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Instituto de Matemtica - IM/UFRJClculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQA
MAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014
Questo 1: (2.5 pontos)A lemniscata uma curva plana conhecida pela sua semelhana com o smbolo de infinito .Considere a lemniscata dada pela equao:(
x2
4 +y2
9
)2= x
2
4 y2
9 .
a) Faa um esboo da curva.
b) Determine o ngulo de inclinao das retas tangentes curva no ponto (0, 0).
Fazendo as substituies: x = 2r cos e y = 3r sen , temos:(x2
4 +y2
9
)2= x
2
4 y2
9(
(2r cos )24 +
(3r sen )29
)2= (2r cos )
2
4 (3r sen )2
9(r2 cos2 + r2 sen2
)2= r2 cos2 r2 sen2
r4 = r2(cos2 sen2 )r2 = cos2 sen2
r2 = cos(2)
0 r
cos 2Como:
cos(2) = r2 0
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Clculo Diferencial e Integral III - IFA/FM/IGA/IQAMAC238 - Respostas da Segunda Chamada - 26/11/2014(continuao)
cos(2) 0pi2 2
pi
2pi4
pi
4
ou
5pi4 5pi4
c) Calcule a rea determinada pela curva.
Como x = 2r cos e y = 3r sen , vamos calcular o jacobiano da transformao:
(x, y)(r, ) = 6r
Em seguida, calculamos a rea da metade de um dos laos (chamaremos essa regio de regio A)que, por simetria, corresponde a um quarto da rea dos dois laos da curva:
rea(lemniscata) = 4Adxdy = 4
pi/40
cos20
6rdrd = (...) = 6
Questo 2: (2.5 pontos)Calcule a integral de superfce
S
1 + x2 + y2dS,
onde S o helicoide de equao paramtrica r(u, v) = (u cos v, u sen v, v), 0 u 1 e 0 v pi.
ru = (cos v, sen v, 0)rv = (u sen v, u cos v, 1)ru rv = (sen v, cos v, u)|ru rv| =
1 + u2
dS =
1 + u2dudvPela equao do helicoide, temos que:
x = u cos v, y = u sen v e z = v
Logo: 1 + x2 + y2 =
1 + u2
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Portanto: S
1 + x2 + y2dS =
pi0
10
(
1 + u2)2dudv = 4pi3
Questo 3: (2.5 pontos)Calcule
(4xy 3x2z2)dx+ 2x2dy 2x3zdz,
onde a interseo da superfciex2
3 +y2
4 + z2 = 1,
z 0, com o plano y = 1. Indique a orientao escolhida.
Chamemos de F = (4xy 3x2z2, +2x2, 2x3z).Temos tambm que a equao da curva pode ser escrita:
x2
3 +14 + z
2 = 1
x2
9/4 +z2
3/4 = 1
Pelo teorema de Stokes: Fdr =
Srot(F)dS
Clculo do rot(F):
rot(F) =
~i ~j ~kx
y
z
4xy 3x2z2 2x2 2x3z
= (0, 0, 0)Portanto, idependente da orientao, temos que:
CFdr =
Srot(F)dS = 0
Seja C = , onde o segmento de reta que liga as extremidades de parametrizado por:
(t) = (0, 1, t
32 ), 1 t 1
Logo:
(t) = (0, 0,
32 )
(4xy 3x2z2)dx+ 2x2dy 2x3zdz =
11
0dt = 0
Como: CFdr =
Fdr+
Fdr
0 =Fdr+ 0
Fdr = 0
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Questo 4: (2.5 pontos)Calcule
SF dS,
ondeF(x, y, z) = (z2x, y
3
3 + tg z, x2z + y2)
e S o hemisfrio acima do plano Oxy, ou seja, z 0, pertencente esfera de equao x2+y2+z2 = 1.Observao: S no uma superfcie fechada! Ateno ao aplicar o Teorema de Gau.
Seja S = S D, onde D o disco formado pelo bordo do hemisfrio S de modo que S seja umasuperfcie fechada. Logo:
SF dS =
SF dS
DF dS (1)
Assim, vamos calcular cada uma dessas integrais:Note que como a superfcie S fechada, podemos utilizar o teorema de Gau, mas para issoprecisamos calcular o div(F):
div(F) = F = x2 + y2 + z2
Assim, utilizando coordenadas esfricas, temos:SF dS =
Wdiv(F)dV =
Wx2 + y2 + z2dV =
2pi0
pi/20
102 2 senddd = 2pi5
Enquanto que na integral de superfcie sobre o disco D, com o vetor normal orientado parabaixo, n = (0, 0,1), temos:DFdS =
D
(z2x, y3
3 +tg z, x2z+y2)(0, 0, 1)dS =
Dy2dA =
2pi0
10r2 sen2 rdrd = pi4
Portanto, substituindo os valores encontrados na equao (1):SF dS = 2pi5 +
pi
4 =13pi20
Pgina 4 de 4 Bons estudos!