2 trimestre Caroline de Souza Tidra Informtica, manh
Professora: Aline de Bona IFRS Campus Osrio Agosto de 2011
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Sumrio Introduo Contedos do trimestre Desenvolvimento de todos
contedos Exerccio favorito Diferenas entre funes de 1 grau e 2 grau
Correo da Prova Pbworks Sujesto Curiosidade Poesia Matemtica
Auto-Avaliao Turma Concluso Mensagem final
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Introduo No portflio deste trimestre estarei apresentando um
pouco de cada contedo aprendido. Ao passar dos slides voc ver
exemplos, atividades, prova e definies que foram feitos em aula ou
em horrios extra com a professora Aline de Bona.
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Contedos do trimestre O que so funes polinomiais? Funo
Polinomial de 1 grau Funo Afim Funo Linear Funo Identidade Funo
Constante Determinao partir do grfico Funo de 1 grau crescente ou
decrescente Zeros da funo Estudo do sinal da funo de 1 grau Funo
Polinomial de 2 grau Concavidade da parbola Zeros de uma funo
quadrtica Vrtice da parbola Conjunto imagem da funo quadrtica Valor
mnimo e valor mximo da funo quadrtica Crescimento e decrescimento
de uma funo quadrtica Estudo do sinal da funo quadrtica
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Desenvolvimento O que funes polinomiais? Funo polinomial, uma
funo com mais ou no mnimo um termo onde cada termo tem uma varivel
independente com o grau zero ou maior que um. Sendo o grau o
expoente da varivel, e o grau da funo polinomial maior grau dos
termos e este define a representao grfica. Ex: y = x + 1 Grau da
funo = 3, pois o expoente y = 2x + 4 Grau da funo = 1 P.S: Definio
feita em sala de aula com a turma toda!
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo polinomial do 1
grau tem a sua forma f(x) = ax +b a b com a e b, sendo nmeros reais
e a 0 (caso a = 0 tem-se f(x) = b, que representa a funo
constante). Os nmeros Representados por a e b so chamados
coeficientes, enquanto x a varivel independente. Ento, so funo
polinomiais do 1 grau: Exemplo FunoCoeficientes f(x) = 2x + 20a = 2
e b = 20 f(x) = 10xa = 10 e b = 0 f(x) = -3x + 4a = -3 e b = 4
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Exemplo: Uma fbrica
de bolsas tem o custo fixo mensal de R$ 5 000,00. Cada bolsa
fabricada custa R$ 25,00 e vendida por R$ 45,00. Para que a fbrica
tenha um lucro mensal de R$ 4 000,00, ela dever fabricar e vender
mensalmente x bolsas. a) Qual o valor de x? x = 450 unidades
vendidas para ter 4 mil de lucro mensal. b) Qual o valor do x para
ocorrer prejuzo no ms? Se vender 249 unidades ou menos j ter
prejuzo. x = quantidade de bolsas custo fixo mensal = 5 mil custo
unitrio = 25 reais preo unitrio = 45 reais lucro mensal = 4 mil x =
? l(x) = 45.x 25x 500 l(x) = 20x 5000 4000 + 5000 = 20x 9000 = 20x
9000/20 = x x = 450 0 = 20x 5000 5000/20 x = 250
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Afim Funo Afim
No caso de a 0 e b 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome de
Afim. Exemplos: f(x) = x + 8 (a = 1 e b = 8)f(x) = x 4 (a = e b =
-4) Chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao
conjunto dos reais, tais que f(x)= ax + b para todo x R. Na funo
afim, nota-se: - O grfico da funo afim f(x) = ax + b uma reta. - D
= R e Im = R. - Sendo o grfico da funo uma reta, basta
considerarmos dois pontos (x, y) do plano cartesiano para
construirmos o grfico.
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Linear Funo
Linear No caso de b = 0, a funo polinomial do 1 grau recebe o nome
de linear. Se construirmos, um grfico da funo f(x) = 2x: Podemos
observar o grfico da funo linear f(x) = ax uma reta que contm a
origem (0, 0) do sistema cartesiano. Para construir esse grfico
basta determinar apenas mais um ponto (x, y) do plano cartesiano e
fazer a reta. x2x = y -2-4 00 12 24
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Identidade Funo
Identidade No caso de a = 1 e b = 0, a funo polinomial do 1 grau
recebe o nome de funo identidade. Se construirmos, um grfico da
funo f(x) = x: Podemos observar que: - D = R e Im = R - O grfico
identidade uma reta que divide o 1 e o 3 quadrante. xx = y -2 00 11
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Constante Funo
Constante No caso a = 0 e b R, a funo expressa por f(x) = b e
recebe o nome de funo constante. Exemplo: f(x) = 3 Se construirmos,
um grfico da funo f(x) = 3: D = R Im = {3} O grfico da funo f(x) =
b sempre uma reta paralela ao eixo x. Se: b > 0 a reta fica
acima do eixo x. b = 0 a reta fica sobre o eixo x. b < a reta
fica abaixo do eixo x.
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo Constante Funo
Constante Exemplo: O grfico mostra a relao entre o espao S
percorrido e o tempo t gasto um motorista em uma viagem. No eixo
horizontal est representado o tempo (t), em horas, gasto no
percurso e no eixo vertical a distncia (S) percorrida, em
quilmetros. Observando o grfico, voc poderia dizer que esse
motorista ficou parado em algum momento da viagem? Caso a resposta
seja afirmativa, quantas horas esse motorista permaneceu parado?
Sim, o motorista ficou parado entre 2 e 5 horas, ou seja,
permaneceu no mesmo lugar por 3 horas.
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Determinao partir do
grfico Determinao partir do grfico Resolver a funo f(x) = ax + b
cujo grfico seguinte: y = 1 1 = a + b y = 7 7 = 3a + b Sistema -a b
= -1 3a +b = 7 2a = 6 a = 3 a + b = 1 3a + b = 7 { para determinar
a e b: Logo: a funo procurada f(x) = 3x - 2 a + b = 1 3 + b = 1 b =
1 3 b = -2
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Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Funo de 1 grau
crescente ou decrescente Funo de 1 grau crescente ou decrescente
Considerando dois valores do domnio D (2 e 4), temos: f(2) = 3 f(4)
= 7 Considerando dois valores do domnio D (2 e 4), temos: f(2) = -7
f(4) = -13 Quando os valores de x aumentam e os de y tambm a funo
crescente. Quando os valores de x aumentam e os de y diminuem a
funo decrescente, ou x diminui e y aumenta tambm decrescente. Regra
para qualquer funo: x1>x2 e y1>y2 funo crescente x1>x2 e
y1
Desenvolvimento Funo Polinomial de 1 grau Estudo do sinal da
funo de 1 grau Estudo do sinal da funo de 1 grau Lista 01/08: O
estudo do sinal de uma funo y = (f) significa determinar para que
os valores x do domnio da funo a imagem f(x) ser positiva, negativa
ou nula. Em outras palavras, estudar o sinal de uma funo f
significa determinar para que valores de x temo f(x)>0,
f(x)
Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Concavidade da
parbola Concavidade da parbola Concavidade de uma parbola a
abertura para cima ou para baixo. Exemplos: f(x) = x - 2x 3, temos
a = 1>0 f(x) = 2x, temos a = 2>0 Em ambos, a parbola tem
concavidade para cima. f(x) = -x + 2x 3, temos a = -1
Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Zeros de uma funo
quadrtica Zeros de uma funo quadrtica Zeros ou razes da funo os
valores de x que anulam a funo, ou seja, que torna f(x) = 0. dois
zeros desiguais a) Se >0 a funo y = ax + bx + c tem dois zeros
desiguais (x 1 e x 2 ). zero real duplo b) Se = 0 a funo y = ax +
bx + c tem um zero real duplo (x 1 = x 2 ). no tem zero real c) Se
0 (a funo tem dois zeros reais diferentes) x = -b = -(-4) 36 = 4 6
2a 2.(1) Logo: os zeros da funo y = x + 4x 5 so x = 5 e x = -1. { x
= 5 x = -1
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Zeros de uma funo
quadrtica Zeros de uma funo quadrtica 2) A funo f(x) = x -2x + 3k
tem dois zeros iguais. Nestas condies, determine os valores reais
de k. A condio para que a funo tenha zeros reais iguais que = 0. =
b - 4ac = (-2) - 4.(1).(30k) = 4 12k 4 12k = 0 -12k = -4 12k = 4 k
= 4/12 k =1/3 Logo: k = 1/3
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Vrtice da parbola
Vrtice da parbola O vrtice da parbola de uma funo o ponto mximo
quando a parbola est para baixo e o ponto mnimo quando a parbola
est para baixo. A parbola, que representa o grfico da funo f(x) =
ax + bx + c, passa por um ponto V, chamado vrtice, cujas
coordenadas so (abscissa) e (ordenada). Frmula para calcular o
vrtice
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Conjunto imagem da
funo quadrtica Conjunto imagem da funo quadrtica Para obter o
conjunto imagem de uma funo quadrtica podemos aplicar as
coordenadas do vrtice. Exemplo: Determinar o conjunto imagem da
funo f(x) = x - 3x +2. f(x) = x2 3x + 2 = 1 > 0 = 3/2 = - a = 1
> 0 Logo: Im = {y R | y -}
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Valor mnimo e valor
mximo da funo quadrtica Valor mnimo e valor mximo da funo quadrtica
Exemplo: Exemplo: Determinar o valor de k de modo que a funo f(x) =
-x - 2x + k tenha 2 como valor mximo. Yv = 2 f(x) = -x - 2x k Yv =
2 = -((-2) - 4.(-1).k) 4.(-1) 2 = -(4 + 4k) 4 -8 = -4 -4k -8 + 4 =
-4k -4 = -4k k = -4/-4 k = 1 Obs: Em uma parbola a concavidade para
cima ou para baixo, onde no ponto mximo ou mnimo vrtice. est
localizado o vrtice.
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Crescimento e
decrescimento de uma funo quadrtica Crescimento e decrescimento de
uma funo quadrtica Em uma parbola, metade crescente e a outra
metade decrescente. Concavidade voltada para cima: Decrescente do
infinito (-) ao vrtice Crescente do vrtice ao infinito ()
Concavidade voltada para baixo: Crescente do infinito (-) ao vrtice
Decrescente do vrtice ao infinito ()
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Crescimento e
decrescimento de uma funo quadrtica Crescimento e decrescimento de
uma funo quadrtica Exemplo: Para que valores da funo f(x) = x - 2x
3 : a) crescente? b) decrescente? f(x) = x - 2x 3 a = 1>0 (valor
mnimo) = 4 + 12 = 16>0 (zeros desiguais) X v = -b = 2 = 1 2a 2 Y
v = - = - 16 = -4 4a 4 Logo: a) f(x) crescente para x 1 b) f(x)
decrescente para x 1 vrtice decrescente crescente V (1, -4)
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Desenvolvimento Funo Polinomial do 2 grau Estudo do sinal da
funo quadrtica Estudo do sinal da funo quadrtica Inicialmente
determinamos as razes reais (se existirem) do polinmio quadrtico. A
seguir podemos estudar o sinal utilizando o grfico da funo ou o
quadro de sinais (com a funo na forma fatorada). O exemplo seguinte
nos mostra tais possibilidades. As razes da funo polinomial y = x -
3x - 4 so x = -1 e x = 4
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Exerccio favorito *-* Observe o grfico e responda as perguntas
abaixo: a) Determine os intervalos em que a funo : - crescente:
[-2, 1] e [2, 3] - decrescente: [3, 4] b) O que ocorre com a funo
no intervalo [1, 2]? No intervalo [1, 2] fica em repouso.
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Diferenas entre funes de 1 grau e 2 grau Para identificar o
tipo de funo que tratado em provas ou trabalhos, destacam-se duas
caracterstica predominantes: 1) Frmulas: Funo de 1 grau f(x) = ax +
b Funo de 2 grau f(x) = ax + bx + c 2 Grficos Funo de 1 grau sempre
uma reta. Funo de 2 grau sempre uma parbola, pois o a elevado ao
quadrado. (ax) Parbola Reta FP de 2 grau FP de 1 grau Obs: Obs:
Tive uma pequena dificuldade em perceber as diferenas entre as
funes, e isso foi a causa de vrios erros. Ento coloquei no Portflio
as diferenas, para aprender mais e lembrar!
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Correo da Prova 2 1) f(0) = 6 c f(1) = 2 f(-2) = 20 f(x) = ax +
bx + c a. 1 + b. 1 + 6 = 2 a + b = -4. (2) a. (-2) + b. (-2) + 6 =
20 4a - 2b = 14 2a + 2b = -8 a + b = -4 4a - 2b = 14 1 + b = -4 6a
= 6 b = -5 f(x) = x - 5x + 6 a x - 5x + 6 = 0 Bhaskara {2, 3} b V
(-b/2a, -/4a) Bhaskara = ((-5)/2*1, -((-5) - 4*1*6)/4*1) c a =1
parbola U d Im [-1/4, +) e crescente do [2,5 +) f Obs: Foi difcil
desenhar esse grfico no paint! No aprendi a usar o
Graphmatica!
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Correo da Prova 2 2) h(t) = 5t (8 - t) = 40t - 5t = -5t + 40t
Bhaskara: a = -5, b = 40, c = 0 a h(3) = -5. 3 + 40. 3 = -45 + 120
= 75 m b 60 = -5t + 40t 5t - 40t - 60 = 0 (Bhaskara : t 1 = 2
segundos, t 2 = 6 segundos) c ( -40/2*(-5), -(40 - 4*(-5)*0)/4*(-5)
) V = 4,80 A mx = 80m no t = 4 seg. 3) f(x) = x - 3x + k a = 1, b =
-3, c = k a > 0 9/4>k b = 0 c < 0 9/4 0 - 9 > 4k - 9/4
> k 9 - 4k = 0 9 = 4k 4) Y v = 4 - = -(b - 4ac) = 4 4 4a -((-4)
- 4*(-1)*k) = 4 4. (-1) 4 + k = 4 k = 0
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Correo da Prova 2 5) P = 2b + 2h = 120 cm A = b * h h = (120 -
2b)/2 h = 60 - b A = bx (60 - b) A = 60b - b Y v = - = -(60 -
4*(-1)*0) 4a 4*(-1) -3600 A = 900 cm -4 6) V (3, -4) f(2) = 0 (x 1
+ x 2 )/2 = 3 (2 + x 2 ) = 3 2 + x 2 = 6 x 2 = 6 - 2 x 2 = 4 a f(x)
> 0 : [-, 2) V (4, + ) b f(x) = 0 : {2, 4} c f(x) < 0 : (2,
4) 7) O resumo fiz na prova, no escreverei aqui, j que o portflio
em si mesmo responde essa questo : ) b b hh
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Pbworks: carolsouza.pbworks.com Mantenho meu Pbworks organizado
e possivelmente atualizado. Nesse trimestre pelo o acmulo de
trabalhos, provas e tarefas fazer, no postei duas das listas dadas,
mas postarei logo, mesmo que atrasadas :)
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Sugesto Depois de dadas as listas de exerccios temos prazo para
post-las no Pbworks. Depois de postadas as listas no sabemos se est
certo o modo de desenvolvimento da funo, pois s vezes a funo j vem
com o resultado. Minha sugesto que as listas fossem corrigidas uma
uma, depois de algumas semanas da postagem, nos estudos orientados
para no ficar dvidas sobre as questes feitas e temos certeza se est
certa ou errada.
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Curiosidade Voc capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em
poucos minutos? Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de
idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor surpreendendo-o
pela sua grande habilidade na matemtica. Em 1792, seu talento foi
reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos
para prosseguir o estudo de matemtica. Gauss criou a geometria
diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade
Quadrtica, que introduz o conceito de congruncia e o Teorema
Fundamental da lgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones
Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Nmeros. No mesmo ano,
calculou a rbita do asteride Ceres. Com base em uma teoria que
desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria
reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o
"Prncipe da Matemtica". Vejam abaixo a resoluo proposta por Gauss
(isso aos 10 anos de idade): 101, 101, 101,..., 101, 101, 101 100 x
Portanto 1 + 2 + 3 +...+ 99 + 100 = (100x101)/2= 5050! Achei bem
legal essa curiosidade e ento decidi postar aqui no portflio!
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Poesia Matemtica s folhas tantas do livro matemtico, um
Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incgnita. Olhou-a
com seu olhar inumervel e viu-a do pice base uma figura mpar; olhos
rombides, boca trapezide, corpo retangular, seios esferides. Fez de
sua uma vida paralela dela at que se encontraram no infinito. "Quem
s tu?", indagou ele em nsia radical. "Sou a soma do quadrado dos
catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa. "E de falarem
descobriram que eram (o que em aritmtica corresponde a almas
irms)primos entre si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade
da luz numa sexta potenciao traando ao sabor do momento e da paixo
retas, curvas, crculos e linhas sinoidaisnos jardins da quarta
dimenso. Escandalizaram os ortodoxos das frmulas euclidiana e os
exegetas do Universo Finito. Romperam convenes newtonianas e
pitagricas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que
um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a
Bissetriz.
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Poesia Matemtica E fizeram planos, equaes e diagramas para o
futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se
casaram e tiveram uma secante e trs cones muito engraadinhos. E
foram felizes at aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi
ento que surgiu O Mximo Divisor Comum freqentador de crculos
concntricos,viciosos. Ofereceu-lhe, a ela,uma grandeza absoluta e
reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com
ela no formava mais um todo,uma unidade. Era o tringulo, tanto
chamado amoroso. Desse problema ela era uma frao, a mais ordinria.
Mas foi ento que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era
esprio passou a ser moralidade como alis em qualquer sociedade.
Poesia Matemtica de Millr Fernandes
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Auto-Avaliao Nesse trimestre meu rendimento escolar matemtico
no foi dos melhores. Tive e ainda tenho muitas dificuldades, e
dvidas na aprendizagem das funes polinomiais, tanto de 1 grau como
a de 2 grau. Tenho indo nos estudos orientados de matemtica para
assim aprender mais, e isso j me ajuda bastante. Gostaria de
novamente alcanar a mdia 7, pois, reconheo que no me esforcei o
suficiente para alcanar mais. Mas, isso j est mudando, depois que
levei um susto ao ver minha nota. Pretendo tomar meus horrios vagos
me dedicar em cumprir todas as tarefas fazer, principalmente as de
matemtica. Trimestre que vem vou apresentar o artigo cientfico, j
tenho bastantes idias e j comecei a ler o artigo sobre a energia.
Me dedicarei mais e vou estar presente em todas as aulas extras de
matemtica. Sei que preciso melhorar e tenho absoluta certeza que
vou me esforar para isso.
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Turma, Informtica- manh Vou levar pra sempre uma lembrana de
cada um. Adoro-os
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Concluso O meu portflio ficou bem simples, coloquei o que achei
de mais importante nesse trimestre e algumas coisas que ao passar
dos dias gostei como curiosidades, a poesia e o exerccio
favorito.
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Mensagem final Ningum pode ser perfeito. Mas todos podem ser
melhores. Bob Esponja