2.Sinais e Sistemas.ss.2010.2

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  • 8/6/2019 2.Sinais e Sistemas.ss.2010.2

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    Sinais e Sistemas(Captulo 1)

    Tsang Ing Ren - [email protected]

    UFPE - Universidade Federal de PernambucoCIn - Centro de Informtica

    Baseadas no material do Prof. Aluizio Fausto Ribeiro Arajo

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    Tpicos

    Sinais

    Tamanho de um Sinal

    Operaes teis com Sinais

    Classificao de Sinais

    Modelos teis com Sinais

    Funes Pares e mpares

    2

    s emas

    Definies

    Classificao de Sistemas

    Modelos de Sistemas

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    Sinais e Sistemas (i)

    Definies

    Sinais (Lathi):

    Um sinal um conjunto de dados ou informaes. Um sinal pode ser funo dotempo (e.g., sinal de televiso, sinal vendas mensais de uma corporao) ou doespao (carga eltrica distribuda em um corpo). Neste curso se tratar de sinais queso funes do tempo, embora a anlise seja vlida para outras variveisindependentes.

    Sistemas Lathi :

    3

    Formalmente, um sistema uma entidade que pode processar um ou mais sinais(entrada do sistema) e produzir um ou mais sinais (sada do sistema). Sistemaspodem modificar ou extrair informaes adicionais de um sinal.

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    Sinais e Sistemas (ii)

    Cobertura do Curso Sinais e sistemas lineares que serviro para controle, comunicao e

    processamento de sinais (imagens, voz, vdeo...).

    Exemplos de sistemas eletrnicos de controle: Controle de processos industriais.

    Controle de automao predial.

    Funes automotivas: suspenso ativa, freios anti-travantes.

    4

    on ro e e m qu na e r cas: av o, gera o e energ a.

    Exemplos de processamento de sinais: Anlise e reconhecimento de imagens e voz.

    Compresso de udio (MP3) e imagem (JPEG, JPEG 2000).

    CDs de vdeo (MPEG 1) e udio.

    DVD, cabo digital e HDTV (MPEG 2). Vdeo sem fio (MPEG 4/H.263).

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    Sinais e Sistemas (iii)

    Cobertura do Curso

    Exemplos de sistemas de comunicaes:

    Modens com largura de banda para voz (56k).

    Modens para linha de assinante digital (DSL).

    Modens para cabo.

    Telefones celulares.

    5

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    Sinais e Sistemas (iv)

    Tipos de Sinais

    Sinais contnuos so funes de um argumento real.

    x(t) um sinal no qual tpode assumir qualquer valor real.

    x(t) pode ter valor constante ou nulo para um intervalo de valores de t.

    Sinais discretos no tempo so funes de um argumento que s pode assumirvalores discretos pertencentes a um conjunto.

    6

    ...- ,- ,- , , , , ... .

    Usualmente emprega-se um ndice ao invs da varivel tempo quando se trata de sinaisdiscretos.

    Tanto para sinais contnuos como para sinais discretos, o valor de x pode serreal ou complexo.

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    Sinais e Sistemas (v)

    Tipos de Sinais

    Sinais contnuos: Amplitude pode assumir qualquer valor real ou complexo emum instante de tempo ou para cada amostra.

    7

    Sinais discretos: Amplitude pode assumir qualquer valor real ou complexopertencente a um conjunto discreto.

    1

    -1

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    Sinais e Sistemas (vi)

    Tipos de Sistemas

    Exemplos de sistemas contnuos no tempo com um sinal de entrada funo dex(t) e um sinal de sada y(t):

    y(t) = x(t) + x(t-1).

    y(t) = x2(t).

    x(t) y(t)

    8

    x(n)e um sinal de sada y(n):

    y[n] = x[n] + x[n-1]

    y[n] = x2[n]x[n] y[n]

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    Tamanho de Sinais (i)

    O tamanho de um sinal deve levar em conta sua amplitude que varia ao longodo tempo, e a durao deste sinal.

    Energia de um Sinal Seja um sinal x(t) que pode assumir valores reais positivos e negativos. Define-

    se energia deste sinal como a integral ao longo do tempo do valor de x(t)elevado ao quadrado. Logo, elimina-se o cancelamento mtuo de partes dasintegrais com sinais opostos que pode avaliar erradamente o tamanho do sinal.

    9

    complexos.valorespara,)(

    reais.valorespara,)(

    2

    2

    =

    =

    dttxE

    dttxE

    x

    x

    .se0)(sesesefinito ttxEx

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    Tamanho de Sinais (ii)

    Potncia de um Sinal Se a amplitude de x(t) no convergir para zero com o passar do tempo,

    emprega-se uma medida da energia no tempo, a potncia de um sinal.

    T

    T

    TTx dttx

    TP

    =

    = 2 2

    2

    2

    2

    1

    real.sinalumpara,)(1

    lim

    10

    Em geral, a mdia de uma grandeza calculada para um longo intervalo detempo, aproximando-se do infinito, existe se a grandeza peridica ou temregularidade estatstica. Caso esta condio no seja verdadeira, a mdia podeno existir como no caso da funo rampa.

    x

    TT

    x

    PT

    =

    x

    2

    RMS

    .,

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    Tamanho de Sinais (iii)

    Exemplos de Sinais que tm Energia e Potncia Finitos

    11

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    Tamanho de Sinais (iv)

    Exemplo: Clculo de tamanho de um sinal

    12

    ,3

    1

    3

    1.

    2

    1

    2

    1)(

    2

    1

    8440220)(

    1

    1

    31

    1

    21

    1

    2

    0

    2

    20

    1

    21

    22

    ====

    =++=

    ++==

    tdttdttxP

    dtedtdtdttxE

    x

    t

    x

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    Tamanho de Sinais (v)

    Exemplo: Determine a valor da potncia e o valor rms:

    )(cos1

    )(1

    :perodoumdelongoaomdiaenergiaatomando

    sinaldopotnciaase-calcula,)2

    (peridicosinalumesteComo

    )(cos)(

    2

    0

    222

    2

    0

    0

    0

    limlim +==

    =

    +=

    dttCdttxP

    T

    tCtx

    TT

    x

    13

    [ ]

    ( )

    2cos12

    1cosquese-Lembre

    .22RMS

    2

    02

    )22(cos2

    12

    )22(cos12

    2

    x

    2

    2

    2

    22

    20

    2

    2

    2

    22

    20

    2

    limlim

    limlim

    +=

    ==

    +=++

    +=++=

    CCP

    tT

    Cdtt

    T

    C

    dtT

    Cdtt

    T

    CP

    x

    T

    TT

    T

    TT

    T

    TT

    T

    TT

    x

    TT

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    Operaes com Sinais (i)

    Deslocamento no Tempo (Time Shifting) Seja um sinal x(t) e este mesmo sinal atrasado de Tsegundos:

    )(t

    14

    )()(

    )()(

    txTt

    Ttxt

    =+

    =

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    16/68

    Operaes com Sinais (iii)

    Escalonamento no Tempo (Time Scaling) Compresso ou expanso de um sinal x(t) no tempo:

    )(tx

    16

    =

    =

    ==

    2)(

    )2()()(

    tx

    a

    txt

    txatxt

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    Operaes com Sinais (v)

    Reverso no Tempo (Time Reversal) O sinal x(t) rotacionado em 180 em torno do eixo vertical:

    )(tx

    18

    )()( txt =

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    Operaes com Sinais (vi)

    Exemplo: Reverso no Tempo

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    Classificao de Sinais (iii)

    Sinais Contnuos e Discretos no Tempo

    23

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    Classificao de Sinais (iv)

    Sinais Analgicos e Digitais

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    Classificao de Sinais (vii)

    Sinais de Energia e Potncia Um sinal com energia finita um sinal de energia (Figura 1.2(a)). Um sinal

    com energia finita tem potncia zero. Todos sinais do mundo real tm energia

    finitas e so sinais de energia. Um sinal com potncia diferente de zero e finita um sinal de potncia (Figura1.2(b)). Um sinal com potncia finita tem energia infinita. Um sinal de potnciaverdadeiro impossvel de ser gerado na prtica pois tem energia e duraoinfinitas.

    27

    Sinais Determinsticos e Probabilsticos Sinal Determinstico: Aquele que conhece-se completamente sua descriofsica (forma grfica ou matemtica).

    Sinal Probabilstico: Aquele que no se pode prever precisamente. Possuidescrio probabilstica tal como valor mdio.

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    Alguns Sinais teis (i)

    Motivao: Alguns sinais particulares, expressos por funes, tm importante papel na

    rea de sinais e sistemas. Tipicamente, eles so utilizados como padres de

    testes e so empregados para representar outros sinais.

    Funes que sero tratadas: Funo Degrau Unitrio;

    28

    Funo Impulso Unitrio;

    Funo Exponencial.

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    Alguns Sinais teis (iv)

    Exemplo: Descreva o sinal da Figura 1.16a

    31

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    32/68

    Alguns Sinais teis (v)

    Exemplo: Descrio dos sinais mostrados O sinal em foco pode ser dividido em dois componentes que utilizam a funo

    rampa.

    [ ]

    ( )[ ])u(t)u(t-t(t)x

    )u(t)-u(t-t(t)x

    3232

    2

    2

    1

    =

    =

    32

    [ ]

    ( ) ( ) )u(t-t)u(t-ttu(t)

    )u(t)u(t-)tu(t)tu(t-)tu(t-tu(t)(t)x(t)xx(t)

    332223

    32632222

    21

    +=

    ++=

    +=

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    Alguns Sinais teis (vi)

    Funo Impulso Unitrio Esta funo foi inicialmente definida por P. Dirac como:

    1)(

    00)(

    =

    =

    dtt

    tt

    33

    o.aproximaporunitriaimpulsofunoagerarparausadosser

    podemGaussiana,ourtriangulal,exponenciacomotaispulsosOutros

    seta.umapordorepresentaimpulsoO

    .10qualno,1alturae

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    Alguns Sinais teis (vii)

    Funo Impulso Unitrio

    34

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    35/68

    Alguns Sinais teis (viii)

    Funo Impulso Unitrio: Produto de um Impulso Unitrio por uma outra funo contnua em t=0. Logo

    tem-se que

    :se-generalizate,Analogamen).)0((impulsodoinstante

    nofunodaqueleigualvalorcom,0emlocalizado

    impulsoumemresultaprodutoeste),()0()()(

    t

    ttt

    =

    =

    35

    Propriedade de amostragem de (t): A rea sob o produto de uma funocom (t) igual ao valor da funo no instante de ocorrncia do impulso.

    )()()()( TtTTtt =

    )()()()()()()( TdtTtTdtTtTdtTtt

    ===

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    36/68

    Alguns Sinais teis (ix)

    Funo Impulso Unitrio: Impulso Unitrio como uma Funo Generalizada: A definio de Dirac no

    matematicamente rigorosa pois:

    A funo impulso no define uma nica funo. Por exemplo, (t) + d(t)/dtsatisfaz a definio.

    (t) no uma funo pois no definida para t=0.

    Assim, ao invs de definir (t) como uma funo ordinria (definida por seu valor em-

    36

    como seus efeitos sobre outras funes).

    A funo impulso definida pela propriedade de amostragem:

    Note que a propriedade de amostragem conseqncia da definio clssica de(t).

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    Alguns Sinais teis (xi)

    Funo Exponencial: Seja s um nmero complexo:s=+j:

    )sen(cos

    :se-tem),(deconjugadooPara)sen(cos

    *

    *)(

    **

    )(

    tjteeeee

    jsstjteeeee

    ttjttjts

    ttjttjst

    ===

    =

    +===

    +

    38

    ).cosntesenoidalmevariandolExponencia

    );0cosSenoidal;0monotnicalexponenciaFuno

    ;0Constante

    :envolvendoespeciaisCasoscomplexa.freqncia:para

    .generaliza)sencos(EulerdeFmula

    21cosquese-teme

    j(ste

    js,(t

    )s,(

    e

    s,kek

    es

    eeje

    eete

    t

    t

    st

    st

    tjstj

    =

    ==

    ==

    ==

    +=

    +=

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    39/68

    Alguns Sinais teis (xii)

    Funo Exponencial: Ilustraes dos casos especiais.

    ).cosntesenoidalmevariandolExponencia j(stet

    =

    39

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    41/68

    Funes Pares e mpares (ii)

    Propriedades Multiplicando funo par por uma mpar tem-se funo mpar.

    Multiplicando duas funes mpares tem-se funo par.

    Multiplicando duas funes pares tem-se funo par.

    rea

    aa

    41

    Estes resultados so vlidos sob a hiptese que no h impulso ou suas derivadas naorigem.

    0)(:mparfunoaPara

    :parun oaara0

    dttx

    ttxtt

    a

    ao

    ea

    e

    =

    =

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    42/68

    Funes Pares e mpares (iii)

    Componentes Qualquer sinal x(t) pode ser expresso como um somatrio de funes pares e

    mpares porque:

    11

    )(2

    1)(

    2

    1)(

    2

    1)(

    2

    1)(

    txtxtxtxttxtx

    txtxtxtxtx

    +=++=

    ++=

    42

    [ ]

    [ ])()(2

    1)(

    )()(

    2

    1)(

    )()(sejaexemplo,Por

    mpar.for2oeparforcomponente1oseaverdadeirExpresso

    2200

    tuetuetx

    tuetuetx

    tuetx

    atat

    o

    atat

    e

    at

    oe

    =

    +=

    =

  • 8/6/2019 2.Sinais e Sistemas.ss.2010.2

    43/68

    Funes Pares e mpares (iv)

    Exemplo:

    )()( tuetx

    at=

    43

    [ ]

    [ ])()(21

    )(

    )()(2

    )(

    tuetuetx

    tuetuetx

    atat

    o

    atat

    e

    =

    +=

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    44/68

    Funes Pares e mpares (v)

    Exemplo: Encontre os componentes pares e mpares

    txtxetx oejt

    1

    )()()( +==

    44

    [ ] tjeetx

    teetx

    jtjt

    o

    e

    sen2

    1)(

    cos

    2

    ==

    =+=

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    45/68

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    46/68

    Sistemas (ii)

    Introduo

    Exemplo de sistema: MASTER 6

    Battery

    Speed

    dcmotordc

    amplifier

    Speedsetting

    Turntabl e

    +

    Tachometer

    Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All ri ghts reserved.

    Ampli fi er dcmotor TurntableActualspeed

    (a)

    (b)

    Control device Actuator

    Sensor

    Desiredspeed

    (voltage)

    Process

    +

    Error

    Measured speed(voltage)

    Tachometer

    Figure 1.21 (a) Closed-loop control of the speed of a turntable (b) Block dia gram model

    46

  • 8/6/2019 2.Sinais e Sistemas.ss.2010.2

    47/68

    Classificao de Sistemas (i)

    Sistemas Lineares e no Lineares

    Sistemas de Parmetros Constantes e de Parmetros Variveis no Tempo

    Sistemas Instantneos (sem Memria) e Dinmicos (com Memria)

    Sistemas Causais e no Causais

    Sistemas Contnuos e Discretos no Tempo

    Sistemas Anal icos e Di itais

    Sistemas Inversveis e no Inversveis Sistemas Estveis e Instveis

    47

    Cl ifi d Si t (ii)

  • 8/6/2019 2.Sinais e Sistemas.ss.2010.2

    48/68

    Classificao de Sistemas (ii)

    Quantidade de Entradas e Sadas de um Sistema

    Os sistemas aqui discutidos podem ser definidos de acordo com a relao entreexcitao e sua resposta, entrada e sada ou causa e efeito. Para tal, seroconsiderados sistemas que podem ter entradas e sadas simples ou mltiplas.

    A relao entre o nmero de entradas e sadas divide os sistemas nosseguintes grupos:

    (i) SISO (single-input single-output);

    - -

    (iii) SIMO (single-input multiple-output); (iv) MISO (multiple-input single-output).

    As prximas discusses valem para qualquer tipo de sistema embora sejamapresentadas para sistemas SISO.

    48

  • 8/6/2019 2.Sinais e Sistemas.ss.2010.2

    49/68

    Classificao de Sistemas (iii)

    Sistemas Lineares e no Lineares

    22112211

    0

    adehomogeneideaditividadosuperposionde

    )()()()(:osuperposidaepropriedadapossuiselinearEle

    ),()(pordescritosistemaumSeja

    tyktyktxktxk

    tttytx

    +=

    ++

    0

    02121

    ),()(),()()()(

    tttkytkxtttytytxtx

    ++

    49

    Cl f d S ( )

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    Classificao de Sistemas (iv)

    Sistemas Lineares e no Lineares: Exemplo

    :sistemadesteinstnciasduasConsidere

    )()(3

    linear?abaixosistemaO

    txtydtdy =+

    [ ] [ ] )()()()(3)()(

    :porsegundaaeporequaoprimeiraandoMultiplica

    )()(3e)()(3

    221122112211

    21

    22

    2

    11

    1

    txktxktyktyktyktyk

    dt

    d

    kk

    txtydt

    y

    txtydt

    y

    +=+++

    =+=+

    50

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    Classificao de Sistemas (viii)

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    Classificao de Sistemas (viii)

    Sistemas Instantneos e Dinmicos

    Sistema Instantneo: aquele no qual a sada em qualquer instante de tempodepende apenas da entrada neste instante de tempo. Este sistema chamadode sistema sem memria.

    Sistema sem memria; Condies iniciais sempre nulas.

    Sistema Dinmico: aquele que a sada depende da entrada atual e da histriado sistema (sistema com memria).

    .

    Um sistema cuja sada depende de informaes dos ltimos Tinstantes de tempo chamado sistema de memria finita.

    54

    Classificao de Sistemas (ix)

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    Classificao de Sistemas (ix)

    Sistemas Causal e No-causal

    Sistema Causal: Um sistema causal se a sada em algum instante todepende apenas da entrada para o tempo anterior a to. Chama-se sistemafsico ou no-antecipativo. Logo, a sada depende apenas dos valores de

    entrada presentes e passados. Qualquer sistema do mundo real que opere em tempo real, tem que ser causal.

    - .Pode-se chamar sistema antecipativo.

    Usabilidade de sistemas No-causais:

    Sistemas com variveis independentes diferentes do tempo (e.g., espao);

    Alguns sistemas em processamento de sinais (e.g., sinais de fala tm todosos dados de entrada pr-gravados.

    55

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    Classificao de Sistemas (xiii)

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    Classificao de Sistemas (xiii)

    Sistemas Analgico e Digital

    Sistema Analgico: aquele em que seus sinais de entrada e sada soanalgicos.

    Sistema Digital: aquele em que seus sinais de entrada e sada so digitais.

    Sistemas Estvel e Instvel

    Estabilidade definida como interna ou externa, assim tem-se:

    1-59

    Estabilidade Externa (BIBO): Se toda entrada limitada no sistema resulta em uma

    sada tambm limitada. Estabilidade Interna: Relacionada a variveis internas ao sistema que devem possuir

    valores limitados e convergentes.

    Um sistema dito instvel se a condio de estabilidade no for atendida.

    59

    Classificao de Sistemas (xiv)

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    Classificao de Sistemas (xiv)

    Sistemas Inversvel e No-inversvel

    Sistema Inversvel: aquele em que se pode obter a entrada a partir de suasada.

    Demanda relao entrada-sada biunvoca.

    A operao inversa obtida pelo sistema inverso. til quando sinais sodistorcidos durante processamento.

    Exemplo: um integrador ideal e um derivador ideal.

    1-60

    Sistema No-inversvel: aquele em no possvel obter a entrada a partir desua sada.

    Exemplo: Algumas entradas diferentes que resultam em uma mesma sada comoocorre em um retificador.

    Sist Sist Inv

    x(t) y(t) x(t)

    60

    Modelo de Sistema:D i E t d S d (i)

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    Descrio em termos de medies da entrada e da sada nos seus terminais.Apresenta-se expresses para alguns tipos de sistemas.

    Sistemas Eltricos

    Em geral, usa-se as relaes tenso-corrente de cada elemento do sistema comrestries e propriedades advindas da interconexo de vrios componentes dosistema (Leis de Kirchhof).

    i

    Descrio Entrada-Sada (i)

    1-61

    ( )

    .comutveissono1epoisisdiferenciaequaesusarse-recomenda

    ),(1

    )(:integraloperadordoinversooldiferenciaOperador

    )()(23)(

    )(2)(

    3)(

    Exemplo,

    );(:compactaNotao

    2

    2

    2

    DD

    ty

    D

    dy

    tDxtyDDdt

    tdxty

    dt

    tdy

    dt

    tyd

    tyD

    dt

    t

    i

    i

    =

    =++=++

    =

    61

    Modelo de Sistema:D i E t d S d (ii)

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    62/68

    Sistemas Eltricos: Exemplo

    Encontre equao descrevendo o sistema RC:

    0)(1

    )()(

    )(

    diC

    tRitx

    tv

    t

    t

    i

    i

    =

    =

    loop.umem0,

    :tensesdeKirchhoffdeLei

    Descrio Entrada-Sada (ii)

    1-62

    )()()13(

    )(

    5

    1)(

    )()515()(

    )()(5

    )(15)(

    )(5)(15)(

    txtyD

    tDy

    dt

    dyCti

    tiDtDx

    txtiD

    titx

    dititx

    =+

    ==

    +=

    =+=

    +=

    62

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    Modelo de Sistema:Descrio Entrada-Sada (vi)

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    66/68

    Sistemas Mecnicos: Controle de altitude (elevadores, leme e ailerons).

    Descrio Entrada-Sada (vi)

    1-66

    ( )

    ( ) ,)()(ou)()()(

    :)()(angularevelocidaddafunoemse-escrevendo-re

    ,)()(ou)()()(

    :ailerons""nosdeflexesdasfunogirodenguloO

    2

    tctBJDtctBtJ

    tt

    tctBDJDtBtctJ

    =+=+

    =

    =+=

    &

    &

    &&&

    66

    Descrio Interna e Externa de Sistemas (i)

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    Descrio Externa de um Sistema:

    aquela obtida a partir de medidas nos terminais externos deste sistema.Descrio entrada-sada uma descrio deste tipo.

    Descrio Interna de um Sistema :

    aquela capaz de prover informao sobre todos os sinais no sistema.Descrio por variveis de estado um exemplo.

    Exem lo: No encontra sada correta ara ca acitor com car a inicial e entrada

    1-67

    nula (pois a ddp nula).

    67

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