pcdamatematica

O triângulo retângulo

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seja α um ângulo agudo. Definimos:

1. 𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 2. 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 3. 𝑡𝑔𝛼 =

𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Ex01: Na figura a seguir, o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retãngulo em 𝐵. O

cosseno do ângulo 𝐵�̂�𝐶 é:

a) 12

13

b) 11

13

c) 10

13

d) 6

13

e) 1

13

Ex02: Na figura, o ângulo 𝜃 é tal que 𝑠𝑒𝑛𝜃 =1

3 e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 2𝑚.

A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é, em m2, é:

a) 16√2

b) 18√2

c) 32√2

d) 36√2

e) 72√2

Ex03: (EsPCEx-08) Na figura a seguir, está representado um

muro (BD) de 6 m de altura em que está apoiada uma escada

representada por AC, que faz um ângulo α com a horizontal.

Sabe-se que a parte da escada indicada pelo segmento AB

corresponde a 2/3 do seu comprimento. Num determinado

momento do dia, os raios de sol fazem com a vertical um ângulo

também de valor α, projetando no ponto F a sombra da

extremidade C da escada.

TRIGONOMETRIA

Aula 01: Trigonometria no triângulo retângulo

Dados: senα = 3/5

cosα = 4/5

_______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

pcdamatematica

Assim, considerando desprezível a espessura do muro, a

medida do segmento DF, que corresponde à parte da sombra da

escada que está além do muro, nesse instante, é igual a

a) 6,75 m

b) 10,75 m

c) 14,75 m

d) 18,75 m

e) 22,75 m

Ex04: Dois observadores, A e B, estão situados a 1m de uma das

margens paralelas de um rio e conseguem ver um pedra P sobre a

outra margem. Com seus teodolitos (aparelho usado para medir

ângulo), eles medem os ângulos 𝑃�̂�𝐵 = 𝛼 e 𝑃�̂�𝐴 = 𝛽. Sabendo

que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 54𝑚, 𝑡𝑔𝛼 = 4 e 𝑡𝑔𝛽 = 5, a largura do rio, em

metros, é:

a) 109

b) 115

c) 129

d) 105

e) 119

𝟑𝟎𝒐 𝟒𝟓𝒐 𝟔𝟎𝒐

𝒔𝒆𝒏 1

2

√2

2

√3

2

𝒄𝒐𝒔 √3

2

√2

2

1

2

𝒕𝒈 √3

3 1 √3

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

Ex01: Observe a figura, onde �̂� = 60𝑜 , �̂� = 45𝑜 e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2𝑚. O lado 𝐵𝐶 do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é:

a) (1 − √3)𝑚

b) √3𝑚

c) (1 + √3)𝑚

d) (1 + 2√3)𝑚

e) (1 − 2√3)𝑚

Ex02: (EsPCEx-05) Um topógrafo, querendo conhecer a altura

de um penhasco, mediu a distância do ponto A até a beira do rio

(ponto E), obtendo 20 metros. A largura do rio (EB) é

desconhecida. A figura abaixo mostra os ângulos BÂC = 30º e

BÊC = 60º. A altura do penhasco encontrada pelo topógrafo foi

a) 15√3 𝑚

b) 12√3 𝑚

c) 10√3 𝑚

d) 20√3 𝑚

e) 40√3 𝑚

Aula 02: Tabela de arcos notáveis

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex03: (EsPCEx-03) Um soldado, sua sombra e a trajetória do

Sol estão em um mesmo plano perpendicular ao solo onde o

soldado se encontra. O soldado está de sentinela em um quartel

quando os raios solares formam ângulos de 60º e 30º com o solo,

respectivamente no início e no final de sua missão. Nestas

condições, pode-se afirmar que a medida da sombra do soldado

no final de sua missão é:

a) a metade da medida de sua sombra no início da missão.

b) o dobro da medida de sua sombra no início da missão.

c) o triplo da media de sua sombra no início da missão.

d) o quádruplo da medida de sua sombra no início da missão.

e) um terço da media de sua sombra no início da missão.

Ex04: (EsPCEx-05) Na figura, as circunferências são tangentes

entre si e seus raios estão na razão 1

3. Se a reta r passa pelos

centros O O’ das duas circunferências, e a reta s é tangente a

ambas, então o menor ângulo formado por essas duas retas mede.

a) 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛1

3

b) 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔1

2

c) 60º

d) 45º

e) 30º

Ex05: (UFES) Calcule a medida do lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ na figura abaixo,

sabendo que 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ mede 50cm.

Ex06: (Fuvest) No quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 da figura abaixo, 𝑬 é um

ponto sobre o lado 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ tal que o ângulo 𝐴�̂�𝐸 mede 60𝑜 e os

ângulos 𝐸�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐷 são retos. Sabe-se ainda que 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 =

√3 e 𝐵𝐶 = 1. Determine a medida de 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ .

Definição e elementos

Aula 03: Circunferência

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Unidades para medir arcos

1. Grau

2. Radiano

Comprimento de um arco

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: Expresse em radianos:

a) 30º b) 120º c) 15º d) 300º

Ex02: expresse em graus:

a) 𝜋

3 rad b)

𝜋

4 rad c)

3𝜋

4 rad e) 1 rad

Ex03: Quanto mede, em radianos, o arco 𝐴�̂�, contido em uma

circunferência de raio 3cm, cujo comprimento é 4,5cm?

Ex04: Qual é o comprimento de um arco de 72º sobre uma

circunferência de raio 8cm?

Ex05: (EsPCEx-96) Na figura abaixo, o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , paralelo

ao segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , representa o lado do hexágono regular inscrito

na circunferência de centro 𝑂. O comprimento do arco 𝐴𝐵𝐶 é de 20

3𝜋𝑐𝑚. Nestas condições, a medida, em cm, do raio da

circunferência é de:

a) 5𝜋

3

b) 10𝜋

3

c) 20

d) 15

e) 10

Ex06: (Vunesp) As rodas dianteiras de um trator tem 0,70m de

diâmetro e as traseiras tem o dobro desse diâmetro.

Considerando 𝜋 = 3,14, a distância percorrida por esse trator,

em metros, se as rodas dianteiras derem 2.500 voltas a mais que

as traseiras, é:

a) 5.000

b) 7.500

c) 8.345

d) 10.990

e) 12.500

Ex07: (Fuvest) A figura abaixo representa duas polias circulares

𝐶1 e 𝐶2 de raio 𝑅1 = 4𝑐𝑚 e 𝑅2 = 1𝑐𝑚, apoiadas em uma

superfície plana em 𝑃1 e 𝑃2, respectivamente. Uma correia

envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os

pontos 𝑃1 e 𝑃2 é 3√3𝑐𝑚, determine o comprimento da correia.

Ex08: (Vunesp) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um

relógio às 14 horas e 20 minutos é:

a) 8º

b) 50º

c) 52,72º

d) 60º

e) 62º

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Definição

Ex01: Marque no ciclo trigonométrico as extremidades dos

arcos: 0,𝜋

3,3𝜋

4,7𝜋

6,7𝜋

4, −

𝜋

6, −

3𝜋

4.

Ex02: O triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 está inscrito na circunferência

trigonométrica seguinte. Quais são os arcos 𝒙, com 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋,

que correspondem aos vértices do triângulo?

(EsPCEx-08) Na figura, está representado um círculo

trigonométrico em que os pontos P1 a P5 indicam extremidades

de arcos. Esses pontos, unidos, correspondem aos vértices de um

pentágono regular inscrito no círculo. Se o ponto P1 corresponde

a um arco de 𝜋

6 radianos, então o ponto P4 corresponderá à

extremidade de um arco cuja medida, em radianos, é igual a

a) 13𝜋

30

b) 17𝜋

30

c) 29𝜋

30

d) 41𝜋

30

e) 53𝜋

30

Arcos côngruos

Dois ou mais arcos são côngruos quando possuem a mesma extremidade

Aula 04: Ciclo trigonométrico

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Expressão geral dos arcos côngruos

Ex01: Obtenha a 1ª determinação positiva, a 1ª determinação

negativa e a expressão geral dos arcos côngruos a:

a) 8000

b) 15000

c) 13𝜋

2

d) 16𝜋

3

Ex02: Determine, em cada caso, a expressão geral dos arcos que

possuem extremidades nos vértices do polígono regular

a)

b)

c)

Ex03: (EsPCEx-01) São côngruos:

a) −7300 e −𝜋

12rad

b) 16400 e −7𝜋

6rad

c) 3500 e −𝜋

18rad

d) 12350 e 5𝜋

6rad

e) −20000 e 4𝜋

3rad

Ex04: (EsPCEx-10) Considere a progressão aritmética

representada pela sequência (7𝜋

12,

47𝜋

60,

59𝜋

60, … ). Se todos os

termos dessa PA forem representados num círculo

trigonométrico, eles determinarão nesse círculo os vértices de um

a) pentágono (5 lados)

b) hexágono (6 lados)

c) octógono (8 lados)

d) decágono (10 lados)

e) dodecágono (12 lados)

Definição

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Aula 05: Seno e cosseno no ciclo trigonométrico

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: Calcule:

a) 𝑠𝑒𝑛1500 b) 𝑐𝑜𝑠1500

c) 𝑠𝑒𝑛2400 d) 𝑐𝑜𝑠2400

e) 𝑠𝑒𝑛3150 f) 𝑐𝑜𝑠3150

g) 𝑠𝑒𝑛1200 h) 𝑐𝑜𝑠1200

i) 𝑠𝑒𝑛12000 j) 𝑐𝑜𝑠17700

Ex02: Calcule o valor de cada expressão:

a) 𝐴 =𝑠𝑒𝑛0 + 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2 − 𝑠𝑒𝑛

5𝜋

6

𝑠𝑒𝑛7𝜋

6

a) 𝐴 =𝑠𝑒𝑛

3𝜋

2 − 𝑠𝑒𝑛𝜋 + 𝑠𝑒𝑛

𝜋

6

2⋅𝑠𝑒𝑛5𝜋

6 + 𝑠𝑒𝑛0

c) 𝐴 =𝑐𝑜𝑠

3𝜋

2 − 𝑠𝑒𝑛

𝜋

3

𝑠𝑒𝑛3𝜋

2 + 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3

Ex03: (UPE) Na figura abaixo, estão representados a

circunferência trigonométrica e um triângulo isósceles 𝑂𝐴𝐵.

Qual das expressões abaixo corresponde à área do triângulo 𝑂𝐴𝐵

em função do ângulo α?

a) 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼

b) 1

2∙ 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

c) 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

d) 1

2∙ 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼

e) 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼

Ex04: (PUC) O ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) pertence à circunferência de raio

1 e é estremidade de um arco de medida α, conforme figura.

Então o par (𝑥, 𝑦) é igual a:

a) (𝑡𝑔𝛼, 𝑠𝑒𝑛𝛼)

b) (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑡𝑔𝛼)

c) (𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛼)

d) (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑠𝑒𝑛𝛼)

e) (𝑠𝑒𝑛2𝛼, 𝑐𝑜𝑠2𝛼)

Ex04: (EsPCEx-00) O número de arcos existentes entre 0º e

1560º cujo seno vale 2

7 é

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: Calcule:

a) 𝑡𝑔1200 b) 𝑡𝑔2100

c) 𝑡𝑔2250 d) 𝑡𝑔3150

e) 𝑡𝑔1350 f) 𝑡𝑔3300

Ex02: Calcule o valor da expressão:

𝑦 =𝑡𝑔𝜋 − 𝑠𝑒𝑛

𝜋2

+ 𝑐𝑜𝑠𝜋

𝑐𝑜𝑠3𝜋2

− 𝑠𝑒𝑛3𝜋2

Ex03: Sendo 𝑥 = 300, calcule o valor da expressão:

𝑦 =2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑔2𝑥

𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥

Ex04: (UFRR) Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira:

a) 𝑐𝑜𝑠2000 < 𝑡𝑔2000 < 𝑠𝑒𝑛2000

b) 𝑐𝑜𝑠2000 < 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑡𝑔2000

c) 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑡𝑔2000 < 𝑐𝑜𝑠2000

d) 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑐𝑜𝑠2000 < 𝑡𝑔2000

e) 𝑡𝑔2000 < 𝑠𝑒𝑛2000 < 𝑐𝑜𝑠2000

Ex05: Na circunferência trigonométrica a seguir, considere o

arco 𝐴�̂� de medida 𝜋

3 radianos. Então:

a) 𝐴𝑃 = 1

b) 𝑀𝑁 = √3

c) 𝑂𝑁 = √2

d) 𝐴𝑁 = √1

3

e) 𝑂𝑃 = 2

Ex06: (UFRGS) Considere as desigualdades abaixo sobre arcos

medidos em radianos

I. 𝑠𝑒𝑛1 < 0

II. 𝑐𝑜𝑠2 < 0

III. 𝑡𝑔1 < 𝑡𝑔2

Quais são verdadeiras

a) apenas I

b) apenas II

c) apenas III

d) apenas I e III

e) apenas II e III

Aula 06: Tangene no ciclo trigonométrico

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

1. Cotangente no ciclo trigonométrico

2. Secante no ciclo trigonométrico

3. Cossecante no ciclo trigonométrico

Ex01: Calcule:

a) 𝑠𝑒𝑐𝜋

6 b) 𝑠𝑒𝑐2100

c) 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝜋

3 d) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3150

e) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐5𝜋

6 f) 𝑐𝑜𝑡𝑔450

g) 𝑠𝑒𝑐1500 h) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐11𝜋

6

Ex02: Qual o valor de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 (𝜋

2+

𝜋

4+

𝜋

8+

𝜋

16+ ⋯ )?

Ex03: Na figura, 𝐶𝑆 ⃡ é tangente à circunferência trigonométrica,

e 𝑃 é imagem do número real 𝛼, 0 < 𝛼 <𝜋

2.

Qual é a área do triângulo 𝑃𝑂𝑆, se 𝛼 =𝜋

4?

Aula 07: Cotangente, secante e cossecante no ciclo trigonométrico

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex04: (FUVEST) Na figura a seguir, a reta 𝑟 passa pelo ponto

𝑇(0,1) e é paralela ao eixo 𝑂𝑥. A semi-reta 𝑂𝑡 forma um ângulo

𝛼 com o semi-eixo 𝑂𝑥 (00 < 𝛼 < 900) e intercepta a

circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos 𝐴 e 𝐵,

respectivamente.

A área do triângulo 𝑇𝐴𝐵, como função de α, é dada por:

a) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙𝑐𝑜𝑠𝛼

2

b) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼) ∙𝑠𝑒𝑛𝛼

2

c) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙𝑡𝑔𝛼

2

d) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼

2

e) (1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼) ∙𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼

2

Ex05: Com base na figura, que representa o círculo

trigonométrico e os eixos da tangente e da cotangente, calcule a

área do triângulo 𝐴𝐵𝐶, para 𝛼 =𝜋

3.

Ex06: (EsPCEx-03) Considere as expressões

(I) 𝑠𝑒𝑛300∙𝑐𝑜𝑠1500

𝑡𝑔2100

(II) 𝑐𝑜𝑡𝑔500∙𝑠𝑒𝑛930

𝑡𝑔1810

(III) 𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥

𝑠𝑒𝑐𝑥∙𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥, 𝑥 ∈ ]

3𝜋

2, 2𝜋[

(IV) 𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑡𝑔𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥, 𝑥 ∈ ]

𝜋

2, 𝜋[

Têm valor sempre negativo:

a) I e II

b) I e IV

c) II e III

d) I e III

e) III e IV

Ex07: (EsPCEx-11) O valor da expressão

𝐸 =𝑠𝑒𝑐13200

2− 2𝑐𝑜𝑠 (

53𝜋

3) + (𝑡𝑔22200)2 é

a) -1

b) 0

c) 1

2

d) 1

e) −√3

2

Ex08: (EsPCEx-02) O produto 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 é positivo, portanto

x pertence ao

a) 1º ou 2º quadrantes

b) 1º ou 4º quadrantes

c) 2º ou 3º quadrantes

d) 2º ou 4º quadrantes

e) 3º ou 4º quadrantes

1. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

2. 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑥 ≠

𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

3. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

4. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =1

𝑡𝑔𝑥; 𝑥 ≠

𝑘𝜋

2, 𝑘 ∈ ℤ

5. 𝑠𝑒𝑐𝑥 =1

𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑥 ≠

𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

6. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =1

𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

7. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥; 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

8. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 =1

𝑠𝑒𝑛𝑥; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

Aula 08: Relações trigonométricas

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −4

7 e α está no 2º quadrante,

obtenha as outras razões trigonométricas de α.

Ex02: (EsPCEx-01) Se 𝑠𝑒𝑛𝛼 =5

13 e 𝛼 ∈ ]

𝜋

2, 𝜋], então o valor de

𝑡𝑔𝛼 é igual a:

a) −5

12

b) 5

12

c) 12

13

d) 12

5

a) −12

13

Ex03: Quanto vale 𝑡𝑔𝑥, se 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 4 e 0 < 𝑥 <𝜋

2?

Ex04: Calcule 𝑚 de modo que se tenha 𝑡𝑔𝑥 = 𝑚 − 2 e 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =𝑚

2.

Ex05: Resolva, em ℝ, a seguinte equação de 2º grau, na

incógnita x:

𝑥2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 − (2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0

Ex06: Sabendo-se que 𝜋

2< 𝛼 < 𝜋 e 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

1

10, qual o valor da

expressão:

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔100(𝑠𝑒𝑐𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼)

Ex07: Obtenha 𝑡𝑔𝑥, sabendo que

𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 5𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3

Ex08: (EsPCEx-00) Sendo 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 3𝑐𝑜𝑠𝛼 e 𝜋 < 𝛼 < 3𝜋

2, o

valor de 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝛼 é

a) −√10

3

b) −√10

10

c) −3√10

10

d) √10

e) √10

3

Ex09: (EsPCEx-01) Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {𝑘𝜋

2, 𝑘 ∈ ℤ},

simplificando a expressão

1

1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥+

1

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥+

1

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥+

1

1 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥,

obtém-se o valor:

a) 1/2

b) 1

c) 3/2

d) 2

e) 0

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex10: (EsPCEx-02) O valor de 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥, sabendo que

3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 5, é:

a) 3

5

b) 4

5

c) 1

d) 6

5

e) 7

5

Ex11: (EsPCEx-97) A expressão 𝑠𝑒𝑛3𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥 ´eequivalente a:

a) 1

b) 2

c) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

d) 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥

e) 2

𝑠𝑒𝑛𝑥

Considere o arco 𝛼 = 𝐴�̂�, 0 < 𝛼 <𝜋

2, nas circunferências trigonométricas abaixo:

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Aula 09: Redução ao 1º quadrante

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: (EsPCEx-99) Para todo x real, podemos afirmar que

a) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −cos (𝜋 + 𝑥)

b) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos (𝜋 − 𝑥)

c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝑥)

d) −𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos (2𝜋 − 𝑥)

e) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = sen(2𝜋 + 𝑥)

Ex02: (MACK) Se 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) = cos (𝜋 − 𝑥), então 𝑥 pode ser:

a) 𝜋

b) 𝜋

2

c) 3𝜋

4

d) 5𝜋

4

e) 7𝜋

4

Ex03: Simplificando a expressão

𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝑥) ∙ cos (𝜋 + 𝑥)

𝑡𝑔(𝜋 − 𝑥) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝜋2

− 𝑥)

Obtemos:

a) 𝑐𝑜𝑠𝑥

b) – 𝑠𝑒𝑛𝑥

c) – 𝑐𝑜𝑠𝑥

d) 𝑠𝑒𝑐𝑥

e) – 𝑠𝑒𝑐𝑥

Ex04: (UFCE) Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝜃 =√3

2 e que 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

1

2,

podemos afirmar corretamente que 𝑐𝑜𝑠 (𝜃 +𝜋

2) + 𝑠𝑒𝑛 (𝜃 +

𝜋

2) é

igual a:

a) 0

b) −√3

2−

1

2

c) √3

2+

1

2

d) √3

2−

1

2

e) −√3

2+

1

2

1. Função seno:

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Aula 10: Funções trigonométricas

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: (FGV) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por

dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas.

Com base nos dados observados, estima-se que o número de

clientes possa ser calculado pela função trigonométrica 𝑓(𝑥) =

900 − 800𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥

12, onde 𝑓(𝑥) é o número de clientes e x, a hora

da observação (x é um inteiro tal que 0 ≤ 𝑥 ≤ 24).

Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número

máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado,

em dia completo, é igual a:

a) 600

b) 800

c) 900

d) 1500

e) 1600

Ex02: (EsPCEx-00) O domínio e a imagem da função 𝑓(𝑥) =1

5−𝑠𝑒𝑛𝑥 são, respectivamente,

a) ℝ − {5} e [−1, 1]

b) ℝ e ]−1

5,

1

4[

c) ℝ e [1

6,

1

4]

d) ℝ∗ e ]1

6,

1

3[

e) ℝ − {5} e [−1,1

3]

Ex03: (EsPCEx-04) Dadas as funções reais 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) e

𝑔(𝑥) =1

2 tal que 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]. Então, o número de interseções

entre os grá ficos de f e g é:

a) 6

b) 2

c) 1

d) 4

e) 8

Ex04: Obtrnha o valor de m para que o período da função

𝑓(𝑥) = 𝑚 + 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥

𝑚+ 𝜋) seja 4𝜋

2. Função cosseno:

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: (UEPB) Sendo 𝑓(𝑥) = −4𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠𝑥, o valor

de 𝑓 (−7𝜋

4) é:

a) √2

b) 2

c) −√2

d) −1

e) √2

2

Ex02: Um determinado inseto no período de reprodução emite

sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor mínimo de 20

decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a variável tempo

em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor

representa a variação da intensidade sonora com o tempo 𝐼(𝑡) é:

a) 50 − 10𝑐𝑜𝑠𝜋

6𝑡

b) 30 + 10𝑐𝑜𝑠𝜋

6𝑡

c) 40 + 20𝑐𝑜𝑠𝜋

6𝑡

d) 60 − 20𝑐𝑜𝑠𝜋

6𝑡

Ex03: (FGV) A previsão mensal da venda de sorvetes para

2012, em uma sorveteria, é dada por 𝑃 = 6000 + 50𝑥 +

2000𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥

6), em que 𝑃 é o número de unidades vendidas no

mês x; 𝑥 = 0 representa janeiro de 2012, 𝑥 = 1 representa

fevereiro de 2012 e assim por diante. Se essas previsões se

verificarem, emjulho haverá um queda na quantidade vendida,

em relação a março, de aproximadamente:

a) 39,5%

b) 38,5%

c) 37,5%

d) 36,5%

e) 35,5%

Ex04: (UCE) Se 𝑦 = 𝑎 + cos (𝑥 + 𝑏) tem gráfico

Podemos afirmar que:

a) 𝑎 = 2 e 𝑏 =𝜋

2

b) 𝑎 = 1 e 𝑏 = −𝜋

2

c) 𝑎 = 2 e 𝑏 = −𝜋

2

d) 𝑎 = 1 e 𝑏 =𝜋

2

e) 𝑎 = 0 e 𝑏 = 0

Ex05: (EsPCEx-03) Sejam as funções 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ → ℝ,

definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥, em

que a e b são constantes reais. Se𝑓(6) = −2 e 𝑔(6) = −9, então

o valor de 𝑓(6) + 2𝑓(−6) + 3𝑔(6) + 4𝑔(−6) é

a) -69

b) 3

c) 11

d) 57

e) -61

3. Função tangente:

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

1. 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎

2. 𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎

3. cos(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎

4. 𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑏

5. 𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) =𝑡𝑔𝑎+𝑡𝑔𝑏

1−𝑡𝑔𝑎∙𝑡𝑔𝑏

6. 𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) =𝑡𝑔𝑎−𝑡𝑔𝑏

1+𝑡𝑔𝑎∙𝑡𝑔𝑏

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Aula 11: Funções trigonométricas da soma e da diferença

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

Ex01: Calcule:

a) 𝑠𝑒𝑛150

b) 𝑐𝑜𝑠750

c) 𝑡𝑔150

Ex02: Calcule o valor de cada expressão:

a) 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛700 ∙ 𝑐𝑜𝑠200 + 𝑠𝑒𝑛200 ∙ 𝑐𝑜𝑠700

b) 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠700 ∙ 𝑐𝑜𝑠200 − 𝑠𝑒𝑛700 ∙ 𝑠𝑒𝑛200

c) 𝐴 =𝑡𝑔

𝜋

18+𝑡𝑔

𝜋

9

1−𝑡𝑔𝜋

18∙𝑡𝑔

𝜋

9

Ex03: Calcule a medida do lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ do triângulo representado a

seguir:

Ex04: (UFGO) Um ponto P, interno a um ângulo cuja medida é

450, dista 2𝑐𝑚 de um dos lados do ângulo e 4𝑐𝑚 do vértice do

ângulo. Qual a distância desse ponto ao outro lado do ângulo?

Ex05: (EsPCEx-99) A expressão

𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 2𝑎) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝑎) + 𝑐𝑜𝑠 (

3𝜋

2+ 𝑎) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (

3𝜋

2− 2𝑎)

É igual a:

a) 𝑐𝑜𝑠𝑎

b) 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎

c) 𝑠𝑒𝑛𝑎

d) 𝑐𝑜𝑠2𝑎

e) 𝑠𝑒𝑛2𝑎

Ex06: (EsPCEx-07) Na figura a seguir, são fornecidas as

coordenadas cartesianas dos pontos P1 e P2. Denomina-se 𝜃 o

ângulo 𝑃1�̂�𝑃2.

Com base nessas informações pode-se afirmar que o valor de

𝑐𝑜𝑠𝜃 é

a) 4√3−3

10

b) 13

10

c) 3√3−4

10

d) 3

10

e) 4+3√3

10

Ex07: (EsPCEx-11) O cosseno do menor ângulo formado pelos

ponteiros de um relógio às 14 horas e 30 minutos vale

a) −(√3+1)

2

b) −(√2+1)

2

c) (1+√2)

4

d) −(√6−√2)

4

e) (√2+√3)

4

Ex08: (EsPCEx-99) Sendo 𝑋 =𝜋

3+

𝜋

6+

𝜋

12+ ⋯ e 𝑌 =

𝜋

4+

𝜋

5+

4𝜋

25+

16𝜋

125+ ⋯, o valor de 𝑠𝑒𝑛(𝑋 + 𝑌) é

a) −√3+√2

2

b) −√6+√2

4

c) −√6−√2

2

d) √6−√2

4

e) √3−√2

2

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

1. 𝑠𝑒𝑛(2𝑎) = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑎 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑎

2. 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑠𝑒𝑛2𝑎

3. 𝑡𝑔(2𝑎) =2𝑡𝑔𝑎

1 − 𝑡𝑔2𝑎

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Ex01: Dados 𝑠𝑒𝑛𝛼 =2

3 e 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −

√5

3, obtenha:

a) 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

b) 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)

c) 𝑡𝑔(2𝛼)

Ex02: Um observador vê, do solo, a 150m, o topo de uma torre

vertical de 75m de altura. Aproximando-se, e ainda mirando a

partir do solo, o ângulo de observação do topo da torre passa a

medir o dobro da anterior. Determine a distância percorrida pelo

observador entre os dois instantes de observação.

Ex03: Sabendo que 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =17

13, quanto vale 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)?

Ex04: (FUVEST) Um arco x está no 3º quadrante do círculo

trigonométrico e verifica a equação 5 cos(2𝑥) + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 4.

Determine os valores de 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑐𝑜𝑠𝑥.

Ex05: (UFAL) O ângulo do vértice de um triângulo isósceles é

agudo. Se a tangente desse ângulo é igual ao dobro do quadrado

do seu seno, determine o cosseno da soma dos ângulos da base.

Ex06: (EsPCEx-00) O valor de 3𝑠𝑒𝑛100 ∙ (𝑡𝑔50 + 𝑐𝑜𝑡𝑔50) é

igual a

a) 3

2

b) 2

c) 3

d) 5

e) 6

Ex07: (EsPCEx-02) O valor numérico da expressão 𝑠𝑒𝑛13𝜋

12∙

𝑐𝑜𝑠13𝜋

12 é:

a) 1

2

b) 1

3

c) 1

4

d) 1

6

e) 1

8

Ex08: (EsPCEx-06) O valor da expressão

cos150 + 𝑐𝑜𝑠750

𝑠𝑒𝑛150+

𝑠𝑒𝑛150 + 𝑠𝑒𝑛750

𝑐𝑜𝑠150

é igual a

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

Aula 12: Razões trigonométricas de 𝟐𝒂

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

1. 𝑠𝑒𝑛(𝑝 + 𝑞) = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑝 + 𝑞

2) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (

𝑝 − 𝑞

2)

2. 𝑠𝑒𝑛(𝑝 − 𝑞) = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑝 − 𝑞

2) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (

𝑝 + 𝑞

2)

3. 𝑐𝑜𝑠(𝑝 + 𝑞) = 2𝑐𝑜𝑠 (𝑝 + 𝑞

2) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (

𝑝 − 𝑞

2)

4. 𝑐𝑜𝑠(𝑝 − 𝑞) = −2𝑠𝑒𝑛 (𝑝 + 𝑞

2) ∙ 𝑠𝑒𝑛 (

𝑝 − 𝑞

2)

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________

Ex01: Transforme em produto:

a) 𝑠𝑒𝑛400 + 𝑠𝑒𝑛800

b) cos800 + 𝑐𝑜𝑠400

c) 𝑠𝑒𝑛800 + 𝑐𝑜𝑠500

d) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

e) 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑠𝑒𝑛𝑥

f) 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

Ex02: Seja 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥.

a) Qual é o período de f?

b) Qual é o valor máximo que f pode assumir?

Ex03: Quanto vale 𝑐𝑜𝑠𝜋

8∙ 𝑐𝑜𝑠

7𝜋

8?

Aula 13: Transformação em produto

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

1. Equações do tipo 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒌, 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒌 𝒐𝒖 𝒕𝒈𝒙 = 𝒌, 𝐜𝐨𝐦 𝒌 ∈ ℝ

a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 4 b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 =√3

2 c) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2

d) 𝑐𝑜𝑠𝑥 =1

2 e) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 f) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠

𝜋

7

g) 𝑡𝑔𝑥 = 1 h) 𝑡𝑔𝑥 = −√3

3 i) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔

𝜋

9

2. Equações na forma fatorada

a) (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) = 0

b) (2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1)(4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2) = 0

c) 𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 = 0

Aula 14: Equações trigonométricas

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

3. Equações polinomiais

a) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0

b) 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 7𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

c) 3𝑡𝑔2𝑥 + 2√3𝑡𝑔𝑥 − 3 = 0

Ex01: (EsPCEx-00) O número de soluções da equação 𝑠𝑒𝑛4𝑥 +𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 1, satisfazendo a condição 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋, é

a) infinito

b) 4

c) 2

d) 1

e) 0

Ex02: (EsPCEx-04) A quantidade de valores inteiros que a pode

assumir para que a equação 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (𝑎 − 1)2 tenha solução é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Ex03: (EsPCEx-14) A soma de todas as soluções da equação

2𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0, que estão contidas no

intervalo [0, 2𝜋], é igual a

a) 2𝜋

b) 3𝜋

c) 4𝜋

d) 5𝜋

e) 6𝜋

Ex04: (EsPCEx-16) A soma das soluções da equação cos(2𝑥) −𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, com 𝑥 ∈ [0, 2𝜋), é igual a

a) 5𝜋

3

b) 2𝜋

c) 7𝜋

3

d) 𝜋

e) 8𝜋

3

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

1. Inequações imediatas em seno, cosseno e tangente

a) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥√2

2 b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 < −

1

2

c) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥√2

2 d) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ −

1

2

e) 𝑡𝑔𝑥 > 1 f) 𝑡𝑔𝑥 ≤ −√3

3

2. Inequações polinomiais

a) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0

b) {2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 7𝑠𝑒𝑛𝑥 ≥ 0𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0

3. Inequações produto e quociente

a) (4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1)(2𝑠𝑒𝑛𝑥 − √3) ≤ 0

Aula 15: Inequações trigonométricas

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

*EXERCÍCIOS*

01. (CESGRANRIO) Uma escada de 2m de comprimento está

apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30°

com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

a) 0,5 m

b) 1 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 2 m

02. (UNESP) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam

formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra

na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma

rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. A distância do

posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, em

quilômetros, é

a) √2

8

b) √2

4

c) √3

2

d) √2

e) 2√2

03. (UFSM) Um estudante de Engenharia vê um prédio do

Campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um

ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-

lo sob um ângulo de 60°. Considerando que a base do prédio está

no mesmo nível do olho do estudante, então a altura h do prédio

é igual a

a) 30√3 𝑚

b) 20√3 𝑚

c) 30 𝑚

d) 10√3 𝑚

e) 28 𝑚

04. (UFSC) Na figura, 0 ,2

C é o centro do círculo, AB

tangencia o círculo no ponto A, os pontos B, C e D estão

alinhados, assim como os pontos A, C e E.

Uma condição necessária e suficiente para que as duas áreas

sombreadas na figura sejam iguais é

a) .tg

b) 2 .tg

c) 4 .tg

d) 2 .tg

e) .2

tg

05. (ENEM) Para determinar a distância de um barco até a praia,

um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um

ponto A, mediu o ângulo visual fazendo mira em um ponto

fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu

até um ponto B de mdo que fosse possível ver o mesmo ponto P

da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura ilustra

ssa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 30º e, ao

chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a

distância AB = 2000m. Com base nesses dados e mantendo a

mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P

será

a) 1000 𝑚

b) 1000√3 𝑚

c) 2000√3

3 𝑚

d) 2000 𝑚

e) 2000√3 𝑚

06. (UFES-Adapatada) Um homem de 1,80m de altura avista o

topo de um edifício sob um ângulo de 45° em relação à

horizontal. Quando ele se aproxima 20m do edifício, esse ângulo

aumenta para 60°. Qual a altura do edifício, em metro?

a) 31,8 + 10√3

b) 31,8 + √3

c) 30 + 10√3

d) 38 + 10√3

e) 31 + 15√3

07. (UNICAMP-Adaptada) Para medir a largura AC de um rio

um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B

de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que

o ângulo ABC fosse 60°; determinou o ponto D no

prolongamento de CA de forma que o ângulo ˆCBD fosse de 90°.

Medindo AD 40 m, achou a largura do rio. Determine essa

largura

a) 120 m

b) 100 m

c) 110 m

d) 80 m

e) 90 m

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

08. (ITA) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de

uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O

primeiro, lançcado sob um ângulo 𝜃 entre 0 e 𝜋

4, atinge a torre a

uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2𝜃,a tinge-

a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:

a) 𝐻 =2ℎ𝑑2

𝑑2−ℎ2

b) 𝐻 =2ℎ𝑑2

𝑑2+ℎ

c) 𝐻 =2ℎ𝑑2

𝑑2−ℎ

d) 𝐻 =2ℎ𝑑2

𝑑2+ℎ2

a) 𝐻 =ℎ𝑑2

𝑑2+ℎ

09. Um homem inicia viagem quando os ponteiros do relógio

estão juntos entre 8 e 9 horas; termina a viagem quando o

ponteiro menor está entre 14 e 15 e o ponteiro maior a 180° do

outro. Quanto tempo durou a viagem?

a) 4 horas

b) 5 horas

c) 6 horas

d) 7 horas

e) 8 horas

10. O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central

medindo α radinaos é igual ao perímetro de um quadrado de lado

R. Então α é igual a:

a) 𝜋

3

b) 2

c) 1

d) 2𝜋

3

e) 𝜋

2

11. (ITA) Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por

𝑓(𝑥) = {𝑎 (𝑥 +

𝜋

2) se 𝑥 <

𝜋

2𝜋

2−

𝑎

𝑥∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 se 𝑥 ≥

𝜋

2

Onde 𝑎 > 0 é uma constante. Considere 𝐾 = {𝑦 reais; 𝑓(𝑦) =

0}. Qual o valor de a, sabendo-se que 𝑓 (𝜋

2) ∈ 𝐾?

a) 𝜋

4

b) 𝜋

2

c) 𝜋

d) 𝜋2

2

e) 𝜋2

12. (ITA) Determine o valor de 𝑘 para que as raízes da equação

do segundo grau (𝑘 − 5)𝑥2 − 4𝑘𝑥 + 𝑘 − 2 = 0 seja o seno e o

cosseno de um mesmo arco.

13. (ITA) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros

das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos

varre um ângulo cuja medida, em radianos, é igual a

a) 23𝜋

11

b) 16𝜋

6

c) 24𝜋

11

d) 25𝜋

11

e) 7𝜋

3

14. (FGV) Na circunferência trigonométrica de raio unitário

indicado na figura abaixo, o arco 𝐴�̂� mede 𝛼. Assim, 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ é igual

a:

a) −1 − 𝑡𝑔𝛼

b) 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼

c) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼

d) 1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼

e) −1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼

15. (UFOP) No ciclo trigonométrico representado na figura

abaixo, temos 𝛼 = 1200.

O valor de (𝐴𝑀̅̅ ̅̅̅)2 é

a) 1

3

b) √3

3

c) √3

d) 3

16. (EsPCEx-00) Se y é a medida de um ângulo 00 < 𝑦 < 300,

o maior dentre os números 𝑠𝑒𝑛𝑦, 𝑐𝑜𝑠𝑦, 𝑠𝑒𝑛2𝑦, 𝑐𝑜𝑠2𝑦 e 𝑠𝑒𝑛𝑦 ∙𝑐𝑜𝑠𝑦 é

a) 𝑠𝑒𝑛𝑦

b) 𝑐𝑜𝑠𝑦

c) 𝑠𝑒𝑛2𝑦

d) 𝑐𝑜𝑠2𝑦

e) 𝑠𝑒𝑛𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

17. (EsPCEx-00) Pode-se afirmar que o sistema

{2𝑥 − 1 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑥 − 2 = 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑥 ∈ ℝ e 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋,

a) possui apenas um par ordenado (𝑥, 𝜃) como solução.

b) possui dois pares ordenados (𝑥, 𝜃) como solução.

c) possui três pares ordenados (𝑥, 𝜃) como solução.

d) possui infinitas soluções.

e) não possui solução.

18. (EsPCEx-00) Sendo {𝑘 ∈ ℤ e 𝑥 ≠𝑘𝜋

4}, então 2 −

2𝑡𝑔𝑥

𝑡𝑔2𝑥 é

equivalente a

a) 𝑐𝑜𝑠2𝑥

b) 𝑠𝑒𝑛2𝑥

c) 𝑠𝑒𝑐2𝑥

d) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥

e) 1

19. (EsPCEx-01) No círculo trigonométrico (raio = 1),

representado na figura, a medida de β é 150º e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ representa um

diâmetro. O valor do produto das medidas dos segmentos 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ e

𝑂𝐷̅̅ ̅̅ é:

a) 1

4

b) 1

2

c) √3

4

d) √3

2

e) √2

2

20. (EsPCEx-01) A cossecante do ângulo α da figura abaixo é:

a) 4

3

b) 4

5

c) −3

5

d) 5

3

e) −5

4

21. (EsPCEx-02) Se o cosseno de um ângulo de medida k é o

dobro do cosseno de um outro ângulo de medida w, ambos

pertencentes ao 1º quadrante, pode-se afirmar que todos os

valores de w que satisfazem esta condição pertencem ao

intervalo

a) [0º, 15º]

b) [15º, 30º]

c) [30º, 45º]

d) [45º, 60º]

e) [60º, 90º]

22. (EsPCEx-02) Se 𝑧 =2−3𝑠𝑒𝑛𝑥

4 , pode-se afirmar que todos os

valores de z que satisfazem essa igualdade estão compreendidos

em

a) −2 ≤ 𝑧 ≤ −1

b) −1 ≤ 𝑧 ≤ −1

4

c) −1

4≤ 𝑧 ≤

5

4

d) 0 ≤ 𝑧 ≤3

2

e) 1

4≤ 𝑧 ≤ 2

23. (EsPCEx-05) A água utilizada em uma fortificação é captada

e bombeada do rio para uma caixa d’água localizada a 50 m de

distância da bomba. A fortificação está a 80 m de distância da

caixa d’água e o ângulo formado pelas direções bomba – caixa

d’água e caixa d’água – fortificação é de 60º, conforme mostra a

figura abaixo. Para bombear água do mesmo ponto de captação,

diretamente para a fortificação, quantos metros de tubulação são

necessários?

a) 54 metros

b) 55 metros

c) 65 metros

d) 70 metros

e) 75 metros

24. (EsPCEx-05) A função 𝑓(𝑥) = [𝑠𝑒𝑛2𝑥 ∙ (1

2𝑐𝑜𝑠𝑥+

1

2𝑠𝑒𝑛𝑥)]

2

−

𝑠𝑒𝑛2𝑥 é definida para todo x real e 𝑥 ≠𝑘𝜋

2, com k inteiro. Nessas

condições, pode-se afirmar que

a) 𝑓(2006) = 𝑓(2004) + 𝑓(2005)

b) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 2𝑓(2003)

c) 𝑓(2006) = 𝑓(2005) + 𝑓(2004) + 𝑓(2003)

d) 𝑓(2005) = 𝑓(2006) − 𝑓(2004)

e) 𝑓(2006) = 𝑓(2003) + 𝑓(2004) − 𝑓(2005)

25. (ITA) Sobre o período da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 podemos

afirmar que:

a) é uma função periódica de período 4𝜋

b) é uma função periódica de período 2𝜋

c) é uma função periódica de período 𝜋

d) é uma função periódica onde o período pertence ao intervalo

(𝜋, 2𝜋)

26. (EsPCEx-09) O número de arcos no intervalo [0,19𝜋

6] cujo

valor do cosseno é igual a 1

2 é

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

27. (EsPCEx-06) Conforme a figura, a 60 metros do chão o

helicóptero H avista, sob um ângulo α, dois alvos 𝐵 e 𝐶, que

serão logo abatidos.

Se 𝐴𝐵 = 40𝑚 e 𝐵𝐶 = 260𝑚, então α mede

a) 115º

b) 30º

c) 45º

d) 60º

e) 75º

28. (EsPCEx-06) Os ângulos α e β pertencem aos triângulos

abaixo

Se o seno de β é o dobro do seno de α, então α pertence ao

intervalo

a) ]0º, 45º[

b) [45º, 60º]

c) ]30º, 45º[

d) ]0º, 60º[

e) ]0º, 30º[

29. (EsPCEx-07) No triângulo ABC, a base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ mede 8 cm, o

ângulo �̂� mede 30º e o segmento 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ é congruente ao segmento

𝑀𝐶̅̅̅̅̅, sendo M o ponto médio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . A medida, em centímetros,

de altura h, relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ do triângulo ABC, é de

a) √2 cm

b) 2√2 cm

c) √3 cm

d) 2√3 cm

e) 3√3 cm

30. (UNIFRA) O período e a imagem da função real f definida

por 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝑥, respectivamente, são:

a) 𝜋 e [−3, 3] b) 4𝜋 e [−3, 3] c) 2𝜋/3 e [−2, 2] d) 6𝜋 e [−2, 2] e) 2𝜋 e [−1, 1]

31. (EsPCEx-07) Os termos da sequência de números em

progressão aritmética 𝜋

3,7𝜋

12,5𝜋

6, … correspondem às medidas em

radianos de arcos, que podem ser representados na circunferência

trigonométrica abaixo.

Os pontos identificados por 0 a VII representam as medidas

de arcos que dividem a circunferência trigonométrica em 8 partes

iguais, medidas no sentido anti-horário, a partir de O.

Nessas condições, o arco correspondente ao 13º termo da

sequência, igualmente medido no sentido anti-horário e a partir

de O, terá sua extremidade situada entre os pontos

a) I e II

b) II e III

c) IV e V

d) V e VI

e) VII e 0

32. (ITA) O valor de 𝑦2 − 𝑥𝑧 para o qual os números

𝑠𝑒𝑛𝜋

12, 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑠𝑒𝑛750, nesta ordem, formam uma progressão

aritmética, é:

a) 3−4

b) 2−6

c) 6−2

d) 2−5

e) 0

33. (EsPCEx-09) As funções 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 e 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 estão

representadas no gráfico abaixo. Então, a medida da área do

triângulo retângulo definido pelos segmentos retilíneos

𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶 é:

a) 𝜋

8(2 − √2)

b) 𝜋

8

c) 𝜋

16(2 − √2)

d) 𝜋√2

16

e) 𝜋

16(1 − √2)

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

34. (EsPCEx-12) Em uma das primeiras tentativas de determinar

a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade

observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura

conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente

à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo

esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado

por:

a) 𝑅 =𝑠𝑒𝑛(𝛼ℎ)

1−𝑠𝑒𝑛𝛼

b) 𝑅 =ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼

1−𝑠𝑒𝑛𝛼

c) 𝑅 =ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑠𝑒𝑛𝛼−1

d) 𝑅 =1−𝑠𝑒𝑛𝛼

ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼

e) 𝑅 =1+𝑠𝑒𝑛𝛼

ℎ∙𝑠𝑒𝑛𝛼

35. (ITA) Se ℝ denota o conjunto dos números reais e (𝑎, 𝑏) o

intervalo aberto {𝑥 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}, seja 𝑓: (0,𝜋

2) → ℝ, definida

por 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥. Se 𝛼 ∈ (0,𝜋

2) é tal que 𝑡𝑔𝛼 =

𝑎

𝑏, então 𝑓(𝛼) é igual a:

a) 𝑎+𝑏

2

b) 1

2√𝑎2 + 𝑏2

c) 𝑎2−𝑏2

𝑎𝑏

d) 𝑎2+𝑏2

𝑎𝑏

e) n.d.a.

36. (EsPCEx) O valor da expressão é:

𝑠𝑒𝑛800 ∙ 𝑐𝑜𝑠400 + 𝑠𝑒𝑛400 ∙ 𝑐𝑜𝑠800

𝑐𝑜𝑠720 ∙ 𝑐𝑜𝑠270 + 𝑠𝑒𝑛720 ∙ 𝑠𝑒𝑛270

a) √6

2

b) √3

2

c) √3

4

d) √6

3

e) 2√3

5

37. (ITA) Sejam f e g duas funções definidas por 𝑓(𝑥) =

√23𝑠𝑒𝑛𝑥−1

e 𝑔(𝑥) = (1

2)

3𝑠𝑒𝑛2𝑥−1

, 𝑥 ∈ ℝ. A soma do valor

mínimo de f com o valor mínimo de g é igual a:

a) 0

b) -1/4

c) 1/4

d) 1/2

e) 1

38. (EsPCEx) Seja 𝐸 = 4𝑠𝑒𝑛𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥 . O valor máximo de 𝐸 e os

correspondentes valores de x são, respectivamente:

a) 1

2 e

𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

b) 1 e 𝜋

4+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

c) 1 e 𝜋

2+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

d) 2 e 𝜋

4+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

e) 2 e 𝜋

4+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

39. (EsPCEx-11) A função real 𝑓(𝑥) está representada no

gráfico abaixo

A expressão algébrica de 𝑓(𝑥) é

a) 𝑓(𝑥) = {−|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 < 0|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 ≥ 0

b) 𝑓(𝑥) = {|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 < 0|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 ≥ 0

c) 𝑓(𝑥) = {−|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 < 0|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 ≥ 0

d) 𝑓(𝑥) = {|𝑠𝑒𝑛𝑥|, se 𝑥 < 0|𝑐𝑜𝑠𝑥|, se 𝑥 ≥ 0

e) 𝑓(𝑥) = {−𝑠𝑒𝑛𝑥, se 𝑥 < 0𝑐𝑜𝑠𝑥, se 𝑥 ≥ 0

40. (EsPCEx-14) O valor de 𝑐𝑜𝑠1650 + 𝑠𝑒𝑛1550 + 𝑐𝑜𝑠1450 −𝑠𝑒𝑛250 + 𝑐𝑜𝑠350 + 𝑐𝑜𝑠150 é

a) √2

b) -1

c) 0

d) 1

e) 1

2

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

41. (EsPCEx-12) Os pontos P e Q representados no círculo

trigonométrico abaixo correspondem às extremidades de dois

arcos, ambos com origem em (1, 0), denominados

respectivamente α e β, medidos no sentido positivo. O valor de

𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) é

a) 3+√3

3

b) 3−√3

3

c) 2 + √3

d) 2 − √3

e) −1 + √3

42. (EsPCEx-13) Um tenente do Exército está fazendo um

levantamento topográfico da região onde será realizado um

exercício de campo. Ele quer determinar a largura do rio que

corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos:

marcou dois pontos, 𝐴 (uma árvore que ele observou na outra

margem) e 𝐵 (uma estaca que ele fincou no chão na margem

onde ele se encontra); marcou um ponto 𝐶 distante 9 metros de

𝐵, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal modo

que o ângulo no ponto 𝐵 seja reto e obteve uma medida de 𝜋

3 rad para o ângulo 𝐴�̂�𝐵. Qual foi a largura do rio que ele

encontrou?

a) 9√3 metros

b) 3√3 metros

c) 9√3

2 metros

d) √3 metros

e) 4,5 metros

43. (EsPCEx-14) A população de peixes em uma lagoa varia

conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período

chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é

descrita pela expressão 𝑃(𝑡) = 103 ∙ (𝑐𝑜𝑠 (𝑡−2

6𝜋) + 5) em que o

tempo t é medido em meses. É correto afirmar que

a) o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano

b) a população atinge seu máximo em 𝑡 = 6

c) o período de seca corresponde a 4 meses do ano

d) a população média anual é de 6.000 animais

e) a população atinte seu mínimo em 𝑡 = 4 com 6.000 animais

44. (EsPCEx-14) Seja 𝛽 =1

2∙

𝑙𝑜𝑔103

𝑙𝑜𝑔103−𝑙𝑜𝑔107. O conjunto solução

da desigualdade 3𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ (3

7)

𝛽

no intervalo [0, 2𝜋), é igual a

a) [0,𝜋

3[

b) [𝜋

3,

5𝜋

3]

c) [𝜋

3, 2𝜋]

d) [𝜋

3, 2𝜋[

e) [3𝜋

2, 2𝜋[

45. (EsPCEx-17) Considere o triângulo com ângulos internos

𝑥, 450 e 1200. O valor de 𝑡𝑔2𝑥 é igual a

a) √3 − 2

b) 4√3 − 7

c) 7 − 4√3

d) 2 − √3

e) 2 − 4√3

46. (EsPCEx-17) O conjunto solução da inequação 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 ≥ 0, no intervalo ]0, 2𝜋] é

a) [2𝜋

3,

4𝜋

3]

b) [𝜋

3,

5𝜋

6]

c) [𝜋

3,

5𝜋

3]

d) [𝜋

3,

2𝜋

3] ∪ [

4𝜋

3,

5𝜋

3]

e) [𝜋

6,

5𝜋

6] ∪ [

7𝜋

6,

10𝜋

6]

47. (EsPCEx-17) Sendo 𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥), 𝑁 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1

𝑥) e 𝑃 =

𝑡𝑔(𝑀 − 𝑁), o valor de 30𝑃 para 𝑥 = 15 é

a) 224

30

b) 45

6

c) 45

d) 224

e) 225

48. (EsPCEx-18) Dentre as alternativas a seguir, aquela que

apresenta uma função trigonométrica de período 2𝜋, cujo gráfico

está representado na figura abaixo é

a) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥)

b) 𝑓(𝑥) = 1 + cos (𝜋 − 𝑥)

c) 𝑓(𝑥) = 2 − cos (𝜋 + 𝑥)

d) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑥)

e) 𝑓(𝑥) = 1 − cos (𝜋 − 𝑥)

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

49. (EsPCEx-18) O número de raízes reais da equação

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0 no intervalo ]0, 2𝜋[ é

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

50. (EsPCEx-96) De posse dos dados da figura abaixo e sabendo

que as circunferências são tangentes entre si e que ambas

tangenciam os lados do ângulo 𝐴�̂�𝐵, pode-se concluir que o

valor de 𝑠𝑒𝑛𝛼 é igual a:

a) 𝑅+𝑟

𝑅−𝑟

b) 𝑅−𝑟

𝑅+𝑟

c) 𝑅

𝑅+𝑟

d) 𝑅2

𝑅+𝑟

e) 𝑅2

𝑅−𝑟

51. (EsPCEx-96) Da figura abaixo, sabe-se que 𝑐𝑜𝑠𝛽 =√2

2.

Então, o 𝑐𝑜𝑠𝛼 vale:

a) √6

4−

√2

4

b) √6

4−

√3

4

c) √6

4+

√2

4

d) √6

4+

√3

4

e) √3

2

52. (EsPCEx-96) O valor de 𝑠𝑒𝑛53𝜋

6 é igual ao de:

a) 𝑐𝑜𝑠2250

b) 𝑐𝑜𝑠1500

c) 𝑐𝑜𝑠600

d) 𝑠𝑒𝑛2100

e) 𝑠𝑒𝑛1200

53. (EsPCEx-97) A equação 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑚2 − 𝑚 − 1 admite

solução se, e somente se:

a) 𝑚 ≤ 0 ou 𝑚 ≥ 1

b) −1 ≤ 𝑚 ≤ 2

c) 0 ≤ 𝑚 ≤ 2

d) 𝑚 ≥ 0 ou 𝑚 ≤ 1

e) −1 ≤ 𝑚 ≤ 0 ou 1 ≤ 𝑚 ≤ 2

54. (EsPCEx-96) Simpliflicando a expressão 𝐸 = (1 +𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥) ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥), teremos:

a) 𝐸 = 𝑡𝑔𝑥

b) 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

c) 𝐸 = √2

d) 𝐸 = 1

e) 𝐸 = −1

55. (EsPCEx-97) Para todo x real, pode-se afirmar que é sempre

válida a relação:

a) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥

b) 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

c) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −1

d) 𝑡𝑔𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑐2𝑥

e) 𝑠𝑒𝑐𝑥 =1

𝑐𝑜𝑠𝑥

56. (EsPCEx-97) A figura abaixo representa o gráfico da função

definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ cos (𝑏𝑥). Os valores de a e b são,

respectivamente:

a) 1 e 2

b) -1 e 1/2

c) 1 e 1/2

d) -1 e 1

e) -1 e 2

57. (EsPCEx-97) Considere as seguintes proposições:

I. A função 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 (2𝑥 +𝜋

6) é periódica, de período

𝜋

2

II. A equação 𝑠𝑒𝑛𝑥 =√3

2 tem infinitas soluções

III. Sendo 𝑡𝑔𝑥 =3

4 e 𝜋 < 𝑥 <

3𝜋

2, temos 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −

3

5 e 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 =

4

3

Sobre as proposições acima, pode-se afirmar que:

a) todas são verdadeiras

b) todas são falsas

c) apenas I e II são verdadeiras

d) apenas I e III são verdadeiras

e) apenas II e III são verdadeiras

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

58. (EsPCEx-97) O ângulo 𝛼 =32𝑘𝜋

3𝑟𝑎𝑑, onde 𝑘 ∈ ℕ∗, é tal

que:

a) 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 > 0, se 𝑘 = 1

b) 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 < 0, se 𝑘 = 2

c) 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 > 0, se 𝑘 = 3

d) 𝑠𝑒𝑛𝛼 não varia para 𝑘 = 1 ou 𝑘 = 2

e) 𝑐𝑜𝑠𝛼 não varia para 𝑘 = 1 ou 𝑘 = 2

59. (EsPCEx-97) Sabendo que 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 =5

4 e que x pertence ao

primeiro quadrante, o valor da expressão 25𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 9𝑡𝑔2𝑥 é:

a) 2

b) 3

c) 0

d) 4

e) 1

60. (EsPCEx-97) A soma das raízes da equação 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −3

4= 0,

onde 0 < 𝑥 < 3600, é

a) 60º

b) 240º

c) 180º

d) 720º

e) 300º

61. (EsPCEx-98) Se 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =1

5, com 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, então o

valor de 𝑠𝑒𝑛2𝑥 é:

a) −12

25

b) −24

25

c) 12

25

d) 16

25

e) 24

25

62. (EsPCEx-98) Sendo 𝑘 ∈ ℤ, o número de valores distintos

assumidos por 𝑠𝑒𝑛𝑘𝜋

9 é igual a:

a) 5

b) 8

c) 9

d) 10

e) 18

63. (EsPCEx-98) Se 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦 ≠ 0, então 𝑡𝑔𝑥 + 𝑡𝑔𝑦 é

equivalente ao produto:

a) (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦) ∙ (𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑦)

b) (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦) ∙ (𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑦)

c) 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑦)

d) 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)

e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦)

64. (EsPCEx-98) A soma das soluções da equação 625𝑐𝑜𝑠2𝑥

25𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1,

para 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋

2 é:

a) 𝜋

6

b) 𝜋

3

c) 𝜋

2

d) 2𝜋

3

e) 5𝜋

6

65. (EsPCEx-98) Dada a função 𝑓(𝑥) =1−𝑠𝑒𝑛2𝑥

1+𝑠𝑒𝑛2𝑥 e o intervalo

𝐼 = [0, 2𝜋], podemos afirmar que

a) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼 e a imagem de f em I é [0, 2]

b) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼|𝑥 ≠3𝜋

2 e a imagem de f em I é

[0, 2[

c) f não é definida para 𝑥 = −1 e a imagem de f em I é ] − 1, 1[

d) f não é definida para 𝑥 =𝜋

2 e a imagem de f em I é [0, 2[

e) f não é definida para 𝑥 =3𝜋

2 e a imagem de f em I é [0, 1[

66. (EsPCEx-98) Para todo 𝑘 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ∗ e 𝑥 ∈ ℝ, a

expressão [(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥]𝑛 é equivalente a:

a) [𝑠𝑒𝑛(2𝑘𝜋)]𝑛

b) [𝑐𝑜𝑠(2𝑘𝜋 + 𝜋)]𝑛

c) cos (𝑛𝑘𝜋)

d) [𝑠𝑒𝑛 (2𝑘𝜋 +𝜋

2)]

𝑛

e) sen(𝑛𝑘𝜋)

67. (EsPCEx-98) Dada a função 𝑓(𝑥) =1−𝑠𝑒𝑛2𝑥

1+𝑠𝑒𝑛𝑥 e o itnervalo

𝐼 = [0, 2𝜋], pode-se afirmar que:

a) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼 e a imagem de f em I é [0, 2[

b) f é definida para todo 𝑥 ∈ 𝐼|𝑥 ≠3𝜋

2 e a imagem de f em I é

[0, 2[

c) f não é definida para 𝑥 = −1 e a imagem de f em I é ] − 1, 1[

d) f não é definida para 𝑥 =𝜋

2 e a imagem de f em I é [0, 2[

e) f não é definida para 𝑥 =3𝜋

2 e a imagem de f em I é [0, 1[

68. (FGV) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da

água do mar em um certo ponto era dada por

𝑓(𝑥) = 4 + 3𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑥

6)

em que x representa o número de horas decorridos a partir de

zero hora de determinado dia, e a altura 𝑓(𝑥) é medida em

metros. Em que isntantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a

altura de 2,5m naquele dia?

a) 5 e 9 horas

b) 7 e 12 horas

c) 4 e 8 horas

d) 3 e 7 horas

e) 6 e 10 horas

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

69. (EsPCEx-99) Na figura abaixo, estão representados os

gráficos das funções reais 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥.

O valor de x que satisfaz a equação 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 está entre:

a) 0 e 1

b) 1 e 1,6

c) 1,6 e 3,4

d) 2,4 e 3,2

e) 3,2 e 4

70. (EsPCEx-99) A equação 𝑓(𝑥) = −5 tem solução real se

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

b) 𝑓(𝑥) = 10𝑥

c) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥

d) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥

e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(|𝑥| + 1)

71. (EsPCEx-99) Se 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑞 =1

𝑥−1 e sec 𝑞 =

√3−𝑥2

3−𝑥2 , então o

valor de x que verifica essas igualdades é

a) 1

2

b) 1

3

c) 1

4

d) 3

4

e) 3

2

72. (UFGO) Observe a figura a seguir, em que estão indicados

as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos.

O seno do ângulo indicado por α na figura vale:

a) 4√3−3

10

b) 4−√3

10

c) 4−3√3

10

d) 4+3√3

10

e) 4√3+3

10

73. (EsPCEx-99) Um triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 é inscrito num

círculo trigonométrico de raio unitário, conforme a figura abaixo.

Os vértices do triângulo estão nos pontos:

a) 𝐴 (√3

2,1

2) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (

√3

2, −

1

2)

b) 𝐴 (√3

2,1

2) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (

1

2, −

√3

2)

c) 𝐴 (1

2,√2

2) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (

1

2, −

√2

2)

d) 𝐴 (√2

2,√2

2) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (

√2

2, −

√2

2)

e) 𝐴 (1

2,√3

2) , 𝐵(−1, 0) e 𝐶 (

1

2, −

√3

2)

74. (FEI) A soma das raízes da equação 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 +cos(−𝑥) = 0, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, é igual a:

a) 3𝜋

2

b) 5𝜋

2

c) 3𝜋

d) 5𝜋

e) 7𝜋

2

75. (UECE) O valor de x mais próximo de 0, para o qual

𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +5𝜋

2) = 1, é:

a) −𝜋

2

b) 3𝜋

2

c) 𝜋

d) 𝜋

2

e) 0

76. (VUNESP) O conjunto solução (S) para a inequação 2 ∙𝑐𝑜𝑠2𝑥 + cos(2𝑥) > 2, em que 0 < 𝑥 < 𝜋, é dado por:

a) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|0 < 𝑥 <𝜋

6 ou

5𝜋

6< 𝑥 < 𝜋}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|𝜋

3< 𝑥 <

2𝜋

3}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|0 < 𝑥 <𝜋

3 ou

2𝜋

3< 𝑥 < 𝜋}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)|𝜋

6< 𝑥 <

5𝜋

6}

e) 𝑆 = {𝑥 ∈ (0, 𝜋)}

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

77. (FGV) A soma das raízes da equação 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) no

intervalo [0, 2𝜋] é:

a) 7𝜋

2

b) 9𝜋

2

c) 5𝜋

2

d) 3𝜋

e) 3𝜋

2

78. (FEI) Sabendo que 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 e que (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 +𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥, pode-se afirmar que x é igual a:

a) 𝜋

2

b) 𝜋

3

c) 𝜋

4

d) 2𝜋

3

e) 𝜋

79. (PUC) Assinale o valor de 𝜃 para o qual 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑡𝑔𝜃

a) 𝜋

2

b) 𝜋

3

c) 2𝜋

3

d) 4𝜋

3

e) 3𝜋

4

80. (FUVEST) O número real x, com 0 < 𝑥 < 𝜋, satisfaz a

equação 𝑙𝑜𝑔3(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑙𝑜𝑔3(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = −2. Então,

𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 vale

a) 1

3

b) 2

3

c) 7

9

d) 8

9

e) 10

9

81. Seja 𝑆 o conjunto solução da equação √3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2.

Indique a proposição verdadeira

a) 𝑆 = {𝑥; 𝑥 = (2𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℤ}

b) 𝑆 = {𝑥; 𝑥 = (2𝑘𝜋 + 1)𝜋

3, 𝑘 ∈ ℤ}

c) 𝑆 = {𝑥; 𝑥 = 𝑘𝜋

3, 𝑘 ∈ ℤ}

d) 𝑆 = {𝑥; 𝑥 = (2𝑘𝜋 + 1)𝜋

6, 𝑘 ∈ ℤ}

e) 𝑆 = {𝑥; 𝑥 = 2𝑘𝜋 +𝜋

3, 𝑘 ∈ ℤ}

82. (UECE) um possível valor de x, que seja solução da equação

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + ⋯ = 1 é:

a) 𝜋

6

b) 𝜋

2

c) 𝜋

4

d) 𝜋

3

83. (ITA) Se 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =1

2, então um possível valor de

𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥−1

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥−𝜋)−sec (𝜋−𝑥) é:

a) √3

2

b) 1

c) √2

d) √3

e) 2

84. (FUVEST) No triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶, ilustrado na figura

abaixo, a hipotenusa 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ mede 12cm e o cateto 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ mede 6cm. Se

M é o ponto médio de 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ,e ntão a tangente do ângulo 𝑀�̂�𝐶 é

igual a:

a) √2

7

b) √3

7

c) 2

7

d) 2√2

3

e) 2√3

7

85. (FUVEST) Sejam x e y números reais positivos tais que 𝑥 +

𝑦 =𝜋

2. Sabendo-se que 𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑥) =

1

3, o valor de 𝑡𝑔2𝑦 − 𝑡𝑔2𝑥

é igual a:

a) 3

2

b) 5

4

c) 1

2

d) 1

4

e) 1

8

TRIGONOMETRIA

pcdamatematica

86. Num triângulo 𝐴𝐵𝐶, retângulo em 𝐴, seja 𝐷 a projeção de 𝐴

sobre 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Sabendo-se que o segmento 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ mede 𝑙 cm e que 𝐷�̂�𝐶

mede 𝜃 graus, então a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 vale:

a) 𝑙2

2∙ 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∙ 𝑡𝑔𝜃

b) 𝑙2

2∙ 𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑡𝑔𝜃

c) 𝑙2

2∙ 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∙ 𝑡𝑔2𝜃

d) 𝑙2

2∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃

e) 𝑙2

2∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃

87. (FUVEST) Na figura abaixo, o quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 está

inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 =𝐴𝐷 = 𝑅. A diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ forma com os lados 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ ângulos α

e β, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 é:

a) 𝑅2

2(𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽)

b) 𝑅2

2(𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛽)

c) 𝑅2

2(𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛽)

d) 𝑅2

2(𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽)

e) 𝑅2

2(𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽)

88. (FATEC) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam

os números reais p e q, 𝑠𝑒𝑛(𝑝 + 𝑞) = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑝+𝑞

2) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (

𝑝−𝑞

2).

Logo a expressão 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛9𝑥 é idêntica a:

a) 𝑠𝑒𝑛10𝑥 + 𝑠𝑒𝑛8𝑥

b) 2 ∙ (𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)

c) 2 ∙ (𝑠𝑒𝑛10𝑥 + 𝑠𝑒𝑛8𝑥)

d) 1

2∙ (𝑠𝑒𝑛6𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)

e) 1

2∙ (𝑠𝑒𝑛10𝑥 + 𝑠𝑒𝑛8𝑥)

GABARITO

01. B 23. D 45. C 67. B

02. E 24. E 46. C 68. C

03. B 25. C 47. D 69. B

04. B 26. C 48. E 70. D

05. B 27. C 49. D 71. E

06. A 28. E 50. B 72. A

07. A 29. D 51. C 73. E

08. A 30. A 52. C 74. C

09. C 31. D 53. E 75. A

10. B 32. D 54. D 76. A

11. D 33. C 55. A 77. B

12. K=15/13 34. B 56. B 78. E

13. C 35. D 57. A 79. E

14. C 36. A 58. E 80. E

15. D 37. D 59. C 81. E

16. B 38. D 60. D 82. A

17. B 39. A 61. B 83. A

18. C 40. C 62. C 84. B

19. C 41. D 63. D 85. A

20. D 42. A 64. E 86. B

21. E 43. A 65. B 87. A

22. C 44. B 66. D 88. E

TRIGONOMETRIA