Funções Exponenciais

1. Gráficos das funções f1(x)=3x, f2(x)=5x, f3(x)=7x, f4(x)=1 e f5(x)=0, estão traçados na figura abaixo. Quais dos gráficos não são funções exponenciais?

As funções f4(x)=1 e f5(x)=0 são constantes e não são funções exponenciais.

2. Construir em um mesmo plano cartesiano, um gráfico com as seguintes funções:

g1(x) = 3-x, g2(x) = 5-x e g3(x) = 7-x

3. A partir dos gráficos das funções f(x)=2x, g(x)=2x+2 e h(x)=2-x, descreva o que ocorre com g=g(x) e h=h(x) em relação a f=f(x).

O gráfico da função g(x)=2+2x é obtido de f(x)=2x transladado verticalmente (no eixo y) por 2 unidades. O gráfico da função h(x)=(1/2)x é uma linha simétrica em relação ao eixo dos y (como se estivesse espelhada) que corresponde à função a f.

4. Observe o gráfico das funções f(x)=2x, f1(x)=2x+1, f2(x)=2x+2 e f3(x)=2x+3. O que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a f(x)=2x?

As funções f1(x), f2(x) e f3(x) é a função f(x)=2x transladada verticalmente por 1, 2 e 3 unidades, respectivamente.

5. Dado o gráfico da função exponencial f(x)=9x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(4), e o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta?

a. f(1/2)=3, f(2)=81, f(3)=729, f(4)=6561.

b. Os valores de y também aumentam, pois esta é uma função crescente. Geometricamente, uma função f é crescente se para valores crescentes de x, f também cresce.

6. Considere a função exponencial f(x)=(1/4)x. (a) Calcular os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(5) e; (b) Analisar o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta?

a. f(1/2)=1/2=0,5; f(2)=1/16=0,625; f(3)=1/64=0,015625; f(5)=1/1024=0,0009765625.

b. Os valores de y diminuem, pois esta função é decrescente. Geometricamente, uma função f é decrescente se para valores crescentes de x, f decresce.

7. Sejam as funções f(x)=2x e g(x)=(1/2)x ilustradas abaixo.

Em cada caso, escolha uma das opções apresentadas.

(a) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função f(x)=2x admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes. R: Muito Grandes

(b) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a função f(x)=2x admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes. R: Muito próximos a zero.

(c) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função g(x)=2-x admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes. R: Muito próximos a zero.

(d) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a função g(x)=2-x admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes. R: Muito Grandes.

Observação: O símbolo (infinito) não é um número real mas representa um valor maior do que qualquer número real. Desse modo, quando dizemos que x se distancia da origem por valores positivos muito grandes, podemos escrever que x tende a + . Quando x se distancia da origem por valores

negativos mas cujos módulos (valores absolutos) são muito grandes, escrevemos que x tende a - . Algo semelhante ocorre com valores muito próximos de zero, pois quando x é um número real muito pequeno, porém diferente de zero, dizemos que x tende a zero. Este fato ocorre se x é um valor positivo ou se é negativo.

8. Construir os gráficos das funções exponenciais:

f1(x) = 7x, f2(x) = 7-x e f3(x) = R[3]x

O gráfico de f1(x) encontra-se no exercício 1, e o gráfico de f2(x) no exercício 2.

9. Construir os gráficos das funções exponenciais:

f4(x) = 5-x, f5(x) = (1,01)x e f6(x) = (3/4)x

Gráfico de f4: Gráfico de f5:

1. Gráfico de f6:

10. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada abaixo como crescente ou decrescente.

f1(x)=7x, f2(x)=7-x + 2, f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x

a. f1 é crescente pois se x<y então f1(x)=7x<7y=f1(y).

b. f2 é decrescente pois se x<y então f2(x)=(1/7)y>(1/7)y=f2(y).

c. f3 é decrescente.

d. f4 é crescente.

e. f5 é decrescente.

11. Determinar os valores de x para os quais 2x=32.

Como 32=25 então 2x=32=25, portanto x=5.

12. Determinar os valores de x para os quais 2x=1.

Como 1=20 então 2x=1=20, portanto x=0.

13. Resolver a equação 27x = 243.

Como 27=33 e 243=35 então 33x=(33)x=27x=243=35, portanto 3x=5 de onde segue que x=5/3

14. Resolver a equação 625x = 25.

Como 625=54 e 25=52 então 54x =(54)x=625x=25=52, portanto 4x=2 de onde segue que x=1/2.

15. Determinar o valor de x para o qual (1/3)x=3.

(1/3)x=3-x=31 portanto -x=1 assim x=-1. 16. Determinar o valor de x para o qual (4/9)x=81/16 Como 4/9=(2/3)2 e 81/16=(3/2)4 então

(2/3)2x=(4/9)x=81/16=(3/2)4=(2/3)-4, sendo assim 2x=-4 de onde segue que x=-2.

17. Qual é o conjunto solução da equação exponencial 5x+2=125x?

Escrevendo 125x=(53)x=53x segue que 5x+2=125x = 53x e deste modo x+2=3x assim x=1, logo S={x em R: x=1}

18. Determinar o conjunto solução de 2x=5x.

Resposta 1: Dividindo ambos os membros da equação por 5x, obtemos:

2x/5x = 5x/5x

que é equivalente a (2/5)x=1=(2/5)o

então x=0. O conjunto solução é dado por: S={x em R: x=0 }

Resposta 2: Dividindo ambos os membros da equação por 2x, obtemos:

(5/2)x=1=(5/2)o

então x=0 e o conjunto solução é: S={x em R: x=0 }

19. Qual é o conjunto solução de 73x-9-49=0?

Passando 49 para o segundo membro, obtemos: 73x-9=49=72

Assim 73x-9=72 logo 3x-9=2, portanto x=11/3 e temos que S={x em R: x=11/3}

20. Determinar o conjunto solução da equação 4x+3(2x+1)=16.

Como 2x+1=2.2x obtemos: (22)x + 6.2x = (2x)2 + 6.2x = 16

Ao tomar a mudança de variável 2x=u, obtemos a equação do segundo grau:

u2+6u-16=0

Com a fórmula quadrática (Bhaskara), resolveremos esta equação para obter:

As duas raízes reais, são u1=-8 e u2=2.

Caso 1: Se u1=-8 então 2x=-8 e como 2x>0, não existe x real que é solução da equação dada.

Caso 2: Se u2=2 então 2x=21. Portanto x=1.

S = {x em R: x=1 }

21. Determinar o conjunto solução da equação 22x-12(2x)=-32.

Como 22x = (2x)2 obtemos: (2x)2-12 2x=-32

Com a substituição 2x=y, obtemos a equação y2-12y+32=0

Para determinar as raízes utilizamos a fórmula quadrática

As duas raízes reais, são y1=8 e y2=4.Determinadas as duas raízes reais, temos dois casos a considerar.

Caso 1: Se y1 = 8 então 2x=8=23

Portanto um dos valores que x pode assumir é x=3

Caso 2: Se y2=4 então 2x=4=22, de onde segue que x=2

Desse modo temos dois valores para x que satisfazem a equação inicial. Logo S={x em R : x=2 ou x=3}

22. Se R[3] é a raiz quadrada de 3, obter o conjunto solução da equação (R[3])x+1=243.

Resposta: Pela definição de potência de expoentes racionais obtemos (31/2)x+1=3(x+1)/2=243=35 e desta maneira segue que (x+1)/2=5, logo x=9. Assim S={x em R : x=9}

23. Determinar o conjunto solução da equação 3x7x=(441)1/4.

Como 3x7x=21x e 4411/4=212/4=211/2, obtemos 21x=211/2. O conjunto solução é: S = {x em R : x = 1/2 }

24. Determinar o conjunto solução da equação 3x-34-x=24.

Como 34-x=34.3-x=81/3x, obtemos 3x-81/3x=24

Com a mudança de variável 3x=y, obteremos y-81/y=24

Multiplicando ambos os membros desta equação por y, obtemos a equação do segundo grau: y2-24y-81=0

Usando a fórmula quadrática, obtemos duas raízes reais

dadas por y1=27 e y2=-3 e como esta equação possui duas raizes reais, temos dois casos a considerar:

Caso 1: Se y1=27 então 3x=27=33, portanto x=3.

Caso 2: Se y2=-3 então 3x=-3. Como f(x)=3x é sempre positiva, esta função não pode assumir um valor negativo. Assim S={x em R: x=3}

25. Determinar o conjunto solução do sistema com as duas equações exponenciais: 3x+y=81 e 3x-y=1

Como 81=34 e 1=3o obtemos:

3x+y = 34 3x-y = 3o

Montando um sistema para os expoentes:

x + y = 4 x - y = 0

Somando as duas equações, segue que x=2. Substituindo o valor de x na segunda equação, obtemos 2-y=0, logo y=2.

S = { (2;2) }

26. Determine o conjunto solução do sistema de equações:

22x+y = 4 e 2x-y = 2-1/2

Este sistema de equações pode ser escrito na forma:

22x+y = 22 2x-y = 2-1/2

Montando um sistema para os expoentes, obtemos:

2x + y = 2 x - y = -1/2

Somando membro a membro as duas equações, obtemos x = 1/2 e substituindo este valor na primeira equação, obtemos y=1. O conjunto solução é então dado por:

S = {(1/2;1)}

27. Resolver o sistema de equações: 8x/216y-1=1 e 5x/4-4y = 1/5

Escrevendo os termos da primeira equação na base 2 e usando a definição de potência com expoente racional, obtemos:

8x/2 = 23x/2 e 16y-1 = (24)y-1 = 24y-4

Para a segunda equação na base 5, obtemos

5x/4 625y

= 5x/45-4y

O sistema pode ser reescrito na forma:

23x/2 24y-4 = 1

5x/4 5-4y = 5-1

que pode ser reescrito, como:

23x/2 + 4y-4 = 2o 5x/4 -4y = 5-1

Montando um sistema para os expoentes, seguirá:

3x/2 + 4y = 4 x/4 - 4y = -1

Resolvendo este sistema de duas equações, obtemos x=12/7. Substituindo este valor na primeira equação obtemos y=5/14. O conjunto solução será: S = {(12/7, 5/14)}

28. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 5x>625.

Como 625 = 54 podemos escrever 5x >54

Como 5 > 1 mantemos o sinal da desigualdade para os expoentes ficando x>4.

S = {x em R : x>4}

29. Obter o conjunto solução para a desigualdade (1/3)x<81.

Para resolver esta desigualdade, escreveremos 3-x<34. Assim temos que -x<4 o que garante que o conjunto solução será dado por S={x em R : x>-4}

30. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 25x-7>8.

Como 8=23 temos 25x-7>23

Como a base das potências é maior do que 1, então mantemos o sinal da desigualdade para os expoentes 5x-7>3, de onde segue que 5x > 10. Portanto: x>2 S={x em R : x>2}

31. Determinar as soluções para a desigualdade 91-x>243.

Da mesma forma que já utilizamos antes, podemos mudar a base tanto do lado direito como do lado esquerdo. Temos então que

(1/9)x-1=9-(x-1)=91-x=(32)1-x=32-2x

e como 243=35, então 32-2x = 91-x > 243 = 35

Como a base para estas potências é maior do que 1, mantemos o sinal da desigualdade para os expoentes, isto é 2-2x > 5

Desse modo, obtemos -2x > 3 e assim obtemos: x<-3/2

O conjunto solução é dado por S={x em R : x<-3/2}

32. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 5u(u-3)>1/25.

Como 1/25 = 5-2 então 5u(u-3)>5-2

A base para as potências é maior do que 1, assim obtemos para os expoentes: u(u-3)>-2 de onde segue que u2-3u+2>0

Devemos fatorar a desigualdade acima para obter: (u-2)(u-1)>0

O produto é positivo e possui dois fatores. Ou ambos são negativos ou ambos são positivos. Temos dois casos a considerar:

Caso 1: Se u-2>0 e u-1>0 obtemos: u>2 e u>1. O conjunto solução para a primeira desigualdade é S1={u em R : u>2} e o conjunto solução para a segunda desigualdade é S2={u em R : u>1}

A solução do caso 1 é a interseção dos conjuntos S1 e S2, isto é S={u em R : u > 2}

Caso 2: Se u-2<0 e u-1<0 obtemos: u<2 e u<1

A solução do caso 2 é a interseção das duas desigualdades acima u<1

Assim a solução da inequação inicial é a reunião das soluções dos casos 1 e 2: S={u em R : u<1 ou u>2}

Podemos visualizar a solução pelo gráfico:

33. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade

22x-32x+1<-8.

Esta desigualdade pode ser escrita na forma (2x)2-32x 21<-8

Tomando a mudança de variável 2x = u, obtemos u2-6u<-8

Segue então que u2-6u+8<0

Fatorando a expressão da esquerda, obtemos: (u-2)(u-4)<0

O produto de dois fatores é negativo quando um dos fatores é positivo e o outro fator é negativo, então temos dois casos a considerar:

Caso 1: Se u-2<0 e u-4>0, segue que u<2 e u>4, logo, a solução do caso 1 é o conjunto vazio.

Caso 2: Se u-2>0 e u-4<0, segue que u>2 e u<4. Logo, a solução do caso 2 é a interseção das duas desigualdades acima, que também pode ser escrito na forma 2<u<4

Assim, a solução da desigualdade, é a reunião das soluções dos casos 1 e 2: S={u em R: 2 <u<4}

Podemos visualizar a solução através do gráfico:

Retornando às variáveis originais temos que 2<2x<4 que também pode ser escrito na forma 21< 2x< 22 que é equivalente a 1<x<2

S = {x em R: 1<x <2}

34. Obter o conjunto solução para a desigualdade 2x+322-x-12 <0.

Tomando a mudança de variável 2x=u, obtemos u+32/u-12<0

Multiplicando ambos os membros da desigualdade por u, segue que u2+32-12u<0

Fatorando a expressão da esquerda, obtemos: (u-8)(u-4)<0

Assim temos dois casos.

Caso 1: Se u-8>0 e u-4<0, segue que u>8 e u<4. Logo, a solução do caso 1 é o conjunto vazio.

Caso 2: Se u-8<0 e u-4>0, segue que u<8 e u>4. Neste caso, a interseção das duas desigualdades acima, pode ser escrita na forma 4<u<8

Assim, a solução da desigualdade, é a reunião das soluções dos casos 1 e 2: S={u em R: 4<u<8}

Podemos visualizar a solução através do gráfico:

Retornando às variáveis originais temos que 4<2x<8

que também pode ser escrito na forma 22<2x <23

Desta desigualdade, obtemos para os expoentes: 2<x<3

ou seja, S={x em R : 2<x<3}

35. Qual é a solução da equação exponencial 5x+2 - 95x = 2x+9 + 1132x?

Como 5x+2=5x52 e 2x+9=2x29, então: 5x52-325x=2x29+113 2x

Pondo em evidência 5x do lado esquerdo e 2x do lado direito

5x(52 - 32) = 5x(25 - 9)=2x(512+113)=2x(29+113)

De onde segue a equação 16 5x=625 2x

Passando todos os termos com x para o primeiro membro, obtemos

5x

2x = 625/16

Finalmente, segue que (5/2)x=(5/2)4 e a solução é x=4.

36. Resolver a equação exponencial 22x+1 - 2x+4 - 2x + 8 = 0

Como 22x+1=22x21=2x221 e 2x+4=2x24 obtemos (2x)22-2x16-2x+8=0

Com a substituição 2x=a, obtemos 2a2-16a-a+8=0

De onde segue a equação do segundo grau 2a2-17a+8=0

As raízes reais são a1=8 e a2=1/2. Retornando à variável original temos duas soluções

Solução 1: 2x=a1=8=23 garantindo que x=3.

Solução 2: 2x=a2=1/2=2-1 e dessa forma x=-1.

37. Se R[2] e R[3] representam, respectivamente, as raiz quadradas de 2 e 3, resolver a equação exponencial 4 (R[3])x+1 = 9 (R[2])x+1

Usando potências, escreveremos 223(x+1)/2=322(x+1)/2, logo

3(x+1)/2 2(x+1)/2

=(3/2)2

assim (3/2)(x+1)/2=(3/2)2 e obtemos (x+1)/2=2, ou seja x=3.