Instituto de Matemtica - IM/UFRJClculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQA

MAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014

Questo 1: (2.5 pontos)A lemniscata uma curva plana conhecida pela sua semelhana com o smbolo de infinito .Considere a lemniscata dada pela equao:(

x2

4 +y2

9

)2= x

2

4 y2

9 .

a) Faa um esboo da curva.

b) Determine o ngulo de inclinao das retas tangentes curva no ponto (0, 0).

Fazendo as substituies: x = 2r cos e y = 3r sen , temos:(x2

4 +y2

9

)2= x

2

4 y2

9(

(2r cos )24 +

(3r sen )29

)2= (2r cos )

2

4 (3r sen )2

9(r2 cos2 + r2 sen2

)2= r2 cos2 r2 sen2

r4 = r2(cos2 sen2 )r2 = cos2 sen2

r2 = cos(2)

0 r

cos 2Como:

cos(2) = r2 0

Pgina 1 de 4

Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)

cos(2) 0pi2 2

pi

2pi4

pi

4

ou

5pi4 5pi4

c) Calcule a rea determinada pela curva.

Como x = 2r cos e y = 3r sen , vamos calcular o jacobiano da transformao:

(x, y)(r, ) = 6r

Em seguida, calculamos a rea da metade de um dos laos (chamaremos essa regio de regio A)que, por simetria, corresponde a um quarto da rea dos dois laos da curva:

rea(lemniscata) = 4Adxdy = 4

pi/40

cos20

6rdrd = (...) = 6

Questo 2: (2.5 pontos)Calcule a integral de superfce

S

1 + x2 + y2dS,

onde S o helicoide de equao paramtrica r(u, v) = (u cos v, u sen v, v), 0 u 1 e 0 v pi.

ru = (cos v, sen v, 0)rv = (u sen v, u cos v, 1)ru rv = (sen v, cos v, u)|ru rv| =

1 + u2

dS =

1 + u2dudvPela equao do helicoide, temos que:

x = u cos v, y = u sen v e z = v

Logo: 1 + x2 + y2 =

1 + u2

Pgina 2 de 4

Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)

Portanto: S

1 + x2 + y2dS =

pi0

10

(

1 + u2)2dudv = 4pi3

Questo 3: (2.5 pontos)Calcule

(4xy 3x2z2)dx+ 2x2dy 2x3zdz,

onde a interseo da superfciex2

3 +y2

4 + z2 = 1,

z 0, com o plano y = 1. Indique a orientao escolhida.

Chamemos de F = (4xy 3x2z2, +2x2, 2x3z).Temos tambm que a equao da curva pode ser escrita:

x2

3 +14 + z

2 = 1

x2

9/4 +z2

3/4 = 1

Pelo teorema de Stokes: Fdr =

Srot(F)dS

Clculo do rot(F):

rot(F) =

~i ~j ~kx

y

z

4xy 3x2z2 2x2 2x3z

= (0, 0, 0)Portanto, idependente da orientao, temos que:

CFdr =

Srot(F)dS = 0

Seja C = , onde o segmento de reta que liga as extremidades de parametrizado por:

(t) = (0, 1, t

32 ), 1 t 1

Logo:

(t) = (0, 0,

32 )

(4xy 3x2z2)dx+ 2x2dy 2x3zdz =

11

0dt = 0

Como: CFdr =

Fdr+

Fdr

0 =Fdr+ 0

Fdr = 0

Pgina 3 de 4

Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)

Questo 4: (2.5 pontos)Calcule

SF dS,

ondeF(x, y, z) = (z2x, y

3

3 + tg z, x2z + y2)

e S o hemisfrio acima do plano Oxy, ou seja, z 0, pertencente esfera de equao x2+y2+z2 = 1.Observao: S no uma superfcie fechada! Ateno ao aplicar o Teorema de Gau.

Seja S = S D, onde D o disco formado pelo bordo do hemisfrio S de modo que S seja umasuperfcie fechada. Logo:

SF dS =

SF dS

DF dS (1)

Assim, vamos calcular cada uma dessas integrais:Note que como a superfcie S fechada, podemos utilizar o teorema de Gau, mas para issoprecisamos calcular o div(F):

div(F) = F = x2 + y2 + z2

Assim, utilizando coordenadas esfricas, temos:SF dS =

Wdiv(F)dV =

Wx2 + y2 + z2dV =

2pi0

pi/20

102 2 senddd = 2pi5

Enquanto que na integral de superfcie sobre o disco D, com o vetor normal orientado parabaixo, n = (0, 0,1), temos:DFdS =

D

(z2x, y3

3 +tg z, x2z+y2)(0, 0, 1)dS =

Dy2dA =

2pi0

10r2 sen2 rdrd = pi4

Portanto, substituindo os valores encontrados na equao (1):SF dS = 2pi5 +

pi

4 =13pi20

Pgina 4 de 4 Bons estudos!