UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional

PROFMAT

DISSERTAODE MESTRADO

Congruncia e Equaes Diofantinas Lineares:

Uma Proposta para o Ensino Bsico.

Paulo Sergio de Almeida Santos

Macei, Abril de 2013

Aos meus pais, Maria Luiza e Severino.

AGRADECIMENTOS

A Deus, o que seria de mim sem a f que eu tenho nele.

Aos meus pais, Maria Luiza e Severino, ao meu irmo, Paulo Roberto, e a toda minhafamlia que, com muito carinho e apoio, no mediram esforos para que eu chegasse atesta etapa de minha vida.

Ao professor Andr Flores pela pacincia na orientao e incentivo que tornaram possvela concluso desta dissertao.

A todos os professores do curso, que foram to importantes na minha vida acadmicae no desenvolvimento desta dissertao.

Aos amigos e colegas, pelo incentivo e pelo apoio constantes.

1. Unidade aquilo segundo o qualcada uma das coisas existentes ditaum.2. E nmero a quantidadecomposta de unidade.

EUCLIDES

RESUMO

O objetivo principal deste trabalho foi o desenvolvimento de sequncias didticas que pu-dessem auxiliar professores e alunos no processo de ensino-aprendizagem de conceitos dealguns tpicos de Aritmtica no Ensino Bsico. Sero abordados a congruncia mdulo n eequaes diofantinas lineares com duas incgnitas; tambm, apresentar a diviso euclidianade uma forma mais amadurecida, deste mesmo modo tambm apresentar o algoritmo deEuclides para a obteno do mximo divisor comum de dois nmeros inteiros ou naturais.Assim tambm, fazer uma breve anlise de como mostrada a diviso dos naturais e a ob-teno do mximo divisor comum nos livros didticos. Ao longo do trabalho, so expostasas justificativas do porqu est sendo proposto o ensino de congruncia mdulo n e dasequaes diofantinas lineares no Ensino Bsico,observando de um lado, o amadurecimentodo conceito de diviso euclidiana dotar o estudante da capacidade de resolver problemas decarter cclicos encontrados em olimpadas de matemtica, e de outro lado, fazer uma natu-ral transio entre a Aritmtica e a lgebra. Assim, nos ltimos captulos so apresentadassequncias didticas, que representam o produto final deste trabalho dissertativo.

Palavras-chaves: Sequncia Didtica. Congruncia mdulo n. Equaes diofantinas line-kkkkkkkkkkkkkkkkares. Ensino. Diviso euclidiana. Algoritmo de Euclides.

ABSTRACT

The principal objective of this work was the development of didactic sequences that couldto help teacher and students in the teaching-learning process of concepts, some topics ofArithmetic in Basic Education. Will be see congruence modulo n and diophantine equationslinear with two unknowns; also, to show the Euclidean division of a manner more mature,of equal manner to present the Euclidean algorithm to obtain the MDC of two integernumbers or natural numbers. So also make a short analysis is displayer how the divisionof natural numbers and obtaining MDC in textbooks. Throughout this work are exposedjustification of why is being proposed the teaching of congruence modulo n and lineardiophantine equations in Basic Education, observing oneside, the students of the abilityto solve problems of cyclical character found in Math Olympics and otherwise, to make anatural transition between Arithmetic and Algebra. So, in the last chapters are presenteddidactic sequences, that representing the final product of this dissertation work.

Keywords: Didactic sequences. Congruence modulo n. Diophantine linear equations.kk.kkkkk.kkkTeaching. Euclidian division. Euclid algorithm.

SUMRIO

1 INTRODUO 10

2 DIVISIBILIDADE, DIVISO EUCLIDIANA E MDC 15

2.1 Um pouco de histria sobre Euclides e da diviso euclidiana . . . . . 15

2.2 Propriedades da divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Diviso Euclidiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 A diviso dos nmeros naturais vista no Ensino Fundamental . . . . . 24

2.5 Amadurecendo o conceito de diviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 MDC: Usando o Algoritmo de Euclides pra determinar o mdc. . . . . 30

3 ENSINANDO CONGRUNCIA MDULO N 37

3.1 Introduzindo congruncia no Ensino Bsico . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Um pouco sobre os Nmeros Inteiros Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Aritmtica dos restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Aplicaes de congruncia vista no Ensino Bsico . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Significado do resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.2 A congruncia como apoio compreenso de outros conceitos noEnsino Bsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Classe residual mdulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 ENSINANDO EQUAES DIOFANTINAS LINEARES 60

4.1 Em que momento se pode ensinar as equaes diofantinas . . . . . . . 60

4.2 Um pouco da histria de Diofanto e dos problemas diofantinos . . . . 61

SUMRIO

4.3 Equaes Diofantinas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 SEQUNCIA DIDTICA PARA A CONGRUNCIA MDULO N 78

6 SEQUNCIA DIDTICA PARA AS EQUAES DIOFANTINAS 93

7 CONCLUSO 109

REFERNCIAS 111

10

1 INTRODUO

Os PCNs trazem, em relao rea de Matemtica, uma pretenso clara no sen-tido de no conferir um carter meramente instrumental ou tcnico-cienticifista, alheio scincias humanas e descolado das vivncias dirias. A hierarquizao e a verticalidadedos assuntos a serem tratados e o estrito e linear atendimento lgica interna da rea apontado como desestimulante ao processo real de aprendizagem, trazendo frustraes sexpectativas de aprendizagem dos alunos.

Os PCNs entendem que a escola no pode subestimar os conhecimentos prvios eempricos do aluno. Outro aspecto que deve ser considerado o contexto social da escola edo seu entorno, considerando os anseios e objetivos dos alunos e buscando estratgias paraestimul-lo ao estudo da rea.

O saber matemtico no construdo de modo simples; segundo os PCNs.O conhe-cimento matemtico fruto de um processo de que fazem parte a imaginao, os contra-exemplos, as conjecturas, as crticas, os erros e os acertos.(BRASIL ,1997, p.24). Mascomo aponta o conhecimento matemtico em sua natureza exposto de forma descontextu-alizada, sem limitao do tempo em que foi construdo. Pois preocupao do matemticoapresentar resultados gerais.

No processo de criao matemtico em si conflituoso: concreto versus abstrato,particular versus geral, formal versus informal. Tais conflitos tambm esto presentes noprocesso de ensino-aprendizagem desta disciplina

Nesse sentido fundamental que o ensino de Matemtica desempenhe seu papelno desenvolvimento da formao de capacidades intelectuais, na criao e agilidade doraciocnio dedutivo e sua aplicao na resoluo de problemas. Sob este ponto de vista, osPCNs, diz que:

fundamental no subestimar a capacidade dos alunos, reconhecendo queresolvem problemas, mesmo que razoavelmente complexos, lanando mo

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de seus conhecimentos sobre o assunto e buscando estabelecer relaesentre o j conhecido e o novo. (BRASIL , 1997, p.29)

Para isso fundamental que o professor compreenda um problema matemtico emseus diverso aspectos, concebendo-o como uma situao que exige a realizao de umasequncia de aes ou operaes com o objetivo de chegar a um resultado. Desta forma,o professor deve ter a conscincia de que a soluo desse problema no est disponvel noincio, mas possvel constru-la.

Da mesma forma de como a resoluo de problemas importante para o ensino deMatemtica, o conhecimento histrico tambm pode ser usado para a obteno dos conte-dos matemticos. Assim os PCNs lana a seguinte orientao de como deve ser a formaodo professor de matemtica: O conhecimento da histria dos conceitos matemticos precisafazer parte da formao dos professores(BRASIL, 1997, p.30). Pois desta forma, permitirque os alunos conheam a Matemtica como cincia mutvel e dinmica, aberta a novosconhecimentos.

Da mesma forma segundo os PCNs:

A Histria da Matemtica, mediante um processo de transposio didticae juntamente com outros recursos didticos e metodolgicos, pode ofereceruma importante contribuio ao processo de ensino e aprendizagem emMatemtica. (BRASIL, 1997, p.34)

O termo Transposio Didtica esta usualmente presente neste trabalho dissertativo.Neste aspecto Polidoro afirma que:

A Transposio Didtica um instrumento pelo qual analisamos o mo-vimento do saber sbio (aquele que os cientistas descobrem) para o sabera ensinar livros didticos) e, por este, ao saber ensinado (aquele que real-mente acontece em sala de aula).(POLIDORO , 2010, p.153 )

Este termo foi inicialmente introduzido em 1975 pelo socilogo Michel Verret e redis-cutido por Yves Chevallard em 1985 em seu livro La Transposition Didatique onde mostraas transposies que um saber sofre quando passa do campo cientfico para a escola e alertapara a importncia da compreenso deste processo por aqueles que lidam com o ensinodas disciplinas cientficas. Chevallard conceitua "Transposio Didtica"como o trabalhode fabricar um objeto de ensino, ou seja, fazer um objeto de saber produzido pelo "sbio"(ocientista) ser objeto do saber escolar. Nessa mesma perspectiva:

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O termo Transposio Didtica implica a diferenciao entre saber acad-mico e saber escolar, que so de natureza e funes distintas, nem sempreevidentes nas anlises sobre a dimenso cognitiva do processo de ensinoe aprendizagem. Ao definir como Transposio Didtica o processo detransformao de objetos de conhecimento em objetos de ensino e apren-dizagem. (POLIDORO, 2010, p.154)

O tema central deste trabalho uma proposta de Transposio Didtica do ensinode congruncia e equaes diofantinas lineares para o Ensino Bsico, expandindo o conceitode divisibilidade e tratando o conhecimento da diviso euclidiana, o algoritmo de Euclidese as equaes diofantinas lineares de forma construtiva e intuitiva.

Nesse aspecto, ao longo do trabalho busca-se justificar a importncia da presena dostpicos acima mencionados no ensino de Matemtica, deixando claro que tais tpicos fiquemcomo assuntos complementares para o currculo de Matemtica e postos em momentosadequados. Lins lana uma crtica muito forte sobre o ensino de Aritmtica, tal crtica uma justificativa pertinente a este trabalho acadmico, essa crtica de fato o problemaabordado neste trabalho dissertativo.

O desenvolvimento habitual do ensino-aprendizagem da Aritmtica nassalas de aula deixa de lado muitos pontos importantes. (LINS , 1997,p.34)

Para deixar mais claro sobre quais so estes pontos importantes, feita uma breveanlise no captulo primeiro de alguns livros do Ensino Fundamental, da poder levantaresses pontos. Tambm tratamos da Aritmtica modular e equaes diofantinas linearescomo pontos importantes a serem vistos no Ensino Bsico

Assim que encontramos o tema deste trabalho e o problema abordado (o ensino deAritmtica no Ensino Bsico deixam de lado muitos pontos importantes), era necessrioestabelecer a metodologia usada para o desenvolvimento. O primeiro foi uma pesquisa bibli-ogrfica sobre os tpicos aritmticos abordados (Diviso Euclidiana, Algoritmo de Euclides,conguncia mdulo n e equaes diofantinas lineares). Uma segunda etapa do trabalho foiuma analise de textos didticos que abordam assuntos como: diviso nos naturais, m-ximo divisor comum. Desta forma compreender quais pontos iniciais so necessrios parao aprofundamento em sala de aula. Em seguida uma pesquisa em trabalhos acadmicosque aborda a mesma temtica: o ensino da Aritmtica dos restos e congruncia. O quepercebemos que propostas de ensino sobre as equaes diofantinas eram vastas. E por fim aelaborao de sequncias didticas, visando esse ser o produto final do trabalho dissertativo.

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No primeiro captulo so abordados, visando o entendimento mais aprimorado, oscontedos de: divisibilidade, diviso euclidiana e do algoritmo de Euclides. Pois estes sopr-requisitos para as congruncias mdulo n e das equaes diofantinas lineares.

No segundo captulo abordado as congruncias mdulo n e justificativas para suaimplantao no Ensino Bsico, como desenvolver um significado mais elaborado para o restoem uma diviso euclidiana.

No terceiro captulo, ainda abordando os contedos matemticos envolvidos nestadissertao, apresentamos as equaes diofantinas lineares, alguns aspectos histricos eprincipalmente uma discusso de quando se poderia ser ensinada as equaes diofantinaslineares no Ensino Bsico como tambm justificativas da importncia de ser feita umatransposio didtica.

Nos captulos quatro e cinco so apresentadas duas sequncias didticas, uma parao ensino da Aritmtica modular e outra para as equaes diofantinas lineares, respectiva-mente. Esses ltimos captulos so o produto final deste trabalho dissertativo, que visauma orientao para o professor que deseja ensinar algum desses tpicos de Aritmtica.

Na parte do trabalho onde tratamos sobre as equaes diofantinas, mostramos queessas traam uma ponte entre a Aritmtica e a lgebra. Tambm apresentada aplica-es de congruncia na Trigonometria e nos Nmeros Complexos, mostrando assim que acongruncia pode ser um bom recurso de apoio para o desenvolvimento de contedos tra-dicionalmente vistos no Ensino Bsico, satisfazendo assim um objetivo presente nos PCNs:estabelecer conexes entre temas matemticos de diferentes campos. (BRASIL , 1997,p.37).

Apresentamos no captulo segundo algumas situaes-problema, em sua maioria daOBMEP (Olimpada Brasileira de Matemtica das Escolas Pblicas), especificamente paradesenvolver um significado mais elaborado do resto de uma diviso euclidiana,j que osPCNs trazem a seguinte orientao.

resolver situaes-problema envolvendo nmeros naturais, inteiros, racio-nais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adio, sub-trao, multiplicao, diviso, potenciao e radiciao(BRASIL , 1998,p.64)

Ainda sobre a abordagem das equaes diofantinas, que na sequncia didtica pro-posta no captulo quinto, ser inserido esse contedo de forma natural com o jogo chamado

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"escova diofantina", apresentado em Capilheira [5]; como preparao para sua generalizao,propomos diversas situaes-problema.

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2 DIVISIBILIDADE, DIVISOEUCLIDIANA E MDC

Nesse captulo sero abordados os assuntos: divisibilidade, diviso euclidiana e oalgoritmo de Euclides, visando o entendimento mais aprimorado desses contedos. Tambmsero vistas uma breve anlise de textos didticos mostrando como se d o ensino dadiviso dos nmeros naturais, assim como uma explanao sobre o significado do restoe do quociente de uma diviso. A abordagem ser sobre os nmeros naturais N. Semmuita formalidade, dito que os nmeros naturais formam o primeiro conjunto numricodescoberto pela humanidade, tendo esses nmeros a caracterstica prtica de servir para acontagem de objetos.

2.1 Um pouco de histria sobre Euclides e da divisoeuclidiana

Importante obra de cunho matemtico foi os "Elementos de Euclides", como dizHoward Eves: Nenhum trabalho, exceto a Bblia, foi to largamente usado ou estudado e,provavelmente, nenhum exerceu influncia maior no pensamento cientfico.(EVES , 2004,p.167).

A obra reuniu toda a Matemtica conhecida pelos gregos, egpcios, babilnicos, atEuclides. Apesar de sua importncia, pouco se sabe sobre Euclides. Quanto ao seu livro,cuja abordagem perpassa da Geometria Aritmtica, dividida em 13 livros. A Aritmticaest nos livros VII, VIII e IX que tratam da teoria elementar dos nmeros. O livros VIIcomea com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano,(EVES , 2004, p.173)

O livro Elementos de Euclidestraz, na traduo de Ireneu Bicudo [10], na primeiraproposio do livro VII o mtodo euclidiano para determinar quando dois nmeros soprimos entre si:

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Sendo expostos dois nmeros desiguais, e sendo sempre subtrado de novoo menor do maior, caso o que restou nunca mea exatamente o antesdele mesmo, at que reste uma unidade, os nmeros sero primos entresi.(EUCLIDES , 2009, p.270)

Vale ressaltar que nmero era tratado como uma multiplicidade da unidade; nestesentido, para Euclides os nmeros naturais comeava a partir do dois, e sua definio parao nmero um era:Unidade aquilo segundo o qual cada uma das coisas existentes ditauma.( EUCLIDES , 2009, p.169)

A proposio 2 do livro VII apresenta um mtodo para determinar o mximo divisorcomum: Sendo dados dois nmeros no primos entre si, achar a maior medida comumdele ( EUCLIDES , 2009, p.171). Observe que naquela poca, a perspectiva geomtricade Matemtica era dominante, e nmeros eram tratados quase que exclusivamente comomedidas de segmentos, e sob este ponto de vista, o mdc de dois nmeros tratado como amaior medida comum de dois nmeros/segmentos.

A seguir colocamos a prova euclidiana da proposio 2 do livro VII. Usando a figuraabaixo como base para demonstrao.

Quadro 1: Mtodo euclidiano para o MDC

Fonte: EUCLIDES

Tomando dois nmeros dados no primos entre si AB, CD, inicialmente necessrioachar a maior medida comum dos AB, CD.

Se, tomando o fato que o CD mede o AB (ou seja AB um mltiplo de CD), evidente que CD mede tambm a si mesmo, portanto o CD uma medida comum de CD eAB. Logo CD tambm a medida maior; pois, nenhum maior do que o CD medir o CD.

Se, tomando o fato que o nmero CD no mede o AB. Da dos nmeros AB, CD, usao processo de sempre subtrair o menor do maior e de novo o menor do maior ter restado

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algum nmero, o qual medir o nmero que foi antes dele mesmo, pois, como AB e CDno so primos entre si, como foi suposto, no ter uma unidade restante. Desde modo olado restante ser o lado comum entre os nmeros, pois tomando a figura acima e o ladoAE como o lado de nmero comum, o lado CD, medindo o lado BE, ento resta um menordo que ele mesmo, ou seja, o EA. Da mesma forma, o lado EA, medindo o lado DF, entoresta um menor do que ele mesmo, ou seja, o lado FC, e o CF mea o AE. Como, o ladoCF mede o lado AE, e o AE mede DF, portanto o CF medir o lado DF; e mede tambm asi mesmo; portanto medir o CD todo. E o CD mede o BE; portanto, o CF mede tambmo BE; e mede tambm o EA; portanto, medir tambm o BA todo; e mede tambm o CD;portanto, o CF mede os AB, CD. Portanto, o CF uma medida comum dos AB, CD.

Terminando o procedimento para encontrar uma medida comum a AB e CD, Euclidesafirma que: Digo, ento, que tambm a maior, e faz a seguinte prova dessa afirmao:

Pois, se o CF no a maior medida comum dos AB, CD, algum nmeromedir os nmeros AB, CD, sendo maior do que CF. Mea, e seja o G. Ecomo o G mede o CD, e o CD mede o BE, portanto o G mede o BE; emede tambm o BA todo; portanto medir tambm o AE restante. Maso AE mede o DF; portanto, o G medir tambm o DF; e mede tambmo DC todo; portanto, tambm medira o CF restante, o maior, o menor; oque impossvel; portanto, nenhum nmero medir os nmeros AB, CD,sendo maior do que CF; portanto, o CF a maior medida comum dos AB,CD. (EUCLIDES , 2009, p.172)

2.2 Propriedades da divisibilidade

Uma proposta para possvel aplicao no Ensino Bsico o uso da notao de divi-sibilidade. Ao se ensinar os critrios de divisibilidade, esta apenas expressada de modoverbal ou escrita por extenso. A abordagem e notaes apresentadas a seguir de usocomum em um curso de Aritmtica, no nvel superior, que pode ser vista em Hefez [12],Domingues [9] e Santos [28], mas como poderemos observar, poderia ser apresentada aoaluno do ensino fundamental.

Definio 2.1 (divide). Um nmero a divide b, ambos nmeros naturais, denotadopor a | b, se existe um nmero c N tal que b= a c. Tambm dito a um divisor deb ou que b um mltiplo de a.

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Desse modo tambm se define "a no divide b"denotado por a - b, com a,b N,quando no existe um tal natural c de forma que b= a c.

Note que pela definio, se a | b, ento a b. O nmero 1 divide qualquer nmeronatural, ou seja, 1 | n , para qualquer nN, pois tomando a partir da definio c= n, temosn = 1 n, do mesmo modo temos que n | n. Observe que a definio pode ser estendidanaturalmente aos nmeros inteiros Z.

Exemplo 2.1. 2 | 0;4 | 0;1 | 8;2 | 8;1 | 3;3 | 3;4 - 5;7 - 9

Ainda pensando nessa notao como uma possibilidade para o Ensino Bsico, observeque est mais relacionada com a operao multiplicao do que com a diviso em si, ou seja,a definio, incluindo a notao, poderia ser introduzida logo aps o ensino da operaomultiplicao e como um ponto introdutrio para a diviso dos naturais.

Assim melhor se define ou inicialmente se definiria o quociente da diviso dos nme-ros naturais b por a ao nmero natural c, quando a | b , ficando expresso como c= b

a.

Exemplo 2.2. 0= 02, 0= 0

4, 8= 8

1, 4= 8

2, 3= 3

1, 1= 3

3

A proposio abaixo 2.1, vista em Santos [28] mostra que a relao de divisibilidade transitiva.

Proposio 2.1. Sejam a e b nmeros naturais no nulos e seja c um outro natural,se a | b e b | c, ento a | c.

Demonstrao: Sabendo que a | b e b | c, ento existem f N e g N, tais quesatisfazem as igualdades b = f a e c = g b, substituindo a primeira igualdade na segundaigualdade, temos; c= g f a e ento como f g = h, h N chega a tese a | c.

Exemplo 2.3. Como 4 | 12 e como 12 | 36, ento 4 | 36

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As proposies abaixo 2.2 e 2.3 so vistas em Hefez [12] e Domingues [9].

Proposio 2.2. Tomando a, b naturais no nulos e seja tambm c N. Vale entoque:

(i) 1 | c.

(ii) a | a.

(iii) a | 0.

Demonstrao: As provas para (i), (ii) e (iii) decorre das seguintes igualdades;c= 1 c, a= a 1 e 0= a 0, respectivamente.

Proposio 2.3. Sejam a, b, c e d N, com a 6= 0. Ento:

(i) a | b e c | d= a c | b d (quando c 6= 0).(ii) a | b a | c (quando a | (b+ c)).(iii) a | b a | c (quando a | (b c) e b c).

Demonstrao: Demonstrando cada parte:

(i) Como a | b, ento existe f N, tal que b = f a, do mesmo modo temos a igualdaded= g c, com g N. Multiplicando igualdade por igualdade temos b d= f a g c, ouseja, b d= (a c)(f g), portanto a c | b d

(ii) Ser feita apenas a ida da proposio, pois a volta anloga.Tomando a hiptese que a | (b+ c), logo existe um f N, tal que

b+ c= f a . (2.1)

Do mesmo modo a | b, logo existe um g N, tal que

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b= g a . (2.2)

Substituindo (2.2) em (2.1), temos que

g a+ c= f a c= f ag acomo c N, logo f a > g a, ou seja f g > 0 e portanto c= (f g)a a | c.

(iii) A demonstrao idntica ao item anterior, provando sua volta.

Tomando a | c, ento f N tal que

c= f a . (2.3)

Da mesma forma, como a | (b c), g N que satisfaz

b c= g a . (2.4)

Substituindo o c em (2.4) conforme est em (2.3), leva a

bf a= g a b= g a+f a b= (g+f) ao que conclui a | b.

Exemplo 2.4. Tomando a= 12, b= 48, b+c1 = 72 e bc2 = 12, tem que 12 | 48 e tambm12 | 72, portanto pelo item (ii) da proposio 2.3 leva a 12 | c1 que c1 = 7248 = 24. Domesmo modo usando o item (iii) da mesma proposio tem que 12 | c2, como c2 = 4812=36.

A proposio abaixo vista em Hefez [12].

Proposio 2.4. Sejam a, b, c, f e g todos nmeros naturais com a 6= 0 e satisfazendoa | b e a | c, ento:

(i) a | (f b+g c).

(ii) a | (f bg c) (quando f b g c).

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Demonstrao: A demonstrao para o item (ii) anloga ao item (i), feito aseguir:

(i) Como a | b e a | c, ento existem x e y N, tais que

b= x a f b= f x ae

c= y a g c= g y a.Somando as duas equaes.

f b+g c = f x a+g y af b+g c = a (f x+g y).

Como (f x+g y) N, conclui-se que

a | (f b+g c).

A divisibilidade ainda uma relao de ordem , ou seja, goza de trs propriedades,a transitiva vista na proposio 2.1 a reflexiva vista na proposio 2.2 e por fim a proprie-dade vista em Domingues [9] chamada de antissimtrica que ser provada na proposioseguinte.

Proposio 2.5. Sejam a N e b N, tais que a | b e b | a, ento a= b.

Demonstrao: Das hipteses a | b e b | a, existem f e g N, tais que b = f ae a = g b, o que leva a b = f g b, podendo ter duas possibilidades para b, se b = 0, logoa = 0, ou seja, a = b, por outro lado, se b 6= 0, ento f g = 1 e como f e g so naturaislogo f = g = 1 e portanto b = 1 a, como queria ser demonstrado, provando assim que adivisibilidade uma relao de ordem.

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2.3 Diviso Euclidiana.

Nesta seo sero expostos a diviso euclidiana, alguns exemplos e breves aplicaes,em Hefez [12] tem o seguinte teorema da diviso euclidiana.

Teorema 2.1 (Diviso Euclidiana). Dados dois nmeros a e b, com a < b ambos na-turais (a,b N), existem outros dois nicos nmeros tambm naturais q N e r N, qchamado de quociente e r chamado de resto, tais que vale a seguinte igualdade.

b= aq+ r

com r < a.

Demonstrao: Tomando o conjunto R, definido at um valor de n tal que bn a N

R = {b,ba,b2a, ..., bn a}.

Pelo Princpio da Boa Ordem 1 o conjunto R ter um menor elemento r = b q a,note que r ser o resto e q o quociente da diviso b por a. Para demonstrar o teorema,basta verificar que r < a.

Para a | b, o menor valor de R ser r = 0, ou seja r < a, j est provado.

Para a - b, nesse caso r 6= 0 e da basta provar que r < a. Provando por contradio.

Tomando r > a, nesse caso existe um nmero natural c, com c < r, com a seguintecondio r = c+a, como r = c+a= b q a, portanto c= b(q+ 1) a, ou seja:

c= b(q+ 1) a R, com c < r

o que uma contradio pois r o menor elemento de R.

Para provar a unicidade. Basta tomar dois elementos de R e considera-los os distintosrestos da diviso euclidiana de b por a, a diferena entre o maior e o menor de fato ummltiplo de a, pois r = b a q e r = b a q , com r < r < a, r r = a q+ a q , eportanto r r = a(q q), ou seja, r r a, o que acarretaria r r + a a, absurdo,portanto r = r

1O Princpio da Boa Ordem (PBO) diz que todo conjunto C N com C 6= existe c C, tal que c x,x C.

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Exemplo 2.5. Encontre o quociente e o resto da diviso de 34 por 7.

Resoluo: Subtraindo 34 por mltiplos de 7:

r1 = 34 1 7 = 27r2 = 342 7 = 20r3 = 343 7 = 13r4 = 344 7 = 6.

Portanto q = 4 e r = 6, escrevendo assim 34= 7 4+6.

Escrevendo a igualdade acima no algoritmo prtico da diviso,

34 728 4

6

De um modo prtico e visual, pode-se dispor uma reta com pontos que representamos mltiplos do divisor a e ento inserir o dividendo b entre os pontos aq e a(q+ 1), ondeq o quociente, e por fim efetuar a diferena baq, seu respectivo resto. Por exemplo nadiviso de b= 34 por a= 7, o 34 est entre os mltiplos 28 e 35 de 7:

Quadro 2: Representao da diviso em uma reta.

Fonte: AUTOR 2013

7 4< 35< 7 (4+ 1), portanto q = 4 e r = 3428= 6.

Exemplo 2.6. Quantos mltiplos de 5 que existem entre 1 at 156?

Resoluo: Pelo algoritmo da diviso temos que

156= 5 31+ 1

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e portanto, o maior mltiplo que menor que 156 5 3 = 155 e que os mltiplos de 5 de1 at 156 so

1 5, 2 5, 3 5, ..., 31 5

e ento so em 31 os mltiplos.

Exemplo 2.7. Para qualquer nmero natural n N, na diviso por 2, existem apenas doispossveis restos:

(i) o resto ser 0 quando 2 | n, assim dizermos que n par e escrito n= 2 k com k N.

(ii) o resto ser 1 quando 2 - n, assim dizermos que n impar e escrito assim n= 2 k+ 1com k N.

O exemplo acima, apesar de sua simplicidade, rico em conceito, pois dados todosos nmeros naturais, foi esse conjunto repartido em duas categorias, os que deixam resto 1e os que deixam resto 0. No s com o nmero dois se faz isso, mas para qualquer naturaln maior do que 1 pode-se repartir os nmeros naturais em n categorias, o que ser melhorvisto no prximo captulo.

2.4 A diviso dos nmeros naturais vista no EnsinoFundamental

Nesta seo comentaremos, de modo geral, de como se d o ensino da diviso dosnmeros naturais no Ensino Bsico, no geral este assunto dado nos primeiros anos doEnsino Fundamental, mas aqui s nos preocuparemos com o que geralmente visto no 3o

ciclo do Ensino Fundamental, que compreende o 6o e 7o ano.

Foi anlisado alguns livros didticos bastante utilizados, especificamente os livrosdo 6o ano do Ensino Fundamental: "Matemtica"de Imenes e Lellis [14] e "Matemtica eRealidade", de Gerson Iezzi [13].

Em Imenes [14], o texto comea mostrando e explicando o algoritmo prtico dadiviso. So apresentadas algumas questes com enunciado direto, simplesmente efetuar adiviso, e outras apresentam um enunciado mais elaborado, como:

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Um comboio com 23 vages trasporta 805 toneladas de minrio. A cargafoi distribuda igualmente entre os vages. Quanto carrega cada um?(IMENES, 2009, p.55)

A soluo dessa questo apenas a diviso de 805 por 23, cuja resposta o quociente.Com esses enunciados e outros o livro prope uma primeira ideia sobre a diviso: com adiviso, reparto uma quantidade em partes iguais (IMENES , 2009, p.55). Logo depoisapresenta um outro exemplo:

Os alunos de um colgio vo fazer uma excurso. So 168 pessoas entrealunos e professores. Quantos micro-nibus de 22 lugares eles deveroalugar?(IMENES , 2009, p.57)

Nesse caso efetua-se a diviso:

168 2214 7

A soluo 7 nibus com 22 passageiros mais um nibus com 14 pessoas, ou seja, 8nibus. E a partir do exemplo dado conclui-se que a diviso serviu para descobrir quantosgrupos de 22 pessoas so formados com 168 pessoas, (IMENES, 2009, p.57), ou seja divisocomo uma ideia de agrupamento.

Por fim, Imenes apresenta seu ltimo exemplo sobre a diviso, que o seguinte:

Como chovia, vov pediu aos 5 netinhos que assistissem televiso. Ela re-partiu bombons entre eles e recomendou que ficassem comportados. Cadaneto recebeu 13 bombons e sobraram 3 na caixa. Quantos bombons haviana caixa?(IMENES , 2009, p.62)

Aqui nesse exemplo exposto como soluo o dividendo de uma diviso no qual 5 o divisor, 3 o resto e 13 o quociente. Por fim mostra o dividendo como o resultado dasoma do produto do quociente pelo divisor com o resto. Entretanto pouco se explora talrelao nas questes propostas.

Em Iezzi [13] o contedo diviso exposto em duas sees: uma para as divisesexatas, resto igual a 0 e outra seo com divises com resto diferente de zero. Dentre osexemplos expostos, um deles define a diviso como repartir em quantidades iguais.

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Em outro exemplo, Temos 60 livros e queremos coloc-los em pilhas de 12 cada um.Quantas sero formadas? Iezzi [13] define que A diviso tambm usada para descobrira quantidade de grupos.

Na seo destinada a diviso com resto Iezzi lana o seguinte exemplo:

O professor de Educao Fsica vai organizar um torneio de vlei com alu-nos das 5.as sries. Cada equipe de vlei tem 6 alunos. Quantas equipes,no mximo, podem ser formadas com 32 meninos da 5.a sries. (IEZZI ,2000, p.43)

Na soluo desse problema feita a diviso:

32 62 5

mostrando cada elemento da diviso e expondo a expresso 56+2= 32. Por fimlana a condio de resto menor do que o divisor.

Nesta seo de Iezzi [13] os enunciados dos problemas tendem em sua grande maioriaa associar o resto de modo direto, com a ideia de sobra, como por exemplo:

Em 11720 dias h quantos meses? Quantos dias sobram?(IEZZI , 2000,p.44)

Apenas uma nica questo apresenta um raciocnio mais elaborado, que foi a se-guinte:

Contando a partir de um domingo, em que dia da semana cai o milsimodia?(IEZZI , 2000, p.43)

Resoluo:

Precisamos descobrir quantas semanas completas h em 1000 dias e quan-tos dias sobram.

1000 730 142206

Em 1000 dias h 142 semanas completas e sobram 6 dias. Contando apartir de um domingo, o sexto dia ser uma sexta-feira. (IEZZI , 2000,p.16, MANUAL DO PROFESSOR)

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No geral encontramos nos textos didticos apenas a exposio do algoritmo quedispe a diviso da seguinte forma:

Dividendo Divisorresto quociente

Muitos textos apresentam a expresso

Dividendo=Divisor quociente+ resto

como uma propriedade ou caracterstica e no necessariamente uma forma mais adequadade expor uma diviso dos naturais; geralmente, pouco usada tal propriedade.

O fato mais marcante dessas anlises que as questes nos livros didticos abordamquase que exclusivamente as ideias associadas ao quociente de uma diviso, no explorandoalgumas aplicaes que envolva o resto.

Em Imenes [14] pouco se v a presena explcita do resto em questes com umenunciado mais elaborado, o mesmo ocorrendo em Iezzi [13], com excesses de questes quese pede apenas para dividir dois nmeros, como por exemplo:

6. a) Copie e complete a tabela em seu caderno:

Dividendo Divisor Quociente Resto205 15 ???? ????875 15 ???? ????1015 15 ???? ????68010 15 ???? ????

(IMENES , 2009, p.55)

Exceto questes do tipo acima, em Imenes no se encontram outras com enunciadosmais prticos de cunho cotidiano, com ideias de sobra ou elementos que ficaram de fora emuma diviso para que se interprete algum significado mais elaborado para o resto de umadiviso.

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2.5 Amadurecendo o conceito de diviso

Dividir um nmero natural a por outro nmero b, tambm natural, escrev-lo comoa = bq+ r, onde q e r so naturais e r < b. No existe nessa definio impedimentos paraque os alunos de 6o ano no o saibam (e j visto no Ensino Fundamental, mas no comouma definio e sim uma propriedade). No existe empecilho que possa interferir o ensinoda diviso sob este outro ponto de vista, ou seja, usando uma definio mais conhecida doslivros de Aritmtica.

Nessa perspectiva, como dividir a por b encontrar dois nmeros, q e r, chamados dequociente e resto, respectivamente, no h justificativa plausvel para as poucas aplicaesdo resto no Ensino Fundamental, pois apenas focando o quociente como o nico resultadoesperado em livros didticos de fato uma grande limitao do potencial das aplicaes dadiviso dos nmeros naturais.

Quanto prtica do ensino Lopes nos diz que:

O professor no deve confundir o ensino do algoritmo da diviso coma construo das ideias e dos significados dessa operao. recomen-dvel que o algoritmo da diviso seja sistematizado apenas quando oprofessor tiver certeza de que os alunos compreenderam o sentido da di-viso e conseguem associar as ideias envolvidas na diviso a situaes-problema.(LOPES , 2009, p.43)

Neste sentido necessrio garantir que o aluno seja capaz de entender o sentido dadiviso euclidiana, para ento ser apresentado o algoritmo da diviso para os alunos.

Quanto s ideias associadas s questes que envolvem a diviso Lopes expe duasdelas: a ideia de partio e a ideia de quotizao. Como define Lopes [18]:

Ideia de partio. Nos problemas de partio, conhecido o n-mero total de elementos de um conjunto que tem de ser distribudoem partes iguais. O problema consiste em determinar o tamanho decada parte.(LOPES, 2009, p.44)

Sobre esta ideia, como exemplo:

Exemplo 2.8. Deseja-se repartir 30 bolinhas de gude em 6 sacos. Quantos bolinhas ficaramem cada saco?

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Ideia de quotizao. Nos problemas de quotizao, o nmero deelementos deve ser dividido em partes de tamanho determinado; oque se pretende saber quantas sero as partes(LOPES, 2009, p.44)

Como exemplo dessa ideia:

Exemplo 2.9. Deseja-se repartir 30 bolinhas de gude em sacos, no qual cada saco fiquecom 10 bolinhas. Quantos sacos vo ser usados?

Estas so segundo Lopes ideias associadas diviso, entretanto so ideias associadasapenas ao quociente de uma diviso e no ao resto dessa diviso. E ainda assim muitoslivros didticos tratam desses dois tipos de problemas sem a devida ateno para suadiferena ([18], 2009, p.44).

Mas quais as ideias associadas as questes que envolvem a diviso, mas que exigemo resto para sua soluo? Em Lopes temos a ideia de resto como sobra de uma diviso noexata, ou seja, quando o quociente no um divisor do dividendo. Seja alguns exemplosvistos no livro de Lopes:

Dona Benta distribuiu igualmente 38 brigadeiros entre 12 alunos. Quantosbrigadeiros recebeu cada um? Sobraram brigadeiros?(LOPES, 2009, p.46)

Note que a resposta da segunda questo obtida atravs do resto da diviso de 38por 12, e nesse caso ao resto est associada uma ideia mais comum, que de sobra da parteque no se pode dividir por ser menor que o divisor.

Nas questes da OBMEP, muito comum a presena de questes que envolvemsituaes cclicas, ou seja que se repetem em um dado momento, questes essas que sonaturalmente resolvidas a partir de uma diviso entre dois naturais; porm, frequentementea soluo est associada ao resto, e no ao quociente, da a necessidade de interpretar talresto.

Apresentamos a seguir um exemplo de uma tal questo, aplicada na OBMEP no anode 2012 na primeira fase do Nvel I (6o ano do Ensino Fundamental):

Exemplo 2.10. [OBMEP (2012), 1a Fase, Nvel 1] Um quadrado de lado 1 cmroda em torno de um quadrado de lado 2 cm, como na figura, partindo da posio inicial ecompletando um giro cada vez que um de seus lados fica apoiado em um lado do quadrado

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maior.

Qual das figuras a seguir representa a posio dos dois quadrados aps o 2012o giro?

Resoluo: Basta verificar que aps oito giros sucessivos o quadrado menorretorna sua posio inicial. Como 2012= 8 251+4 , aps o 2012o giro o quadrado menoster dado 251 voltas completas no quadrado maior e mais quatro giros, parando na posioque corresponde alternativa A.

Nota-se, do exemplo acima, que o resto de uma diviso tem mais conceitos associadasde que apenas a ideia de sobra. Apesar de no explorada no Ensino Fundamental, mesmoassim os alunos se deparam com questes mais elaboradas e raciocnios no vistos por eles,em sala de aula, presentes na OBMEP.

2.6 MDC: Usando o Algoritmo de Euclides pra deter-minar o mdc.

Em Hefez encontramos a seguinte definio de mximo divisor comum.

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Definio 2.2 (MDC). d ser chamado de mdc de a e b se gozar das seguintes propri-edades:

(i) d | a e d | b, ou seja, d um divisor comum.

(ii) c N, com c | a e c | b, ento c | d , ou seja, d divisvel por todo divisor comumde a e b.

Com essa definio podemos facilmente chegar a algumas propriedades. O mximodivisor comum de dois nmeros nico, pois, se d e d so ambos dois mximos divisorescomuns de um par de nmeros, a e b por exemplo, ento d d, pois d o maior divisorcomum de a e b e d um outro divisor comum, de modo anlogo se mostra que d d,neste caso mostra que d= d. Uma propriedade imediata que no importa a ordem do parde nmeros a e b, ou seja, mdc(a,b) =mdc(b,a). Abaixo enunciamos e provamos algumaspropriedades bsicas, vista em Hefez [12] na forma de proposio:

Proposio 2.6. Sejam a e b N, ento:

(i) mdc(0,a) = a.

(ii) mdc(1,a) = 1.

(iii) mdc(a,a) = a.

(iv) Se a | b, ento mdc(a,b) = a.

Demonstrao: Cada uma das propriedades:

(i) Primeiramente, vale lembrar que qualquer nmero um divisor de 0, pois c | 0, omesmo que 0 = f c, para algum f N, neste caso, tomando f = 0, logo para todocN, satisfaz a condio, portanto o conjunto dos divisores de 0 o prprio conjuntodos nmeros naturais no-nulo. Por outro lado, o maior dos divisores de a o prprioa, a | a, pois a= 1 a, neste caso se conclui que mdc(0,a) = a.

(ii) O nico divisor do nmero 1 o prprio 1, pois dado c N e c | 1, ou seja 1 = f c,com f N, tal igualdade s possvel nos naturais quando c = 1 e f = 1. Por outrolado, 1 tambm um divisor de a, pois a= a 1, o que mostra que mdc(1,a) = 1.

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(iii) Como foi dito no item (i) acima, o maior divisor de a o prprio a, e portanto,mdc(a,a) = a.

(iv) Da hiptese tem que a | a e a | b, desse modo tomando um divisor comum c, ou seja,c | a e c | b, temos ento que a c, logo mdc(a,b) = a .

A proposio abaixo 2.7 justificar o Algoritmo de Euclides, que em Hefez [12] chamada de Lema de Euclides.

Proposio 2.7. Dados a, b, n N com a < na < b. Vale a seguinte igualdade:

mdc(a,b) =mdc(a,bna).

Demonstrao: Tomando mdc(a,bna) = d, ento d | bna, por sua vez tambmd | a (hiptese), deste modo d | (bna)+na, logo d | b, assim d um divisor comum de a e b,basta ver se d mximo dos divisores comuns. Tomando c N um divisor comum de a e b,nesse caso c | a e c | b, nesse caso c | bna, e ento c | d, logo d c, portanto mdc(a,b) = d.

O corolrio abaixo, uma consequncia da proposio vista acima, esta presente emSantos [28], sendo que enunciada para os nmeros inteiros.

Corolrio 2.1. Sejam a, b N a diviso euclidiana de b por a, b = aq+ r, com r < a.Vale a igualdade:

mdc(b,a) =mdc(a,r).

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A demostrao desse corolrio idntica com a proposio 2.7, observando quer = baq, portanto sua demonstrao ser omitida. Veja um exemplo que ilustra melhoro resultado acima.

Exemplo 2.11. Qual mximo divisor comum de 2252 e 1044?

Resoluo: Utilizando a diviso euclidiana, pois como foi visto anteriormentemdc (2252,1044) igual ao mdc(1044, r) em que r o resto da diviso de 2252 por 1044,e repetindo sucessivamente a diviso euclidiana.

2252 = 1044 2+ 1641044 = 164 6+60164 = 60 2+4460 = 44 1+ 1644 = 16 2+ 1216 = 12 1+412 = 4 3+0.

Ou seja, do teorema anterior temos: mdc(2252,1044) igual ao mdc(1044,164), e tambmmdc(1044,164) igual ao mdc(164,60) e continuando mdc(164,60) igual ao mdc(60,44),continuandomdc(44,16) igual aomdc(16,12) e por fimmdc(16,12) igual aomdc(12,4) =4, ou seja mdc(2252,1044) = 4.

Como uma aplicao da proposio 2.1 da diviso euclidiana a forma de determinaro mdc de dois nmeros naturais.

Como o mximo divisor comum j assunto no Ensino Fundamental, muitas vezespresentes no 6o ano ou 8oano, vivel expor o Algoritmo de Euclides como apoio a umaforma alternativa para sua determinao, esta forma mais prxima da vista em textos deAritmtica.

Em Imenes [14] e [15] assim como em Ribeiro [26] e [27] no abordado o mximodivisor comum; esses livros trazem essencialmente a mesma abordagem: nos livros de 6o

ano so abordados os conceitos de mltiplos e divisores; Imenes [14], no livro do 6o ano,define o mximo divisor comum e no livro [15], do 8o ano, ensina o mtodo de decomposioem nmeros primos. Da mesma forma o livro de Ribeiro [26] do 6o ano, captulo 7, traz

34

uma abordagem sobre mltiplos e divisores, enquanto no livro [27], do 8o ano, captulo1, que trata dos nmeros primos, aborda sobre o mnimo mltiplo comum. Em ambos osautores, Imenes e Ribeiro, no abordam sobre o mximo divisor comum.

No Ensino Fundamental, o clculo do mdc , quando visto, efetuado usando a de-composio de nmeros primos; quanto a definio de mximo divisor comum, basicamenteutilizam a definio por conjuntos, e o clculo para determinar o mdc baseada na decom-posio em nmeros primos; tal exposio no explora diretamente a diviso dos nmerosnaturais, um conceito mais simples.

No livro de 5a srie de Gelson Iezzi [13] no captulo sobre mximo divisor comum ,so apresentados os dois mtodos para determinar o mdc: o que o autor chama de Regradas divises sucessivaspara o clculo , que o algoritmo de Euclides, e o mtodo chamadode Regra da decomposio simultnea para achar o mdc. Veja um exemplo de como encontrado o mdc de dois nmeros com esse mtodo.

Exemplo 2.12. Usando o algoritmo da decomposio em fatores primos , determine mdc(100,120).

Resoluo: Fazendo as decomposies dos nmeros 100 e 120 respectivamente:

100 250 225 55 51

120 260 230 215 35 51

Como 100= 22 52 e 120= 23 3 5, omdc(100,120) ser o produto dos fatores primoscomuns com o menor dos expoentes de cada fator primo comum, ou seja, mdc(100,120) =22 5= 20.

Como um exemplo para mostrar a vantagem de um mtodo em relao a outromtodo, veja a soluo do exemplo (2.12), que pede o mdc(100,120), usando o algoritmode Euclides:

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120 = 100 1+20100 = 20 5+0.

Portanto o mdc(120,100) = 20, observe que apenas bastou uma conta, para obter o resul-tado desejado, sem muitos custos computacionais chega ao mdc usando diviso euclidiana.Imagine agora a situao: usando o mtodo da decomposio por nmeros primos, en-contrar o mdc de dois nmeros grandes; isso resultar em um custo computacional muitoalto, traduzindo-se em muitas contas para os alunos realizarem, inclusive a dificuldade desaber se um nmero ou no primo, um problema reconhecidamente de alta complexidadecomputacional. Desse modo o algoritmo de Euclides leva vantagem.

Exemplo 2.13. Usando o algoritmo de Euclides, determine mdc(186,81).

Resoluo: Fazendo as divises sucessivas:

186 = 81 2+2481 = 24 3+924 = 9 2+69 = 6 1+36 = 3 2+0

Nesse caso o ltimo resto diferente de zero 3, portanto mdc(186,81) = 3

No exemplo abaixo preciso determinar o mdc de trs nmeros, que pode ser cal-culado da iguldade mdc(a,b,c) =mdc(mdc(a,b), c).

Exemplo 2.14. Uma questo vista em Iezzi:

Tenho 84 balas de coco, 144 balas de chocolate e 60 balas de leite. Queroformar pacotes de balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem tera mesma quantidade de balas e essa quantidade deve ser a maior possvel.Quantas balas devo colocar em cada pacote? Quantos pacotes devo formar?(IEZZI , 2000, p.126)

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Resoluo: Para determinar o nmero de balas que deve-se colocar em cada pacote,basta perceber que um divisor comum dos nmeros 84, 144 e 60 garante que todos ospacotes tenham a mesma quantidade de balas, nesse caso para essa quantidade ser mxima,basta tomar o mdc(84,144,60), ento, o mdc(84,144);

144 = 84 1+6084 = 60 1+2460 = 24 2+ 1224 = 12 2+0

logo mdc(84,144) = 12, agora calcula-se o mdc(12,60) = 12, pois 12 | 60, portanto podemostomar que mdc(84,144,60) = 12. Deve-se tomar 12 balas em cada pacote. Sero formados12 pacotes com balas de chocolate, 7 pacotes de balas de coco e 5 pacotes de balas deleite.

37

3 ENSINANDOCONGRUNCIA MDULO N

Neste captulo ser proposto uma possvel transposio didtica sobre congrunciamdulo n para o Ensino Bsico, nesse caso justificada pela sua necessidade ao desenvolverum significado mais elaborado para o resto em uma diviso euclidiana.

Continuando o captulo, ser feito um estudo sobre a Aritmtica dos restos e possveisaplicaes no Ensino Fundamental e Mdio: inicialmente, sero mostrados alguns exemplosque envolvem a diviso euclidiana , levando percepo de que existem alguns significadosdistintos para o resto que apenas o de sobra. Por fim uma breve explanao sobreparidade.

3.1 Introduzindo congruncia no Ensino Bsico

Geralmente grande parte das escolas pblicas participam de olimpadas matemticas,especialmente a OBMEP. Por exemplo, em 2012 a OBMEP teve na inscrio para 1afase1

46.728 escolas participando com um total de 19.140.824 alunos, sendo 99,42% do totalde municpios brasileiros. A quantidade de alunos que vo para a segunda fase fica bemabaixo da quantidade inicial; em 2012 foram 823.871, correspondendo a um percentual de4,3%, ou seja, uma aprovao muito baixa. Dessa forma, evidencia-se a falta de preparodos alunos, tambm deve-se observar que isso se deve a falta de preparao dos docentes.

Sem uma preparao diferenciada, os alunos geralmente no tem um desempenhosatisfatrio em olimpadas matemticas. A maioria das questes olmpicas envolvem umraciocnio mais elaborado e que exige um trabalho prvio de treinamento. Pensando nessaproblemtica a prpria equipe da OBMEP, elabora materiais de apoio, como o banco dequestes, e promove treinamentos.

1Dados extra-dos do site http://www.obmep.org.br/obmep_em_numeros.html, acessado em 21 de de-zembro de 2012.

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O amadurecimento mais efetivo da Aritmtica vista no Ensino Bsico e a capacidadede resolver questes da OBMEP semelhante mostrada no capitulo anterior so objetivospara a introduo dos conceitos de congruncia mdulo n no Ensino Fundamental e Mdio.

3.2 Um pouco sobre os Nmeros Inteiros Z.

No Ensino Fundamental, usualmente no 7o ano introduzido o conjunto dos nmerosinteiros. Apesar de no fazer parte do escopo deste trabalho uma proposta de ensino dosnmeros inteiros, no entanto faz-se necessria algumas consideraes, pois ser usada acongruncia nos inteiros.

Os nmeros inteiros, em uma ideia mais informal, pode ser entendido como extensodos nmeros naturais. Sabendo que a operao de subtrao dos nmeros naturais a b,no tem significado quando a < b, nesse caso, os novos nmeros permitem tais subtraes,assim como so interpretados intuitivamente como uma dvida ou uma perda, por exemplo,15 20 = 5, pode ser entendida como, tendo um valor de R$ 15,00, porm uma dvidade R$ 20,00, aps pagar com o que se tem fica ainda uma dvida de R$ 5,00. Os nmerosinteiros so divididos em positivos, maiores que zero, +1 = 1, +2 = 2, +3 = 3, +4 = 4,+5= 5, +6= 6... e negativos, quando so menores que zero, resultado de subtraes a bcom b maior que a, so eles 1, 2, 3, 4, 5, 6... tambm inclui aos nmeros inteiroso nmero zero.

Os nmeros inteiros so representados por Z.

Z= {...,6,5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.

As definies e propriedades da divisibilidade so anlogas as presentes para osnaturais. Quanto ao algoritmo da diviso de Euclides, seu enunciado segundo Domingues[9] um pouco distinto;

Teorema 3.1 (Diviso Euclidiana em Z). Para quaisquer a, b Z, b > 0, existe umnico par de inteiros q e r, de maneira que a= bq+ r, onde 0 r < b.

A demostrao deste teorema anloga feita para os nmeros naturais.

39

Exemplo 3.1. O quociente e o resto da diviso de -19 por 4 q =5 e r = 1, pois 19=4 (5)+ 1.

Ilustrando a diviso em uma reta numerada, como foi visto no captulo anterior:

Quadro 3: Representao da diviso em uma reta.

Fonte: AUTOR 2013

com 1=194 (5).

J a definio para o mximo divisor comum segundo Domingues [9] dado por:

Definio 3.1 (MDC em Z). Sejam a e b nmeros inteiros quaisquer. O mximodivisor comum de a e b definido por:

mdc(a,b) =mdc(|a|, |b|),

Onde |a| denota o valor absoluto de a.

Nesse caso, o mdc de dois inteiros uma extenso natural do mdc de dois naturais.

Uma proposio importante para essa teoria, e fundamental para o que tratar oprximo captulo, de equaes diofantinas a chamada identidade de Bachet-Bzout vistaem Oliveira [21].

Proposio 3.1. Sejam a e bZ com d=mdc(a,b). Ento existem dois outros inteirosx0 e y0 de maneira que vale a igualdade

d= a x0+ b y0.

40

Demonstrao: Para a= 0 e b 6= 0, temos mdc(a,b) = b e nesse caso para qualquerx0 Z e y0 = 1, temos a igualdade b = a x0+ b 1. Do mesmo modo, se a 6= 0 e b = 0,mdc(a,b) = a, para quaisquer inteiros y0 e x0 = 1, vale que a= a 1+ b y0.

Para a e b diferentes de zero, tomando o conjunto

S = {a x+ b y | x,y Z}.

Como visto, esse conjunto contm o zero, assim como nmeros negativos e positi-vos, considerando o conjunto S+, constitudo apenas pelos elementos positivos de S, peloPrincpio da Boa Ordem, existe um menor elemento de S+, nesse caso ser denotado por que ser igual a a x0+ b y0, para certos inteiros x0 e y0.

Ser provado ento que | a e de modo anlogo | b. Por absurdo, afirmando que - a, assim pela diviso euclidiana de a por existe r que vale a desigualdade 0 < r < ealm disso r = a q. Portanto,

r = a q = a(a x0+ b y0) qr = a(1 q x0)+ b(qy0)

o que uma contradio, pois r 6 S+, j que o menor elemento de S+ e portanto | a,do mesmo modo se prova que | b.

J provado que um divisor comum de a e b, basta provar que mximo.

Tomando d=mdc(a,b), a= d a0 e b= d b0 , ento

= a(d a0)+ b(d b0).

Ou seja, = d(a x0+ b y0), portanto, d | , da d, mas d o mximo divisorcomum, logo = d o que prova a proposio.

Os valores de x0 e y0 encontrados na proposio 3.1 no so nicos.

Exemplo 3.2. Usando o processo das divises sucessivas encontre dois nmeros, x0 e y0para que mdc(12,45) = 12 x0+45 y0.

41

Resoluo: Determinando o mdc(12,45):

45 = 12 3+9 (3.1)12 = 9 1+3 (3.2)9 = 3 3+0.

Portanto mdc(12,45) = 3. Da equao (3.2), tem 3 = 129 1; substituindo 9 por45 12 3 vista na equao (3.1):

3 = 12(45 12 3) 13 = 1245+ 12 33 = 12 4453 = 12 4+45 (1).

Neste caso x0 = 4 e y0 =1.

3.3 Aritmtica dos restos

Um dos tpicos que faz parte da proposta dessa dissertao a insero da Aritmticados restos como uma proposta de ensino para os alunos do Ensino Fundamental com oobjetivo de promover um amadurecimento da diviso euclidiana como tambm de enriqueceros conceitos que tm o prprio resto de uma diviso euclidiana nos naturais ou inteiros.

Quando dois nmeros, ou um conjunto maior de nmeros, tm a caracterstica de tero mesmo resto em uma diviso por algum nmero inteiro dado, possvel estabelecer certassimilaridades. Por exemplo 13 e 28, deixam resto 3 quando divididos por 5. Se a ambossomarmos ou subtrairmos um mesmo nmero, os novos restos da diviso por 5 continuaroos mesmos, vejamos, 13+ 7 = 20 e 28+ 7 = 35; 20 e 35 deixam resto 0 na diviso por 5,observe que 7 deixa resto 2 na diviso por 5, neste caso o resto 3, das divises de 13 e 28por 5, somado com o resto 2, resulta em 5, que na diviso por 5 d resto 0. Estas relaessero melhor definidas e demostradas a seguir.

De acordo com Hefez [12].

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Definio 3.2 (congruncia mdulo n). Dado n N, n 6= 0, dois nmeros inteiros a eb so congruentes mdulo n quando o resto da diviso euclidiana de a por n igualao resto da diviso euclidiana de b por n e denota por

a b mod n.

Desta mesma forma, pode-se definir nmeros incngruos mdulo n (com notao 6), quando dois nmeros a e b no tm os mesmos restos na diviso por n.

Exemplo 3.3. 73 52 mod 3 , pois 73= 3 24+ 1 e 52= 3 17+ 1, ambos tm resto 1 nadiviso por 3.

Do mesmo modo 4388 mod 5 , pois 43= 5 (9)+2 e 88= 5 (18)+2,ambos tm resto 2 na diviso por 5.

Exemplo 3.4. 13 6 16 mod 7, pois 13= 1 7+6 e 16= 2 7+2, ambos restos diferentes nadiviso por 7.

Repare que no exemplo acima 7352= 3 24+ 13 17 1= 21 e 3 | 21, esta relaono coincidncia. Veja a proposio seguinte vista em Hefez [12].

Proposio 3.2. Dados a, b Z tem-se a b mod n se, e somente se, n | ba.

Demonstrao: Pela definio, existe r Z, com 0 r < n, tal que b= n q1+r ea= n q2+r, portanto ba= n q1+r(n q2+r), ou seja, ba= n q1n q2 = n(q1q2),logo, n | ba.

Para a volta da proposio, tomando a e b Z, como n | ba. Tambm fazendo asdivises de a e b por n, tem respectivamente a = n q1+ r1 com 0 r1 < n e b = n q2+ r2,r2 < n. Temos:

ba= n (q1 q2)+(r1 r2),

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e portanto n < r1 r2 < n, pois r1 e r2 so ambos menores que n. Por outro ladon | b a, implicando em n | r1 r2. Como n < r1 r2 < n, temos r1 r2 = 0 e por fimr1 = r2; logo a b mod n .

Exemplo 3.5. 7 2 mod 5 , pois 5 | 72 e 6 6 3 mod 4 , porque 4 - 63.

A congruncia mdulo n uma relao de equivalncia, ou seja, se comporta, emcerto sentido, como uma igualdade. Veja a proposio abaixo presente em Domingues [9].

Proposio 3.3. Seja n Z, n > 1. Para todos a, b, c Z, vale

(i) a a mod n .

(ii) a b mod n= b a mod n.(iii) a b mod n e b c mod n= a c mod n.

Demonstrao: Demonstrando cada parte:

(i) Da proposio 3.2, a a mod n n | aa e de fato, n | 0.(ii) Se a b mod n , ento n | b a, ou seja, existe f Z, tal que b a = f n, ento

a b= (f) n, ou seja, b a mod n.

(iii) De a b mod n , da proposio 3.2 , n | ba, assim como em b c mod n n | cb,ento n | (ba)+(c b), ou seja, n | ca e portanto a c mod n .

Como na proposio anterior, no que segue sero tomadas sempre como hipteseque n > 1. A proposio abaixo mostra que a soma, subtrao e multiplicao dos inteirospreserva uma congruncia como mostra a proposio vista Hefez [12].

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Proposio 3.4. Sejam a, b, c e n Z, com n > 1. Se a b mod n , ento:

(i) a c b c mod n.

(ii) a c b c mod n.

Demonstrao:

(i) A partir da hiptese:a b mod n= n | ba.

Somando e subtraindo por c o segundo membro da relao de divisibilidade:

n | (b c)(a c)= a c b c mod n

(ii) Para provar que a multiplicao se preserva. Por hiptese e pela proposio (3.2)b a = f n, f Z, multiplicando a igualdade por c Z, bc ac = fc n e portantoa c b c mod n .

Exemplo 3.6. 10 17 mod 7 , pois 10 e 17 deixam restos 3 na diviso por 7, 10+8 17+8mod 7 , 18 25 mod 7 pois 18 e 25 deixam restos 4 na diviso por 7. Tambm 10 3 17 3mod 7 , 30 51 mod 7 pois 30 e 51 deixam restos 2 na diviso por 7.

A proposio abaixo tambm vista em Domingues [9].

Proposio 3.5. Sejam a, b, c, d e n Z, com n > 1. Se a b mod n e c dmod n , ento:

(i) a c bd mod n.

(ii) a c b d mod n.

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Demonstrao: Provando cada parte:

(i) Das hipteses:n | ba e n | d c= n | (bd)(a c).

Da,a c bd mod n.

(ii) Das hipteses e da proposio (3.4) decorre que a c b c mod n e c b d bmod n . Pela transitividade: a c b d mod n .

Exemplo 3.7. 12 37 mod 5 , pois 12 e 37 deixam restos 2 na diviso por 5. 23 48mod 5 , pois 23 e 48 deixam restos 3 na diviso por 5, logo 12+ 23 37+48 mod 5 ,35 85 mod 5 pois 35 e 85 deixam restos 0 na diviso por 5. Tambm 12 23 37 48mod 5 , 276 1776 mod 5 pois 276 e 1776 deixam restos 1 na diviso por 5.

O corolrio abaixo tambm visto em Domingues [9].

Corolrio 3.1. Dados a, b, e Z, com e 1. Se a b mod n , ento ae be mod n.

Demonstrao: Se a b mod n , pela proposio anterior, a a b b mod n ,e aplicando a mesma proposio e vezes, ae be mod n .

Exemplo 3.8. 2 5 mod 3 , ento por exemplo para e= 4, 24 54 mod 3 , 16 625mod 3 , pois 16 e 625 deixam resto 1 na diviso por 3.

Exemplo 3.9. Mostre que 10200 1 divisvel por 11.

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Resoluo: Como 10 1 mod 11 , ento 10200 (1)200 mod 11 , 10200 1mod 11 e portanto 10200 1 0 mod 11 , ou seja

11 | (10200 1).

A proposio seguinte encontrada tambm em Domingues [9].

Proposio 3.6. Dados a, b, c Z. Se c a c b mod n e mdc(n,c) = d 6= 0, ento

a b mod nd

.

Demonstrao: Pela hiptese e pela proposio 3.2 vale n | c (b a), ou seja,c (ba) = kn, com k Z, portanto:

c

d (ba) = k n

d.

Desse modo mdc(c

d,n

d

)= 1 e portanto a b mod n

d.

Exemplo 3.10. Como 32 18 mod 14 , ou seja 2 16 2 9 mod 14 e mdc(2,14) = 2vale a congruncia 16 9 mod 7 .

Os dois exemplos abaixo ilustram consequncias da proposio 3.6.

Exemplo 3.11. Se c a c b mod n e mdc(c,n) = 1, ento a b mod c . Por exemplo,10 30 mod 4 , como mdc(4,5) = 1, ento 2 6 mod 4 .

Exemplo 3.12. Se c a c b mod p com p primo e p - c, ento a b mod p . Porexemplo, 20 35 mod 3 , como 3 - 5, logo 4 7 mod 3 .

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Segue abaixo mais uma proposio que mostra algumas outras propriedades de con-gruncia vista igualmente em Hefez [12].

Proposio 3.7. Sejam a, b Z e m, n nmeros inteiros positivos diferente de 1:

(i) a b modm e n |m= a b mod n.(ii) a b modm=mdc(a,m) =mdc(b,m).

Demonstrao: Provando cada parte da proposio e sem perder a generalidade,toma-se b a :

(i) Pela hiptese e a proposio (3.2), vale que m | b a e n | m; por transitividade,n | ba, portanto a b mod n .

(ii) Pela definio a e b tm os mesmos restos da diviso euclidiana, ou seja, a=m qa+re b=m qb+r, com 0 r < n, como visto no captulo anterior. Visto que mdc(a,b) =mdc(a,a q+r) =mdc(a,r), para b= a q+r, temos mdc(a,m) =mdc(m,m qa+r) =mdc(m,r) =mdc(m,b qb+ r) =mdc(m,b).

Exemplo 3.13. Mostre que 220 1 divisvel por 41.

Resoluo: Como 1024 40 mod 41 , pois 1024 = 41 24+40, logo 210 1mod 41 , elevando cada membro da congruncia por 2, 220 1 mod 41 , ou seja, 41 |220 1.

3.4 Aplicaes de congruncia vista no Ensino Bsico

3.4.1 Significado do resto

A motivao dessa seo perceber que o resto de uma diviso euclidiana temsignificados distintos alm do de sobra, geralmente vista em livros didticos do EnsinoFundamental.

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Antes da exposio de enunciados de problemas, importante saber o que significaeventos cclicos: um conjunto de eventos ou sequncia de valores cclica, quando a partirde um momento (esse momento chamado de perodo), o conjunto de eventos ou a sequnciade valores se repetem na mesma ordem vista anteriormente.

muito comum encontrar questes da OBMEP que envolvem situaes cclicas, cujasoluo encontrar um resto da diviso euclidiana do nmero ordinal que corresponde aposio desejada pelo perodo encontrado na situao cclica analisada.

Exemplo 3.14. [OBMEP (2012),1a Fase, Nvel 2] Cinco cartas, ini-cialmente dispostas como na figura, se-ro embaralhadas. Em cada embara-lhamento, a primeira carta passa a sera segunda, a segunda passa a ser aquarta, a terceira passa a ser a pri-meira, a quarta passa a ser a quintae a quinta passa a ser a terceira. Qualser a primeira carta aps 2012 emba-ralhamentos?

Resoluo: Primeiramente listando as posies das cartas e fazendo os embara-lhamentos sucessivos de acordo com a regra definida pelo enunciado:

posio inicial: A2345

depois do 1o embaralhamento: 3A524

depois do 2o embaralhamento: 534A2

depois do 3o embaralhamento: 4523A

depois do 4o embaralhamento: 24A53

depois do 5o embaralhamento: A2345, que a primeira posio

Assim, de 5 em 5 embaralhamentos retornamos primeira posio, e nesse casoefetua a diviso euclidiana de 2012 por 5, ou seja, 2012= 5 402+2. A posio das cartasdepois do 2012o embaralhamento idntica que posio depois do 2o embaralhamento,portanto a primeira carta a de nmero 5.

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Observe a partir do exemplo acima que o resto da diviso do n-simo embaralha-mento por 5, representa uma categoria especfica, ou seja, se o resto for 1, ento as cartasestaro dispostas como na posio inicial, se o resto for 2, as cartas estaro dispostas na po-sio da mesma forma vista depois do 1 embaralhamento e assim por diante. Este exemplobem representa uma situao cclica.

O exemplo seguinte, muito simples e de fcil entendimento, sem dvida uma boasituao-problema para introduzir congruncia no Ensino Bsico.

Exemplo 3.15. Uma empresa de coleta de lixo dividiu um municpio em 150 reas pararealizar a coleta de lixo nas casas.

Abaixo segue um cronograma para a coleta:

Domingo Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 ... ... ... ...

Pergunta-se:

1. Em que dia da semana a rea 45 deve esperar o caminho de lixo? E a rea 60 e area 100?

2. Quantas reas diferentes essa empresa de coleta de lixo visita na tera-feira? E nosbado?

3. possvel estabelecer uma relao entre a distribuio das reas e cada dia da semana?Qual?

Resoluo: Respondendo cada item:

1. Observe que as reas se dividem entre os dias da semana de forma muito homognea;percebe-se que no domingo so as reas 1, 8, 15, 22, e assim por diante, ou seja,nmeros da forma 7 k+ 1. De modo semelhante temos para as reas da segunda emdiante.

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Efetuando a diviso euclidiana de 45 por 7 temos, 45 = 7 6+ 3, do mesmo modo,dividindo 60 por 7, 60 = 7 8+ 4, assim como 100 = 7 14+ 2. Por fim a rea 45o caminho de lixo passar na tera-feira, a rea 60 o caminho de lixo passar naquarta-feira e na rea 100, o caminho de lixo passar na segunda-feira.

2. Como so 150 reas, temos nesse caso que as 150 reas se dividem em 7 dias dasemana, 150 = 7 21+3, olhando , ou melhor, imaginando a tabela acima completa,ter 21 linhas preenchidas e mais uma linha at a tera-feira, veja como fica a linhafinal da tabela:

Domingo Segunda Tera Quarta Quinta Sexta Sbado148 149 150

Assim na tera-feira a empresa coleta lixo em 22 reas e no sbado 21 reas diferentes.

3. Sim possvel estabelecer uma relao entre a distribuio das reas e os dias dasemana. A relao o resto da diviso do nmero correspondente a rea pelo nmero7, dias totais da semana, valendo a seguinte relao:

dia restoDomingo 1Segunda 2Tera 3Quarta 4Quinta 5Sexta 6Sbado 0

Cada resto corresponde a um dia da semana.

No exemplo visto acima est associado um conjunto especfico de nmeros em diase esta associao feita a partir do resto da diviso.

Exemplo 3.16. [OBMEP (2012), Banco de Questes] Estefnia tem cinco cartasmarcadas com as letras A, B, C, D e E, empilhadas nessa ordem de cima para baixo. Elaembaralha as cartas pegando as duas de cima e colocando-as, com a ordem trocada, embaixoda pilha. A figura mostra o que acontece nas duas primeiras vezes em que ela embaralha ascartas.

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Se Estefnia embaralhar as cartas 74 vezes, qual carta estar no topo da pilha?

A) A B) B C) C D) D E) E

Resoluo: Empilhamento conforme o enunciando at chegar na posio inicial:

posio inicial 1o 2o 3o 4o 5o 6o

A C E A C E AB D B D B D BC E A C E A CD B D B D B DE A C E A C E

Como no sexto empilhamento as cartas voltam posio inicial, o que quer dizerque a cada seis empilhamentos, volta-se a posio inicial, ou seja, no 6o, 12o, 18o, 24o eassim por diante, se tem cartas iguais posio inicial. Fazendo a diviso euclidiana de74 por 6, 74 = 6 12+2, como o resto da diviso 2, ento a carta que estar no topo dapilha na posio septuagsima quarta igual a pilha de cartas na segunda posio, comoresposta a carta E.

Esses trs exemplos deixam claro que o resto de uma diviso no apenas tem osignificado de sobra como usualmente encontrado nos livros didticos.

Com um correto significado para o resto de uma diviso euclidiana, poder organizaros elementos de um conjunto dado em categorias bem definidas e assim dado um eventocclico, pode-se "prever"o que acontecer em uma ordem futura.

3.4.2 A congruncia como apoio compreenso de outros con-ceitos no Ensino Bsico

Nesta seo sero mostrados dois momentos do Ensino Mdio em que pode serusada a congruncia. O primeiro quanto aos arcos cngruos e o segundo exemplo sobrepotncias do nmero complexo i=

1.

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Na exposio dos conceitos bsicos da trigonometria, um elemento importante acircunferncia unitria ou circunferncia trigonomtrica, como diz Dante:

Denomina-se circunferncia unitria (ou circunferncia trigonomtrica) acircunferncia orientada cujo raio 1 unidade de comprimento e na qualo sentido positivo anti-horrio.(DANTE , 2004, p.27)

Ilustrando a definio acima:

Quadro 4: Circunferncia trigonomtrica.

Fonte: AUTOR 2013

Observando agora a figura abaixo, veja que, tomando um ngulo = med(AB),dando uma volta ou n voltas completas sobre o circulo no se altera a posio final dongulo, neste caso, so chamados de ngulos cngruos.

Quadro 5: Arcos cngruos.

Fonte: AUTOR 2013

Portanto dado um ngulo qualquer (com a notao de graus), os ngulos da forma+360o k, com k Z so os chamados ngulos congruentes a , e suas representaes nacircunferncia acima coincidem.

Observe que a notao de congruncia pode ser abertamente utilizada pelo pro-fessor no momento em que definir arcos cngruos, por exemplo, o arco de 490o cngruo

53

( e portanto est representdo pelo mesmo ponto do crculo unitrio) que o arco de 130o ,podendo escrever 490o 130o.

O seguinte exemplo mostra uma questo apresentada em Dante [7], e em seguidasua soluo usando congruncia.

Exemplo 3.17. Em Dante, tem o seguinte exemplo:

Descubra o menor arco no-negativo cngruo a cada um dos arcos, ou seja,descubra a 1a determinao de cada um dos arcos (reduo 1a volta):a)[...] b)-750o

(DANTE , 2004, p.31)

Resoluo:

b) Como soluo deve-se encontrar o menor valor no-negativo do arco x (0 x < 360).Queremos encontrar um x x750o mod 360o com 0o x < 360o, usando ferra-mentas de congruncia :

750720o30o mod 360o.

Como 720 0 mod 360o , logo:

75030o mod 360o.

Somando cada membro da congruncia por 360o:

750o+360o 30o+360o mod 360o.

E desse modo como 750o+360o 750o mod 360o, da:

750o 330o mod 360o.

Portanto a resposta desejada 330o.

54

Quando se estuda os complexos C, o clculo das potncias naturais da chamadaunidade imaginria i =

1 um momento possvel para aplicao dos conceitos de con-

gruncia.

Considerando as operaes usuais dos nmeros complexos, vamos resolver a seguintequesto:

Exemplo 3.18. Efetue as operaes indicadas:

a) i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7, i8

Resoluo: Resolvendo diretamente, sem muitos detalhes:

i0 = 1i1 = i

i2 = 1i3 = i2i= (1)i=ii4 = (i2)2 = (1)2 = 1i5 = i4i= (1)i= ii6 = i4i2 = (1)(1) = 1i7 = i4i3 = (1)(i) = ii8 = i4i4 = (1)(1) = 1.

Continuando as potncias de i, percebemos que trata-se de um problema cclico,onde as potencias se repetem a cada ciclo de 4, conforme quadro:

i4n = (i4)n = (1)n = 1i4n+1 = (i4)ni= (1)ni= ii4n+2 = (i4)n(i2) = (1)n(1) = 1i4n+3 = (i4)n(i3) = (1)n(i) = i.

Desse modo pode-se usar as seguintes congruncias sobre o expoente das potnciasde i e ento determinar quais valores do conjunto {1, i,1,i} vale a potncia, assim:

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expoente de i 0 mod 4 = potncia de i= 1,expoente de i 1 mod 4 = potncia de i= i,expoente de i 2 mod 4 = potncia de i=1,expoente de i 3 mod 4 = potncia de i=1.

Exemplo 3.19. Calcule o valor de:(a) i56 (b) i203 (c) 4i70 i15

Resoluo:

(a) Como 56 0 mod 4 , ento i56 = i0 = 1.

(b) Da mesma forma 203 3 mod 4 e ento i203 = i3 =i.

(c) De um lado 70 2 mod 4 e 15 3 mod 4 , por outro lado 4i70 i15 o mesmoque 4i2 i3 que por sua vez vale 4(1)(i) = 4+ i.

3.5 Paridade

Nesta seo ser visto um caso bem simples de como lidar com os restos de umadiviso por algum nmero inteiro.

Aqui trataremos sobre a paridade de um nmero inteiro, isto , o fato deste nmeroser chamado de par ou de mpar: um nmero chamado de par quando na diviso euclidianapor dois deixa resto 0 e chamado de mpar quando o resto da diviso desse nmero por 2 igual a 1, ou seja, na diviso por 2 h apenas duas possibilidades de resto: 0 ou 1.

Vale analisar algumas consideraes sobre a soma de nmeros pares e mpares:

1. A soma de dois nmeros a e b pares par, pois fazendo a diviso euclidiana por 2,tem-se a= 2 k1; do mesmo modo b= 2 k2, a soma a+ b= 2 (k1+k2) e portanto umnmero par.

56

2. A soma de dois nmeros mpares par, pois tomando um nmero natural mpar a,sua diviso euclidiana por 2 a = 2 k1 + 1, assim como b mpar, sua diviso por2 b = 2 k2 + 1, nesse caso a soma de a+ b a+ b = 2 (k1 + k2) + 2 e portantoa+ b= 2 (k1+k2)+0, ou seja, a soma par.

3. A soma de um nmero par com um mpar mpar, do mesmo modo do que foi feitono casos anteriores.

Tambm vale analisar algumas consideraes sobre o produto de nmeros pares empares:

1. O produto de dois nmeros pares par, pois tomando um nmero inteiro a, par,fazendo a diviso euclidiana por 2 fica a= 2 k1+0, do mesmo modo bZ sua divisopor 2 b= 2 k2+0, o produto a b= 4 k1 k2 = 2(2 k1k2)+0 e portanto um nmeropar.

2. O produto de dois nmeros mpares mpar, pois tomando um nmero a Z, suadiviso euclidiana por 2 a= 2 k1+1, assim como bZ sua diviso por 2 b= 2 k2+1,nesse caso o produto de a por b a b = 2 k1(2 k2 + 1) + 1 (2 k2 + 1) e portantoa b= 2(2k1k2+k1+k2)+ 1, ou seja o produto impar.

3. O produto de um nmero par com um mpar par, do mesmo modo, tomando a e b, umpar e outro mpar, respectivamente suas divises por 2 so; a= 2 k1+0 e b= 2 k2+1,seu produto a b = (2k1)(2k2+ 1) = 4k1k2+ 2k1 e portanto a b = 2 (2k1k2+ k1)+0,ou seja, o produto par.

Tomando como 0 para representar os nmeros pares e 1 os nmeros mpares, ou seja:

0 = {...,6,4,2,0,2,4,6, ...,2 k+0, ...}1 = {...,5,3,1,1,3,5, ...,2 k+ 1, ...}.

As consideraes feitas acima podem ser expressas nas seguintes tabelas que re-sumem a paridade dos nmeros, podendo estas tabelas serem chamadas de tabuadas deoperaes:

+ 0 10 0 11 1 0

0 10 0 0

1 0 1

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Com esta tabuada possvel determinar a paridade de qualquer operao de soma,produto ou potncia de nmeros que no precise efetuar a conta, por exemplo:

Exemplo 3.20. Determine a paridade do seguinte nmero:

(123275+346231)234+(3451+4532)542.

Resoluo: Como exposto, no preciso operar para saber se par ou mpar,basta usar o que foi dito anteriormente, assim substituindo 123275 por 1, 346231 por 1,3451 por 1 e 4532 por 0, a expresso fica:

(1+ 1)234+(1+0)542.

E assim, observando os resultados da tabuada :

0234+ 1542.

Quanto as potncias, uma potncia de par sempre ser par, e uma potncia de mpar sempreser mpar, portanto:

0+ 1.

Logo 0+ 1= 1, ento o nmero mpar.

3.6 Classe residual mdulo 3.

O conceito de paridade visto na seo anterior pode ser generalizado para quaisquervalor, veja o exemplo abaixo para o nmero 3:

Exemplo 3.21. Quaisquer nmeros inteiros n podem ser escritos usando a diviso eucli-diana por 3 das seguintes maneiras n= 3 k+0, n= 3 k+ 1 ou n= 3 k+2, com k sendoum inteiro, desse modo ser possvel dispor nmeros inteiros da seguinte forma:

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resto 0 resto 1 resto 2... ... ...-6 -5 -4-3 -2 -10 1 23 4 56 7 89 10 11... ... ...

Observe que se continuar essa tabela de modo que se dispusessem todos os inteirosestaria partindo os nmeros inteiros em trs categorias, classes ou conjuntos, classes essasque so classificadas pelo seu resto da diviso por 3. E por nomenclatura sero chamadasas seguintes categorias de classes residuais, e por notao ter:

0 = {...,6,3,0,3,6,9,12, ...,3 k+0, ...}1 = {...,5,2,1,4,7,10,13, ...,3 k+ 1, ...}2 = {...,4,1,2,5,8,11,14, ...,3 k+2, ...}

Da mesma forma vista na paridade, pode ser definida duas operaes: a soma e amultiplicao, veja a tabela:

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1

Exemplo 3.22. Qual o resto da diviso por 3 do seguinte nmero,

(401+503)209+(10130)45?

Resoluo: Calculando as bases das potncias: 401+503= 904 e 10130= 71,simplificando a expresso:

(904)209+(71)45.

Como 904= 3 301+ 1 e 71= 3 23+2, podemos substituir 904 por 1 e 71 por 2, assim:

(1)209+(2)45. (3.3)

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Para solucionar as potncias, basta fazer algumas observaes:

Potncias de um nmero com resto 1 na diviso por 3, deixa resto sempre 1, pois:

1n =1 1 1

n vezes= 1

Quanto as potncias de 2 na classe residual mdulo 3. Observe as primeiras potnciasde 2:

22 = 22= 123 = 12= 224 = 22= 125 = 12= 226 = 22= 1

Deste modo, quando o expoente da potncia for par, ento o resultado ser 1, se oexpoente for mpar, o resultado ser 2.

Fazendo as substituies devidas em (3.3), tem-se:

1+2.

Portanto o resto da diviso por 3 0.

60

4 ENSINANDO EQUAESDIOFANTINAS LINEARES

Inicialmente esse captulo apresenta uma discusso de quando se poderia ser ensi-nada as equaes diofantinas lineares no Ensino Bsico, como tambm uma justificativada importncia de ser ensinada. Aps isto, so mostrados alguns aspectos histricos deDiofanto e de sua importncia na Matemtica, pois ele considerado o pai da Aritmtica.Tambm mostrado como Diofanto resolvia os problemas do livro Arithmetica, mtodosestes muito prticos e interessantes para serem aplicados no ensino. O captulo terminacom a exposio das equaes diofantinas lineares, juntamente com um boa quantidade deexemplos para melhor compreenso.

4.1 Em que momento se pode ensinar as equaes di-ofantinas

Tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Mdio claramente possvel intro-duzir como um tpico para o ensino, as equaes diofantinas, pois no Ensino Fundamentalaps ter visto mximo divisor comum e equaes polinomiais do primeiro grau com umaincgnita, os alunos tm requisito para compreender o processo de soluo das equaesdiofantinas. Quanto ao Ensino Mdio, um bom momento seria no segundo ano ou em algummomento que esteja sendo trabalhado sistemas de equaes lineares.

Como afirma Capilheira :

A resoluo de equaes diofantinas lineares utiliza basicamente conceitosprevistos para o Ensino Fundamental, como o de divisor, mximo divisorcomum, diviso euclidiana e equao da reta, o que torna plausvel a ques-to de estudo. Revisitaremos esses contedos com mais preciso (de umponto de vista mais formal), reformulando-os, apresentando mais propri-edades e mostrando outras alternativas de abordagem e clculo, que noslevam a entender e determinar as solues destas equaes.(CAPILHEIRA, 2012, p.15)

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Pensando um pouco sobre a insero das equaes diofantinas no Ensino Funda-mental, geralmente o ensino de equaes polinomiais do primeiro grau, passa pela seguintesequncia: primeiro a soluo de equaes lineares de apenas uma incgnita, depois parainiciar a soluo de sistemas lineares de duas equaes com duas incgnitas, passa por umabreve explanao sobre algumas solues de equaes lineares de duas incgnitas, ou seja, aforma ax+ by = c, com a, b e c R. Neste ltimo caso possvel fazer consideraes neces-srias sobre essas equaes, nesse caso, propor o mtodo de soluo quando os coeficientesso inteiros, ou seja, introduzir as equaes diofantinas lineares.

No entraremos no mrito da questo sobre a incluso das Equaes DiofantinasLineares como componente curricular para o Ensino Fundamental nem Ensino Mdio, masexp-lo como um tema acessvel ao Ensino Bsico e, portanto, podendo ser um comple-mento para explorao das diversas possibilidades de estratgias de resoluo de situaes-problema, propiciando assim o desenvolvimento de competncias.

Segundo Pommer:

O uso das Equaes Diofantinas Lineares no ensino bsico possibilita re-explorar situaes-problema envolvendo nmeros inteiros. No ensino m-dio, a concepo vigente tratar os inteiros simplesmente como subconjun-tos dos nmeros reais, o que conduz a simplificaes que no consideramaspectos fundamentais dos nmeros inteiros. (POMMER , 2011, p.2)

Tambm em Pommer, justifica o porqu de ensinar equaes diofantinas no EnsinoBsico:Este tema permite articular, a partir da tentativa e erro, outras estratgias de enfo-que aritmtico(POMMER , 2011, p.2). Desta forma esta evolui para a escrita algbrica, eportanto estabelecendo uma natural transio entre a Aritmtica e a lgebra(POMMER, 2011, p.2).

4.2 Um pouco da histria de Diofanto e dos problemasdiofantinos

Como esta estrito em Eves [11], Diofanto de Alexandria teve uma enorme impor-tncia na construo da lgebra. Entretanto no se conhece muito sobre sua vida, nemmesmo sobre a poca exata em que viveu, mas supe que contemporneo de Hero, emtorno do sculo III da era crist. Sua carreira floresceu em Alexandria, o que o nico fatocerto sobre sua vida.

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Quanto a sua contribuio Matemtica, segundo Boyer:

A principal obra de Diofante que a Arithmetica, tratado que era origi-nalmente em treze livros, dos quais s os seis primeiros se preservaram.Deve-se lembrar que na Grcia antiga a palavra Aritmtica significavateoria dos nmeros(BOYER , 1974, p.130)

Quanto s caractersticas desta obra:A Arithmetica no uma exposio sistemticasobre as operaes algbricas ou as funes algbricas ou a resoluo de equaes algbri-cas. (BOYER , 1974, p.133). O que ela de fato uma coletnea de 150 problemas, estestodos estudados a partir de exemplos especficos, e mesmo assim, nem se faz um esforopara achar todas as solues possveis. Nas solues das equaes do segundo grau, apenasse considerava as solues positivas. No feita uma distino clara entre problemas de-terminados e indeterminados, e mesmo para os ltimos, para os quais o nmero de soluesem geral infinito, uma s resposta dada.(BOYER , 1974, p.133)

Diofanto desenvolveu diversas abreviaes para seus problemas e solues, sendoassim os rudimentos da lgebra, abreviaes para incgnitas, potncias das incgnitas,subtraes e igualdade. Veja:

ltima letra da palavra arithmos, a incgnita. Y primeira letra da palavra dynamis, o quadrado da incgnita. KY primeira letra da palavra kybos, o cubo. Y a quarta potncia. KY a quinta potncia. KYK a sexta potncia. OM abreviatura da palavra grega monades que significa unidade e representa uma

constante.

Veja agora alguns problemas do livro Arithmetica que mostra o mtodo diofantinode resoluo.

O exemplo abaixo o problema 27 do Livro I de Arithmetica visto em Pitombeira[22].

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Exemplo 4.1. Encontrar dois nmeros cuja soma e produto sejam nmeros dados.

Resoluo: Os nmeros dados para a soma e para o produto so; 20 e 96 respec-tivamente.

Em Pitombeira [22] mostra a seguinte soluo como esta no livro Arithmetica: deseja-se encontrar dois nmeros, ou seja, 2 arithmoi. Comeando a dividir a soma destes doisnmeros, que 20, por 2, portanto 10. A partir da considera-se um arithmos somado por10 mais a subtrao de arithmos por 10, neste caso, 10+ 10 = 20, como o produto 96, ento multiplica essas duas quantidades, obtendo 100 subtrada pelo quadrado deum arithmos, ou seja, um dynamis (Y ), em uma linguagem algbrica, 100y = 96,concluindo que dynamis vale 4, e portanto um arithmos igual a 2, tendo como resultado12 e 8, so as respostas desejadas.

Buscando maior clareza sobre o mtodo diofantino, a mesma questo ser resolvida,mas agora com uma linguagem algbrica conhecida.

Resoluo: O enunciado dado reduz ao seguinte sistema:{x+y = 20xy = 96

Como sua soma 20, toma 202

= 10, atribui uma outra varivel k, tais que:

x = 10+k

y = 10k.

Multiplicando ambos:

(10+k)(10k) = 96

100k2 = 96

k2 = 10096

k = 2.

E portanto:

x = 12

y = 8.

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Observe que esse problema semelhante aos problemas vistos quando se dadosistema de equaes que se reduz a equaes polinomiais do 2ograu, pois este problema seresume soluo da equao x220x+96= 0, da usa-se a frmula:

x=b

2a

com = b24ac, onde a, b e c so os coeficientes da equao ax2+bx+c= 0, nesse caso omtodo diofantino para soluo desses problemas alm de se mostrar uma forma alternativade soluo, propicia uma soluo mais Aritmtica, o que muitas vezes bem vista pelosalunos.

Os prximos problemas sero resolvidos apenas usando a linguagem algbrica mo-derna.

Exemplo 4.2. Achar dois nmeros tais que sua soma seja 10 e a soma de seus cubos seja370.

Resoluo: Dado o sistema:{x+y = 10

x3+y3 = 370

Como sua soma 10, toma 102

= 5, atribui uma outra varivel k, tais que:

x = 5+k

y = 5k.

Substituindo na soma de cubos:

(5+k)3+(5k)3 = 370

125+ 75k+ 15k2+k3+ 125 75k+ 15k2k3 = 370

30k2+250 = 370

k2 = 4

k = 2.

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E portanto:

x = 7

y = 3.

O ltimo exemplo muito semelhante ao anterior, porm sendo uma subtrao denmeros, ou seja, xy = s; nesse caso, toma x= k s

2e y = k+ s

2.

Exemplo 4.3. Ache dois nmeros tais que sua diferena e a diferena de seus cubos soiguais a dois nmeros dados.

Resoluo: Tomando estes nmeros como 6 e 936, respectivamente, temos a se-guinte sistema em linguagem atual:{

xy = 6x3y3 = 936

Como sua diferena 6, toma 62= 3, atribui uma outra varivel k, tais que:

x = k+3

y = k3.

Substituindo na soma de cubos:

(k+3)3(k3)3 = 936

k3+9k2+27k+27k3+9k227k+27 = 936

18k254 = 936

k2 = 49

k = 7.

E portanto:

x = 10

y = 6.

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Segue agora uma lista de alguns problemas de Diofanto vista no livro Arithmetica:

Problema 6, Livro III: Encontre trs nmeros1 tais que a soma de todos um quadrado e a soma de dois quaisquer deles tambm um quadrado.(Resposta de Diofanto: 80, 320, 41.)Problema 7, Livro III: Encontre trs nmeros em progresso Aritmtica,sabendo-se que a soma de dois quaisquer deles um quadrado . (Respostade Diofanto: 120 12 , 840

12 ,1560

12 .)

Problema 13, Livro III: Encontre trs nmeros tais que o produto de doisquaisquer deles, acrescido do terceiro, um quadrado.Problema 15, Livro III: Encontre trs nmeros tais que o produto de doisquaisquer deles, acrescido da soma dos mesmos dois, um quadrado.Problema 10, Livro IV: Encontre dois nmeros tais que sua soma igual soma de seus cubos. (Resposta de Diofanto: 57 ,

87 .)

Problema 21, Livro IV: Encontre trs nmeros em progresso geomtricade maneira que a diferena entre dois quaisquer deles um nmero qua-drado. (Resposta de Diofanto:817 ,

1447 e

2567 .) (EVES , 2004, p.208)

4.3 Equaes Diofantinas Lineares

Nesta seo ser estudada as equaes diofantinas lineares, de modo especfico asque possuem duas incgnitas, ou seja:

ax+ by = c (4.1)

onde a, b s nmeros naturais no simultaneamente iguais a zero. Uma soluo para aequao (4.1) um par ordenado (x0,y0) NN de forma que a seguinte igualdade sejaverdadeira:

ax0+ by0 = c.

Antes que seja possvel mostrar um mtodo para obter alguma soluo de uma equa-o diofantina preciso analisar determinadas condies para saber quando uma equaoadmite soluo, segundo Domingues [9].

Proposio 4.1. Uma equao diofantina linear, ax+by = c, com a 6= 0 ou b 6= 0,admite soluo se, e somente se, mdc(a,b) | c.

1Deve-se ter em mente que nmero significa nmero racional positivo

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Demonstrao: Provando cada parte:

(=) Se (x0,y0) Z2 uma soluo qualquer, vale a igualdade:ax0+ by0 = c.

Pela definio de mdc, mdc(a,b) | a e mdc(a,b) | b usando a proposio 2.4 na pgina 20 valea tese, mdc(a,b) | c.

(=) Chamando d =mdc(a,b) usando a proposio 3.1 na pgina 39 garante qued= ax0+ by0 para algum par (x0,y0) Z2, com a hiptese que d | c e deste modo c= d t,t Z, e portanto:

c= d t= (ax0+ by0)t= a(x0t)+ b(y0t).

Ou seja o par (x0t,y0t) uma soluo da equao desejada.

A proposio acima alm de mostrar uma condio para verificar que existe soluo,ela tambm generosa, pois na demonstrao encontramos um mtodo para determinaruma soluo. Veja o exemplo:

Exemplo 4.4. Encontre uma soluo, se existir, da equao 12x+32y = 52.

Resoluo: Usando a proposio acima 4.1, basta calcular o mdc(12,32):

32= 12 2+8 (4.2)12= 8 1+4 (4.3)8= 4 2+0.

Portanto mdc(12,32) = 4 e 4 | 52, logo existe, uma admite soluo para a equaodiofantina 12x+32y = 52.

Para encontrar uma soluo basta usar os clculos obtidos para a determinao domdc(12,32). Da equao (4.3) vale a igualdade 4= 12+8(1) substituindo 8 pela expresso32+ 12(2) de (4.2), segue:

4 = 12+(32+ 12(2))(1)4 = 12(3)+32(1).

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E como 52= 4 12, multiplicando a igualdade acima por 12:

4 12= 52= 12(3 12)+32(1 12)

e portanto12(36)+32(12) = 52.

Logo (36,12) uma soluo de 12x+32y = 52

A proposio abaixo vista em Domingues [9]

Proposio 4.2. Se (x0,y0) uma soluo qualquer da equao diofantina linearax+by = c, com a 6= 0 e b 6= 0, ento esta equao admite infinitas solues e o conjuntodessas solues :

S =

{(x0+

b

mdc(a,b)t,y0

a

mdc(a,b)t

); t Z

}.

Demonstrao: Chamando de mdc(a,b) = d e indicando por (x,y) as soluesde ax+ by = c, vale a igualdade:

ax+ by = c= ax0+ by0

e daia(xx0) = b(y0y).

Como a= d f e b= d g com f e g Z onde mdc(f,g) = 1, e ento:

f(xx0) = g(y0y).

Portanto f | (y0y) e desse modo y0y = ft, t Z, o que leva

y = y0ft= y0a

dt.

E daf(xx0) = g(y0y) = fgt

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e obtm-sex = x0+gt= x0+

b

dt

e por fim (x0+

b

mdc(a,b)t,y0

a

mdc(a,b)t

).

a soluo da equao dada.

O corolrio abaixo tambm esta presente em Domingues [9].

Corolrio 4.1. Se a e b so diferentes de zero e mdc(a,b) = 1 e (x0,y0) uma soluoparticular da equao diofantina linear ax+ by = c, ento o conjunto de todas assolues dado por:

S = {(x0+ bt,y0at) ; t Z} .

Exemplo 4.5. Tendo que comprar selos de 5 reais e 7 reais. De quantas maneiras pode-secomprar os selos sabendo que devem ser gastos exatamente 100 reais?

Resoluo: A soluo encontrar os valores dos pares ordenados (x,y)Z2 comox 0 e y 0 que soluo da equao 5x+ 7y = 100, fazendo as contas:

7 = 5 1+25 = 2 2+ 1.

Assim mdc(5,7) = 1 e 1 | 100, logo a equao tem soluo inteira, calculando, substituindo

2 por 7+5(1) da expresso 5+2(2) = 1, tem-se:

1 = 5+(7+5(1))(2)1 = 5+ 7(2)+5(2)1 = 5(3)+ 7(2).

Multiplicando por 100,

1= 5(300)+ 7(200)

e portanto a soluo S = {(300+ 7t,2005t) ; t Z} .

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Bem essa no a resposta desejada ainda, basta agora ver quais os valores de t paraos quais os x e y sejam ambos positivos, basta resolver as inequaes, 200 5t 0 e300+ 7t 0, por fim, 42 t40, seja a tabela com os resultados possveis:

t x y (x,y)

40 20 0 (20,0)41 13 5 (13,5)42 6 10 (6,10)

Portanto as solues so 20 selos de 5 reais e nenhum selo de 7 reais, 13 selos de 5reais e 5 selos de 7 reais e a ltima possvel soluo 6 selos de 5 reais e 10 selos de 7 reais.

Exemplo 4.6. Responda:

(a) Determine todos os mltiplos positivos de 7 e 13 cuja soma igual a 90.

(b) Determine todos os mltiplos positivos de 3 e 5 cuja soma igual a