2.circuitos trifásicos

1

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Methodio Varejão de Godoy

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

1. OBJETIVO O principal objetivo desse texto é apresentar os circuitos trifásicos, su-

as principais equações e relações de uma forma simples, sem o formalismo da

grande maioria dos livros sobre o assunto, dando uma ênfase maior a aspectos

práticos com o que encontramos e observamos no nosso dia a dia os sistemas

elétricos.

2. INTRODUÇÃO Nos sistemas elétricos a potência gerada nas centrais de geração é

distribuída para consumidores residenciais, comerciais e industriais (Figura 1).

Figura 1 – Sistema elétrico

Exercícios de Fixação - Circuitos Trifásicos

2

Existem várias fontes primárias para produzir energia como água, car-

vão, gás, urânio... Nas usinas hidrelétricas, usa-se a energia mecânica da altu-

ra da água ou da sua vazão para acionar uma máquina primária ou turbina e

converter energia mecânica em elétrica (Figura 2).

Figura 2 - Usina hidrelétrica

Carvão, óleo e urânio são combustíveis empregados para converter

água em vapor que aciona uma turbina primária. Algumas concessionárias uti-

lizam turbinas à gás, a vapor ou ainda a gás e a vapor denominadas ciclo com-

binadas. O eixo da turbina é acoplado ao eixo do gerador. Quando o gás ou

vapor aciona a turbina e movimenta também o gerador este produz energia elé-

trica nos seus terminais (Figura 3).

Figura 3 - Central térmica à vapor


3

Geradores de corrente alternada operam com base na teoria da indu-

ção eletromagnética, isto é quando condutores são movimentados dentro de

um campo magnético, tensões são induzidas nos condutores.

Um gerador básico consiste de um campo magnético, um enrolamento

de armadura (onde as tensões são induzidas), anéis coletores, escovas e al-

guns tipos de cargas resistivas como pode ser visto na Figura 4. No gerador

básico da Figura 4 o campo magnético é produzido pelo imã com seus dois po-

los magnéticos N (norte) e S (sul). Esse fluxo magnético produz um fluxo que

circula dentro do enrolamento de armadura, a cada posição desse enrolamento

temos um fluxo diferente passando pelo enrolamento de armadura. Pela Lei de

Faraday, para cada posição do campo magnético em relação ao campo mag-

nético criado pelo imã, temos um valor de tensão induzida no enrolamento de

armadura.

Figura 4 - Gerador elementar em corrente alternada

Se a rotação do enrolamento de armadura ocorrer ao longo de um ciclo

completo isto é 3600, pode ser visto que no primeiro quarto de ciclo a tensão i-

ria crescendo até atingir um máximo positivo em 900. A tensão cairia no segun-

do quarto de ciclo até atingir zero em 1800. Durante o terceiro quarto do ciclo a

tensão iria aumentando no sentido contrário até atingir o máximo negativo em

2700. No quarto ciclo a tensão voltaria a decrescer até atingir zero em 3600. Se

o enrolamento de armadura for acionado de forma a completar 60 ciclos em um

segundo, termos então uma tensão induzida no enrolamento de armadura na

frequencia de 60 Hz. (Figura 5).


4

Figura 5 - Onda senoidal

3. TENSÕES TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS Num sistema elétrico, embora as ligações monofásicas e bifásicas são

utilizadas em grande escala em circuitos de iluminação, pequenos motores e

eletrodomésticos. Nos níveis da geração, transmissão e utilização da energia

elétrica para fins industriais utiliza-se quase que exclusivamente as ligações tri-

fásicas.

Os geradores síncronos são trifásicos e são projetados de forma que

as tensões geradas sejam senoidais e simétricas. Essas tensões trifásicas são

obtidas utilizando três enrolamentos de armadura posicionados 1200 um do ou-

tro, de forma que a cada instante, os três enrolamentos de armadura a cada

instante são submetidos adiferentes fluxos magnéticos.

Um sistema elétrico que possui tensões trifásicas senoidais simétricas

ou equilibradas é um sistema onde as tensões tem o mesmo módulo e são de-

fasadas entre si de 1200, como pode ser visto nas seguintes equações e na

Figura 6.

)wt(sen.Vv)wt(sen.Vv

)wt(sen.Vv

MAXC

MAXB

MAXA

0

0

120

120

+=

−=

=


5

Figura 6 - Tensões trifásicas equilibradas

As tensões va, vb, e vc são denominadas tensões fase-terra ou de fase

e são referidas a um ponto comum chamado neutro (n), que pode estar

aterrado (potencial zero) ou não.

Empregando o método fasorial as tensões de fase são expressas pelos

seguintes fasores:

0EF

0MC

0EF

0MB

0EF

0MA

120 V120 2

VV

120- V120- 2

VV

0 V0 2

VV

+∠=+∠=

∠=∠=

∠=∠=

O diagrama fasorial dessas tensões de fase está mostrado na Figura 7.

1200

1200

1200 VA

VB

VC Figura 7 - Diagrama fasorial das tensões de fase


6

Num circuito trifásico define-se tensões de linha ou fase-fase desse

circuito como sendo as tensões definidas pelas seguintes equações:

000

000

000

1501503012

9090312012

30303120

+∠=+∠=∠−+∠=−=

−∠=−∠=+∠−−∠=−=

+∠=+∠=−∠−∠=−=

LEFEFEF0

EFACCA

LEFEFEF0

EFCBBC

LEFEFEF0

EFBAAB

VV.V0VVVVVV.V0VVVV

VV.V0VVVV

O diagrama fasorial das tensões de linha ou fase-fase podem ser vistas

na Figura 8.

VA

VB

VC -VB

-VA

-VC

VABVCA

VBC

Figura 8 - Diagrama fasorial das tensões de linha

Define-se sequencia de fase de um conjunto de tensões trifásicas

como sendo a ordem em cada uma das tensões atinge o seu valor máximo no

tempo. Num circuito trifásico podemos observar a presença de duas

sequencias de fase ABC e ACB. A sequencia de fase ABC das tensões Va, Vb

e Vc pode ser visto na Figura 9 e e a sequencia de fase ACB ou CBA na Figura

10. Essas sequencias de fase podem também ser visualizadas a partir do

diagrama fasorial, os fasores girando no sentido anti-horário definem a

sequencia de fase. Assim um observador parado junto a tensão da fase a, ele


7

vê passar a primeiro a fase B e em seguida a fase C no caso da sequencia de

fase ABC (Figura 11).

Figura 9- Sequencia de fase ABC

Figura 10 - Sequencia de fase CBA


8

VA

VB

VC

OBSERVADOR

Figura 11 - Sequencia de fase num diagrama fasorial

Na sequencia de fase CBA, as tensões trifásicas senoidais simétricas

ou equilibradas tem o mesmo módulo e são defasadas entre si de 1200, dadas

pelas seguintes equações:

)wt(sen.Vv)wt(sen.Vv

)wt(sen.Vv

MAXC

MAXB

MAXA

0

0

120

120

−=

+=

=

O diagrama fasorial das tensões de linha ou fase-fase na sequencia de

fase CBA podem ser vistas na Figura 12.

VA

VB

VC -VB

-VA

-VC

VABVCA

VBC

Figura 12 - Diagrama fasorial das tensões de linha na sequencia CBA


9

É importante destacar que independente da sequencia de fase a rela-

ção entre a tensão de fase VF e a tensão de linha VL é dada por:

3L

FVV =

4. CARGAS TRIFÁSICAS As cargas trifásicas industriais (como os motores elétricos) são usual-

mente simétricas ou equilibradas, isto é tem impedâncias iguais nas três fases.

As cargas monofásicas e bifásicas como as de iluminação, os aparelhos ele-

trodomésticos, motores monofásicos são distribuídos entre as fases de modo

que o sistema não fique desequilibrado ou assimétrico.

Nos sistemas elétricos as cargas elétricas são usualmente conectadas

em estrela (ou Y), aterrada ou não e em triângulo (ou delta).

TRIÂNGULOESTRELA

NÃOATERRADA ESTRELA

ATERRADA Figura 13 - Ligações usuais das cargas equilibradas

Nas ligações em triângulo as cargas são alimentadas pela tensão de

tensão de linha enquanto que nas cargas ligadas em estrela elas são alimenta-

das pela tensão de fase.


10

Considerando as impedâncias das três fases iguais (carga equilibrada)

as correntes que circulam em cada fase são dadas pelas seguintes expres-

sões:

)wt(sen.Ii)wt(sen.Ii

)wt(sen.II

MAXC

MAXB

MAXA

0

0

120

120

+θ−=

−θ−=

θ−=

Os fasores das correntes podem ser obtidos a partir das equações:

0EF0MC

0EF0MB

EFMA

120θ- Z

V120θ- 2

II

120-θ- Z

V120-θ- 2

II

θ- Z

Vθ- 2

II

+∠=+∠=

∠=∠=

∠=∠=

A Figura 14 mostra os diagramas fasoriais das tensões e das correntes

em circuito trifásico equilibrado, onde θ é o ângulo do fator de potência isto é a

diferença entre a fase da tensão e da corrente.

VA

VB

VC

IA

IC

IB

θ

θ

θ

Figura 14 - Tensões e correntes num circuito trifásico equilibrado

Com a carga equilibrada, isto é com impedâncias nas três fases iguais

temos que:


11

0=++ CBA III

Para a carga ligada em estrela mostrada na Figura 15, as seguintes

observações sobre as tensões e correntes podem ser obtidas:

Z

ZZ

VAB

VBCVC

IA

IB

IC

VA

VB

VCA

Figura 15 - Carga ligada em estrela

• As tensões aplicadas a cada carga (VZ) são as tensões fase-

neutro (tensão de fase) e não as tensões fase-fase (tensões de li-

nha) e as relações entre essas tensões são dadas pelas seguin-

tes equações:

000

000

000

1501503012

9090312012

30303120

+∠=+∠=∠−+∠=−=

−∠=−∠=+∠−−∠=−=

+∠=+∠=−∠−∠=−=

LEFEFEF0

EFACCA

LEFEFEF0

EFCBBC

LEFEFEF0

EFBAAB

VV.V0VVVVVV.V0VVVV

VV.V0VVVV

ou de forma resumida:

3L

FZVVV ==


12

• As correntes que circulam por cada uma das cargas (IZ) são as

próprias correntes que circulam pelo condutor da alimentação ou

condutor de linha.

CZC

BZB

AZA

IIIIII

===

Para a carga ligada em triângulo mostrada na Figura 16, as seguintes

observações sobre as tensões e correntes podem ser obtidas:

Z Z

Z

VA

VB

VC

IA

IB

IC

IBC

IAB ICAVAB

VBC

VCA

Figura 16 - Carga ligada em triângulo

• As tensões aplicadas a cada carga (VZ) são as tensões fase-fase

(tensão de linha).

• As correntes que circulam por cada uma das cargas (IZ) são as

correntes IAB, IBC e ICA (denominadas correntes de fase) distintas

das que circulam pelo condutor da alimentação ou condutor de li-


13

nha. Para obter as correntes nas cargas, vamos aplicar a Lei das

Correntes de Kirchhoff para cada um dos três nós do triângulo, de

modo que:

BCCACBCCCA

ABBCBABBBC

CAABACAAAB

III IIIIII IIIIII III

−=⇒+=−=⇒+=−=⇒+=

Z Z

Z

IA

IBIC

IBC

IABICA

IAB

IBC

ICA

Figura 17 – Lei das correntes de Kirchhoff apliacada aos nós do triângulo

Admitindo as correntes de fase equilibradas dadas pelos seguintes

fasores:

0EF

0MFCA

0EF

0MFBC

0F

0MFAB

120 I120 2

II

120- I120- 2

II

0 I0 2

II

+∠=+∠=

∠=∠=

∠=∠=

as correntes de linha podem ser determinadas a partir das equações :

0LFBCCAC

0LFABBCB

0L

0FCAABA

0II.III 01II.III

30I30.I3III

9903

515030

0

+∠=+∠=−=

−∠=−∠=−=

−∠=−∠=−=


14

Resumindo, podemos concluir que para circuitos trifásicos equilibrados

com cargas ligadas em triângulo o módulo da corrente de linha é o módulo da

corrente de fase dividida por raiz de três, isto é:

FL

LF

I.I

ou II

3

3

=

=

5. TRANSFORMAÇÃO ESTRELA TRIÂNGULO Dado um conjunto de impedâncias equilibradas Z∆ (valores iguais nas

três fases) conectadas em triângulo, podemos obter um conjunto de impedân-

cias equilibradas equivalentes em estrela ZY (Figura 18), desde que a relação

entre os valores de impedância dos dois circuitos seja:

3∆ZZ Y =

Z Z

Z

ZY

ZY ZY

Figura 18 – Transformação estrela triângulo

Portanto quando for mais conveniente ter todas as impedâncias de

uma rede conectada em estrela ou todas em triângulo pode-se substituir um

conjunto por outro equivalente desde que a relação entre as impedâncias seja

empregada.


15

6. POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Considere uma carga trifásica simétrica submetida a tensões trifásicas

equilibradas alimentada por correntes trifásicas equilibradas como pode ser vis-

to na Figura 19 e no diagrama fasorial mostrado na Figura 20.

CARGATRIFÁSICASIMÉTRICA

IA

IB

IC

VA

VB

VC

Figura 19 – Carga trifásica simétrica

VA

VB

VC

IA

IC

IB

θ

θ

θ

Figura 20 – Tensões e correntes equilibradas

A potência ativa e reativa cedida a esta carga simétrica por ser obtida a

partir da potência complexa trifásica dada por:

*CC

*BB

*AAF I.VI.VI.VS ++=3

Considerando que:

0EFC

0EFB

0EFA

120 VV120- VV0 VV

+∠=

∠=

∠=

e:


16

0EFC

0EFB

EFA

120θ- II120-θ- IIθ- II

+∠=

∠=

∠=

a potência complexa trifásica passa a ser expressa a partir das potências ativas

e reativas cedidas a carga pela seguinte equação:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) FFEFEFEFEFF

*EFEF

*EFEF

*EFEFF

jQPθsen.I.V..jθcos.I.V.S

θI.V

θI.VθI.VS

333

000

000003

33

120120

1201200

+=+=

−+∠+∠+

−−∠−∠+−∠∠=

As potências ativa e reativa cedidas a uma carga simétrica podem ain-

da serem calculadas a partir das tensões de linha, usando a seguinte equação:

EFLEF V.V 3=

obtem-se:

( ) ( ) FFEFLEFEFLEFF jQPθsen.I.V..jθcos.I.V.S 333 33 +=+=

θcos.I.V.P EFEFF 33 =

θsen.I.V.Q EFEFF 33 =

EFEFF I.V.N 33 =

θ

Figura 21- Triângulo das potências

É importante destacar que todas essas relações podem ser obtidas a

partir do triângulo de potências da Figura 21 onde podem ser obtidas as se-

guintes equações:


17

( ) ( )

F

F

F

F

FFF

NQθsen

NPθcosFP

QPN

3

3

3

3

23

233

=

==

+=

7. POTÊNCIA CEDIDA A CARGAS SIMÉTRICAS EM ESTRELA Considere uma carga simétrica como a mostrada na Figura 22, a po-

tência complexa cedida a ela é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

FFEFEFEFF

CBA*

CC*

BB*

AAF

*CC

*BB

*AAF

jQPI.X.jI..RI.Z.S

I.ZI.ZI.ZI.I.ZI.I.ZI.I.ZS

I.VI.VI.VS

33222

3

2223

3

333 +=+==

++=++=

++=

Z

ZZ

VAB

VBCVC

IA

IB

IC

VA

VB

VCA

Figura 22 – Carga simétrica em estrela


18

EXERCÍCIOS

1. Para a linha de transmissão em 13,8 kV da Figura 1. Apresente quais são

as tensões de linha e quais são as tensões de fase em módulo e fase.

Figura 23 - Linha em 13,8 kV

2. Se a tensão entre as fases B e C (VBC) é 380V com fase 150. Obter as

tensões de fase VA, VB e VC. Apresente o diagrama fasorial admita a

sequencia de fase ABC.

3. Conceitue: sequencia de fase, tensão de linha, tensão de fase, corrente de

linha e corrente de fase.

4. O que significa um sistema elétrico trifásico equilibrado? E impedâncias

simétricas?

5. Uma carga ligada em estrela (Figura 24) tem uma impedância Z é de

(20+j95) ohms. Se a tensão VBC aplicada é de 389 V com fase 1500. Obter


19

as tensões: VA, VB, VC, VAB e VCA. Obtenha também as correntes nas três

fases, a potência ativa e reativa abasorvida e o diagrama fasorial.

Z

Z Z

389 V

Figura 24 – Carga ligada em estrela

6. Uma carga ligada em triângulo (Figura 24) tem uma impedância Z é de

(20+j95) ohms. Se a tensão VBC aplicada é de 380 V com fase 150. Obter as

tensões: VA, VB, VC, VAB e VCA. Obtenha também as correntes nas três

fases, a potência ativa e reativa abasorvida e o diagrama fasorial.

380 V

Z Z

Z Figura 25 – Carga ligada em triângulo

7. Um alimentador trifásico alimenta duas cargas A e B em 380 V (Figura 26).

Considerando a impedância da carga A de (30+j62) ohms e a da carga B de

(12+j84) ohms. Pede-se as correntes nas fases A que alimentam as duas


20

cargas, as tensões de linha, as tensões de fase, as correntes na carga

ligada em triângulo e o diagrama fasorial.

CARGA B

CARGA A

Z1 Z1

Z1

Z2

Z2 Z2

380 V

Figura 26 – Cargas ligada em estrela e triângulo

8. Um motor de indução trifásico ligado em triângulo é alimentado em 380 V

entre fases e absorve uma corrente de 4A com fator de potência 0,85

indutivo (Figura 27). Obter a potência ativa e reativa absorvida pelo motor.

Figura 27 – Motor de Indução

9. Um transformador trifásico tem potência nominal de 100 kVA, e relação de

transformação nominal de 13.800V/380V. Obtenha a corrente nominal no

lado de alta tensão. E no lado de baixa tensão?

Figura 28 – Transformador trifásico


21

10. Um transformador alimenta três consumidores no seu secundário ou lado

de baixa tensão com fornecimento de energia elétrica trifásico: Consumidor

A: 18 KW com fator de potência 0,86 indutivo; Consumidor B: 16 KVA com

fator de potência 0,89 indutivo e o Consumidor C: 10 KVAR com fator de

potência 0,81 indutivo. Obter a potência ativa e reativa total que o

transformador alimenta.

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