04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 12PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

VOLUMES FINITOSVOLUMES FINITOS

Prof. Dr. Ricardo A. Mazza2PFG/DE/FEM/UNICAMP

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 22PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA• Suhas V Patankar – Numerical Heat Transfer

and Fluid Flow• Versteeg H. K. and Malalasekera W – An

introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 32PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Forma geral da equação de transporteForma geral da equação de transporte

• t é o tempo;• é a densidade;• V é o vetor velocidade;• é a propriedade a ser conservada;• é o coeficiente de difusão de ;• S representa os termos fontes;

{ { {FonteConvecção Difusão

Transiente

V St

r1442443

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 42PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Equações de transporteEquações de transporte

Eq. SMassa 1 0 0Qt. de Movimento

Energia T k/Cp

Vr

{ { {FonteConvecção Difusão

Transiente

V St

r1442443

P g r

DPT dissipação q'''Dt

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 52PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Equação de conservação no PhoenicsEquação de conservação no Phoenics

• representa uma variável genérica que pode ser: u1, u2, v1, v2, w1, w2, k, , h1, h2, C1 a C150.

• P não aparece na lista pois ela é calculada por meio das sucessivas correções da pressão que vem dos ajustes de velocidade para satisfazer o balanço de massa. (método SIMPLE)

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 62PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Modelos matemáticos simplificadosModelos matemáticos simplificados• As equações de transporte são complexas pelos termos não

lineares e acoplamentos;• Há uma redução do esforço computacional quando se modela o

escoamento de forma mais simples:– Laminar / Turbulento– Incompressível / Compressível– Euler (s/ viscosidade) / Navier Stokes (viscoso)– Potencial (irrotacional) / Euler (rotacional)– Stokes (Re -> 0 ) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)– Camada Limite (Re -> inf) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)

• Mas não tem jeito:– Reações químicas (combustão), turbulência , interações entre fases e

domínio complexo surgem simultâneamente

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 72PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Método dos Volume Finitos (VF)Método dos Volume Finitos (VF)• Utiliza a forma integral das equações como ponto de partida.• O domínio de solução é subdividido em um número finito de

volumes de controle, VC, adjacentes entre sí onde as equações de conservação são aplicadas.

• Cada variável é calculada no centroide de cada VC;– Os valores das variáveis e propriedades nas faces do VC são

determinados por interpolação.• O método VF pode acomodar qualquer tipo de grade e é,

portanto, aplicável para geometrias complexas. • A grade define as fronteiras do VC e não é necessariamente

relacionada a um sistema de coordenadas.

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 82PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Volume de controleVolume de controle• O domínio de cálculo é dividido em volumes

cujas faces são identificadas pelas direções cardiais West-East (x), South-North (y) e Low-High (z)

x

y

z

P

NorthEast

High

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 92PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Discretização Discretização do meio do meio

contínuo no contínuo no espaço e no espaço e no tempo & tempo &

nomenclatura nomenclatura das direçõesdas direções

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 102PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Discretização no espaçoDiscretização no espaçoM

oléc

ula

com

puta

cion

al

PTSNWE

TTSSNNWWEEP aaaaaa

Saaaaa

O método dos Volumes Finitos representa a influência que o ponto P recebe dos vizinhos na forma de produtos de coeficientes e do valor das variáveis

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 112PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Sistema resultanteSistema resultante• As equações discretizadas formam um sistema de

equações algébricas lineares, constituido da soma das ‘moléculas computacionais’ de cada VC.

• Os coeficientes (aP e anb) levam as informações sobre transporte convectivo e difusivo da propriedade– São sempre positivos.

• Há diversos esquemas discretizantes;– A escolha de cada um influência na solução e na taxa de

convergência.

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 122PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Grade computacionalGrade computacional• A localização discreta onde as variáveis serão

calculadas é definida pela grade computacional. • A grade é uma representação do domínio

geométrico onde o problema será resolvido.• A grade transmite ao modelo informações a

respeito da localização do centróide do VC e dos centros das faces, das áreas das faces e do volume e também da distância entre centróides e faces de VC adjacentes.

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 132PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Definição da gradeDefinição da grade• Define a precisão numérica da solução uma vez

que as variáveis são calculadas em pontos discretos definidos pela grade.

• Influencia na taxa de convergência (ou divergência) da solução.

• Define o custo computacional:– É basicamente determinado pelo tamanho da grade.

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 142PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Tipos de grades - CartesianasTipos de grades - Cartesianas

UniformeCartesiana

Não-UniformePower

Não-Uniformeduas regiões

UniformePolar

Não-UniformeFine Grid Embedding

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 152PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Definição do espaçamento da gradeDefinição do espaçamento da grade• É necessário controlar o espaçamento da grade

para capturar características do escoamento que mudam rápidamente (altos gradientes) e ao mesmo tempo economizar tempo computacional em regiões que variam lentamente.

• O tamanho da grada é um ‘filtro’ do tamanho do fenômeno que se quer detectar. Estruturas do escoamento menores que 2x o espaçamento da grade não serão detectadas (alaising).

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 162PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

• Escoamento de Camada Limite. Aplica-se grades não-

uniformes Power ou duas-regiões

• Esteira de Vórtices em cilindros. Aplica-se ‘fine grid embedding’ para capturar as

dimensões dos vórtices

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 172PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Geometrias complexasGeometrias complexasBody Fitted Coordinates - BFCOrtogonal ou Não Ortogonal

Multi-BlockOrtogonal ou Não Ortogonal

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 182PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Novo métodoNovo método

Grade Cartesiana com Objetos Imersos: • Iteração volume a volume tipo ‘escada’ ou;• Iteração via software com algoritmo PARSOL

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 192PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Condições de contorno e iniciaisCondições de contorno e iniciais• Qualquer modelo matemático expresso por

meio de eq. diferenciais não é completo a menos que sejam definidas as CC e CI;

• As CC e CI variam dependendo do tipo de equação diferencial que o modelo emprega.

• As equações diferenciais parciais de segunda ordem são classificadas por três tipos: – Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas.

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 202PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Equações hiperbólicasEquações hiperbólicas• A informação se

propaga com velocidade finita em duas direções;

Região influenciadapelo valor do ponto CP

X

Y

a b c

P depende das informaçõesao longo do segmento a-b

Região influenciadapelo valor do ponto P

Característica a

esquerda

Cara

cter

ístic

a a

dire

ita

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 212PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Características (Mach const.)

Y

X

C.C.: necessário conhecer u & v ou ao longo da linha

2 2

2 22

1 0x yM 1

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 222PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Equações parabólicasEquações parabólicas• A informação se propaga

com velocidade finita em uma direção;

• A informação de P influencia a solução somente em um lado do plano XY;– Influência a solução somente

aos pontos à sua direita;– Depende dos valores à sua

esquerda mas não da sua direita.

• A solução numérica utiliza um processo de marcha em X e é necessário especificar somente um fronteira;

X

Y

PRegião influenciadapelo valor do ponto P

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 232PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Y

X

u =

Uin

let

u = Uext

u = 0

2

2

u u uu vx y y

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 242PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Equações elípticasEquações elípticas• A informação se propaga

em todas direções com velocidade infinita.

• Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de todos os pontos do domínio!– Só é possível obter uma

solução se você conhecer os valores em todo o contorno;

X

Y

P

a

b c

d

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 252PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

2 2

2 2

T T 0x y

T = 0 Dirichlet

q”=

-kT

/ x

Neu

man

T/ x = 0Neuman

T/ x = 0N

euman

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 262PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Condições iniciaisCondições iniciais• Tal como o espaço o tempo também é

representado numa grade cujos volumes variam com incrementos no tempo.

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 272PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Condições iniciaisCondições iniciais• Como na geometria, há uma grade temporal;• Os modelos transientes são de natureza

PARABÓLICA no tempo;– Um evento no futuro não pode influenciar o que acontece no

presente. – Nenhuma condição pode ser imposta na solução (exceto no

contorno) em qualquer instante após o início (t=0).– É especificado com uma condição ou campo inicial.

• Existem duas possibilidades de implementação de esquemas transientes: – IMPLÍCITA (default) – EXPLÍCITA

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 282PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Esquema explícitoEsquema explícito• O cálculo das variáveis no próximo passo de

tempo depende somente dos valores das variáveis no tempo anterior;

• Computacionalmente é mais simples que o esquema Implícito.

• Para obter uma solução estável, o avanço no tempo e no espaço estão limitados:

2xt

2

u x 2

restrição no passo de

tempo; relação entre coeficientes de convecção

e difusão;

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 292PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

Esquema implícitoEsquema implícito• O cálculo das variáveis para o próximo passo de

tempo depende dos valores das variáveis no tempo anterior e atual;

• Computacionalmente é mais complexo que o esquema Explícito pois requer cálculos iterativos;

• Ele é intrinsicamente estável;

04/27/23 Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza 302PFG

/DE

/FE

M/U

NIC

AM

P –

FUN

DA

ME

NT

OS

EM

CFD

FIM !FIM !