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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1 Aula 15 - Questões Comentadas e Resolvidas Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e desconto comercial composto. Nas questões de juros compostos, normalmente, as bancas fornecem tabelas para facilitar. Seguem, portanto, abaixo, as tabelas que utilizaremos nesta aula. Tabela I - Fator de Acumulação de Capital: a n = (1 + i) n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 4 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 7 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 8 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 9 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 11 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 12 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 13 1,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 14 1,149474 1,319479 1,512590 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 16 1,172579 1,372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 17 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 19 1,208109 1,456811 1,753506 2,106849 2,526950 3,025600 3,616528 20 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684

[2011] Raciocínio Lógico para Traumatizados - Aula 15

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Aula 15 - Questões Comentadas e Resolvidas Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e desconto comercial composto. Nas questões de juros compostos, normalmente, as bancas fornecem tabelaspara facilitar. Seguem, portanto, abaixo, as tabelas que utilizaremos nestaaula.

Tabela I - Fator de Acumulação de Capital: an = (1 + i)n

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 1 1,0100001,0200001,0300001,0400001,0500001,0600001,0700002 1,0201001,0404001,0609001,0816001,1025001,1236001,1449003 1,0303011,0612081,0927271,1248641,1576251,1910161,2250434 1,0406041,0824321,1255091,1698591,2155061,2624771,3107965 1,0510101,1040811,1592741,2166531,2762821,3382261,4025526 1,0615201,1261621,1940521,2653191,3400961,4185191,5007307 1,0721351,1486861,2298741,3159321,4071001,5036301,6057818 1,0828571,1716591,2667701,3685691,4774551,5938481,7181869 1,0936851,1950931,3047731,4233121,5513281,6894791,838459

10 1,1046221,2189941,3439161,4802441,6288951,7908481,96715111 1,1156681,2433741,3842341,5394541,7103391,8982992,10485212 1,1268251,2682421,4257611,6010321,7958562,0121962,25219213 1,1380931,2936071,4685341,6650741,8856492,1329282,40984514 1,1494741,3194791,5125901,7316761,9799322,2609042,57853415 1,1609691,3458681,5579671,8009442,0789282,3965582,75903216 1,1725791,3727861,6047061,8729812,1828752,5403522,95216417 1,1843041,4002411,6528481,9479002,2920182,6927733,15881518 1,1961471,4282461,7024332,0258172,4066192,8543393,37993219 1,2081091,4568111,7535062,1068492,5269503,0256003,61652820 1,2201901,4859471,8061112,1911232,6532983,2071353,869684

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8% 9% 10% 12% 15% 18% 11,0800001,0900001,1000001,120000 1,150000 1,18000021,1664001,1881001,2100001,254400 1,322500 1,39240031,2597121,2950291,3310001,404928 1,520875 1,64303241,3604891,4115811,4641001,573519 1,749006 1,93877851,4693281,5386241,6105101,762342 2,011357 2,28775861,5868741,6771001,7715611,973823 2,313061 2,69955471,7138241,8280391,9487172,210681 2,660020 3,18547481,8509301,9925632,1435892,475963 3,059023 3,75885991,9990052,1718932,3579482,773079 3,517876 4,435454

102,1589252,3673642,5937423,105848 4,045558 5,233836112,3316392,5804262,8531173,478550 4,652391 6,175926122,5181702,8126653,1384283,895976 5,350250 7,287593132,7196243,0658053,4522714,363493 6,152788 8,599359142,9371943,3417273,7974984,887112 7,07570610,147244153,1721693,6424824,1772485,473566 8,13706211,973748163,4259433,9703064,5949736,130394 9,35762114,129023173,7000184,3276335,0544706,86604110,76126416,672247183,9960194,7171205,5599177,68996612,37545419,673251194,3157015,1416616,1159098,61276214,23177223,214436204,6609575,6044116,7275009,64629316,36653727,393035

Tabela II – Fator Valor Atual de uma Série de Pagamentos:

a(n;i) =(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,9345790,9259262 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,8080181,7832653 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,6243162,5770974 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,3872113,3121275 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,1001973,9927106 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,7665404,6228807 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,3892895,2063708 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,9712995,7466399 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,5152326,246888

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,0235826,71008111 10,367628 9,786848 9,252624 8,760477 8,306414 7,886875 7,4986747,13896412 11,25507710,575341 9,954004 9,385074 8,863252 8,383844 7,9426867,53607813 12,13374011,34837410,634955 9,985648 9,393573 8,852683 8,3576517,90377614 13,00370312,10624911,29607310,563123 9,898641 9,294984 8,7454688,24423715 13,86505312,84926411,93793511,11838710,379658 9,712249 9,1079148,55947916 14,71787413,57770912,56110211,65229610,83777010,105895 9,4466498,85136917 15,56225114,29187213,16611812,16566911,27406610,477260 9,7632239,12163818 16,39826914,99203113,75351312,65929711,68958710,82760310,0590879,37188719 17,22600815,67846214,32379913,13393912,08532111,15811610,3355959,60359920 18,04555316,35143314,87747513,59032612,46221011,46992110,5940149,818147

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9% 10% 12% 15% 18%

10,9174310,9090910,8928570,869565 0,84745821,7591111,7355371,6900511,625709 1,56564232,5312952,4868522,4018312,283225 2,17427343,2397203,1698653,0373492,854978 2,69006253,8896513,7907873,6047763,352155 3,12717164,4859194,3552614,1114073,784483 3,49760375,0329534,8684194,5637574,160420 3,81152885,5348195,3349264,9676404,487322 4,07756695,9952475,7590245,3282504,771584 4,303022

106,4176586,1445675,6502235,018769 4,494086116,8051916,4950615,9376995,233712 4,656005127,1607256,8136926,1943745,420619 4,793225137,4869047,1033566,4235485,583147 4,909513147,7861507,3666876,6281685,724476 5,008062158,0606887,6060806,8108645,847370 5,091578168,3125587,8237096,9739865,954235 5,162354178,5436318,0215537,1196306,047161 5,222334188,7556258,2014127,2496706,127966 5,273164198,9501158,3649207,3657776,198231 5,316241209,1285468,5135647,4694446,259331 5,352746

Tabela III – Fator de Acumulação de Capital de uma Série de Pagamentos:

s(n;i) = (1 ) 1ni

i

+ −

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,0000002 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,0800003 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,2464004 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,5061125 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,8666016 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,3359297 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,9228038 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,89746810,25980310,6366289 9,368527 9,75462810,15910610,58279511,02656411,49131611,97798912,487558

10 10,46221310,94972111,46387912,00610712,57789313,18079513,81644814,48656211 11,56683512,16871512,80779613,48635114,20678714,97164315,78359916,64548712 12,68250313,41209014,19203015,02580515,91712716,86994117,88845118,97712613 13,80932814,68033215,61779016,62683817,71298318,88213820,14064321,49529714 14,94742115,97393817,08632418,29191119,59863221,01506622,55048824,21492015 16,09689617,29341718,59891420,02358821,57856423,27597025,12902227,15211416 17,25786418,63928520,15688121,82453123,65749225,67252827,88805430,32428317 18,43044320,01207121,76158823,69751225,84036628,21288030,84021733,75022618 19,61474821,41231223,41443525,64541328,13238530,90565333,99903337,45024419 20,81089522,84055925,11686827,67122930,53900433,75999237,37896541,44626320 22,01900424,29737026,87037429,77807933,06595436,78559140,99549245,761964

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9% 10% 12% 15% 18% 1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,0000002 2,090000 2,100000 2,120000 2,150000 2,1800003 3,278100 3,310000 3,374400 3,472500 3,5724004 4,573129 4,641000 4,779328 4,993375 5,2154325 5,984711 6,105100 6,352847 6,742381 7,1542106 7,523335 7,715610 8,115189 8,753738 9,4419687 9,200435 9,48717110,089012 11,066799 12,141522811,02847411,43588812,299693 13,726819 15,326996913,02103613,57947714,775656 16,785842 19,085855

1015,19293015,93742517,548735 20,303718 23,5213091117,56029318,53116720,654583 24,349276 28,7551441220,14072021,38428424,133133 29,001667 34,9310701322,95338524,52271228,029109 34,351917 42,2186631426,01918927,97498332,392602 40,504705 50,8180221529,36091631,77248237,279715 47,580411 60,9652661633,00339935,94973042,753280 55,717472 72,9390141736,97370540,54470348,883674 65,075093 87,0680361841,30133845,59917355,749715 75,836357103,7402831946,01845851,15909063,439681 88,211811123,4135342051,16012057,27499972,052442102,443583146,627970

1.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Um jovem tinha umcapital e fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital emum fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. A aplicação emRenda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmoperíodo, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesseperíodo, o jovem

(A) teve lucro de 2%.(B) teve lucro de 20%.(C) não teve lucro e nem prejuízo.(D) teve prejuízo de 2%.(E) teve prejuízo de 20%. Resolução

Não é uma questão de juros compostos, mas vamos começar por ela para“aquecer”. Vamos interpretar a questão.

I - Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento diversificado. Vamos considerar, então, que o capital aplicado pelo jovem foi “C”.

Capital Investido = C

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II - Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 40% x Capital Investido ⇒⇒Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 40% x C ⇒ ⇒Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 0,40 x C

Capital Aplicado na Bolsa de Valores = Capital Investido – Capital Aplicado noFundo de Renda Fixa ⇒⇒Capital Aplicado na Bolsa de Valores = C – 0,40 x C ⇒ ⇒Capital Aplicado na Bolsa de Valores = 0,60 x C III - A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 0,40 x C

Lucro da Aplicação em Renda Fixa = 20% x Capital Aplicado no Fundo deRenda Fixa ⇒⇒ Lucro da Aplicação em Renda Fixa = 20% x 0,40 x C ⇒⇒ Lucro da Aplicação em Renda Fixa = 0,08 x C

Montante de Renda Fixa = Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa + Lucro daAplicação em Renda Fixa ⇒⇒ Montante de Renda Fixa = 0,40 x C + 0,08 x C = 0,48 x C

Capital Aplicado em Bolsa de Valores = 0,60 x C

Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores = 10% x Capital Aplicado em Bolsade Valores ⇒⇒ Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores = 10% x 0,60 x C ⇒⇒ Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores = 0,06 x C

Montante em Bolsa de Valores = Capital Aplicado em Bolsa de Valores –Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores ⇒⇒ Montante em Bolsa de Valores = 0,60 x C – 0,06 x C = 0,54 x C

Montante de Renda Fixa 0,48 x C(+) Montante em Bolsa de Valores 0,54 x C Montante Total 1,02 x C IV – Rendimento total do período. Rendimento Total = (Montante Total – Capital Investido)/Capital Investido ⇒

⇒ Rendimento Total = 1,02. 0,02.C C C

C C

−= =0,02 = 2% (lucro)

GABARITO: A

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2.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Uma aplicaçãoconsiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00(trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% aomês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é

(A) 2.040,00(B) 2.142,00(C) 2.240,00(D) 2.304,00(E) 2.442,00 Resolução

A questão definiu: Juros Compostos

Vamos estudar os conceitos:

Juros Compostos: Na capitalização por juros compostos, os juros sãocalculados sobre o montante do capital (C) no período anterior (juros sobrejuros), ou seja, o capital inicial de cada período é o capital do período anterioracrescido dos juros do período anterior.

M = C . (1 + i)t J = M - C Onde,M = montanteC = capitalJ = jurosi = taxa de jurost = período(1 + i)t = fator de capitalização Exemplo: Qual o montante produzido por R$ 10.000,00, à taxa de juroscompostos de 2% ao mês, durante dez meses?

Montante (M) = R$ 10.000,00Período (t) = 10 mesesTaxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês

M = C. (1 + i)t = 10.000 x (1 + 0,02)10 = 10.000 x (1,02)10

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E agora? Como calcular (1,02)10 sem tabela. Bom, vamos te ensinar umprocedimento que pode ser útil na hora da prova:

1) Calcule: 1,02 x 1,02 = 1,0404. Com isso, você já possui (1,02)2.

2) Calcule: (1,02)2 x (1,02)2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até asegunda casa decimal) = 1,04 x 1,04 = 1,0816. Com isso, você já possui(1,02)4.

3) Calcule: (1,02)4 x (1,02)4 (para facilitar, vamos utilizar os valores até asegunda casa decimal) = 1,08 x 1,08 = 1,1664. Com isso, você já possui(1,02)8.

4) Agora, basta calcular: (1,02)8 x (1,02)2 (para facilitar, vamos utilizar osvalores até a segunda casa decimal) = 1,17 x 1,04 = 1,2168. Ufa,chegamos a (1,02)10.

⇒ M = 10.000 x 1,2168 ⇒ M = 12.168,00 Nota: Quando for fazer uma aproximação dos números para a segunda casadecimal, se o número da terceira casa decimal for menor que 5, deve sermantido o número da segunda casa decimal. Caso contrário, se o número daterceira casa decimal for igual ou maior que 5, deve ser somada uma unidadeao número da segunda casa decimal. Exemplos: 1,1664 = 1,17 (6 > 5 ⇒número da segunda casa decimal = 6 + 1 = 7)1,1643 = 1,16 (4 < 5 ⇒número da segunda casa decimal = 6)

Caso utilizássemos o valor tabelado ou calculássemos com todas as casasdecimais, teríamos:⇒ (1,02)10 = 1,218994 (Tabela I: coluna 2%; linha 10)⇒ M = 10.000 x 1,218994 ⇒⇒ M = 12.189,94 (ou seja, o procedimento nos forneceu uma boa aproximação).

Vamos à resolução da questão:

I - Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um.

Depósito (D) = R$ 300,00

1

Montante

2 3 4

D D D D

5 6

D D

7

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II - Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é...

Taxa de Juros Compostos (i) = 5% ao mês =5

100= 0,05 ao ano

Agora, precisamos calcular o montante um mês após o último depósito:

Repare que o depósito (D) efetuado no primeiro mês (mês “1”) renderá por 6meses (período do primeiro para o segundo mês; período do segundo para oterceiro mês; período do terceiro para o quarto mês; período para o quarto doquinto mês; período do quinto para o sexto mês; período do sexto para osétimo mês – um mês após).

O depósito (D) efetuado no segundo mês (mês “2”) renderá por 5 meses(período do segundo para o terceiro mês; período do terceiro para o quartomês; período para o quarto do quinto mês; período do quinto para o sextomês; período do sexto para o sétimo mês – um mês após).

E assim por diante. Portanto, teríamos a seguinte equação:

Montante (M) = D x (1 + i)6 + D x (1 + i)5 + D x (1 + i)4 + D x (1 + i)3 + D x(1 + i)2 + D x (1 + i) ⇒⇒ M = 300 x (1 + 0,05)6 + 300 x (1 + 0,05)5 + 300 x (1 + 0,05)4 + 300 x (1+ 0,05)3 + 300 x (1 + 0,05)2 + 300 x (1 + 0,05) ⇒

⇒ M = 300 x (1,05)6 + 300 x (1,05)5 + 300 x (1,05)4 + 300 x (1,05)3 + 300x (1,05)2 + 300 x (1,05) ⇒

Colocando os “300” em evidência:

⇒ M = 300 x [(1,05)6 + (1,05)5 + (1,05)4 + (1,05)3 + (1,05)2 + (1,05)]

Vamos calcular as potências de 1,05:

1,052 = 1,05 x 1,05 = 1,10251,053 = 1,052 x 1,05 = 1,15761,054 = 1,052 x 1,052 = 1,21551,055 = 1,054 x 1,05 = 1,27631,056 = 1,053 x 1,053 = 1,3401

Você também pode retirar os valores da tabela I:

1,052 (Coluna 5%; Linha 2) = 1,10251,053 (Coluna 5%; Linha 3) = 1,1576251,054 (Coluna 5%; Linha 4) = 1,2155061,055 (Coluna 5%; Linha 5) = 1,2762821,056 (Coluna 5%; Linha 6) = 1,340096

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Substituindo os valores na equação:

⇒ M = 300 x [1,340096 + 1,276282 + 1,215506 + 1,157625 + 1,1025 +1,05] ⇒⇒ M = 300 x 7,142008 ⇒⇒ M = R$ 2.142,60 Caramba, professor, é muita conta! Tudo bem, eu sei! Só queria te mostrartodos os passos para que entenda os conceitos, pois também é possívelcalcular, de maneira mais simples, utilizando os valores fornecidos na tabelaIII (do início da aula). Essa tabela também foi fornecida na prova.

Vejamos os conceitos:Renda Antecipada A renda antecipada corresponde a uma série uniforme de pagamentos ouinvestimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorreno ato da realização do negócio.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de juros

2 1...

(1 ) (1 ) (1 )nR R R

A Ri i i −= + + + +

+ + +

A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:1

1

(1 ) 1. 1.(1 )

n

n

iA R

i i

+ −= + +

= R . [a(n-1;i) + 1]

O termo a(n-1;i) =1

1

(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

é tabelado (tabela II). Portanto basta achar o

valor tabelado e somar 1.

Caso quiséssemos calcular o total pago ou investido imediatamente após oúltimo pagamento ou investimento ou um período após o último pagamento ouinvestimento (montante de valor futuro), teríamos:

A

0 1 2 ... n-1

RRRR

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Valor futuro após o último pagamento: Fn-1 = R.(1 ) 1ni

i

+ −

Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (1(1 ) 1ni

i

++ −– 1)

Onde s(n;i) =(1 ) 1ni

i

+ −é tabelado (tabela III) e denominado fator de

acumulação de capital ou fator de valor futuro.

Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (1(1 ) 1ni

i

++ −– 1) ⇒

⇒ Fn = R. [s(n+1;i) – 1] Voltando à questão, temos:

Depósito (D) = 300Número de Prestações (n) = 6Taxa de juros (i) = 5% ao mês

Repare que a questão pede o valor um mês após o último depósito. Portanto,temos que multiplicar o montante obtido por mais um mês de juros.

Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (1(1 ) 1ni

i

++ −– 1) ⇒

⇒ Fn = R. [s(n+1;i) – 1]

n + 1 = 6 + 1 = 7

Da tabela III, temos: s(7; 5%) = 8,142008 (Linha 7, Coluna 5% da tabela III)

M = D . [s(7;5%) – 1] = 300 x [8,142008 – 1] = 300 x 7,142008 = 2.142,60

E aí? Muito mais tranqüilo, não acha?GABARITO: B

A

0 1 2 ... n-1

RRR

FnFn-1

R

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3.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Uma pessoa fez,com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa,aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na FinanceiraBeta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, comcapitalização mensal. Ao final de 1 semestre, os montantes das duasaplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicaçãodiversificada no período foi de

(A) 60%(B) 54%(C) 46%(D) 34%(E) 26% Resolução

Vamos estudar os conceitos:

Taxa Nominal A taxa de juros nominal é a taxa definida para um período de tempo diferentedo período de capitalização.

Taxa Efetiva A taxa efetiva corresponde à taxa correspondente ao período de capitalização.

Exemplo: i = 48% ao ano com capitalização mensal.

i = 48% ao ano ⇒ taxa nominali´= 48%/12 = 4% ao mês ⇒ taxa efetiva, tendo em vista que a capitalizaçãoé mensal. Taxa Proporcional A taxa proporcional é a taxa cuja razão entre elas e entre os períodos detempo a que se referem são iguais.

Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i´= 5% ao mês.60% 12

5% 1= ⇒60% = 5% x 12

60% estão para 5%, assim como 12 meses (1 ano) estão para 1 mês. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i´= 30% ao semestre.60% 2

30% 1= ⇒60% = 30% x 2

60% estão para 30%, assim como 12 meses (1 ano) estão para 6 meses (1semestre).

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Taxa Equivalente A taxa equivalente é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes eque, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam omesmo montante.

Onde,ieq = taxa equivalente à taxa de juros “i”.t = período. Nota: Nos juros simples, as taxas equivalentes são iguais às taxasproporcionais (em valor). Nos juros compostos, que é assunto do próximocapítulo, esta situação não ocorre.

Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de5%.

i = 5% ao mês (juros compostos)t = 3 (trimestre = 3 meses)1 + ieq = (1 + 5%)3 = (1,05)3 = 1,157625 ⇒⇒ ieq = 1,157625 – 1 = 0,157625 = 15,76% ao trimestre

Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal simples de 5%.i = 5% ao mês (juros simples)⇒ ieq = 5% x 3 = 15% ao trimestre (*) Repare que i = 15% ao trimestre é proporcional a i´= 5% ao mês.15% 3

5% 1= ⇒15% = 5% x 3

15% estão para 5%, assim como 3 meses (trimestre) estão para 1 mês.

1 + ieq = (1 + i)t ⇒ juros compostos

1 + ieq = 1 + i.t ⇒ ieq = i.t ⇒ juros simples

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Vamos interpretar a questão.

I - Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal.

Capital Total Investido = C

Capital Aplicado 1 (Financeira Alfa) = R$ 3.000,00Taxa de Juros 1 (nominal) = 24% ao ano, com capitalização bimestral

Cálculo da taxa de juros efetiva (corresponde à taxa do período decapitalização):

24% ==� 1 ano = 6 bimestresTaxa de Juros Efetiva ==� 1 bimestre

Taxa de Juros Efetiva x 6 = 24% ⇒

⇒ Taxa de Juros Efetiva =24%

6⇒

⇒ Taxa de Juros Efetiva = 4% ao bimestre

Repare que, na Financeira Beta, é aplicado o restante do capital, que será igualao capital total investido (C) menos o capital aplicado na Financeira Alfa (R$3.000,00).

Capital Aplicado 2 (Financeira Beta) = C – R$ 3.000,00Taxa de Juros 2 (nominal) = 42% ao semestre, com capitalização mensal

Cálculo da taxa de juros efetiva (corresponde à taxa do período decapitalização):

42% ==� 1 semestre = 6 mesesTaxa de Juros Efetiva ==� 1 mês

Taxa de Juros Efetiva x 6 = 42% ⇒

⇒ Taxa de Juros Efetiva =42%

6⇒

⇒ Taxa de Juros Efetiva = 7% ao mês

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II - Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicação diversificada no período foi de...

Repare que a questão não definiu se a capitalização é a juros compostos ou ajuros simples. Portanto, como nada foi dito, utilizaremos os juros compostos.

II.1 – Cálculo do montante da aplicação 1 após 1 semestre

Capital Aplicado 1 = 3.000

Taxa de Juros Efetiva 1 = 4% ao bimestre =4

100= 0,04 ao bimestre

Período = 1 semestre = 3 bimestres

M1 = C1 . (1 + i1)n ⇒⇒ M1 = 3.000 x (1 + 0,04)3 ⇒⇒ M1 = 3.000 x (1,04)3 ⇒

(1,04)3 (Tabela I, linha 3, coluna 4%) = 1,124864

⇒ M1 = 3.000 x 1,234864 ⇒⇒ M1 = 3.374,59

II.2 – Cálculo do montante da aplicação 2 após 1 semestre

Capital Aplicado 2 = C – 3.000

Taxa de Juros Efetiva 2 = 7% ao mês =7

100= 0,07 ao mês

Período = 1 semestre = 6 meses

M2 = C2 . (1 + i2)n ⇒⇒ M2 = (C – 3.000) x (1 + 0,07)6 ⇒⇒ M2 = (C – 3.000) x (1,07)6 ⇒

(1,07)6 (Tabela I, linha 6, coluna 7%) = 1,500730

⇒ M2 = (C – 3.000) x 1,500730⇒ M2 = 1,500730.C – 4.502,19

De acordo com a questão, os montantes das duas aplicações, após 6 meses,somaram R$ 6.000,00.

M1 + M2 = 6.000 ⇒⇒ 3.374,59 + 1,500730.C – 4.502,19 = 6.000 ⇒⇒ 1,500730.C = 6.000 + 4.502,19 – 3.374,59 ⇒⇒ 1,500730.C = 7.127,60 ⇒

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⇒ C =7.127,60

1,500730⇒

⇒ C = 4.749,42

Portanto, para calcular a taxa efetiva de juros das duas aplicações, temos:

Capital Total Investido (C) = 4.749,42Montante (M) = 6.000

Taxa Efetiva de Juros = (Montante – Capital Total Investido)/Capital TotalInvestido ⇒

⇒ Taxa Efetiva de Juros =6.000 4.749,42

4.749,42

−⇒

⇒ Taxa Efetiva de Juros =1.250,58

4.749,42⇒

⇒ Taxa Efetiva de Juros = 0,2633 = 26,33% GABARITO: E (Contador-AGU-2010-Cespe) Considerando que determinado capital tenhasido aplicado à taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês, no regime de juroscompostos, e que 0,002, 0,006, 0,176 e 0,301 são valores aproximados paralog 1,005, log 1,014, log 1,5 e log 2, respectivamente, julgue os itensseguintes.

4. A taxa de juros efetiva quadrimestral, equivalente à taxa de juros efetivautilizada na aplicação, é inferior a 6% ao quadrimestre.

Resolução

Vamos interpretar a questão.

I - Considerando que determinado capital tenha sido aplicado à taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês, no regime de juros compostos, ...

A questão definiu: Juros Compostos

Na capitalização por juros compostos, os juros são calculados sobre omontante do capital (C) no período anterior (juros sobre juros), ou seja, ocapital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescido dosjuros do período anterior. M = C . (1 + i)t J = M - C

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Onde,M = montanteC = capitalJ = jurosi = taxa de jurost = período(1 + i)t = fator de capitalização Taxa Efetiva de Juros (i) = 1,4% ao mês

II - ...e que 0,002, 0,006, 0,176 e 0,301 são valores aproximados para log 1,005, log 1,014, log 1,5 e log 2, respectivamente,... Essas informações sobre logaritmos foram dadas porque não havia tabelas naprova. Portanto, temos:

Log 1,005 = 0,002Log 1,014 = 0,006Log 1,5 = 0,176Log 2 = 0,301

III – Cálculo da taxa efetiva quadrimestral equivalente à taxa de 1,4% ao mês Taxa Equivalente A taxa equivalente é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes eque, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam omesmo montante.

Taxa Efetiva Semestral = ieqPeríodo (t) = 4 meses

Taxa Efetiva Mensal = 1,4% ao mês =1,4

100= 0,014 ao mês

1 + ieq = (1 + 0,014)4 ⇒⇒ 1 + ieq = (1,014)4 ⇒

(1,014)2 = 1,014 x 1,014 = 1,0282(1,014)4 = (1,014)2 x (1,014)2 = 1,0282 x 1,0282 = 1,0572

⇒ 1 + ieq = 1,0572 ⇒⇒ ieq = 1,0572 – 1 ⇒⇒ ieq = 0,0572 = 5,72% ao quadrimestre (que é inferior a 6% ao quadrimestre) GABARITO: Certo

1 + ieq = (1 + i)t ⇒ juros compostos

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5. O capital levará mais de 4 anos para dobrar de valor.

Resolução

Capital Investido = CMontante (para dobrar de valor) = 2 x Capital Investido = 2.CTaxa de Juros (i) = 1,4% ao mês = 0,014 ao mês

M = C . (1 + i)n ⇒⇒ 2.C = C x (1 + 0,014)n ⇒

⇒ (1 + 0,014)n =2.C

C⇒

⇒ (1,014)n = 2

Se aplicarmos o logaritmo nos dois lados da equação, a igualdade não se altera(lembra das primeiras aulas? Espero que sim! Risos).

⇒ Log (1,014)n = Log 2

Além disso, vamos lembrar uma propriedade dos logaritmos:

Log AB = B x Log A (logaritmo de um número elevado à potência é igual àpotência multiplicada pelo logaritmo do número).

No caso concreto da questão, teríamos:

⇒ Log (1,014)n = Log 2 ⇒⇒ n. Log (1,014) = Log 2

Dados da questão:Log 1,014 = 0,006Log 2 = 0,301

Substituindo os valores:

⇒ n. Log (1,014) = Log 2 ⇒⇒ n x 0,006 = 0,301 ⇒

⇒ n =0,301

0,006⇒

⇒ n = 50,17 meses (que é maior que 4 anos = 48 meses)

Portanto, o capital levará mais de 4 anos para dobrar de valor. GABARITO: Certo

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6.(Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Energia-Área 3-Aneel-2010-Cespe) Considerando que um capital seja investido à taxa de10% ao ano, julgue o item que segue, tomando 1,04 e 0,3 como valoresaproximados de log10 11 e log10 2, respectivamente.

No regime de capitalização composta, esse capital dobrará de valor em menosde 8 anos. Resolução

Vamos interpretar a questão.

I - Considerando que um capital seja investido à taxa de 10% ao ano...

Capital Investido = C

Taxa de Juros (i) = 10% ao ano =10

100= 0,10 ao ano

II - ...tomando 1,04 e 0,3 como valores aproximados de log 1011 e log 102, respectivamente.

Dados da questão:

Log10 11 = 1,04Log10 2 = 0,3

III - No regime de capitalização composta, esse capital dobrará de valor em menos de 8 anos. A questão definiu: Juros Compostos

M = C . (1 + i)t J = M - C Onde,M = montanteC = capitalJ = jurosi = taxa de jurost = período(1 + i)t = fator de capitalização

Vamos, então, verificar o tempo necessário para o capital dobrar.

Motante (M) = 2 x Capital Investido = 2.C

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M = C . (1 + i)t ⇒⇒ 2.C = C x (1 + 0,10)t ⇒

⇒2.C

C= (1,10)t ⇒

⇒ 2 = (1,10)t

Aplicando “logaritmo” nos dois lados da equação, a igualdade não se altera.Além disso, precisamos lembrar a seguinte propriedade dos logaritmos.Log AB = B x Log A

Portanto, teríamos:⇒ Log10 2 = Log10 (1,10)t ⇒⇒ Log10 2 = t x Log10 1,10 ⇒

Aqui, temos que fazer uma transformação, pois o dado da questão é umlogaritmo, na base 10, de 11. Sabemos que:

1,10 =11

10. Substituindo na equação:

⇒ Log10 2 = t x Log1011

10⇒

Outra propriedade dos logaritmos: LogA

B= Log A – Log B

Lembrando também que LogA A = 1, pois A1 = A

Portanto, Log10 10 = 1

Portanto, na equação teríamos:

⇒ Log10 2 = t x Log1011

10⇒

⇒ Log10 2 = t x (Log10 11 – Log10 10) ⇒

⇒ Log10 2 = t x (Log10 11 – 1) ⇒

Substituindo o valor dos logaritmos dados:

⇒ 0,3 = t x (1,04 – 1) ⇒⇒ 0,3 = t x (0,04) ⇒

⇒ t = 0,3 30

0,04 4= = 7,5 anos (o capital investido dobrará de valor em 7

anos e meio). GABARITO: Certo

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(Contador-FUB-2010-Cespe) Julgue os próximos itens, relativos ao regimede juros compostos.

7. Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, umacurva exponencial.

Resolução

A fórmula de cálculo do montante para capitalização a juros compostos é:

M = C . (1 + i)t

Os juros seriam calculados da seguinte forma:

Juros (J) = Montante (M) – Capital Investido (C) ⇒⇒ J = C . (1 + t)t – C ⇒⇒ J = C . [(1 + i)t – 1] Portanto, os juros (J) são função do tempo (t), que é um expoente da equação, representando uma curva exponencial. GABARITO: Certo

8. Uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 12% ao ano, com capitalizaçãotrimestral, ultrapassa o montante de R$ 4.240,00 após seis meses.

Resolução

A questão não definiu. Portanto, utilizaremos juros compostos.

Aplicação = Capital Investido (C) = R$ 4.000,00Taxa de Juros Nominal = 12% ao ano

Capitalização Trimestral: portanto, a taxa de juros efetiva será:

12% ==� 1 ano = 4 trimestresTaxa de Juros Efetiva ==� 1 trimestre

Taxa de Juros Efetiva x 4 = 12% x 1 ⇒

⇒ Taxa de Juros Efetiva (i) =12%

4⇒

⇒ Taxa de Juros Efetiva (i) = 3% ao trimestre =3

100= 0,03 ao trimestre

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Portanto, temos os seguintes dados:

Montante = MCapital Investido (C) = 4.000Taxa de Juros Efetiva (i) = 0,03 ao trimestrePeríodo (t) = 6 meses = 2 trimestres

Importante: O período deve estar sempre na mesma “grandeza” da taxa dejuros. Se você for utilizar uma taxa de juros mensal na fórmula, por exemplo,o período deve estar em meses. Se você for utilizar uma taxa de jurossemestral na fórmula, por exemplo, o período deve estar em semestres. Eassim por diante. M = C . (1 + i)t ⇒⇒ M = 4.000 x (1 + 0,03)2 ⇒⇒ M = 4.000 x (1,03)3 ⇒⇒ M = 4.000 x 1,0609 ⇒⇒ M = 4.243,60

Portanto, uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 12% ao ano, com capitalização trimestral, ultrapassa o montante de R$ 4.240,00 após seis meses. GABARITO: Certo

9. Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regimede juros composto é sempre superior ao montante em regime de jurossimples. Resolução

Atenção, pois esta regra não vale sempre! Foi uma pegadinha da examinadora.Vamos verificar por meio de exemplos.

Exemplo 1: Capital Investido (C) = R$ 1.000,00Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 0,10 ao mêsPeríodo (t) = 15 dias = 0,5 mês

Juros Simples:MS = C . (1 + i.t) ⇒⇒ MS = 1.000 x (1 + 0,10 x 0,50) ⇒⇒ MS = 1.000 x (1 + 0,05) ⇒⇒ MS = 1.000 x 1,05 ⇒⇒ MS = 1.050

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Juros Compostos:MC = C . (1 + i)t ⇒⇒ MC = 1.000 x (1 + 0,10)0,50 ⇒⇒ MC = 1.000 x (1,10)0,50 ⇒

Lembre que: (1,10)0,50 =1

2(1,10) = 1,10 = 1,04881⇒ MC = 1.000 x 1,04881 ⇒⇒ MC = 1.048,1

Portanto, se o período é menor que o período de capitalização da taxa dejuros, para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante emregime de juros composto é inferior ao montante em regime de juros simples.

Exemplo 2: Capital Investido (C) = R$ 1.000,00Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 0,10 ao mêsPeríodo (t) = 1 mês

Juros Simples:MS = C . (1 + i.t) ⇒⇒ MS = 1.000 x (1 + 0,10 x 1) ⇒⇒ MS = 1.000 x (1 + 0,10) ⇒⇒ MS = 1.000 x 1,10 ⇒⇒ MS = 1.100

Juros Compostos:MC = C . (1 + i)t ⇒⇒ MC = 1.000 x (1 + 0,10)1 ⇒⇒ MC = 1.000 x (1,10)1 ⇒⇒ MC = 1.000 x 1,10 ⇒⇒ MC = 1.100

Portanto, se o período é igual ao período de capitalização da taxa de juros,para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regimede juros composto é igual ao montante em regime de juros simples.

Exemplo 3: Capital Investido (C) = R$ 1.000,00Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 0,10 ao mêsPeríodo (t) = 2 meses

Juros Simples:MS = C . (1 + i.t) ⇒⇒ MS = 1.000 x (1 + 0,10 x 2) ⇒⇒ MS = 1.000 x (1 + 0,20) ⇒⇒ MS = 1.000 x 1,20 ⇒⇒ MS = 1.200

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Juros Compostos:MC = C . (1 + i)t ⇒⇒ MC = 1.000 x (1 + 0,10)2 ⇒⇒ MC = 1.000 x (1,10)2 ⇒⇒ MC = 1.000 x 1,21 ⇒⇒ MC = 1.210

Portanto, se o período é maior que o período de capitalização da taxa de juros,para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regimede juros composto é superior ao montante em regime de juros simples.GABARITO: Errado 10.(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Em determinado dia,um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rendejuros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversárioda aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmovalor. Nessa situação, considerando-se que o regime de juros é o composto e3,14 como valor aproximado para 1,112, é correto afirmar que, sem ter feito,nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor,no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$12.000,00. Resolução

Vamos aproveitar o item para estudar os conceitos de descontos compostos eequivalência de capitais a juros compostos.

Vamos estudar os conceitos:

Desconto Composto Relembrando, desconto (D) é a diferença entre o valor nominal (valor dotítulo) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagosem virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título.

Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N) é o valordo título na data do vencimento.

Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ouValor Resgatado (AD) é o valor do título na data do resgate.

Desconto Composto Comercial ou Por Fora O desconto composto comercial ou por fora é um desconto que incide sobre ovalor nominal (N), período a período. A = N . (1 – iD)t Dc = N – A = N – N . (1 – iD)t = N . [1 - (1 – iD)t]

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Onde,Dc = desconto comercialiD = taxa de desconto comercial (juros simples)t = período restante até o vencimento do títuloN = valor nominalA = valor atual

Nota: - Quanto maior o prazo entre a data do vencimento do título e a data doresgate, menor será o valor atual do referido título (maior o desconto).

- Quanto menor o prazo entre a data do vencimento do título e a data doresgate, maior será o valor atual do referido título (menor o desconto).

Atenção! Lembre que o desconto por fora é, normalmente, utilizado no desconto de duplicatas e notas promissórias. Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro O desconto racional, financeiro, matemático ou por dentro é o desconto quedetermina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado,resulta em um montante igual ao valor nominal.

N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t Dr = N – A = N - N/(1 + ir)t = N . [1 – 1/(1 + ir)t] ⇒⇒ Dr = N . [(1 + ir)t – 1]/(1 + ir)t

Onde,Dr = desconto comercialir = taxa de desconto comercial (juros simples)t = período restante até o vencimento do títuloN = valor nominalA = valor atual Importante: Nas mesmas condições: Desconto Comercial > Desconto Racional

Desconto Bancário (DB) O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de taxasbancárias sobre o valor nominal. DB = Dc + e . N

Onde,e = encargos bancários

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Equivalência de Capitais e Séries de Pagamento (Rendas Certas ou Anuidades) Equivalência de Capitais – Desconto Racional Data de Equivalência no Futuro

N = valor nominalA = valor atuali = taxa de jurost = período Data de Equivalência no Passado

Equivalência de Capitais – Desconto Comercial Data de Equivalência no Futuro

N = valor nominalA = valor atuali = taxa de jurost = período Data de Equivalência no Passado

T

A

T + t

N N = A . (1 + i)t

T

A

T + t

N A = N/(1 + i)t

T

A

T + t

N N = A/(1 – i)t

T

A

T + t

N A = N . (1 – i)t

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Renda Postecipada Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentos ouinvestimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorreum período após o negócio.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de juros

2 1...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n

R R R RA

i i i i−= + + + ++ + + +

A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:

(1 ) 1..(1 )

n

n

iA R

i i

+ −=

+(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente

(FVP) ⇒ A = R x FVA

O termo a(n;i) =(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

é tabelado (tabela II) e também pode ser

apresentado como1 (1 ) ni

i

−− +.

Logo, A = R . a(n;i). a(18;2%) = Fator de Valor Atual = 14,992031⇒ 15.000 = P x 14,9920 ⇒ P = 1.000,53

Caso quiséssemos calcular o total pago ou investido imediatamente após oúltimo pagamento ou investimento (montante de valor futuro), teríamos:

A = valor da renda

A

0

R

1 n2 ... n-1

RRR

A

0

R

1 n2 ... n-1

RRR

F

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R = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de jurosF = montante de valor futuro

.(1 )

(1 ) 1 (1 ) 1. .(1 ) ..(1 )

n

n nn

n

F A i

i iF R i R

i i i

= +

+ − + −= + =

+

(1 ) 1ni

i

+ −⇒ Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor

Futuro ⇒ F = R x FAC

O termo s(n;i) =(1 ) 1ni

i

+ −é tabelado (tabela III). Logo, F = R . s(n;i).

Renda Antecipada A renda antecipada corresponde a uma série uniforme de pagamentos ouinvestimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorreno ato da realização do negócio.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de juros

2 1...

(1 ) (1 ) (1 )nR R R

A Ri i i −= + + + +

+ + +

A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:1

1

(1 ) 1. 1.(1 )

n

n

iA R

i i

+ −= + +

= R . [a(n-1;i) + 1]

O termo a(n-1;i) =1

1

(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

é tabelado (tabela II). Portanto basta achar o

valor tabelado e somar 1.

A

0 1 2 ... n-1

RRRR

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Caso quiséssemos calcular o total pago ou investido imediatamente após oúltimo pagamento ou investimento, ou um período após o último pagamentoou investimento (montante de valor futuro), teríamos:

Valor futuro após o último pagamento ou investimento: Fn-1 = R.(1 ) 1ni

i

+ −

Valor futuro um período após o último pagamento ou investimento:

Fn = R. (1(1 ) 1ni

i

++ −– 1)

Onde s(n;i) =(1 ) 1ni

i

+ −é tabelado (tabela III) e denominado fator de

acumulação de capital ou fator de valor futuro.

Valor futuro um período após o último pagamento: Fn = R. (1(1 ) 1ni

i

++ −– 1) ⇒

⇒ Fn = R. [s(n+1;i) – 1] Renda Diferida A renda diferida corresponde à série uniforme de pagamentos ouinvestimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorrem+1 períodos após o início do negócio, ou seja, há m períodos sem pagamentoou investimento.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãom = número de períodos sem pagamenton = número de prestaçõesi = taxa de juros

A

0 1 2 ... n-1

RRR

FnFn-1

A

0 1 2 ... m

m+1

R RR R

m+2 ... m+n

R

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1 2 1...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m n

R R R RA

i i i i+ + + − += + + + ++ + + +

Repare que, no caso da renda diferida, A vai ser igual a:

1 2 1 1... ... ...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m

R R R R R R RA

i i i i i i i+ +

= + + + + + + − + + + + + + + + +

(1 ) 1 (1 ) 1.

.(1 ) .(1 )

m n m

m n m

i iA R

i i i i

+

+

+ − + −= − + +

A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)]

Ou seja, consideramos a renda postecipada até o período m+n e subtraímos operíodo de diferimento (até m).

Vamos interpretar a questão.

I - Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%.

Capital Inicial Investido (C) = R$ 500,00Taxa de Juros (i) = 10% ao mês

II - Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor.

Nos 11 meses seguintes, sempre no mesmo dia, foi feita uma nova aplicaçãodo mesmo valor.

Capital Aplicado Todo Mês (C) = R$ 500,00

III - Nessa situação, considerando-se que o regime de juros é o composto e 3,14 como valor aproximado para 1,112, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ 12.000,00. A questão informa que (1,10)12 = 3,14

0 2 3 4

C C C C

5 6

C C

7

C C C C C

8 9 10 111

C

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Além disso, a questão deseja saber o montante acumulado no dia do últimopagamento. Portanto, utilizaremos a seguinte fórmula (correspondente àfórmula do valor pago após o último depósito na renda antecipada, tendo emvista que o primeiro depósito ocorreu no mês “0”):

(1 ) 1.

niM C

i

+ −= , que é a fórmula do fator de acumulação de capital

(FAC) ou fator de valor futuro (tabela III). A prova não forneceu tabelas, mas informou o valor que precisamos utilizar.Vejamos:

Montante = MCapital Aplicado Todo Mês (C) = R$ 500,00Taxa de Juros (i) = 10% ao mêsPeríodo (n) = 12 meses (correspondem a 12 aplicações, do mês “0” ao mês“11”)

(1 ) 1.

niM C

i

+ −= ⇒

⇒M =12(1 0,10) 1

500.0,10

+ −⇒

⇒M =12(1,10) 1

500.0,10

−⇒

⇒M =3,14 1

500.0,10

−⇒

⇒M =2,14

500.0,10

⇒M = 500 x 21,4 ⇒⇒M = 10.700 (que é menor do que R$ 12.000,00) GABARITO: Errado 11.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Caso se aplique R$ 5.000,00 porano, durante 3 anos consecutivos, em um título de rendimento de 10% dejuros compostos ao ano, o montante auferido ao final desse período será de

A R$ 11.000,00.B R$ 12.500,00.C R$ 15.550,00.D R$ 16.000,00.E R$ 16.550,00.

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Resolução

A questão definiu: Juros Compostos. Vamos interpretar a questão.

I - Caso se aplique R$ 5.000,00 por ano, durante 3 anos consecutivos, em um título de rendimento de 10% de juros compostos ao ano, o montante auferido ao final desse período será de...

Capital Aplicado Todo Mês (C) = R$ 5.000,00Taxa de Juros Compostos (i) = 10% ao ano = 0,10 ao anoPeríodo (n) = 3 anos

(1 ) 1.

niM C

i

+ −= , que é a fórmula do fator de acumulação de capital

(FAC) ou fator de valor futuro (tabela III).

(1 ) 1.

niM C

i

+ −= ⇒

⇒M =3(1 0,10) 1

5.000.0,10

+ −⇒

⇒M =3(1,10) 1

5.000.0,10

−⇒

Cálculo de (1,10)3:

(1,10)2 = 1,10 x 1,10 = 1,21(1,10)3 = 1,21 x 1,10 = 1,331

⇒M =1,331 1

5.000.0,10

−⇒

⇒M =0,331

5.000.0,10

⇒M = 5.000 x 3,31 ⇒⇒M = 16.550 GABARITO: E

1 2 3

C C C

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(Analista Ambiental-Área de Concentração III-2010-MMA-Cespe) Umprodutor rural foi multado em R$ 300.000,00, por ser o responsável pelapoluição de um rio que atravessa sua propriedade. A dívida foi negociada eforam apresentadas a esse produtor as seguintes propostas de pagamento dareferida multa: I pagamento à vista com desconto; II pagamento em 2prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento daprimeira prestação um ano após a negociação; III pagamento em 3 prestaçõesanuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeiraprestação no ato da negociação. O produtor rejeitou a proposta I, pois ela eramenos vantajosa que as outras duas, dado que seu dinheiro poderia terrendimento de juros compostos anuais de 25%.

A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. 12. A proposta III é a mais vantajosa para o produtor. Resolução

Vamos interpretar a questão.

A - Um produtor rural foi multado em R$ 300.000,00, por ser o responsável pela poluição de um rio que atravessa sua propriedade.

Portanto, um produtor rural sofreu uma multa de R$ 300.000,00 por danoambiental (poluição de um rio que atravessa sua propriedade).

B - A dívida foi negociada e foram apresentadas a esse produtor as seguintes propostas de pagamento da referida multa:

I pagamento à vista com desconto; II pagamento em 2 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeira prestação um ano após a negociação; III pagamento em 3 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeira prestação no ato da negociação. O produtor rejeitou a proposta I, pois ela era menos vantajosa que as outras duas, dado que seu dinheiro poderia ter rendimento de juros compostos anuais de 25%.

Taxa de Juros Anuais (i) = 25% ao ano =25

100= 0,25 ao ano

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A questão não informou qual seria o desconto para pagamento à vista.Contudo, a própria questão já definiu que o produtor rural rejeitou a propostaI, pois era menos vantajosa que as demais. Portanto, vamos analisar aspropostas II e III.

Na proposta II, foi definido que o pagamento será em 2 prestações anuais,iguais e consecutivas, sem desconto. Entende-se, nesse caso, que, se não hádesconto a considerar, seriam pagas duas prestações anuais de R$ 150.000,00(2 x R$ 150.000,00 = R$ 300.000,00).

Suponha que o produtor tenha os R$ 300.000,00 para pagamento à vista. Seele aplicar o dinheiro, a uma taxa de juros de 25% ao ano (dado da questão),ao final do primeiro ano, ele teria o seguinte montante:

C1 = 300.000

M1 = C1 x (1 + i) ⇒⇒ M1 = 300.000 x (1 + 0,25) ⇒⇒ M1 = 300.000 x 1,25 ⇒⇒ M1 = 375.000

Ao final do primeiro ano, ele paga a primeira prestação de R$ 150.000,00.Portanto, o valor restante na sua aplicação será de:

C2 = 375.000 – 150.000 = 225.000

Esse valor será reaplicado por mais um ano para o pagamento da segundaprestação.

M2 = C2 x (1 + i) ⇒⇒ M2 = 225.000 x (1 + 0,25) ⇒⇒ M2 = 225.000 x 1,25 ⇒⇒ M2 = 281.250

Ao final do segundo ano, ele paga a segunda prestação de R$ 150.000,00.Portanto, o valor restante na sua aplicação será de:

C3 = 281.250 – 150.000 = 131.250

Na proposta III, foi definido que o pagamento será em 3 prestações anuais,iguais e consecutivas, sem desconto, sendo a primeira no ato da negociação.Entende-se, nesse caso, que, se não há desconto a considerar, seriam pagastrês prestações anuais de R$ 100.000,00 (2 x R$ 100.000,00 = R$300.000,00).

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Suponha que o produtor tenha os R$ 300.000,00 para pagamento à vista. Noato da negociação, já pagaria R$ 100.000,00. Portanto, restaria R$ 200.000,00para aplicar (R$ 300.000,00 – R$ 200.000,00).

Se ele aplicar o dinheiro restante, a uma taxa de juros de 25% ao ano (dadoda questão), ao final do primeiro ano, ele teria o seguinte montante:

C´1 = 200.000

M´1 = C´1 x (1 + i) ⇒⇒ M´1 = 200.000 x (1 + 0,25) ⇒⇒ M´1 = 200.000 x 1,25 ⇒⇒ M´1 = 250.000

Ao final do primeiro ano, ele paga a segunda prestação de R$ 100.000,00.Portanto, o valor restante na sua aplicação será de:

C´2 = 250.000 – 100.000 = 150.000

Esse valor será reaplicado por mais um ano para o pagamento da terceiraprestação.

M´2 = C´2 x (1 + i) ⇒⇒ M´2 = 150.000 x (1 + 0,25) ⇒⇒ M´2 = 150.000 x 1,25 ⇒⇒ M´2 = 187.500

Ao final do segundo ano, ele paga a terceira prestação de R$ 100.000,00.Portanto, o valor restante na sua aplicação será de:

C´3 = 187.500 – 100.000 = 87.500 (é menor que o valor restante pelaproposta II = 131.250)

Portanto, o valor restante do dinheiro do produtor, pela proposta II, é maiorque o valor restante pela proposta III, a proposta II é mais vantajosa. Naverdade, só fiz as contas, para você ter certeza, mas nem precisava, pois, nasmesmas condições, se eu tenho um dinheiro para pagar à vista e não precisodar nenhuma entrada (pagamento no ato), essa proposta sempre será maisvantajosa em relação à proposta em que tenho que dar alguma entrada. Maslembre que a regra só vale com toda a certeza se forem nas mesmascondições (no caso, prestações iguais e sucessivas, sem desconto).GABARITO: Errado

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13. O desconto previsto na proposta I é inferior a R$ 56.000,00.

Resolução

Repare que, pela proposta II, o montante que sobrou após o pagamento dadívida foi de R$ 131.250,00 (após dois anos) e pela proposta III, o montanteque sobrou após o pagamento da dívida foi de R$ 87.500,00 (após dois anos).

Como o produtor considerou que a proposta I era desvantajosa (pagamento àvista com desconto), o desconto para pagamento à vista deve ser menor que ovalor atual do montante que sobrou após o pagamento da dívida na propostaIII (R$ 87.500,00).

A questão definiu que são juros compostos. Como a questão não definiu o tipode desconto para trazer a valor atual, utiliza-se o desconto racional composto. Vamos relembrar:

Temos os seguintes dados:

Valor Atual = AValor do Montante Após os Pagamentos (Proposta III) = 87.500

Taxa de Juros (i) = 25% ao ano =25

100= 0,25 ao ano

Período (t) = 2 anos

A =(1 )tN

i+⇒

⇒A =2

87.500

(1 0,25)+⇒

⇒A =2

87.500

(1,25)⇒

⇒A =87.500

1,5625⇒

⇒A = 56.000

Portanto, se o desconto dado para pagamento à vista, na proposta I, for inferior a R$ 56.000,00, ela já não será mais vantajosa que a proposta III. GABARITO: Certo

T

A

T + t

N A = N/(1 + i)t

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(Consultor Executivo-Ciências Contábeis-Sefaz/ES-2010-Cespe) Asecretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte opagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensaiscom valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestaçãovence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois mesesconsecutivos. Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeiraparcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentesàs outras duas prestações. No início de julho de 2009, esse contribuintenegociou a dívida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor decada prestação, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, demodo que os novos valores da segunda e da terceira prestações atrasadas,cujo vencimento passou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais,respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens abaixo.

14. A taxa de juros simples usada pela secretaria de fazenda no reajuste dasprestações atrasadas foi superior a 4%.

Resolução

Vamos interpretar a questão:

I - A secretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte o pagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensais com valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestação vence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos.

Portanto, temos duas opções de pagamento do IPVA:

Opção 1: Pagamento em parcela única

Opção 2: Pagamento em três prestações mensais, com valores iguais, semcobrança de juros, com a primeira parcela a ser paga no dia do vencimento daparcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos

II - Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$ 1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeira parcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentes às outras duas prestações. O contribuinte devia um IPVA no valor de R$ 1.200,00 e escolheu a opção 2,pois pagou a primeira em 14/03/2009. Porém, acabou não pagando asparcelas seguintes.

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Como escolheu a opção 2 (pagamento em três prestações mensais, comvalores iguais, sem cobrança de juros), o valor das parcelas seria R$ 400,00(R$ 1.200,00/3).

III - No início de julho de 2009, esse contribuinte negociou a dívida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor de cada prestação, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, de modo que os novos valores da segunda e da terceira prestações atrasadas, cujo vencimento passou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais, respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00. Portanto, em julho de 2009, após negociação da dívida com a secretaria defazenda, a uma taxa de juros simples, os valores da segunda e da terceiraparcelas, agora com vencimento em 14/10/2009, passaram a ser R$ 520,00 eR$ 500,00. Portanto, teríamos o seguinte:

P = R$ 400,00

Ou seja, a parcela (P) não paga de abril, no valor de R$ 400,00, foirenegociada em julho, e ficou com o valor de R$ 520,00. Como a questãodefiniu que é juros simples, vamos calcular a taxa de juros:

Parcela Recalculada (PR) = R$ 520,00Parcela Original (PO) = R$ 400,00Período (n) = de abril a outubro (pagamento) = 6 meses (de abril a maio, demaio a junho, de junho a julho, de julho a agosto, de agosto a setembro e desetembro a outubro)

PR = PO . (1 + i . n) ⇒⇒ 520 = 400 x (1 + i x 6) ⇒

⇒ 1 + i x 6 =520

400⇒

⇒ 1 + i x 6 = 1,3 ⇒⇒ i x 6 = 1,3 – 1 ⇒⇒ i x 6 = 0,3 ⇒

⇒ i =0,3

6⇒

⇒ i = 0,05 ao mês = 5% ao mês (que é superior a 4%).

Março Abril Maio

P P P

Julho

Renegociação da dívidaParcela de Abril = R$ 520,00Parcela de Maio = R$ 500,00Pagamento: 14/10/2009

Junho

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O item já está certo, mas vamos calcular o valor da taxa de juros referente aoutra parcela, para ver se bate.

Parcela Recalculada (PR) = R$ 500,00Parcela Original (PO) = R$ 400,00Período (n) = de abril a julho = 5 meses (de maio a junho, de junho a julho,de julho a agosto, de agosto a setembro e de setembro a outubro)

PR = PO . (1 + i . n) ⇒⇒ 500 = 400 x (1 + i x 5) ⇒

⇒ 1 + i x 5 =500

400⇒

⇒ 1 + i x 5 = 1,25 ⇒⇒ i x 5 = 1,25 – 1 ⇒⇒ i x 5 = 0,25 ⇒

⇒ i =0,25

5⇒

⇒ i = 0,05 ao mês = 5% ao mês (que é superior a 4%). GABARITO: Certo

15. Supondo que a secretaria de fazenda tivesse reajustado as prestações auma taxa de juros compostos igual a 4% ao mês, então, considerando-se(1,04)5 = 1,22, o valor total das parcelas com vencimento no dia 14/10/2009seria superior a R$ 1.020,00.

Resolução

Agora, o item definiu que são juros compostos e informou que a taxa de juroscobrada é de 4% ao mês. Além disso, como a prova não forneceu tabelas,informou que (1,04)5 = 1,22. Vamos calcular o valor das parcelas não pagasapós a renegociação.

Atenção! Aqui a banca fez uma pegadinha. Repare que o valor total a ser pago no item anterior (juros simples) foi de R$ 1.020,00 (R$ 500,00 + R$ 520,00). Portanto, o valor total a ser pago a juros compostos, será superior a R$ 1.020,00, certo? Não, ERRADO. No item anterior, a taxa de juros era de 5% ao mês e nesse item a banca mudou para 4% ao mês. Atenção ao ler as questões para não errar na hora da prova.

Parcela Recalculada 1 = PR1

Parcela Original (PO) = R$ 400,00

Taxa de Juros (i) = 4% ao mês =4

100= 0,04 ao mês

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Período (n) = de abril a outubro (pagamento) = 6 meses (de abril a maio, demaio a junho, de junho a julho, de julho a agosto, de agosto a setembro e desetembro a outubro)

PR1 = PO . (1 + i)n ⇒⇒ PR1 = 400 x (1 + 0,04)6 ⇒⇒ PR1 = 400 x (1,04)6 ⇒⇒ PR1 = 400 x (1,04)5 x (1,04) ⇒⇒ PR1 = 400 x 1,22 x 1,04 ⇒⇒ PR1 = 400 x 1,2688 ⇒⇒ PR1 = 507,52Parcela Recalculada = PR2

Parcela Original (PO) = R$ 400,00

Taxa de Juros (i) = 4% ao mês =4

100= 0,04 ao mês

Período (n) = de maio a outubro (pagamento) = 5 meses (de maio a junho, dejunho a julho, de julho a agosto, de agosto a setembro e de setembro aoutubro)

PR2 = PO . (1 + i)n ⇒⇒ PR2 = 400 x (1 + 0,04)5 ⇒⇒ PR2 = 400 x (1,04)5 ⇒⇒ PR2 = 400 x 1,22 ⇒⇒ PR2 = 488

Valor Total das Parcelas Recalculadas = PR1 + PR2 ⇒⇒ Valor Total das Parcelas Recalculadas = 507,52 + 488 ⇒⇒ Valor Total das Parcelas Recalculadas = 995,52 (que é inferior a R$ 1.020,00) GABARITO: Errado

16. Considerando que, de posse dos boletos bancários nos valores de R$500,00 e R$ 520,00 para pagamento no dia 14/10/2009, o contribuinte tenharesolvido antecipar o pagamento para 14/8/2009, e que a secretaria defazenda tivesse adotado o sistema de desconto racional simples a uma taxa de4% ao mês para desconto de antecipações dessa natureza, o valor total pagopor esse contribuinte, em 14/8/2009, seria superior a R$ 950,00.

Resolução

Repare que houve a antecipação do pagamento em dois meses (de 14/10 para14/08), utilizando desconto racional simples. Vamos relembrar:

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Desconto Racional, Matemático ou por Dentro (Dr): O desconto racional,matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (Ad)que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual aovalor nominal. Portanto, a taxa de desconto racional será igual à taxa efetivade desconto.

N = Ad .(1 + id . t) ⇒ Ad = (1 . )d

N

i t+

O valor total que seria pago em outubro é igual a:

Valor Total a Ser Pago em Outubro (N) = 500 + 520 = 1.020

Taxa de Desconto (i) = 4% ao mês = =4

100= 0,04 ao mês

Valor Total a Ser Pago em Agosto = Ad

Período (t) = 2 meses (de outubro par setembro e de setembro para agosto)

Ad = (1 . )d

N

i t+ ⇒

⇒ Ad =1.020

(1 0,04 2)+ ×⇒

⇒ Ad =1.020

(1 0,08)+⇒

⇒ Ad =1.020

1,08⇒

⇒ Ad = 944,44 (que é inferior a R$ 950,00) GABARITO: Errado

17.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra sérieequivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamentotambém ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento dasegunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês.

a) R$ 750,00b) R$ 693,00c) R$ 647,00d) R$ 783,00e) R$ 716,00

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Resolução

Questão de série de pagamentos com equivalência de capitais a juroscompostos. Como não foi definido, utilizaremos o desconto racional ou pordentro. Vamos interpretar a questão.

I - Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês,...

Portanto, temos a seguinte série de pagamentos:

Primeira Série de Pagamentos:

Pagamentos (P) = R$ 1.000,00

II - ...por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês.

Portanto, a primeira série pagamentos será substituída por uma segunda sériede doze pagamentos iguais, sendo o primeiro pagamento também ao fim deum mês.

Taxa de Juros Compostos (i) = 2% ao mês

Segunda Série de Pagamentos:

Pagamentos = P2

Para igualar as séries de pagamentos, vamos trazer tudo a valor presente, nomomento 1. Vamos relembrar os conceitos.

2 3 4

P P P

5 6

P P

7

P P

81

P

3 4 5

P2 P2 P2

6 7

P2 P2

8

P2 P2 P2 P2

9 10 112

P2P2

1 12

P2

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Renda Postecipada Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentos ouinvestimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorreum período após o negócio.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de juros

2 1...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n

R R R RA

i i i i−= + + + ++ + + +

A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:

(1 ) 1..(1 )

n

n

iA R

i i

+ −=

+(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente

(FVP) ⇒ A = R x FVA

O termo a(n;i) =(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

é tabelado (tabela II) e também pode ser

apresentado como1 (1 ) ni

i

−− +.

Logo, A = R . a(n;i).

Nessa prova, a banca (Esaf) forneceu as tabelas.

I – Cálculo do valor da primeira série de pagamento no momento 1

Pagamentos (P) = R$ 1.000,00

A

0

R

1 n2 ... n-1

RRR

2 3 4

P P P

5 6

P P

7

P P

81

P

9 10 11 12

A1

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Valor tabelado: a(n;i) =(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

Onde,n = número de pagamentos = 8i = taxa de juros = 2% ao mês

a(8; 2%) = 7,325481 (Linha 8, Coluna 2% da tabela II)

Valor no Momento 1 = A1Valor dos Pagamentos (P) = R$ 1.000,00

A1 = P x a(8; 2%) ⇒⇒ A1 = 1.000 x 7,325481 ⇒⇒ A1 = 7.325,48

II – Cálculo do valor da segunda série de pagamento no momento 1

Valor tabelado: a(n;i) =(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

Onde,n = número de pagamentos = 12i = taxa de juros = 2% ao mês

a(12; 2%) = 10,575341 (Linha 12, Coluna 2% da tabela II)

Valor no Momento 1 = A2Valor dos Pagamentos = P2

A2 = P2 x a(8; 2%) ⇒⇒ A2 = P2 x 10,575341

III – Cálculo do valor dos pagamentos da segunda série de pagamentos

Como a segunda série de pagamentos substituirá a primeira, temos:

Valor da Primeira Série de Pagamentos no Momento 1 = Valor da SegundaSérie de Pagamentos no Momento 1 ⇒⇒ A1 = A2 ⇒⇒ 7.325,48 = P2 x 10,575341 ⇒

3 4 5

P2 P2 P2

6 7

P2 P2

8

P2 P2 P2 P2

9 10 112

P2P2

1 12

P2A2

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⇒ P2 =7.325,48

10,575341⇒

⇒ P2 = 692,69 ≈ 693 GABARITO: B

18.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Umfinanciamento no valor de R$ 100.000,00 possui uma carência de 18 meses,incidindo sobre o valor financiado, nesse prazo, uma taxa de juros compostosde 1% ao mês. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor ao fim do prazode carência.

a) R$ 100.000,00b) R$ 112.000,00c) R$ 112.683,00d) R$ 119.615,00e) R$ 118.000,00

Resolução

Temos um financiamento no valor de R$ 100.000,00

Além disso, esse financiamento tem uma carência de 18 meses, ou seja,somente começará a ser pago em 18 meses. Contudo, durante o prazo decarência, haverá incidência de juros compostos sobre o valor financiado de1% ao mês.

Para calcular o valor do saldo devedor ao fim do prazo de carência bastautilizar a fórmula geral dos juros compostos.

M = C . (1 + i)t Onde,M = montanteC = capitalJ = jurosi = taxa de jurost = período(1 + i)t = fator de capitalização

Na questão, temos os seguintes dados:

Financiamento (F) = R$ 100.000,00Taxa de Juros (i) = 1% ao mês = 0,01 ao mêsPeríodo (t) = 18 mesesSaldo Devedor ao Final do Prazo de Carência = SD

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SD = F . (1 + i)t ⇒⇒ SD = 100.000 x (1 + 0,01)18 ⇒⇒ SD = 100.000 x (1,01)18 ⇒

(1,01)18 = 1,196147 (Linha 18, Coluna 1% da tabela 1)

⇒ SD = 100.000 x 1,196147 ⇒⇒ SD = 119.614,7 ≈ 119.615 GABARITO: D

19.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Umtítulo é descontado quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa dedesconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto racional compostocalculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor nominal dotítulo.

a) R$ 20.000,00b) R$ 24.309,00c) R$ 21.550,00d) R$ 25.860,00e) R$ 15.690,00

Resolução

A questão definiu: Desconto Racional Composto

Um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, com taxa dedesconto de 5% ao mês e o valor do desconto igual a R$ 4.310,00.

Desconto Racional Composto (DR) = 4.310Taxa de Juros (i) = 5% ao mês = 0,05 ao mêsPeríodo (t) = 4 mesesValor Atual do Título = A (valor do título descontado)Valor Nominal do Título = N (valor do título na data do vencimento)

A =(1 )tN

i+DR = Valor Nominal – Valor Atual ⇒

⇒ DR = N –(1 )tN

i+⇒

⇒ DR = N . (1 –1

(1 )ti+) ⇒

⇒ 4.310 = N . (1 –4

1

(1 0,05)+) ⇒

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⇒ 4.310 = N . (1 –4

1

(1,05)) ⇒

(1,05)4 = 1,215506 (Linha 4, Coluna 5% da tabela 1)

⇒ 4.310 = N . (1 –1

1,215506) ⇒

⇒ 4.310 = N . (1 – 0,8227) ⇒

⇒ 4.310 = N . 0,1772 ⇒

⇒ N =4.310

0,1772⇒

⇒ N = 24.309 GABARITO: B

20.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Calculeo valor mais próximo do valor atual, no início do primeiro ano, da série abaixode pagamentos relativos ao fim de cada ano, à taxa de juros compostos de12% ao ano.

Ano 1 2 3 4 5Pagamento 4.000 4.000 4.000 3.000 3.000

Ano 6 7 8 9 10Pagamento 3.000 1.000 1.000 1.000 1.000

a) 12.500b) 15.802c) 16.275d) 17.029e) 14.186

Resolução

Temos a seguinte série de pagamentos:

A questão pede o valor mais próximo do valor atual. As tabelas fornecidas nanossa aula e na prova são para valores de pagamentos iguais.

3 4 5

P3 P4 P5

6 7

P6 P7

8

P8 P9

92

P2P1

1

P10

10

A=

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No caso da questão, teremos que dividir a série de pagamentos fornecida em 3para resolvê-la.

I – Série 1: pagamentos de 4.000

Ano 1 2 3Pagamento 4.000 4.000 4.000

Nesse caso, temos uma renda postecipada, pois o primeiro pagamento é feitoao final do ano 1. Vamos relembrar:

Renda Postecipada Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentosperiódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o negócio.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de juros

2 1...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n

R R R RA

i i i i−= + + + ++ + + +

A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:

(1 ) 1..(1 )

n

n

iA R

i i

+ −=

+(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente

(FVP) ⇒ A = R x FVA

O termo a(n;i) =(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

é tabelado (tabela II fornecida no final do

capítulo) e também pode ser apresentado como1 (1 ) ni

i

−− +.

Logo, A = R . a(n;i).

A

0

R

1 n2 ... n-1

RRR

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No caso da questão, temos:

Valor do Pagamento (R1) = 4.000Número de Pagamentos (n1) = 3Taxa de Juros (i) = 12% ao ano

a(n1; i) = a(3; 12%) = 2,401831 (Linha 3, Coluna 12% da tabela II)

A1 = R1 x a(3; 12%) ⇒⇒ A1 = 4.000 x 2,401831 ⇒⇒ A1 = 9.607,32

II – Série 2: pagamentos de 3.000

Ano 4 5 6Pagamento 3.000 3.000 3.000

Nesse caso, temos uma renda diferida. Vamos relembrar:

Renda Diferida A renda diferida corresponde à série uniforme de pagamentos periódicos emque o primeiro pagamento ocorre m+1 períodos após o início do negócio, ouseja, há m períodos sem pagamento.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãom = número de períodos sem pagamenton = número de prestaçõesi = taxa de juros

1 2 1...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m n

R R R RA

i i i i+ + + − += + + + ++ + + +

Repare que, no caso da renda diferida, A vai ser igual a:

1 2 1 1... ... ...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )m m m n m

R R R R R R RA

i i i i i i i+ +

= + + + + + + − + + + + + + + + +

(1 ) 1 (1 ) 1.

.(1 ) .(1 )

m n m

m n m

i iA R

i i i i

+

+

+ − + −= − + +

A

0 1 2 ... m

m+1

R RR R

m+2 ... m+n

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A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)]

Ou seja, consideramos a renda postecipada até o período m+n e subtraímos operíodo de diferimento (até m).

No caso da questão, temos:

Valor do Pagamento (R2) = 3.000Número de Pagamentos (n2) = 3Mês antes do mês de início dos pagamentos (m2) = 3

m2 + n2 = 3 + 3 = 6

Taxa de Juros (i) = 12% ao ano

a(m; i) = a(3; 12%) = 2,401831 (Linha 3, Coluna 12% da tabela II)

a(m+n; i) = a(6; 12%) = 4,111407 (Linha 6, Coluna 12% da tabela II)

A2 = R2 x [a(6; 12%) – a(3; 12%)] ⇒⇒ A2 = 3.000 x (4,111407 + 2,401831) ⇒⇒ A2 = 3.000 x 1,709576 ⇒⇒ A2 = 5.128,73

III – Série 3: pagamentos de 1.000

Ano 7 8 9 10Pagamento 1.000 1.000 1.000 1.000

Nesse caso, temos uma renda diferida. A = R. [a(m+n;i) – a(m;i)]

Ou seja, consideramos a renda postecipada até o período m+n e subtraímos operíodo de diferimento (até m).

Valor do Pagamento (R3) = 1.000Número de Pagamentos (n3) = 4Mês antes do mês de início dos pagamentos (m3) = 6

m3 + n3 = 6 + 4 = 10

Taxa de Juros (i) = 12% ao ano

a(m; i) = a(6; 12%) = 4,111407 (Linha 6, Coluna 12% da tabela II)

a(m+n; i) = a(10; 12%) = 5,650223 (Linha 10, Coluna 12% da tabela II)

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A3 = R3 x [a(10; 12%) – a(6; 12%)] ⇒⇒ A3 = 1.000 x (5,650223 – 4,111407) ⇒⇒ A3 = 1.000 x 1,538816 ⇒⇒ A3 = 1.538,82

Portanto, o valor atual (A) da série de pagamentos completa será:

A = A1 + A2 + A3 ⇒

A1 = 9.607,32A2 = 5.128,73A3 = 1.538,82

⇒ A = 9.607,32 + 5.128,73 + 1.538,82 ⇒⇒ A = 16.274,87 ≈ 16.275 GABARITO: C

21.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uminvestidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco queremunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dosmontantes referentes aos depósitos realizados é igual a

(A) R$ 52.800,00.(B) R$ 54.246,00.(C) R$ 55.692,00.(D) R$ 61.261,20.(E) R$ 63.888,00. Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Investimento: depósito de R$ 12.000,00 (D) no início de cada ano, ou seja, osdepósitos ocorrerão no início do ano 1 (momento “0”), no início do ano 2(momento “1”), no início do ano 3 (momento “2”) e no início do ano 4(momento “3”).

Taxa de Juros Compostos (i) = 10% ao ano = 10/100 = 0,10 ao ano

0

Montante

1 2 3

D D D D

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Na prova, não houve tabela. Para facilitar e fazermos somente conta demultiplicação, vamos trazer os valores para o momento “3” (equivalência decapitais).

Repare ainda que, como a questão não estabeleceu, faremos a equivalência decapitais utilizando desconto racional. Nesse caso, teríamos:

D x (1 + i)3 + D x (1 + i)2 + D x (1 + i) + D = Montante (M) ⇒⇒ 12.000 x (1 + 0,10)3 + 12.000 x (1 + 0,10)2 + 12.000 x (1 + 0,10) +12.000 = M ⇒

Colocando 12.000 em evidência, pois aparece em todos os termos à esquerdada equação, teríamos:

⇒ 12.000 x [(1,10)3 + (1,10)2 + 1,10 + 1] = M ⇒

Vamos calcular os valores:(1,10)2 = 1,10 x 1,10 = 1,21(1,10)3 = (1,10)2 x 1,10 = 1,21 x 1,10 = 1,331

⇒ M = 12.000 x (1,331 + 1,21 + 1,10 + 1) ⇒⇒ M = 12.000 x 4,641 ⇒

Para facilitar: 12.000 x 4,641 = 12 x 1.000 x 4,641 = 12 x 4.641

⇒ M = R$ 55.692,00 GABARITO: C 22.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Umapessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo quepagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano,com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

(A) [(1,02)18 – 1]

(B) 18 .181,36 – 1

(C) 18 .181,24 – 1

(D) 3 . 1,24 – 1

(E) 6 . 3 1,24 – 1

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Resolução A questão definiu (basta verificar as alternativas, tendo em vista as raízes epotências): Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Empréstimo (E) = R$ 25.000,00, após 18 mesesTaxa de Juros (i) = 24% ao ano.

Atenção, pois a questão estabelece que a capitalização é mensal, ou seja, 24%ao ano é a taxa nominal. Portanto, temos que achar a taxa de juros efetivaque é a taxa de juros correspondente ao período de capitalização:

24% ==� 12 mesesX ==� 1 mês12 . X = 24% . 1 ⇒ X = 24%/12 = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês

Fazendo a equivalência de capitais no momento “18” (18 meses após oempréstimo), teríamos (repare, novamente, que, como a questão nãoespecificou, utilizaremos o desconto racional para fazer a equivalência):

Empréstimo x (1 + i)18 = Pagamento ⇒⇒ 25.000 x (1 + 0,02)18 = Pagamento ⇒⇒ Pagamento = 25.000 x (1,02)18

Contudo, esta ainda não é a resposta, pois a questão quer saber o valor dosjuros.

O pagamento do empréstimo será composto do valor do empréstimo mais osjuros. Portanto, teremos:

Pagamento = Empréstimo + Juros ⇒⇒ 25.000 x (1,02)18 = 25.000 + Juros ⇒⇒ Juros = 25.000 x (1,02)18 – 25.000 ⇒⇒ Juros = 25.000 x [(1,02)18 – 1] Logo, os juros podem ser obtidos multiplicando-se 25.000 por [(1,02)18 – 1].GABARITO: A

0

Pagamento

1 2 3

E

18....

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23.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma pessoaaplica, na data de hoje, os seguintes capitais:

I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses.II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, duranteum ano.

O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor domontante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao itemI é igual a

(A) 21%.(B) 15%.(C) 18%.(D) 27%.(E) 24%.

Resolução I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses.

Juros Simples: MI = C . (1 + i.t)Capital Aplicado (C) = R$ 8.000,00Taxa de Juros Simples = iPeríodo (t) = 18 meses

MI = 8.000 x (1 + i x 18)

II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, durante um ano.

Juros Compostos: MII = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 10.000,00Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao semestre = 5/100 = 0,05 ao semestrePeríodo (t) = 1 ano = 2 semestres

MII = 10.000 x (1 + 0,05)2 = 10.000 x (1,05)2 = 10.000 x 1,1025 = 11.025

De acordo com a questão: O valor do montante verificado no item II superaem R$ 865,00 o valor do montante verificado no item I. Portanto:

MII – MI = 865 ⇒⇒ 11.025 – 8.000 x (1 + i x 18) = 865 ⇒⇒ 11.025 – 865 = 8.000 x (1 + i x 18) ⇒⇒ 10.160 = 8.000 x (1 + i x 18) ⇒

⇒ 1 + i x 18 =10.160

8.000⇒

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⇒ 1 + i x 18 = 1,27 ⇒⇒ i x 18 = 1,27 – 1 ⇒⇒ i x 18 = 0,27 ⇒

⇒ i =0,27

18ao mês

Contudo, repare que a questão deseja saber a taxa de juros simples anual.Logo, teremos:

0,27/18 ==� 1 mêsX ==� 1 ano = 12 meses

X . 1 = 12 .0,27

18⇒

Repare que 12 e 18 são divisíveis por 6:

⇒ X =2 0,27

3

×⇒

⇒ X = 0,09 x 2 ⇒ X = 0,18 ao ano = 18% ao anoGABARITO: C

24.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital C é aplicado à taxa de juros compostos de2% ao mês. Qual o valor mais próximo do montante ao fim de um ano e meio?

a) 1,27Cb) 1,32Cc) 1,43Cd) 1,40Ce) 1,37C

Resolução

Juros Compostos: M = C. (1 + i)n

i = 2% ao mêsn = 1 ano e meio = 12 meses + 6 meses = 18 meses

(1 + i)n = (1 + 2%)18 == (1,02)18 = 1,428246 (Linha 18, Coluna 2% da tabela I) = 1,43M = C.1,43 = 1,43.C GABARITO: C

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25.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve serdescontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximodo desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.

a) R$ 92,73b) R$ 84,86c) R$ 87,33d) R$ 90,00e) R$ 82,57

Resolução

Desconto Racional Composto: N = A . (1 + i)n N = 1.000n = 3 mesesi = 3% ao mês = 0,03 ao mês

N = A.(1 + i)n ⇒ 1.000 = A x (1 + 0,03)3 = A x (1,03)3

(1,03)3 = 1,092727 (Linha 3, Coluna 3% da tabela I)

A =3

1.000

(1,03)=

1.000

1,092727= 915,14

Desconto Racional = N – A = 1.000 – 915,14 = R$ 84,86 GABARITO: B

26.(Analista-Contabilidade-Casa da Moeda-2009-Cesgranrio) Uminvestidor aplicou a quantia de R$ 15.000,00, por um período de 4 meses, auma taxa de juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos nessaaplicação, em reais, é

(A) 1.165,32(B) 1.667,79(C) 1.882,63(D) 2.003,33(E) 2.182,83 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 15.000,00Período (t) = 4 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 3% ao mês = 0,03 ao mês

(1 + 0,03)4 = (1,03)4 = 1,125509 (Linha 4, Coluna 3% da tabela I)

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M = C . (1 + i)t ⇒ M = 15.000 x (1,03)4 ⇒⇒ M = 15.000 x 1,125509 ⇒⇒ M = 16.882,63 Juros (J) = M – C = 16.882,63 – 15.000 ⇒⇒ Juros = 1.882,63GABARITO: C 27.(Ciências Contábeis-BNDES-2009-Cesgranrio) O investimento, queproporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado auma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, emreais, foi

(A) 12.222,22(B) 13.718,13(C) 13.761,46(D) 14.061,75(E) 14.138,93 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado = CMontante (M) = R$ 15.000,00Período (t) = 6 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 1,5% ao mês = 0,015 ao mês

(1 + 0,015)6 = (1,015)6

(1,015)2 = 1,015 x 1,015 = 1,030225(1,015)3 = (1,015)2 x 1,015 = 1,030225 x 1,015 = 1,045678(1,015)6 = (1,015)3 x (1,015)3 = 1,045678 x 1,045678 = 1,093443

M = C . (1 + i)t ⇒ 15.000 = C x (1,015)6 ⇒⇒ 15.000 = C x 1,093443 ⇒

⇒ C =15.000

1,093443⇒

⇒ C = 13.718,13 GABARITO: B

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28.(Contador-Funasa-2009-Cesgranrio) A Companhia Trilhos obteve umempréstimo no Banco em que opera, com as características apresentadas aseguir.

Prazo de resgate: 2 anosTaxa de juros compostos: 12% ao anoValor final a pagar: R$ 150.000,00

Com base nesses dados, conclui-se que o valor do empréstimo obtido, emreais, foi

(A) 129.975,80(B) 122.111,11(C) 120.000,00(D) 119.579,08(E) 118.891,99 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Empréstimo Obtido = CMontante = Empréstimo a Pagar (M) = R$ 150.000,00Período (t) = 2 anosTaxa de Juros Compostos (i) = 12% ao ano = 12/100 = 0,12 ao ano

(1 + 0,12)2 = (1,12)2 = 1,12 x 1,12 = 1,2544

M = C . (1 + i)t ⇒ 150.000 = C x (1,12)2 ⇒⇒ 150.000 = C x 1,2544 ⇒

⇒ C =150.000

1,2544⇒

⇒ C = 119.579,08 GABARITO: D 29.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) Se um empresário aplicar R$ 50.000,00 por um prazo de 3meses, que taxa mensal de juros compostos precisará obter para dobrar ocapital?

(A) 25,99%(B) 25,67%(C) 23,33%(D) 22,50%(E) 16,67%

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Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 50.000,00Montante (M) = 2 x Capital Aplicado = 2 x 50.000 = R$ 100.000,00Período (t) = 3 mesesTaxa de Juros Compostos = i

M = C . (1 + i)t ⇒⇒ 100.000 = 50.000 x (1 + i)3 ⇒

⇒100.000

50.000= (1 + i)3 ⇒

⇒ (1 + i)3 = 2

Aqui, só nos resta testar as opções:

As alternativas, em ordem crescente, são:16,67%; 22,50%; 23,33%; 25,67% e 25,99%.

Vamos começar pelos extremos:1) i = 16,67% (menor taxa)⇒ (1 + 16,67%)3 = (1 + 0,1667)3 = (1,1667)3 = 1,59 < 2Logo, a taxa de juros é maior que 16,67%

2) i = 25,99% (maior taxa)⇒ (1 + 25,99%)3 = (1 + 0,2599)3 = (1,2599)3 = 1,9999 = 2 (resposta)

i = 25,99% GABARITO: A 30.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) Uma duplicata no valor de R$ 7.000,00 foi descontada doismeses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composta de 2,5%ao mês. O valor do desconto cobrado pelo banco, em reais, foi

(A) 345,63(B) 369,17(C) 370,01(D) 371,99(E) 471,33 Resolução A questão definiu: Juros Compostos

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Repare que a questão não especificou se o desconto era por fora ou pordentro. Como nada foi dito, deve ser utilizado o desconto comercial ou porfora, que é normalmente utilizado no desconto de duplicatas e notaspromissórias. Desconto Comercial ou Por Fora: é um desconto que incide sobre o valornominal (N), período a período. A = N . (1 – iD)t Dc = N – A = N – N . (1 – iD)t = N . [1 - (1 – iD)t]

Valor Nominal da Duplicata (N) = R$ 7.000,00Período (t) = 2 mesesTaxa de Juros (iD) = 2,5% ao mês = 0,025 ao mês

A = N . (1 – iD)t = 7.000 x (1 – 0,025)2 ⇒⇒ A = 7.000 x (0,975)2 ⇒⇒ A = 7.000 x 0,950625 ⇒⇒ A = 6.654,37 Dc = N – A = 7.000 – 6.654,37 = 345,63 GABARITO: A 31.(Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo-Ciências Econômicas-DECEA-2009-Cesgranrio) O valor presente da quantia deR$1.000,00, a ser paga de uma só vez, em 6 anos contados a partir da dataatual, é igual a R$ 1.000/(1.05)6, se a taxa anual de juros composto for

(A) 6% a.a.(B) 5% a.a.(C) 30% a.a.(D) 105% a.a.(E) 1.05% a.a Resolução Se o valor presente é R$ 1.000/(1.05)6, temos:

Valor a ser pago = R$ 1.000,00Período (t) = 6 anos(1 + i)t = (1,05)6 = (1 + 0,05)6

Portanto, i = 0,05 ao ano = 5% ao anoGABARITO: B

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32.(Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo-Ciências 3 Econômicas-DECEA-2009-Cesgranrio) Uma pessoa recebe R$ 100,00,quantia que deverá pagar durante 3 anos, com a taxa de juros composto de6% a.a. Ao fim do primeiro ano, a pessoa faz um pagamento de R$ 6,00 aocredor, e o mesmo acontece ao fim do segundo ano. No final do terceiro ano,para liquidar sua dívida, ela deverá pagar, em reais,

(A) 94,00(B) 100,00(C) 106,00(D) 112,00(E) 118,00 Resolução

A questão definiu: Juros CompostosTaxa de Juros (i) = 6% ao ano = 0,06 ao anoTemos que igualar os pagamentos ao valor recebido, trazendo a valor presente

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 3

2 3

6 6100

1 1 1

6 6100

1 0,06 1 0,06 1 0,06

6 6100

1,06 1,06 1,06

6 6100

1,06 1,1236 1,191016

100 5,66 5,341,191016

100 5,66 5,341,191016

89 106,001,191016

P

i i i

P

P

P

P

P

PP

= + + ⇒+ + +

⇒ = + + ⇒+ + +

⇒ = + + ⇒

⇒ = + + ⇒

⇒ = + + ⇒

⇒ = − − ⇒

⇒ = ⇒ =

GABARITO: C

0

100

1 2 3

6 6 P

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33.(Analista-Finanças-Casa da Moeda-2009-Cesgranrio) Na compra deum eletrodoméstico, com preço na etiqueta de R$ 1.000,00, há duas opçõesde pagamento: à vista, com 5% de desconto ou a prazo, com uma entradaimediata de R$ 400,00 e, depois, duas prestações mensais, consecutivas, deR$ 300,00, vencendo a primeira no mês seguinte. Se o comprador tiver osrecursos para comprar à vista e puder aplicar seu dinheiro a 2% a. m., taxa dejuros compostos, para decidir entre as duas opções, ele deverá comparar

(A) 50 com (300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1. 02)2)(B) 550 com (300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1.02)2)(C) 950 x (1.02)2 com (300 x 1.02 + 300)(D) 950 com (300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1.02)2)(E) 1.000 com (400 + 300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1.02)2) Resolução A questão definiu: Juros CompostosTaxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês

Informação 1: Comprador possui o dinheiro para comprar à vista:Preço na Etiqueta = R$ 1.000,00Preço à Vista (5% de desconto) = 1.000 – 5% x 1.000 = 95% x 1.000 = 950

Informação 2: Compra a Prazo:Entrada = R$ 400,00Duas Prestações Mensais e Iguais = R$ 300,00

Logo, para comparar qual seria a melhor opção, teríamos:

Trazendo tudo a valor presente:

( ) ( )2 2

300 300 300 300950 400 550

1 1,021 1,02i i− ∴ + ⇒ ∴ +

+ +

Ou seja, deve-se comparar: 550 com (300 ÷ 1,02 + 300 ÷ (1,02)2).Se (300 ÷ 1,02 + 300 ÷ (1,02)2) for menor que 550, é melhor pagar a prazo.Caso contrário, é melhor pagar à vista.GABARITO: B

0

950

1 2

Opção 1: à vista

300 300400Opção 2: a prazo

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34.(AFRFB-2009-Esaf) No sistema de juros compostos um capital PVaplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestralresulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado duranteum trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, sea taxa de aplicação trimestral for igual a:

a) 26,25 %b) 40 %c) 13,12 %d) 10,25 %e) 20 %

Resolução

I – Situação 1:

Capital = PVPeríodo = 1 anoTaxa = 10% ao ano

Capitalização Semestral =10%

2= 5% ao semestre

Valor Final = FVFV = PV. (1 + 5%)2 ⇒ FV = PV. (1,05)2

II– Situação 2:

Capital = PVPeríodo = 1 trimestreTaxa = it% ao trimestreValor Final = FVFV = PV. (1 + it%)

Portanto: (1 + it%) = (1,05)2 = 1,1025 ⇒ it = 1,1025 – 1 =0,1025 ⇒⇒ it = 10,25% ao trimestre GABARITO: D

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35.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Uma programação de investimentoconsiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguaisefetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes seráfeito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerandouma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dosmontantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valorde cada depósito é igual a

(A) R$ 10.000,00(B) R$ 10.500,00(C) R$ 11.000,00(D) R$ 11.500,00(E) R$ 12.000,00

Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Investimento: três depósitos consecutivos de valores iguais (P) no início decada ano (momentos 0, 1 e 2). O resgate ocorrerá três anos após a data do primeiro depósito.

Taxa de Juros (i) = 10% ao ano = 0,10 ao anoSoma dos Montantes no Ato do Resgate (M) = R$ 43.692,00

Para calcular o valor de cada depósito, temos que igualar os itens da linha dotempo acima considerando os juros anuais. Como, são juros compostos, a datade referência escolhida não importa, pois o resultado não se altera. Parafacilitar os cálculos, escolherei a data de referência como sendo a data doresgate (final do ano 3). Deste modo, teremos:

P x (1 + i)3 + P x (1 + i)2 + P x (1 + i) = 43.692 ⇒ ⇒ P x (1 + 0,10)3 + P x (1 + 0,10)2 + P x (1 + 0,10) = 43.692 ⇒⇒ P x (1,10)3 + P x (1,10)2 + P x (1,10) = 43.692 ⇒ ⇒ P x 1,331 + P x 1,21 + P x 1,10 = 43.692 ⇒ ⇒ 3,641 x P = 43.692 ⇒

⇒ P =43.692

3,641⇒

⇒ P = R$ 11.997,25 ≈ R$ 12.000,00 GABARITO: E

0

Resgate = R$ 43.692,00

1 2 3

P P P

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36.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Um título é descontado dois anosantes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado odesconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e,se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

(A) R$ 40.000,00(B) R$ 36.000,00(C) R$ 34.000,00(D) R$ 32.000,00(E) R$ 30.000,00 Resolução A questão definiu: Desconto Composto Desconto Comercial ou Por Fora: é um desconto que incide sobre o valornominal (N), período a período. A = N . (1 – iD)t Dc = N – A = N – N . (1 – iD)t = N . [1 - (1 – iD)t]

Onde,Dc = desconto comercialiD = taxa de desconto comercial (juros simples)t = período restante até o vencimento do títuloN = valor nominalA = valor atual Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro: é o descontoque determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado,resulta em um montante igual ao valor nominal.

N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t Dr = N – A = N - N/(1 + ir)t = N . [1 – 1/(1 + ir)t] ⇒⇒ Dr = N . [(1 + ir)t – 1]/(1 + ir)t

Onde,Dr = desconto comercialir = taxa de desconto comercial (juros simples) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxapositiva i ao ano.

Período (t) = 2 anosTaxa de juros compostos = i ao ano

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I – Cálculo do valor nominal utilizando desconto racional composto:Valor Atual do Título (A) = R$ 25.000,00

A = N/(1 + ir)t ⇒⇒ 25.000 = N/(1 + i)2 ⇒⇒ N = 25.000 x (1 + i)2 (I)

II – Cálculo do valor nominal utilizando desconto comercial composto:Valor Atual do Título (A) = R$ 23.040,00

A = N . (1 – id)t ⇒⇒ 23.040 = N x (1 – i)2 ⇒⇒ N = 23.040/(1 – i)2 (II)

Fazendo (I) = (II), tendo em vista que o valor nominal é o mesmo:N = 25.000 x (1 + i)2 (I)N = 23.040/(1 – i)2 (II)

⇒ 25.000 x (1 + i)2 = 23.040/(1 – i)2 ⇒⇒ (1 + i)2 x (1 – i)2 = 23.040/25.000 ⇒⇒ [(1 + i) x (1 – i)]2 = 0,9216 ⇒⇒ (1 + i) x (1 – i) = 0,9216 ⇒

Aqui, teríamos que saber que a 0,9216 é um quadrado perfeito, pois:0,96 x 0,96 = 0,9216

Uma outra maneira de calcular a raiz quadrada seria:

Primeiramente, precisamos saber os quadrados perfeitos até 100:

12 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 2562 = 3672 = 4982 = 6492 = 81102 = 100

Considere o número após a vírgula: 9216Passo 1: Da direita para esquerda, divida o número de dois em doisalgarismos: 92.16Primeiro grupo: 92Segundo grupo: 16

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Passo 2: Verifique qual o quadrado perfeito que é mais próximo (menor ouigual) do número do primeiro grupo (92): 81. Logo, o primeiro número doresultado da raiz quadrada é “9” (92 = 81).

Passo 3: Subtraia o número do primeiro grupo (92) pelo quadrado perfeitomais próximo: 92 – 81 = 11.

Passo 4: O resultado do passo “3” vai para o segundo grupo (colocar àesquerda do número):Segundo grupo: 1116.

Passo 5: Multiplicar o primeiro número do resultado (9) encontrado por 2:9 x 2 = 18.

Passo 6: É preciso achar um número que solucione o seguinte problema:(Número obtido no Passo 5) Número x Número = 1.116 ⇒

� 18 Número x Número = 1.116.Tentativas:181 x 1 = 181 ⇒ Não serve182 x 2 = 364 ⇒ Não serve183 x 3 = 549 ⇒ Não serve184 x 4 = 736 ⇒ Não serve185 x 5 = 925 ⇒ Não serve186 x 6 = 1.116 ⇒ Não serve (ok). Logo, “6” é o segundo número da raizquadrada. Passo 7: A raiz quadrada de 9.216 é igual a 96.

Portanto: 0,9216 = 0,96⇒ (1 + i) x (1 – i) = 0,96 ⇒⇒ 1 – i + i – i2 = 0,96 ⇒⇒ 1 – i2 = 0,96 ⇒⇒ i2 = 1 – 0,96 ⇒⇒ i2 = 0,04 ⇒⇒ i = 0,04⇒⇒ i = 0,2 ao ano

De (I), temos: N = 25.000 x (1 + i)2

⇒ N = 25.000 x (1 + 0,2)2 ⇒⇒ N = 25.000 x (1,2)2 ⇒⇒ N = 25.000 x 1,44 ⇒⇒ N = R$ 36.000,00GABARITO: B

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37.(Auditor-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa adquiriu um CDB −Certificado de Depósito Bancário prefixado com vencimento em 60 dias, cujovalor de resgate era R$ 212.000,00. O valor pago pelo investidor no CDB foiR$ 200.000,00. No mesmo período, a economia registrou uma deflação de 1%.A taxa de juros real paga recebida pelo investidor na operação foi

(A) maior que 7%(B) igual a 5%(C) maior que 5% mas inferior a 6%(D) igual a 6%(E) maior que 6%, mas inferior a 7%

Resolução Capital Aplicado (C) = R$ 200.000,00Valor Resgatado (M) = R$ 212.000,00Taxa de Juros (i) = Valor Resgatado/Capital Aplicado – 1 ⇒⇒ Taxa de Juros (i) = 212.000/200.000 – 1 ⇒⇒ Taxa de Juros (i) = 1,06 – 1 = 0,06 no período = 6/100 = 6% no período

Repare que aqui pouco importa saber se é juros compostos ou juros simples,pois já temos o valor resgatado (montante) e capital aplicado e, para calcular ataxa de juros basta utilizar a fórmula acima.

Contudo, ainda não acabou, pois a questão pede a taxa real de juros. Noperíodo, houve deflação de 1%. Logo, teríamos:

Ganho Real = Fator de Ganho Nominal/Fator de Inflação – 1 ⇒⇒ Ganho Real (Taxa Real) = (1 + 6%)/(1 – 1%) – 1 ⇒⇒ Ganho Real (Taxa Real) = (1 + 0,06)/(1 – 0,01) – 1 ⇒⇒ Ganho Real (Taxa Real) = 1,06/0,99 – 1 ⇒⇒ Ganho Real (Taxa Real) = 1,0707 – 1 ⇒⇒ Ganho Real (Taxa Real) = 0,0707 = 7,07/100⇒⇒ Ganho Real (Taxa Real) = 7,07% no período GABARITO: A 38.(Contador-Infraero-2009-FCC) Antônio aplicou R$ 12.000,00 em umbanco que remunera os depósitos de seus clientes a juros simples, a uma taxade 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplicatotalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a umataxa de 5% ao semestre. No final da segunda aplicação, o valor do montante éde

(A) R$ 15.214,50(B) R$ 14.817,60(C) R$ 14.784,40(D) R$ 13.800,00(E) R$ 13.230,00

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Resolução I. Aplicação I: R$ 12.000,00 a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês,durante 8 meses.

Juros Simples: MI = C . (1 + i.t)Capital Aplicado (C) = R$ 12.000,00Taxa de Juros Simples (i) = 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015 ao mês

Período (t) = 8 meses (repare que a questão informa: “Após 8 meses, eleresgata todo o montante e o aplica totalmente em um outro...”)Montante = M

MI = 12.000 x (1 + 0,015 x 8) ⇒⇒ MI = 12.000 x (1 + 0,12) ⇒⇒ MI = 12.000 x 1,12 ⇒⇒ MI = R$ 13.440,00

II. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica totalmente em umoutro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 5% aosemestre.

Juros Compostos: MII = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = MI = R$ 13.440,00Taxa de Juros Simples (i) = 5% ao semestre = 5/100 = 0,05 ao semestrePeríodo (t) = 1 ano = 2 semestres

MII = 13.440 x (1 + 0,05)2 ⇒⇒ MII = 13.440 x (1,05)2 ⇒⇒ MII = 13.440 x 1,1025 ⇒⇒ MII = R$ 14.817,60GABARITO: B

39.(Analista Judiciário-Auditor-TJ-PI-2009) Certa pessoa física conseguiuum financiamento de R$ 120.000,00 a ser quitado em 60 prestações mensais econsecutivas, à taxa efetiva de 1% ao mês, sendo que a primeira prestaçãovence em 30 dias após a concessão do financiamento. O valor da prestaçãomensal constante é de R$ 2.668,80. O saldo devedor do empréstimo, após opagamento da 1a prestação é, em R$, é igual a

(A) 118.531,20.(B) 117.331,20.(C) 117.600,00.(D) 118.200,00.(E) 117.799,20.

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Resolução Repare que a questão não especificou se a capitalização é a juros simples oujuros compostos. Na verdade, neste caso, pouco importa, tendo em vista que operíodo para o cálculo (1 mês) é igual ao período de capitalização da taxa dejuros (1% ao mês). Veja:

I. Cálculo com juros simples:Juros Simples: MI = C . (1 + i.t)Capital Aplicado (C) = Financiamento Obtido = R$ 120.000,00Taxa de Juros Simples (i) = 1% ao mês = 1/100 = 0,01 ao mêsPeríodo (t) = 1 mês (a questão quer saber o saldo devedor após o pagamentoda primeira prestação)

MI = 120.000 x (1 + 0,01 x 1) ⇒⇒ MI = 120.000 x (1 + 0,01) ⇒⇒ MI = 120.000 x (1,01) ⇒⇒ MI = 121.200

Saldo Devedor após o Pagamento da Primeira Prestação (SD):SD = MI – Prestação Paga = 121.200 – 2.668,80 = R$ 118.531,20

II. Cálculo com juros compostos:Juros Compostos: MII = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = Financiamento Obtido = R$ 120.000,00Taxa de Juros Simples (i) = 1% ao mês = 1/100 = 0,01 ao mêsPeríodo (t) = 1 mês (a questão quer saber o saldo devedor após o pagamentoda primeira prestação)

MII = 120.000 x (1 + 0,01)1 ⇒⇒ MII = 120.000 x (1 + 0,01) ⇒⇒ MII = 120.000 x (1,01) ⇒⇒ MII = 121.200

Saldo Devedor após o Pagamento da Primeira Prestação (SD):SD = MI – Prestação Paga = 121.200 – 2.668,80 = R$ 118.531,20 GABARITO: A

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40.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) Amodernização de uma usina de beneficiamento de petróleo custará 4 bilhõesde reais e será financiada em 10 anuidades de igual valor, a primeira vencendono ato, através de uma taxa de 4% ao ano. É possível usar um dos seguintesfatores de valor presente de séries uniformes:

i(%)1 2 3 4 5

N 8 7,65 7,33 7,02 6,73 6,469 8,57 8,16 7,79 7,44 7,1110 9,47 8,98 8,53 8,11 7,7211 10,37 9,79 9,25 8,76 8,31

Nesta situação, o valor de cada prestação, em milhões de reais, será,aproximadamente,

(A) 439(B) 474(C) 493(D) 538(E) 563 Resolução A questão definiu: informou parte de uma tabela de juros compostos, que é atabela de fatores presentes.

Dados:Custo da Modernização = R$ 4.000.000.000,00Financiamento = 10 anuidades ⇒Período (n) = 10 anosTaxa de Juros (i) = 4% ao ano

Repare que, como a primeira prestação vence no ato, as prestações vão de 0 a9 (total de 10).

0

4 bilhões

1 2 3 4 9...

R R R R RR

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Vamos relembrar: Renda Antecipada: corresponde à série uniforme de pagamentos periódicosem que o primeiro pagamento ocorre no ato da realização do negócio.A = R . [a(n-1;i) + 1]

Da tabela fornecida na questão: Linha (n – 1) = 9 e Coluna i = 4% ⇒⇒ a (9;4%) = 7,44

A = R . [a(n-1;i) + 1] ⇒ 4.000.000.000 = R x (7,44 + 1)⇒⇒ R = 4.000.000.000/8,44 ⇒ R = 473.933.649 ⇒⇒ R = 474 milhões de reais GABARITO: B 41.(Profissional Júnior-Ciências Contábeis-BR Distribuidora-2008-Cesgranrio) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 10.000,00no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 3 meses. Sabendo-se que orendimento desse título é de 1,25% ao mês (juros compostos), seu valorpresente, em reais, é

(A) 9.638,55(B) 9.634,18(C) 9.625,00(D) 9.555,65(E) 9.333,33 Resolução A questão definiu: Juros CompostosAtenção! Nesta questão, como não foi definido o tipo de desconto e não é desconto de duplicatas ou notas promissórias, foi adotado o desconto racional composto. Vamos relembrar:Desconto Racional, Matemático ou Por Dentro: é o desconto quedetermina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado,resulta em um montante igual ao valor nominal.N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t

Valor Nominal (N) = R$ 10.000,00Período (t) = 3 mesesTaxa de Juros (ir) = 1,25% ao mês = 1,25/100 = 0,0125 ao mêsA = N/(1 + ir)t = 10.000/(1 + 0,0125)3 ⇒⇒ A = 10.000/(1,0125)3 ⇒⇒ A = 10.000/1,037971 ⇒⇒ A = 9.634,18 GABARITO: B

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42.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) A taxa dejuros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral?

(A) 1,3%(B) 2,0%(C) 2,1%(D) 3,0%(E) 3,03% Resolução Taxas Equivalentes: 1 + ieq = (1 + i)t ⇒ juros compostos

Taxa de juros mensal equivalente a uma taxa trimestral ⇒ t = 3 meses

1 + ieq = (1 + 1%)3 ⇒⇒ 1 + ieq = (1 + 0,01)3 ⇒⇒ 1 + ieq = (1,01)3 ⇒⇒ 1 + ieq = 1,0303 ⇒⇒ ieq = 1,0303 – 1 ⇒⇒ ieq = 0,0303 = 3,03% ao trimestre (equivalente a 1% ao mês) GABARITO: E 43.(Técnico de Contabilidade-Br Distribuidora-2008-Cesgranrio) Quetaxa de juros compostos mensais permite que um capital de R$ 75.000,00possa dobrar em um período de 6 meses?

(A) 12,2462%(B) 12,50%(C) 14,25%(D) 14,3333%(E) 15,2525% Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 75.000,00Montante (M) = 2 x Capital Aplicado = 2 x 75.000 = R$ 150.000,00Período (t) = 6 mesesTaxa de Juros Compostos = i

M = C . (1 + i)t ⇒ 150.000 = 75.000 x (1 + i)6 ⇒⇒ 150.000/75.000 = (1 + i)6 ⇒⇒ (1 + i)6 = 2

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Aqui, só nos resta testar as opções:As alternativas, em ordem crescente, são:12,2462%; 12,50%; 14,25%; 14,3333% e 15,2525%.

Vamos começar pelos extremos:

1) i = 12,2462% (menor taxa)⇒ (1 + 12,2462%)6 = (1 + 0,122462)6 = (1,122462)6 = 1,9999 = 2(resposta)

i = 12,2462% GABARITO: A 44.(Petrobrás-Profissional Júnior-Ciências Contábeis-2008-Cesgranrio) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 10.000,00no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 3 meses. Sabendo-se que orendimento desse título é de 1,25% ao mês (juros compostos), seu valorpresente, em reais, é

(A) 9.638,55(B) 9.634,18(C) 9.625,00(D) 9.555,65(E) 9.333,33 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Título de Renda Fixa = CMontante (M) = R$ 10.000,00Período (t) = 3 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 1,25% ao mês

(1 + 1,25%)3 = (1 + 1,25/100) = (1 + 0,0125)3 = (1,0125)3 = 1,037971

M = C . (1 + i)t ⇒ 10.000 = C x (1,0125)3 ⇒⇒ C = 10.000/1,037971 ⇒ ⇒ C = 9.634,18 GABARITO: B

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45.(Petrobrás-Técnico em Contabilidade-2008-Cesgranrio) Que taxa dejuros compostos mensais permite que um capital de R$ 75.000,00 possadobrar em um período de 6 meses?

(A) 12,2462%(B) 12,50%(C) 14,25%(D) 14,3333%(E) 15,2525% Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Taxa de Juros Compostos = iValor Aplicado = Valor Atual = Capital Aplicado (C) = R$ 75.000,00Período (t) = 6 mesesMontante (M) = 2 x 75.000 = 150.000

M = C . (1 + i)t ⇒ 150.000 = 75.000 . (1 + i)6 ⇒⇒ (1 + i)6 = 2

Na tabela I da Aula 0 (Fator de Acumulação de Capital: an = (1 + i)n),disponibilizada ao final da aula, na linha n = 6, temos:

8% 9% 10% 12% 15% 18% 61,5868741,6771001,7715611,9738232,3130612,699554

Ou seja:(1 + 12%)6 = 1,973823(1 + 15%)6 = 2,313061Portanto, como (1 + i)6 = 2, a taxa de juros compostos i deve estar entre 12%e 15%, tendo em vista que:(1 + 12%)6 = 1,973823 < (1 + i)6 = 2 < (1 + 15%)6 = 2,313061

Com essa informação, ainda não conseguiremos resolver a questão, poistemos quatro alternativas entre 12% e 15%. Apenas a alternativa “e” seriadescartada. Portanto, para evitar o cálculo da raiz sexta de 2 ((1 + i)6 = 2 ⇒(1 + i) = 6 2 ), vamos fazer uma interpolação linear:

(15% - 12%) ===� (2,313061 – 1,973823)(i – 12%) ===� (2 – 1,973823)

Fazendo as contas:3% ===� 0,339238(i – 12%) ===� 0,026177

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(i – 12%) x 0,339238 = 3% x 0,026177 ⇒⇒ (i – 12/100) x 0,339238 = 3/100 x 0,026177 ⇒⇒ (i – 0,12) x 0,339238 = 0,03 x 0,026177 ⇒⇒ 0,339238 x i – 0,12 x 0,339238 = 0,000785 ⇒⇒ 0,339238 x i = 0,000785 + 0,12 x 0,339238 ⇒⇒ 0,339238 x i = 0,000785 + 0,040709 ⇒⇒ 0,339238 x i = 0,041494 ⇒⇒ i = 0,041494/0,339238 ⇒⇒ i = 0,1223 ⇒⇒ i = 12,23% ao mês

Repare que é uma boa aproximação, pois, caso pudéssemos utilizar acalculadora (quem dera!!!), teríamos:

1 + i = 6 2 ⇒ ⇒ 1 + i = 1,122462 ⇒ ⇒ i = 1,122462 – 1 ⇒ ⇒ i = 0,122462 ⇒⇒ i = 12,2462% Nota: Nesta prova, não foram fornecidas as tabelas de matemática financeira.Logo, para resolver a questão, a maneira menos trabalhosa (se que é istoexiste!) seria a seguinte:

1) Verifique o menor valor nas alternativas. No caso, é a alternativa “a”(12,2462%);

2) Calcule (1 + 12%)6 (despreze as casas decimais de 12,2462%);3) Verifique o maior valor nas alternativas. No caso, é a alternativa “e”

(15,2525%);4) Calcule (1 + 15%)6 (despreze as casas decimais de 15,2525%).

Ou seja, calculamos:(1 + 12%)6 = 1,973823(1 + 15%)6 = 2,313061 Como o valor que queremos é (1 + i)6 = 2, e está entre os dois valorescalculados, fazemos a interpolação linear:

(15% - 12%) ===� (2,313061 – 1,973823)(i – 12%) ===� (2 – 1,973823)⇒ i = 12,23% ao mês GABARITO: A

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46.(Bndes-Administração-2008-Cesgranrio) Um indivíduo fez umaaplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Entretanto, passados 20 dias,precisou fazer o resgate. Suponha que seja possível escolher entre os regimesde capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse montante.Pode-se afirmar que o montante obtido:

(A) pelo regime simples será igual ao capital inicial (não haverá juros simples).(B) pelo regime composto será igual ao capital inicial (não haverá juroscompostos).(C) pelo regime composto será maior.(D) pelo regime simples será maior.(E) será o mesmo, considerando os dois regimes de capitalização. Resolução Vamos estudar os conceitos: Convenção Linear: o capital é atualizado a juros compostos no númerointeiro de períodos (n) e atualizado por juros simples no período fracionário(q).M = C . (1 + i)t . (1 + i . q)

Convenção Exponencial: o capital é atualizado a juros compostos no períodototal da aplicação.

Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 10.000,00, durante o períodode 5 meses e 20 dias, aplicados a uma taxa de capitalização composta de 15%ao mês.

I – Convenção Linear (será utilizada na hora da prova, a menos que a bancainforme os valores do período fracionário para os juros compostos):

Capital (C) = 10.000Período (t) = 5 meses + 20 dias = 5 meses + 20/30 mesesPeríodo (t) = 5 meses + 2/3 mesest = 5 mesesq = 2/3 mesesTaxa de Juros (i) = 15% ao mês

M = 10.000 x (1 + 15%)5 x (1 + 15%.2/3) = 10.000.(1,15)5.(1,10) ⇒⇒ M = 10.000 . 2,011357 . 1,10 = 22.124,93

II – Convenção Exponencial:

t = 5 meses + 20 dias = 5 meses + 20/30 meses = 5 meses + 2/3 meses ⇒⇒ t = (15 + 2)/3 = 17/3 meses

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M = 10.000 x (1 + 15%)17/3 = 10.000 x (1,15)17/3 = 10.000 x 2,207773 ⇒⇒ M = 22.077,73 ⇒ para calcularmos, somente com calculadora ou tabelas logarítmicas, amenos que a banca informe o valor na hora da prova.

Importante: repare que, para períodos fracionários, o montante calculado pela convenção linear, que adota os juros simples é maior que o montante calculado pela convenção exponencial, que adota juros compostos. Portanto, como na questão o período é fracionário (20 dias, em relação a uma taxa mensal), temos que: O montante obtido pelo regime simples será maior. GABARITO: D

47.(Agente Judiciário-Administrador-TJ/RO-2008-Cesgranrio) Umcapital de R$ 25.000,00, aplicado por 6 meses, obtém um montante de R$28.992,33. A taxa mensal de juros compostos, aplicada neste caso, foi

(A) 1,137%(B) 1,933%(C) 2,005%(D) 2,222%(E) 2,500% Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Valor Presente (C) = R$ 25.000,00Montante (M) = R$ 28.992,33Período (t) = 6 mesesTaxa de Juros Compostos = i

M = C . (1 + i)t ⇒ 28.992,33= 25.000 x (1 + i)6 ⇒⇒ 28.992,33/25.000 = (1 + i)6 ⇒⇒ (1 + i)6 = 1,159693

Aqui, só nos resta testar as opções:

As alternativas, em ordem crescente, são:1,137%; 1,933%; 2,005%; 2,222% e 2,500%.

Vamos começar pelos extremos:1) i = 1,137% (menor taxa)⇒ (1 + 1,137%)6 = (1 + 0,0137)6 = (1,0137)6 = 1,085 < 1,159693Logo, a taxa de juros é maior que 1,137%

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2) i = 2,500% (maior taxa)⇒ (1 + 2,500%)6 = (1 + 0,0250)6 = (1,0250)6 = 1,159693 (resposta)i = 2,500% GABARITO: E

48.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma aplicação de R$ 10.000,00 peloprazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Ovalor que a empresa vai resgatar no vencimento da aplicação, em reais, será

(A) 10.612,08(B) 10.620,00(C) 10.822,34(D) 10.888,34(E) 10.913,56 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 10.000,00Montante = MPeríodo (t) = 3 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,020 ao mês

(1 + 0,02)3 = (1,02)3 = 1,061208

M = C . (1 + i)t ⇒ M = 10.000 x (1,02)3 ⇒⇒ M = 10.000 x 1,061208 ⇒⇒ M = 10.612,08 GABARITO: A 49.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicatano valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de descontocomposto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o anocomercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta correnteda empresa, em reais, foi

(A) 28 888,08(B) 28.808,88(C) 27.062,61(D) 26.062,12(E) 26.026,21

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Resolução A questão definiu: Juros Compostos Atenção! O desconto de duplicatas é o desconto comercial composto. Desconto Comercial ou Por Fora: é um desconto que incide sobre o valornominal (N), período a período.A = N . (1 – iD)t Dc = N – A = N – N . (1 – iD)t = N . [1 - (1 – iD)t] Valor Nominal da Duplicata (N) = R$ 28.800,00Período (t) = 4 mesesTaxa de Juros (iD) = 2,5% ao mês = 2,5/100 = 0,025 ao mêsA = N . (1 – iD)t = 28.800 x (1 – 0,025)4 ⇒⇒ A = 28.800 x (0,975)4 ⇒⇒ A = 28.800 x 0,903688 ⇒⇒ A = 26.026,21GABARITO: E

50.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) Umdeterminado estado da União tomou um empréstimo de R$1 bilhão junto aoBNDES, a ser pago em 2 anos, considerando uma taxa de juros compostos de10% ao ano. No momento de quitar a dívida, a mesma foi renegociada pormais seis meses, à taxa de 1% ao semestre. A taxa de juros efetiva para todaa operação é, aproximadamente,

(A) 10%(B) 11%(C) 21%(D) 22%(E) 25% Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Empréstimo (C) = R$ 1.000.000.000,00Montante = MPeríodo (t) = 2 anosTaxa de Juros Compostos (i) = 10% ao ano = 10/100 = 0,10 ao ano

M = C . (1 + i)t ⇒ M = 1.000.000.000 x (1 + 0,10)2 ⇒⇒ M = 1.000.000.000 x (1,10)2 ⇒⇒ M = 1.000.000.000 x 1,21 ⇒⇒ M = 1.210.000.000

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No momento de quitar a dívida (pagar o valor de R$ 1.210.000.000,00, apósdois anos), ela foi renegociada por mais seis meses conforme abaixo:

Empréstimo (C) = R$ 1.210.000.000,00Montante = MPeríodo (t) = 6 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 1% ao semestre = 1/100 = 0,01 ao semestre

M = C . (1 + i)t ⇒ M = 1.210.000.000 x (1 + 0,01)1 ⇒⇒ M = 1.210.000.000 x (1,01)1 ⇒⇒ M = 1.222.100.000

Agora, temos que calcular a taxa efetiva de juros considerando toda aoperação:

Empréstimo (C) = R$ 1.000.000.000,00Montante (M) = R$ 1.222.100.000,00Período (t) = 2,5 anosTaxa de Juros Compostos = i

M = C . (1 + i)t ⇒ 1.222.100.000 = 1.000.000.000 x (1 + i)2,5 ⇒⇒ 1.222.100.000/1.000.000.000 = (1 + i)2,5 ⇒⇒ (1 + i)2,5 = 1,2221

Taxa Efetiva de Juros na Operação = 1,2221 – 1 = 0,2221 = 22,21% GABARITO: D

51.(Ciências Contábeis-BNDES-2008-Cesgranrio) Um aplicador depositou,num determinado fundo, um valor inicial de R$ 2.000,00. O valor acumulado,em reais, ao final de 24 meses, considerando juros compostos de 1% ao mês,será

(A) 2.437,53(B) 2.465,86(C) 2.539,47(D) 2.546,68(E) 2.697,40 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00Montante = MPeríodo (t) = 24 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 1% ao mês = 1/100 = 0,010 ao mês

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(1 + 0,01)24 = (1,01)24 = 1,269735

M = C . (1 + i)t ⇒ M = 2.000 x (1,01)24 ⇒⇒ M = 2.000 x 1,269735 ⇒⇒ M = 2.539,47 GABARITO: C 52.(Contador-INEA-2008-Cesgranrio) A Empresa Atenas S/A contraiu umempréstimo por um período de 3 meses, com juros compostos de 3% ao mês.O montante que representa o principal mais os juros monta a R$ 200.000,00.Com base nos dados acima, o valor do empréstimo obtido pela empresa, emreais, foi

(A) 177.491,84(B) 181.454,60(C) 183.028,33(D) 183.486.23(E) 184.000,00 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Valor Presente = Empréstimo Obtido = CMontante = Empréstimos a Pagar (M) = R$ 200.000,00Período (t) = 3 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 3% ao mês

(1 + 3%)3 = (1 + 3/100) = (1 + 0,030)3 = (1,030)3 = 1,092727

M = C . (1 + i)t ⇒ 200.000 = C x (1,030)3 ⇒⇒ C = 200.000/1,092727 ⇒ ⇒ C = 183.028,33 GABARITO: C 53.(Assistente de Suporte Técnico Nível I - Suporte Técnico à Gestão – Contabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) João depositou R$ 1.000,00 noinício de cada mês durante seis meses consecutivos à taxa de juros de 24% aoano com capitalização mensal. José depositou a mesma importância tambémno início de cada mês pelo mesmo período, mas à taxa de 27% ao ano comcapitalização mensal. O montante obtido por José imediatamente após o últimodepósito foi, neste momento, superior ao de João em R$ 39,68. Sabendo-seque o fator de acumulação de capital (FAC) da taxa efetiva mensal de 2% em6 meses é 6,30812, o FAC, para o mesmo período correspondente à aplicaçãode José, foi equivalente a

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(A) 6,26488(B) 6,26844(C) 6,27884(D) 6,31548(E) 6,34780

Resolução Vamos resolver a questão por partes:

I - João depositou R$ 1.000,00 no início de cada mês durante seis mesesconsecutivos à taxa de juros de 24% ao ano com capitalização mensal.Taxa de Juros (i) = 24% ao ano.

Atenção, pois a questão estabelece que a capitalização é mensal, ou seja, 24%ao ano é a taxa nominal. Portanto, temos que achar a taxa de juros efetivaque é a taxa de juros correspondente ao período de capitalização:

24% ==� 12 mesesX ==� 1 mês12 . X = 24% . 1 ⇒ X = 24%/12 = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês

Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamente após o último depósito(montante de valor futuro), teríamos:

Repare que os depósitos ocorrem no início de cada mês, ou seja: Depósito 1(momento “0”); Depósito 2 (momento “1”); Depósito 3 (momento “2”);Depósito 4 (momento “3”); Depósito 5 (momento “4”); Depósito 6 (momento“5”).

MI = D x Fator de Acumulação de CapitalDe acordo com a questão: Fator de Acumulação de Capital = 6,30812 (parataxa efetiva de 2% ao mês em seis meses).MI = 1.000 x 6,30812 = 6.308,12 II - José depositou a mesma importância também no início de cada mês pelomesmo período, mas à taxa de 27% ao ano com capitalização mensal. Taxa de Juros (i) = 27% ao ano.

0 51 ... 4

Montante = MI

Depósito = D = R$ 1.000,00

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Atenção, pois a questão estabelece que a capitalização é mensal, ou seja, 24%ao ano é a taxa nominal. Portanto, temos que achar a taxa de juros efetivaque é a taxa de juros correspondente ao período de capitalização:

27% ==� 12 mesesX ==� 1 mês12 . X = 27% . 1 ⇒ X = 27%/12 = 2,25% ao mês = 2,25/100 = 0,025 aomês

Caso quiséssemos calcular o total pago imediatamente após o último depósito(montante de valor futuro), teríamos:

Repare que os depósitos ocorrem no início de cada mês, ou seja: Depósito 1(momento “0”); Depósito 2 (momento “1”); Depósito 3 (momento “2”);Depósito 4 (momento “3”); Depósito 5 (momento “4”); Depósito 6 (momento“5”).

MII = D x Fator de Acumulação de Capital = 1.000 x FACII

De acordo com a questão, o montante obtido por José imediatamente após oúltimo depósito foi, neste momento, superior ao de João em R$ 39,68.Portanto, teremos:

MII – MI = 39,68 ⇒ MII – 6.308,12 = 39,68 ⇒

⇒ 1.000 x FACII = 6.308,12 + 39,68 ⇒⇒ 1.000 x FACII = 6.347,80 ⇒⇒ FACII = 6.347,80/1.000 ⇒⇒ FACII = 6,34780GABARITO: E

0 51 ... 4

Montante = MII

Depósito = D = R$ 1.000,00

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54.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) A taxa nominal i ao ano,com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva anual de

(A)1

1212. (1 ) 1i

+ −

(B)1

1212. (1 ) 112

i + −

(C) 12(1 ) 112

i + −

(D)12

(1 )1

12

i +−

(E)

12

112

i −

Resolução Primeiramente, vamos aproveitar para relembrar os conceitos de taxasnominais e efetivas vistos na aula 1:

Taxa Nominal: é a taxa definida para um período de tempo diferente doperíodo de capitalização.

Taxa Efetiva: é a taxa correspondente ao período de capitalização.Exemplo: i = 48% ao ano com capitalização mensal.i = 48% ao ano ⇒ taxa nominali´= 48%/12 = 4% ao mês ⇒ taxa efetiva, tendo em vista que a capitalizaçãoé mensal.

De acordo com a questão: Taxa Nominal = i ao ano (com capitalização mensal)

I – Cálculo da Taxa Efetiva Mensal:

i ==� 1ano = 12 mesesTaxa Efetiva Mensal ==� 1 mêsTaxa Efetiva Mensal x 12 = i x 1 ⇒⇒ Taxa Efetiva Mensal = i/12

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Contudo, repare que a questão deseja saber a taxa efetiva anual. Portanto,como todas alternativas são com expoentes, devemos considerar que são juroscompostos. Nessa situação, teríamos:

Valorização = (1 + i)t

Período (t) = 12 mesesPara calcular a taxa, temos que subtrair 1 da valorização:Taxa Efetiva Anual = (1 + Taxa Efetiva Mensal)t – 1 ⇒⇒ Taxa Efetiva Anual = (1 + i/12)12 - 1 GABARITO: C

55.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) Assumindouma taxa anual de juros de 10% no regime de capitalização composta, opagamento de um empréstimo de R$ 1.000,00 no final de um ano após suaobtenção é equivalente, em termos de fluxo de caixa, ao pagamento, em R$,de duas prestações anuais iguais e sucessivas, vencendo a primeira um anoapós a realização do empréstimo (desprezando os algarismos a partir daterceira casa decimal depois da vírgula) no valor de

(A) 523,81(B) 555,55(C) 568,12(D) 576,19(E) 583,47 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Taxa de Juros (i) = 10% ao anoEmpréstimo Obtido (C) = R$ 1.000,00

De acordo com a questão: o pagamento de um empréstimo de R$ 1.000,00 nofinal de um ano após sua obtenção é equivalente, em termos de fluxo de caixa,ao pagamento, em R$, de duas prestações anuais iguais e sucessivas,vencendo a primeira um ano após a realização do empréstimo (desprezando osalgarismos a partir da terceira casa decimal depois da vírgula) no valor de?

0

Prestações

1 2

E

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Para calcular o valor das prestações, temos que igualar os itens da linha dotempo acima considerando os juros anuais. Como são juros compostos, a datade referência escolhida não importa, pois o resultado não se altera. Parafacilitar os cálculos, escolherei a data de referência como sendo o momento 2(final do ano 2). Deste modo, teremos:

P + P x (1 + i) = 1.000 x (1 + i)2 ⇒ ⇒ P x (1 + 1 + i) = 1.000 x (1 + 10%)2 ⇒⇒ P x (1 + 1 + 10%) = 1.000 x (1 + 10%)2 ⇒⇒ P x (2 + 0,10) = 1.000 x (1 + 0,10)2 ⇒⇒ P x 2,10 = 1.000 x (1,10)2 ⇒⇒ P x 2,10 = 1.000 x 1,21 ⇒⇒ P = 1.000 x 1,21/2,10 ⇒⇒ P = 1.210/2,10 ⇒⇒ P = R$ 576,19 GABARITO: D

56.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa mensalequivalente a uma taxa de juros anual de 12% no regime de capitalizaçãocomposta é (em percentagem):

(A) (0,12/12) × 100(B) (12/100/12) × 100(C) (0,12)1/12× 100(D) [(1,01)12 – 1] × 100(E) [(1,12)1/12 -1] × 100 Resolução Vamos relembrar o conceito de taxa de equivalente:Taxas Equivalentes: são aquelas referidas a períodos de tempo diferentesque, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam omesmo montante.

Onde,ieq = taxa equivalente à taxa de juros “i”.t = período. Nota: Nos juros simples, as taxas equivalentes são iguais às taxasproporcionais (em valor). Nos juros compostos esta situação não ocorre.

1 + ieq = (1 + i)t ⇒ juros compostos

1 + ieq = 1 + i.t ⇒ ieq = i.t ⇒ juros simples

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Vamos à resolução da questão:

Taxa de Juros Anual = 12% ao ano

I – Cálculo da taxa de juros mensal equivalente:Período (t) = 12 meses

1 + ieq = (1 + i)t ⇒ 1 + 12% = (1 + i)12 ⇒⇒ 1 + 0,12 = (1 + i)12 ⇒⇒ 1,12 = (1 + i)12 ⇒

Relembrando o conceito de álgebra:xm = y ⇒ x = y1/m

Exemplos:

x2 = a =>1

2x a a= ± = ±

x3 = a =>1

3 3x a a= =

x4= a =>1

4 4x a a= ± = ±

⇒ (1,12)1/12 = (1 + i) ⇒⇒ 1 + i = (1,12)1/12 ⇒⇒ i = (1,12)1/12 – 1

Como a questão pede a taxa em porcentagem, devemos multiplicar por 100.Veja um exemplo:i = 0,02 ao mês = 0,02 x 100/100 ao mês (para não alterar a expressão,devemos multiplicar e dividir por 100) = 2/100 ao mês = 2% ao mês (emporcentagem).⇒ i = [(1,12)1/12 – 1] x 100 GABARITO: E

57.(TCE-RO-Administrador-2007-Cesgranrio) A Empresa Silva & Filhosobteve um empréstimo pelo qual, ao final de um ano, deverá pagar ummontante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros compostos de 2,5% aomês. O valor atual desse empréstimo, em reais, é:

(A) 70.000,00(B) 74.355,58(C) 75.000,00(D) 76.923,08(E) 78.024,29

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Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Valor Presente = Empréstimo Obtido = CMontante = Empréstimos a Pagar (M) = R$ 100.000,00Período (t) = 1 ano = 12 mesesTaxa de Juros Compostos (i) = 2,5% ao mês

(1 + 2,5%)12 = (1 + 2,5/100)12 = (1 + 0,025)12 = (1,025)12 = 1,344889

M = C . (1 + i)t ⇒ 200.000 = C x (1,025)12 ⇒⇒ C = 100.000/1,344889 ⇒ ⇒ C = 74.355,58 GABARITO: B

58.(Analista de Gestão Corporativa-Contabilidade-EPE-2007-Cesgranrio) Uma aplicação no valor de R$ 3.000,00 em regime de juroscompostos, a uma taxa de 4% ao mês, rendeu R$ 947,80 de juros. Qual foi oprazo de aplicação, em meses?

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Valor Presente = Valor Aplicado (C) = 3.000Montante (M) = Valor Aplicado + Juros = 3.000 + 947,80 = 3.947,80Período = tTaxa de Juros Compostos (i) = 4% ao mês = 4/100 = 0,04 ao mês

M = C . (1 + i)t ⇒ 3.947,80 = 3.000 x (1 + 0,04)t ⇒⇒ 3.947,80/3.000 = (1,04)t ⇒ ⇒ (1,04)t = 1,315932

Sem tabela, só nos resta fazer a conta manualmente:1,04 x 1,04 = (1,04)2 = 1,0816(1,04)2 x 1,04 = (1,04)3 = 1,124864(1,04)3 x 1,04 = (1,04)4 = 1,169859(1,04)4 x 1,04 = (1,04)5 = 1,216653(1,04)5 x 1,04 = (1,04)6 = 1,265319(1,04)6 x 1,04 = (1,04)7 = 1,315932 ⇒ Logo, t = 7 mesesGABARITO: D

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59.(Analista de Gestão Corporativa-Contabilidade-EPE-2007-Cesgranrio) Determinada empresa comercial aplicou R$ 2.000,00 numCertificado de Depósito Bancário - CDB com vencimento em 30 dias,remuneração de 2% e tributação na fonte (Imposto de Renda) de 15%. Ovalor resgatado, em reais, será:

(A) 1.734,00(B) 2.000,00(C) 2.034,00(D) 2.040,00(E) 2.346,00 Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Valor Presente = Aplicação (C) = R$ 2.000,00Montante = MPeríodo (t) = 30 dias = 1 mêsTaxa de Juros Compostos = Rendimento (i) = 2% ao mês = 2/100Rendimento (i) = 0,02 ao mês

M = C . (1 + i)t ⇒ M = 2.000 x (1 + 0,02)1 ⇒⇒ M = 2.000 x 1,02 ⇒ ⇒ M = 2.040

Contudo, como há tributação na fonte (imposto de renda), temos que abaterdo valor do montante a ser resgatado:Juros (J) = M – C = 2.040 – 2.000 = 40Imposto de Renda (IR) = 15% x Juros = 15% x 40 = 6

Montante a ser resgatado = 2.040 – IR = 2.040 – 6 = 2.034,00 GABARITO: C

60.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Um débito de R$ 100,00 levou dois meses para ser quitado. Porocasião da quitação, foram cobrados R$ 44,00 de juros. Considerando-se quefoi utilizado o regime de juros compostos, qual a taxa de juros mensalaplicada?

(A) 44%(B) 22%(C) 20%(D) 0,22%(E) 0,20%

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Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Valor Presente = Débito (C) = R$ 100,00Montante (M) = Débito + Juros = 100 + 44 = R$ 144,00Período (t) = 2 mesesTaxa de Juros Compostos = i

M = C . (1 + i)t ⇒ 144 = 100 x (1 + i)2 ⇒⇒ 144/100 = (1 + i)2 ⇒ ⇒ (1 + i)2 = 1,44

Aqui, só nos resta testar as opções:As alternativas, em ordem crescente, são: 0,20%; 0,22%; 20%; 22% e 44%.

Vamos começar pelos extremos:1) i = 0,20% (menor taxa)⇒ (1 + 0,20%)2 = (1 + 0,002)2 = (1,002)2 = 1,004004 < 1,44Logo, a taxa de juros é maior que 0,20%

2) i = 44% (maior taxa)⇒ (1 + 44%)2 = (1 + 0,44)2 = (1,44)2 = 2,0736 > 1,44Logo, a taxa de juros é menor que 44%

3) i = 20% (taxa do meio)⇒ (1 + 20%)2 = (1 + 0,20)2 = (1,20)2 = 1,44 (resposta) i = 20% GABARITO: C

61.(Assistente-Contábil-PBGAS-2007-FCC) João dos Santos fez umaaplicação de R$ 28.500,00 numa instituição financeira por dois anos, comcapitalização composta anual. Sabendo que a taxa composta de juros anual daaplicação correspondeu a 10%, o montante resgatado pelo investidor novencimento da aplicação foi de

(A) R$ 34.200,00(B) R$ 34.485,00(C) R$ 35.200,00(D) R$ 35.485,00(E) R$ 36.200,00

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Resolução A questão definiu: Juros Compostos ⇒ M = C . (1 + i)t

Capital Aplicado (C) = R$ 28.500,00Período (t) = 2 anosTaxa de Juros Anual (i) = 10% ao ano = 10/100 = 0,10 ao anoMontante = M M = C . (1 + i)t ⇒ M = 28.500 x (1 + 0,10)2 ⇒⇒ M = 28.500 x (1,10)2 ⇒⇒ M = 28.500 x 1,21 ⇒⇒ M = R$ 34.485,00 GABARITO: B 62.(Especialista em Regulação de Saúde Suplementar-Ciências Contábeis-ANS-2007-FCC) Um título é resgatado dois anos antes de seuvencimento segundo o critério do desconto racional composto a uma taxa dejuros compostos de 10% ao ano. Se o valor atual é igual a R$ 15.000,00, ovalor correspondente do desconto é de

(A) R$ 2.850,00.(B) R$ 3.000,00.(C) R$ 3.150,00.(D) R$ 3.300,00.(E) R$ 3.450,00. Resolução A questão definiu: Desconto Racional Composto. Vamos relembrar o conceito:

Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro: é o descontoque determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado,resulta em um montante igual ao valor nominal.

N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t Dr = N – A = N - N/(1 + ir)t = N . [1 – 1/(1 + ir)t] ⇒⇒ Dr = N . [(1 + ir)t – 1]/(1 + ir)t

Onde,Dr = desconto comercialir = taxa de desconto comercial (juros simples) I – Cálculo do valor nominal utilizando desconto racional composto:Valor Atual do Título (A) = R$ 15.000,00Período (t) = 2 anosTaxa de juros compostos (i) = 10% ao ano = 10/100 = 0,10 ao ano

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A = N/(1 + ir)t ⇒⇒ 15.000 = N/(1 + 0,10)2 ⇒⇒ N = 15.000 x (1,10)2 ⇒⇒ N = 15.000 x 1,21⇒⇒ N = R$ 18.150,00

II – Cálculo do desconto racional:Dr = N – A = 18.150 – 15.000 ⇒ Dr = R$ 3.150,00 GABARITO: C

63.(Especialista em Regulação de Saúde Suplementar-Ciências Contábeis-ANS-2007-FCC) O custo efetivo do financiamento de umadeterminada operação realizada em um ano foi de 15,5%. Se a taxa deinflação correspondente a este ano foi de 10%, significa que o custo realefetivo referente a esta operação foi de

(A) 4,50%.(B) 5,00%.(C) 5,50%.(D) 5,75%.(E) 6,00%.

Resolução Mais uma questão de inflação. Realmente, a banca gosta deste tipo dequestão:

Custo Nominal Efetivo do Financiamento = 15,5% ao anoInflação = 10% ao ano

Custo Real = Custo Nominal/Fator de Inflação – 1 ⇒⇒ Custo Real = (1 + 15,5%)/(1 + 10%) – 1 ⇒⇒ Custo Real = (1 + 0,155)/(1 + 0,10) – 1 ⇒⇒ Custo Real = 1,155/1,10 – 1 ⇒⇒ Custo Real = 1,05 – 1 ⇒⇒ Custo Real = 0,05 ⇒⇒ Custo Real = 5% ao ano GABARITO: B

64.(Analista Legislativo-Contador-Câmara dos Deputados-2007-FCC)Uma dívida no valor de R$ 46.200,00, na data de hoje, deverá ser quitada pormeio de duas prestações de valores iguais, vencível a primeira daqui a um anoe a segunda daqui a dois anos. Considerando o critério do desconto financeirocomposto a uma taxa de juros de 20% ao ano, tem-se que o valor de cadaprestação é igual a

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(A) R$ 30.240,00(B) R$ 27.720,00(C) R$ 25.200,00(D) R$ 24.960,00(E) R$ 24.720,00

Resolução A questão definiu: Desconto Financeiro (ou Comercial) Composto: Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro: é o descontoque determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado,resulta em um montante igual ao valor nominal.N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t

Taxa de Juros (i) = 20% ao anoDívida (D) = R$ 46.200,00

De acordo com a questão: o pagamento da dívida de R$ 46.200,00 será pormeio de duas prestações de valores iguais, vencível a primeira daqui a um anoe a segunda daqui a dois anos.

Para calcular o valor das prestações, temos que igualar os itens da linha dotempo acima considerando os juros anuais. Como são juros compostos, a datade referência escolhida não importa, pois o resultado não se altera. Parafacilitar os cálculos, escolherei a data de referência como sendo o momento 2(final do ano 2). Deste modo, teremos:

P + P x (1 + i) = 46.200 x (1 + i)2 ⇒ ⇒ P x (1 + 1 + i) = 46.200 x (1 + 20%)2 ⇒⇒ P x (1 + 1 + 20%) = 46.200 x (1 + 20%)2 ⇒⇒ P x (2 + 0,20) = 46.200 x (1 + 0,20)2 ⇒⇒ P x 2,20 = 46.200 x (1,20)2 ⇒⇒ P x 2,20 = 46.200 x 1,44 ⇒⇒ P = 46.200 x 1,44/2,20 ⇒⇒ P = (46.200/2,20) x 1,44 ⇒⇒ P = 21.000 x 1,44 ⇒⇒ P = R$ 30.240,00 GABARITO: A

0

Prestações

1 2

D

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Instrução: Na resolução da questão no 65 utilize a tabela abaixo, que forneceos fatores de valor presente (FVP) de séries uniformes, a uma taxa de 2% ao

mês, sendo FVP dado por(1,02) 1

(1,02) .0,02

n

n

Numero de prestações (n)

FVP

1 0,98042 1,94163 2,88394 3,80775 4,71356 5,60147 6,47208 7,32559 8,162210 8,982611 9,786812 10,5753

65.(Analista Legislativo-Contador-Câmara dos Deputados-2007-FCC)Um automóvel poderá ser adquirido à vista pelo valor de R$ 25.000,00. Ocomprador poderá também adquirir o automóvel dando uma entrada no ato dacompra e o restante em 10 prestações mensais e consecutivas, no valor de R$2.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a data da compra.Utilizando o critério do desconto financeiro composto a uma taxa de 2% aomês, tem-se que o valor da entrada referente à segunda opção que tornaiguais os valores presentes das duas opções, na data da aquisição, é

(A) R$ 8.675,60(B) R$ 7.855,20(C) R$ 7.034,80(D) R$ 5.526,20(E) R$ 3.234,80

Resolução A questão definiu: Desconto Financeiro (ou Comercial) Composto: Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro: é o descontoque determina um valor atual (Ad) que, corrigido nas condições de mercado,resulta em um montante igual ao valor nominal.N = A . (1 + ir)t ⇒ A = N/(1 + ir)t

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Vamos à resolução da questão: Repare que a questão deseja saber o valor daentrada, caso um automóvel de R$ 25.000,00 fosse comprado por meio deuma entrada (E) e mais 10 prestações mensais e consecutivas, no valor de R$2.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a data da compra.

Repare que a questão informa uma tabela de valores correspondentes ao fatorde valor presente. Vamos relembrar: Renda Postecipada: corresponde à série uniforme de pagamentos periódicosem que o primeiro pagamento ocorre um período após o negócio.

A = valor da rendaR = valor da prestaçãon = número de prestaçõesi = taxa de juros

2 1...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n

R R R RA

i i i i−= + + + ++ + + +

A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado:

(1 ) 1..(1 )

n

n

iA R

i i

+ −=

+(1 ) 1

.(1 )

n

n

i

i i

+ −+

⇒ Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente

(FVP) ⇒ A = R x FVA

0

Prestações (P)

1 2 3

E

10....

Valor à Vista

A

0

R

1 n2 ... n-1

RRR

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Portanto, fazendo a equivalência de capitais no momento “0”, pois foiinformado o FVP:

Valor Financiado (A) = Prestação (P) x FVP ⇒Há que se ressaltar que, para o cálculo do valor financiado, temos que abater ovalor dado como entrada:⇒ 25.000 - Entrada = 2.000 x FVP ⇒

E agora, qual o FVP que devemos utilizar no cálculo? Bom, vamos lá:n = número de prestações = 10i = taxa de juros = 2% ao mês

FVP dado por(1,02) 1

(1,02) .0,02

n

n

−. Portanto, para n = 10:

Numero de prestações (n)

FVP

10 8,9826

⇒ 25.000 - Entrada = 2.000 x FVP ⇒⇒ 25.000 - Entrada = 2.000 x 8,9826 ⇒⇒ 25.000 - Entrada = 17.965,20 ⇒⇒ 25.000 – 17.965,20 = Entrada ⇒⇒ Entrada = R$ 7.034,80 GABARITO: C 66.(Agente Fiscal de Rendas-Sefaz/SP-2006-FCC) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado à taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalizaçãocontínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$200.000,00. Utilizando ln 2 = 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que i éigual a

(A) 14,02%(B) 17,25%(C) 30%(D) 34,5%(E) 69% Resolução Vamos estudar os conceitos:Capitalização Contínua Na verdade, a capitalização contínua é um tipo de capitalização a juroscompostos onde os juros auferidos em um instante de tempo t sãoimediatamente incorporados ao capital aplicado, produzindo, por conseguinte,os juros no instante de tempo t1, e assim sucessivamente. Neste tipo decapitalização, o capital sofrerá variações em intervalos infinitesimais de tempo,que é justamente o que a difere da capitalização a juros compostos, onde avariação de tempo é finita.

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Neste tipo de capitalização utiliza-se a seguinte fórmula: M = C . ei.t

Onde:M = Montante;C = Capital Aplicado;e = número neperiano ou número de Euler = 2,718 (constante);i = taxa de juros; et = período. Exemplo: Considere que o logaritmo neperiano de 2 é igual a 0,69. Aplicandoum capital de R$ 30.000,00 a uma taxa de 5% ao mês, com capitalizaçãocontínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$60.000,00. Calcule o período de aplicação é igual a

e = número neperianoDado: ln (logaritmo neperiano) 2 = 0,69Capital Aplicado (C) = R$ 30.000,00Montante (M) = R$ 60.000,00Período = tTaxa de Juros Compostos (i) = 5% ao mês = 5/100 ao mês = 0,05 ao mêsM = C . ei.t ⇒⇒60.000 = 30.000 x e (0,05 x t) ⇒⇒ 60.000/30.000 = e (0,05 x t) ⇒⇒ e (0,04 x t)= 2 ⇒

Relembrando: Logaritmo da potência: logb xn = n . logb x Exemplo: log3 32 = x ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2log3 32 = 2 . log3 3 = 2 . 1 = 2Logo, log3 32 = 2. log3 3

Além disso, logb a = y ⇒ a = by. Portanto, para calcularmos o ln e, porexemplo, teríamos:ln e = x ⇒ e = ex ⇒ Portanto, x = 1, para que: e = e1 = e.

Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação:⇒ ln e (0,05 x t)= ln 2 ⇒⇒ (0,05 x t) x ln e = 0,69 ⇒⇒ 0,05 x t x 1 = 0,69 ⇒⇒ t = 0,69/0,05 ⇒⇒ t = 13,8 meses

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Vamos à resolução da questão:

A questão definiu: Capitalização Contínua ⇒ M = C . ei.t

e = número neperiano

Dado: ln (logaritmo neperiano) 2 = 0,69Capital Aplicado (C) = R$ 50.000,00Montante (M) = R$ 200.000,00Período (t) = 2 anos = 4 semestresTaxa de Juros = i% ao semestre

M = C . ei.t ⇒⇒200.000 = 50.000 x e (i x 4) ⇒⇒ 200.000/50.000 = e 4i ⇒⇒ 4 = e4i ⇒

Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da equação:⇒ ln 4 = ln e4i ⇒

Nota: ln 4 = ln 22 = 2 x ln 2ln e4i = 4i x ln e = 4i x 1 = 4i

⇒ 2 x ln 2 = 4 x i ⇒⇒ 2 x 0,69 = 4 x i ⇒⇒ 2 x 0,69/4 = i ⇒⇒ 0,69/2 = i ⇒⇒ i = 0,345 ao período = 34,5/100 = 34,5% ao períodoGABARITO: D

67.(AFRF-2005-Esaf) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% aosemestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe àAna pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos acontar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e asegunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo,então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas seráigual a:

a) R$ 220.237,00b) R$ 230.237,00c) R$ 242.720,00d) R$ 275.412,00e) R$ 298.654,00

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Resolução

i = 5% ao semestre6 meses = 1 semestre ⇒ n = 118 meses = 3 semestres ⇒ n = 3

1 3 1 3

2

3

400.000(1 ) (1 ) (1,05) (1,05)

1,05 1 2,1025400.000 . . 1,816.

1,05 1,157625

400.000220.237,80

1,816

P P P P

i i

P P P

P

= + = + ⇒+ +

+⇒ = = = ⇒

⇒ = =

GABARITO: A

68.(AFRF-2005-Esaf) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos.Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis mesesapós a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos paraseis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e asdemais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma dasparcelas será igual a:

a) R$ 66.131,00b) R$ 64.708,00c) R$ 62.927,00d) R$ 70.240,00e) R$ 70.140,00

400.000

P P

6 18

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Resolução

i = 6% ao trimestre

I – Primeira forma de pagamento:

1 2 2

200.000 200.000150.000 150.000 150.000 177.999,30 327.999,30

(1 6%) (1,06)M = + = + = + =

+

II – Segunda forma de pagamento: seis prestações trimestrais e iguais(antecipadas):

M2 = M1 = 327.999,30 = P . [a(n-1;i) + 1]= P . [a(5;6%) + 1]

a(5;6%) = 4,212364 (Linha 5, Coluna 6% da tabela II)

⇒ P . (4,212364 + 1) = 327.999,30 ⇒⇒ P = 327.999,30/5,212364 = 62.927,16 GABARITO: C

69.(AFRF-2005-Esaf) Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadoriasno valor de R$ 100.000,00 pagando 30% a vista. No contrato definanciamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido quepara qualquer pagamento que for efetuado até seis meses a taxa de juroscompostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que forefetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. Aempresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$30.000,00 no final do quinto mês e a segunda parcela dois meses após opagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, semconsiderar os centavos, deverá ser igual a:

a) R$ 62.065,00b) R$ 59.065,00c) R$ 61.410,00d) R$ 60.120,00e) R$ 58.065,00

150.000

P P

6 9

200.000

P

3 12 15

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Resolução Primeira Parcela (À vista) = 30% x 100.000 = 30.000Pagamentos até 6 meses ⇒ i = 9,2727% ao trimestrePagamentos após 6 meses ⇒ i = 4% ao mêsSegunda Parcela (5 meses) = 30.000Terceira Parcela (7 meses) = P

i = 9,2727% ao trimestre = (1 + i)3 = 1 + 9,2727% = 1,092727

Da tabela I ⇒ i = 3% ao mês

5 7

5 7

30.000(100.000 30.000)

(1 3%) (1 4%)

30.00070.000 70.000 25.878,26 0,759918.

(1,03) (1,04)

44.121,74 0,759918. 58.061,20

P

PP

P P

− = + ⇒+ +

⇒ = + = = + ⇒

⇒ = ⇒ =GABARITO: E

70.(AFRF-2005-Esaf) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes odesconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então ovalor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:

a) R$ 230.000,00b) R$ 250.000,00c) R$ 330.000,00d) R$ 320.000,00e) R$ 310.000,00

100.000

30.000

5 7

30.000 P

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Resolução Desconto Racional Composto (D) ⇒ N = A.(1 + i)n ⇒ A = N/(1 + i)n (I)

D = N – A = N - N/(1 + i)n = N.[1 – 1/(1 + i)n] (II)N = 5.D (III) ⇒ dado da questãoA = R$ 200.000,00

Substituindo (III) em (II):

D = 5.D.[1 – 1/(1 + i)n] ⇒⇒ 1 = 5.[1 – 1/(1 + i)n] ⇒⇒ 1/5 = [1 – 1/(1 + i)n] ⇒⇒ 0,2 = 1 - 1/(1 + i)n ⇒⇒ 1/(1 + i)n = 1 – 0,2 = 0,8 (IV)

Substituindo (IV) em (I): A = N/(1 + i)n ⇒ A = 0,8.N

Como A = 200.000 ⇒200.000 = 0,8.N ⇒ N =200.000/0,8 = 250.000GABARITO: B

Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes [email protected]

Alexandre [email protected]

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Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula 1.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Um jovem tinha umcapital e fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital emum fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. A aplicação emRenda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmoperíodo, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesseperíodo, o jovem

(A) teve lucro de 2%.(B) teve lucro de 20%.(C) não teve lucro e nem prejuízo.(D) teve prejuízo de 2%.(E) teve prejuízo de 20%. 2.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Uma aplicaçãoconsiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00(trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% aomês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é

(A) 2.040,00(B) 2.142,00(C) 2.240,00(D) 2.304,00(E) 2.442,00 3.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Uma pessoa fez,com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa,aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na FinanceiraBeta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, comcapitalização mensal. Ao final de 1 semestre, os montantes das duasaplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicaçãodiversificada no período foi de

(A) 60%(B) 54%(C) 46%(D) 34%(E) 26% (Contador-AGU-2010-Cespe) Considerando que determinado capital tenhasido aplicado à taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês, no regime de juroscompostos, e que 0,002, 0,006, 0,176 e 0,301 são valores aproximados paralog 1,005, log 1,014, log 1,5 e log 2, respectivamente, julgue os itensseguintes.

4. A taxa de juros efetiva quadrimestral, equivalente à taxa de juros efetivautilizada na aplicação, é inferior a 6% ao quadrimestre.

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5. O capital levará mais de 4 anos para dobrar de valor.

6.(Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Energia-Área 3-Aneel-2010-Cespe) Considerando que um capital seja investido à taxa de10% ao ano, julgue o item que segue, tomando 1,04 e 0,3 como valoresaproximados de log10 11 e log10 2, respectivamente.

No regime de capitalização composta, esse capital dobrará de valor em menosde 8 anos. (Contador-FUB-2010-Cespe) Julgue os próximos itens, relativos ao regimede juros compostos.

7. Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, umacurva exponencial.

8. Uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 12% ao ano, com capitalizaçãotrimestral, ultrapassa o montante de R$ 4.240,00 após seis meses.

9. Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regimede juros composto é sempre superior ao montante em regime de jurossimples. 10.(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Em determinado dia,um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rendejuros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversárioda aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmovalor. Nessa situação, considerando-se que o regime de juros é o composto e3,14 como valor aproximado para 1,112, é correto afirmar que, sem ter feito,nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor,no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$12.000,00. 11.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade–Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Caso se aplique R$ 5.000,00 porano, durante 3 anos consecutivos, em um título de rendimento de 10% dejuros compostos ao ano, o montante auferido ao final desse período será de

A R$ 11.000,00.B R$ 12.500,00.C R$ 15.550,00.D R$ 16.000,00.E R$ 16.550,00.

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(Analista Ambiental-Área de Concentração III-2010-MMA-Cespe) Umprodutor rural foi multado em R$ 300.000,00, por ser o responsável pelapoluição de um rio que atravessa sua propriedade. A dívida foi negociada eforam apresentadas a esse produtor as seguintes propostas de pagamento dareferida multa: I pagamento à vista com desconto; II pagamento em 2prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento daprimeira prestação um ano após a negociação; III pagamento em 3 prestaçõesanuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeiraprestação no ato da negociação. O produtor rejeitou a proposta I, pois ela eramenos vantajosa que as outras duas, dado que seu dinheiro poderia terrendimento de juros compostos anuais de 25%.

A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. 12. A proposta III é a mais vantajosa para o produtor. 13. O desconto previsto na proposta I é inferior a R$ 56.000,00.

(Consultor Executivo-Ciências Contábeis-Sefaz/ES-2010-Cespe) Asecretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte opagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensaiscom valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestaçãovence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois mesesconsecutivos. Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeiraparcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentesàs outras duas prestações. No início de julho de 2009, esse contribuintenegociou a dívida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor decada prestação, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, demodo que os novos valores da segunda e da terceira prestações atrasadas,cujo vencimento passou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais,respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens abaixo.

14. A taxa de juros simples usada pela secretaria de fazenda no reajuste dasprestações atrasadas foi superior a 4%.

15. Supondo que a secretaria de fazenda tivesse reajustado as prestações auma taxa de juros compostos igual a 4% ao mês, então, considerando-se(1,04)5 = 1,22, o valor total das parcelas com vencimento no dia 14/10/2009seria superior a R$ 1.020,00.

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16. Considerando que, de posse dos boletos bancários nos valores de R$500,00 e R$ 520,00 para pagamento no dia 14/10/2009, o contribuinte tenharesolvido antecipar o pagamento para 14/8/2009, e que a secretaria defazenda tivesse adotado o sistema de desconto racional simples a uma taxa de4% ao mês para desconto de antecipações dessa natureza, o valor total pagopor esse contribuinte, em 14/8/2009, seria superior a R$ 950,00.

17.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra sérieequivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamentotambém ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento dasegunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês.

a) R$ 750,00b) R$ 693,00c) R$ 647,00d) R$ 783,00e) R$ 716,00

18.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Umfinanciamento no valor de R$ 100.000,00 possui uma carência de 18 meses,incidindo sobre o valor financiado, nesse prazo, uma taxa de juros compostosde 1% ao mês. Calcule o valor mais próximo do saldo devedor ao fim do prazode carência.

a) R$ 100.000,00b) R$ 112.000,00c) R$ 112.683,00d) R$ 119.615,00e) R$ 118.000,00

19.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Umtítulo é descontado quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa dedesconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto racional compostocalculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor nominal dotítulo.

a) R$ 20.000,00b) R$ 24.309,00c) R$ 21.550,00d) R$ 25.860,00e) R$ 15.690,00

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20.(Inspetor/Analista do Mercado de Capitais-CVM-2010-Esaf) Calculeo valor mais próximo do valor atual, no início do primeiro ano, da série abaixode pagamentos relativos ao fim de cada ano, à taxa de juros compostos de12% ao ano.

Ano 1 2 3 4 5Pagamento 4.000 4.000 4.000 3.000 3.000

Ano 6 7 8 9 10Pagamento 3.000 1.000 1.000 1.000 1.000

a) 12.500b) 15.802c) 16.275d) 17.029e) 14.186

21.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uminvestidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada ano em um banco queremunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dosmontantes referentes aos depósitos realizados é igual a

(A) R$ 52.800,00.(B) R$ 54.246,00.(C) R$ 55.692,00.(D) R$ 61.261,20.(E) R$ 63.888,00. 22.(Administrador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Umapessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo quepagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano,com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

(A) [(1,02)18 – 1]

(B) 18 .181,36 – 1

(C) 18 .181,24 – 1

(D) 3 . 1,24 – 1

(E) 6 . 3 1,24 – 1

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23.(Contador-DNOCS-Min. Da Integração Social-2010-FCC) Uma pessoaaplica, na data de hoje, os seguintes capitais:

I. R$ 8.000,00 a uma taxa de juros simples, durante 18 meses.II. R$ 10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 5% ao semestre, duranteum ano.

O valor do montante verificado no item II supera em R$ 865,00 o valor domontante verificado no item I. A taxa de juros simples anual referente ao itemI é igual a

(A) 21%.(B) 15%.(C) 18%.(D) 27%.(E) 24%. 24.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um capital C é aplicado à taxa de juros compostos de2% ao mês. Qual o valor mais próximo do montante ao fim de um ano e meio?

a) 1,27Cb) 1,32Cc) 1,43Cd) 1,40Ce) 1,37C

25.(Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-Sefaz/SP-2009-Esaf) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve serdescontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximodo desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês.

a) R$ 92,73b) R$ 84,86c) R$ 87,33d) R$ 90,00e) R$ 82,57

26.(Analista-Contabilidade-Casa da Moeda-2009-Cesgranrio) Uminvestidor aplicou a quantia de R$ 15.000,00, por um período de 4 meses, auma taxa de juros compostos de 3% ao mês. O valor dos juros obtidos nessaaplicação, em reais, é

(A) 1.165,32(B) 1.667,79(C) 1.882,63(D) 2.003,33(E) 2.182,83

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27.(Ciências Contábeis-BNDES-2009-Cesgranrio) O investimento, queproporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado auma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, emreais, foi

(A) 12.222,22(B) 13.718,13(C) 13.761,46(D) 14.061,75(E) 14.138,93 28.(Contador-Funasa-2009-Cesgranrio) A Companhia Trilhos obteve umempréstimo no Banco em que opera, com as características apresentadas aseguir.Prazo de resgate: 2 anosTaxa de juros compostos: 12% ao anoValor final a pagar: R$ 150.000,00Com base nesses dados, conclui-se que o valor do empréstimo obtido, emreais, foi

(A) 129.975,80(B) 122.111,11(C) 120.000,00(D) 119.579,08(E) 118.891,99 29.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) Se um empresário aplicar R$ 50.000,00 por um prazo de 3meses, que taxa mensal de juros compostos precisará obter para dobrar ocapital?

(A) 25,99%(B) 25,67%(C) 23,33%(D) 22,50%(E) 16,67% 30.(Técnico de Administração e Controle-Termoceará-2009-Cesgranrio) Uma duplicata no valor de R$ 7.000,00 foi descontada doismeses antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto composta de 2,5%ao mês. O valor do desconto cobrado pelo banco, em reais, foi

(A) 345,63(B) 369,17(C) 370,01(D) 371,99(E) 471,33

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31.(Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo-Ciências Econômicas-DECEA-2009-Cesgranrio) O valor presente da quantia deR$1.000,00, a ser paga de uma só vez, em 6 anos contados a partir da dataatual, é igual a R$ 1.000/(1.05)6, se a taxa anual de juros composto for

(A) 6% a.a.(B) 5% a.a.(C) 30% a.a.(D) 105% a.a.(E) 1.05% a.a 32.(Técnico de Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo-Ciências 3 Econômicas-DECEA-2009-Cesgranrio) Uma pessoa recebe R$ 100,00,quantia que deverá pagar durante 3 anos, com a taxa de juros composto de6% a.a. Ao fim do primeiro ano, a pessoa faz um pagamento de R$ 6,00 aocredor, e o mesmo acontece ao fim do segundo ano. No final do terceiro ano,para liquidar sua dívida, ela deverá pagar, em reais,

(A) 94,00(B) 100,00(C) 106,00(D) 112,00(E) 118,00 33.(Analista-Finanças-Casa da Moeda-2009-Cesgranrio) Na compra deum eletrodoméstico, com preço na etiqueta de R$ 1.000,00, há duas opçõesde pagamento: à vista, com 5% de desconto ou a prazo, com uma entradaimediata de R$ 400,00 e, depois, duas prestações mensais, consecutivas, deR$ 300,00, vencendo a primeira no mês seguinte. Se o comprador tiver osrecursos para comprar à vista e puder aplicar seu dinheiro a 2% a. m., taxa dejuros compostos, para decidir entre as duas opções, ele deverá comparar

(A) 50 com (300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1. 02)2)(B) 550 com (300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1.02)2)(C) 950 x (1.02)2 com (300 x 1.02 + 300)(D) 950 com (300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1.02)2)(E) 1.000 com (400 + 300 ÷ 1.02 + 300 ÷ (1.02)2)

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34.(AFRFB-2009-Esaf) No sistema de juros compostos um capital PVaplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestralresulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado duranteum trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, sea taxa de aplicação trimestral for igual a:

a) 26,25 %b) 40 %c) 13,12 %d) 10,25 %e) 20 %

35.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Uma programação de investimentoconsiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguaisefetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes seráfeito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerandouma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dosmontantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valorde cada depósito é igual a

(A) R$ 10.000,00(B) R$ 10.500,00(C) R$ 11.000,00(D) R$ 11.500,00(E) R$ 12.000,00

36.(Fiscal de Rendas-SP-2009-FCC) Um título é descontado dois anosantes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado odesconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e,se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

(A) R$ 40.000,00(B) R$ 36.000,00(C) R$ 34.000,00(D) R$ 32.000,00(E) R$ 30.000,00

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37.(Auditor-Infraero-2009-FCC) Uma pessoa adquiriu um CDB −Certificado de Depósito Bancário prefixado com vencimento em 60 dias, cujovalor de resgate era R$ 212.000,00. O valor pago pelo investidor no CDB foiR$ 200.000,00. No mesmo período, a economia registrou uma deflação de 1%.A taxa de juros real paga recebida pelo investidor na operação foi

(A) maior que 7%(B) igual a 5%(C) maior que 5% mas inferior a 6%(D) igual a 6%(E) maior que 6%, mas inferior a 7%

38.(Contador-Infraero-2009-FCC) Antônio aplicou R$ 12.000,00 em umbanco que remunera os depósitos de seus clientes a juros simples, a uma taxade 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplicatotalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a umataxa de 5% ao semestre. No final da segunda aplicação, o valor do montante éde

(A) R$ 15.214,50(B) R$ 14.817,60(C) R$ 14.784,40(D) R$ 13.800,00(E) R$ 13.230,00 39.(Analista Judiciário-Auditor-TJ-PI-2009) Certa pessoa física conseguiuum financiamento de R$ 120.000,00 a ser quitado em 60 prestações mensais econsecutivas, à taxa efetiva de 1% ao mês, sendo que a primeira prestaçãovence em 30 dias após a concessão do financiamento. O valor da prestaçãomensal constante é de R$ 2.668,80. O saldo devedor do empréstimo, após opagamento da 1a prestação é, em R$, é igual a

(A) 118.531,20.(B) 117.331,20.(C) 117.600,00.(D) 118.200,00.(E) 117.799,20.

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40.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) Amodernização de uma usina de beneficiamento de petróleo custará 4 bilhõesde reais e será financiada em 10 anuidades de igual valor, a primeira vencendono ato, através de uma taxa de 4% ao ano. É possível usar um dos seguintesfatores de valor presente de séries uniformes:

i(%)1 2 3 4 5

N 8 7,65 7,33 7,02 6,73 6,469 8,57 8,16 7,79 7,44 7,1110 9,47 8,98 8,53 8,11 7,7211 10,37 9,79 9,25 8,76 8,31

Nesta situação, o valor de cada prestação, em milhões de reais, será,aproximadamente,

(A) 439(B) 474(C) 493(D) 538(E) 563 41.(Profissional Júnior-Ciências Contábeis-BR Distribuidora-2008-Cesgranrio) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 10.000,00no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 3 meses. Sabendo-se que orendimento desse título é de 1,25% ao mês (juros compostos), seu valorpresente, em reais, é

(A) 9.638,55(B) 9.634,18(C) 9.625,00(D) 9.555,65(E) 9.333,33 42.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) A taxa dejuros compostos de 1% ao mês é equivalente a que taxa trimestral?

(A) 1,3%(B) 2,0%(C) 2,1%(D) 3,0%(E) 3,03%

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43.(Técnico de Contabilidade-Br Distribuidora-2008-Cesgranrio) Quetaxa de juros compostos mensais permite que um capital de R$ 75.000,00possa dobrar em um período de 6 meses?

(A) 12,2462%(B) 12,50%(C) 14,25%(D) 14,3333%(E) 15,2525% 44.(Petrobrás-Profissional Júnior-Ciências Contábeis-2008-Cesgranrio) Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 10.000,00no seu vencimento, que ocorrerá dentro de 3 meses. Sabendo-se que orendimento desse título é de 1,25% ao mês (juros compostos), seu valorpresente, em reais, é

(A) 9.638,55(B) 9.634,18(C) 9.625,00(D) 9.555,65(E) 9.333,33 45.(Petrobrás-Técnico em Contabilidade-2008-Cesgranrio) Que taxa dejuros compostos mensais permite que um capital de R$ 75.000,00 possadobrar em um período de 6 meses?

(A) 12,2462%(B) 12,50%(C) 14,25%(D) 14,3333%(E) 15,2525% 46.(Bndes-Administração-2008-Cesgranrio) Um indivíduo fez umaaplicação com taxa pré-fixada de 2,25% ao mês. Entretanto, passados 20 dias,precisou fazer o resgate. Suponha que seja possível escolher entre os regimesde capitalização simples ou composto para realizar o resgate desse montante.Pode-se afirmar que o montante obtido:

(A) pelo regime simples será igual ao capital inicial (não haverá juros simples).(B) pelo regime composto será igual ao capital inicial (não haverá juroscompostos).(C) pelo regime composto será maior.(D) pelo regime simples será maior.(E) será o mesmo, considerando os dois regimes de capitalização.

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47.(Agente Judiciário-Administrador-TJ/RO-2008-Cesgranrio) Umcapital de R$ 25.000,00, aplicado por 6 meses, obtém um montante de R$28.992,33. A taxa mensal de juros compostos, aplicada neste caso, foi

(A) 1,137%(B) 1,933%(C) 2,005%(D) 2,222%(E) 2,500% 48.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma aplicação de R$ 10.000,00 peloprazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. Ovalor que a empresa vai resgatar no vencimento da aplicação, em reais, será

(A) 10.612,08(B) 10.620,00(C) 10.822,34(D) 10.888,34(E) 10.913,56 49.(Analista Administrativo-Ciências Contábeis-ANP-2008-Cesgranrio) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicatano valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de descontocomposto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o anocomercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta correnteda empresa, em reais, foi

(A) 28 888,08(B) 28.808,88(C) 27.062,61(D) 26.062,12(E) 26.026,21 50.(Analista Administrativo-Geral-ANP-2008-Cesgranrio) Umdeterminado estado da União tomou um empréstimo de R$1 bilhão junto aoBNDES, a ser pago em 2 anos, considerando uma taxa de juros compostos de10% ao ano. No momento de quitar a dívida, a mesma foi renegociada pormais seis meses, à taxa de 1% ao semestre. A taxa de juros efetiva para todaa operação é, aproximadamente,

(A) 10%(B) 11%(C) 21%(D) 22%(E) 25%

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51.(Ciências Contábeis-BNDES-2008-Cesgranrio) Um aplicador depositou,num determinado fundo, um valor inicial de R$ 2.000,00. O valor acumulado,em reais, ao final de 24 meses, considerando juros compostos de 1% ao mês,será

(A) 2.437,53(B) 2.465,86(C) 2.539,47(D) 2.546,68(E) 2.697,40 52.(Contador-INEA-2008-Cesgranrio) A Empresa Atenas S/A contraiu umempréstimo por um período de 3 meses, com juros compostos de 3% ao mês.O montante que representa o principal mais os juros monta a R$ 200.000,00.Com base nos dados acima, o valor do empréstimo obtido pela empresa, emreais, foi

(A) 177.491,84(B) 181.454,60(C) 183.028,33(D) 183.486.23(E) 184.000,00 53.(Assistente de Suporte Técnico Nível I - Suporte Técnico à Gestão – Contabilidade-Prefeitura/SP-2008-FCC) João depositou R$ 1.000,00 noinício de cada mês durante seis meses consecutivos à taxa de juros de 24% aoano com capitalização mensal. José depositou a mesma importância tambémno início de cada mês pelo mesmo período, mas à taxa de 27% ao ano comcapitalização mensal. O montante obtido por José imediatamente após o últimodepósito foi, neste momento, superior ao de João em R$ 39,68. Sabendo-seque o fator de acumulação de capital (FAC) da taxa efetiva mensal de 2% em6 meses é 6,30812, o FAC, para o mesmo período correspondente à aplicaçãode José, foi equivalente a

(A) 6,26488(B) 6,26844(C) 6,27884(D) 6,31548(E) 6,34780

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54.(Assessor-Contabilidade-MPE/RS-2008-FCC) A taxa nominal i ao ano,com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva anual de

(A)1

1212. (1 ) 1i

+ −

(B)1

1212. (1 ) 112

i + −

(C) 12(1 ) 112

i + −

(D)12

(1 )1

12

i +−

(E)

12

112

i −

55.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) Assumindouma taxa anual de juros de 10% no regime de capitalização composta, opagamento de um empréstimo de R$ 1.000,00 no final de um ano após suaobtenção é equivalente, em termos de fluxo de caixa, ao pagamento, em R$,de duas prestações anuais iguais e sucessivas, vencendo a primeira um anoapós a realização do empréstimo (desprezando os algarismos a partir daterceira casa decimal depois da vírgula) no valor de

(A) 523,81(B) 555,55(C) 568,12(D) 576,19(E) 583,47 56.(Analista Trainee-Contabilidade-Metrô/SP-2008-FCC) A taxa mensalequivalente a uma taxa de juros anual de 12% no regime de capitalizaçãocomposta é (em percentagem):

(A) (0,12/12) × 100(B) (12/100/12) × 100(C) (0,12)1/12× 100(D) [(1,01)12 – 1] × 100(E) [(1,12)1/12 -1] × 100

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57.(TCE-RO-Administrador-2007-Cesgranrio) A Empresa Silva & Filhosobteve um empréstimo pelo qual, ao final de um ano, deverá pagar ummontante de R$ 100.000,00, incluindo principal e juros compostos de 2,5% aomês. O valor atual desse empréstimo, em reais, é:

(A) 70.000,00(B) 74.355,58(C) 75.000,00(D) 76.923,08(E) 78.024,29 58.(Analista de Gestão Corporativa-Contabilidade-EPE-2007-Cesgranrio) Uma aplicação no valor de R$ 3.000,00 em regime de juroscompostos, a uma taxa de 4% ao mês, rendeu R$ 947,80 de juros. Qual foi oprazo de aplicação, em meses?

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8 59.(Analista de Gestão Corporativa-Contabilidade-EPE-2007-Cesgranrio) Determinada empresa comercial aplicou R$ 2.000,00 numCertificado de Depósito Bancário - CDB com vencimento em 30 dias,remuneração de 2% e tributação na fonte (Imposto de Renda) de 15%. Ovalor resgatado, em reais, será:

(A) 1.734,00(B) 2.000,00(C) 2.034,00(D) 2.040,00(E) 2.346,00 60.(Analista de Gestão Corporativa-Finanças e Orçamento-EPE-2007 Cesgranrio) Um débito de R$ 100,00 levou dois meses para ser quitado. Porocasião da quitação, foram cobrados R$ 44,00 de juros. Considerando-se quefoi utilizado o regime de juros compostos, qual a taxa de juros mensalaplicada?

(A) 44%(B) 22%(C) 20%(D) 0,22%(E) 0,20%

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61.(Assistente-Contábil-PBGAS-2007-FCC) João dos Santos fez umaaplicação de R$ 28.500,00 numa instituição financeira por dois anos, comcapitalização composta anual. Sabendo que a taxa composta de juros anual daaplicação correspondeu a 10%, o montante resgatado pelo investidor novencimento da aplicação foi de

(A) R$ 34.200,00(B) R$ 34.485,00(C) R$ 35.200,00(D) R$ 35.485,00(E) R$ 36.200,00

62.(Especialista em Regulação de Saúde Suplementar-Ciências Contábeis-ANS-2007-FCC) Um título é resgatado dois anos antes de seuvencimento segundo o critério do desconto racional composto a uma taxa dejuros compostos de 10% ao ano. Se o valor atual é igual a R$ 15.000,00, ovalor correspondente do desconto é de

(A) R$ 2.850,00.(B) R$ 3.000,00.(C) R$ 3.150,00.(D) R$ 3.300,00.(E) R$ 3.450,00. 63.(Especialista em Regulação de Saúde Suplementar-Ciências Contábeis-ANS-2007-FCC) O custo efetivo do financiamento de umadeterminada operação realizada em um ano foi de 15,5%. Se a taxa deinflação correspondente a este ano foi de 10%, significa que o custo realefetivo referente a esta operação foi de

(A) 4,50%.(B) 5,00%.(C) 5,50%.(D) 5,75%.(E) 6,00%.

64.(Analista Legislativo-Contador-Câmara dos Deputados-2007-FCC)Uma dívida no valor de R$ 46.200,00, na data de hoje, deverá ser quitada pormeio de duas prestações de valores iguais, vencível a primeira daqui a um anoe a segunda daqui a dois anos. Considerando o critério do desconto financeirocomposto a uma taxa de juros de 20% ao ano, tem-se que o valor de cadaprestação é igual a

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(A) R$ 30.240,00(B) R$ 27.720,00(C) R$ 25.200,00(D) R$ 24.960,00(E) R$ 24.720,00

Instrução: Na resolução da questão no 65 utilize a tabela abaixo, que forneceos fatores de valor presente (FVP) de séries uniformes, a uma taxa de 2% ao

mês, sendo FVP dado por(1,02) 1

(1,02) .0,02

n

n

Numero de prestações (n)

FVP

1 0,98042 1,94163 2,88394 3,80775 4,71356 5,60147 6,47208 7,32559 8,162210 8,982611 9,786812 10,5753

65.(Analista Legislativo-Contador-Câmara dos Deputados-2007-FCC)Um automóvel poderá ser adquirido à vista pelo valor de R$ 25.000,00. Ocomprador poderá também adquirir o automóvel dando uma entrada no ato dacompra e o restante em 10 prestações mensais e consecutivas, no valor de R$2.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a data da compra.Utilizando o critério do desconto financeiro composto a uma taxa de 2% aomês, tem-se que o valor da entrada referente à segunda opção que tornaiguais os valores presentes das duas opções, na data da aquisição, é

(A) R$ 8.675,60(B) R$ 7.855,20(C) R$ 7.034,80(D) R$ 5.526,20(E) R$ 3.234,80

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66.(Agente Fiscal de Rendas-Sefaz/SP-2006-FCC) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado à taxa semestral i, durante 2 anos, com capitalizaçãocontínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$200.000,00. Utilizando ln 2 = 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que i éigual a

(A) 14,02%(B) 17,25%(C) 30%(D) 34,5%(E) 69% 67.(AFRF-2005-Esaf) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% aosemestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe àAna pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos acontar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e asegunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo,então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas seráigual a:

a) R$ 220.237,00b) R$ 230.237,00c) R$ 242.720,00d) R$ 275.412,00e) R$ 298.654,00

68.(AFRF-2005-Esaf) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos.Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis mesesapós a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos paraseis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e asdemais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma dasparcelas será igual a:

a) R$ 66.131,00b) R$ 64.708,00c) R$ 62.927,00d) R$ 70.240,00e) R$ 70.140,00

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69.(AFRF-2005-Esaf) Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadoriasno valor de R$ 100.000,00 pagando 30% a vista. No contrato definanciamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido quepara qualquer pagamento que for efetuado até seis meses a taxa de juroscompostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que forefetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. Aempresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$30.000,00 no final do quinto mês e a segunda parcela dois meses após opagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, semconsiderar os centavos, deverá ser igual a:

a) R$ 62.065,00b) R$ 59.065,00c) R$ 61.410,00d) R$ 60.120,00e) R$ 58.065,00 70.(AFRF-2005-Esaf) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes odesconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então ovalor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:

a) R$ 230.000,00b) R$ 250.000,00c) R$ 330.000,00d) R$ 320.000,00e) R$ 310.000,00

GABARITO:

1 – A 11 – E 21 – C 31 – B 41 – B 51 – C 61 – B2 – B 12 – Errado 22 – A 32 – C 42 – E 52 – C 62 – C3 – E 13 – Certo 23 – C 33 – B 43 – A 53 – E 63 – B4 – Certo 14 – Certo 24 – C 34 – D 44 – B 54 – C 64 – A5 – Certo 15 – Errado 25 – B 35 – E 45 – A 55 – D 65 – C6 – Certo 16 – Errado 26 – C 36 – B 46 – D 56 – E 66 – D7 – Certo 17 – B 27 – B 37 – A 47 – E 57 – B 67 – A8 – Certo 18 – D 28 – D 38 – B 48 – A 58 – D 68 – C9 – Errado 19 – B 29 – A 39 – A 49 – E 59 – C 69 – E10 – Errado 20 – C 30 – A 40 – B 50 – D 60 – C 70 – B

Bibliografia Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática,Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.