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1
Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
2
Caderno do Aluno de Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 2
Páginas 3 - 5
1. Sendo cinco o número de participantes, cada um dará quatro flores (menos para si
mesmo), o que significa um total de 5 . 4 = 20 flores. Com o mesmo raciocínio,
temos que, com seis participantes o total de flores será 6 . 5 = 30 flores, e com sete,
7. 6 = 42 flores.
2.
NNúúmmeerroo ddee ppaarrttiicciippaanntteess
NNúúmmeerroo ddee fflloorreess qquuee ccaaddaa uumm vvaaii rreecceebbeerr
TToottaall ddee fflloorreess
3 2 3 . 2 = 6
4 3 4 . 3 = 12
5 4 5 . 4 = 20
6 5 6 . 5 = 30
11 10 11 . 10 = 110
x x –1 x(x – 1)
y + 1 y (y + 1)y
3. Alternativa c. Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os
valores apresentados nas alternativas, calculando: 29 . 28 = 812; 30 . 29 = 870;
31 . 30 = 930.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES DE 2o GRAU
3
4. Substituindo os valores das alternativas na última forma da equação:
x = 29 não é solução, pois
292 – 29 – 930 ≠ 0
x = 30 não é solução, pois
302 – 30 – 930 ≠ 0
x = 31 é solução, pois
312 – 31 – 930 = 0
841 – 29 – 930 = – 118 ≠ 0 900 –30 –930 = – 60 ≠ 0 961 – 31 – 930 = 0
5.
a) Indicando a medida do lado do quadrado por x, teremos:
Representação geométrica Expressão algébrica
x2 = 49
A solução dessa equação é simples, basta pensar qual número elevado ao quadrado
resulta 49, isto é, 7. Você, professor, pode também trazer para a discussão que, assim
como 72 = 49, temos que (–7)2 = 49, comentando que, embora ele satisfaça a
equação, tratando-se da medida do lado de um quadrado, esse valor negativo não
deve constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm.
b) Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:
Representação geométrica Expressão algébrica
2y . y = 242
2y2 = 242
4
Se 2y2 = 242, então y2 = 121. Da mesma forma que no exercício anterior, podemos
admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que (11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da
medida do lado de um retângulo, a equação só permite como solução o valor de
y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 . 11 = 22 cm.
c) Indicando a medida do cateto por a, teremos:
Representação geométrica Expressão algébrica
1822
.
..2
1
..2
1
2
aaaA
catetocatetoA
alturabaseA
Como 182
2
a
, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo, os valores 6 e –6
satisfazem a equação, mas somente o 6 é solução da equação, pois a medida do lado
de um triângulo deve ser positiva. Para encontrarmos a medida da hipotenusa,
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: 2666 222 hh .
Portanto, a resposta para esse exercício será: catetos de medida 6 cm e hipotenusa de
medida 26h cm. Mais uma vez, desprezamos a solução negativa.
d) A área do retângulo será dada pela equação: x(x + 8) = 65, que pode ser
resolvida por meio de tentativas. Basta descobrir dois números cuja diferença seja 8 e
o produto 65.
x 1 2 3 4 5
x + 8 9 10 11 12 13
5
x(x + 8) 9 20 33 48 65
Assim, verifica-se que os lados do retângulo medem 5 cm e 13 cm. O perímetro do
retângulo será igual a 5 cm + 5cm + 13 cm + 13 cm = 36 cm.
e) Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com a redução de
2 metros o lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:
Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução dessa
equação pode ser feita com cálculo mental. Para isso, deve-se notar que 144 é o
quadrado do número 12 e que, portanto, x – 4 = 12, isto é, x = 16. Logo, a área
original desse quarteirão era de 256 m2.
Página 6
6.
IItteemm EEqquuaaççããoo uuttiilliizzaaddaa EEqquuaaççããoo ttrraannssffoorrmmaaddaa
a) x2 = 49 x2 – 49 = 0
b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0
c) a2 = 36 a2 – 36 = 0
d) x(x + 8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0
6
e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0
Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda
potência.
Além disso, apenas os problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com três
termos.
Páginas 6 - 9
7.
8.
a) – 3 ou 3.
b) – 3 ou 3.
c) – 3 ou 3.
d) – 4 ou 4.
e) 2
5
2
5ou .
f) 5
2
5
2ou .
7
g) Não há solução real, pois não há número real que elevado ao quadrado seja
igual a –1.
h) – 2 ou 2.
i) 2
7
2
7ou .
j) 0.
k) 0.
l) 0.
9.
a) S = {–2, 6}.
b) S =
2
1,
3
2.
c) S = {0, 4}.
d) S = {–1, 0}.
e) S = {3, 5}.
Página 10
10.
a) – 6 ou 6.
b) – 7 ou 11.
c) Não há solução real.
d) 0 ou 4.
e) – 5 ou 5.
8
Páginas 12
11.
13122 xx
136.22 xx
49)6(3613366.2 22 xouxx
Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado será 49 = 7. Assim, o
9
lado do quadrado x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.
Páginas 14 - 15
12.
a)
1030
1020
40010
400)10(
100300100202
2
xoux
x
x
x
xx
b)
612
5
2
74
49
2
5
4
49
2
5
4
256
4
255
2
2
xoux
x
x
x
xx
10
c)
122 xx
Não há solução, pois a área não pode ser negativa. Contudo, é possível
extrapolar o limite dado pelo método e interpretar a equação da seguinte forma:
1,010)1(1112 22 xxxxx
Páginas 15 - 18
13.
a) Sim; (x + 2)2.
b) Sim; (x – 3)2.
c) Sim; (2x + 3)2.
d) Sim; (5x + 10)2.
e) Não é, pois o termo central não corresponde ao dobro do produto do primeiro
termo, x, pelo segundo, 1.
14.
a) 81.
b) 12.
c) 100.
d) 28.
e) 9.
11
15.
a) (x – 3)2 = 0, logo x = 3.
b) (x + 6)2 = 0, logo x = –6.
c) (x – 2)2 = 0, logo x = 2.
d) (x + 2
1 )2 = 0, logo x =
2
1 .
16.
a) 3 e 4, pois 3+4 = 7 e 3 . 4 = 12
b) 3 e 8, pois 3+8 = 11 e 3 . 8 = 24
c) –1 e 12, pois 12 + (–1) = 11 e 12 . (–1) = –12
d) –2 e 12, pois 12 + (–2) = 10 e 12 . (–2) = –24
e) – 5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) . (–8) = 40
f) 4 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 . (–10) = –40
17.
a) (x + 2).(x + 15)
b) (x – 4).(x – 8)
c) (x + 5).(x – 12)
d) (x – 10).(x + 6)
18.
a) (x – 5).(x + 3) = 0, logo, x = 5 ou x = –3.
b) (x + 3).(x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.
c) (x – 6).(x – 6) = 0, logo, x = 6.
d) (x + 9).(x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4.
e) (x – 4).(x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.
12
Página 18
19.
EEqquuaaççããoo FFoorrmmaa ffaattoorraaddaa SSoolluuççããoo
a) x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4).(x + 2) = 0 x = 4 ou x –2
b) x2 – 8x + 16 = 0 (x – 4).(x – 4) = 0
ou (x – 4)2 = 0 x = 4
c) x2 – 10x + 24 = 0 (x – 4).(x – 6) = 0 x = 4 ou x = 6
d) x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 ou x = –2
e) 6x2 – 18x +12 = 0 6(x – 1).(x – 2) x = 1 ou x = 2
f) 2x2 – 18x + 36 = 0 2(x – 3).(x – 6) x = 3 ou x = 6
Páginas 19 - 21
20. Algumas respostas possíveis:
a) (x + 5).(x – 3) = 0
x2 + 2x – 15 = 0
b) (x – 4).(x – 12) = 0
x2 – 16x + 48 = 0
c) (x + 2).(x + 2,5) = 0
x2 + 4,5x + 5 = 0
d) (x + 2
1).(x –
3
2) = 0
x2 –6
1x –
3
1 = 0
e) (x).(x – 12) = 0
13
x2 – 12x = 0
f) (x + 5).(x –5) = 0
x2 – 25 = 0
21.
a) x = 1 ou x = –3
b) x = –1 ou x = 3
2
c) x = 1 ou x = 6
d) x = –1 ou x = 2
1
e) Não tem solução real.
f) x = 2
3
22. O valor da expressão b² – 4ac é tão importante que foi denominado discriminante.
De fato, seu valor vai determinar se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes
reais distintas ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou, então, não admitir
raízes reais. Ele foi representado por uma letra grega Δ (delta). Assim, Δ = b2 – 4ac.
Como ele é o radicando de uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes
relações:
ΔΔ == 00 ΔΔ >> 00 ΔΔ << 00
Duas raízes reais idênticas
(uma raiz dupla)
Duas raízes reais distintas Não admite raízes reais
14
Páginas 21 - 22
23.
a) 2.
b) Não existem raízes reais.
c) 3 ou 5.
d) 4
331
4
331 ou .
e) –1 ou 3.
f) –1 ou 3.
g) –1 ou 3.
24. Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação dos dois membros, em
relação a uma delas, por um mesmo número real diferente de 0. Assim, pelo
princípio multiplicativo da igualdade, todas são equações equivalentes e, por isso,
têm as mesmas raízes.
Página 23
25.
a) x(x + 5) = 3 . 2 para x ≠ 0
x2 + 5x – 6 = 0
x = 1 ou x = –6
b) 2
92
1
10
xxx para x ≠ 0, –1 e –2
10x(x + 2) = 2(x + 1).(x + 2) + 9x(x + 1)
10x2 + 20x = 2x2 + 6x + 4 + 9x2 + 9x
–x2 + 5x – 4 = 0
x = 1 ou x = 4
15
Páginas 25 - 30
1.
a) Se considerarmos x o total do bando, temos que xx
128
2
. Resolvendo a
equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.
b) Consideremos inicialmente x a distância do tronco da palmeira maior ao peixe.
Como os pássaros chegam ao mesmo tempo, supomos que voem à mesma
velocidade, considerando que a distância por eles percorrida é a mesma. Portanto, os
2 triângulos retângulos possuem a mesma medida de hipotenusa. Dessa forma,
aplicando-se o Teorema de Pitágoras, podemos escrever 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
Embora pareça uma equação de 2o grau, os termos em x2 se cancelarão, resultando
em uma equação de 1o grau de raiz 20. Portanto, o peixe apareceu a 20 côvados da
palmeira maior.
c) A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão 2
1 e
22
25 .
Contudo, somente a solução positiva tem significado nessa situação: a medida do
lado do quadrado deve ser igual a 2
1 ou 0,5.
2. Geralmente, no início do problema devemos decidir se o professor será ou não
considerado no total de pessoas. No caso, podemos supor que ele observou os
cumprimentos entre as pessoas, desconsiderando, portanto, os referentes a ele. Para
resolver esse problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de
cumprimentos que cada pessoa dá é 1 unidade a menos que o número total de
pessoas; afinal, uma pessoa não cumprimenta a si mesma. Indicando por x o número
de pessoas, o número total de cumprimentos será x(x – 1). Depois, como o
cumprimento do aluno A com o aluno B é o mesmo cumprimento de B com A esse
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
16
total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação 662
)1(
xx, isto é,
x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os números 12 e –11. Como a raiz negativa
não tem significado, podemos concluir que 12 pessoas o acompanharam.
3. Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação x² – 5x + 10 = 0, cujo
discriminante é negativo, indicando, assim, que não existem dois números reais que
satisfazem às condições do problema.
4.
a) – 9 ou –1.
b) – 6 ou 6.
c) Uma possível resposta: b = 5, uma vez que esta questão não tem uma única
resposta. Sua discussão permite antecipar a compreensão de noções importantes
relacionadas à função modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante
o Ensino Médio.
5.
a) Retângulo: duas diagonais; pentágono: cinco diagonais.
b)
NNúúmmeerroo ddee llaaddooss ddee uumm ppoollííggoonnoo NNúúmmeerroo ddee ddiiaaggoonnaaiiss ddee uumm ppoollííggoonnoo
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
... ...
n 2
)3( nn
17
c) 90.
d) 11 lados.
e) Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes inteiras positivas.
Páginas 30 - 31
6. A área ocupada pelas pedras pode ser decomposta em dois retângulos de área igual a
6x e 15x e um quadrado de área x2. Assim, podemos escrever a equação
x2+15x+6x = 46, cuja solução positiva é 2. Portanto, a medida do lado x é igual a 2.
7. Sendo x o número de fios de linha azul, podemos escrever a equação
x(x+5) = 6 800, cuja solução positiva é 80. Portanto, são 80 fios azuis e 85 fios
vermelhos.
8. A área da moldura pode ser decomposta em quatro quadrados de área x2, dois
retângulos de área 2x e 2 retângulos de área 4x. Resolvendo a equação
4x2 + 2 . 2x + 2 . 4x = 7, obtemos as raízes – 3,5 e 0,5. Portanto, o valor de x será
0,5 m.
Desafio!
Página 32
9.
a) x3 – 6x = 0; logo, x(x2 – 6) = 0.
Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0 x = 6 . A equação tem, portanto, como
soluções:
S = 6,6,0 .
b) x(x2 – 6x) = 0.
x = 0 é uma das soluções.
x2 – 6x = 0x = 0 ou x = 6.
A solução da equação é S = {0, 6}.
18
Páginas 34 - 35
1. Podemos dizer que o preço de dez maçãs está relativamente barato em comparação
com o preço de cinco maçãs. Se o preço fosse diretamente proporcional ao número
de maçãs, dez delas custariam 2 reais, e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante era
realmente boa para a compra de dez maçãs.
2.
a) São grandezas diretamente proporcionais, pois quando o valor de uma grandeza
dobra o valor correspondente da outra também dobra; quando este triplica, o outro
também triplica, etc. Isto é, a razão y
x é constante e a sentença que expressa a
relação entre x e y é y = 10x.
b) São grandezas inversamente proporcionais, pois quando o valor de uma
grandeza dobra o valor correspondente da outra se reduz à metade; quando este
triplica, o outro reduz a um terço, etc. O produto de x . y é constante e a sentença que
expressa a relação entre x e y é x . y = 48 ou x
y48
.
c) Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se
observa uma constante nem para y
x nem para x . y. A sentença que relaciona x e y
pode ser y = 2x + 1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são
iguais ao dobro dos correspondentes valores de x acrescidos de 1 unidade).
d) Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois
não se observa uma constante nem para y
x nem para x . y. A sentença que relaciona
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL, SIGNIFICADOS E CONTEXTOS
19
x e y é y = 2x2 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são iguais
ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).
Páginas 35 - 37
3.
xx 1 2 3 4 5 6 7
yy 3 5 7 9 11 13 15
yy –– 11 2 4 6 8 10 12 14
Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos que a razão x
y 1 é
constante. Como 21
x
y, o valor 2 representa a constante de proporcionalidade.
4.
xx 1 2 3 4 5 6 7
xx22 1 4 9 16 25 36 49
yy 2 8 18 32 50 72 98
Construindo uma nova tabela, observamos que os valores de y são diretamente
proporcionais ao quadrado de x, isto é, 2x
y é constante e, como 2
2
x
y, a constante
de proporcionalidade é 2.
5.
a) Não. Quando a idade de uma pessoa dobra (digamos, passa de 2 a 4 anos), não é
verdade que sua massa também dobra. Se houvesse proporcionalidade direta,
imagine a massa de uma pessoa aos 40 anos...
20
b) Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 metro do fio pela quantidade x
de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 metro de fio. Mas, às vezes, o vendedor
pode fazer algum desconto se a pessoa comprar muito e, nesse caso, a
proporcionalidade deixa de existir.
c) Sim. De fato, quando o número de cópias dobra (digamos, passa de cinco para
dez), é verdade que o preço a ser pago também dobra.
d) O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou seja, p é o produto
da medida a do lado por 3, ou seja p = 3a. Portanto, o perímetro é proporcional à
medida do lado do triângulo equilátero.
e) Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou seja, ad .2 . Isso é
possível de perceber aplicando-se o Teorema de Pitágoras.
f) Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2π. Ou seja,
rCe
r
C.22
g) Não, a área do círculo não é proporcional ao seu raio. No entanto, como a área
de um círculo é dada pela expressão A = πr2, observamos a seguinte
proporcionalidade: 2r
A. Portanto, a área de um círculo é proporcional ao
quadrado do seu raio.
Páginas 37 - 41
6.
a) 100
1
20
4
10
1222
v
dk .
b) Para d = 83, temos 83.100
1 2 v , cuja solução é 91,1. Portanto, a velocidade
deve ser de aproximadamente 90 km/h.
c) Para v = 80, temos 280.100
1d , cuja solução é 64 metros.
21
7.
a) x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores na expressão, chegamos ao valor
de k = 5. Isso significa que, a cada quantidade produzida, o custo total aumenta em
5 reais.
b) Aumentará, em ambos os casos, em 5 reais, pois a variação foi de 1 unidade
produzida.
c) x = 200, pois 5 . 200 = 1 000.
d) Não. O custo total C não é diretamente proporcional a x, pois a razão x
C não é
constante. Veja: para x = 1, temos C = 1 005 e, para x = 2, temos C = 1 010;
1
0051
2
0101 , ou seja,
x
C não é constante.
e) Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é diretamente proporcional a x,
ou seja, o custo variável é diretamente proporcional a x e a constante de
proporcionalidade é igual a 5.
f)
NNoo ddee pprroodduuttooss ((xx))
CCuussttoo ttoottaall DDiiffeerreennççaa eennttrree oo
ccuussttoo ttoottaall ee oo ccuussttoo ffiixxoo ((ccuussttoo vvaarriiáávveell))
RRaazzããoo eennttrree aa ddiiffeerreennççaa ee xx
1 1 000 + 5 . 1 = 1 005 1 005 – 1 000 = 5 51
5
2 1 000 + 5 . 2 = 1 010 1 010 – 1 000 = 10 52
10
3 1 000 + 5 . 3 = 1 015 1 015 – 1 000 = 15 53
15
4 1 000 + 5 . 4 = 1 020 1 020 – 1 000 = 20 54
20
10 1 000 + 5 . 10 = 1 050 1 050 – 1 000 = 50 510
50
8.
a) Mulher: n = 3 . 13 – 22 = 17 / Homem: n = 3 . 16 – 25 = 23.
b) A mulher, pois a parcela subtraída na fórmula é menor do que a do homem.
22
c) A resposta é não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,
observamos que a diferença entre os números dos homens e os das mulheres
permanece em 3 unidades e que cada uma delas cresce com a mesma variação: 3 por
polegada.
CC 9 10 11 12 13 14 15 16 17
NNoo hhoommeemm 2 5 8 11 13 15 17 20 23
NNoo mmuullhheerr 5 8 11 13 15 17 20 23 26
Páginas 41 - 42
9.
a) Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade de 10 m (x = 10), a
pressão aumenta em 1 atmosfera. Assim, a 10 m de profundidade a pressão será 1 +
1 = 2 atmosferas. Logo, 2 = 1 + k . 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor
poderia ser mais rapidamente calculado, bastando dividir o acréscimo de 1 atmosfera
de pressão por 10.
b) A cada metro que descemos, a pressão aumenta de 0,1 atm.
c) x = 20 m.
d) Não, pois a razão entre p e h não é constante.
e) Sim, pois a razão entre a diferença entre as pressões (acréscimo de pressão) e a
profundidade é constante.
23
Páginas 42 - 43
10.
a)
DDiissttâânncciiaa ((dd)) 1 2 3 4 5 6 7
ÁÁrreeaa ((AA)) 1 4 9 16 25 36 49
b) A = d2.
c) A não é diretamente proporcional a d.
d) A é diretamente proporcional a d2 e a razão de proporcionalidade é 1.
24
Páginas 44 - 47
1.
I – c.
II – d.
III – b.
2.
a) 30 gramas.
b) 2 cm3.
c) Por meio da leitura do gráfico podemos verificar que a amostra de 1 cm3 de ferro
tem massa de 7,5 gramas. A massa de 2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é
30 g. Por outro lado, podemos ler o gráfico com base no eixo vertical: o volume de
uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é de 3 cm3. Esse gráfico indica como
varia a massa m (em gramas) de amostras de ferro de acordo com a variação do
volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3 para
2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15 gramas); ao triplicar o
volume (de 1 cm3 para 3 cm3) a massa também triplicou (de 7,5 gramas para
22,5 gramas). Assim, concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional ao
volume.
d) Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos
que: 31
5,7
cm
gramas= 7,5 g/cm3; 32
15
cm
gramas= 7,5 g/cm3;
33
/5,73
5,22cmg
cm
gramas .
Portanto, ao variar o volume V do bloco, sua massa também varia, mas o quociente
entre a massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS
25
e) VmouV
m5,75,7 .
3.
a)
tt ((hh)) 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
vv ((kkmm//hh))
120 80 60 40 30 24 20 15 10
b) Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade
média e o tempo gasto para percorrer a distância dada – não são diretamente
proporcionais, e sim inversamente proporcionais, porque quando o valor de uma
delas é multiplicado por 2, o valor correspondente da outra é dividido por 2. Quando
um deles é dividido por 6, o correspondente da outra é multiplicado por 6 e assim por
diante. Ou seja, duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando os
produtos dos valores de uma pelos correspondentes valores da outra forem
constantes. Gráficos de grandezas inversamente proporcionais são denominados
hipérboles.
c) v . t = 120.
Páginas 47 - 49
4.
a) As grandezas não são diretamente proporcionais porque a razão q
p não é
constante. Por exemplo: 400
10= 0,025 é diferente de
500
8 = 0,016. Da mesma forma,
as grandezas também não são inversamente proporcionais, pois o produto de p e q
também não é constante. Analisando a relação existente entre as grandezas
envolvidas percebemos que quando há aumento de uma ocorre diminuição da outra.
Por isso, essa relação pode ser chamada de decrescente. No entanto, as grandezas em
26
questão não são inversamente proporcionais, pois, quando se compra uma quantidade
de camisetas duas vezes maior, o valor da cada camiseta diminui, mas não é a
metade; quando a quantidade de itens vendidos é triplicada, o preço por unidade
diminui, mas não se reduz a um terço, etc. Portanto, essas grandezas não são direta
nem inversamente proporcionais.
b) O preço varia em 2 reais.
c) O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades vendidas.
d) Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades o preço aumenta 2
reais, então, o preço inicial das camisetas seria 18 reais. Como a cada unidade
vendida o preço diminui 0,02 reais, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.
5.
a) Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).
b)
No de bombons
No de caixas
2 18
3 12
4 9
6 6
9 4
12 3
27
c)
Páginas 50 - 53
6.
a)
RReettâânngguullooss PPeerríímmeettrroo ((ccmm)) ÁÁrreeaa ((ccmm22))
I 22 24
II 22 10
III 22 30
b) 2x + 2y = 22, logo y = –x + 11.
c) Nesta tabela, consideramos apenas os valores inteiros de x.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
28
d) À medida que o valor de x aumenta, é possível observar também que o valor de
y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As variáveis y e x não são
proporcionais entre si.
e) A = x . y = x(– x + 11) = – x2 + 11x.
f) Considerando-se apenas os valores inteiros de x, obtêm-se:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A 0 10 18 24 28 30 30 28 24 18 10 0
g) A partir da tabela, pode-se observar que os valores de A e x não são nem direta
nem inversamente proporcionais.
29
h)
Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a maior área será obtida para
x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou
seja, a área máxima será a de um quadrado.
7.
a) p = 4x
b) A = x²
c) x² = 4x; logo, x = 4
Páginas 54 - 55
8.
a) Se o ingresso custar 4 reais, o lucro será de 12 reais, como mostra o gráfico.
30
b) Não, para valores maiores que 6 reais e menores que 10 reais haverá lucro. A
partir daí, haverá prejuízo.
c) O lucro cresce até 6 reais. A partir daí, ele decresce.
d) O lucro máximo de 16 reais é obtido com o ingresso custando 6 reais.
e) Nesses intervalos o projeto tem prejuízo.
f) Para esses valores, o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se que os valores
encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo y, que passa pelo ponto de mínimo
da função x = 6.
AJUSTES
Caderno do Professor de Química – 8ª série/9º ano – Volume 2
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
16
e) Um quarteirão na forma de um quadrado
foi contornado por uma calçada com 2 me-
tros de largura, o que reduziu a área reser-
vada à construção de imóveis, conforme a
figura a seguir. Com isso a área para cons-
trução passou a ser de 144 m2. Qual era a
medida da área original do quarteirão?
2 m
144 m2
Se x for considerada a medida do lado do qua-
drado original, com a redução de 2 metros o
lado do quadrado interno medirá x – 4 metros:
x – 4
x
144 m22 2
Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 = 144. A solução desta equação pode ser encontrada por meio de cálculo mental. Para isso, devemos notar que 144 é o quadrado do número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16.Logo, a medida da área original do quarteirão era 256 m2.Nesse momento, o professor pode discutir que (–12)2 é igual a 144 e que x – 4 = –12, isto é, x = –8 também satisfaz a equação. Contudo, como –8 não pode ser a medida de um lado do quadrado, a resposta a esse pro-blema será 16 centímetros.
A partir de situações como essas, que podem
complementar outras atividades que o professor
já tenha selecionado para o tratamento desse as-
sunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal
das equações de 2º- grau. Para isso, sugerimos
que os alunos comparem as equações construí-
das e apontem as semelhanças e diferenças entre
elas. Para essa comparação será conveniente que
todas estejam na mesma forma. Isso é pos sível
operando algebricamente para obter que o se-
gundo membro da equação fique igual a zero:
a) x2 = 49 x2 – 49 = 0
b) 2y2 = 242 2y2 – 242 = 0
c) a2 = 36 a2 – 36 = 0
d) x(x+8) = 65 x2 + 8x – 65 = 0
e) (x – 4)2 = 144 x2 – 8x – 128 = 0
Quanto às semelhanças, pode-se registrar que:
diferentemente das equações de 1º- grau, f
essas equações possuem um termo cuja
incógnita está elevada ao expoente 2.
É possível que algumas das diferenças
apontadas sejam:
algumas equações não têm o termo de f
grau 1 (x, y, a...) e outras têm;
apenas os problemas f d e e apresentam
uma equação de 2º- grau com três termos
no primeiro membro.
Explore essas observações para introduzir
os termos: equação de 2º- grau completa; equa-
ção de 2º- grau incompleta; coeficientes e raízes
da equação. Enfim, o momento é oportuno
para apresentar a ideia de equação de 2º- grau de
maneira mais formal, ou seja: chama-se equa-
24
Observe, professor, que nos itens dessa ativi-
dade, embora as soluções negativas não tenham
sentido geométrico, satisfazem as equações al-
gébricas. Mais uma vez pode-se aproveitar a
oportunidade para discutir com os alunos que,
enquanto o método geométrico permite a escrita
da equação na forma fatorada conhecida, o mé-
todo algébrico permite a determinação de todas
as soluções reais da equação, quando existirem.
As discussões feitas até aqui convergem para
a ideia de que as equações de 2º- grau quando
fatoradas podem ser resolvidas com fatos já
apreendidos. Com essa abordagem entendemos
que, o desenvolvimento do quadrado da soma
e do quadrado da diferença de dois números e
seus respectivos processos de fatoração ganham
nova importância. Assim, observando o desen-
volvimento de:
(x + a)2 = x2 + 2 . ax + a2
(x – a)2 = x2 – 2 . ax + a2
podemos concluir que: um trinômio é qua-drado perfeito quando o termo que não tem x, termo independente de x, é igual à metade do coeficiente de x elevado ao quadrado.
Como sugestão para abordar esse processo, propomos, a seguir, duas atividades cujo obje-tivo é aprimorar o olhar sobre trinômios qua-drados para identificar quais são perfeitos.
Atividade 8
Quais dos seguintes trinômios da lista a
seguir referem-se a quadrados perfeitos:
a) x2 + 4x + 4
(x + 2)2.
b) x2 – 6x + 9
(x – 3)2
c) 4x2 + 12x + 9
(2x + 3)2
d) 25x2 + 100x + 100
(5x + 10)2
Atividade 9
Encontre o termo que falta para que o tri-
nômio seja um quadrado perfeito:
a) x2 + 18x +
92 = 81
b) 9x2 + x + 4
2 . 3 . 2 = 12
c) x2 – 20x +
102 = 100
d) 4x2 – x + 49
2 . 2 . 7 = 28
Retomando as situações que envolvem a
resolução de equações de 2º- grau, observamos
que, algumas vezes, a equação já apresenta um
trinômio quadrado perfeito como a equação:
x2 + 10x + 25 = 0.
Basta observar que o termo independente
é igual à metade do coeficiente de x elevado
ao quadrado. Portanto, ele já representa um
quadrado perfeito de lado (x + 5). Então:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0
Logo: x = –5 é a resposta.