2.40 10 x V 10.4 / . rad s NBA 120)(0.075 )().016 ) T m · Exercícios – PARTE B – GABARITO – Física III –Lei de Faraday – Lenz, Indução e Circuitos AC Prof. Dr. Cláudio

Exercícios – PARTE B – GABARITO – Física III –Lei de Faraday – Lenz, Indução e Circuitos AC Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Lei de Faraday – Lenz, Indução e Circuitos AC – Física III – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

Capítulo 30 – Sears, Zamansky &Young, V.3

30-2: .106.3

040.0

)102.1)(1000.6)(200( 4235

Vxs

mxTX

t

NBA

t

B

30-4: De acordo com o Ex. (30-3),

Q = .1016.20.1280.6

)1020.2)(05.2)(90( 324

CxmxT

R

NBA

30-6: a)

435 )/1000.3()/0120.0()( tsTxtsTdt

dNAB

dt

dNA

dt

Nd B

= NA ((0.012 T/s) + (1.2 x 10-4 T/s)t3) = 0.0302 V + (3.02 x 10-4 V/s2)t3.

b) Para t = 5.00 s = 0.0302 V + (3.02 x 10-4 V/s2)(5.00 s)3 = +0.0680V

I = .1013.1600

0680.0 4 AxV

R

30-8:a) dt

d

dt

d B(NBA cos t) = NBA sen t e 1200

rev/min = 20 rev/s, logo:

max = NBA = (150)(0.060 T) (0.025 m)2(440 rev/min)(1

min/60 s)(2 rad/rev) = 0.814 V.

b) A fem média é dada por: =

.518.0814.022

max VV

30-10: =

./4.10)016)().075.0)(120

1040.2

sin)cos(

2

2

max

max

sradmT

Vx

NBA

NBAtNBAtNBAdt

d

dt

d B

30-12: a) Quando o campo magnético cresce entrando na página, o campo magnético induzido deve se opor a esta variação. Logo, a corrente

induzida possui sentido anti-horário.

b) Quando o campo magnético decresce entrando na página, o

campo magnético induzido deve se opor a esta variação. Logo, a corrente

induzida possui sentido horário.

c) Quando o campo magnético permanece constante, a variação do

fluxo magnético é igual a zero. Logo não existe nenhuma corrente induzida.

30-14: a) Quando a corrente passa no sentido de a b e está aumentando, vemos que o fluxo magnético aumenta da direita para a

esquerda, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da

esquerda para a direita. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da direita para a esquerda.

b) Quando a corrente passa no sentido de b a e está diminuindo,

vemos que o fluxo magnético aumenta da direita para a esquerda, logo a corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da esquerda para a

direita. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da

direita para a esquerda.

c) Quando a corrente passa no sentido de b a e está aumentando,

vemos que o fluxo magnético aumenta da esquerda para a direita, logo a

corrente induzida deve produzir um fluxo magnético da direita para a

esquerda. Donde se conclui que a corrente induzida deve passar no resistor da

esquerda para a direita.

30-16: a) = vBL = (5.00 m/s)(0.450 T)(0.300 m) = 0.675 V.

b) A diferença de potencial entre as extremidades da barra é dada pela fem induzida pelo movimento, ou seja, V = 0.675 V.

c) As cargas positivas se deslocam para a extremidade b,

logo b está a um potencial mais elevado.

d) E = .25.2750.0

675.0

m

VV

d

v

e) b

30-18: a) = vBL = (7.50 m/s)(0.800 T)(0.500 m) = 3.00 V.

b) A corrente passa no sentido anti-horário visto que o campo magnético que ela produz deve se opor ao aumento do fluxo magnético

na espira.

c) F=ILB =

50.1

)800.0)(500.0)(00.3( TmV

R

LB=

0.800 N, da esquerda para a direita.

d) Pmec = Fv = (0.800 N)(7.50 m/s) = 6.00 W.

Pele =

50.1

)00.3( 22 V

R6.00 W. Logo as duas potências são iguais.

30-20: a) Usando a Equação (30-6): = vBL B =

.833.0)120.0)(/50.4(

450.0T

msm

V

vL

b) O ponto a está a um potencial mais elevado do que o do ponto b, porque existem mais cargas positivas no ponto a do que no ponto b.

30-22: a) .2

1dt

dBr

dt

dBA

dt

d B

b) E = .222

1 1

1

2

1

1 dt

dBr

dt

dB

r

r

dt

d

r

B

c) O flux magnético está inteiramente confinado na região r < R, logo

fora do solenóide

E = .222

1 22

1 dt

dB

r

R

dt

dB

r

R

dt

d

r

B

d) Use os resultados dos itens (b) e (c) para fazer o gráfico solicitado.

e) Para r = R/2:

.4

)2/(2

dt

dBR

dt

dBR

dt

d B

f) Para r = R = .2

dt

dBR

dt

d B



2

g) Para r = 2R = .2

dt

dBR

dt

d B Note que a fem induzida

não depende da distância r ao eixo central do cilindro para pontos fora do cilindro.

30-24:

./21.9)0110.0()00.4(

)0350.0(2)(/1000.8(

2).()(

21

0

6

0

00

sAmm

mVx

dt

dI

nA

rE

dt

dI

dt

dInAnIA

dt

dBA

dt

d

dt

d B

30-26: = -

t

nINA

t

BBNA

t

N ifB 0)(

.1050.9

0400.0

)350.0)(9000)(1000.8)(12(

4

124

Vx

s

Ammxo

30-28: Podemos fazer o seguinte modelo simples. Imagine um

supercondutor do tipo II como se fosse um circuito contendo em paralelo uma região condutora (ou várias regiões) e uma região supercondutora (ou várias

regiões). Caso haja uma ddp nos terminais de um fio supercondutor do tipo II, a corrente deve fluir pelas regiões supercondutoras (com resistência igual a

zero) e não pelas regiões condutoras (com resistência diferente de zero). A

corrente passará portanto como se a resistência total fosse igual a zero. Ou seja, podemos dizer que a resistência equivalente é igual a zero.

30-30: a) Imediatamente abaixo de 1cB

(limite para o início da

fase supercondutora), o campo magnético no material deve ser igual a zero, e

0

3

0

ˆ1055 iTxBM cl

= -(4.38 x 104 A/m) .i

b) Imediatamente acima de2cB

(limite para o início da fase

condutora), a magnetização é igual a zero, e

2cBB

=(15.0 T) .i

30-32: a) I = .

sen)cos(11

R

tBA

dt

tBAd

Rdt

d

RR

B

b) P = I2R =

R

tAB 2222 sen

c) = IA =

R

tBA sen2

d) = B sen = B sen t =

R

tAB 222 sen

e) P = =

R

tAB 2222 sen , o mesmo resultado obtido na parte

(b).

30-34: a) Girando em torno do eixo y:

max =

dt

d B = BA = (35.0 rad/s)(0.450 T)(6.00 x

10-2 m) = 0.945 V.

b) Girando em torno do eixo x:

dt

d B= 0 0.

c) Girando em torno do eixo z:

max = dt

d B = BA = (35.0 rad/s)(0.450 T)(6.00 x 10-2 m) = 0.945 V.

30-36: a) Quando I = i B =

r

i

2

0, entrando na página.

b) d B = BdA =

r

i

2

0Ldr.

c) B = b

ad B =

22

00 iL

r

driL b

a

ln(b/a).

d) = .)/ln(2

0

dt

diab

L

dt

d B

e) =

2

)240.0(0 mln(0.360/0.120)99.60 A/s) = 5.06 x

10-7 V.

30-38: a) B = BA = B0 r02(1-3(t/t0)

2 + 2(t/t0)3).

b) = - dt

d BB0 r0

2

dt

d (1-3(t/t0)

2 + 2(t/t0)3 =

0

2

00

t

rB (-6(t/t0) +

6(t/t0)2)

= =

0

2

006

t

rB, logo para t = 5.0 x 10-3 s,

= -

s

sx

s

sx

s

mB

010.0

100.5

010.0

100.5

010.0

)0420.0(6 32

32

0 = 0.0665 V, anti-

horário.

c) .2.1012

100.3

0655.03 Ax

Vr

iRrR

Ri total

total

d) Calculando a fem para t = 1.21 x 10-2 s e usando as equações da

parte (b), obtemos: = -0.0676 V, e a corrente possui sentido horário, correspondendo ao sentido de b para a através do resistor.



3

e) = 0 0 =

0

2

0 t

t

t

t 1 =

0t

t t = t0 = 0.010 s.

30-40: Fio A: Bxv

= 0 = 0.

Fio C: = vBL sen = (0.350 m/s)(0.120 T)(0.500 m) sen 45o =

0.0148 V.

Fio D: = vBL sen = (0.350 m/s)(0.120 T) 2 (0.500 m)

sen 45o = 0.0210 V.

30-42:

.40.0250

))0.3)(95.0)(/5.3((

)(

:logo ,)(

22

222

W

mTsm

P

vBLR

R

vBL

RR

VP

média

eficaz

média

30-44: a)

= LBxv

)( = (4.20 m/s) i x ((0.120 T) i - (0.220 T)

j – (0.0900 T) k ) L

= ((0.378 V/m) j – (0.924 V/m) k ) ((0.250 m)(cos 36.9o

i + sen 36.9o j ))

= (0.378)(0.250) sen 36.9o = 0.0567 V.

30-46: .dt

dldE B

Quando B

estiver em direção paralela a uma área, concluímos

que

dt

d B = 0, logo .ldE

= 0. Na

figura seguinte, temos

ldEabcda

= EabL – EdaL = 0, porém Eda = 0, logo EabL =

0.

Visto que a hipótese inicial era que Eab 0, o resultado

anterior entra em contradição com a lei de Faraday. Donde se conclui que um

campo elétrico uniforme não pode cair abruptamente para zero em uma região

onde existe um campo magnético paralelo.

30-48: a) A figura seguinte mostra o módulo (relativo), a direção

e o sentido do campo elétrico nos pontos solicitados.

b) Para calcular o campo elétrico na direção da espira em uma

posição genérica, usaremos a geometria indicada na figura abaixo.

Eespira = E cos porém E =

aar 2

cos

)cos/(22

Eespira =

a2

cos2

porém =

dt

dBa

dt

dBr

dt

dBA

dt

d B

2

22

cos

Eespira =

dt

dBa

dt

dB

a

a

22 2

2

, que é exatamente igual ao

resultado do caso de um anel, obtido no Ex. (30-23), e não depende da região da espira considerada.

c) I =

90.1

)/075.0()20.0( 22 sTm

dt

dB

R

L

dt

dB

R

A

R

= 1.58 x 10-

3 A.

d) ab =

8

)/075.0()20.0(

8

1

8

1 22 sTm

dt

dBL = 3.75 x 10-4 V.

Porém existe uma queda de potencial dada por: V = IR = -3.75 x 10-4 V,

portanto a diferença de potencial entre esses pontos é igual a zero.

30-50: a) Quando a barra começa a deslizar, o fluxo magnético começa a diminuir, logo surge uma corrente induzida orientada no sentido de



4

fazer aumentar o fluxo magnético, correspondendo ao sentido de a para b

através da barra.

b) A força magnética sobre a barra deve ser igual à força da

gravity. Obtemos:

FB = iLB = cos)cos(222

R

BvLvL

R

LB

dt

dAB

R

LB

dt

d

R

LB

R

LB B

Portanto

Fg = mg tan .cos

tan logo ,cos

22

22

BL

Rmgv

R

BLvt

t

c) .

tancos)cos(

11

LB

mg

R

vLBvL

R

B

dt

dAB

Rdt

d

RRi B

d) P = i2R = .tan22

222

BL

gRm

e) Pg = Fv cos(90o - ) = mg

,tan

sencos

tan22

222

22 BL

gRmP

BL

Rmgg

Resultado igual ao obtido na parte (d).

Resposta dos Exercícios ímpares



5

INDUTÂNCIA

Capítulo 31

31-2: Para um solenóide toroidal, M = N2 B2/i1, e B2 = 0N1i1A/2 r.

Logo, M = 0AN1N2/2 r.

31-4: a) M = 2/(di/dt) = 1.65 x 10-3 V/(-0.242 A/s) = 6.82 x 10-3

H.

b) N2 = 25, i1 = 1.20 A,

B2 = i1M/N2 = (1.20 A)(6.82 x 10-3 H)/25

= 3.27 x 10-4 Wb.

c) di2/dt = 0.360 A/s e 1 = Mdi2/dt = (6.82 x 10-3

H)(0.360 A/s) = 2.45 mV.

31-6: Para um solenóide toroidal, L = N B/I = /(di/dt). Logo obtemos:

N = i/ B (di/dt)=

)/0260.0)(00285.0(

)40.1)(106.12( 3

sAWb

AVx = 238 espiras.

31-8: a) Lk = k 0N2A/2 r =

)120.0(2

)1080.4()1800)(500( 252

0

m

mx = 0.130 H.

b) Sem o material, L =

k

1Lk =

500

1 (0.130 H) = 2.60 x

10-4 H.

31-10: [N /I] = s = Vs/A = V/(A/s) = [ /(di/dt)].

31-12: a) U =

2

1LI2 = (12.0 H)(0.300 A)2/2 = 0.540 J.

b) P = I2R = (0.300 A)2 (180 ) = 16.2 W.

c) Não. A energia magnética e a energia térmica são independentes.

Quando a corrente é constante, U = constante.

31-14: a) U = Pt = (200 W)(24 h/dia x 3600 s/h) = 1.73 x 107 J.

b) U =

2

1 LI2 L =

2

7

2 )0.80(

)1073.1(22

A

Jx

I

U = 5406 H.

31-16: a) vácuo: U = uV =

0

2

0

2

2

)560.0(

2

TV

B (0.0290 m3) =

3619 J.

b) material com k = 450 U = uV =

0

2

0

2

)450(2

)560.0(

2

TV

k

B (0.0290 m3) = 8.04 J.

31-18: a)

.35.4)0690.0(2

)50.2)(600(

2

00 mTm

A

r

NIB

b) Pela Eq. (31-10),

./53.72

)1035.4(

2

3

0

23

0

2

mJTxB

u

c) Volume V = 2 rA = 2 (0.0690 m)(3.50 x 10-6 m2) =

1.52 x 10-6 m3.

d) U = uV = (7.53 J/m3)(1.52 x 10-6 m3) = 1.14 x 10-5 J.

e)

)0690.0(2

)1050.3()600(

2

262

0

2

0

m

mx

r

ANL =

3.65 x 10-6 H.

U =

2

1

2

1 2LI (3.65 x 10-6 H)(2.50 A)2 = 1.14 x 10-5 J, o mesmo

resultado obtido no item (d).

31-20: a)

.256)120)(13.2(

.13.2115.0

)260.0(22

2

1 2

VAIR

AH

J

L

UILIU

b)

.1032.32

1ln

)120(2

115.0

2

1ln

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

4

)/(2

2

0

)/(222)/(

sxH

R

Lt

e

LIUeLILiUandIei

tLR

tLRtLR

31-22: a) Para t = 0 vab = 0 e vbc = 60 V.

b) Quando t vab 60 V e vbc 0.

c) Quando I = 0.150 A vab = iR = 36.0 V e vbc = 60.0 V – 36.0 V =

24.0 V.



6

31-24: Quando a chave 1 está fechada e a chave 2 está aberta:

.)/ln(

0

)/(

00

00

LRt

ti

I

eIitL

RIi

tdL

R

i

id

L

Ri

dt

diiR

dt

diL

31-26: a)

.1037.2)1018.4()106.1(4

1

4

1

21

3

1226222Hx

FxxCfL

fLC

b)

)1000.6()1040.5(4

1

4

152522

min

2maxHxxLf

C =3.67 x 10-

11 F.

31-28:

FxH 61020.3)(0850.0(

1= 1917 rad/s

a)

srad

AxiQQi

/1917

1050.8 4

max

maxmaxmax=

4.43 x 10-7 C

b) Pela Eq. 31-26

.1917

1000.5)1043.4(

2

1

42722

s

AxCxLCiQq

31-30: a)

.450.0)1050.2(2

)1050.1(

2

.1050.1)1050.2)(400.0()50.1(

10

252

max

max

510

max

max

max

maxmaxmax

JFx

Cx

C

QU

CxFxHaQ

LCii

QQi

b) 14

101018.3

)1050.2)(400.0(

11

2

22 sx

FxHLCf

(a freqüência deve dobrar porque o período dobra).

31-32: A Equação (31-20) fornece .01

2

2

qLCdt

qd

Resolveremos esta equação usando:

.11

0)cos()cos(1

).cos()sen()cos(

22

2

2

2

2

2

LCLCt

LC

QtQq

LCdt

qd

tQdt

qdtQ

dt

dqtQq

31-34: a) )cos()2/( tAeq tLR

.4

1

01

22

).cos(

)sen(2

2)cos(2

).sen()cos(2

2

22

2

22

2

2

2

)2/(2

)2/()2/(

2

2

2

)2/()2/(

L

R

LC

LCL

R

L

Rq

LC

q

dt

dq

L

R

dt

qd

tAe

teL

RAte

L

RA

dt

qd

tAeteL

RA

dt

dq

tLR

tLRtLR

tLRtLR

b) Para :0,,0dt

dqiQqt

.4//12

2tan0tan

2 ;

cos

0sencos2

;cos

22 LRLCL

R

L

Rq

l

QRQA

AAL

R

dt

dqQaQ

31-36: ./

2

C

L

A

V

VC

s

F

H

C

L

31-38: a) Quando R = 0, 0 =

)1050.2)(450.0(

11

5 FxHLC

= 298 rad/s.

b) Desejamos

0

= 0.95

L

CR

LC

LRLC

41

/1

)4//1( 222

= (0.95)2

R =

)1050.2(

)0975.0)(450.0(4))95.0(1(

45

2

Fx

H

C

L = 83.8 .

31-40: a) = -L

dt

dL

dt

di ((0.124 A) cos [(240 /s)t]

= +(0.250 H)(0.124 A)(240 )sen(240 /s)t) = +(23.4

V)sen((240 /s)t).



7

b) max = 23.4 V; I = 0, porque a diferença de fase entre a fem e a

corrente é igual a 90º.

c) Imax = 0.124 A; = 0, porque a diferença de fase entre a fem e a corrente é igual a 90º.

31-42: a)

1

2

2210

1

2210

1

110

1

22

1

222

12 l

rNN

l

ANN

l

IAN

IA

AN

A

A

I

N

I

NM BB

b) .1

1

2

22101

1

210

2222

dt

di

l

rNN

dt

di

l

ANN

dt

dN

B

c) .2

1

2

22102221

dt

di

l

rNN

dt

diM

dt

diM

31-44: a) = L

dt

di = (3.50 x 10-3 H)

dt

d ((0.680 A)cos( t/0.0250

s))

max = (3.50 x 10-3 H)(0.680 A)

s0250.0 = 0.299 V.

b) Bmax =

400

)680.0)(1050.3( 3

max AHx

N

Li = 5.95 x 10-6 Wb.

c) (t) = -L

dt

di = -(3.50 x 10-3 H)(0.680 A)( /0.0250 s)sen( /0.0250

s)

(t) = -(0.299 V)sen((125.6 s-1)t)

(0.0180 s) = -(0.299 V)sen((125.6 s-1)(0.0180 s))

(t) = 0.230 V.

31-46: a) .2

2 00nterna0

r

iBirBIldB i

b) .2

0 ldrr

iBdAd B

c) )./ln(22

00 abil

r

drild

b

aB

b

aB

d) L= )./ln(2

0 abli

N B

e) U = )./ln(4

)/ln(22

1

2

12

0202 abli

iablLi

31-48: a)

.22

,22

2

20220

12

2

2

2

2

2

10110

1

1

1

1

1

21

1

r

AN

r

iN

i

AN

i

NL

r

AN

r

iN

i

AN

i

NL

B

B

b) M2 =.

2.

2221

2

20

2

10

2

210 LLr

AN

r

AN

r

ANN

31-50: a) .1860

1045.6

0.123 Ax

V

i

VR

f

b)

.963.0))45.6/86.4(1ln(

)1025.7)(1860(

)/1ln()/1ln()1(

4

)/(

Hsx

L

ii

RtLii

L

Rteii

f

f

tLR

f

31-52: a) U =22

2

0240

60)160.0(

2

1

2

1

2

1 VH

RLLi

= 5.00

x 10-3 J.

b)

.52.4240

)60( )1000.4)(160.0/240(22

)/(22

2)/(

4

WeV

dt

dU

eR

Ridt

diiL

dt

dUi

L

R

dt

die

Ri

xL

tLRLtLR

c) No resistor:

.52.4

240

)60( )1000.4)(160.0/240(22

)/(22

2 4

WeV

eR

Ridt

dU xtLRR

d) PR(T) = i2R = tLReR

)/(22

2

22)/(2

0

2

)240(2

)160.0()60(

2

HV

R

L

Rdte

RU tLR

R

=

5.00 x 10-3 J,

o mesmo resultado obtido no item (a).



8

31-54: a) Para t =

.222

1

22

1

2

1

22/

11

24

3cos

8

32cos)cos(

8

3

2222

22222

BE UC

q

C

Q

LC

QLLiU

LC

QQQ

LCqQ

LCi

QQ

T

TQtQq

T

b) As duas energias são quase iguais quando

.8

5

8

5

2

Ttt

Qq

31-56: a) Vmax =

Fx

Cx

C

Q4

6

1050.2

1000.6 = 0.0240 V.

b)

)1050.2)(0600.0(

1000.6

22

1

4

6

max

22

max

FxH

Cx

LC

Qi

C

QLi =

1.55 x 10-3 A.

c) Umax =

2

1

2

1 2

maxLi (0.0600 H)(1.55 x 10-3 A)2 = 7.21 x 10-8

J.

d) If

.1020.54

3

22

4

3

4

31080.1

4

1

2

1

6

2

2

max

8

maxmax

CxQq

C

q

C

Q

UUJxUUii CL

Umax =

C

qLi

22

2

1

2

1para qualquer instante.

31-58: a) Quando a chave está fechada, então em um instante posterior:

dt

di = 50.0 A/s vcd = L

dt

di = (0.300 H)(50 A/s) = 15.0 V.

Para a malha superior: 60.0 V = i1R1 i1 =

0.40

0.60 V = 1.50 A.

Para a malha inferior: 60 V – i2R2 – 15.0 V = 0 i2 =

0.25

0.45 V = 1.80 A.

b) Depois de um tempo muito longo: i2 =

0.25

0.60 V = 2.40 A, e

imediatamente depois de abrir a chave, o indutor mantém esta corrente, logo i1

= i2 = 2.40 A.

31-60: a) Imediatamente depois de fechar S2, o indutor mantém a

corrente i = 0.180 A através de R. Usando as leis de Kirchoff na malha

externa, obtemos:

+ L – iR – i0R0 = 36.0 V + (0.18)(150) – (0.18)(150) –

i0(50) = 0

i0 = = 0.720 A, vac = (0.72 A)(50 V) = 36.0 V e vcb = 0.

b) Depois de um tempo muito longo, vac = 36.0 V, e vcb = 0. Logo

i0 =

50

36V = 0.720 A, IR = 0, e is2 = 0.720 A.

c) i0 = 0.720 A, IR(t) =tLR

total

eR

)/( IR(t) = (0.180 A)e-50t,

e is2(t) =

(0.720 A) = (0.180 A)e-50t, = (0.180 A)(4 – e-50t)

Os gráficos das correntes são indicados na figura abaixo.

31-62: Série: .212

121

22

11

dt

diL

dt

diM

dt

diM

dt

diL

dt

diL eq

Porém I = i1 + i2

dt

di

dt

di

dt

di 21 , também M12 = M21 M.

Logo (L1 + L2 + 2M) ,dt

diL

dt

dieq

Ou seja Leq = L1 + L2 + 2M.

Paralelo: Temos L1 ,212

1

dt

diL

dt

diM

dt

dieq

Também L2 ,121

2

dt

diL

dt

diM

dt

dieq

Onde

dt

di

dt

di

dt

di 21 e M12 = M21 M.

Para simplificar faça A = . e,, 21

dt

diC

dt

diB

dt

di

Logo L1A + MB = LeqC, L2B + MA = LeqC, A + B = C.



9

Explicitando A e B em termos de C:

(L1 – M)A + (M – L2)B = 0 usando A = C – B

(L1 – M)(C-B) + (M – L2)B = 0

(L1 – M)C – (L1 – M)B + (M – L2)B = 0

(2M – L1 – L2)B = M – L1)C B = .)2(

)(

21

1 CLLM

LM

Porém A = C – B = C - ,

)2(

)2(

)2(

)(

21

121

21

1 CLLM

LMLLM

LLM

CLM

Ou seja, A = .2

)(

21

2 CLLM

LM Substituindo na equação

original, obtemos:

.2

)2(

)(

2(

)(

21

21

2

21

1

21

21

CLCLLM

LLM

CLCLLM

LMM

LLM

CLML

eq

eq

Finalmente, Leq = .221

2

21

MLL

MLL

31-64: a) Usando as leis de Kirchoff nas malhas da esquerda e da

direita, obtemos:

Esquerda: - (i1 + i2)R – Ldt

di1 = 0 R(i1 + i2) + L

dt

di1 = .

Direita: - (i1 + i2)R –C

q 2 = 0 R(i1 + i2) +

C

q 2 = .

b) Inicialmente, imediatamente depois da chave ser

fechada, i1 = 0, i2 =

R e q2 = 0.

c) A substituição direta é fácil porém muito longa. Deixamos esta tarefa para o leitor.

Mostraremos que as condições iniciais são satisfeitas:

Para t = 0, q2= )0sen()sen(R

teR

t = 0,

.0)]0[cos(1()0()cos()sen()2()sen(1)( 1

1

1R

ittRCR

teR

ti t

d) Quando i2 se torna igual a zero, ´ =

2)2(

11

RCLC

= 625 rad/s

01)tan()2()cos()sen()2(0)( 11

2 tRCttRCeR

ti bt

.00.1)1000.2)(400)(/625(22)tan( 6 FxsradRCt

.10256.1/625

785.0785.0)00.1arctan( 3 sx

sradtt




10

Circuitos AC - Corrente alternada

Capítulo 32

32-2: a) A corrente eficaz (ou corrente quadrática média Iq-m) é

relacionada com a amplitude da corrente pela Equação (32-5). Portanto a

amplitude da corrente é dada por:

I = mq2I = 2 (2.10 A) = 2.97 A.

b) A corrente retificada média Ir.m. é relacionada com a

amplitude da corrente pela Equação (32-3). Portanto a corrente retificada média é dada por:

Ir.m. = 2

I = 2

(2.97 A) = 1.89 A.

c) A corrente eficaz (ou corrente quadrática média Iq-m) é sempre maior do que a corrente retificada média Ir.m. porque elevar ao

quadrado e depois calcular a média do quadrado (e a seguir extrair a raiz

quadrada) fornece sempre um valor maior do que simplesmente obter a média da função considerada (sem elevar a função ao quadrado).

32-4: a) V = IXC =

C

I I = V C = (60.0 V)(100

rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 0.0132 A .

b) I = V C = (60.0 V)(1000 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 0.132

A.

c) I = V C = (60.0 V)(10,000 rad/s)(2.20 x 10-6 F) = 1.32

A.

d)

32-6: a) XL = L = 2 fL = 2 (60 Hz)(0.450 H) = 170 . If f = 600

Hz, XL = 1700 .

b) XC =

)1050.2)(60(2

1

2

116 FxHzfCC

= 1061 . If f

= 600 Hz, XC = 106.1 .

c) XC = XL

C

1= L =

)1050.2)(450.0(

116 HzxHLC

= 943 Hz.

32-8: VL = I L f =

)1050.4)(1060.2(2

)0.12(

2 43 HxAx

V

IL

VL

= 1.63 x 106 Hz.

32-10: a) XC =

)1080.4)(/120(

116 FxsradC

=1736 .

b) Para achar a voltagem nos terminais de um resistor precisamos conhecer a corrente, que pode ser obtida pela corrente do capacitor

(lembrando que ela está defasada de 90o da voltagem do capacitor).

i =

1736

))/120cos(()60.7()cos( tsradV

X

tv

X

v

CC

C = (4.38 x 10-3

A) cos((120 rad/s)t)

vR = iR = (4.38 x 10-3 A)(250 ) cos((120 rad/s)t) = (1.10 V) cos((120 rad/s)t).

32-12: a)

Z =2222 ))400.0)(/250(()200()( HsradLR = 224

b) I =

224

0.30 V

Z

V = 0.134 A.

c) VR = IR = (0.134 A)(200 ) = 26.8 V;

VL = I L = (0.134 A)(250 rad/s)(0.400 H)

VL = 13.4 V.

d) = arctan

R

L

v

v= arctan

V

V

8.26

4.13= 26.6º, e

a voltagem está avançada em relação à corrente.

e)

32-14: a) Z = ( L – 1/ C) = (250 rad/s)(0.400 H) -

)1000.6)(/250(

16 Fxsrad

= 567

c) I =

567

0.30 V

Z

V = 0.0529 A.



11

c) VL = I L = (0.0529 A)(250 rad/s)(0.400 H) = 5.29 V

VC =

)1000.6)(/250(

)0529.0(6 Fxsrad

A

C

I = 35.3 V.

d) = arctan

R

CL

V

VV= arctan )( = -90.0º, e a

voltagem está atrasada em relação à corrente.

e)

32-16: a)

b) As diferentes voltagens são:

v = (30.0 V) cos(250t – 73.3º), vR = (8.62 V) cos(250t), vC = (28.7 V)

cos(250t – 90º)

Para t = 20 ms: v = -25.1 V, vR = 2.45 V, vC = -27.5 V.

Note: vR + vC = v.

c) Para t = 40 ms: v = -22.9 V, vR = -7.23 V, vC = -15.6 V.

Note: vR + vC = v. Tome cuidado com radianos vs. graus!

32-18: a)

As diferentes voltagens da figura acima são:

v = (30 V) cos(250t – 70.6º), vR = (9.98 V) cos(250t),

vL = (4.99 V) cos(250t – 90º) vC = (33.3 V) cos(250t – 90º).

b) Para t = 20 ms: v = -24.3 V, vR = 2.83 V, vL = 4.79 V, vC

= -31.9 V.

c) Para t = 40 ms: v = -23.8 V, vR = -8.37 V, vL =

2.71 V, vC = -18.1 V.

Nas partes (b) e (c), note que a voltagem total é dada pela soma das outras voltagens para um dado instante. Tome cuidado com radianos vs. graus!

32-20: Usando Z =2

2 1

CLR e = arctan

,)/(1

R

CLe os valores R = 200 , L = 0.400 H, e C = 6.00 x 10-6 F,

obtemos:

a) = 1000 rad/s: Z = 307 , = 49.4º;

= 600 rad/s: Z = 204 , = -10.7º;

= 200 rad/s: Z = 779 , = 75.1º.

b) A corrente inicialmente cresce e depois diminui.

c) O ângulo de fase foi calculado na parte (a) para todas as

freqüências.

d) e)



12

32-22:

.5.43)0.75()105(

)0.80(

cos

2

2

2

22

WV

RZ

V

Z

R

Z

V

Z

VP

mq

mqmq

média

32-24: a) O fator de potência é dado por:

cos =

2222 ))20.5)(/60)2((()360(

)360(

)( HsradLR

R

Z

R= 0.181.

b) Pmédia =

c)

)181.0())20.5)(/60)2((()360(

)240(

2

1cos

2

1

22

2

HsradZ

V =

2.62 W.

32-26: a) 0 =

)1020.1)(350.0(

11

8 FxHLC

= 15.4 x

103 rad/s.

b) VC =

C

I I = VC C = (550 V) (15.4 x 103 rad/s)(1.20 x

10-8 F) = 0.102 A

Vmax(fonte) = IR = (0.102 A)(400 ) = 40.8 V.

32-38: a) 0 =

)1000.4)(280.0(

11

6 FxHLC

= 945

rad/s.

b) I = 1.20 A para a ressonância, logo: R = Z =

A

V

I

V

70.1

120 = 70.6 .

c) Para a ressonância:

Vpico(R) = 120 V, Vpico(L) = Vpico(C) = I L = (1.70 A)(945 rad/s)(0.280 H) = 450 V.

32-30: a)

120

13000

1

2

N

N = 108.

b) P = I2V2 = (0.00850 A)(13000 V) = 110.5 W.

c) I1 = I2

1

2

N

N= (0.00850 A)(108) = 0.918 A.

32-32: a) Ztweeter =22 )/1( CR

b) Zwoofer =22 )( LR

c) Como os dois elementos estão ligados em paralelo (ver a Figura

32-7), quando Ztweeter = Zwoofer, a corrente que passa em um ramo é igual à

corrente que passa no outro ramo.

d) Para o ponto de interseção entre as duas curvas, como as

correntes são iguais:

R2 + (1/ C)2 = R2 + ( L)2 =

LC

1

28-34: a) Quando = 200 rad/s:

Z =22 )/1( CLR

.0272.02

0385.0779

30

.779)))1000.6)(/200/((1)400.0)(/200(()200(

mq

262

AI

IAV

Z

VI

FxsradHsradZ

Logo, V1 = Iq-mR = (0.0272 A)(200 ) = 5.44 V,

V2 = Iq-mXL = Iq-m L = (0.0272 A)(200 rad/s)(0.400 H)

= 2.18 V,

V3 = Iq-mXC =

,7.22)1000.6)(/200(

)0272.0(6

mqV

Fxsrad

A

C

I



13

V4 = V3 – V2 = 22.7 V –2.18 V = 20.5 V, e V5 = q-m =

.2.212

0.30VV

b) Quando = 1000 rad/s, fazendo as mesmas etapas do item

(a),obtemos:

Z = 307 , V1 = 13.8 V, V2 = 27.6 V, V3 = 11.5 V, V4 = 16.1 V, V5 = 21.2

V.

32-36: a) 332.0)120(2

250

Hz

XLLLX L

.668400

800)472(

.cos,472)250()400(

2

2222

VW

R

PZV

Z

R

Z

VP

Z

RXRZ

avmq

mq

média

L

32-38: a)

,44

22

122

2

2

2

21

122

C

L

CLX

XX

CCLLX

logo a reatância do indutor é maior do que a reatância do que capacitor.

b)

,9

1

9

1

9

1

3

1

32

2

33

31

13

C

L

CL

LX

XX

CCLX

e

portanto a reatância do capacitor é maior do que a do indutor.

c) Visto que na ressonância XL = XC, pelo enunciado do

problema vemos que no circuito em série a freqüência de ressonância seria

igual a 1.

32-40:

.)/1(

122

saídasaída

CLRCV

V

C

IVV

s

C

Quando é grande:

.)(

1

)(

1

)/1(

12222

saída

LCLCCLRCV

V

s

Quando é pequeno: .1

)/1(

12

saída

C

C

CCV

V

s

32-42: a) VL = I L = .

)/1( 22 CLR

LV

Z

LV

b) VC = .

)/1( 22 CLRC

V

CZ

V

C

I

c)

d) Quando a freqüência angular é igual a zero, o indutor possui voltagem zero enquanto que o capacitor possui uma voltagem de 100 V (igual

à voltagem total da fonte). Para freqüências muito grandes, a voltagem do

capacitor tende a zero, enquanto que a voltagem do indutor tende a 100 V.

Para a ressonância, 0 =

LC

1 = 1000 rad/s, e as duas voltagens são

iguais e atingem um valor máximo igual a 1000 V.

32-44: a) Visto que se trata de uma ligação RLC em paralelo, a diferença de potencial da fonte deve ser igual à voltagem nos terminais do

capacitor, do indutor e do resistor, logo vR = vL = vC = v. Por outro lado, como

a soma das correntes que chegam a um nó deve ser igual à soma das correntes que saem do mesmo nó, obtemos: i = iR + iL + iC.

b) iR =

R

v está sempre em fase com a voltagem, iR =

L

v está

sempre atrasada de 90º em relação à voltagem, e ic = v C está adiantada de

90º em relação à voltagem.

c) Pela diagrama de fasores,

I2 = IR2 + (IC – IL)2 =

22

L

VCV

R

V

d) Pela (c): I = V .11

2

2 LC

R

Porém

.111

2

2 LC

RZZ

VI

32-46: a) IR =

400

220V

R

V = 0.550 A.

b) IC = V C = (220 V)(360 rad/s)(6.00 x 10-6 F) = 0.475 A.

c) = arctan

R

C

I

I = arctan

A

A

550.0

475.0 = 40.8º.



14

d) I = 2222)475.0()550.0( AAII CR

= 0.727 A

e) A corrente está adiantada em relação à voltagem visto que > 0.

32-48: a) Pmédia =

Z

V mq

2

cos Z =

)220(

)560.0()120(cos 22

W

V

P

V

média

mq = 36.7

R = Z cos = (36.7 )(0.560) = 20.6 .

b)

Z = 222222 )6.20(7.36(RZXXR LL = 30.4

. Porém para = 0 ocorre ressonância, logo a reatância indutiva e a

reatância capacitiva possuem o mesmo valor. Logo:

XC =

)4.30)(0.50(2

1

2

111

HzfXXC

C CC

= 1.05 x 10-4 F.

c) Para a ressonância, P =

6.20

)120( 22 V

R

V = 699 W.

32-50: a) Para = 800 rad/s, Z = 22 )/1( CLR

Z= 272 )))100.5)(/800/((1)0.2)(/800(()500( FxsradHsrad

=1030 .

I =

1030

100V

Z

V = 0.0971 A VR = IR = ().0971

A)(500 ) = 48.6 V.

VC =

)100.5)(/800(

0971.017 Fxsrad

A

C

= 243 V.

VL = I L = (0.0971 A)(800 rad/s)(2.00 H) = 155 V.

Note que = arctan

R

CL )/(1 = -60.9º.

b) Repetindo os mesmos cálculos anteriores para =

1000 rad/s:

Z = R = 500 ; = 0; I = 0.200 A; VR = V = 100 V; VC = VL = 400 V.

c) Repetindo os mesmos cálculos da parte (a) para =

1250 rad/s:

Z = R = 1030 ; = +60.9º; I = 0.0971 A; VR = 48.6 V; VC = 155 V;

VL = 243 V.

32-52: Desejamos obter Pmédia( 1) = máxima, Pmédia( 2) = 0.01Pmédia( 1). A

potência máxima ocorre na ressonância, logo

2662

0

0)]101.94(2)[100.1(

111

xHxLC

LC=

2.86 x 10-12 F.

Pmédia( 2) = 0.01 Pmédia( 1)

R

V

CLR

RV

2100

1

)/1(

2/ 2

22

2

100R2 = R2 + ( L – 1/ C)2 R =

99

)/1(

99

)/1( 2 CLCL

R =

FxHzxHxHzx

126

66

1086.2)(100.94(2

11000.1)(100.94(2

99

1

R = 0.126 .

Esta resposta é muito sensível ao valor da capacitância logo você

deve usar mais algarismos significativos na primeira parte do problema.

32-54: a)

)1000.9)(80.1(

1170FxHLC

= 786 rad/s.

b) Z = 22 )/1( CLR

Z= 272 )))1000.9)(/786/((1)80.1)(/786(()300( FxsradHsrad

=300 /

300

600

V

Z

VI

mq

mq= 0.200 A.



15

c) Na ressonância a corrente eficaz é máxima, desejamos

saber que pontos correspondem à metade deste valor máximo. Logo,

.0142

(

0421

4)/1(

)/1(2

1

22

22222)

2

2

2

22

22

2

222

22

0

2

0

0

0

CI

V

C

LRL

I

VR

C

L

CL

I

VCLR

CLR

VII

rms

rms

mq

rmsrmsmq

mq

mq

Substituindo os valores para este problema, obtemos a equação:

( 2)2(3.24) + 2(-4.27 x 106) + 1.23 x 1012 = 0.

Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos:

2 = 8.90 x 105 rad2/s2 ou 4.28 x 105 rad2/s2 = 943 rad/s ou 654 rad/s.

d) (i) R = 300 , Iq-mo = 0.200, | 1 - 2| = 289 rad/s.

(ii) R = 30 , Iq-mo = 2A, , | 1 - 2| = 28 rad/s.

(iii) R = 3 , Iq-mo = 20A, , | 1 - 2| = 2.88.

As larguras tornam-se cada vez menores à medida que R diminui; Iq-mo

torna-se cada vez maior à medida que R diminui.

32-56: a)

2

2 1

cLR

V

Z

VI

para a ressonância,

temos L = . Logo.1

maxR

VI

C

b) .0

maxC

L

R

V

CR

VXIV CCmas

c) .0maxC

L

R

V

R

VXIV LLmas

d) .2

1

2

1

2

12

2

2

22

maxmax R

VL

C

L

R

VCCVU CC

e) .2

1

2

12

22

maxmax R

VLLIU L

32-58: .2 0

a)

.

4

9)

2

12( 22

0

0

2

C

LR

V

CLR

V

Z

VI

b)

.

4

9

2/

4

92

1

220max

C

LR

V

C

L

C

LR

V

CIXV CC

c)

.

4

9

2

4

92

22

0max

C

LR

V

C

L

C

LR

VLIXV LL

d) .

4

98

2

1

2

22

maxmax

C

LR

LVCVU CC

e) .

4

92

2

1

2

22

max

C

LR

LVLIU L

32-60: a) VR = máxima quando VC = LL = 0 =

LC

1 .

b) Pelo Problema (32-42a), VL = máxima quando

.0d

dVL Logo:

22 )/1(0

CLR

LV

d

d

d

dVL

.2/

1

2

112

)/1()/1(

))/1((

)/1(

)/1(0

22

22

222

2

242222

2/322

22

22

CRLC

CRLC

CC

LR

CLCLR

CLR

CLLV

CLR

VL

c) Pelo Problema (32-42b), VC = máxima quando

.0d

dVC Logo:

.2

12

)/1()/1(

))/1((

)/1)(/1(

)/1(0

)/1(0

2

223222

242222

2/322

22

22

22

L

R

LCL

C

LLR

CLCLR

CLRC

CLCLV

CLRC

V

CLRC

V

d

d

d

dVC



16


Documents

2.40 10 x V 10.4 / . rad s NBA 120)(0.075 )().016 ) T m · Exercícios – PARTE B – GABARITO – Física III –Lei de Faraday – Lenz, Indução e Circuitos AC Prof. Dr. Cláudio