2018

PISM III

MATEMÁTICA – MÓDULO I

GEOMETRIA ANALÍTICA

LÚCIA HELENA CAMPOS CORRÊA – PROFESSORA SUPERVISORA

Plano Cartesiano O Plano Cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal (abscissa) e outro vertical (ordenada).

O plano cartesiano é formado por dois eixos, um horizontal e outro vertical

O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano

Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar

pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e

outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal

é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são

enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a

seguir uma figura representativa do plano cartesiano:

As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados

(x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando

primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que não

se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes, veja:

1º quadrante = x > 0 e y > 0 2º quadrante = x < 0 e y > 0 3º quadrante = x < 0 e y < 0 4º quadrante = x > 0 e y < 0

Localizando pontos no Plano Cartesiano:

A (4 ; 3) → x = 4 e y = 3

B (1 ; 2) → x = 1 e y = 2

C ( –2 ; 4) → x = –2 e y = 4

D (–3 ; –4) → x = –3 e y = –4

E (3 ; –3) → x = 3 e y = –3

O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções,

onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y,

a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas

é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando

a observação do comportamento de funções em alguns pontos

considerados críticos.

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas

relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de

posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que

saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão

um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude

com o auxílio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do

GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e

informados em qual rota devem seguir viagem.

Distância entre dois pontos

Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a

Álgebra e a Geometria, abrangendo situações em que são envolvidos

ponto, reta e figuras espaciais. Um conceito básico de Geometria deve ser

aproveitado na GA, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos: “por

dois pontos passa apenas uma reta”.

Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A

e B.

Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto

A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde

os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.

Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do

triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de

Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos

podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância

entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC: yb – ya Cateto AC: xb – xa

Hipotenusa AB: distância (D)

Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados dos catetos”

Exemplo 1

Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.

xa: 2

xb: 4

ya: -3

yb: 5

Exemplo 2

Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9).

xa: -2

xb: -5

ya: 3

yb: -9

Segmentos proporcionais

As medidas entre segmentos de reta são proporcionais quando a razão entre

essas medidas, seguindo uma ordem preestabelecida, tem o mesmo resultado.

Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva em Geometria0 Comentários

Segmentos, dois a dois, cujas razões são iguais

Antes de discutir segmentos proporcionais, é importante compreender

bem as proporções, que, por sua vez, exigem conhecimento a respeito de

razões.

A divisão entre números reais é chamada de razão. As razões podem ser

representadas de diversas formas. A representação que será utilizada aqui

é a de frações, portanto, se a razão entre os números reais A e B tiver

como resultado o número C, escreveremos:

A = C

B

É importante notar que razões são utilizadas para relacionar

grandezas. Assim, se calcularmos a razão entre as grandezas “distância

percorrida” e “tempo”, por exemplo, teremos a grandeza “velocidade

média” como resultado.

Deslocamento = velocidade média

tempo

Quando duas razões possuem o mesmo resultado, dizemos que

essas razões (ou as grandezas em que foram observadas) são

proporcionais. Dessa forma, podemos estudar a proporcionalidade entre

duas grandezas observando os valores delas em momentos distintos e

dividindo esses valores a fim de construir uma proporção.

Por exemplo: Uma pessoa de 1,8 m de altura possui uma sombra de 1

metro, e uma árvore de 3,6 m de altura possui uma sombra de 2 metros.

A razão entre altura e sombra da pessoa é igual à mesma razão da árvore,

pois ambas têm como resultado 1,8.

1,8 = 3,6 = 1,8

1 2

Logo, altura e sombra são grandezas proporcionais.

O mesmo vale para segmentos de reta. Ao dividir as medidas entre dois

segmentos de reta, obteremos a razão entre eles.

Dizemos que quatro segmentos de reta são proporcionais quando a

razão entre as medidas de dois deles forem iguais à razão entre as

medidas dos dois restantes.

Em outras palavras, de acordo com a imagem acima, os segmentos AB,

CD, EF e GH são proporcionais porque:

AB = EF = 0,5

CD GH

Com essa informação, é possível descobrir a medida de um dos quatro

segmentos. Observe o exemplo:

Caso o problema mostre de alguma forma que os segmentos são

proporcionais, seguindo a mesma ordem citada anteriormente, podemos

facilmente encontrar a medida do segmento AB. Para tanto, basta

escrever:

AB = EF

CD GH

Substitua as medidas:

AB = 4

12 16

Como 4/16 = 0,25, devemos procurar o número que, ao ser dividido por

12, resulta em 0,25. Agora resolvemos a equação:

AB = 0,25

12

AB = 0,25 · 12

AB = 3

Portanto, AB mede 3 centímetros.

Ponto médio de um seguimento de reta

Segmento de reta é limitado por dois pontos de uma reta. Por

exemplo, considere a reta r e dois pontos A e B que pertencem a essa

reta.

A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.

Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento

(distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto

médio (ponto que separa o segmento ao meio).

Se o ponto fosse A (2,1) e B (3,4), qual seria as coordenadas do ponto

médio?

Utilizando o Teorema de Tales, podemos dizer que:

AM = A1M1

MB M1B1

Os segmentos AM e MB são iguais, pois M é o ponto médio de A e B,

assim podemos escrever:

1 = A1M1

M1 B1

x A = 2, então A1M1 = xM – 2

x B = 3, então M1B1 = 3 – xM

Substituindo A1M1 = xM – 2 e M1B1 = 3 – xM em 1 = A1M1, teremos:

M1B1

1 = A1M1

M1B1

1 = xM – 2

3 – xM

xM – 2 = 3 – xM

2xM = 3 + 2

xM = 3+2

2

xM = 5/2

Podemos concluir que a abscissa xM é a media entre as abscissas xA e

xB, portando yM será a mediana de yA e yB.

y M = 4 + 1

2

y M = 5/2

Portanto, o ponto médio M terá coordenadas iguais a (5/2, 5/2).

Assim, a forma geral para o cálculo das coordenadas de um ponto médio

será:

xM = xA + xB

2

yM = yA + yB

2

Baricentro do triângulo

Baricentro

O estudo da geometria analítica é fundamentado nos cálculos de

coordenadas e distâncias entre pontos, tendo as suas respectivas

especificidades. Por ora veremos um estudo relacionado ao baricentro de

um triângulo.

O triângulo é, sem dúvidas, a figura mais estudada na matemática e possui

grande aplicabilidade em outras áreas como, por exemplo, na construção

civil. Existem muitas relações métricas no triângulo, entretanto focaremos

nos conceitos do baricentro e na obtenção das coordenadas do baricentro

de um triângulo.

O baricentro é determinado pelo encontro das medianas de um triângulo.

Sem grandes necessidades de demonstração, podemos afirmar que as

medianas de um triângulo sempre vão se intersectar em um único ponto,

sendo este o baricentro. Assim como podemos ver no triângulo abaixo,

onde M, N, P são pontos médios respectivamente dos segmentos BC, AB,

AC.

Note que nessa construção geométrica, ao traçarmos os segmentos de

reta das medianas, elas se intersectaram em um ponto G, sendo este

ponto o baricentro do triângulo ABC.

Determinaremos um triângulo no plano cartesiano para analisarmos as

coordenadas em relação ao ponto G (o baricentro).

Temos as seguintes coordenadas:

Para determinar as coordenadas do baricentro, relacionaremos as

coordenadas dos três pontos desse triângulo. Essa relação é determinada

da seguinte forma:

Dessa maneira, podemos escrever as coordenadas do baricentro

utilizando apenas as coordenadas dos pontos do triângulo:

Tendo isso, podemos ter casos em que: se conhecermos as três

coordenadas dos vértices do triângulo será possível encontrar o baricentro

deste triângulo; ou ainda, se tivermos as coordenadas do baricentro e

apenas dois vértices, podemos encontrar a coordenada desse terceiro

vértice utilizando a relação das coordenadas de x e y do baricentro e seus

vértices.

Exercícios Extras (conteúdo: Ponto Médio e Baricentro)

1) Determine o ponto médio do segmento AB, em que A = (3, 2) e B = (9, 8).

2) Determine o baricentro do triângulo ABC, em que A = (3, 2), B = (0, 0) e C = (9, 1)

3) Os pontos A(3, -1) e B(5, 5) são as extremidades de um diâmetro de uma circunferência.

Determine o centro dessa circunferência.

4) Determine o ponto simétrico ao ponto A(10, 12) em relação ao ponto M(7, 2).

5) Considere um paralelogramo ABCD. Determine o vértice C, sabendo que A = (0, 1),

B = (3, -2) e D = (-5, 5).

Vestibulares 6) (FGV/adm - 2012/2) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 7) (FGV/adm - 2012/1) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios respectivamente dos lados AB , BC e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 8) (UFJF) Se (2, 1), (3, 3) e (6, 2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? a) (-1, 2), (5, 0), (7, 4) b) (2, 2), (2, 0), (4, 4) c) (1, 1), (3, 1), (5, 5) d) (3, 1), (1, 1), (3, 5) e) n.d.a. 9) (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3), o baricentro (ponto de encontro das medianas) é: a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2) d) (1, 5/3) e) (0, 3/2) 10) (Ulbra) As coordenadas do baricentro G do triângulo ABC onde M (-1/2,3/2) , N(1,3/2) e P(1/2,0) são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, são: a) (1/2,2/3) b) (1/3,1) c) (1/2,3/2) d) (1/4,2) e) (2/3,1)

Gabarito: 1) (6, 5) 2) (4, 1) 3) (4, 2) 4) (4, -8) 5) (-2, 2) 6) b 7) c 8) a 9) d 10) b

Área do triângulo

Considere um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, yA), B(xB,

yB) e C(xC, yC). A área desse triângulo é dada por:

Observe que a área é obtida multiplicando ½ pelo módulo do

determinante das coordenadas dos vértices.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo de vértices A(3, 3), B(6, 3)

e C(3, 5).

Solução: vamos fazer o cálculo do determinante das coordenas dos

vértices do triângulo.

Exemplo 2. Determine o valor de k para que o triângulo de vértices A(0,

0), B(k, 0) e C(0, k) tenha uma área de 32 unidades de área.

Solução: primeiro devemos realizar o cálculo do determinante das

coordenadas dos vértices do triângulo. Teremos:

Exemplo 3. Calcule a área do triângulo de vértices A(0, 2), B(8, 6) e

C(14, – 8).

Solução: realizando o cálculo do determinante das coordenadas dos

vértices dos triângulos, obtemos:

Por Marcelo Rigonatto

Equação da Reta

A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano

(x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos

determinar sua equação.

Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das

coordenadas de um ponto que lhe pertença.

Equação geral da reta

Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral

da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.

Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.

Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é

igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:

Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:

(ya - yb) x + (xa - xb) y + xayb - xb - ya = 0

Vamos chamar:

a = (ya - yb)

b = (xa - xb)

c = xayb - xb - ya

A equação geral da reta é definida como:

ax + by + c = 0

Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Exemplo

Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).

Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o

matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.

Desenvolvendo o determinante, encontramos:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:

9x - 4y + 41 = 0

Equação reduzida da reta

Coeficiente angular Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou

seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.

Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal

que:

m = tg θ

O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos

pertencentes a reta.

Como m = tg θ, então:

Exemplo

Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3).

Sendo,

x1 = 1 e y1 = 4

x2 = 2 e y2 = 3

Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela,

podemos definir sua equação.

Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um

ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:

Exemplo

Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular

3.

Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados:

y - 4 = 3 (x - 2)

y - 4 = 3x - 6

-3x + y + 2 = 0

Coeficiente linear O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta

o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).

Utilizando esse ponto, temos:

y - n = m (x - 0)

y = mx + n (Equação reduzida da reta).

Exemplo

Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente

angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Como temos a equação reduzida da reta, então:

m = 1

Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º

O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto

será P(0,5)

Equação segmentária da reta

Podemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o

eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:

Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos:

Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:

Exemplo

Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem

coeficiente angular 2.

Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente

angular:

Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta:

Exercícios Resolvidos 1) Dada a reta que tem a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular.

VER RESPOSTA

4y = - 2x + 9

y = - 2/4 x + 9/4

y = - 1/2 x + 9/4

Logo m = - 1/2

2) Escreva a equação da reta 3x + 9y - 36 = 0 na forma reduzida.

VER RESPOSTA

y = -1/3 x + 4

3) ENEM - 2016

Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos

para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo

de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso

aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá

descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas

por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser

alterada para que o

objetivo fosse alcançado.

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B

deverá

a) diminuir em 2 unidades.

b) diminuir em 4 unidades.

c) aumentar em 2 unidades.

d) aumentar em 4 unidades.

e) aumentar em 8 unidades.

VER RESPOSTA

Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B.

Lembrando que m= tg Ɵ, temos:

m1 = 12/6 = 2

Para passar pelo ponto de altura máxima da trajetória de A, o coeficiente angular da reta

B terá que ter o seguinte valor:

m2 = 16/4 = 4

Assim o coeficiente angular da reta B terá que passar de 2 para 4, logo aumentará 2

unidades.

Alternativa c: aumentar 2 unidades

Por: Rosimar GouveiaProfessora de Matemática e Física

Cálculo do Coeficiente Angular

O coeficiente angular, também chamado de declividade de uma reta, determina a

inclinação de uma reta.

Fórmulas Para calcular o coeficiente angular de uma reta utiliza-se a seguinte fórmula:

m = tg α

Sendo m um número real e α o ângulo de inclinação da reta.

Atenção!

Quando o ângulo é igual a 0º: m = tg 0 = 0

Quando o ângulo α é agudo (menor que 90º): m = tg α > 0

Quando o ângulo α é reto (90º): não é possível calcular o coeficiente angular, pois não

existe a tangente de 90º

Quando o ângulo α é obtuso (maior que 90º) : m = tg α < 0

Representação das retas e seus ângulos Para calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos devemos dividir

a variação entre os eixos x e y:

Uma reta que passa por A (xa,ya) e B (xb,yb) temos a relação:

Essa relação pode ser escrita da seguinte forma:

Onde,

Δy: representa a diferença entre as ordenadas de A e B

Δx: representa a diferença entre as abcissas de A e B

Exemplo:

Para compreender melhor vamos calcular o coeficiente angular da reta que passa por A

(– 5; 4) e B (3,2):

m = Δy/Δx

m = 4 – 2 / –5 – 3

m = 2/–8

m = –1/4

Esse valor é referente ao cálculo de diferença de A para B.

Da mesma forma, poderíamos calcular a diferença de B para A e o valor seria o mesmo:

m = Δy/Δx

m = 2 – 4 / –3 –(– 5)

m = –2/8

m = –1/4

Coeficiente Angular e Linear Nos estudos das funções de primeiro grau calculamos os coeficiente angular e linear da

reta.

Lembre-se que a função de primeiro grau é representada da seguinte maneira:

f(x) = ax + b

Onde a e b são números reais e a≠0.

Como vimos acima, o coeficiente angular é dado pelo valor da tangente do ângulo que a

reta forma com o eixo de x.

Já o coeficiente linear é aquele que corta o eixo y do plano cartesiano. Na representação

da função de primeiro grau f(x) = ax + b temos que:

a: coeficiente angular (eixo x)

b: coeficiente linear (eixo y)

Exercícios de Vestibular com Gabarito 1. (UFSC-2011) A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com

A=(0,3) e B=(5,0) tem qual coeficiente angular?

a) 3/5

b) 2/5

c) 3/2

d) 1

VER RESPOSTA

Alternativa c: 3/2

2. (UDESC-2008) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que

passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14) é:

a) 4

b) –5

c) 3

d) 2

e) 5

VER RESPOSTA

Alternativa e: 5

Posições relativas de duas retas Publicado por: Danielle de Miranda em Geometria analítica0 Comentários

Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma

paralela ou concorrente. Mas cada uma dessas formas possui

características e elementos que ajudam na identificação da forma que

estão dispostas no plano, sem ser preciso construir o gráfico.

Retas paralelas

Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou

todos em comum e seus coeficientes angulares forem iguais ou não

existirem.

As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao

eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os

pontos em comum. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus

coeficientes angulares não irão existir.

As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares

serão iguais.

As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os

pontos em comum. E os seus coeficientes angulares serão iguais.

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em

comum. E seus coeficientes angulares poderão ser diferentes ou um

existir e o outro não.

As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes

de 90°. Assim, seus coeficientes angulares serão diferentes.

As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo

assim seu coeficiente angular não irá existir, mas o coeficiente da reta u

existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.

ÁLGEBRA

ESTUDO DOS POLINÔMIOS

Chama-se polinômio na variável real x, toda a expressão da forma p(x) = a0xn + a2xn-1 + a2xn-2 + an-1x1 onde N .

Raiz ou zero do Polinômio Trata-se do valor de P(x) que faz: P(x) = 0 A existência das raízes da equação P(x) = 0 é garantida pelo teorema fundamental da álgebra, atribuído a D´Alembert: "Toda equação polinomial tem pelo menos uma raiz, real ou complexa”.

Valor Numérico de um polinômio Para x = b é representado por P(b) = a0 . bn + a1 . bn-1 + a2 . bn-2 +an

Grau de um Polinômio Chama-se grau de um polinômio P(x) 0, o número n tal que n é o maior valor de n , para o qual an 0 (onde n = 0,1,2,3 ...)

Exemplos P(x) = 2x3 - 3x + 1 Grau 3 P(x) = 5 Grau 0

P(x) = x2 - 3x + 7 Grau 2

Polinômio Nulo Diz se que um polinômio P(x) é identicamente nulo se P(a) = 0 para qualquer a.

Operações com Polinômios Soma / Subtração de Polinômios

Da álgebra elementar temos que nós só podemos somar e/ou subtrair termos semelhantes, ou seja, termos que possuam expoentes iguais.

Exemplos P(x) = 3x4 - 7x3 + 5x2 + 12x - 8 Q(x) = x4 - 12x2 + 7x + 2 P(x) + Q(x) = 4x4 - 7x3 - 7x2 + 19x - 6 P(x) - Q(x) = 2x4 - 7x3 + 17x2 + 5x - 10

Multiplicação de Polinômios

Exemplo (2x2 - 7x + 4) . (x3 + 2x) = 2x5 + 4x3 - 7x4 - 14x2 + 4x3 + 8x

Divisão de Polinômios

Método da chave:

Exemplo

Assim o Q(x) = é o quociente da divisão e R(x)= 9/4 é o resto.

Teoremas Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio p (x) por x – c é o valor numérico de p(x) em c, isto

é, o resto é p (c).

Exemplo

Calcular o resto da divisão de f = x3 - 2x2 + 3 por x - 1.

r = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2

Teorema de D´Alembert

Um polinômio p (x) é divisível por x – c se, e somente se, p (c) = 0.

Dispositivo de Briot – Ruffini

Dividir x3 - 7x - 6 por x - 3. Observando que x3 - 7x - 6 = x3 + 0x2 - 7x - 6, temos:

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para fazer a divisão

de polinômios. Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro

polinômio Q(x), utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, é

fundamental que o polinômio Q(x) seja da forma x + u ou x – u, isto é,

deve ser um binômio de 1° grau. Através desse dispositivo, podemos

identificar facilmente o quociente e o resto da divisão.

Para utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, precisamos

primeiramente analisar o polinômio do divisor e encontrar sua raiz. Em

seguida, devemos identificar todos os coeficientes numéricos do polinômio

do dividendo. Vamos considerar a divisão entre os polinômios P(x) e Q(x),

em que P(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 +... + an-1x1 + an e Q(x) = x – u. A raiz

do polinômio Q(x) é dada quando ele é igualado a zero. Portanto, a raiz de

Q(x) é:

Q(x) = 0

x – u = 0

x = u

Os coeficientes de P(x) são a1, a2, a3, …, an-1, an. A montagem do

dispositivo de Briot-Ruffini a partir da raiz de Q(x) e dos coeficientes de

P(x) é dada da seguinte forma:

Método de utilização do dispositivo prático de Briot-Ruffini Para montar o dispositivo de Briot-Ruffini, colocamos a raiz de Q(x) à

esquerda e os coeficientes de P(x) à direita, além de reescrever o primeiro

coeficiente na linha de baixo. Esse número será multiplicado por u e

somado com o segundo coeficiente. O resultado será colocado abaixo do

segundo coeficiente como vemos na imagem acima. Em seguida, esse

valor encontrado será multiplicado por u e somado com o terceiro

coeficiente, e o resultado será colocado abaixo do terceiro coeficiente.

Repetimos esse procedimento até que se acabem os coeficientes. O

último valor encontrado será o resto da divisão. Os demais valores

encontrados na linha inferior serão os coeficientes do polinômio

encontrado, lembrando que o último desses valores sempre acompanhará

variável cujo expoente é zero.

Vejamos como fazer a divisão de polinômios P(x) por Q(x) quando P(x) =

5x3 – 2x2 + 3x – 1 e Q(x) = x – 2. Primeiramente, vamos verificar a raiz de

Q(x):

Q(x) = 0

x – 2 = 0

x = 2

Vamos montar o dispositivo de Briot-Ruffini através da raiz de Q(x) e dos

coeficientes de P(x):

O primeiro coeficiente de P(x) é o 5. Nós podemos reescrevê-lo na linha

inferior:

Agora nós multiplicamos o 5 por 2 e somamos o resultado com o segundo

coeficiente de P(x), o número – 2, isto é, fazemos 5.2 + (– 2) = 8. O

resultado 8 deve ser escrito embaixo do coeficiente – 2.

Repetimos o processo, multiplicamos 8 por 2 e somamos com o terceiro

coeficiente de P(x), o número 3. O cálculo é dado por 8.2 + 3 = 19.

Escrevemos o resultado embaixo do coeficiente 3.

Repetimos o procedimento pela última vez. Agora multiplicamos o 19 por

2 e somamos o resultado com – 1, ou seja, nós fazemos 19.2 + (– 1) = 37.

O resultado 37é colocado embaixo de –1 e é o resto de nossa divisão.

O polinômio resultante dessa divisão é determinado pelos números 5,

8 e 19. Estes são coeficientes desse polinômio. Como fora dito

anteriormente, o último número (19) é acompanhado de x0, o 8 é

acompanhado de x1, e o 5 é acompanhado de x2. Portanto, o polinômio

resultante da divisão de 5x3 – 2x2 + 3x – 1 por x – 2 é 5x2 + 8x + 19, e o

resto da divisão é r = 37.

Vejamos outro caso, vamos dividir o polinômio P(x) = 3x4 + 5x3 – 11x2 +

2x – 3 por Q(x) = x + 3. Aplicando a explicação do método, temos:

A divisão de P(x) = 3x4 + 5x3 – 11x2 + 2x – 3 por Q(x) = x + 3 resulta no

polinômio 3x3– 4x2 + x – 1, e o resto é 0.

Teorema de D’Alembert

Na matemática, os teoremas, as fórmulas, os postulados sempre

recebem o nome de seus inventores e D’Alembert foi um desses,

matemático e físico, foi um dos oficiais na revolução Francesa

responsável pelas publicações solenes, anunciava a guerra e

proclamava a paz.

Além disso, vários teoremas, tanto na física como na matemática,

levaram o seu nome, na matemática podemos destacar no estudo dos

polinômios o Teorema de D’Alembert, que diz:

Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x).

Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio

P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i.

As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert,

dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio

P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma,

basta aplicarmos o Teorema do Resto.

Para divisor igual a x – 3, a = 3.

P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3

P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3

P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3

P(3) = -27 + 36 – 12 + 3

P(3) = 9 – 12 + 3

P(3) = -3 + 3

P(3) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – 3.

Para divisor igual a x – i, a = i.

P(i) = i4 – 4 . i3 + 4 . i2 – 4 . i + 3

P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3

P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3

P(i) = 1 – 4 + 3

P(i) = - 3 + 3

P(i) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – i. olinômios - Exercícios resolvidos 01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 - 7x2 + 3x - 4 para x = 2. RESOLUÇÃO: P(2) = -18 02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito. RESOLUÇÃO: a = 12 e b = 8 03. (UESB) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a: a) 10 b) 12s c) 14

d) 16 e) 18 RESPOSTA: E 04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x - 1) ≡ x3 + 2x + 2, então P(1) é igual a: a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESPOSTA: E 05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 - 10x3 + 24x2 + 10x - 24 por x2 - 6x + 5, são: a) -1 e 5 b) -1 e -5 c) 1 e -5 d) 1 e 5 e) 0 e 1 RESPOSTA: A 06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é

igual a: a) -3 b) -2 c) -1 d) 1 e) 2 RESPOSTA: E 07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se: a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo; b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16; c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84; d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2; e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo; RESPOSTA: E 08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é: a) -5 b) -4 c) 5 d) 6 e) 0

RESPOSTA: E 09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 - 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisível por x2 - 7x + 6. Então m + n é igual a: a) 72 b) 0 c) -36 d) 36 e) 58 RESPOSTA: C 10. Para que o polinômio 2x4 - x3 + mx2 - nx + 2 seja divisível por x2 - x - 2, devemos ter: a) m = 1 e n = 6 b) m = -6 e n = -1 c) m = 6 e n = 1 d) m = -6 e n = 1 e) m = 6 e n = -1 RESPOSTA: D