4
Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQA MAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014 Questão 1: (2.5 pontos) A lemniscata é uma curva plana conhecida pela sua semelhança com o símbolo de infinito . Considere a lemniscata dada pela equação: x 2 4 + y 2 9 2 = x 2 4 - y 2 9 . a) Faça um esboço da curva. b) Determine o ângulo de inclinação das retas tangentes à curva no ponto (0, 0). Fazendo as substituições: x =2r cos θ e y =3r sen θ, temos: x 2 4 + y 2 9 2 = x 2 4 - y 2 9 (2r cos θ) 2 4 + (3r sen θ) 2 9 2 = (2r cos θ) 2 4 - (3r sen θ) 2 9 r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ 2 = r 2 cos 2 θ - r 2 sen 2 θ r 4 = r 2 (cos 2 θ - sen 2 θ) r 2 = cos 2 θ - sen 2 θ r 2 = cos(2θ) 0 r cos 2θ Como: cos(2θ)= r 2 0 Página 1 de 4

2014.2.c3.2c_gab

Embed Size (px)

DESCRIPTION

integral de linha

Citation preview

  • Instituto de Matemtica - IM/UFRJClculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQA

    MAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014

    Questo 1: (2.5 pontos)A lemniscata uma curva plana conhecida pela sua semelhana com o smbolo de infinito .Considere a lemniscata dada pela equao:(

    x2

    4 +y2

    9

    )2= x

    2

    4 y2

    9 .

    a) Faa um esboo da curva.

    b) Determine o ngulo de inclinao das retas tangentes curva no ponto (0, 0).

    Fazendo as substituies: x = 2r cos e y = 3r sen , temos:(x2

    4 +y2

    9

    )2= x

    2

    4 y2

    9(

    (2r cos )24 +

    (3r sen )29

    )2= (2r cos )

    2

    4 (3r sen )2

    9(r2 cos2 + r2 sen2

    )2= r2 cos2 r2 sen2

    r4 = r2(cos2 sen2 )r2 = cos2 sen2

    r2 = cos(2)

    0 r

    cos 2Como:

    cos(2) = r2 0

    Pgina 1 de 4

  • Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)

    cos(2) 0pi2 2

    pi

    2pi4

    pi

    4

    ou

    5pi4 5pi4

    c) Calcule a rea determinada pela curva.

    Como x = 2r cos e y = 3r sen , vamos calcular o jacobiano da transformao:

    (x, y)(r, ) = 6r

    Em seguida, calculamos a rea da metade de um dos laos (chamaremos essa regio de regio A)que, por simetria, corresponde a um quarto da rea dos dois laos da curva:

    rea(lemniscata) = 4Adxdy = 4

    pi/40

    cos20

    6rdrd = (...) = 6

    Questo 2: (2.5 pontos)Calcule a integral de superfce

    S

    1 + x2 + y2dS,

    onde S o helicoide de equao paramtrica r(u, v) = (u cos v, u sen v, v), 0 u 1 e 0 v pi.

    ru = (cos v, sen v, 0)rv = (u sen v, u cos v, 1)ru rv = (sen v, cos v, u)|ru rv| =

    1 + u2

    dS =

    1 + u2dudvPela equao do helicoide, temos que:

    x = u cos v, y = u sen v e z = v

    Logo: 1 + x2 + y2 =

    1 + u2

    Pgina 2 de 4

  • Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)

    Portanto: S

    1 + x2 + y2dS =

    pi0

    10

    (

    1 + u2)2dudv = 4pi3

    Questo 3: (2.5 pontos)Calcule

    (4xy 3x2z2)dx+ 2x2dy 2x3zdz,

    onde a interseo da superfciex2

    3 +y2

    4 + z2 = 1,

    z 0, com o plano y = 1. Indique a orientao escolhida.

    Chamemos de F = (4xy 3x2z2, +2x2, 2x3z).Temos tambm que a equao da curva pode ser escrita:

    x2

    3 +14 + z

    2 = 1

    x2

    9/4 +z2

    3/4 = 1

    Pelo teorema de Stokes: Fdr =

    Srot(F)dS

    Clculo do rot(F):

    rot(F) =

    ~i ~j ~kx

    y

    z

    4xy 3x2z2 2x2 2x3z

    = (0, 0, 0)Portanto, idependente da orientao, temos que:

    CFdr =

    Srot(F)dS = 0

    Seja C = , onde o segmento de reta que liga as extremidades de parametrizado por:

    (t) = (0, 1, t

    32 ), 1 t 1

    Logo:

    (t) = (0, 0,

    32 )

    (4xy 3x2z2)dx+ 2x2dy 2x3zdz =

    11

    0dt = 0

    Como: CFdr =

    Fdr+

    Fdr

    0 =Fdr+ 0

    Fdr = 0

    Pgina 3 de 4

  • Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)

    Questo 4: (2.5 pontos)Calcule

    SF dS,

    ondeF(x, y, z) = (z2x, y

    3

    3 + tg z, x2z + y2)

    e S o hemisfrio acima do plano Oxy, ou seja, z 0, pertencente esfera de equao x2+y2+z2 = 1.Observao: S no uma superfcie fechada! Ateno ao aplicar o Teorema de Gau.

    Seja S = S D, onde D o disco formado pelo bordo do hemisfrio S de modo que S seja umasuperfcie fechada. Logo:

    SF dS =

    SF dS

    DF dS (1)

    Assim, vamos calcular cada uma dessas integrais:Note que como a superfcie S fechada, podemos utilizar o teorema de Gau, mas para issoprecisamos calcular o div(F):

    div(F) = F = x2 + y2 + z2

    Assim, utilizando coordenadas esfricas, temos:SF dS =

    Wdiv(F)dV =

    Wx2 + y2 + z2dV =

    2pi0

    pi/20

    102 2 senddd = 2pi5

    Enquanto que na integral de superfcie sobre o disco D, com o vetor normal orientado parabaixo, n = (0, 0,1), temos:DFdS =

    D

    (z2x, y3

    3 +tg z, x2z+y2)(0, 0, 1)dS =

    Dy2dA =

    2pi0

    10r2 sen2 rdrd = pi4

    Portanto, substituindo os valores encontrados na equao (1):SF dS = 2pi5 +

    pi

    4 =13pi20

    Pgina 4 de 4 Bons estudos!