etc...

Mtodo dos elementos finitos

ndice

Histria;

Condies de Contorno;

Mtodo de Galerkin;

Mtodo dos Elementos Finitos;

Mecnica dos Slidos;

Generalizaes;

Motor de Relutncia;

Aplicao;

Bibliografia;

Histria

Em 1909 Ritz desenvolveu um mtodo efetivo para solues de problemas de mecnica e deformaes de slidos. Uma das principais restries do mtodo de Ritz que as funes devem utilizar as condies de contorno do problema.

Em 1943 Courant aprimorou o Mtodo de Ritz atravs da introduo de equaes lineares e definio de regies triangulares e aplicou o mtodo para definies de problemas de toro.Os valores antes desconhecidos foram definidos como os ns das extremidades dos tringulos.Eliminando, assim, a principal restrio do mtodo de Ritz.

Em 1960 o termo "elemento finito" foi utilizado pela primeira vez para definir esse mtodo.

Histria

Uma outra vertente desse mtodo surgiu tambm na dcada de 1940 com o mtodo de Galerkin para solues de equaes diferenciais parciais gerais, e no s aplicadas a rea de Engenharia Civil.Ficou conhecido como mtodo residual.

A principal razo para a no utilizao do mtodo at 20-30 anos atrs a sua complexidade matemtica, mas esse problema foi solucionado com o uso de computadores de maior capacidade.

Mtodo dos Elementos Finitos

Definio

a soluo de equaes diferenciais

parciais pela diviso de um domnio

contnuo em subdomnios discretos de

formas geomtricas conhecidas.

Mtodo dos Elementos Finitos

Discretizao do

domnio

Escolha das funes

de interpolao

Formulao do

sistema

Soluo do

problema

Condies de Contorno

Problemas de valor de contorno so caracterizados

pelo fato de que as condies de contorno so

fixadas nos extremos do intervalo considerado.

Condies de contorno de Dirichlet

Valores da varivel dependente

Homogneas

Condies de Contorno

No-Homogneas

Condies de contorno de Neumann Valor da derivada normal da varivel

Mtodo de Galerkin

Equao de Poisson

Condies de contorno

Clculo do residual

em

em

Mtodo de Galerkin

Usando a definio de residual

Aplicando as condies de contorno

Mtodo de Galerkin

Sc = b

Funes de Base

Mtodo Clssico de Galerkin Extenso do mtodo das sries de Fourier;

Funes de base definidas e com valor diferente de zero em todo domnio;

No existe um mtodo sistemtico para a escolha das funes de base;

A escolha inadequada pode levar a um sistema de equaes mal-condicionado(difcil soluo ou at mesmo impossvel);

Possui uso restrito em casos prticos.

Mtodo dos Elementos Finitos Funes de base definidas de forma sistemtica;

Sistemas de equaes numericamente estveis e fceis de resolver;

Funes com valores diferente de zero em uma pequena parte do domnio;

1D- Subintervalos;

2D- tringulos, quadrilteros e elementos curvilneos;

3D- tetraedros, hexaedros, prismas, elementos curvilneos.

Discretizao Caso Geral

Os valores de phi so as variveis locais nodais que podem ser tambm chamadas de

grau de liberdade de um elemento

Onde N so as funes locais de forma

Discretizao 1D

Problema Inicial e condies de contorno

Discretizao linear

Discretizao- 1D

Isolando os coeficientes

Substituio na funo

Discretizao- 1D

Determina-se:

A funo kN0 corresponde a funo

Discretizao 1D

Variveis locais e globais

Discretizao- 1D

com

Analogamente para estrutura

para

Discretizao- 1D

Primeiro elemento ltimo elemento

Discretizao- 1D

Discretizao- 2D

Dada uma equao de Poisson

Considerando

e

Condies do elemento

Discretizao- 2D

Triangular

Mudana de base

Discretizao 2D

Discretizao 2D

Funes de Base

Funes de Base

Comparao entre MDF e MEF

O mtodo das diferenas finitas uma aproximao para as equaes diferenciais, j o mtodo dos elementos finitos uma aproximao para suas solues.

A caracterstica mais atrativa do mtodo das diferenas finitas que ele pode ser facilmente implementado.

A caracterstica mais atrativa no MEF e o fato do mesmo pode ser aplicado para corpos de geometria complexa, enquanto que o MDF fica restrito a problemas de geometrias retangulares ou simples distores.

Os fundamentos matemticos do MEF so mais concisos devido a sua melhor aproximao pelos pontos de sua malha.

Os resultados so geralmente mais precisos(mais bem aproximados) pelo MEF, porm existem exemplos em que a aplicao do MDF mais coerente, devido a sua estreita dependncia aos valores de contorno.

APLICAO

Motor rotacional de relutncia

varivel

Motores de dupla salincia;

Enrolamentos concentrados

nos plos do extrator ou do

rotor;

Sua operao baseada no

principio de relutncia

mnima;

Para o motor se mover com

rotao contnua deve-se

energizar sequencialmente

os enrolamentos do estator

em sincronismo com a

posio do rotor

Motor rotacional de relutncia

varivel

Pontos Positivos Baixo custo de fabricao;

Cerca de 60% do custo da produo de motores CC e CA.

A ausncia de ims e enrolamentos no rotor permitem a queda de custo com material.

Efeitos mnimos com a temperatura; Limitada a variao de resistncia do estator;

Operao em altas velocidades; Limitada por cinco fatores principais:

Perdas no ncleo e ventilao;

Rolamentos dos mancais;

Dinmica do eixo do rotor;

Resistncia mecnica do material do rotor;

Capacidade VA do conversor.

Tolerncia a faltas; No caso de um curto circuito em um enrolamento da fase no haver grandes conseqncias mquina, como aconteceria em mquinas permanentemente excitadas ou motores de induo.

Baixa inrcia;

Fcil reparo.

Motor rotacional de relutncia

varivel

Pontos Negativos:

Necessidade de conversor para acionamento;

Pequeno entreferro(distancia entre o motor e o estator);

So mais sensveis a variao do entreferro e qualquer variao afeta o balano entre as fases e pode gerar um aumento no nvel de rudo.

Estrutura duplamente saliente;

Gera aumentos no rudo audvel;

Necessidade de um sensor de posio ou de um mtodo para identificao de posio;

No pode ser operado diretamente na rede eltrica;

Havendo a necessidade de um conversor que adiciona custo ao acionamento como um todo.

Altas perdas por ventilao a velocidades superiores.

Motor rotacional de relutncia

varivel

Objetivos da aplicao do MEF:

Calcular a indutncia, para as posies

alinhada e desalinhada;

Anlise do comportamento do motor com

VARIAO DO NMERO DE ESPIRAS

VARIAO DO ENTREFERRO

VARIAO DO ARCO POLAR DO ROTOR

VARIAO DA CORRENTE DE FASE

(EXCITAO)

Motor rotacional de relutncia

varivel

Motor de

relutncia de

Praveen

Vijayraghavan

Motor rotacional de relutncia

varivel

Motor rotacional de relutncia

varivel

Marcao dos ns no

FEA

Motor rotacional de relutncia

varivel

Subdiviso em elementos

finitos

Motor rotacional de relutncia

varivel

Comportamento das linhas de fluxo

(a) posio desalinhada; (b) posio alinhada

(a) (b)

Motor rotacional de relutncia

varivel

Resultados

Analticos

(Vijayraghavan

2001)

Resutaldos

utilizando o

FEMM

(TEIXEIRA 2008)

Resultados

usando software

FEA

Indutncia

desalinhado

15.9 mH 16,09 mH 16.18 mH

Indutncia

alinhado

83.8 mH 80,55 mH 84.92 mH

Clculo da indutncia

Concluso

O mtodo dos Elementos finitos pode

ser bastante aplicado rea de

Engenharia Eltrica. Pois soluciona

equaes diferenciais parciais como as

de Laplace e Poisson, extremamente

utilizadas em problemas de

eletromagnetismo, com uma

aproximao bastante prxima do real

ou analtico.

Bibliografia

SCHFER, Michael. Computational Engineering Introduction to Numerical Methods. John Wiley & Sons, 2006.

COOK,Robert Davis.Finite Element modeling for stress analysis. John Wiley & Sons

O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, and J.Z. ZhuThe Finite-Element-Method (Vol. 1, 2, 3)6th edition, Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford, 2005

PEREIRA,Lus Alberto.Mtodo dos elementos finitos aplicado ao eletromagnetismo. PUCRS

PEREIRA,Lus Alberto. Aspectos Fundamentais do Mtodo dos Elementos Finitos. PUCRS

TEIXEIRA, V.S.C.,Projeto de motores a relutncia varivel e ferramenta computacional para determinao das caractersticas estticas da mquina, Dissertao de Mestrado. Universidade Federal do Cear, 2008. 165 p.

RUGGIERO,Mrcia A.Gomes.Clculo Numrico:Aspectos tericos e computacionais,2 Edio Editora MAKRON Books,1996

CARNAHAN,B.,LUTHER,H.A.,WILKES,J.O.,Applied Numerical Methods, Editora John Wiley & Sons,1969.

HENRIQUES, L. O. A. P., Implementao de estratgia de minimizao de oscilaes de torque e remoo de sensor de posio para um acionamento de relutncia varivel usando tcnica neuro-fuzzy, Tese de Doutorado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004. 156 p.

SADIKU, MATTHEW N.O., Elementos de eletromagnetismo,3 Edio, BOOKMAN Companhia ED ,2004

CUNHA,Cristina. Mtodos Numricos para as engenharias e cincias aplicadas,Editora da UNICAMP,1993