El Instituto Politécnico Nacional a través de la Escuela Superior de Física y

Matemáticas

CONVOCAN A ESTUDIANTES DE SECUNDARIA Y PREPARATORIA O SU EQUIVALENTE A PARTICIPAR EN EL:

24° Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2013.

El examen de la 1ª etapa se realizara el sábado 4 de mayo del 2013 a las 9:30 a.m. en la siguiente sede: Sede Región Norte: Colegio Montes de Oca Campus Tzompantle

Calle Guayabos agrios No. 337 Col. Tzompantle Cuernavaca, Morelos

Tel (01-777) 364-3512 o 364-3513

www.montesdeoca.edu.mx

Director: Arq. Víctor Manuel Sánchez González victormanuel_arq@hotmail.com

Coordinador Regional: I.Q. José Arias Trejo. Joelelmagnifico@hotmail.com

Las inscripciones quedan abiertas a partir del 20 de febrero hasta el 1 de mayo del 2013, a través del portal www.esfm.ipn.mx/fermat

Podrán participar todos los jóvenes, inscritos en cualquier año de secundaria o preparatoria.

Solo se aceptaran 10 estudiantes por nivel (si la escuela cuenta con secundaria y preparatoria podrá participar con 20 alumnos, 10 por nivel) y por campus (puede participar según sea el caso con 10 o 20 alumnos por campus).

Se aceptan inscripciones individuales

El examen es de opción múltiple y consta aproximadamente de 25 a 30 reactivos, con una duración aproximadamente de 3 horas.

El examen de la 2ª etapa se llevara a cabo el de septiembre en las siguientes sedes:

Instituto Politécnico Nacional

Universidad Autónoma de Yucatán

Universidad Autónoma de Guadalajara Los resultados de la 1ª etapa serán publicados 15 días después de aplicado el examen a través de los portales www.esfm.ipn.mx/fermat, www.acmor.org.mx y https://sites.google.com/site/concursofermat2012

Nota: cualquier cambio en la convocatoria será publicado en la página http://www.acmor.org.mx/ . Para mayores informes enviar correo: noejonhatan@eleducador.com

A T E N T A M E N T E

Ing. Noé Jonhatan Gómez Hernández

Delegado Estatal para el Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat.

1

Concurso Nacional Pierre Fermat 2012

Examen para Nivel SecundariaPrimera Etapa

Instrucciones: No utilizar celular (este debera de estar apagado), calculadora

o cualquier otro medio en el cual se puedan realizar operaciones aritmeticas. No

hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga debera de estar

relacionada con la redaccion del problema y/o con alguna duda sobre el conocimien-

to propio de la matematica. Debera de contestar los siguientes problemas de opcion

multiple.

Duracion de Examen: 3:00 horas.

Problemas

Problema 1. Un numero entero x, con 1 ≤ x < 12, es tal que satisface la ecuacion

5 x12

=17

2, donde 5 x

12es la notacion de un numero mixto. ¿Cual es el valor de x?

(a) 42 (b) 44 (c) 46 (d) 48

Problema 2. Sea x un numero real. ¿Cual de las siguientes relaciones enlistadas

debera de cumplirse si x satisface las relaciones 0 < 5(1− 2x) ≤ 1?

(a)5

2≤ x < 2 (b)

1

2≤ x <

5

2(c) −1 ≤ x <

2

5(d)

2

5≤ x <

1

2

Problema 3. El numero (2012.2012)3 esta dado en base 3. ¿Que numero es en

base 10?

(a) 5923

(b) 5979

(c) 592327

(d) 596581

2

Problema 4. Establezca cual de las siguientes ecuaciones cuadraticas tiene por

solucion a la fraccion8−√

14

3.

(a) 9x2 − 8x+ 10 = 0 (b) 9x2 + 8x− 10 = 0

(c) 9x2 − 48x+ 50 = 0 (d) 9x2 + 48x+ 50 = 0

Problema 5. Sean a y b dos numeros reales tales que b =√

2 +√

2 + a , donde

a ≥ −2. ¿Cual es el valor del numero

(b4 − a− 6

4

)2

?

(a) 2(a+ 1) (b) 2a+ 1 (c) 2a (d) 2 + a

Problema 6. Sea n un numero entero positivo tal que n se expresa en notacion

decimal como n = a1a0. Si n es divisible por 12, ¿cual de las siguientes afirmaciones

entre los dıgitos a0 y a1 de n se debe de cumplir?

(a) a0 − 2a1 es divisible por 3

(b) a0 − 2a1 es divisible por 5

(c) a0 − 2a1 es divisible por 7

(d) a0 − 2a1 es divisible por 9

Problema 7. ¿Cual es la solucion del sistema de dos ecuaciones lineales con dos

incognitas

x

3− y

2=

1

6

x

2+

y

3= −1

6?

3

(a)

(1

13,

5

13

)(b)

(1

13, − 5

13

)

(c)

(− 1

13, − 5

13

)(d)

(− 1

13,

5

13

)

Problema 8. El sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas

2x − y = 3

7x + 4y = 1

admite una unica solucion, y dicha solucion se encuentra en la grafica de una ecuacion

cuadratica de la forma y = ax2 + b, con a, b ∈ R, a 6= 0. ¿Cual es la ecuacion

cuadratica?

(a) y = 15x2 + 10 (b) y = 15− 10x2

(c) y = 10− 15x2 (d) y = 10x2 + 15

Problema 9. En el plano R2, considere la recta y = 3x + 2. Si esta recta se

translada paralelamente sobre el eje x tres y media unidades hacia la izquierda,

¿cual es la ecuacion de la recta obtenida?

(a) 2y = 6x+ 25 (b) 2y = 3x− 25

(c) 2y = 6x− 25 (d) 2y = 3x+ 25

Problema 10. El conjunto de puntos de la recta numerica que estan entre −1

y 1, considerando a −1 y 1, se le llama intervalo cerrado con extremos −1 y

1, y es denotado por [−1, 1]; es decir, [−1, 1] = {x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 1}. Sea

f : [−1, 1] −→ R dada por f(x) =√

1− x2. Determinar el numero real f(1− e−4),

donde e es el numero que es base de la funcion exponencial.

(a)

√1− 2e4

e4(b)

√e4 − 2

e4(c)

√2e4 − 1

e4(d)

√2− e4e4

4

Problema 11. ¿Cuantas soluciones reales tiene la ecuacion (x− 4)3 = x− 4?

(a) Ninguna solucion (b) Una solucion

(c) Dos soluciones (d) Tres soluciones

Problema 12. ¿Cual de las siguientes relaciones es la correcta?

(a) ln

(2012

2013· π)< 0 (b) ln

(2012

2013· π)

= 0

(c) ln

(2012

2013· π)> 0 (d) Ninguna de las anteriores

Problema 13. ¿Cual es el valor del numero real ln(eln(e

3))

?

(a) 3 (b) e3 (c) ln(3) (d)1

3

Problema 14. ¿Cual es el numero real x que satisface la ecuacion

4 = 2log2(log2(x)) ?

(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16

Problema 15. Un triangulo rectangulo tiene como uno de sus angulos interiores

al angulo θ, donde 0◦ < θ < 90◦, y la longitud de su hipotenusa es de cos(θ). ¿Cuales

deben de ser las longitudes de sus catetos?

5

(a) sen2(θ) ycos(2θ)

2(b) cos2(θ) y

sen(2θ)

2

(c) cos2(θ) ycos(2θ)

2(d) sen2(θ) y

sen(2θ)

2

Problema 16. ¿Cuales de las siguientes identidades trigonometricas es la correc-

ta?

(a) cos2(θ) + cos2(90◦ − θ) = 1 (b) cos2(θ) = cos2(90◦ − θ)

(c) cos2(θ) + cos2(90◦ − θ) =1

2(d) cos2(θ) + cos2(90◦ − θ) = −1

Problema 17. ¿Cual es la ecuacion de la recta en el plano xy que es tangente a

la circunferencia con centro en el punto (0, 1) y radio 5 unidades, la cual es paralela

al eje de las x’s?

(a) y = −4 (b) x = 5 (c) y = 5 (d) x = −4

Problema 18. Sea T0 = 4ACB un triangulo rectangulo el cual tiene longitudes

en sus catetos de 5 y 3 unidades, donde C es el vertice que soporta el angulo recto.

Por ejemplo, se pude suponer que el segmento AC tiene longitud de 5 unidades.

Considere los puntos medios de los catetos del triangulo T0, denotados por A1 y B1, y

los unimos por un segmento de recta. Notemos que si consideramos el triangulo T1 =

4A1CB1, este es un triangulo rectangulo. Ahora, con el triangulo rectangulo T1,

hacemos el mismo procedimiento realizado con el triangulo T0, es decir, consideramos

los puntos medios de los catetos del triangulo T1, denotados ahora por A2 y B2, y

los unimos por un segmento de recta para formar el triangulo rectangulo T2 =

4A2CB2. Bajo este procedimento, supongase que hemos construıdo los triangulos

T0, T1, . . . , T20. ¿Cual es el area del triangulo T20?

6

(a)15

238(b)

15

239(c)

15

240(d)

15

241

Problema 19. Un cırculo C es tal que el promedio de su perımetro de circunfe-

rencia junto con su area es 3π/2. ¿Cual debe de ser su radio?

(a)1

2(b) 1 (c)

3

2(d) 2

Problema 20. Dos cırculo C1 y C2, de areas A1 y A2, perımetros P1 y P2, y

radios r1 y r2 respectivamente, son tales que A1 − A2 = −2π y P 21 + P 2

2 = 16π2.

¿Cuantas unidades deben de valer r1 y r2?

(a) r1 =√

3 y r2 = 1 (b) r1 =√

2 y r2 = 3

(c) r1 = 1 y r2 =√

3 (d) r1 = 3 y r2 =√

2

Problema 21. Hay tres grupos de primer ano en el turno matutino de una

secundaria, a saber, 1◦· “A”, 1◦

· “B” y 1◦· “C”. A mediados del ciclo escolar, tres

alumnos de primer ano de secundaria provenientes de otras ciudades ingresan a

esta secundaria, y deberan de ser distribuidos cada uno de ellos en algun grupo de

tal manera que ninguno de ellos coincida con los otros. ¿De cuantas maneras estos

alumnos pueden ser distribuidos?

(a) 3 (b) 6 (c) 9 (d) 12

Problema 22. Elija una de las opciones siguientes que corresponda a la ecuacion

del cırculo en el plano que tiene centro en el punto (1,−1) y radio√

2 unidades.

(a) (x− 1)2 + (y − 1)2 = 2 (b) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 2

(c) (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 2 (d) (x+ 1)2 + (y + 1)2 = 2

7

Problema 23. Una esfera de radio r unidades esta inscrita en un cubo. ¿Cual es

el volumen contenido en el cubo que esta fuera de esfera?

(a)

(3− 4π

3

)r3 (b)

(4π − 3

3

)r3 (c)

(24− 4π

3

)r3 (d)

(4π − 12

3

)r3

Problema 24. Una agencia de venta de autos pretendıa obtener, en el ano

2011, una venta de un lote de autos de un modelo especıfico por la cantidad de

$ 13 920 000.00, pero unicamente tuvo una venta de $ 12 035 000.00. Si a los au-

tos vendidos se les hubiera aumentado la cantidad de $ 22 710.00 sobre su precio,

entonces se hubiera obtenido la cantidad de dinero en venta esperada. ¿Cual es la

cantidad de autos en el lote? ¿Cual es el costo de cada uno de los autos?

(a) Lote: 192 autos

Costo: $ 72 500.00

(b) Lote: 120 autos

Costo: $ 116 000.00

(c) Lote: 96 autos

Costo: $ 145 000.00

(d) Lote: 48 autos

Costo: $ 290 000.00

Problema 25. De acuerdo con la figura de abajo, se tiene un crculo C, en donde

el angulo θ del triangulo 4COA esta dado en radianes. ¿Cual es el area de la region

limitada por los segmentos CA y AB, junto con el arco BC?

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C

• )θ

1

BO A

C

(a)1

2

(θ +

cos(2θ)

2

)(b)

1

2

(θ − sen(2θ)

2

)

(c)1

2

(θ +

sen(2θ)

2

)(d)

1

2

(θ − cos(2θ)

2

)

Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2011

Examen para Nivel SecundariaPrimera Etapa

Instrucciones: No utilizar ningún tipo de dispositivo electrónico con el que se puedan

realizar operaciones. No hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga

deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con alguna duda sobre el

conocimiento propio de la matemática. Deberá de contestar los siguientes problemas de

opción múltiple.

Duración de Examen: 3:00 horas.

Problemas

Problema 1. Si 323+ x = 6, donde 32

3es una fracción mixta, ¾cuál es el valor de x?

(a) 312

(b) 213

(c) 123

(d) 313

(e) 212

Problema 2. En un poblado del estado de Oaxaca se realizó una encuesta a hombres

y mujeres de entre 16 y 18 años que estudian y/o trabajan. Algunos de los resultados

obtenidos fueron los siguientes: Las dos terceras partes de ellos estudia y trabaja; de los

que estudian y no trabajan, la cuarta parte tienen pocos recursos para continuar sus

estudios y son 3501 jóvenes; y de los que no estudian y trabajan corresponde a un total

de 4732 jóvenes. ¾Cuál es la población total de jóvenes encuestados.

(a) 56206 (b) 50662 (c) 56207 (d) 5207 (e) 56208

Problema 3. Un autobús foráneo va a una velocidad de 85 kilómetros por hora. ¾Cuál

es la velocidad equivalente del autobús en metros por segundo?

(a) 23.63 m/s (b) 23.65 m/s (c) 23.68 m/s (d) 23.64 m/s (e) 23.69m/s

Problema 4. Supóngase que se tiene tres números reales a, b y c los cuales satisfacen

las relaciones a < 0 < b y c < 0 ¾Cuál de las siguientes relaciones es la correcta?

(a) b2 − ac < 2b2 (b) b2 − ac = 2b2 (c) b2 − ac > 2b2

1

2

Problema 5. Considere el segmento de la recta numérica que tiene por extremos

−1/3 y 7/5 ¾Cuál es el número real x que se encuentra dentro del segmento considerado,

sabiendo que éste se encuentra cerca del extremo −1/3, a una distancia de la tercera parte

de la longitud del segmento?

(a) 9/45 (b) 10/45 (c) 11/45 (d) 12/45 (e) 13/45

Problema 6. El número 2011 es un número primo el cual se puede expresar en la

forma:

2011 = (2× 1005) + 1 = (3× 670) + 1 = (6× 335) + 1.

Es decir, para ciertos números naturales n y q se puede tener que 2011 = nq+1. Establezca

si el siguiente enunciado es verdadero o falso: Dados n y q números naturales, se tiene

que 2011 = nq + 1 si y sólo si n divide a 2010.

(a) Verdadero (b) Falso

Problema 7. Establezca la fracción algebraica que es equivalente a la siguiente:

1√x+ y −√

y.

(a)

√x+ y +

√y

2y(b)

√x+ y −√

y

x(c)

√x+ y +

√y

x(d)

√x+ y −√

y

x(e)

√x+ y +

√y

y

Problema 8. El polinomio f(x) = x3 − 8x2 + 17x − 10 se factoriza en la forma

f(x) = (x − 1)(2 − x)g(x), donde g(x) es un polinomio lineal. ¾Quién es el polinomio

g(x)?

(a) g(x) = 3− x (b) g(x) = 4− x (c) g(x) = 5− x (d) g(x) = 6− x (e) g(x) = 7− x

3

Problema 9. Usando la relación xn−1 = (x−1)(xn−1+xn−2+· · ·+x+1) adecuadamente

en dos ocaciones, al polinomio f(x) = x2012 − 1 lo podemos factorizar en la forma f(x) =

(x−1)(x1509+x1006+x503+1)g(x), para algún polinomio g(x). ¾Cuál debe de ser el grado

del polinomio g(x)?

(a) 504 (b) 503 (c) 502 (d) 501 (e) 500

Problema 10. Seleccione la relación que sea la correcta, si es que la hay.

(a) ln(40) = 4 ln(2) + ln(10)− ln(25)

(b) ln(40) = 4 ln(2) + ln(25)− ln(10)

(c) ln(40) = 5 ln(2) + 2 ln(5)

(d) ln(40) = 4 ln(2) + ln(10)− 4 ln(5)

(e) Ninguna de las anteriores

Problema 11. Considere la función f : R −→ R dada por la relación f(x) = x2. ¾Cuál

es el valor de f(π − 1)?

(a) π2 − 1 (b) π2 + 1 (c) π2 − 2π + 1 (d) π2 + 2π + 1 (e) π2 − 2

Problema 12. De nuevo, considere la función del problema anterior, es decir, f : R −→R dada por la relación f(x) = x2. Seleccione la relación que sea la correcta, si es que la

hay.

(a) f((x− 1)2 − 1) = f(x− 1)f(1)

(b) f((x− 1)2 − 1) = f(x)f(x− 2)

(c) f((x− 1)2 − 1) = f(x(x− 2))

(d) f((x− 1)2 − 1) = f(x(x+ 2)

(e) Ninguna de las anteriores.

Problema 13. La velocidad de la luz es de c = 300000 km/s. Albert Einstein estableció

la famosa Teoría Especial de la Relativa la cual, entre una de sus consecuencias, dio como

resultado la llamada Paradoja de los Gemelos, y que consiste en lo siguiente: Si un gemelo

A viaja en una nave espacial a una velocidad v cercana a la velocidad de la luz, entonces

el gemelo B que se queda en la Tierra observará que ha envejecido más que el gemelo

4

A, después de que ha retornado el gemelo A a la Tierra. La solución a esta paradoja se

establece por el signi�cado que tiene la fórmula:

t =t0√

1− v2/c2,

donde t0 y t son ciertas mediciones de intervalos de tiempo.

Supógase que se conocen los valores de t0, t y, por supuesto, c. ¾Cómo se debe de

calcular el valor de v?

(a) v = c√1− t20/t

2 (b) v = c√

(1− t20)/t2 (c) v = c

√(1− t2)/t20

Problema 14. De acuerdo con la porciónde recta numérica que se muestra abajo, ¾cuál

es el valor de x?

−1/3 2/5x

(a) −13

72(b) −14

72(c) −15

72(d) −16

72(e) −17

72

Problema 15. Considere los puntos en el plano P = (−1, 1), Q = (0,−1) y R = (1, 0),

los cuales forman un triángulo. ¾Cuál es el área del triángulo que forman?

(a) 3/2 (b) 5/2 (c) 7/2 (d) 9/2 (e) 1/2

Problema 16. En un triángulo rectángulo con longitud en su hipotenusa de c unidades

y ángulo interior θ < 90◦, elija la opsición con la que se puede calcular el área del triágulo

con los datos dados.

(a) c2 cos2(θ)/2

(b) c2 cos(θ) sen(θ)/2

(c) c2 sen2(θ)/2

(d) c2 sen2(θ)/2

(e) −c2 sen2(θ)/2

5

Problema 17. Considere un triángulo rectángulo △ABC el cual tiene longitudes en

sus catetos de 2 y 3 unidades. Sea h unidades la altura determinada sobre la hipotenusa

del trángulo △ABC. ¾Cuál es el valor de h?

(a) 3 unidades (b) 6 (c) 6√13 unidades (d) 6

√13/13 unidades (e) 6/13

Problema 18. ¾Cuál es la media aritmética de los números 1, 2, . . . , 100?

(a) 50 (b) 50.3 (c) 50.5 (d) 50,7 (e) 51

Problema 19. Elija la posibilidad correcta que pueda ocurrir entre dos rectas en el

plano.

(a) Tienen dos puntos de intersección.

(b) Tienen una in�nidad de puntos de intersección.

(c) Ninguna de las anteriores.

Problema 20. Un barril cilíndrico de base circular y de 1.3 metros de altura tiene una

capacidad de 1200π litros. ¾Cuál es el diámetro del barril?

(a) 4√39/13 (b) 2

√39/13 (c) 4

√39/13 (d) 6

√39/13 (e) 8

√39/13

Problema 21. Determine el valor correcto que falta en la siguiente diferencia:

3 km 80 m 15 cm 13 mm

-

2 km 98 m 17 cm 15 mm

___ km 981 m ___ cm 8 mm

(a) 1 (b) 8 (c) 97 (d) 123 (e) 45

6

Problema 22. Establezca la factorización de la expresión algebraica:

(x2/3y5/3 + xy

) (x2/3y5/3 − xy

)+(xy + x7/3y4/3

) (xy − x7/3y4/3

).

(a)(x7/3y4/3 − x2/3y5/3

) (x7/3y4/3 + x2/3y5/3

)(b)

(x2/3y5/3 + x7/3y4/3

) (x2/3y5/3 − x7/3y4/3

)(c)

(x7/3y5/3 + x2/3y4/3

) (x7/3y5/3 − x2/3y4/3

)(d)

(x7/3y5/3 − x2/3y4/3

) (x7/3y5/3 − x2/3y4/3

)(e)

(x7/3y5/3 + x2/3y4/3

) (x7/3y5/3 + x2/3y4/3

)Problema 23. Se tiene un hexágono regular cuya apotema mide 3/14 unidades. ¾Cuál

es la medida de cada uno de sus lados?

(a)√3/7 (b) 7

√3/2 (c) 2

√3/7 (d)

√2/3 (e) 2

√7/7

Problema 24. Carlos es un obrero de familia que tiene dos hijos: Alberto y Beatríz.

De su salario que recibe mensualmente, al inicio del ciclo escolar, el 60% lo usará en la

compra de útiles escolares para sus hijos. Pero, como Beatríz va en la secundaria y Alberto

en la primaria, Carlos gastará el 73% para Beatríz. ¾Cuál es el porcentaje de salario de

Carlos que le corresponderá a su hijo Alberto en este caso?

(a) 16.8% (b) 17.2% (c) 27% (d) 27.2% (e) 16.2%

Problema 25. De acuerdo con la �gura de abajo, ¾cuál es la longitud del segmento

DC? El segmento OD es una de las alturas del triángulo △AOB.

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C @@@

@@•

r

BO r

A

C

D�

���

(a)r(1−

√2)

2(b)

r(2−√2)

2(c)

r(2 +√2)

2(d)

r(3−√2)

2(e)

r(3 +√2)

2

Concurso Nacional de Matematicas Pierre Fermat 2012

Examen para Nivel Medio SuperiorPrimera Etapa

Instrucciones: No utilizar celular (este debera de estar apagado), calculadora o cualquier

otro medio en el cual se puedan realizar operaciones aritmeticas. No hay sugerencias a los

problemas; cualquier pregunta que se haga debera de estar relacionada con la redaccion del

problema y/o con alguna duda sobre el conocimiento propio de la matematica. Debera de

contestar los siguientes problemas de opcion multiple.

Duracion de Examen: 3:00 horas.

Problemas

Problema 1. ¿Cuantas cadenas de cinco caracteres se pueden hacer usando dos letras y

tres dıgitos (sin repetir alguna letra o numero) de la siguiente forma LLDDD?

a) 272102 b) 27*26*10*9*8 c) 272103 d) 273102

Problema 2. ¿Cuantas cadenas de cinco caracteres se pueden hacer usando tres letras y

dos dıgitos de la siguiente forma LLLDD?

a) 272 ∗ 102 b) 27*26*25*10*9 c) 273 ∗ 102 d) 272 ∗ 103

Problema 3. ¿Cuantas cadenas de cuatro dıgitos se pueden formar?

a) 104 b) 10*9*8*7 c) 102 ∗ 9 ∗ 8 d) Una infinidad

Problema 4. ¿Cuantas cadenas de cuatro dıgitos se pueden formar, si debe haber al

menos dos 4?

a) 104 b) 10*9*8*7 c) 600 d) 104/2

Problema 5. ¿Cuantas cadenas de cuatro dıgitos se pueden formar, si el primero debe

ser impar?

a) 104 b) 104/2 c) 5 ∗ 103 d) 104/5

1

2

Problema 6. ¿Cuantos numeros menores o iguales que 2000 son divisibles por 9?

a) 200 b)221 c) 222 d) 223

Problema 7. ¿Cuantos numeros menores o iguales que 2000 son divisibles por 3, pero no

por 5 ?

a) 531 b) 532 c) 533 d) 534

Problema 8. ¿Cuantos numeros menores o iguales que 2000 nos son divisibles por 3?

a) 131 b) 132 c) 133 d) 134

Problema 9. ¿Cuantas maneras hay de repartir 20 chocolates a un grupo de 6 ninos?

a)

(20

6

)b) 20*19*18*17*16*15 c) 206 d) 620

Problema 10. ¿De cuantas formas puedo elegir tres numeros impares del 1 al 100?

a) 33 b) 53 c) 35 d)

(50

3

)

Problema 11. En un reclusorio hay 78 prisioneros. Si se sabe que se van a fugar cuatro

de ellos en cuatro diferentes dıas ¿De cuantas formas puede pasar esto?

a) 784 b) 478 c) 78*77*76 d) 78!/74!

Problema 12. Considere la siguiente figura.

¿Cual de las siguientes expresiones relaciona la medida de los angulos?

a) m∠β +m∠γ < m∠α b) m∠β +m∠γ > m∠α

c) m∠β +m∠γ = m∠α d) m∠β +m∠α = m∠γ

3

Problema 13. ¿Que valor de x satisface la siguiente ecuacion?

2 lnx = ln 2 + ln(2 +√

2) + ln

(2 +

√2 +√

2

)+ ln

(2−

√2 +√

2

)a) 1 b)

√2 c) 2 d) 2

√2

Problema 14. ¿Cual es el valor de la integral

∫ π/2

0

sen3θ dθ√a2 + b2 − 2ab cos θ

?

a)1

15a3b3[2(a− b)3(a2 + 3ab+ b2)−

√a2 + b2(2a4 − 11a2b2 + 2b4)]

b)1

15a3b3[2(a− b)3(a+ b)2 −

√a2 + b2(2a4 − 11a2b2 + 2b4)]

c)1

15a2b2[2(a− b)3(a2 + ab+ b2)−

√a2 + b2(2a4 − 11a2b2 + 2b4)]

d)1

15a2b2[2(a− b)3(a2 + 3ab+ b2)−

√a2 + b2(a4 − 11a2b2 + b4)]

Problema 15. ¿Cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras

A,A,A, I, I,N,N,N,N,D,D?

a) 3!2!4!2! b) 11!-3!2!4!2! c) 11!/3!2!4!2! d) 3!2!4!2!/11!

Problema 16. Sean a, b ∈ R tales que 0 < b ≤ a. Cual de las siguientes desigualdades es

cierta.

a) lna

b≤ a− b

a≤ a+ b

bb)

a− ba≤ a+ b

b≤ ln

a

b

c)a− ba≤ ln

b

a≤ a+ b

bd)

a− ba≤ ln

a

b≤ a+ b

b

Problema 17. La distancia entre dos postes es de 10 metros, como se muestra en la

siguiente figura.

4

La longitud de cada poste es de 3 y 5 metros. A manera de soporte, un cable que une la

parte superior de los dos postes se sujeta a un punto en el piso, localizado sobre la lınea

que une los dos postes. Con respecto al punto A donde debe situarse el punto P de manera

que la longitud del cable sea el mınimo.

a)5

2b)

5

4c)

15

2d)

15

4

Problema 18. ¿Que tipo de triangulo es posible construir con lados cuyas longitudes

sean:2,4,6?

a) Equilatero b) Isosceles c) Escaleno d) Ni uno

Problema 19. Se quiere recubrir un area de 625 cm2 utilizando simultaneamente cuadra-

dos de 4 cm y 5 cm sin que se traslapen. Cual de los siguientes enunciados es la solucion

al problema.

a) Tiene infinidad de soluciones b) No tiene solucion

c) Tiene solucion unica d) Tiene dos soluciones

Problema 20. Considere un cubo de lado uno, se realiza un corte que pasa por tres de

sus vertices tal como se muestra en la siguiente figura.

¿Cuantos cortes adicionales con esta caracterıstica se pueden hacer en el cubo? Despues

de realizar los cortes se genera un poliedro ¿Cual es su volumen?

a) 1 corte y el volumen es√

3 b) 1 corte y el volumen es

√3

2

c) 3 cortes y el volumen es1√3

d) 3 cortes y el volumen es1

3

5

Problema 21. Todos los puntos racionales (x, y) del cırculo x2 + y2 = 1 estan dados por:

a) (x, y) =

(1−m2

1 +m2,

2m

1 +m2

)b) (x, y) =

(1−m2

1 +m2,− 2m

1 +m2

)c) (x, y) =

(1− 2m2

1 +m2,

2m

1 +m2

)d) (x, y) =

(1−m2

1 +m2,

m

1 +m2

)Donde m recorre todos los numeros racionales.

Problema 22. Considere tres enteros positivos a, b, c tales que a + b > c. Se tiene la

ecuacion ax+ by = c, cual de los siguientes enunciados es valido para la ecuacion:

a) Tiene infinidad de soluciones enteras b) No tiene soluciones enteras

c) Solo tiene soluciones enteras positivas d) Tiene un numero finito de soluciones enteras

Problema 23. Se tiene un tablero cuadrado, este se perfora para representar fracciones

utilizando pija y ligas. Las fracciones se representan en forma lineal y en forma de area,

y estas son medios, tercios, cuartos y ası sucesivamente hasta un decimos. ¿Cuantas per-

foraciones tiene el tablero?

a) 373 b) 469 c) 753 d) 1089

Problema 24. Hay dos rectas que pasan por el punto (4, 1) y forman triangulos de area32

3en los cuadrantes II y IV . ¿Cuales son sus pendientes?

a) m =4± 11

√7

12b) m =

11± 4√

7

12c) m =

4± 7√

11

12d) m =

11± 4√

7

12

Problema 25. Dado el triangulo ∆ABC y el triangulo ∆DEF ambos de mismo perımetro

(12), y se sabe que el triangulos ∆ABC es rectangulo y que el triangulo ∆DEF es

equilatero. ¿Cual tiene mayor area?

a) ∆ABC b) ∆DEF c) Igual d) No se sabe

Concurso Nacional de Matemáticas Pierre Fermat 2011

Examen para Nivel Medio SuperiorPrimera Etapa

Instrucciones: No utilizar ningún tipo de dispositivo electrónico con el que se puedan

realizar operaciones. No hay sugerencias a los problemas; cualquier pregunta que se haga

deberá de estar relacionada con la redacción del problema y/o con alguna duda sobre el

conocimiento propio de la matemática. Deberá de contestar los siguientes problemas de

opción múltiple.

Duración de Examen: 3:00 horas.

Problemas

Problema 1. Al simpli�car la expresión2x− 1

x− 1− x2

x− 1+ x resulta

(a) 0 (b) 1 (c) x (d) x− 1 (e)x+ 1

Problema 2. Al simpli�car la expresión1

1 + x1+x

− 1

1− x1−x

resulta

(a) 1 (b) x (c) x1−x (d) 2x

1+x(e) 2x

(1−2x)(−1−2x)

Problema 3. ¾Cuántas parejas de enteros x y y existen con x ≤ y tales que x2 + y2 =

2010?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Problema 4. Un rectángulo con lados a y b tiene un perímetro de 28u, si una de sus

diagonales mide 10u, entonces el área del rectángulo es,

(a) 36 (b) 40 (c) 48 (d) 84 (e) 96

Problema 5. Si 2x+1 = ,25, entonces el valor de −3x es

(a) − 9 (b) − 3 (c) 1 (d) 3 (e) 9

1

2

Problema 6. El valor exacto de la expresión Sen (7π12) es

(a) 1+√3

2√2

(b)√32+√22

(c)√2+√6

2(d)

√2+√3

4(e)

√6+√3

4

Problema 7. Si n y k son enteros tales que Sen (k π2) = Cos (nπ

2) = 0. Entonces n + k

puede obtener el valor

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 (e) 8

Problema 8. El punto de la recta y = x+ 5 más cercano al punto (0, −5) es,

(a) (−7 0,5, −2 0,5) (b) (−5, 0) (c) (−2, 3) (d) (−2, 3) (e) (0, 5)

Problema 9. ¾Cuál de las siguientes cantidades se puede expresar como cociente de dos

enteros?

1. la cantidad de veces que cabe el radio de un círculo en su circunferencia,

2. longitud de la diagonal de un cuadrado con un lado de longitud entera,

3. altura de un triángulo equilátero con un lado de longitud entera,

4. área de un círculo con un radio entero,

5. ninguna de las anteriores.

Problema 10. El máximo común divisor de dos enteros m y n es 1, si m < n ¾cuál de

las siguientes a�rmaciones es válida?

1. no hay un primo que divida a m y n al mismo tiempo,

2. el número primo 1 divide a m y n,

3. sólo hay un primo que divide a m y n,

4. m divide a n,

5. ninguna de las anteriores.

Problema 11. A un tablero de ajedrez T de 8 × 8 se le han quitado los dos cuadrados

de 1× 1 que están en las esquinas de una diagonal ¾Cuál es el mayor número de �chas de

dominó de 2× 1 que se pueden acomodar sobre el tablero T sin que estas se translapen?

(a) 28 (b) 29 (c) 30 (d) 31 (e) 32

3

Problema 12. El área de un triángulo con vértices en los puntos (0, 1), (1, 4) y (7, 2) es,

(a) 8 (b) 9 (c) 10 (d)√40+√10

2(e) 20

Problema 13. En una escuela solo hay alumnos que nacieron entre el primero de enero

de 1999 y el 31 de diciembre de 2005. ¾Cuál es el menor número de alumnos que se deben

inscribir a un grupo para estar seguros que hay al menos dos alumnos que nacieron el

mismo año y el mismo mes?

(a)60 (b)61 (c)72 (d)73 (e)85

Problema 14. ¾Cuál es la probabilidad de que un alumno contestando aleatoriamente

este examen responda de manera correcta todos los ejercicios?

(a)25−5 (b)5−26 (c)1

25 ∗ 5(d)5−25 (e)

25

525

Problema 15. Cuántas raíces reales tiene el polinomio f(x) = (ax2+bx+c)(cx2+bx+a)

si a > 0, b < 0 y c < 0.

(a)0 (b)1 (c)2 (d)3 (e)4

Problema 16. Un triángulo equilátero tiene sus vértices sobre una circunferencia de

perímetro 4π. El área del triángulo es,

(a)√32

(b)√34

(c)3√3

2(d)3

√3

4(e)√62

Problema 17. Calcule el perímetro del círculo descrito por la ecuación x2 − 2x + y2 −4y + 1 = 0.

(a)4π (b)6π (c)8π (d)π (e)2π

Problema 18. Suponga una circunferencia que pasa por los puntos (1,−1), (2,−2) y

(0,−2). Calcule el área de tal circunferencia.

(a)9π (b)4π (c)π (d)π4

(e)2π

4

Problema 19. Eliseo, Oscar y Abelardo tienen 12 dulces. Si Oscar le da 3 dulces a Eliseo,

Abelardo le da un dulce a Oscar y Eliseo le da 2 dulces a Abelardo, entonces todos ellos

quedan con la misma cantidad de dulces. ¾Cuantos dulces tenía Abelardo inicialmente?

(a)5 (b)4 (c)1 (d)2 (e)3

Problema 20. Suponga un pentágono convexo ABCDE, en el cual todos sus lados tienen

la misma longitud. Si los ángulos en A y en B son rectos, ¾Cúal es la medida del ángulo

en D?

(a)90◦ (b)120◦ (c)45◦ (d)60◦ (e)75◦

Problema 21. Calcule el coe�ciente del termino x5 que resulta al expandir la siguiente

expresión (x+ 2)4(x+ 3)3.

(a)321 (b)230 (c)123 (d)57 (e)85

Problema 22. A partir de un cuadrado de lado dos, se construyen todos los cuadrados

posibles que tengan al menos dos vértices en común con él. ¾Cuál será el área cubierta

por todos los cuadrados construidos?

(a)28 (b)26 (c)32 (d)20 (e)24

Problema 23. La suma de todos los divisores de 105 esta dada por:

(a)106−19

(b)2656−19

(c)(26−1)(56−1)

4(d)2

6+56−15

(e)26+56−1

9

Problema 24. El área de un octágono regular de lado a esta dada por:

(a)2√2a2 (b)

(4 +√2)a2 (c)

(4−√2)a2 (d)

(2− 2

√2)a2 (e)

(2 + 2

√2)a2

Problema 25. En la igualdad 2x+1 + 2x = 3y+2 − 3y se sabe que tanto x como y son

números enteros. ¾Cuál es el valor de y?

(a)0 (b)1 (c)2 (d)3 (e)4