266367_Fundamentos de Calculo

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  • Sumrio

    Lista de Figuras iv

    1 Nmeros Reais (Em construo) 11.1 Consideraes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conjuntos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Nmeros interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 (Opcional) Dzimas peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Problemas Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Respostas dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 Funes 172.1 Produto cartesiano, relaes e funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Funes e suas representaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3 Estudo da reta 213.1 Equao de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.1.1 O que queremos dizer com equao de uma reta? . . . . . . . . . . 233.1.2 O coeficiente angular e o coeficiente linear . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.2 Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Equao geral da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Retas paralelas e retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Distncia de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Funes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.6.1 Modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4 Funes quadrticas 324.1 Funes Quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3 Problemas Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . 34

    5 Estudo do Sinal de uma Funo 355.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Estudo do sinal de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    i

  • 5.2.1 Estudo do sinal de funes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Funes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Funes Algbricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.6 Problemas Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.7 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6 Funes Polinomiais 426.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4 Problemas Tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.5 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . 45

    7 Exponenciais 477.1 Propriedades das potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.2 Notao Cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.3 Funes Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.4 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.5 Problemas Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.6 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . 50

    8 Logaritmos 528.1 Definio de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2 A funo logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.4 Problemas Suplmentares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.5 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . 58

    9 Trigonometria 599.1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.2 Tringulo retngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    9.2.1 Teorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.2.2 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo . . . . . . . . . . . . 62

    9.3 Algumas identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.4 Tringulos quaisquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    9.4.1 A Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.4.2 A Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    9.5 Crculo Trigonomtrico e Funes Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.5.1 As funes circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    9.6 Mais identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.7 Reduo ao Primeiro Quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.8 Equaes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739.9 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.10 Respostas dos Problemas Propostos - Captulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . 80

    ii

  • Lista de Figuras

    1.1 N Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 N Z Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Nmeros quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Nmeros oblongos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Subintervalos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Respostas do Problema 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1 Representao de uma relao por diagrama de Venn. . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Representao de uma funo por diagrama de Venn. . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.1 Definindo a equao de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Coeficiente angular e coeficiente linear de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Reta horizontal e reta vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Paralelismo e perpendicularismo de retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Distncia de um ponto a uma reta paralela a um eixo . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Distncia de um ponto a uma reta qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    5.1 Estudo de sinal da funo y = 2x 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2 Estudo de sinal da funo y = x2 3x 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.3 Estudo de sinal da funo y = x2 3x 4 = (x+ 1)(x 4) . . . . . . . . . . . 365.4 Estudo de sinal da funo y = x3 x2 6x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Estudo de sinal da funo y = x3x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Determinando o domnio da funo f(x) =

    21 18x 3x2 . . . . . . . . . . . 39

    7.1 Grficos das funes exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    8.1 Grficos das funes logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    9.1 ngulos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.2 Medidas de ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.3 Comprimento de arco e a converso grau-radiano . . . . . . . . . . . . . . . . 619.4 Tringulo retngulo e o Teorema de Pitgoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.5 As razes trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.6 ngulos notveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.7 A Lei dos Cossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.8 A demonstrao da Lei dos Cossenos para o ngulo . . . . . . . . . . . . . . . 659.9 A Lei dos Senos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    iv

  • 9.10 O seno e o cosseno no crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.11 cos() = OQ = x e sen() = OR = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.12 Senide sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.13 Senide cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.14 Simetrias do seno, cosseno e tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.15 ngulos deslocados (transladados). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.16 O cosseno da diferena: cos( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.17 Reduo ao primeiro quadrante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.18 ngulos redutveis aos notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

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  • Captulo 1

    Nmeros Reais (Em construo)

    1.1 Consideraes iniciaisNeste Captulo estudaremos, de modo bastante breve, o conjunto dos nmeros reais.

    Nosso objetivo discutir seus subconjuntos (nmeros naturais, inteiros, racionais e irra-cionais), suas propriedades elementares (axiomas de lgebra e axiomas de ordem), algu-mas regras de operao (operaes com fraes, fatorao, lei do cancelamento, regras dossinais, etc.), conceitos recorrentemente necessrios no estudo da Matemtica e do Clculo(mdulo, desigualdades, etc.) e tambm alertar os leitores em relao erros comuns(diviso por zero, extrao de razes, etc).

    Antes de prosseguirmos em nossa discusso, recordemos algu